北师大版 高中数学 必修五 第一章 数列求和教学设计
北师大版高中必修51数列课程设计 (2)
北师大版高中必修5.1数列课程设计课程简介本课程是北师大版高中必修5.1数列的教学设计，主要涵盖数列的定义、性质、通项公式以及数列的应用等内容。
本课程旨在帮助学生掌握数列的相关知识和技能，提高思维能力和创造力，培养学生的数学兴趣和学习兴趣，为学生日后的学习和生活打下坚实的数学基础。
教学目标1.掌握数列的定义、性质和分类，理解数列的递推关系和通项公式；2.学会利用数列的通项公式进行数列的求和和逆推；3.加强数学思维能力和解决实际问题的能力，培养创新思维和数学兴趣；4.提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
教学内容第一部分：数列的定义、性质和分类1.数列的概念–数列的定义–公项与首项–通项和通项公式–数列相等的概念2.数列的性质–数列的单调性–数列的有界性–数列的极限性质3.数列的分类–等差数列的定义和通项公式–等比数列的定义和通项公式–递推数列的定义和通项公式第二部分：数列的通项公式和求和公式1.数列的通项公式–等差数列的通项公式的推导–等比数列的通项公式的推导2.数列的求和公式–等差数列的求和公式和推导–等比数列的求和公式和推导第三部分：数列的应用1.数列在实际问题中的应用–财务问题中的数列应用–物理问题中的数列应用–计数问题中的数列应用2.数列的逆推–利用数列的通项公式对数列进行逆推–利用数列的递推关系逆推数列教学方法本课程采用讲授、示范、练习和提问等多种教学方法，营造活跃、轻松的教学氛围，充分调动学生的学习积极性和自主学习能力。
具体包括：1.讲授法：通过教师讲解和演示，介绍数列相关的概念和公式，帮助学生理解和掌握数列知识。
2.示范法：利用具体例子和实际问题，演示数列的应用和解法过程，培养学生解决实际问题的能力。
3.练习法：通过课堂练习和课外作业等方式，对学生进行巩固和深化，帮助学生掌握数列的解法技能和方法。
4.提问法：通过让学生自主提问和回答，引导学生深入思考和理解数列的概念和应用，提高学生的交流能力和思维能力。
(完整word版)数列求和教案设计(word文档良心出品)
数列求和教学设计鹿城中学田光海高三数学一、教材分析数列的求和是北师大版高中必修5第一章第内容。
它是等差数列和等比数列的延续，与前面学习的函数也有着密切的联系。
它是从实际问题中抽离出来的数学模型，实际问题中有广泛地应用。
同时，在公式推导过程中蕴含着分类讨论等丰富的数学思想。
二、教法分析基于本节课是专题方法推导总结课，应着重采用探究式教学方法。
在教学中以学生的讨论和自主探究为主，辅之以启发性的问题诱导点拨，充分体现学生是主体，教师服务于学生的思路。
三、学法分析在此之前，已经学习了等差数列与等比数列的概念及通项公式，已经具备了一定的知识基础。
在教师创设的情景中，结合教师点拨提问，经过交流讨论，形成认识过程。
在这个过程中，学生主动参与学习，提高自身的数学修养。
让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力。
四、三维目标1知识与技能理解掌握各种数列求和的方法,学会解析数列解答题,提高解决中难题的能力.2过程与方法通过对例题的研究使学生感受数列求和方法的多样性3情感态度与价值观感受数学问题的差异，但又能以不同的方法加以解决，进而体会到数学知识的灵活性五、教学重点与难点本着课程标准，在吃透教材的基础上，我确立如下教学重点与难点：重点：数列求和公式的推导及其简单应用。
此推导过程中蕴含了分类讨论，递推、转化等重要思想，是解决一般数列求和问题的关键，所以非常重要。
为此，我给出了四种方法进行数列求和，加深学生理解，突出重点。
难点：数列求和公式的推导及应用。
在此之前，已经学习了等差数列与等比数列的前n项和，可由此引发进行数列求和的专题学习，为此，我引导学生先进性等差与等比数列的复习。
由此引入专题学习。
下面，为了讲清重点和难点，达到本节课的教学目标，我再从教法学法上谈谈：六、教学过程a+++1)≠六．教学反思这节课是高中数学必修5第二章数列的重要的内容之一，是在学习了等差、等比数列的前n项和的基础上，对一些非等差、等比数列的求和进行探讨。
高中数学 第1章 数列 3.2 第2课时 数列求和讲义教案 北师大版必修5
学习资料第2课时数列求和学习目标核心素养1．能由简单的递推公式求出数列的通项公式．(重点)2．掌握数列求和的基本方法．(重点、难点）1．通过求解数列的前n项和，培养数学运算素养．2．通过学习数列求和的方法，提升逻辑推理素养．常见数列求和方法阅读教材P15～P16例7以上及P26~P27例5以上部分，完成下列问题．（1）公式法①等差数列的前n项和公式：S n＝错误!n（a1＋a n)＝na1＋错误!n（n－1）d．②等比数列前n项和公式：③前n个正整数平方和:12＋22＋32＋…＋n2＝错误!．(2)分组求和法一个数列的每一项如果可以平分成两个或多个等差数列或等比数列，那么可以通过适当分组，进而利用等差、等比数列求和公式分别求和,从而得到原数列的和．（3）裂项相消法数列中的每一项可以平分成前后可以相互抵消的两项之差的求和方法．（4)错位相减法由一个等差与一个等比数列对应项乘积构成的数列，可以利用错位相减法转化成等比数列求和．