【易错题】高三数学下期末试卷(含答案)(4)

【易错题】高三数学下期末试卷(含答案)(4)

一、选择题

1．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 A ．

12

B ．

13

C ．

16

D ．

112

2．()22

x x

e e

f x x x --=+-的部分图象大致是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

3．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为偶数的概率是（ ）

A ．

1

2

B ．

13 C ．2

3 D ．34

4．已知非零向量a b r r ，满足2a b r r =，且b a b ⊥r r r （–），则a r 与b r 的夹角为

A ．

π6

B ．

π3

C ．

2π3

D ．

5π6

5．下列四个命题中，正确命题的个数为( ) ①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合； ②两条直线一定可以确定一个平面；

③若M α∈，M β∈，l αβ=I ，则M l ∈； ④空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内． A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

6．函数()2

3x f x x

+=的图象关于( )

A ．x 轴对称

B ．原点对称

C ．y 轴对称

D ．直线y x =对称

7．设,a b R ∈，“0a =”是“复数a bi +是纯虚数”的（ ）

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

8．已知复数 ，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 9．设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角

P AC B --的平面角为γ，则（ ） A ．,βγαγ<<

B ．,βαβγ<<

C ．,βαγα<<

D ．,αβγβ<<

10．定义运算()()

a a

b a b b a b ≤?⊕=?

>?，则函数()12x

f x =⊕的图象是（ ）． A ． B ．

C ．

D ．

11．已知a R ∈，则“0a =”是“2

()f x x ax =+是偶函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

12．函数()f x 的图象如图所示，()f x '为函数()f x 的导函数，下列数值排序正确是（ ）

A ．()()()()02332f f f f ''<<<-

B ．()()()()03322f f f f ''<<-<

C ．()()()()03232f f f f ''<<<-

D ．()()()()03223f f f f ''<-<<

二、填空题

13．已知椭圆22

195

x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中

点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______. 14．设正数,a b 满足21a b +=，则

11

a b

+的最小值为__________． 15．设复数1(z i i =--虚数单位),z 的共轭复数为z ，则()1z z -?=________. 16．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为3，外接球的表面积为16π，则正三棱锥

P ABC -的体积为________.

17．已知向量a r 与b r 的夹角为60°，|a r |=2，|b r |=1，则|a r

+2 b r |= ______ .

18．设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为 ．

19．已知圆台的上、下底面都是球O 的截面，若圆台的高为6，上、下底面的半径分别为

2，4，则球O 的表面积为__________．

20．在ABC ?中，若13AB =3BC =，120C ∠=?，则AC =_____．

三、解答题

21．在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t α

α=??=?

（t 为参数，0≤α<π）．以坐

标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为

244cos 2sin ρρθρθ-=-．

(Ⅰ)写出曲线C 的直角坐标方程；

(Ⅱ)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且AB 的长度为5l 的普通方程． 22．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线2

14

y x =

的焦点，离心率为

25

. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若

1MA AF λ=u u u r u u u r ，2MB BF λ=u u u r u u u r

，求12λλ+的值.

23．已知A 为圆2

2

:1C x y +=上一点，过点A 作y 轴的垂线交y 轴于点B ，点P 满足

2.BP BA =u u u v u u u v

（1）求动点P 的轨迹方程；

（2）设Q 为直线:3l x =上一点，O 为坐标原点，且OP OQ ⊥，求POQ ?面积的最小值.

24．已知函数()|1|f x x =+

（1）求不等式()|21|1f x x <+-的解集M （2）设,a b M ∈，证明：(ab)()()f f a f b >--.

25．某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚I 内的地块形状为矩形ABCD ，大棚II 内的地块形状为

CDP V ，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．

（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP V 的面积，并确定sin θ的取值范围；

（2）若大棚I 内种植甲种蔬菜，大棚II 内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 26．在ABC ?中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ?=u u u r u u u r

，

1

cos 3

B =，3b =，求：

（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．B 解析：B 【解析】 【分析】

求得基本事件的总数为2224222

26C C n A A =?=，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为222

2222m C C A ==,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.

