高阶非线性有理差分方程的全局吸引性
一类高阶非线性差分方程的边值问题
其 中 Ｆ＝｛ ｈ∈ｃ ， ） ｈｌ （ ： Ｑ＝ｉ ｝ ｉ Ｑ ａ 。 ｄ ， 是 ｄ
在 ｌ为 次线 性情 况 下 ， 厂 有
定 理 ２ 假设 ＞０对 ｉ —１ ２一 ＝１ ２ ， ，… ，
的恒 等算 子．
下 面借助 引理 ｌ 明定 理 １ 证 ．
成立 ，存在 正 数 Ｌ， 且 Ｌ小 于式 （ ） ５ 中的矩 阵 Ａ 的最 小 特征 值 Ａ使 得 Ｉ ｔ ） ≤￡Ｉ ＋Ｍ， ｔ ， ， ，ｒ 且 ｆ ， ｌ Ｉ （ ＝１ ２ … ，
． ）＝ｃ．显 然 ， 是 Ｉ在 Ｒ ， （ 。 ， 上 的 一 个 临 界 点．
故存 在 正 常数 Ｒ 使 得对 任 一 ∈ｏ 有 ｊｘ） ＞ Ｑ， （
≤０ 其中 Ｑ＝（ ｎＥ ） ｛ｅ０＜ｒ Ｒ ｝这样 ， ｏ ｒ： ＜ ．
得 到引 理 １中的条 件 （ ２ ． Ｊ ） 因此 ， 有 一 个 临界 值 ． ， ｃ≥Ｏ， 中 １ ｒ其
由（ ） ， 在 正常 数 Ⅱ 知 存 和 ｎ ， 得 使
Ｆ ｔ ）＝ｌ ， ｄ ≥６ Ｉ ｌ 一 ２ （ ） （， ｔ ）ｓ ／ Ⅱ １ ｓ ， ｌ ０
因此 ，
７ ’
则边 值 问题 （ ） （ ） １ 与 ２ 至少 存一 个解 ．
注 记 １ 若 Ｓ ｔ ）＝ｂ， ：１ ２ （， ｔ ， ，… ， 此 时（ ） （ ） 解等 价于方 程 Ａ １与 ２ 的 ＝（ 。 … ， ６ ，ｂ ，
Ｆ ）＝∑ Ｆ￡ ≥ｒ∑ Ｉ Ｉ一 ａ≥ （ （ ） 上 Ｔ ， 。
ｂ 。 一 （ ） １ １
对某个 常数 ６ 成 立． 由式 （ ） ｔ（ ｉ０ 因而 ． 又 ７ 知 ｒ Ａ） ， ＞
ｂ） （ ） 与 ２ 的解．因此 ， 若 ＞ ， ＝ｌ—ｎ ２一ｎ ０ ｉ ， ，
一类高阶有理差分方程的全局渐近稳定性
Ｇ ｏ ａ ａｙ ｔｔ ａｉｔ ｆ ａｓ ｆ ｉｈｏｄｒｒｔ ｎ ｌ ｉ ｅｅｃ ｕ ｔ ｎ ｌｂ ｌ ｓｍｐｏｉ ｓ ｂｌｙｏ ｃ ｓ ｏ ｇ －ｒｅ ａｉ ａ ｄｆ ｒｎｅ ｑ ａｉ ｃｔ ｉ ａｌ ｈ ｏ ｆ ｅ ｏ
ＨＵｏ ｉ ｅ ｇ，Ｍ Ｉ Ｈａ－ ｎ ｆ ＡＯ － ｎ ，ＺＨＡＮＧ ａ ｇ Ｌｉ ｍｉ ｇ Ｌｉｎ
— —
其他相关结果见文献［ ～５ ． ３ ］
１ 相关定义及 引理
定 义 ｌ 式 （ ） 任一 正 解 ｛ ） 为关 于 三 ２的 ｏ称 ； ｏ 最 终平 凡 的 ， 如果 ｛ ） 最终 等 于 ；； 否则被 称 为非
平凡 的．
ｘ ＿－ｋ ， ，
—
ｑａ －
（） １
Ｚ ｌ… ，Ｏ ０∞ ）ａ ０∞）Ｓ ｉ｛一ｍ，－ｋ． ｓ ， Ｘ ∈（， ，Ｅ［ ， ， ＋ ￣ｍ ｎ１ ｌ ｝
关键词 ：有理差分方程 ；解 的符号 ； 局渐近稳定性 全
中图 分 类 号 ： ７ ０１ ５ 文 献 标 识 码 ：Ａ
的局 近 定 ， ：ｋＺ五 全 渐 稳性 中 ， ＋ ， 武 ｍＥ ，
令
Ａ 一 ｛ ） － ｏ ｌ — ｏ ’ ｉ １ ２… ， 一 ， ， ｍ
显然 ， 每一 个 Ａ 是 式 （） ２ 的解序 列 ｛ ） ｏ 一 的模 ｍ ： ｏ 同余 类 ， ： 故
｛ ） ｌ ． ｛ ， ， ， ） ｏ 一 一 ＡｌＡ２… Ａ ： ｏ
基金项 目： 甘肃省 自然科学 基金 （ Ｚ ０ ２Ｂ ５ １ ） 甘肃 省教 ３Ｓ４－２－ ３ ， ０ 育厅基金（４ ６ －８ Ｏ １Ｂ Ｏ ）
ｚ ＂， ｒ — ， －ｚ ｌ－
令 一 则由 １得 而 ， 式（）
Ｘｎ 一
高维非线性系统的全局分岔和混沌动力学
精彩摘录
“分岔图是研究非线性系统的重要工具，通过它可以观察到系统在不同参数 下的行为变化。”
精彩摘录
“混沌吸引子是描述混沌系统的一种几何对象，它展示了混沌系统的复杂性 和动态性。”