思考：（1)已知数列{a n｝是等差数列,｛b n}是等比数列,求数列{a n＋b n｝前n项和应用什么方法?［提示］分组求和法．（2)已知a n＝错误!,求数列{a n}的前n项和应用什么方法？［提示]裂项相消法．1．1＋错误!＋错误!＋…＋错误!等于（)A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!B［因为错误!＝错误!－错误!，所以原式＝1＋错误!＋错误!＋…＋错误!＝1＋错误!＝错误!．]2．数列｛n·2n}的前n项和为（）A．(n－1）2n＋1＋2 B．n·2n＋1＋2C．（n－1）·2n＋2 D．n·2n＋2A［设数列｛n·2n}的前n项和为S n，则S n＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①所以2S n＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1．②由②－①得S n＝n×2n＋1－（2＋22＋23＋…＋2n）＝n×2n＋1－错误!＝n·2n＋1－2n＋1＋2．]3．数列｛a n}的通项公式为a n＝2n＋n，则其前n项和S n＝________．2n＋1－2＋错误!n(n＋1）[S n＝21＋1＋22＋2＋23＋3＋…＋2n＋n＝(2＋22＋23＋…＋2n）＋(1＋2＋3＋…＋n）＝错误!＋错误!n(n＋1)＝2n＋1－2＋错误!n(n＋1）．]4．把错误!裂为两项，以便求数列错误!的和,则错误!＝__________．12错误!［错误!＝错误!错误!－错误!．]分组求和法【例1】已知n n23a1＝b1，a14＝b4．（1)求｛a n｝的通项公式；(2)设c n＝a n＋b n,求数列{c n}的前n项和．［解]（1）设等差数列｛a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由错误!得错误!∴b n＝b1q n－1＝3n－1，又a1＝b1＝1,a14＝b4＝34－1＝27，∴1＋（14－1)d＝27，解得d＝2．∴a n＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1（n＝1，2,3，…)．（2)由（1）知a n＝2n－1，b n＝3n－1,因此c n＝a n＋b n＝2n－1＋3n－1．从而数列{c n｝的前n项和S n＝1＋3＋…＋（2n－1）＋1＋3＋…＋3n－1＝错误!＋错误!＝n2＋错误!．分组转化求和法的应用条件和解题步骤(1）应用条件．一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列的通项公式相加组成．（2)解题步骤错误!1．等差数列{a n}中，a2＝4,a4＋a7＝15．（1）求数列｛a n｝的通项公式；（2）设b n＝2a n－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．［解］(1)设等差数列{a n}的公差为d．由已知得错误!解得错误!所以a n＝a1＋（n－1）d＝n＋2．（2)由(1）可得b n＝2n＋n，所以b1＋b2＋b3＋…＋b10＝（2＋1）＋（22＋2）＋(23＋3)＋…＋（210＋10)＝(2＋22＋23＋...＋210）＋（1＋2＋3＋ (10)＝错误!＋错误!＝（211－2)＋55＝211＋53＝2 101．错位相减法求和【例2】已知｛a n｝是递增的等差数列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根．（1）求{a n｝的通项公式;(2）求数列错误!的前n项和．[解]（1)方程x2－5x＋6＝0的两根为2,3，由题意得a2＝2,a4＝3．设数列｛a n}的公差为d,则a4－a2＝2d，故d＝错误!，从而a1＝错误!．所以｛a n｝的通项公式为a n＝错误!n＋1．(2）设错误!的前n项和为S n，由（1)知错误!＝错误!，则S n＝错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!．错误!S n＝错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!，两式相减得错误!S n＝错误!＋错误!－错误!＝错误!＋错误!1－错误!－错误!,所以S n＝2－错误!．利用错位相减法的一般类型及思路(1)适用的数列类型：{a n b n｝，其中数列{a n}是公差为d的等差数列,｛b n｝是公比为q≠1的等比数列.(2)思路:设S n＝a1b1＋a2b2＋…＋a n b n(*),，则qS n＝a1b2＋a2b3＋…＋a n－1b n＋a n b n＋1(＊*),，(*)－(＊＊)得：(1－q)S n＝a1b1＋d(b2＋b3＋…＋b n)－a n b n＋1，就转化为根据公式可求的和.［提醒］用错位相减法求和时容易出现以下两点错误:(1)两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号。
高中数学：第一章等比数列前N项和教案北师大版必修5 教案
∴an=2n·=(3n－1)·2n－2(n=1,2,…)
当n≥2时，Sn=4an－1+2=(3n－4)·2n－1+2.
