第三章第五节 控制系统灵敏度分析

• 为描述参数变化的影响，假设被控过程G(s)发生变化，新
被控过程就是G(s)+ΔG(s)。那么，在开环情况下，输出的 变化为 (3.73) ΔC(s)=ΔG(s)R(s) 在闭环系统中，有 (3.74) G( s) G( s)
C ( s) C ( s) 1 [G( s) G( s)]H ( s) R( s )
B
即
G ( s) H ( s) SH 1 G( s) H ( s)
(3.81)
当G(s)H(s)很大时，灵敏度约为1，也就是H(s)的变化将 直接影响到系统的输出。因此，使用不随环境改变或基本 恒定的反馈器件是很重要的。 由此可见，控制系统引入反馈环节后能减少因参数变化 而造成的影响，尤其是因被控过程参数变化所造成的影响， 这是反馈控制系统的一个重要优点。
对于闭环系统 的情况，如果在所关心的 R( s) 1 G ( s) H ( s) 复数域内，都有： (3.71) |G(s)H(s)|>>1
C ( s)
G ( s)
成立，则可得到：
C (s) 1 R( s) H (s)
(3.72)
那么，输出仅受到H(s)的影响，而且H(s)有可能是一个 常数。如果H(s)=1，得到的结果正是期望的输入值，那就 是，输出等于输入。但是，在对闭环控制系统应用式 (3.72)这样一个近似之前，必须注意式(3.71)这一前提条 件，可能会导致系统的响应为剧烈振荡，甚至于不稳定。 尽管如此，增加开环传递函数G(s)H(s)的大小会导致G(s) 对输出影响减少的事实是一个极有用的概念。因此，反馈 控制系统的最重要优势就是被控过程参数G(s)变化的影响 被减少了。
(a) 阶跃响应曲线 (b) MATLAB程文本:gain_kr.m 图3-41 单位阶跃输入的响应分析
% K=20和K=100时，参考输入的单位阶跃响应：gain_kr.m numg=[1];deng=[1 1 0]; K1=100;K2=20; num1=[11 K1];num2=[11 K2];den=[0 1]; %简化结构图 [na,da]=series(num1,den,numg,deng); [nb,db]=series(num2,den,numg,deng); [numa,dena]=cloop(na,da); [numb,denb]=cloop(nb,db); %选择时间间隔 t=[0:0.01:2.0]; [c1,x,t]=step(numa,dena,t); [c2,x,t]=step(numb,denb,t); plot(t,c1,'--',t,c2) xlabel('Time[sec]'),ylabel('Cr(t)'),grid
(3.90)
相对于k的闭环灵敏度接近于1。
第六节 应用MATLAB分析控制系统 的性能
这一节将用两个例子描述反馈控制的优点，同时 说明如何利用MATLAB来分析控制系统。系统分析的 主要内容包括如何抑制干扰、如何减小稳态误差、如 何调节瞬态响应以及如何减少系统对参数变化的影响 等。
• 第一个例子是带有负载转矩干扰信号的电枢控制直流电动
• 下面介绍一个利用反馈减少灵敏度的简单例子。运算放大
•
器是一种被广泛使用在电子线路上的集成电路器件，它的 基本应用电路是图3-36（a）所示的反相放大器电路。 通常，运算放大器的增益A远大于104 。由于输入阻抗很高， 所以运算放大器的输入电流可以忽略不计，因此在节点n， 可写出电流关系式如下 (3.82) ur un uc un
其中，k = R1/Rf 。反相放大器电路结构图如图3-36 （b），图中反馈环节是H(s)= k，前向通道的传递函数是 G(s)= -A 。进一步，当A>>1时，反相放大器电路的传递 函数为 Rf 1 GB ( s) (3.87) k R
1
当运算放大器处于开环状态（即无反馈电阻Rf ）时， 相对于增益A的开环灵敏度为1。在闭环时，相对于增益A 的闭环灵敏度为 G (s) A 1 (3.88) SA B
• 如果单纯考虑增益K对参考输入产生的瞬态响应的影响，
•
