对数及其运算
《对数及其运算》教学设计
（第一课时）
三原县南郊中学贺立新713800 课题对数课型新授课
教材分析
教材中的地位：本节课是北师大版高中数学必修①第三章《指数函数对数函数》中的内容。学生已经掌握了指数概念、指数运算性质和指数函数，从而具备学习对数的条件，而对数的概念这节课又是学生继续学习对数运算性质以及对数函数的基础，也就是对数函数的入门.对数函数对于学生来说是一个全新的函数模型，它是在指数函数的基础上，对函数类型的拓广，同时在解决一些日常生活问题及科研中起十分重要的作用.因此可以说这节课具有承上启下的作用。同时，通过对数概念的学习，对培养学生对立统一，相互联系、相互转化的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义.
本小节内容包括对数的定义、对数式与指数式的互化、对数的运算性质。这节课是其中的第一课，目的是使学生理解对数的概念，能够进行对数式与指数式的互化，在此基础上理解对数的4个基本性质。这一课的重点是：对数的定义以及对数式与指数式的互化，而难点是：对数概念的理解。
三维目标：1．通过了解对数的产生需要，激发学生学习数学的兴趣和欲望。
2．理解对数的概念，了解对数与指数的关系。
3．能够进行对数式与指数式的互化。
3、通过学生分组探究进行活动，掌握对数的重要性质。通过做练习，使学生感受
到理论与实践的统一.
4、培养学生的类比、分析、归纳能力，严谨的思维品质以及在学习过程中培养学
生探究的意识。
教学方法与
学法指导教法：采用启发式教学。由熟知到未知，由特殊到一般，一步步引领学生认识新知。
启发学生从指数运算的需求中，提出本节的研究对象——对数，从而由指数式与对数式的关系认识对数。
学法：明确对数运算是指数运算的一种逆运算，对数的定义是对数式和指数式互化的依据，而对数式和指数式互化又是解决问题的重要手段，因此要熟练掌握，并在互化过程中进一步理解对数定义。
教学过程：
一、创设情境，导入新课：
1．我们知道：328
=。要求学生表述其中每个量即2，3，8的数学名称。进而设问：
（1）若38
a=，如何求a ？
（这是学生的“最近发展区”，所有的学生都能准确作答。目的在于通过熟知概念引出新概念，使学生理解新概念的形成过程。叫一名平时数学较差的学生回答，教师及时给以鼓励并总结：这是已知指数和幂值，求底数，可以用开方，开方是指数运算的一种逆运算。）
（2）若28b =，如何求b ？
（学生会不假思索的回答3b =。这答案太显然了，趁学生不以为然时顺势提问：那么25b =时，?b = 此时学生顿时觉得一个很不起眼的算式却难住了他，从而激发他们的学习兴趣。教师及时阐明：在28b =中，b 的取值特殊，而在25b
=中，b 的值不特殊，但要把b 求出来，这是已知底数和幂值，求对应的指数．．．．．
，这就是今天要学习的对数问题，它是指数运算的另一种逆运算。从而使学生初步体会到学习对数是处理指数运算的需求，使学生的学习过程成为积极主动的“我要学”。）
2．假设 2008年我国国民经济生产总值为a 亿元,如果按平均每年增长8.2% 估算，那么经过
1年（即2009年）国民经济生产总值是多少？经过2年呢？经过多少年国民经济生产总值是2008年的2倍？
（ 留一点时间让学生观察、感知，照顾基础比较薄弱的学生，使他们通过具体两年的产值计算方法、变化规律，也能类比归纳出x 年后的产值计算公式。）
设经过x 年，国民经济生产总值是2008年的2倍，依题意，得 (18.2%)2,x a a += 即1.0822x =。
可见，在实际生产、生活乃至科研过程中，也会遇到已知底数和幂值，求对应指数．．．．
的问题。使学生初步感到学习对数不但是数学运算的需要，也是生产规划、从事科研的需要。
二、讲授新课：
1．对数定义提炼归纳：
（1） 直观感知。像上述28b =，就说数b 是以2为底8的对数；在25b
=中，就说数b 是以2为底5的对数；在1.0822x =中，就说数x 是以1.082为底2的对数。
（2） 抽象归纳。一般地，应如何定义对数呢？先由学生尝试表述，经过反复补充、修
正后，给出对数的严格定义：
一般地，若(01)b a N a a =>≠且，那么，数b 叫作以a 为底N 的对数，记作
log N a b =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
例如：因为328=，所以以2为底8的对数是3，记作82log 3=。
因为2100.01-=，所以以10为底0.01的对数是-2，记作0.0110log 2=-。
若1.0822x
=，则以1.082为底2的对数是x ，记作21.082log x =。 （由于对数概念比较抽象，为了降低难度，对底数0,a >且1a ≠的原因讨论留作课后思考，从而使学生能集中精力理解对数定义。后面的几条性质也多次强调0,a >且1a ≠的条件限制，可先引导学生借助已有指数函数的知识作初步理解）
（3）新符号的认识。对数的英文单词：logarithm ，取了前三个字母log ，它代表一种运算，
正如“”代表开平方运算，“| |”代表求绝对值运算，“ ，
”代表集合运算，那么，以后见到“log N a ”就代表是对数运算。
（通过类比，使学生尽快熟悉、接纳新知识、新符号，以提高学生的数学思维能力）
【百度搜索】对数的发现： https://www.360docs.net/doc/f211129589.html,/view/d7025bda50e2524de5187e18.html
例1将下列指数式改写成对数式。
43
3116252100331627-====42（） 5 （）10 （） （4）8 （对数源于指数，先通过例1使学生初步掌握由定义把指数式化为对数式的方法，初步认识指数式与对数式的关系，再通过例2指导学生归纳完善指数式与对数式的关系。） 例2将下列对数式改写成指数式。
3112
311log 24352log 16434log 4.227m ==-==1
3（） （） （3）log （） 2．归纳指数式b a N =和对数式log 0,1N a b a a =>≠（）
中,,a b N 的关系：
（让学生了解对数与指数的关系，明确对数式与指数式形式的区别，理解a 、b 和N 在指数式中的意义、限制，为以后对数函数定义域的确定作准备.