由于S1=a1=1也适合于此式,∴前n项公式为Sn=(3n－4)·2n－1+2
组织教学导入新课讲授新课归纳小结布置作业
备注
解：∵an=a1qn－1=2n－1,∴an=2n－1
∴a3n=23n－1
12.已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且Sn+1=4an+2(n=1,2,…),a1=1
(1)设bn=an+1－2an(n=1,2,…),求证{bn}是等比数列;
(2)设= (n=1,2,…),求证{}是等差数列；
（3）求数列{an}的通项公式及前n项和公式.
A.28 B.32
C.35
分析：由Sn= ,得 =7，①
S6= =91②
②÷①得： =13,即(q2)2+q2－12=0,∴q2=3
代入①得： ,∴S4= ×(1－9)=28.答案：A
3.数列{an}的通项公式为an= ,若Sn=9,则n等于
分析：由an=
得Sn=－[(1－ …+( =－1+
若Sn=9,即－1+ =9,∴n=99
设计
理念
讲练相结合讲解思路，寻求规律，使学生通过练习加深理解
学习目标
知识目标
等比数列的前n项求和公式
能力目标
综合运用等比数列的定义式、通项公式、性质及前n项求和公式解决相关问题.
德育目标
提高学生分析、解决问题的能力
板书设计
一、复习：等差数列前 项和的公式、等比数列定义、通项公式
三、例
四、关于等比中项：
北师大版高中必修5第一章数列课程设计
北师大版高中必修5第一章数列课程设计一、背景数列是数学中一种基本的概念，也是高中数学必修的一个章节。
数列的概念不仅在数学中有广泛的应用，也涉及到某些实际问题的策略和方法。
因此，数列的学习对高中数学的日常课程以及未来的学习和发展有重要的影响。
二、课程设计目标通过本课程，学生应该能够达到以下目标：•掌握数列的概念和性质；•熟练进行数列的公式推导及题目求解；•对数列的应用能够有一定的理解和掌握。
三、教学内容3.1 数列的概念1.数列概念1.等差数列的概念2.等比数列的概念3.斐波那契数列的概念2.数列的性质1.数列有界性及数列极限的概念2.数列的递推公式及通项公式3.2 数列的基本操作1.求和公式的推导及实际应用2.数列基本操作题目讲解及习题完成3.3 数列的应用1.数列在实际问题中的应用2.数列应用题目讲解及习题完成四、教学步骤4.1 第一课时4.1.1 导入数列是数学中的一个基础概念，本章的教学将介绍所涉及到的数列类型及数列的基本性质，让同学们对此有一个清晰的认识。
4.1.2 引入本节课将主要讲解等差数列的概念及性质，包括差、首项、公差等。
学生应该学会如何求出等差数列的通项公式及其与和式的关系。
4.1.3 操作1.老师首先讲解等差数列的概念及性质。
2.引导学生完成一系列简单的等差数列题目，以掌握其推导和应用方法。
3.最后让学生独立完成几道综合性的等差数列应用题目。
4.2 第二课时4.2.1 导入本节课将主要讲解等比数列的概念及性质，包括比、首项、公比等。
学生应该学会如何求出等比数列的通项公式及其与和式的关系。
4.2.2 引入本章主要讲解斐波那契数列的概念及其应用，引导学生从一个简单的问题入手，渐渐深入到一系列的高层应用。
4.2.3 操作1.老师首先讲解等比数列的概念及性质。
2.引导学生完成一系列简单的等比数列题目，以掌握其推导和应用方法。
3.最后让学生独立完成几道综合性的等比数列应用题目。
4.3 第三课时4.3.1 导入数列学习的最后一个环节是数列的应用，是这个学习过程的重点，将深入介绍数列在实际问题中的应用。
北师大版高中数学必修5第一章数列第2课时数列求和学案含解析
北师大版高中数学必修5：第2课时 数列求和内 容 标 准学 科 素 养1.掌握把非等差、等比数列问题转化为等差、等比数列解决的方法(分组转化法、裂项相消法).2.掌握数列求和的常用方法——错位相减法.3.掌握等差、等比数列及前n 项和的综合应用.加强方法归纳 提升数学运算 灵活综合应用授课提示：对应学生用书第26页[基础认识]知识点一 分组分解求和法 求和：112＋2122＋3123＋…＋⎝⎛⎭⎫n ＋12n . 提示：112＋2122＋3123＋…＋⎝⎛⎭⎫n ＋12n ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋⎝⎛⎭⎫12＋122＋123＋…＋12n ＝n （n ＋1）2＋12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝n （n ＋1）2＋1－12n . 分组分解求和的基本思路：通过分解每一项重新组合，化归为等差数列和等比数列求和．知识点二 奇偶并项求和法 求和12－22＋32－42＋…＋992－1002. 提示：12－22＋32－42＋…＋992－1002 ＝(12－22)＋(32－42)＋…＋(992－1002)＝(1－2)(1＋2)＋(3－4)(3＋4)＋…＋(99－100)(99＋100) ＝－(1＋2＋3＋4＋…＋99＋100) ＝－5 050.悉的等差数列、等比数列求和．但当求前n 项和而n 是奇数还是偶数不确定时，往往需要讨论．知识点三 裂项相消求和法 我们知道1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，试用此公式求和：11×2＋12×3＋…＋1n （n ＋1）.