【详解】

由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，

基本事件的总数为222

42222

6C C n A A =?=， 其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为222

2222m C C A ==,

所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为1

3

m p n ==，故选B. 【点睛】

本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

2．A

解析：A 【解析】 【分析】

根据函数的奇偶性，排除D ；根据函数解析式可知定义域为{}

1x x ≠±,所以y 轴右侧虚线部分为x=1，利用特殊值x=0.01和x=1.001代入即可排除错误选项． 【详解】

由函数解析式()22x x e e f x x x --=+-，易知()2

2x x

e e

f x x x ---=+-=() f x - 所以函数()22

x x

e e

f x x x --=+-为奇函数，排除D 选项

根据解析式分母不为0可知,定义域为{}

1x x ≠±,所以y 轴右侧虚线部分为x=1， 当x=0.01时，代入()f x 可得()0f x <，排除C 选项 当x=1.001时，代入()f x 可得()0f x >，排除B 选项 所以选A 【点睛】

本题考查了根据函数解析式判断函数的图象，依据主要是奇偶性、单调性、特殊值等，注

意图中坐标的位置及特殊直线，属于中档题．

3．B

解析：B 【解析】

试题分析：由题意知本题是一个古典概型概率的计算问题．

从这4张卡片中随机抽取2张，总的方法数是2

46C =种，数学之和为偶数的有13,24

++两种，所以所求概率为1

3

，选B ． 考点：古典概型．

4．B

解析：B 【解析】 【分析】

本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、

数学计算等数学素养．先由()a b b -⊥r r r 得出向量,a b r r

的数量积与其模的关系，再利用向量

夹角公式即可计算出向量夹角． 【详解】

因为()a b b -⊥r r r ，所以2()a b b a b b -?=?-r r r r r r =0，所以2

a b b ?=r r r ，所以

cos θ=22

||122||

a b b b a b ?==?r r r r r r ，所以a r 与b r 的夹角为3π，故选B ． 【点睛】

对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．

5．A

解析：A 【解析】 【分析】 【详解】

试题分析：如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，故（1）不正确；

两条异面直线不能确定一个平面，故（2）不正确； 若M ∈α，M ∈β，α∩β=l ，则M ∈l ，故（3）正确；

空间中，相交于同一点的三直线不一定在同一平面内（如棱锥的3条侧棱），故（4）不正确，

综上所述只有一个说法是正确的， 故选A ．

6．C

解析：C 【解析】 【分析】

求函数的定义域，判断函数的奇偶性即可． 【详解】

解：()2

3x f x x

+=Q

0x ∴≠解得0x ≠

()f x ∴的定义域为()(),00,D =-∞+∞U ，D 关于原点对称.

任取x D ∈，都有()()()2

233x x f x f x x

x

+-+-=

==-，

()f x ∴是偶函数，其图象关于y 轴对称，

故选：C . 【点睛】

本题主要考查函数图象的判断，根据函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性是解决本题的关键．

7．B

解析：B 【解析】 【分析】 【详解】

当a=0时，如果b=0，此时0a bi +=是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果

a bi +已经是纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到a=0，因此是必要条件，故选B

【考点定位】

本小题主要考查的是充分必要条件，但问题中又涉及到了复数问题，复数部分本题所考查的是纯虚数的定义

8．A

解析：A 【解析】

在复平面内对应的点坐标为

在第一象限，故选A.

9．B

解析：B 【解析】 【分析】

本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半. 【详解】

方法1：如图G 为AC 中点，V 在底面ABC 的投影为O ，则P 在底面投影D 在线段AO 上，过D 作DE 垂直AE ，易得//PE VG ，过P 作//PF AC 交VG 于F ，过D 作

//DH AC ，交BG 于H ，则,,BPF PBD PED α=∠β=∠γ=∠，则cos cos PF EG DH BD PB PB PB PB α=

==<=β，即αβ>，tan tan PD PD

ED BD

γ=>=β，即y >β，综上所述，答案为B.

方法2：由最小角定理βα<，记V AB C --的平面角为γ'（显然γ'=γ） 由最大角定理β<γ'=γ，故选B.