3．对数的基本性质探索归纳。
探究活动1：将下列指数式改写成对数式 021,= 0101=，01
()13=，0
5
()14=，00.31=，02.51= 思考：你发现了什么？ 据此归纳猜想出一般结论。
由01(0,1)a a a =>≠， 得1log 0a =，“1”的对数等于零。
探究活动2：将下列指数式改写成对数式
122,= 11010=，11
1()33=，155()44
=，10.30.3=，12.5 2.5= 思考：你发现了什么？ 据此归纳猜想出一般结论。 由1
(0,1)a a a a =>≠，得log 1a a =，底数的对数等于“1”。
探究活动3：求下列各式的值： 2log 32= ，105log 5= ，20.3log 0.3= ，2
log0.50.5= 。
思考:你发现了什么?
b a N = log N a
b = 幂 指数
对数 真数 底 数
对数恒等式: log N a a N =。你能证明这个等式吗？
对数恒等式: log n a a n =
探究活动5： 零和负数:为什么没有对数？据此你知道对数式中的N 的取值有什么要求吗？
（由对数的定义知，0a >且1a ≠时，由指数函数的性质可知，对任意实数b ，0
b a >恒成立，即N 永远是正数。）
思考：在代数式 (2)3log x + 中，x 的取值范围是 。
4．两种特殊的对数：
(1) 常用对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数，N 的常用对数10log N 简记作lg N 。 例如：510log 简记作lg 5；8.510log 简记作lg8.5。并让学生练习几个以熟悉符号。
(2)自然对数：e 在科学技术中是一个重要的常数，（1lim(1)n
n e n →∞=+，我们以后会学习它，用以激发学生的学习兴趣）它是一个无理数，类似于π，其近似值为2.71828。以e 为底的对数称为自然对数。N 的自然对数log N e 简记作ln N 。5log e 简记作ln 5；8.5log e 简记作ln 8.5。也让学生练习几个以熟悉符号。
（注意两个重要对数的专用符号，为以后的解题以及换底公式做准备.）
例3 求下列各式的值：
105(1)log 252 2.53log 2.5 （）lg1000 （3）3 （4）ln1 （5）log
三、课堂练习： 第81页：1，2，3。 （巡视学生完成情况，做好个别点评）
四、课堂小结：
1．理解对数的定义； 2．掌握对数式与指数式的互化方法；
3．理解对数的4条基本性质； 4．了解两种特殊的对数。
五、课后作业及思考：
作业：88P ： 1，2，3（1）
（2）（3） 思考：1．指数运算有性质，那对数运算会有什么性质？
2．在对数定义中，为什么规定0,1a a >≠？
【百度搜索】研究性作业：对数发明 https://www.360docs.net/doc/f211129589.html,/view/4df16e946bec0975f465e2b0.html
对数与天文学： https://www.360docs.net/doc/f211129589.html,/view/987035.htm
教学反思：“探索是教学的生命线”，本节教案设计体现以学生为本的思想，遵循学生探究活动4：求下列各式的值: 43log 3= 50.3log 0.3= 8ln e =
思考:你发现了什么?
的认知规律，由特殊到一般，由具体到抽象，让学生自主探索，通过归纳推理，得出相关的结论，激发了学生学习数学的兴趣和欲望，培养了他们的创新意识。为突出重点，分散难点，两种特殊对数本节课只让学生理解符号含义，随着学习的深入再进一步掌握。对于底数>≠的规定作为思考题留给学生在课后思考，既使学生有较充分的思考时间，又可a a
0,1
以避免给对数概念的理解再增加难度。由于对数的定义是重点，所以教学中通过讲练结合，紧紧围绕指数式、对数式的联系，掌握二者的互化及基本性质的得出，并通过互化使学生进一步明确指数与对数之间的关系，进而加深理解对数的概念，顺利地完成本节课的目标任务。
指数对数概念及运算公式
指数函数及对数函数重难点 根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根.即，若 a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作 )0(>±a a n . ②性质：1）a a n n =)(； 2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，???<-≥==) 0() 0(||a a a a a a n 幂的有关概念： ①规定：1）∈???=n a a a a n (ΛN * ， 2）)0(10 ≠=a a ， n 个 3）∈=-p a a p p (1 Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）， 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）， 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ） （注）上述性质对r 、∈s R 均适用. 例 求值 （1） 3 28 （2）2 125 - （3）()5 21- （4）() 43 8116- 例.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数) (1)43a a ? （２）a a a （３）32 )(b a - （４）43 )(b a + （５）32 2b a ab + （6）42 33 )(b a + 例.化简求值
（1）0 121 32322510002.08 27）（）（）（）（-+--+---- （2）2 11 5 3125.05 25 .231 1.0)32(256) 027.0(?? ????+-+-????? ?-- （3）=?÷ ?--3133 73 32 9a a a a （4）21 1511336622263a b a b a b ??????-÷- ??? ??????? = （5 ）= 指数函数的定义： ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数， 1）函数的定义域为R ， 2）函数的值域为),0(+∞， 3）当10<a 时函数为增函数. 提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？ （1）2 2 x y += （2）(2)x y =- （3）2x y =- （4）x y π= （5）2y x = （6）2 4y x = （7）x y x = （8）(1)x y a =- （a ＞1，且2a ≠） 例：比较下列各题中的个值的大小 （1）1.72.5 与 1.7 3 ( 2 )0.1 0.8 -与0.2 0.8 - ( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1 例：已知指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求 (0),(1),(3)f f f -的值. 思考：已知0.7 0.9 0.8 0.8,0.8, 1.2,a b c ===按大小顺序排列,,a b c . 例 如图为指数函数x x x x d y c y b y a y ====)4(,)3(,)2(,)1(，则 d c b a ,,,与1的大小关系为
3.2对数概念及运算性质(教师)
创一教育学科教师辅导讲义
1．若2x ＝16，(13 )x ＝9，x 的值分别为多少？ 【提示】 4，－2 2．若2x ＝3，(13 )x ＝2，你现在还能求得x 吗？ 【提示】 不能． 1．对数 一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b ＝N ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 2．常用对数 通常以10为底的对数称为常用对数，为了方便起见，对数log 10N ，简记为lg N . 3．自然对数 以e 为底的对数称为自然对数．其中e ＝2.718 28…是一个无理数，正数N 的自然对数log e N 一般简记为ln N . 一、指数式与对数式的互化 例1、 (1)将下列指数式化为对数式： ①3－3＝127；②843＝16；③5a ＝15. (2)将下列对数式化为指数式： ①log 3243＝5；②log 13127＝3；③lg 0.1＝－1. 【思路探究】 根据对数的定义a b ＝N (a >0，且a ≠1)?log a N ＝b (a >0且a ≠1)进行互化，要分清各字母分别在指数式和对数式中的位置． 【自主解答】 (1)①由3－3＝127，得log 3127＝－3. ②由843＝16，得log 816＝43. ③由5a ＝15得，log 515＝a . (2)①由log 3243＝5得35＝243. ②由log 13127＝3得(13)3＝127. ③由lg 0.1＝－1得10－1＝0.1.