提示：由1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1得11×2＋12×3＋…＋1n （n ＋1）＝1－12＋12－13＋…＋1n －1（n ＋1）＝1－1n ＋1＝nn ＋1(n ∈N ＋)．知识梳理 如果数列的项能裂成前后抵消的两项，可用裂项相消法求和，此法一般先研究通项的裂法，然后仿照裂开每一项．裂项相消求和常用公式：(1)1n （n ＋k ）＝1k ⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋k ；(2)1n ＋k ＋n ＝1k(n ＋k －n )；(3)1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1；(4)1n （n ＋1）（n ＋2）＝12⎣⎡⎦⎤1n （n ＋1）－1（n ＋1）（n ＋2）.[自我检测]1．数列{2n －1＋1}的前n 项和为________．解析：设数列{2n －1＋1}的前n 项和为S n ，则S n ＝1＋1＋2＋1＋22＋1＋23＋1＋…＋2n －1＋1＝(1＋2＋22＋…＋2n －1)＋(1＋1＋…＋1) ＝1－2n 1－2＋n ＝2n ＋n －1. 答案：2n ＋n －12．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n （n ＋1）的前2 019项和为________．解析：设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n （n ＋1）的前n 项和为S n ，∵a n ＝2n （n ＋1）＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1∴S n ＝2⎣⎡⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎦⎤⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝2⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1， ∴S 2 019＝2×2 0192 019＋1＝2×2 0192 020＝2 0191 010.答案：2 0191 0103．已知数列a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n －1，n 为奇数，n ，n 为偶数，则S 100＝________．解析：S 100＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100 ＝0＋2＋2＋4＋4＋…＋98＋98＋100 ＝2·2(1＋2＋…＋49)＋100＝4·50×492＋100＝5 000.答案：5 000授课提示：对应学生用书第26页探究一 分组转化法求数列的和[例1] 已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和．[解析] (1)等比数列{b n }的公比q ＝b 3b 2＝93＝3，所以b 1＝b 2q＝1，b 4＝b 3q ＝27.设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝27， 所以1＋13d ＝27，即d ＝2.所以a n ＝2n －1(n ＝1，2，3，…)．(2)由第(1)问知，a n ＝2n －1，b n ＝3n －1.因此c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3n －1. 从而数列{c n }的前n 项和S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＋1＋3＋…＋3n －1 ＝n （1＋2n －1）2＋1－3n 1－3＝n 2＋3n －12.方法技巧 如果一个数列的通项公式可写成c n ＝a n ±b n 的形式，而数列{a n }，{b n }是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可采用分组转化法求和．跟踪探究 1.S n ＝3＋33＋333＋…＋＝________．解析：数列3，33，333，…，的通项公式a n ＝13(10n －1)．所以S n ＝13(10－1)＋13(102－1)＋…＋13(10n －1)＝13(10＋102＋…＋10n )－n 3＝13×10（1－10n ）1－10－n 3＝1027(10n －1)－n 3. 答案：1027(10n －1)－n 3探究二 错位相减法求数列的和[例2] 已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝27，S 4－b 4＝10.