方法3：（特殊位置）取V ABC -为正四面体，P 为VA 中点，易得

333222

cos sin sin 6633

α=

?α=β=γ=

，故选B. 【点睛】

常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.

10．A

解析：A 【解析】 【分析】 【详解】

由已知新运算a b ⊕的意义就是取得,a b 中的最小值，

因此函数()1,0

122,0x

x x f x x >?=⊕=?≤?

，

只有选项A 中的图象符合要求，故选A.

11．C

解析：C 【解析】

因为()2

f x x ax =+是偶函数，所以22()()20f x x ax f x x ax ax -=-==+∴=

所以0a =.所以“0a =”是“()2

f x x ax =+是偶函数”的充要条件.故选C.

12．B

解析：B 【解析】 【分析】

根据导数的几何意义可对比切线斜率得到()()032f f ''<<，将()()32f f -看作过

()()22f ,和()()3,3f 的割线的斜率，由图象可得斜率的大小关系，进而得到结果.

【详解】

由()f x 图象可知，()f x 在2x =处的切线斜率大于在3x =处的切线斜率，且斜率为正，

()()032f f ''∴<<，

()()()()

323232

f f f f --=

-Q ，()()32f f ∴-可看作过()()22f ,和()()3,3f 的割线的斜率，由图象可知()()()()3322f f f f ''<-<，

()()()()03322f f f f ''∴<<-<.

故选：B . 【点睛】

本题考查导数几何意义的应用，关键是能够将问题转化为切线和割线斜率大小关系的比较，进而根据图象得到结果.

二、填空题

13．【解析】【分析】结合图形可以发现利用三角形中位线定理将线段长度用坐标表示成圆的方程与椭圆方程联立可进一步求解利用焦半径及三角形中位线定理则更为简洁【详解】方法1：由题意可知由中位线定理可得设可得联立

【解析】 【分析】

结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示成圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁. 【详解】

方法1：由题意可知||=|2OF OM |=c =，

由中位线定理可得12||4PF OM ==，设(,)P x y 可得22

(2)16x y -+=，

联立方程22195

x y +=

可解得

321

,

22 x x

=-=（舍），点P在椭圆上且在x轴的上方，

求得

315

,

2

P

??

-

?

?

??

，所以

15

215

1

2

PF

k==

方法2：焦半径公式应用

解析1：由题意可知|2

OF|=|OM|=c=，

由中位线定理可得

1

2||4

PF OM

==，即

3

4

2

p p

a ex x

-=?=-

求得

315

,

22

P

?

-

??

，所以

15

215

1

2

PF

k==

【点睛】

本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.

14．【解析】则则的最小值为点睛:本题主要考查基本不等式解决本题的关键是由有在用基本不等式求最值时应具备三个条件：一正二定三相等①一正：关系式中各项均为正数；②二定：关系式中含变量的各项的和或积必须有一个

解析：322

+

【解析】

21

a b

Q+=，则

11112

23+322

b a

a b

a b a b a b

+=++=+≥+

（）（）

11

a b

+的最小值为322

+

点睛:本题主要考查基本不等式，解决本题的关键是由21

a b

+=，有

1111

2

a b

a b a b

+=++

（）（），在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三

相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.

15．【解析】分析：由可得代入利用复数乘法运算法则整理后直接利用求模公式求解即可详解：因为所以故答案为点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算属于中档题解题时一定要注意和 解析：10

【解析】

分析：由1i z =--，可得1i z =-+，代入()1z z -?，利用复数乘法运算法则整理后，直接利用求模公式求解即可.

详解：因为1i z =--，所以1i z =-+，

()()()()()111121z z i i i i ∴-?=++?-+=+?-+

39110i =-+=+=，故答案为10.