1．并非所有指数式都可以直接化为对数式，如(－3)2＝9就不能直接写成log (－3)9＝2，只有a >0，a ≠1，N >0时，才有a x ＝N ?x ＝log a N . 2．对数式log a N ＝b 是由指数式a b ＝N 变化得来的，两式底数相同，对数式中的真数N 就是指数式中的幂的值，而对数值b 是指数式中的幂指数，对数式与指数式的关系如图： 下列指数式与对数式互化正确的一组是________． ①(－2)2＝4与log (－2)4＝2； ②8－13＝12与log 812＝－3； ③lg 5＝0.7与e 0.7＝5； ④log 77＝1与71＝7. 【解析】 ①错误，因为log (－2)4没有意义，在转化时应先化简再互化；②错误，将8－13＝12化成 对数式为log 812＝－13；③错误，将lg 5＝0.7化成指数式为100.7＝5；④正确．【答案】 ④ 二、求对数的值 计算下列各式的值： (1)lg 0.001；(2)log 48；(3)ln e. 【思路探究】 对数式化为指数式→化为同底的幂→列方程→结论 【自主解答】 (1)设lg 0.001＝x ，则10x ＝0.001，即10x ＝10－3 解得x ＝－3，所以lg 0.001＝－3. (2)设log 48＝x 则4x ＝8，即22x ＝23， 解得x ＝32，所以log 48＝32. (3)设ln e ＝x ，则e x ＝e ，即e x ＝e 12， 解得x ＝12，所以ln e ＝12 . 1．对数式的求值问题，一般是转化成指数式，解指数方程． 2．在b ＝log a N 中有三个量a ，b ，N ，知二求一的关键是实现对数式与指数式的互化． 求下列各式的值．
对数及其运算的练习题(附答案)
姓名_______ § 对数与对数运算 一、课前准备 1,。对数： 定义：如果a N a a b =>≠()01且，那么数b 就叫做以a 为底的对数，记作b N a =l o g （a 是底数，N 是真数，lo g a N 是对数式。） 由于N a b =>0故lo g a N 中N 必须大于0。 2.对数的运算性质及换底公式. 如果 a > 0，a 1，b>0,M > 0， N > 0 ，则:（1）log ()a MN = ； （2）n m m n b a = log （3）log a M N = ；（4） log n a M = . （5） b a b a =log 换底公式log a b = . （6） b a b a =log （7）b a b a n n log 1log = 考点一： 对数定义的应用 】 例1：求下列各式中的x 的值； （1）23log 27=x ； （2）32log 2-=x ； （3）91 27log =x （4）162 1log =x 例2：求下列各式中x 的取值范围； （1）)10(2 log -x （2）22) x ) 1(log +-（x （3）2 1)-x ) 1(log （+x 例3：将下列对数式化为指数式（或把指数式化为对数式） （1）3log 3 =x （2）6log 64 -=x （3）9 132-= （4）1641=x ）（ | 考点二 对数的运算性质 1.定义在R 上的函数f(x ）满足f(x)=???>---≤-) 0(),2()1(log ) 0(),4(2x x f x f x x ，则f(3)的值为__________ 2.计算下列各式的值： （1）245lg 8lg 3 4 4932lg 21+- （2） 8.1lg 10lg 3lg 2lg -+ 3.已知)lg(y x ++)32lg(y x +-lg3=lg4+lgx+lgy,求x:y 的值 · 4.计算： （1）)log log log 5 825 41252++（)log log log 8 1254 252 5++（ （2） 3 4 7 3 1 59725log log log log ??+) 5353( 2log --+ （3）求0.32 52log ?? 的值 （4）：已知 2log 3 = a ， 3log 7 = b ，用 a ，b 表示42log 56. 随堂练习：
对数与对数运算2
对数与对数运算（二） 自主学案 学习目标 1、 掌握对数的运算性质及其推导。 2、 能运用对数运算性质进行化简、求值和证明。 自学导引 1、 对数的运算性质：如果0,0,1,0>>≠>N M a a ，那么 （1）()=MN a log _________________； （2）=N M a log ____________________； （3）=n a M log ____________________()R n ∈. 2、对数换底公式：___________________________________________。 对点讲练 知识点一 正确理解对数运算性质 例1 若y x y x a a >>>≠>,0,0,1,0，下列式子中正确的个数有（ ） ①()y x y x a a a +=?log log log ②()y x y x a a a -=-log log log ③y x y x a a a log log log ÷= ④()y x xy a a a log log log ?= A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 规律方法 正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件，使用运算性质时，应牢记公式的形式是公式成立的条件。 变式迁移1 （1）若*,0,1,0N n x a a ∈>≠>，则下列各式正确的是（ ） A ．x x a a 1log log -= B ．()x n x a n a log log = C ．()n a n a x x log log = D ．x x a a 1log log = （2）对于0>a 且1≠a ，下列说法正确的是（ ） ①若N M =，则N M a a log log = ②若N M N M a a ==则,log log ③若N M N M a a ==则,log log 22 ④若22log log .N M N M a a ==则 A ．①③ B ．②④ C ．② D ．①②③④ 知识点二 对数运算性质的应用 例2 计算： （1）8.1log 7log 37log 235log 555 5-+- （2）()()12lg 2lg 5lg 2lg 2lg 222+-+?+
对数及其运算基础知识及例题