“通过Lyapunov指数可以量化系统的混沌程度，正的Lyapunov指数意味着系 统是混沌的。”
精彩摘录
“高维非线性系统的全局动力学往往更加复杂，但也更能揭示自然界的真实 复杂性。”
目录分析
在引言部分，作者首先阐述了高维非线性系统全局分岔和混沌动力学的重要 性，并回顾了该领域的历史背景和发展概况。这一部分为后续的详细讨论奠定了 基础，使得读者能够更好地理解全局分岔和混沌动力学的实际意义和价值。
目录分析
第二章至第四章的内容是基础知识，主要介绍了高维非线性系统的基本概念、 数学描述和动力学行为。通过这一部分，读者可以建立起对高维非线性系统的基 本认知，为后续深入理解全局分岔和混沌动力学打下坚实的理论基础。
目录分析
第五章至第七章的内容聚焦于全局分岔分析。这部分详细介绍了全局分岔的 基本概念、分类以及判定方法。作者还通过实例展示了如何运用全局分岔理论对 具体的高维非线性系统进行分析，使得抽象的理论更加生动和易于理解。
目录分析
第八章至第十章的内容重点在于混沌动力学的探讨。在这部分，作者详细介 绍了混沌现象的定义、特征、产生条件以及混沌的数值模拟方法。同时，通过具 体的实例，展示了混沌在现实世界中的广泛存在和应用，深化了读者对混沌动力 学的理解。
阅读感受
书中特别提到了标准Melnikov方法、微分几何理论和不变流形纤维丛理论在 研究多自由度非线性系统中的应用。这些方法为我们提供了全新的视角和工具， 使我们能够更深入地探索非线性系统的全局行为。尤其是对于那些受到外周期激 励的系统，这些方法使得我们能够理解和预测其复杂的动态行为，包括全局分岔 和混沌动力学。
随机波动方程的随机吸引子和两类格点系统的全局吸引子
随机波动方程的随机吸引子和两类格点系统的全局吸引子无穷维动力系统在非线性科学中占有极为重要的地位。
格点系统与非线性波动方程是两类很重要的无穷维系统。
吸引子(包括全局吸引子，随机吸引子)是无穷维动力系统研究的中心内容之一。
对吸引子的研究主要基于两个方面，一是研究其存在性，第二是在其存在的前提下研究其几何结构，如Kolmogorov熵、维数、上半连续性等。
本博士论文主要研究了随机非线性波动方程的随机吸引子与一维的Klein-Gordon-Schr(?)dinger(KGS)无穷格点系统、高维耗散的Zakharov无穷格点系统等两类无穷格点系统的全局吸引子。
首先介绍了动力系统的发展历史以及作者的主要工作。
第二章简单介绍了与本论文相关的一些基础知识、Sobolev空间与一些常用的不等式如Young不等式，H(?)lder不等式，Gronwall不等式。
本文的研究工作由两部分组成。
第一部分内容由第三、四章构成。
第三章证明了具白噪音的阻尼非线性波动方程在Dirichlet边值条件下生成的随机动力系统的随机吸引子的存在性，并对它的Hausdorff维数进行了估计，得到了它的Hausdorff维数的一个上界。
得到的Hausdorff维数的上界随着阻尼的增大而减小且当非线性项的导数有界时，它一致有界。
而且在这种情况下，随机吸引子的Hausdorff维数的上界恰好就等于它所对应的确定系统的全局吸引子的Hausdorff维数的上界。
也就是说在这种情况下白噪音对吸引子的Hausdorff维数的上界没有影响。
但一般情况下，吸引子的维数的上界与白噪音项有关。
第四章考虑了一个具白躁音的强阻尼sine-Gordon方程。
通过引入加权范数与对关于时间为一阶的发展方程所对应线性算子的正性的分解，对由此方程生成的随机吸引子Hausdorff维数进行估计，得到了这个随机吸引子的Hausdorff维数的上界的一个估计。