可以预计增加K将导致超调量增加、调整时间减少和响应 速度提高。在增益K=20和K=100时，系统对参考输入的 单位阶跃响应曲线以及相应的MATLAB程序文本gain_kr.m 示于图3-41。对比两条响应曲线，可以看出上述预计的正 确性。 尽管在图中不能明显看出增大K能减少调整时间，但是这 一点可以通过观察MATLAB程序的运行数据得以验证。这 个例子说明了控制器增益K是如何改变系统瞬态响应的。 根据以上分析，选择K=20可能是一个比较好的方案。尽 管如此，在做出最后决定之前还应该考虑其他因素。
(3.85)
(a) 电路原理图 (b) 结构图 图3-36 反相放大器
可重写式(3.85)如下
GB ( s) U c ( s) A U r ( s) 1 R1 / R f A( R1 / R f )
当A>>1时，可忽略R1/Rf项，则
GB ( s ) A 1 Ak
(3.86)
wc ( s )
M L ( s) num 1 den 2s 541.5
(a) 开环速度系统对阶跃干扰的响应曲线
%开环速度控制系统对干扰信号的单位阶跃应:opentach.m Ra=1;Km=10;J=2;B=0.5;Ke=0.1; num1=[1];den1=[J B]; num2=[Km*Ke/Ra];den2=[1]; [num,den]=feedback(num1,den1,num2,den2); %干扰信号为负 num=-num; printsys(num,den) %wo为输出,“o”表示开环 [wo,x,t]=step(num,den);plot(t,wo) xlabel('Time[sec]'),ylabel('Speed'),grid %显示稳态误差，即wo的最后一个值 wo(length(t))
• 第二个例子是分析闭环控制系统的控制器增益K对瞬态响
应的影响。图3-40是闭环控制系统的结构图。在参考输入 R (s)和干扰输入N (s)同时作用下系统的输出为
C (s) K 11s 1 R ( s ) N (s) 2 2 s 12s K s 12s K
图3-40 反馈控制系统的结构图
1 1 G( s) H ( s)
即
SG
(3.79)
• 再次可以看到，在所关心的复数域范围内GH(s)增加时， •
闭环系统的灵敏度将会低于开环系统的灵敏度。 同样道理，可以考察闭环系统对反馈环节H(s)改变时的系 统灵敏度，令 G ( s) H ( s) SH B (3.80) H ( s) G ( s)
机。开环系统结构图如图3-37(a)所示，为了改善系统性能， 加入速度反馈如图3-37(b)所示。系统的各元器件参数值在 表3.6中给出。 参数名
Ra
1
Km
10
J
2
B
0.5
Ke
0.1
Ka
54
Ks
1
参数值
从图中可以看出，系统有Ua(s)（或Vr(s)）和ML(s)两 个输入。由于这是一个线性系统，按叠加定理可以分别考 虑两个输入的独立作用结果。为了研究干扰对系统的作用， 可令Ua(s)=0（或Vr(s)=0），此时只有干扰ML(s)起作用。 相反地，为了研究参考输入对系统的响应，可令ML(s)=0。 如果系统具有很好的抗干扰能力，则干扰信号ML(s)对输 出w (s)的影响就应该很小，下面就来验证此结论。
闭环系统灵敏度可以从式(3.78)容易得到。设闭环系统的 系统传递函数为
G( s) GB ( Leabharlann Baidu) 1 G( s) H ( s)
因此反馈系统关于G (s)的灵敏度为
SG GB ( s) G ( s) G ( s) GB ( s)
1 G ( s) [1 G ( s) H ( s)]2 G ( s) /[1 G ( s) H ( s)]
G( s) C ( s) R( s ) 2 [1 G( s) H ( s)]
(3.76)
• 观察式(3.76)可以看出，由于[1+G(s)H(s)]在所关心的复
•
数域范围内常常远大于1，因此闭环系统输出的变化减少 了。因子[1+G(s)H(s)]在反馈控制系统的特征中起到了非 常重要的作用。 系统灵敏度定义为系统传递函数的变化率与被控过程传递 函数变化率的比值。如果系统传递函数为 GB(s)=C(s)/R(s) 则，灵敏度定义为