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)记T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，n ∈N ＋，证明T n －8＝a n －1b n ＋1(n ∈N ＋，n ≥2)． [解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 等比数列{b n }的公比为q ， 由a 1＝b 1＝2，得a 4＝2＋3d ，b 4＝2q 3，S 4＝8＋6d .由条件，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧2＋3d ＋2q 3＝27，8＋6d －2q 3＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝2.所以a n ＝3n －1，b n ＝2n ，n ∈N ＋. (2)证明：由(1)得T n ＝2×2＋5×22＋8×23＋…＋(3n －1)×2n ，①2T n ＝2×22＋5×23＋…＋(3n －4)×2n ＋(3n －1)×2n ＋1.② 由①－②，得－T n ＝2×2＋3×22＋3×23＋…＋3×2n －(3n －1)×2n ＋1＝6×（1－2n ）1－2－(3n －1)×2n ＋1－2＝－(3n －4)×2n ＋1－8，∴T n ＝(3n －4)×2n ＋1＋8∴T n －8＝(3n －4)×2n ＋1.而当n ≥2时，a n －1b n ＋1＝(3n －4)×2n ＋1， 所以T n －8＝a n －1b n ＋1，n ∈N ＋，n ≥2.方法技巧 “错位相减法”求数列前n 项和的类型及注意事项 (1)类型：如果数列{a n }是等差数列，公差为d ；数列{b n }是等比数列，公比为q ，则求数列{a n b n }的前n 项和就可以运用错位相减法． (2)注意事项：①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形更值得注意； ②在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式；③应用等比数列求和公式必须注意公比q ≠1这一前提条件，如果不能确定公比q 是否为1，应分两种情况讨论．跟踪探究 2.数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N ＋.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解析：(1)证明：由已知可得a n ＋1n ＋1＝a nn＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1. 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝1为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)得a nn＝1＋(n －1)·1＝n ，所以a n ＝n 2.从而b n ＝n ·3n . S n ＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋n ·3n ，①3S n ＝1·32＋2·33＋…＋(n －1)·3n ＋n ·3n ＋1.②①－②得－2S n ＝31＋32＋…＋3n －n ·3n ＋1＝3·（1－3n ）1－3－n ·3n ＋1＝（1－2n ）·3n ＋1－32.所以S n ＝（2n －1）·3n ＋1＋34.探究三 裂项相消法求数列的和 [例3] 求和： 122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n 2－1，n ≥2，n ∈N ＋. [解析] ∵1n 2－1＝1（n －1）（n ＋1）＝12⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋1. ∴原式＝12⎣⎡⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫12－14＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎦⎤⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1＋12－1n －1n ＋1 ＝34－2n ＋12n （n ＋1）(n ≥2，n ∈N ＋)． 方法技巧 对于通项公式是分式的一类数列，在求和时常用“裂项法”．可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项．常见的拆项公式有：(1)1n （n ＋k ）＝1k ·⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋k .(2)若{a n }为等差数列，公差为d ，则1a n ·a n ＋1＝1d ⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1.(3)1n ＋1＋n＝n ＋1－n .跟踪探究 3.求和： 2222－1＋3232－1＋4242－1＋…＋n 2n 2－1，n ≥2，n ∈N ＋. 