特别值得一提的是，此时得到的随机吸引子的Hausdorff维数上界恰好等于它所对应的确定性的sine-Gordon方程生成的全局吸引子的Hausdorff维数的上界，也就是说在这种情况下白噪音对吸引子的Hausdorff维数的上界没有影响。
一类非线性差分方程的全局渐进稳定性
一类非线性差分方程的全局渐进稳定性刘军;刘梅【摘要】研究差分方程xn+1=α+β,xn/a+aoxn+…+akxn-k,n=0.1,…的全局渐进稳定性,其中参数α,β,a,ai ∈(0,∞),i=0,1,…,k,x-k,…x-1 ∈(0,∞)和x0 ∈(0,∞).证明了唯一正平衡点是全局稳定性的当且仅当它是局部渐进的.【期刊名称】《兰州工业学院学报》【年(卷),期】2010(017)002【总页数】3页(P42-44)【关键词】差分方程;全局吸引子;全局渐进【作者】刘军;刘梅【作者单位】兰州工业高等专科学校基础科学部,甘肃兰州,730050;兰州理工大学电信学院,甘肃兰州,730050【正文语种】中文【中图分类】O175本文研究下列差分方程的全局稳定性,其中参数α,β,a,ai∈(0,∞),i=0,1,…,k,初始条件 x-k,…,x-1∈[0,∞)和x0∈(0,∞).若给定 c-k,…,c-1∈[0,∞)和c0∈(0,∞),则(1)有唯一的解满足初始条件 x-i=c-i,i=k,…,1,0.由(1)的一个解,我们截断得一个序列{xn},n≥-k,且当n≥0满足(1).本文仅考虑方程(1)的正解,现将(1)改写为其中(2)式的平衡解是下列方程的解.显然对n≥-k,xn＞0.这里,我们仅考虑方程(2)的正解.方程(2)有唯一的正平衡点如果 k=1,则(2)变为这已在文献[2]研究过,其解的整体性态下面的定理给出:定理A 若α,β,a,a0,a1∈(0,∞),则(6)的唯一正平衡点˜x是一个全局吸引子.若α=0,β=1,(2)式变为这也已在文献[3]研究过,其解的整体性态下面的定理给出:定理B 若(3),(4)式都成立,则(7)式的唯一正平衡点˜x是全局渐进稳定的.本文在更一般情形下考虑(1)式的全局渐进稳定性,主要结果如下:定理1 若α,β,a,ai∈(0,∞),i=0,1,…,k,且(3)式成立,则(1)式的唯一正平衡点是一个全局吸引子.在本部分,我们给出定理证明所需的一些引理.引理1[4] 考虑差分方程其中,k1,k2,…,kr是正整数.k=max{k1,k2,…,kr}.此外,假设函数 F满足下列假设: 定义一个新函数 F(x)如下:其中,假定函数 F没有基本周期为2的周期点,则是(8)式的所有正解的一个全局吸引子. 引理2 设F,H∈C([0,∞),(0,∞))在[0,∞) 上单调不增,∈ (0,∞) 使得 F(=H(= ,[H(x)-F(x)](x- ≤0,x ≥0 成立.假定˜x是 H2在(0,∞) 上的唯一不动点.则˜x也是 F2在(0,∞)上的唯一不动点.引理3[3] 设H∈C[(0,∞),(0,∞)]是单调不增的函数是 F的唯一不动点,则下列论断等价:H2∈(0,∞).(a)是 H2在(0,∞)上的唯一不动点;(b)当x0∈(0,∞)时,是差分方程所有正解的一个全局吸引子.本节将完成主要定理的证明.显然(2)式的唯一正平衡点为证明 (1)式可以改写为显然,F和 g满足引理1的假设条件(H1-H4),进一步,由(10)式定义的函数 G可改写为从以上可得这表明F(x)≤H(x),0＜ x＜ ,其中 F(x)是由引理2定义.类似的,我们有F(x)≥H(x),x＞由引理2知,可以通过证明 H(x)2有唯一不动点来得到.设其中 N=n+k,n是一个充分大的正整数.显然的,R(x) ∈[(0,∞),(0,∞)]在[0,∞)是严格递减的 ,且有0我们有再利用引理2,只需再说明 R(x)2由唯一的不动点即可.