图3-37 速度控制系统结构图
• 首先，考虑图3-37(a)所示的开环系统，从ML(s)到w o(s)
(此处的下标“o”表示开环)的传递函数为
wo ( s )
M L ( s)

num 1 den 2s 1.5
• 假设干扰信号为单位阶跃信号，即ML(s) =1/s。利用
MATLAB可以计算系统的单位阶跃响应如图3-38(a)所示， 而用于分析此开环控制系统的MATLAB程序文本 opentach.m示于图3-38(b)。
R1 Rf 0
由于放大器的增益是A，并且是反相接法，所以uc = Aun ，因此 uc un (3.83) A 将(3.83)代入(3.82)，得到 u u u ur (3.84) c c c 0
R1 AR1 Rf AR f
解出输出电压uc ，有
uc A( R f / R1 ) 1 ( R f / R1 ) A ur
在输入信号Ua(s)=0的情况下，稳态误差就是干扰响应 w o(t)的终值。在图3-38(a)的曲线中，干扰响应w o(t)在t = 7秒后已近似不变，所以近似稳态误差值为 w o(∞) ≈ -0.663(弧度/秒)
• 同样，通过计算从ML (s)到w c(s) (此处下标“c”表示闭环)
的闭环传递函数可分析图3-37(b)所示闭环系统的抗干扰 性能。对于干扰输入的闭环传递函数为
• 闭环系统对单位阶跃干扰输入的响应曲线w (t)和MATLAB •
程序文本closedtach.m分别示于图3-39(a) (b)。 同前，稳态误差就是w (t)的终值，稳态误差的近似值为
wc () 0.002(弧度 / 秒）
在本例中，闭环系统与开环系统对单位阶跃干扰信号的输 出响应的稳态值之比为 w c ( ) 0.003 w o ( )
可见通过引入负反馈已明显减小了干扰对输出的影响，这 说明闭环反馈系统具有抑制噪声特性。
(a) 闭环系统对阶跃干扰的响应曲线 (b) MATLAB程序文本:closetach.m 图3-39 闭环速度控制系统分析
%闭环速度控制系统对干扰信号的单位阶跃响应:closetach.m Ra=1;Km=10;J=2;B=0.5;Ke=0.1;Ka=54;Ks=1 num1=[1];den1=[J B];num2=[Ka*Ks];den2=[1]; num3=[Ke];den3=[1];num4=[Km/Ra];den4=[1]; [numa,dena]=parallel(num2,den2,num3,den3); [numb,denb]=series(numa,dena,num4,den4); [num,den]=feedback(num1,den1,numb,denb); %干扰信号为负 num=-num; printsys(num,den) %wc为输出,“c”表示闭环 [wc,x,t]=step(num,den);plot(t,wc) xlabel('Time[sec]'),ylabel('Speed'),grid %显示稳态误差，即wc的最后一个值 wc(length(t))
GB ( s) / GB ( s) GB ( s) G( s) S G( s) / G( s) G( s) GB ( s)
(3.77)
取微小增量的极限形式，则式(3.77)成为
G ( s) G( s) S B G( s) GB ( s)
(3.78)
• 很明显，从式(3.73)可以看出，开环系统的灵敏度等于1。
考虑到C (s)
C ( s)
G( s) R( s),则输出的改变就是： 1 G(s) H (s)
G( s) R( s ) [1 G( s) H ( s) G( s) H ( s)][1 G (s ) H (s )]
(3.75)
通常情况下，有G(s)H(s)>>ΔG(s)H(s)，于是：
A GB (s) 1 Ak
如果A=104而且k = 0.1，有
1 SA 1 103
(3.89)
则灵敏度接近于0.001，是开环灵敏度的千分之一。 再来考虑闭环时相对于因子k（或者反馈电阻Rf）的灵 敏度。处理方法同上，得
GB ( s) k Ak Sk k GB (s) 1 Ak