对数及其运算基础知识及例题 1、定义： 2、性质： ~ 3、对数的运算性质： 4、换底公式： 5、对数的其他运算性质 ! 6、常用对数和自然对数： 【典型例题】 类型一、对数的概念 例1.求下列各式中x 的取值范围： （1）2log (5)x -；（2）(1)log (2)x x -+；（3）2 (1)log (1)x x +-． ； 类型二、指数式与对数式互化及其应用 例2.将下列指数式与对数式互化： (1)2log 164=；(2)1 3 log 273=-；(3)3x =；(4)3 5125=；(5)1 122-=；(6)2 193-?? = ??? . 类型三、利用对数恒等式化简求值 \ 例3．求值： 71log 5 7+ 类型四、积、商、幂的对数 例4. z y x a a a log ,log ,log 用表示下列各式 \
235 3 (1)log ; (2)log (); (3)log ; (4)log a a a a x y xy x x y z z 例5.已知18log 9,185b a ==，求36log 45． : 类型六、对数运算法则的应用 例6.求值 (1) 9 1log 81log 251log 32log 532 64??? . (2) 7 lg142lg lg 7lg183 -+- (3))36log 4 3 log 32(log log 42 1 22++ (4)()248125255log 125log 25log 5(log 8log 4log 2)++++ — 对数及其运算练习题 一、选择题 1、 2 5)(log 5 a -（a ≠0）化简得结果是（ ） ~
3.2.1 对数及其运算
张喜林制 3.2.1 对数及其运算 教材知识检索 考点知识清单 1．对数的概念 (1) -般地，如果),10(=/>=a a N a x 且那么 的对数，记作 ，其中a 叫做 ，N 叫 做 (2)由对数的定义可知：=y a a log (3)对数N a log （a>0且a ≠1）的性质：①零和负数 ，即N .=1log a ② . =a a log ③ . (4)特殊对数：以10为底的对数叫做____ ，记作 ，以e 为底的对数叫做 ，记作____． 2．对数的运算性质 如果a>0且,0,0,1>>=/N M a 则有： =?)(log )1(N M a =N M a log )2( =n a M log )3( 3．对数的换底公式 =N b log =m a b n log ; =/=/>>b a b a ,1,0,0()0,1=/n 要点核心解读 1．理解对数的概念，掌握指数式与对数式的互化 理解对数的概念要把握以下几点： (1)当a>0且1=/a 时，,0>b α这时指数式N a b =才可以写成对数式.log N b a =因此，对数的底数 要大于零且不等于l ，真数要大于零，即使N n log 有意义的条件是底数a >0且,1=/a 真数N>o ．
(2)对数N a log 的意义是底数为a ，幂为N 的幂指数，因此，求N a log 的值即为已知底数a 和幂N 求指数的问题． (3)指数式N a b =和对数式a b log =N 之间等价，即?=N a b .log N b a =这既是指数式和对数式之间互化的依据，也是指数问题转化为对数问题和对数问题转化为指数问题的出发点． 对数恒等式)0,1,0(>=/>=N a a N a N kg a 是由对数的概念直接得到的，但在应用时容易出现错误，要注意当幂的底数和对数的底数相同时才可以运用对数恒等式，同学们在应用时就往往不注意这一点，出现如,,5255log =这类错误． 2．掌握对数的运算性质及其应用 对数的运算性质有三方面，在前面我们已经给出，它是我们对一个对数式进行运算、变形的主要依据．要掌握它们需注意如下几点：第一，要会推导，要求每一条运算性质都要会证明，通过推导加深对对数概念的理解和对数运算性质的理解，掌握对数运算性质中三个公式的特征，以防止乱造公式，例如：式子=±)(log N M a ,log log log ,log log )(log ,log log N M N M N M N M N M a a a a a a a a =?=?± n a n a M M )(log log =都是错误的；第二，要注意对数运算性质成立的条件，也就是要把握各个字母的取值范围：,0,1,0>=/>M a a .0>N 例如，)]3)(2[(log 2--是存在的，但)2(log 2-和)3(log 2-却都不存在，因此不能得出=-?-)]3()2[(log 2),3(log )2(log 22-+-再如，2)10lg(-是存在的，但是)10lg(-却没有意义，因此不能得出);10lg(2)10lg(2-=-第三，由于对数的运算性质是三个公式，因此在应用时我们不仅要掌握公式的“正用”，还要掌握公式的“逆用”． 3．注意几个恒等式及其应用 恒等式：,log N a N a =换底公式,log log log b N N a a b =及=n a b m log ?=a b b m n b a a log 1log ,log 这几个公式在解题过程中应注意灵活运用． 典例分类剖析 考点1对数的基本运算 [例1](1)求下列各式中的x ． ;2327log =x ① ;32log 2-=x ② ;2)223(log -=+x ③ .16log 2 1=x ④ (2)求下列各式的值．
《对数及其运算》教学设计
《对数及其运算》教学设计 【教学目标】 一、知识与能力： 1．理解对数的概念及对数的性质。 2．熟练的掌握对数式与指数式的相互转化。 二、过程和方法： 1．由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、类比等手段，寻求对数式和指数式之间的关系。 2．培养学生自主、合作、探究的能力，通过讲练结合法与多媒体辅助教学法向学生渗透对比、类比的数学思想方法。 三、情感态度与价值观： 1．培养学生积极主动参与的意识，使学生形成自主学习、合作学习的良好的学习习惯。 2．体会事物之间互相转化的辨证思想。 【教学重点、难点】 1.重点：对数的概念及对数式与指数式的相互转化。 2.难点：对数概念的理解。 【学情分析】 由于前面几堂课我们学习了指数函数的相关性质，今天的内容通过相关的引导与练习，可以以找规律的形式带动学生的积极性，掌握本堂课的知识。 【教学手段】 多媒体教学辅助法 【教学时数】 一课时 【教学过程】