解析：∵n 2n 2－1＝n 2－1＋1n 2－1＝1＋1n 2－1，∴原式＝⎝⎛⎭⎫1＋122－1＋⎝⎛⎭⎫1＋132－1＋⎝⎛⎭⎫1＋142－1＋…＋⎝⎛⎭⎫1＋1n 2－1＝(n －1)＋⎝⎛122－1＋132－1＋⎭⎫142－1＋…＋1n 2－1 以下同例3解法．4．已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n ＋12a n ＝1(n ∈N ＋)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 13(1－S n ＋1)(n ∈N ＋)，令T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1，求T n .解析：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1，由S 1＋12a 1＝1，得a 1＝23，当n ≥2时，S n ＝1－12a n ，S n －1＝1－12a n －1，则S n －S n －1＝12(a n －1－a n )，即a n ＝12(a n －1－a n )，所以a n ＝13a n －1(n ≥2)．故数列{a n }是以23为首项，13为公比的等比数列．故a n ＝23·⎝⎛⎭⎫13n －1＝2·⎝⎛⎭⎫13n (n ∈N ＋)． (2)因为1－S n ＝12a n ＝⎝⎛⎭⎫13n . 所以b n ＝log 13(1－S n ＋1)＝log 13⎝⎛⎭⎫13n ＋1＝n ＋1，因为1b n b n ＋1＝1（n ＋1）（n ＋2）＝1n ＋1－1n ＋2，所以T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n 2（n ＋2）. 探究四 等差、等比数列及前n 项和的综合应用[例4] 已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d ＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1n （a n ＋3）(n ∈N ＋)，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，是否存在最大的整数t ，使得对任意的n均有S n ＞t36总成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．[解析] (1)由题意得(a 1＋d )(a 1＋13d )＝(a 1＋4d )2，整理得2a 1d ＝d 2.∵a 1＝1，解得(d ＝0舍)，d ＝2.∴a n ＝2n －1(n ∈N ＋)．(2)b n ＝1n （a n ＋3）＝12n （n ＋1）＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝n 2（n ＋1）. 假设存在整数t 满足S n ＞t36总成立，又S n ＋1－S n ＝n ＋12（n ＋2）－n2（n ＋1）＝12（n ＋2）（n ＋1）＞0， ∴数列{S n }是单调递增的．∴S 1＝14为S n 的最小值，故t 36＜14，即t ＜9.又∵t ∈N ＋，∴适合条件的t 的最大值为8.方法技巧 与等差、等比数列有关的综合问题，解题中应注意的方法与技巧(1)转化思想：将非等差(比)数列转化，构造出新的等差(比)数列，以便于利用其公式和性质解题．(2)等差(比)数列公式和性质的灵活应用．(3)当题中有多个数列出现时，既要研究单一数列项与项之间的关系，又要关注各数列之间的相互联系．(4)涉及前n 项和S n 的，要注意a n ＝S n －S n －1(n ≥2)在a n 与S n 关系中的应用．跟踪探究 5.设数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和S n 满足关系式：3tS n －(2t ＋3)S n －1＝3t (t ＞0，n ＝2，3，4，…)．(1)求证：数列{a n }是等比数列；(2)设数列{a n }的公比为f (t )，作数列{b n }，使b 1＝1，b n ＝f ⎝⎛⎭⎫1b n －1(n ＝2，3，4，…)．求数列{b n }的通项b n ；(3)求和：b 1b 2－b 2b 3＋b 3b 4－b 4b 5＋…＋b 2n －1b 2n －b 2n ·b 2n ＋1. 解析：(1)证明：由a 1＝S 1＝1，S 2＝1＋a 2，得a 2＝3＋2t 3t ，a 2a 1＝3＋2t3t.又3tS n －(2t ＋3)S n －1＝3t ，① 3tS n －1－(2t ＋3)S n －2＝3t .②①－②，得3ta n －(2t ＋3)a n －1＝0. ∴a n a n －1＝2t ＋33t ，(n ＝2，3，…)．∴数列{a n }是一个首项为1，公比为2t ＋33t的等比数列．(2)由f (t )＝2t ＋33t ＝23＋1t，得b n ＝f ⎝⎛⎭⎫1bn －1＝23＋b n －1.∴数列{b n }是一个首项为1，公差为23的等差数列．∴b n ＝1＋23(n －1)＝2n ＋13.