注意到n是一个充分大的正整数.则对任意的x∈(0,∞),我们能够找到一个充分大的正整数 N使得N Cx-1-b0＞ 0.因此φ(x)＞0,x∈(0,∞),这暗示函数φ(x)是严格递增的.因此,M=L.从而可得每一个 R(x)2的不动点是 R(x)的不动点.显然,R(x)在[0,∞)是严格递减的,因此是R(x)的唯一不动点,R(x)2有唯一的不动点证毕.【相关文献】[1]R.M.Abu-saris,R.DeVault.Global stability ofyn+1Appl.math.lett.,16(2003)：173-178.[2]Y.H.Su,W.T.Li.Global asymptotic stability of a second-order nonlinear difference equation[J]put.,168(2005)：981-989.[3]W.T.Li,H.R.Sun.Dynamics of a rational differenceequation[J]put.,163(2005)：577-591.[4]L.X.Hu,W.T.Li.Global stability of a rational differenceequation[J]put,(2007)：601-604.[5]Y.H.Su,W.T.Li.Global attractivity of a higher order nonliear difference equation[J].Differ.Equat.Appl.,11(2005)：947-958[6]X.X.Yan,W.T.Li.Global attractivity for a class of higher order nonliear difference equation[J]put.,149(2004)：533-546.[7]X.X.Yan,W.T.Li.Global attractivity in a rational recursivesequence[J]put.,145(2003)：1-12.。
一类高阶有理型差分方程的全局渐近稳定性
ｑａｉ ｓ ｗｔ Ｏ ｅ ｒｂ ｍｓ ｎ ｏｊｃ ｒｓ Ｃ ａｍａ ｎ ａ１Ｃ Ｃ， ０ ２ ］ ｕｔｎ， ｉ ｐｎＰｏｌ ｄＣｎｅｔ ｅ ， ｈｐ ｎａｄＨ ｌ Ｒ ２０ ． 中的公 ｏ ｈ ｅ ａ ｕ ／ 开 问题 ７５ ２ 并证 明 了这 类 方程无 周期 解 ； ．． ， 然后推 广 这个 结果 到更一般 的情形．
Ｋｅ ｒｓ ａｉ ａ ｄｆ ｒ ｃ ｑ ａ ｏ ； ｏａ ａｙ ｐｏ ｃ ｓ ｉｔ； ｅｉｄｃ ； ｐ ｎ ｙ ｗｏｄ ：ｒｔ ｎｌ ｉｅ ｎ ｅ ｅ ｕ ｔ ｎ ｇ ｂ ｌ ｓｍ ｔｔ ｔ ｌｙ ｐ ｒ ｉ ｔ ｏｅ ｏ ｅ ｉ ｌ ｉ ａ ｉ ｂ ｏ ｉ ｙ
ｐ ｂｅ ｏ ｒ ｌｍ
０ 引言
有 理型差 分方程 是一类 典 型 的非 线性 差分方 程 ， 定性分析 一直 是近年来 研 究 的热 点 ， 其 因为许
多高于一阶的非线性差分方程定性结果的原型来 源于有 理 型差分 方程 的结果 ． 于这 方面 的研究 ， 关 可参见专著［ — ］ 论文［ １ ］ １ ２、 ３— Ｏ 及其引用的参
考 文献 ， 其 是 Ｍ．Ｒ ．Ｋ ｌｎｖ 尤 ．Ｓ ｕｅｏｉ ｃ和 Ｇ ａａ ．Ｌｄｓ
收稿 日期 ：０ ７— ３—０ ２０ ０ １ 作者简 介： 吕定洋 （９ ８一） 男 ， １６ ， 湖南邵 阳人 ， 湖南第一师范学院高级讲师 ， 湖南师范大学硕士研究生． 主要研究方 向： 方程稳定性理论 ．
Ｃｈ ｎ ｓ ａ， ｎ ｎ ４１ ８１， ｉ ａ； Ｄｅ ａｔ ｎ ｆＭａ ｈ ｍａｉｓ ａ ｄ Ｐｈ ｓｃ ， ａ ｇ ｈ Ｈｕ ａ ００ Ｃｈ ｎ ２． ｐ ｒｍｅ ｔｏ ｔ ｅ ｔｃ ｎ ｙ ｉ ｓ