一、发散思维，导入新课 1、提出问题： 2000年我国国民经济生产总值为a亿元，如果按平均每年增长8.2%估算，那么经过多少年国民经济生产总值是2000年的2倍。 假设经过x年，国民经济生产总值是2000年的2倍，依题意，有 2.8 +, 1(= %) a a x2 x. 即2 .1= 082 指数x取何值时满足这个等式呢？ 2、对数起源： 约翰·纳皮尔John Napier（1550～1617），苏格兰数学家、神学家，对数的发明者。Napier出身贵族，于1550年在苏格兰爱丁堡附近的小镇梅奇斯顿（MerchistonCastle,Edinburgh,Scotland）出生，是Merchiston城堡的第八代地主，未曾有过正式的职业。 年轻时正值欧洲掀起宗教革命，他行旅其间，颇有感触。苏格兰转向新教，他也成了写文章攻击旧教（天主教）的急先锋（主要文章于1593年写成）。其时传出天主教的西班牙要派无敌舰队来攻打，Napier就研究兵器（包括拏炮、装甲马车、潜水艇等）准备与其拚命。虽然Napier的兵器还没制成，英国已把无敌舰队击垮，他还是成了英雄人物。 他一生研究数学，以发明对数运算而著称。那时候天文学家Tycho Brahe （第谷，1546～1601）等人做了很多的观察，需要很多的计算，而且要算几个数的连乘，因此苦不堪言。1594年，他为了寻求一种球面三角计算的简便方法，运用了独特的方法构造出对数方法。这让他在数学史上被重重地记上一笔，然而完成此对数却整整花了他20年的工夫。1614年6月在爱丁堡出版的第一本对数专著《奇妙的对数表的描述》（"Mirificilogarithmorum canonis descriptio"）中阐明了对数原理，后人称为纳皮尔对数：Nap logX。1616年Briggs（亨利·布里格斯，1561 - 1630）去拜访纳皮尔，建议将对数改良一下以十为基底的对数表最为方便，这也就是后来常用的对数了。可惜纳皮尔隔年于1617年春天去世，后来就由Briggs以毕生精力继承纳皮尔的未竟事业，以10为底列出一个很详细的对数表。并且于1619年发表了《奇妙对数规则的结构》，于书中详细阐述了对数计算和造对表的方法。 说明：通过介绍对数产生的历史背景与概念的形成过程，体会引入对数的必要性。激发学生学习对数的兴趣，培养对数学习的科学研究精神。 二、激发兴趣，自主学习 1．对数的概念:
对数及其运算
4.1对数及其运算(教案) 江西省石城中学伊达东 一. 教学目标 1. 知识与技能 (1)理解对数的概念； (2)能熟练的进行对数式与指数式的互化： (3)能利用科学计算器进行数值分析，掌握对数的运算性质. 2. 过程与方法 经历由指数得到对数的过程，并引出对数运算性质的研究，在这个过程中进行猜想，得出规律，再进行证明. 3. 情感态度价值观 确立和增强成就意识且有正确的成就动机 二. 教学重点与难点 1. 重点：对数的概念，对数的运算性质及简单运用. 2. 难点: (1) 对数符号的理解；(2) 正确使用对数运算性质. 三. 学法与教法 1. 学法：探究交流、讲练结合. 2. 教法：讲授法、讨论法. 四. 教材分析 1. 教材以国民经济生产总值增长的实际问题引入，1.0822 x ,这是已知底数和幂的值，求指数的问题，因而要引入一种新的运算，即对数，从而引出本节的对数问题. 2. 对数的运算性质是本小节的重点之一，教材中“对数运算性质”的处理，是通过引导学生用科学计算器分析教材中给出的一系列数据中的等量关系，总结猜想出规律，再进行证明，并把在学习过程中，由于对公式辨认不清而常发生的错误，作为思考题让学生交流，这样处理，是为了让学生经历数学发现的过程. 五. 教学过程 (一) 创设情景 通过图片(从赣一中走出的快乐女生5强选手杨洋荣归母校，感恩母校)引出： 杨洋是一位非常受欢迎的歌手，她以柔美的声音和高贵的气质得到无数观众的肯定，在60强时的网上支持者就高达80000人，并以平均每日15%的速度递增. 问： (1) 10天后支持者为多少？ (2) 多少天后杨洋的支持者将变为60强时的10倍？ 得到： x 1.15=10如何求X？ 象上面的式子，已知底数和幂的值，求指数的问题，现实生活中许多问题都需要求指数：如国民经济增长、放射性物质的衰变等等，因而要引入一种新的运算，这就是我们这节课要学习的内容：对数及其运算. 设计意图：(1) 引用学生身边的例子，使学生更有兴趣； (2) 让学生体会对数形成的过程； (3) 德育教育——励志感恩. (二) 新课探析 1. 对数的概念
对数及其运算基础知识及例题
对数及其运算基础知识及例题 1、定义： 2、性质： 3、对数的运算性质： 4、换底公式： 5、对数的其他运算性质 6、常用对数和自然对数： 【典型例题】 类型一、对数的概念 例1.求下列各式中x 的取值范围： （1）2log (5)x -；（2）(1)log (2)x x -+；（3）2(1)log (1)x x +-． 类型二、指数式与对数式互化及其应用 例2.将下列指数式与对数式互化： (1)2log 164=；(2)1 3log 273=-；(3)3x =；(4)35125=；(5)1122-=；(6)2 193-??= ???. 类型三、利用对数恒等式化简求值 例3．求值： 71log 57+ 类型四、积、商、幂的对数 例4. z y x a a a log ,log ,log 用表示下列各式 35(1)log ;(2)log ();(3)log (4)log a a a a xy x y z
例5.已知18log 9,185b a ==，求36log 45． 类型六、对数运算法则的应用 例6.求值 (1) 91log 81log 251log 32log 532 64??? (2) 7lg142lg lg 7lg183-+- (3))36log 4 3log 32(log log 421 22++ (4)()248125255log 125log 25log 5(log 8log 4log 2)++++ 对数及其运算练习题 一、选择题 1、 2 5)(log 5a -（a ≠0）化简得结果是（ ） A 、－a B 、a 2 C 、｜a ｜ D 、a 2、 log 7［log 3（log 2x ）］＝0，则21 -x 等于（ ） A 、31 B 、321 C 、221 D 、331 3、 n n ++1log （n n －＋1）等于（ ） A 、1 B 、－1 C 、2 D 、－2 4、 已知32a =，那么33log 82log 6-用表示是（ ）
对数及其运算的练习题(附答案)