(3)由b n ＝2n ＋13，可知{b 2n －1}和{b 2n }是首项分别为1和53，公差均为43的等差数列，且b 2n ＝4n ＋13，于是b 1b 2－b 2b 3＋b 3b 4－…＋b 2n －1b 2n －b 2n b 2n ＋1 ＝b 2(b 1－b 3)＋b 4(b 3－b 5)＋…＋b 2n (b 2n －1－b 2n ＋1)＝－43(b 2＋b 4＋…＋b 2n )＝－49(2n 2＋3n ).授课提示：对应学生用书第28页[课后小结]求数列的前n 项和，一般有下列几种方法 (1)错位相减适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． (2)分组求和把一个数列分成几个可以直接求和的数列． (3)裂项相消把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和． (4)奇偶并项当数列通项中出现(－1)n 或(－1)n ＋1时，常常需要对n 取值的奇偶性进行分类讨论． (5)倒序相加例如，等差数列前n 项和公式的推导方法．[素养培优]忽略等比数列前n 项和公式应用的条件致误 求数列1，2a ，4a 2，8a 3，…的前n 项和S n .易错分析 等比数列与等差数列相比，具有更多地特殊性，例如：等比数列中任何一项均不为零，等比数列的求和公式中，要分q ＝1和q ≠1两种情况，分别求解．因此当数列中的项含有字母时，要注意分类讨论、本题容易忽视对参数a 的讨论而致误、考查分类讨论的学科素养．自我纠正 (1)当a ＝0时，易得数列的前n 项和S n ＝1.(2)当a ≠0时，数列是公比为2a 的等比数列．若2a ＝1，即a ＝12，这时数列为常数列．S n ＝n ×1＝n ；若2a ≠1，即a ≠12，其前n 项和S n ＝1－（2a ）n 1－2a，又当a ＝0时，S n ＝1，适合S n ＝1－（2a ）n1－2a.故S n ＝⎩⎨⎧1－（2a ）n 1－2a，a ≠12.n ， a ＝12.。
高中数学第一章数列1.3.2等比数列前N项和教案北师大版必修5
信息技术应用分析 学习目标 情感、态度与价值 观 知识与技能 过程与方法 知识与技能 过程与方法 知识与技能 情感、态度与价值 观 知识与技能 过程与方法 媒体内容与形式 视频 电子白板 （时钟计时器） 电子白板 （特效交互功能） 电子白板（移动、 智能笔、 特效交互 功能） 电子白板 （特效交 互功能、钢笔） 使用方式 教师播放 教师演示 教师演示 教师演示 学生操作 学生操作演示 设计意图 温故知新， 形成对 知识的整体感知。 媒体来源 下载 教师制作 教师制作
教材分析
学情分析
三维目标
知识与能力 理解用错位相减法推导等比数列前 n 项和公式的过程， 掌握公式的特点，
1
并在此基础上能简单的应用公式. 过程与方法 在推导公式的过程中渗透类比，方程，特殊到一般的数学思想、方法，优化 学生思维品质． 情感态度与价值观 通过故事引入，学生自主探索公式，激发他们的求知欲，体验错位相减法所 折射出的数学方法美及学好数学的必要性. 教学重难 点 教学重点 等比数列的前 n 项和公式的推导和公式的简单应用． 教学难点 由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前 n 项和公式 教法 与 学法 知识点 课程导入 创设情境 揭示课题 讲练结合，演示法，讨论学习
归纳公式
教师制作
课堂练习
教师制作 批注
师生活动 （一） 温故知新 问题 1：在前面的学习中我们了解 了一般数列的研究方法，并对一个特殊 的数列等差数列进行了深入研究；请同 学们回顾研究等差数列的过程，思考我 们研究了等差数列的哪些问题？ 接下来我们研究等比数列也要从 这四个方面进行研究，我们已经学习了 等比数列的定义、通项公式、性质，今 天我们继续研究等比数列的前 n 项和。 （二） 问题引入 想一想，你需要知道关于这个数列 的哪些信息，就可以告诉我它的前 n 项
我的教学设计《等比数列求和》
课题
一、知识点
（一）
（二）
例题：
1．
2．
6．教学活动设计（含师生对话设计）
学生是认知的主体，设计教学过程必须遵循学生的认知规律，
尽可能地让学生去经历知识的形成与发展过程，结合本节课的特点，我设计了如下的教学过程：
（一）创设情境，提出问题
在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印
首先，学生独立思考，自主解题，再请学生上台来幻灯演示他们的解答，其它同学进行评价，然后师生共同进行总结。
【设计意图】：采用变式教学设计题组，深化学生对公式的认
识和理解，通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形成。通过以上形式，让全体学生都参与教学，以此培养学生的参与意识和竞争意识。
4、教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用。
5、教学难点：公式的推导方法和公式的灵活运用。公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数学思想，所以既是重点也是难点。
4.教学过程