Ｔ ｅＦｒ ｏ ａ Ｃ ｌ ｇ ， ｈ ｎ ｓａ Ｈ ｎ ｎ４ １ ０ ， ｈｎ ） ｈ ｉ ｔ ｒ ｌ ｏ ｅｅ Ｃ ａｇｈ ， ｕ ａ ２ ０ １ Ｃ ｉａ ｓＮｍ ｌ
两类非线性差分方程的全局渐近稳定性
两类非线性差分方程的全局渐近稳定性席鸿建;孙太祥;赵金凤【期刊名称】《广西科学》【年(卷),期】2006(013)002【摘要】Two families of difference equations are discussed. They are the form xn+1=∑i∈Zk-{j,s,t}xn-i+xrn-t+xn-jxmn-s+A/∑i∈Zk-{j,s,t}xn-i+xmn-s+xn-jxrn-t+A,n=0,1,...,where k∈{2,3,...},j,s,t∈Zk≡{0,1,...,k} with s≠t andj( ){s,t},A,r,m∈[0,+∞) and the initial values x-k,x-k+1,...,x0∈(0,+∞),and the form xn+1=∑i∈Zk-{j0,j1,...,js}xn-i+xn-j0xn-j1...xn-js+1/∑i∈Zk-{j0,j1,...,js-1}xn-i+xn-j0xn-j1...xn-js-1,n=0,1,...,where k∈{1,2,3,...},1≤s≤k,{j0...,js}( )Zk with ji≠jl for i≠l and the initial values x-k,x-k+1,...,x0∈(0,+∞).For these difference equations,it is proved that the unique equilibrium =1 is globally asymptotically stable,which includes the corresponding results of the references [3～5,7].%利用泛函分析方法证明差分方程xn+1=∑i∈Zk-{j,s,t}xn-i+xrn-t+xn-jxmn-s+A/∑i∈Zk-{j,s,t}xn-i+xmn-s+xn-jxrn-t+A,n=0,1,...,其中k∈{2,3,...},j,s,t∈Zk≡{0,1,...,k}(s≠t,j( ){s,t}),A,r,m∈[0,+∞)且初始条件x-k,x-k+1,...,x0∈(0,+∞),和差分方程xn+1=∑i∈Zk-{j0,j1,...,js}xn-i+xn-j0xn-j1...xn-js+1/∑i∈Zk-{j0,j1,...,js-1}xn-i+xn-j0xn-j1...xn-js-1,n=0,1,...,其中k∈{1,2,3,...},1≤s≤k,{j0,…,js}( )Zk(ji≠jl对i≠l)且初始条件 x-k,x-k+1,...,x0∈(0,+∞)的唯一平衡点=1是全局渐近稳定的.该结果推广了文献[3～5,7]中相应的结果.【总页数】3页(P93-95)【作者】席鸿建;孙太祥;赵金凤【作者单位】广西财经学院数学系,广西南宁,530003;广西大学数学与信息科学学院,广西南宁,530004;广西大学数学与信息科学学院,广西南宁,530004【正文语种】中文【中图分类】O189.11【相关文献】1.一类非线性有理差分方程的全局渐近稳定性 [J], 刘纯英;谭淑芬;孙红果2.一类非线性差分方程组的全局渐近稳定性 [J], 全卫贞;孙太祥3.一类非线性有理差分方程的全局渐近稳定性 [J], 霍海峰;苗黎明;张良;向红4.非线性差分方程xn+1=f(xn,xn-k)的全局渐近稳定性 [J], 孙太祥;樊席誉;韩彩虹;秦斌5.有关非线性有理差分方程的全局渐近稳定性证明的讨论 [J], 刘纯英因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