精选 姓名_______ §2.2.1 对数与对数运算 一、课前准备 1,。对数： 定义：如果a N a a b =>≠()01且，那么数b 就叫做以a 为底的对数，记作b N a =l o g （a 是底数，N 是真数，lo g a N 是对数式。） 由于N a b =>0故lo g a N 中N 必须大于0。 2.对数的运算性质及换底公式. 如果 a > 0，a ≠ 1，b>0,M > 0， N > 0 ，则:（1）log ()a MN = ； （2）n m m n b a = log （3）log a M N = ；（4） log n a M = . （5） b a b a =log 换底公式log a b = . （6） b a b a =log （7）b a b a n n log 1log = 考点一： 对数定义的应用 例1：求下列各式中的x 的值； （1）23log 27=x ； （2）32log 2-=x ； （3）91 27log =x （4）162 1log =x 例2：求下列各式中x 的取值范围； （1）)10(2 log -x （2）22) x ) 1(log +-（x （3）2 1)-x ) 1(log （+x 例3：将下列对数式化为指数式（或把指数式化为对数式） （1）3log 3 =x （2）6log 64 -=x （3）9 132-= （4）1641=x ）（ 考点二 对数的运算性质 1.定义在R 上的函数f(x ）满足f(x)=???>---≤-) 0(),2()1(log ) 0(),4(2x x f x f x x ，则f(3)的值为__________ 2.计算下列各式的值： （1）245lg 8lg 3 4 4932lg 21+- （2） 8.1lg 10lg 3lg 2lg -+ 3.已知)lg(y x ++)32lg(y x +-lg3=lg4+lgx+lgy,求x:y 的值 4.计算： （1）)log log log 5 825 41252++（)log log log 8 1254 252 5++（ （2） 3 4 7 3 1 59725log log log log ??+) 5353( 2log --+
对数及其运算2
对数及其运算（2） 编制人：李同顺 赵迎春 邹波 审核人： 领导签字： 【使 1、课前预习课本P 98- P 101，并完成预习学案的问题导学及例题； 2、认真限时完成，规范书写；课上小组合作探讨，答疑解惑。 【重点难点】重点：对数运算法则的理解和运用；难点：积、商、幂对数的证明以及换底公式的推导 一、学习目标 1.准确理解对数的运算性质以及换底公式，提高对数运算能力； 2.通过自主学习、合作探究，掌握对数运算的规律和方法； 3.以极度的热情投入到课堂学习中去，体会数学由特殊到一般的思想。 二、问题导学： 思考1：已知53log ,,5log ,3log 222?==表示化，用根据指数式、对数式互q p q p . 思考 2：已知l o g ,l o g a a M p N q ==你能仿照上例用p,q 表示l o g l o g l o g a a a M M N M N α （），，吗？ 1. 通过以上思考总结出对数运算法则： 【实战体验】：计算 ：l = ；lg 2lg 5+= ； ()3 5 2l g 42 o ?= ； 思考3：若M=N>0,则成立吗？且)1a 0(log log ≠>=a N M a a 思考4：的值？怎样求若5log ,6990.05lg ,4771.03lg 3== 提示：设x =5log 3，根据指、对数式互化 2.根据思考4的求解过程，证明：a b b c c a log log log = 。 【实战体验】：1.27log 81= ；2.log log a b b a ?= ； 3.自然对数概念：__________________________ 其中e ≈2.71828… 用常用对数表示：N ln = 【实战体验】：2ln e = ；ln e e = ；拓展：=N e ln ___________ 三、合作探究 例1.求下列的值 （1）551log 3log 3 + （2 ）2log ? ? ? （3）2(lg 5)lg 50lg 2+? （4）()()()495log 3log 25log 8 小结： 例2.求证：（1）z z y x y x log log log =? （2）求证：b b a n a n log log =
对数与对数运算2导学案
姓名： 组别： 班别： 得分： 第1页 高 一 数学 《2.2.1-2对数的运算》导学案 编写：熊柳芝 审核：马庆高 唐晖 编号:005 [目标展示] 1、掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算； 2、了解换底公式，能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数。 [重点难点] 重点： 1、利用对数的运算性质进行对数运算； 难点： 1、对数的运算性质的证明； 2、利用换底公式解题。 [课前预习] 1、复习指数式与对数式的互化 如果)10(≠>=a a N a x 且，那么=x 2、指数的运算性质 （1）=?n m a a （2）=÷n m a a （3）=n m a )( 3、对数的运算性质 如果10≠>a a ，，M>0，N>0，那么 （1）=?)(log N M a （2）=)(log N M a （3）=n a M log 4、换底公式 ______________________（1010≠>≠>c c a a ，且；，且） [达成目标] 1、用x a log ，y a log ，z a log 表示下列各式： （1）z xy a log ； （2）32log z y x a 2、求下列各式的值： （1）)24(log 572?； （2）5100lg ； 3、求下列各式的值： （1）8.1log 3 7 log 2-35log 555+； （2）42log 2 1 12log 487log 222 -+； （3）22)2(lg 20lg 5lg 8lg 3 2 5lg +?++ 4、利用对数的换底公式化简下列各式： （1）a c c a log log ?； （2）2log 5log 4log 3log 5432???； （3）（3l o g 3l o g 8 4 +）（2l o g 2l o g 9 3 +）. [我的疑问] 请将预习过程中未能解决的问题写在下面，准备课堂上与老师和同学们进行讨论交流解决。
对数及其运算