点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++

16．或【解析】【分析】做出简图找到球心根据勾股定理列式求解棱锥的高得到两种情况【详解】正三棱锥的外接球的表面积为根据公式得到根据题意画出图像设三棱锥的高为hP 点在底面的投影为H 点则底面三角形的外接圆半径

解析：

334

或93

【解析】 【分析】

做出简图，找到球心，根据勾股定理列式求解棱锥的高，得到两种情况. 【详解】

正三棱锥P ABC -的外接球的表面积为16π，根据公式得到2

1642,r r ππ=?= 根据题意画出图像，设三棱锥的高为h,P 点在底面的投影为H 点，则

2,2,2OP r OA r OH h =====-，底面三角形的外接圆半径为AH ，根据正弦定理得

到

3

23sin 60

= 3.

在三角形OAH 中根据勾股定理得到()2

23413h h -+=?=或 三棱锥的体积为：13

ABC h S ??V

代入数据得到111333224

?????=

或者11333322????

?=

【点睛】

这个题目考查了已知棱锥的外接球的半径，求解其中的一些量；涉及棱锥的外接球的球心的求法，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.

17．【解析】【分析】【详解】∵平面向量与的夹角为∴∴故答案为点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式(2)常用来求向量的模

解析：【解析】 【分析】 【详解】

∵平面向量a r 与b r 的夹角为0

60，21a b ==r r ，

∴021cos601a b ?=??=r r .

∴2a b +====r r

故答案为

点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式．

(2) a =r 常用来求向量的模．

18．【解析】试题分析：设等比数列的公比为由得解得所以于是当或时取得最大值考点：等比数列及其应用 解析：64

【解析】

试题分析：设等比数列的公比为q ，由132410{5a a a a +=+=得，212

1(1)10

{(1)5

a q a q q +=+=，解得18

{12

a q ==.所

以2(1)

1712(1)222121

18()22n n n n n n n

n a a a a q

L L --++++-==?=，于是当3n =或4时，12n

a a a L 取得最大值6264=. 考点：等比数列及其应用

19．【解析】【分析】本道题结合半径这一条件利用勾股定理建立等式计算半径即可【详解】设球半径为R 球心O 到上表面距离为x 则球心到下表面距离为6-x 结合勾股定理建立等式解得所以半径因而表面积【点睛】本道题考查 解析：80π

【解析】 【分析】

本道题结合半径这一条件，利用勾股定理，建立等式，计算半径，即可。 【详解】

设球半径为R ，球心O 到上表面距离为x ，则球心到下表面距离为6-x,结合勾股定理，建立等式()2

22224+6x x +=-，解得4x =，所以半径222220R x =+= 因而表面积2480S R ππ== 【点睛】

本道题考查了球表面积计算方法，难度中等。

20．1【解析】【分析】由题意利用余弦定理得到关于AC 的方程解方程即可确定AC 的值【详解】由余弦定理得解得或（舍去）【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形的方法方程的数学思想等知识意在考查学生的转化能力和计

解析：1 【解析】 【分析】

由题意利用余弦定理得到关于AC 的方程，解方程即可确定AC 的值. 【详解】

由余弦定理得21393AC AC =++，解得1AC =或4AC =-（舍去）. 【点睛】

本题主要考查余弦定理解三角形的方法，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

三、解答题

21．(Ⅰ) ()()2

2

219x y -++=；（Ⅱ）3

4

y x =和x=0. 【解析】 【分析】 （I ）将x cos y sin ρθ

ρθ

=??

=?代入曲线C 极坐标方程，化简后可求得对应的直角坐标方程.（II ）

将直线的参数方程代入曲线方程，利用弦长公式列方程，解方程求得直线的倾斜角或斜率，由此求得直线l 的普通方程. 【详解】

解：（Ⅰ）将x cos y sin ρθ

ρθ=??=?

代入曲线C 极坐标方程得：

曲线C 的直角坐标方程为：2

2

442x y x y +-=- 即()()2

2

219x y -++=

（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线方程：

()()

22

cos 2sin 19t t αα-++=

整理得24cos 2sin 40t t t αα-+-= 设点A ，B 对应的参数为1t ，2t ， 解得124cos 2sin t t αα+=-，124t t ?=-

则12AB t t =-=

=

=23cos 4sin cos 0ααα-=，因为0απ≤<

得3tan 2

4π

αα=

=

或，直线l 的普通方程为3

4

y x =和x=0 【点睛】

本小题主要考查极坐标方程和直角坐标方程互化，考查利用直线的参数方程来求弦长有关的问题，属于中档题.