一类高阶方程的动力学行为
￣ｌ ｉｆ ￣ ｌ ｓ ≤ ｉ ｎ ｍ ｉ ｕｐ ｍ
。。
．
ｐ ≤ ｐ ≤
由于差 分 方程 ＋ 一 ＋
， 一０ ，
其 次 我 们 证 明 ＋
一
￣ｌ ｉ ｍ
一
升 ＞ 计本； 一
—
ｉｎ 定 ＞，Ⅳ ０ 得 ｎⅣ 一 譬 ． ｎⅣ则 ｎ ． ｅ０ ≥， 当 ≥ 时 令 ≥ ， ｆ给 ｙ ］ 使 ＜ ．
当 ＜ 且ｌ≤ √ ０ ｚ 志 ｌ
所 以 ， ≥１时 当 ￣ － ２ ｋ ＋
当 ≤ 一１时 ２ — ２ ｋ
时ｇ ｚ≥ ， （ 递 ・ ） ０ 增 （ 故ｇ ）
ｇ（） （ ） ＞０ ≥ｇ １ 一１ ；
一ｇ（） （ ） ＞０ ≥ｇ 一１ 一１ ． ＋
因此 ， 在这 种情 形下特 征 方程 （ ） ４ 的根满 足 ＜ １ ．
及 不 等 式 技 巧 等 ， 细 研 究 了平 衡 点 的稳 定 性 和 吸 引性 ． 详 ［ 键 词 ］ 差 分 方 程 ； 局 渐 近 稳 定 性 ； 界 性 关 全 有
［ 章 编 号 ］ １ ７ — ０ ７ ２ ０ ） ３ ０ ２ － ３ ［ 图 分 类 号 ］ ｏ ｌ ５ ［ 献 标 识 码 ］ Ａ 文 ６ ２２ ２ （ ０ ８ ０ — ０ ６０ 中 ７ 文
（ ４ ）
定义函数ｇｚ ：－尺为：（） ３ ～ （）Ｒ－ ￣ ｇｚ￣Ｃ ２ ｋ
则 ｇ （ ） ２ ｘ￣ 一 ｋ ｚ 一 ｋ Ｚ
＋ ＿， ＿
‘
玎 （ ￣ ｋ． ｚ１ ２ － ） 一 ｋ而 ｘ
．
考 虑下 面两 种情 形 ： 情 形 １ 设 愚为奇数 ， ｇ １ 一１ ｇ ～ １ 一１ 则 （ ） ， （ ） ＋
非线性广义KDV方程的整体吸引子
１ 先验估计及整体解 的存在性
在上面 引入记 号下， （） 为 问题 １变
’ Ｕ
， ａ ｕ Ａ — ｕ Ｖ Ｕ 甜＝厂 一 Ａ ＋ ｕ ＵＶ ＋ｕ ＋ （）
（） ３
为得到整 体解 的存 在性 ， 用到 下面 的几个 引理， 要 也就是 先验估 计． 注 ： 中 Ｃ表不 同的正常数 ，． 不 同的正常 数． 本文 表
解和 Ｋ ｒｔｗｓｉ 一测度 证 明半群 （ 的渐 近 光滑 性， 非紧 性 困难 ， 后用 文 【】 的定理 证 明整体吸 ｕａｏ ｋｉ ， ） 克服 最 ４中
引子的存在性。 引进记号Ａ ， ＝ ， （≤ ＜ ） ＝ Ｈ １ Ｐ ∞ 为通常的ｓｂｌ 空间， 尺＝ （）１ （－ ０ｏＶ ｅ Ｈ （） Ｈ 尺，１・ 分 Ｉ，， ＂ ） １
关 键词 ：非 线 性 广 义 ＫＤ 方程 ； 引 集 ； 体 吸 引 子 Ｖ 吸 整
中图分类号 ：Ｏ１ ５ ９ ７． ２
文献标识码 ：Ａ
文章编号 ：１７ ．２ ８２ ０ ）４０ １ －５ ６ ２５ ９（０ ７０ ．０ ９０
Ｇｌ ｂａ ｔｒ ｃ ｏ ｏ ｎｌｎｅ ｒｇ ｎｅ ａ ｉ ｅ ＤＶ ｑｕａ ｉ ｎ ｏ ｌａ ｔ ａ ｔ ｒｆ ｒｎｏ ｉ ａ ｅ ｒ ｌ ｄ Ｋ ｚ ｅ ｔｏ
考虑 非线 性广义 Ｋ ＤＶ 方程：
Ｕ — ＋ Ｗ—ＵＵ ＋ Ｕ Ｕ （） ｔｃ 甜 甜 ３ Ｕ ＋ ＝厂 ｕｘ０ ＝Ｕ （ Ｒ ＜０ ＞ ） （，） ０ ∈ ， ， ０ （） １ （） ２
当ｆｘ ＝ ， （ ０在文【 中， ） ｌ 证明了在有界域 上的整体吸引子． 】 本文考虑该方程在无界区域的非线性情况， 将证 问题（ （ 在 （） 】２ ）） 尺 上存在一个整体吸引子。 由于 （） 尺 嵌入 ） Ｓ ＞Ｓ） （２ 是非紧的，利用算子半群分