第3讲：对数及其运算 【复习要求】 1、理解对数的意义，会熟练地将指数式与对数式互化； 2、初步学会换底公式的基本运用； 3、掌握积、商、幂的对数性质。会用计算器求对数。 【知识要点】 1、对数的定义：如果(01)a a a >≠且的b 次幂等于N ，那么b 称为以a 为底N 的对数，记作：log a b N =，其中a 称为底数，N 称为真数。 2、指数式与对数式的互化：log b a a N N b =?=； 3、对数恒等式：N a N a =log （0,01N a a >>≠且）。 4、换底公式及衍生性质： ()1 log log log m a m N N a = (0a >,1a ≠，0m > , 1m ≠,0N >) ()2a b b a log 1log = ，()3c c b a b a log log log =?， ()4b n m b a m a n l o g l o g = 5、对数的运算性质：如果0,1,0,0a a N M >≠>>有 log ()log log a a a MN M N =+； l o g l o g l o g a a a M M N N =-； log log n a a M n M =； 1 log log n a a M M n = 【基础训练】 1、如果2 (0,1)a b b b =>≠，则有 （ D ） （A ）2log a b = （B ）2log b a = （C ）log 2a b = （D ）log 2b a = 2、若2521 log 3log 3 m = +，则有 （ B ） （A ）12m << （B ）23m << （C ）34m << （D ）45m << 3、已知：25lg m =，则lg 2= 1 12 m - （用m 表示） 4、计算：（1）2 lg 4lg 92lg 6lg 361++-+= 2 （2）2234 1222 3log (8log 16)log log +-= 60
(完整)对数与对数运算知识点及例题解析,推荐文档
对数与对数运算知识点及例题解析 1、对数的定义 ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>． 2、以10为底的对数叫做常用对数,log 10N 记作lg N . 3、以无理数e=2.718 28…为底的对数称为自然对数，logeN 记作ln N 4、对数的性质: (1)log 10, log 1a a a ==(2)对数恒等式①a log aN ＝N ；②log a a N ＝N (a >0，且a ≠1)． 5、对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N -= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ⑤log a m M n ＝n m log a M . ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a = >≠且 特殊情形：log a b ＝ 1 log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 类型一、指数式与对数式互化及其应用 例1、将下列指数式与对数式互化： （1）；(2)；(3) ；(4)；(5)；(6). 思路点拨：运用对数的定义进行互化. 解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6). 例2、求下列各式中x 的值： (1) (2) (3)lg100=x (4) 思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x. 解：(1) ； (2) ； (3)10x =100=102，于是x=2； (4)由
对数及其运算的练习题(附答案)
姓名_______ §2.2.1 对数与对数运算 一、课前准备 1,。对数： 定义：如果a N a a b =>≠()01且，那么数b 就叫做以a 为底的对数，记作b N a =l o g （a 是底数，N 是真数，lo g a N 是对数式。） 由于N a b =>0故lo g a N 中N 必须大于0。 2.对数的运算性质及换底公式. 如果 a > 0，a ≠ 1，b>0,M > 0， N > 0 ，则:（1）log ()a MN = ； （2）n m m n b a = log （3）log a M N = ；（4） log n a M = . （5） b a b a =log 换底公式log a b = . （6） b a b a =log （7）b a b a n n log 1log = 考点一： 对数定义的应用 例1：求下列各式中的x 的值； （1）23log 27=x ； （2）32log 2-=x ； （3）91 27log =x （4）162 1log =x 例2：求下列各式中x 的取值范围； （1）) 10(2 log -x （2）22) x )1(log +-（x （3）2 1)-x ) 1(log （+x 例3：将下列对数式化为指数式（或把指数式化为对数式） （1）3log 3 =x （2）6log 64 -=x （3）9 132-= （4）1641=x ）（ 考点二 对数的运算性质 1.定义在R 上的函数f(x ）满足f(x)=? ??>---≤-)0(),2()1(log ) 0(),4(2x x f x f x x ，则f(3)的值为__________ 2.计算下列各式的值： （1） 245lg 8lg 344932lg 21+- （2） 8 .1lg 10 lg 3lg 2lg -+ 3.已知)lg(y x ++)32lg(y x +-lg3=lg4+lgx+lgy,求x:y 的值 4.计算： （1）)log log log 5 825 4125 2++（)log log log 8 1254 252 5++（ （2） 3 4 7 3 1 59725log log log log ??+) 5353( 2log --+ （3 ）求0.32 log ?? 的值 （4）：已知 2log 3 = a ， 3log 7 = b ，用 a ，b 表示42log 56. 随堂练习： 1.9312 -=??? ??写成对数式，正确的是（ ） 2.=343 49log （ ） A.7 B.2 C.3 2 D. 2 3 3.成立的条件y x xy 33)(3 log log log +=（ ） A.x>0,y>0 B.x>0,y<0 C.x<0.y>0 D.R y R x ∈∈,
3.2.1对数及其运算2教案教师版
