初中七年级数学竞赛培优讲义全套专题19 最值问题_答案

专题19 最值问题

例1 24 提示：,2,3a c b c d c =-==，原式324c ．

例2 B 提示：()2

4

4

2

2

2

2

2

2

19212248a ab b a b a b ab a b ab ab ++=+-+=-+=--+?? ??

?． 因为2

2

21ab a b ≤+=，所以1122ab -≤≤，从而311

444ab -≤-≤，故2

190416ab ≤-≤?? ??

?

因此2

19902488ab ≤--+≤?? ??

?，即44908a ab b ≤++≤．

例3 设12345x x x x x ≤≤≤≤，则

2345

1345

1245

1235

1234

45

45

45

5

4

45

45

131

1

1

1

1

1

1

1

1

1

=

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =

+++

+

+

+

≤

+

+

+

+

于是得到45453x x x x ≤--．即()()45141x x -≤-．

若41x =，则12341x x x x ====，与题设等式为554x x +=矛盾；若41x >，则514x -≤，即55x ≤，当55x =时，容易找到满足条件的数组(1，1，1，2，5)，所以5x 的最大值是5．

例4 由1234x y z x y z +-=++=???，得5234x z y z =-=-???，由520340x z y z =-≥=-≥???得2

35

4z ≤≤，则

()()323522348x y z z z z z ω=++=-+-+=，当25

z =

时，

ω有最小值165

；当34

z =

时，

ω有最大值6．

例5 提示：显然运送次数越少，所行驶的路程越短，所需邮费越少，因此，18根电线杆运送5次行驶路程较短，这5次有两种运送方法：（1）四次个4根，一次2根；（2）三次各4根，二次各3根．

（1）考虑先送2根，后送4根；先送4根，后送2根．

①先送2根，再送4根，二次共走行驶：

()()10001002110040025200+?++?=米；

②先送4根，再送2根，二次共行驶：

()()10003002130020025600+?++?=米；

（2）两次各送3根时，所行路程为

()()10002002120030025400+?++?=米.

故先送2根所行驶路程最短，最短总行程为：

()()()()()100010021100400215004002

19004002230040019000+?++?++?++?++=米

故所用最少油费为19000100019mn mn ÷=元

例6 如图所示，在△ABC 中，∠C =90°，BC =5，AB =13.点P 到BC ，CA ，AB 的距离分别为123,,d d d ，连接P A ，PB ， PC ，由三角形的面积公式知：

1231111

512135122222

d d d ?+?+?=??. 即 1235121360d d d ++=.

显然有()()12312312355121313d d d d d d d d d ++≤++≤++. 故

()12360

1213

d d d ≤++≤. 当230d d ==时，有12312d d d ++=，即123d d d ++取最大值时，P 与A 重合；当

120d d ==时，有12360

13

d d d +++=

，即123d d d ++取最小值时，P 与C 重合.

A 级 1.27 原式=(

)()

2

222

327a b c a b c ++-++≤

2.6

3.15° 提示：()()()39023266

A A

B B

C αααα?

-+-+-++=≤

()

27090156

6

A B C ???-++=

== 4. 122c a -<

<- 提示：,b a c a c b =----<，∴2,2c a c a

>->-，又把b a c =--代入b c >中，得a c c --<，∴

12c a <-.故1

22

c a -<<-. 5.D 6.B 7.A 8.B 9.设

123

234

x y z k ---===，则21,32,43x k y k z k =+=-+=+. ∴,,x y z 均为非负实数. ∴210

3204k+30

k k +≥??

-+≥??≥?

，解得：1223k -≤≤.

故()()()3453214325431426x y z k k k k ω=++=++-+++=+. ∴1214261426142623k -

?+≤+≤?+，即119353

ω≤≤， 所以ω的最小值是19，最大值是1

353

.

10.20套. 1800元.提示：设生产L 型号的童装套数为x ，则生产M 型号的童装为()50x -套，所得利润()453050151500S x x x =+-=+.

由()()0.50.95038

0.25026

x x x x +-≤???

+-≤??

得17.520x ≤≤，18,19,20x =.

11.最小表面积的打包方式为2×3.最小表面积为179522

mm ，图略. B 级 1.27 当2,25b a ==时，a b +的值最大. 2.102 提示：()1998,19980m n n n =--≥.

3.1157 提示：5864,,8525

b b b a

c

d =

==. 4.B ，D ，E 93.62百元

5.13800元 提示：设由甲库调运x 吨粮食到B 市，总运费为y 元，则

()()()()

56600680096002138000600y x x x x x x =+-+-++=+≤≤

6.C 提示：

a b c d

a b c d a b c d a b c d a b c d

+++<++++++++++++

a b c d M a b a b c d c d

<

+++++++. 故12M <<.

7.B 提示：设AOD S x ?=，则36

BOC S x

?=.故36131325S x x x x =++≥+=四边形ABCD . 8.（1）()2

222122002122002220122a a a a a a m m +++=++

++=+.

()2

12200220122

a a a m +++-=

.

当1220021a a a ====或1-时，m 取最大值2003001.当122002,,,a a a 中恰有1001

个1，1001个1-时，m 取最小值1001-.

（2）因为大于2002的最小完全平方数为2

452025=，且122002a a a +++必为偶数，所

以

12200246a a a +++=或46-；即122002,,,a a a 中恰有1024个1，978个1-或1024

个1-，978个1时，m 取得最小值

()21

462002572

-=. 9.由条件得：2005222221211200620050,44,,44a a a a a a a ==++=++，

以上各式相加，得

()212200520064420050a a a a ++++?=≥，故1220052005a a a ++

+≥-.由已知

122005,,

,a a a 都是偶数，因此1220052004a a a +++≥-.另一方面，当

1320050a a a ====，2420042a a a ====-时，符合条件，且使上式等号成立，

故所求的最小值是2004-.

10.仓库地址应选在C 处，假定仓库另选一地O ，设,,,,AB c BC a CA b AO x ====

BO y CO z ==，（单位：千米），又假定A 厂产量为2m ，B 厂产量为3m ，C 厂产量为5m ，

（单位：吨）.仓库在O 处的总运费可表示为235mx my mz ++；仓库在C 处的

总运费可表示为2mb ＋3ma ．

由于x ＋z ≥b ，y ＋z ≥a ，因此2mx ＋2mz ≥2mb ，3my ＋3mz ≥3ma ，两式相加得2mx ＋3my ＋5mz ≥2mb ＋3ma ，当且仅当O 与C 重合时等号成立，所以公用仓库选在C 处总运费最省．

11．设巡逻车行到途中B 处用了x 天，从B 到最远处用y 天，则有2[3(x ＋y )＋2x ]＝14×5，即5x ＋3y ＝35．又由题意知，x ＞0，y ＞0，且14×5－(5＋2)x ≤14×3，即x ≥4，从而问题的本

质即是在约束条件5335,

40x y x y +=??

≥??>?

， 下，求y 的最大值，显然y ＝5，这样200×(4＋5)＝1800

千米，即为其他三辆车可行进的最远距离．