一类高阶线性差分方程的全局稳定性
文章编号 １ ０ ０ ４ ． ６ ４ １ ０ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ２ ． ０ ０ ３ ２ ． ０ ４
一
类高 阶线性差分方程 的全局稳定性
王 琦 ， 张更容 ， 韩 松 ， 李乃 雄
（ １ ． 广 西 科 技 大 学 理学 院 ，广西 柳 州 ５ ４ ５ ０ ０ ６ ；２ ． 广 西 大 学 数 学 与 信 息科 学学 院 ， 广西 南宁 ５ ３ ０ ０ ０ ４ ）
第２ ４卷 第 ２期 ２ ０ １ ３年 ６月
广 西 科 技 大 学 学 报
Ｊ ＯＵ ＲＮＡＬ ＯＦ ＧＵＡＮ ＧＸＩ ＵＮＩ ＶＥ ＲＳ ｎＹ ＯＦ Ｓ Ｃ Ｉ ＥＮ ＣＥ ＡＮＤ Ｔ Ｅ ＣＨＮ０Ｌ ０ ＧＹ
Ｖｏ １ ． ２ ４ Ｎｏ ． ２
Ｊ ｕ ｎ ｅ ２ ０ １ ３
问题 ．
关键 词 ： 线性差分方程 ； 收敛 ； 有 界 性 中 圈分 类 号 ： Ｏ１ ７ ５ 文献 标 志 码 ： Ａ
０ 引 言
离 散 系统 理 论 在 经济 学 、 自动 控 制 工 程 、 通讯 、 雷达技术 、 生 物 医学 工 程 、 图像 技 术 、 电动 力 学 系 统 及 核 物 理 学 等 学 科 已发 挥 了 巨大 作 用 ， 随之 而来 的是 人 们 对 差 分 方程 理论 的 需 求 ． 而差 分 方 程 模 型 是 应 用 广 泛 的一 类 离 散 数 学 模 型 ， 它在生态学 、 生理学 、 物 理学 、 工程学 、 自动 控 制 与 设 计 、 数 值计 算 及 经 济 学 研 究
其中ｋ ＝ ７ ， ａ ＝ Ｏ ． ４ ， ａ ｌ ＝ ａ ２ ＝ ａ ４ ＝ ａ ￣ ＝ ａ ６ ＝ ０ ， 锄 ０ ． ３ ， ａ Ｔ ＝ ０ ． ５ ．
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ｑ－ －ｐ
， ： Βιβλιοθήκη 由引理 １ 有 以下结 果． ，
定理 ｌ １ ）如果 户 ＜ ｑ则 Ｙ＝ｏ是局 部渐 近 ＋１ ， 稳定 的． ２ ）若 ｑ ｐ ｌ ｋ是 奇数 ， 方程 （） ＜ ＜ 且 则 １ 的正 平 衡点 至一ｇ １ 是局 部渐 近稳定 的当 ｑ ｐ－１ ＋ 一 ＞３ － ．
靠一 Ｏ １ … ，， （） １
（） ４
７一 ０ １ ２ … ｚ ， ，，
在一 定条 件下 的解 的周 期性 ， 不变 区间 和 全局 吸引
性． 其中 Ｐ ｑ 且初始条件 — ， ，～ ∈［ ， ， ，＞Ｏ … ｚ Ｏ∞） 。 ∈（ ，ｏ ， ０ ｏ ）获得方 程 （） １的正平衡 点 在一定 条件 下 是全局吸引的． 其他相关的方程可参考文献［～７． １ ］
第３ ６卷 第 ４ 期
２１ ００年 ８月
兰
州
理
工
大
学
学
报
Ｖ０ ６ Ｎｏ ４ Ｌ３ ． Ａｕ ． ０ ０ ｇ ２ １
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ａ ｚ ｏ ｉｅ ｓｔ ｆ ｃ ｎ ｌｇ ｏ ｒａ ｆＬ ｎ ｈ ｕ Ｕｎｖ ｒ ｉ ｏ ｈ ｏｏ ｙ ｙ Ｔｅ
文 章 编 号 ： ６ ３５ ９ （０ ０ ０－ １９ ３ １ ７ －１６ ２ １ ）４０ ４ － ０
（） ４有唯一的正平衡点 歹 并且方程的每一个解都 收 ，
敛到 ｙ ．
１ 相关引理
弓理 １ ｌ ｃ 设 口ｂ ，ＥＲ， ＥＮ十， 么 ｋ
２ 主要结果及证明
（） ２
方程（ ） １ 的平衡点是 Ｙ ＝ｏ并且 当 ｇ ＞ｐ时 ＋ｌ 方程 （） 唯一 的正平 衡点 ｚ—ｑ 一户 １有 ＋１ ． 方程 （ ） １ 关于 Ｙ ＝Ｏ的线性 化方 程是
井 ｌ一