3.2.1 对数及其运算(二) 【学习要求】 1.加深对数的概念; 2.了解对数运算性质的推导过程,掌握对数的运算性质、换底公式; 3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值. 【学法指导】 通过对数运算性质的推导及对数式的运算、求值、化简,培养分析问题、解决问题的能力及数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度. 填一填：知识要点、记下疑难点 1.对数运算法则:log a (MN)＝ log a M ＋ log a N ,log a M N ＝ log a M － log a N , log a M n ＝ nlog a M . 2.log b N ＝log a N log a b 叫做换底公式,log a m b n ＝n m log a b,log a b ＝1log b a (或 log a b·log b a ＝1 ). 研一研：问题探究、课堂更高效 [问题情境]我们已经知道,实数有加、减、乘、除、乘方、开方运算,集合有交、并、补运算,指数也有三种运算,那么,对数有怎样的运算？ 探究点一 积、商、幂的对数 问题1 指数的运算法则有哪些？ 答：a m ·a n ＝a m ＋n ;a m ÷a n ＝a m －n ;(a m )n ＝a mn ;m a n ＝a n m . 问题2 你能写出指数式与对数式的互化公式吗？ 答：指数式与对数式的互化公式为:a b ＝N ?log a N ＝b. 问题3 根据对数的定义及对数与指数的关系你能解答下列问题吗？ (1)设log a 2＝m,log a 3＝n,求a m ＋n ; (2)设log a M ＝m,log a N ＝n,试利用m 、n 表示log a (MN). 解：(1)由log a 2＝m,得a m ＝2,由log a 3＝n,得a n ＝3, 所以a m ·a n ＝a m ＋n ＝2×3＝6,即a m ＋n ＝6. (2)由log a M ＝m,得a m ＝M,由log a N ＝n,得a n ＝N. 所以a m ·a n ＝a m ＋n ＝M×N, 把指数式化为对数式得:log a (MN)＝m ＋n. 小结：在问题3中的第(2)题中,我们得到log a (MN)＝m ＋n,又由log a M ＝m,log a N ＝n,进行m,n 的代换后就得到对数的一条运算性质,即:log a (MN)＝log a M ＋log a N.因为同底数幂相乘,不论有多少因数,都是把指数相加,所以这个性质可推广到若干个正因数的积:log a (N 1N 2…N k )＝log a N 1＋log a N 2＋…＋log a N k . 问题4同样地,由a m ÷a n ＝a m －n 和(a m )n ＝a mn ,也得到对数运算的其他性质:log a M N ＝log a M －log a N;log a M n ＝nlog a M(n ∈R) (a>0,且a≠1,M>0,N>0).你能不能推导出呢？ 答:令M ＝a m ,N ＝a n ,则M N ＝a m ÷a n ＝a m －n , ∴m －n ＝log a M N .又由M ＝a m ,N ＝a n , ∴m ＝log a M,n ＝log a N, 即:log a M －log a N ＝m －n ＝log a M N ; 当n≠0时,令log a M ＝p,由对数定义可以得M ＝a p , ∴M n ＝(a p )n ＝a np , ∴log a M n ＝np,将log a M ＝p 代入,即证得log a M n ＝nlog a M. 当n ＝0时,显然成立.∴log a M n ＝nlog a M. 小结:上述证明是运用转化的思想,先通过假设,将对数式化成指数式,并利用幂的运算性质进行恒等变形;然后再根据对数定义将指数式化成对数式.对数运算性质可以用简易语言表达:“积的对数＝对数的和”,“商的对数＝对数的差”,“正数的n 次方的对数＝正数的对数的n 倍”.有时用逆向运算性质:如log 105＋log 102＝log 1010＝1. 例1 用log a x,log a y,log a z 表示下列各式: (1)log a xy z ; (2)log a (x 3y 5); (3)log a x yz ; (4)log a x 2y 3z . 解:(1)log a xy z ＝log a (xy)－log a z ＝log a x ＋log a y －log a z;
高中数学对数与对数运算(二)
高中数学对数与对数运算（二） 课 型：新授课 教学目标： 把握对数的运算性质，并能明白得推导这些法那么的依据和过程；能较熟练地运用法那么解决咨询题. 教学重点：运用对数运算性质解决咨询题 教学难点：对数运算性质的证明方法 教学过程： 一、复习预备： 1． 提咨询：对数是如何定义的？ → 指数式与对数式的互化：x a N =?log a x N = 2． 提咨询：指数幂的运算性质？ 二、讲授新课： 1. 教学对数运算性质及推导： ① 引例： 由p q p q a a a +=，如何探讨log a MN 和log a M 、log a N 之间的关系？ 设log a M p =, log a N q =，由对数的定义可得：M =p a ，N =a ∴MN =p a q a =q p a + ∴a log MN =p +q ，即得a log MN =a log M + a log N ② 探讨：依照上面的证明，能否得出以下式子？ 假如 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 ，那么 a a a log (MN)=log M +log N ; a a a M log =log M -log N N ； ()n a a log M =nlog M n R ∈ ① 讨论：自然语言如何表达三条性质？ 性质的证明思路？〔运用转化思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂运算性质进行恒等变形；然后再依照对数定义将指数式化成对数式〕 ④ 运用换底公式推导以下结论：log log m n a a n b b m =；1log log a b b a = 1. 教学例题： 例1. 判定以下式子是否正确，〔a ＞0且a ≠1，x ＞0且a ≠1，x ＞0，x ＞y 〕， 〔1〕log log log ()a a a x y x y ?=+ 〔2〕log log log ()a a a x y x y -=- 〔3〕log log log a a a x x y y =÷ 〔4〕log log log a a a xy x y =- 〔5〕(log )log n a a x n x = 〔6〕1log log a a x x =- 〔71log a x n =