幂级数在近似计算中的应

论文4 幂级数在近似计算中的应用

谢文清 江权霞 (指导老师:陈引兰)

数学与统计学院1001班

摘要：形如200102000()()()()n n

n n n a x x a a x x a x x a x x ∞

=-=+-+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅∑的函数

项级数称为幂级数,幂级数可以看成是一个“无限次多项式”，它无论在理论上还是实践上都是一个有力的工具.本文主要运用幂级数的展开式,对无理数,,ln 2e π等，利用计算机相关软件，进行近似计算.

关键词：幂级数、近似计算

1.理论依据

以某个幂级数展开式为基础，然后把所需要求的量表达成级数的和，并依据要求，选取部分和作这个量的近似值，误差用余项()n r x 估计.

我们先给出一些基本初等函数的幂级数展开式及它们对应的余项

23012

12135121

1

211

!

2!3!! r (1)!(2)!

(1)(1)213!5!21(1) r 2n n

x

n n n n n n n n n n n n x x x x e x n n x x n n x x x x x n n x n ∞

=++----∞

=+==++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅

++--==-+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅

---=+∑∑①②arctanx 123

21

=12123

12311

1(1)

123

(2n 1)!!=+(2)!!

21(21)!!(23)!! r

(22)!!23(24)!!25

(1)(1)23(1) r n n n n n n n n n n n

n n n n x n x n n n x n x n n n n x x x x x n n x n ++-∞

++--∞

=+-++⋅⋅⋅+-⋅

+++=⋅+⋅+⋅⋅⋅++++--=-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅

-=+∑∑③arcsinx x ④ln(1+x)=12

(1)12

n n x n ++-+

+

2．π的近似计算

本节利用两个函数的幂级数展开式来近似计算π，在相同的误差条件下，取不同的x ，若取级数的前n 项和作为π的近似值，对应的n 值不一样，这就为幂级数在近似计算中的应用提供了很大的空间.

⑴由函数arctan y x =的幂级数展开式知121

1

(1)21n n n x n --∞

=-=-∑arctanx

①若取1x =时，

111

1(1)43521

n n π

=-+-⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅

- （1） 111

4(1+(-1))3521

n

n π⇒=-++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅- 等式的右端是一个交错级数且是收敛的，实际计算时，我们只能使用有限项。如果取级数前n 项之和作为π的近似值

即111

4(1+(-1))3521

n

n π≈-++⋅⋅⋅+，其误差为 42+1

n r n ≤，

为了保证误差不超过410-，就要取级数（1）的前20000项进行计算，计算量之大可以想象.它的收敛速度很慢.对于arctan x 展开式而言，当x 越小收敛越快，恰恰在端点1x =收敛最慢. 以下取的求和的级数相应它的收敛速度要稍快些.

②现若取3

x =

带入展开式得

35121111(1)6

3521n n n π

--=

-⋅+⋅+-+⋅⋅⋅- （2）

1

23111111111

(1))335373213

n n n π--⇒=-⋅+⋅-⋅+-⋅+⋅⋅⋅- 若取级数的前n 项和作为π的近似值，其误差为

123111111111(1))335373213 (2+1)3n n n n

r n n π--⎡⎤

=--⋅+⋅-⋅+-⋅+⋅⋅⋅⎢⎥

-⎣⎦≤

⋅

下面实现(2)式的计算，若要求误差小于410-(计算π的程序见附录1) 当n=8

时，4810r -=

<

23711111111

) 3.14167335373153π=-⋅+⋅

-⋅+⋅⋅⋅+⋅=

③现取12x =，1arctan 2α=，显见04πα<<，记4π

βα=-，而

1tan tan()43πβα=-=，所以1

tan 3arc β=，就是

11

tan tan 423

arc arc π=+

3513

13513

1111114(...23252132111111...(1))33353133n π-=-⋅

+⋅++⋅

⋅+-⋅+⋅++-⋅⋅ (3)

下面实现(3)的计算，若要求误差小于410-(计算π的程序见附录2)

当n=7时，

1

35133513

1

111111111114(......(1)) 3.141562325213233353133

n π-=-⋅

+⋅++⋅+-⋅+⋅++-⋅=⋅⋅ 对于arctan y x =，误差一样（如要求误差小于410-），取不同的x ，对应部分和的项数n 与近似计算的π值如下表

⑵对于sin arc x 的展开式而言，取12

x =

11(21)!!1

62(2)!!21

n n n n π

∞=-=+∑

+ (4) 下面实现(4)的计算，若要求误差小于410-(计算π的程序见附录3) 当n=4时，

4

49

7!!108!!92r -=

<⋅⋅