ｌｌ ＩＩ １ ＋ ＜ ａ ｂ
是 差分方 程
１一 衄 ＋ －０
一 ０ １ … ，，
（） ３
渐近稳 定 的充分条 件．
假设 下 面的两条 成立 ：
等， 一 ３ ｎ ＋ 。
一
方程 （） 于 一ｑ １ １关 ＋ 一户的线性 化方程 是
一
１ｋ ） 是奇数 ， ｂ ． 且 ＜Ｏ ２ ｋ是偶数 ， ａ＜Ｏ ） 且 ｂ ． 那 么式 （） ２ 也是方 程 （） ３渐近稳定 的必 要 条件． 弓理 ２幻 考 虑差分方 程 Ｉ ［
高阶非线性有理差分方程 的全局吸 弓性 ｌ
唐 国梅 ，肖艳 萍
（ 西北 民族大学 数学与计算机科学学院 ， 甘肃 兰州 ７０ ３ ） ３０ ０
摘要 ：研究非线性差分方程 ＋ 一（ 一 一 ） （一 一 ）（ ＝Ｏ １２ …） Ａ ／ 口 ｔ ， ， ， 解的全局行为 ， 明方 程唯一的正平衡 证 点在 一定条件下 的全局吸引性．
Ａｂ ｔａ ｔ ｓｒ ｃ ：Ｔｈ ｌｂ ｌ ｅ ａ ｉｒ ｆ ｈ ｏｕｉｎ ｆ ｏ ｌ ｅｒｄｆ ｒｎ ｅｅ ｕ ｔ ｎ ＋ 一 （ ｅ ｏ ａ ｂ ｈ ｖｏ ｅｓ ｌｔ ｓ ｎｉ ａ ｉｅｅ ｃ ｑ ａｉ １ ｇ ｏｔ ｏ ｏ ｎ ｎ ｆ ｏ
ｆ ｒｇ ｉｇ ｅ ｕ ｔ ｎ ｗａ ｒ ｖ ｄ ｕ ｄ ｒｃ ｒａｎ ｃ ｎ ｉｉｎ ． ｏ ｅ ｏｎ ｑ ａ ｉ ｓｐ ｏ ｅ ｎ ｅ ｅｔ ｉ ｏ ｄｔｏ ｓ ｏ
其 中， ＥＮ ，ｎ６ 为一个正实数 区间， ： ，］ ｋ ＋ ［ ，］ 厂 ６ ｘ ６一 ， ］ 胡为一连续 函数且满足下述条件： １ ｆ ｕ 对每一个变量都是非增的． ） （ ，） ２ 如果 （ Ｍ） ｎ ６ ×［ ，］ ） ｍ， ∈［ ， ］ 口 ６ 是系统 ｍ—
，
ｆ Ｍ ， 与 Ｍ ＝ｆ ｍ， 的僻 ， 么 Ｍ ＝ｍ， （ （ 优） 那 则方 程
Ｋｅ ｒ ｓ：ｄｆｅ ｅ ｃ ｑ ａｉｎ；ａｔａ ｔ ｒ ｓ ｍｐ ｏ ｉ ｔｂ ｌ ｙ ｙ ｗｏ ｄ ｉ ｒ ｎ ｅｅ ｕ ｔ ｆ ｏ ｔｒ ｃｏ ；ａ ｙ ｔ ｔ ｓａ ｉ ｔ ｃ ｉ
本文研究非线性差分方程
＝
．
计１ 。 ’ — ） ＝ （ ｎ
丝 卫 二 巫 二兰
ｑ— ， 一
ＴＡＮＧ ｏ ｍｅ ，ＸＩ Ｇｕ － ｉ ＡＯ ｎ ｐ ｎ Ｙａ － ｉｇ
（ ｃ ｏ ｆＭ ａ ｈ ｍ ａｉｓａ ｄ Ｃ ｍ ｐ ｔ ｒＳ ｉｎｃ ，Ｎｏ ｔ ｗｅｔＵ ｎｖ ｏ ｔｏ ａｉｉｓ ａｎ ｈ ｕ ７ ０ ３ ，Ｃｈｉａ Ｓ ｈ ｏｌ ｔ ｅ ｔｃ ｎ ｏ ｕ ｅ ｃｅ ｅ ｏ ｒｈ ｓ ｉ．ｆ ｒＮａ ｉｎ ｌ ｅ ，Ｌ ｚ ｏ ３ ０ ０ ｔ ｎ）
关键词 ：差分方程 ； 全局 吸引子 ；渐近稳定性 中图分类号 ： ７ ． Ｏ１ ５ １ 文献标 识码 ： Ａ
Ｇｌ ｂ ｌａ ｔａ ｔｖ ｔ ｆａ ｈｉｈｅ ｒ ｒ ｎ ｎ ｉ ａ ａ ｉｎａ ｉｆ ｒ ｎ ｅ ｅ ａ ｉｎ ｏ ａ ｔｒ ｃ ｉ ｉｙ ｏ ｇ ｒｏ ｄｅ ｏ ｌｎｅ ｒ ｒ ｔｏ ｌｄ ｆｅ ｅ ｃ ｑｕ ｔｏ
一ｚ一 ） （ — ／ ｑ
ｚ 一 ）（ ＝Ｏ １ ２ … ）ｗａ ｔ ｄ ｅ ．Ｔｈ ｌｂ ｌａｔａ ｔｖｔ ｆｔ ｅｕ ｉｕ ｏ ｉ ｖ ｑ ｉ ｂ ｉ ｍ ｏｎ ｆｔ ｅ ，，， ｓｓｕ ｉｄ ｅｇ ｏ ａ ｔｒ ｃｉｉ ｏ ｈ ｎｑ ｅｐ ｓｔ ｅ ｅ ｕ ｌ ｒｕ ｐ ｉｔｏ ｈ ｙ ｉ ｉ
兰 州 理 工 大 学 学 报
第 ３ 卷 ６
３ 若 ｑ Ｐ且 ｋ是 偶数 ， ） ＞ 则方程 （） １ 的正平 衡 点 一ｑ １ ＋ 一ｐ是局 部渐 近稳定 的 当 ｇ ｌ ． ＜ —ｐ 定理 ２ １ ）如果 ｋ是 奇数 ， 那么方 程 （） １有素周
０詈 １ ＜
期为 ２ 的正周期解的充分必要条件是 ｑ ． ＞３ 一１ 并