22．（Ⅰ）2

215

x y +=（Ⅱ）-10

【解析】 【分析】

（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22

221x y a b

+=，根据它的一个顶点恰好是抛物线214y x =的焦点，

得到1b =，又5

c a ==，由此求出椭圆C 的标准方程. （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M y ，直线l 的方程为()2y k x =-，代入方程

2215

x y +=，得()2222

15202050k x k x k +-+-=，由此利用韦达定理结合已知条件能求出12λλ+的值. 【详解】

（Ⅰ）设椭圆C 的方程为()22

2210x y a b a b

+=>>，

抛物线方程化为2

4x y =，其焦点为()0,1

则椭圆C 的一个顶点为()0,1，即1b =，

由5

c e a ===

，解得25a =， ∴椭圆C 的标准方程为2

215

x y +=

（Ⅱ）证明：∵椭圆C 的方程为2

215

x y +=，

∴椭圆C 的右焦点()2,0F

设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M y ，由题意知直线l 的斜率存在，

设直线l 的方程为()2y k x =-，代入方程2

215

x y +=，

并整理，得(

)2

2

2215202050k

x

k x k +-+-=，

∴21222015k x x k +=+，2122

205

15k x x k

-=+， 又()110,MA x y y =-u u u r ，()220,MB x y y =-u u u r ，()112,AF x y =--u u u r ，()222,BF x y =--u u u r

， 而1MA AF λ=u u u r u u u r ，2MB BF λ=u u u r u u u r ，

即()()1101110,2,x y y x y λ--=--，()()2202220,2,x y y x y λ--=--， ∴1112x x λ=

-，2

22

2x x λ=-，

∴()()12121212121212

22102242x x x x x x

x x x x x x λλ+-+=+==----++. 【点睛】

本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

23．(1) 2

214

x y += (2) 3.2

【解析】 【分析】

（1）设出A 、P 点坐标，用P 点坐标表示A 点坐标，然后代入圆方程，从而求出P 点的轨迹；

（2）设出P 点坐标，根据斜率存在与否进行分类讨论，当斜率不存在时，求出POQ ?面积的值，当斜率存在时，利用点P 坐标表示POQ ?的面积，减元后再利用函数单调性求出最值，最后总结出最值. 【详解】

解：（1） 设(),P x y ，

由题意得：()()1,,0,A x y B y ， 由2BP BA =u u u v u u u v

，可得点A 是BP 的中点， 故102x x +=， 所以12

x

x =

， 又因为点A 在圆上，

所以得2

214

x y +=，

故动点P 的轨迹方程为2

214

x y +=.

（2）设()11,P x y ，则10y ≠，且2

21114

x y +=，

当10x =时，11y =±，此时()33,0,2

POQ Q S ?=； 当10x ≠时，1

1

,OP y k x = 因为OP OQ ⊥, 即1

1

,OQ x k y =- 故1133,x Q y ??-

???

，

OP ∴=

OQ ==，

22

111

1322POQ

x y S OP OQ y ?+==?①， 2

21114x y +=代入① 2111143334

322POQ

y S y y y ???-=?=- ? ???

()101y <≤

设()()4

301f x x x x

=

-<≤ 因为()24

f x 30x

'=-

-<恒成立， ()f x ∴在(]

0,1上是减函数，

当11y =时有最小值，即32

POQ S ?≥, 综上：POQ S ?的最小值为3.2

【点睛】

本题考查了点的轨迹方程、椭圆的性质等知识，求解几何图形的长度、面积等的最值时，常见解法是设出变量，用变量表示出几何图形的长度、面积等，减元后借助函数来研究其最值.

24．(1){

1M x x =<-或 }

1x >；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】

（1）先根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求交集，最后求并集（2）利用分析法证明，先根据绝对值三角不等式将不等式转化为证明1ab a b +>+，再两边平

方，因式分解转化为证明(

)(

)

2

2

110a b -->，最后根据条件22

1,1a b >>确定

()()2

2110a

b -->成立.

【详解】

（1）∵()211f x x <+-，∴12110x x +-++<. 当1x <-时，不等式可化为()12110x x --+++<， 解得1x <-，∴1x <-； 当1

12

x -≤≤-,不等式可化为()12110x x ++++<，解得1x <-， 无解； 当1

2

x >-

时，不等式可化为()12110x x +-++<，解得1x >，∴1x >. 综上所述，{

1M x x =<-或}1x >.

（2）∵()()()1111f a f b a b a b a b --=+--++--+=+≤， 要证()()()f ab f a f b >--成立， 只需证1ab a b +>+， 即证22

1ab a b +>+， 即证222210a b a b --+>, 即证(

)(

)

2

2

110a b -->.

由（1）知，{

1M x x =<-或}1x >， ∵a b M ∈、，∴2

2

1,1a b >>， ∴(

)(

)

2

2

110a b -->成立.

综上所述，对于任意的a b M ∈、都有()()()f ab f a f b >--成立.

点睛：(1)分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.

(2)利用综合法证明不等式，关键是利用好已知条件和已经证明过的重要不等式. 25．（1）()8004cos cos sin θθθ+， ()1600cos cos ,sin θθθ- 1,14??????

；（2）6

π． 【解析】

分析：（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定sin θ的取值范围；（2）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法.

详解：

解：（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10． 过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE =θ， 故OE =40cos θ，EC =40sin θ，

则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ（40sin θ+10）=800（4sin θcos θ+cos θ）， △CDP 的面积为

12

×2×40cos θ（40–40sin θ）=1600（cos θ–sin θcos θ）． 过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK =KN =10． 令∠GOK =θ0，则sin θ0=14，θ0∈（0，π

6

）． 当θ∈[θ0，

π

2

）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ， 所以sin θ的取值范围是[

1

4

，1）． 答：矩形ABCD 的面积为800（4sin θcos θ+cos θ）平方米，△CDP 的面积为 1600（cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是[

1

4

，1）． （2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，

设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k >0）， 则年总产值为4k ×

800（4sin θcos θ+cos θ）+3k ×1600（cos θ–sin θcos θ） =8000k （sin θcos θ+cos θ），θ∈[θ0，π

2）． 设f （θ）= sin θcos θ+cos θ，θ∈[θ0，

π

2

），

则()()

()()2

2

2

'sin sin 2sin 1211f cos sin sin sin θθθθθθθθ=--=-+-=--+．

令()'=0f θ，得θ=π6

， 当θ∈（θ0，π

6

）时，()'>0f θ，所以f （θ）为增函数； 当θ∈（

π6，π

2

）时，()'<0f θ，所以f （θ）为减函数， 因此，当θ=π

6

时，f （θ）取到最大值． 答：当θ=

π

6

时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 点睛：解决实际应用题的步骤一般有两步：一是将实际问题转化为数学问题；二是利用数学内部的知识解决问题. 26．（1）3,2a c ==；（2）2327

【解析】

试题分析：（1）由2BA BC ?=u u u r u u u r 和1

cos 3

B =，得ac=6.由余弦定理，得2213a c +=.

解

，即可求出a ，c ；（2） 在ABC ?中，利用同角基本关系得

22

sin .3

B =

由正弦定理，得42

sin sin 9

c C B b =

=

，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此27

cos 1sin 9

C C =-=

，利用cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+，即可求出结果. （1）由2BA BC ?=u u u r u u u r

得，

，又1

cos 3

B =

，所以ac=6. 由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+. 又b=3，所以2292213a c +=+?=. 解

，得a=2，c=3或a=3，c=2.

因为a>c,∴ a=3，c=2.

（2）在ABC ?中，22122

sin 1cos 1()3B B =-=-= 由正弦定理，得22242

sin sin 339

c C B b =

=?=

，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因

此7cos 9

C ===.

于是cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+=1723

393927

?+?=

. 考点：1.解三角形；2.三角恒等变换.