要改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流合作的能力，对这一目标本人认为更加注重培养学生作为学习主体的能动性、独立性、创造性、发展性。心理学家研究发现，9~22岁的学生正处于创新思维的培养期，高中生正好处于这一关键年龄段，作为数学教师应因势力导，培养学生的创新思维能力。利用问题探究式的方法对新课加以巩固理解。在生生、师生交流的过程中，体现对弱势学生更多的关心。
【设计意图】：在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已
北师大版 高中数学 必修五 第一章 数列求和教学设计
数列求和教学设计一、教材分析数列的求和是北师大版高中必修5第一章第内容。
它是等差数列和等比数列的延续，与前面学习的函数也有着密切的联系。
它是从实际问题中抽离出来的数学模型，实际问题中有广泛地应用。
同时，在公式推导过程中蕴含着分类讨论等丰富的数学思想。
二、教法分析基于本节课是专题方法推导总结课，应着重采用探究式教学方法。
在教学中以学生的讨论和自主探究为主，辅之以启发性的问题诱导点拨，充分体现学生是主体，教师服务于学生的思路。
三、学法分析在此之前，已经学习了等差数列与等比数列的概念及通项公式，已经具备了一定的知识基础。
在教师创设的情景中，结合教师点拨提问，经过交流讨论，形成认识过程。
在这个过程中，学生主动参与学习，提高自身的数学修养。
让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力。
四、三维目标1知识与技能理解掌握各种数列求和的方法,学会解析数列解答题,提高解决中难题的能力.2过程与方法通过对例题的研究使学生感受数列求和方法的多样性3情感态度与价值观感受数学问题的差异，但又能以不同的方法加以解决，进而体会到数学知识的灵活性五、教学重点与难点本着课程标准，在吃透教材的基础上，我确立如下教学重点与难点：重点：数列求和公式的推导及其简单应用。
此推导过程中蕴含了分类讨论，递推、转化等重要思想，是解决一般数列求和问题的关键，所以非常重要。
为此，我给出了四种方法进行数列求和，加深学生理解，突出重点。
难点：数列求和公式的推导及应用。
在此之前，已经学习了等差数列与等比数列的前n项和，可由此引发进行数列求和的专题学习，为此，我引导学生先进性等差与等比数列的复习。
由此引入专题学习。
下面，为了讲清重点和难点，达到本节课的教学目标，我再从教法学法上谈谈：六、教学过程a+++1)≠六．教学反思这节课是高中数学必修5第二章数列的重要的内容之一，是在学习了等差、等比数列的前n项和的基础上，对一些非等差、等比数列的求和进行探讨。
北师大版高中数学必修5第一章《数列》等比数列的前n项和
= 18446744073709551615(粒) 18446744073709551615(粒
假定千粒麦子的质量为10g,那么麦 假定千粒麦子的质量为10g,那么麦 粒的总质量超过了7000亿吨 亿吨。 粒的总质量超过了7000亿吨。
4 人们估计，全世界两千年也难以生产这么多麦子! 人们估计，全世界两千年也难以生产这么多麦子!
10
1、等比数列1，2，4，8，…从第5项到 、 从第5 ， ， ， 从第 10项的和为 第10项的和为 6 4 6
a5 1− q 2 1− 2 1− 2 1− 2 = − S = S10 −S4 = 或S= 1− 2 1− 2 1− q 1− 2
10 4
(
)
(
)
2、求数列1，x，x2，x3，…，xn，…的 、求数列 ， ， ， 的 项和。 前n项和。 项和
2
n −1
12
解：由题意，从第1年起，每年的产量 由题意，从第1年起， 组成一个等比数列 其中
{an},
5 1 − 1.1n ∴ = 30. 1 − 1.1
(
a1 = 5, q = 1 + 10% = 1.1, S n = 30,
)
即 1 . 1n = 1 . 6 .
n ⋅ lg 1 . 1 = lg 1 . 6
15
用数学的观点看问题， 用数学的观点看问题， 一些所谓不可理解的事就可 以给出合理的解释，从而帮 以给出合理的解释， 助我们用科学的态度认识世 界。
16
练习： 教材练习第 、 、 题 练习：教材练习第1、2、3题. 课堂小结：本节学习了如下内容： 课堂小结：本节学习了如下内容：1.等比数列 等比数列 项和公式的推导； 前n项和公式的推导；特别是在推导过程中，学 项和公式的推导 特别是在推导过程中， 到了“错位相减法” 到了“错位相减法”. 2.等比数列前 项和公式的应用 因为公式涉及到 等比数列前n项和公式的应用 等比数列前 项和公式的应用.因为公式涉及到 等比数列的基本量中的4个量 个量， 等比数列的基本量中的 个量，一般需要知道其 中的3个 才能求出另外一个量.另外应该注意的 中的 个，才能求出另外一个量 另外应该注意的 由于公式有两个形式， 是，由于公式有两个形式，在应用中应该根据题 意所给的条件，适当选择运用哪一个公式. 意所给的条件，适当选择运用哪一个公式 在 使用等比数列求和公式时，注意q的取值是至关 使用等比数列求和公式时，注意 的取值是至关 重要的一个环节，需要放在第一位来思考. 重要的一个环节，需要放在第一位来思考 布置作业:课本习题 课本习题1-3 B组2、3 布置作业 课本习题 组 、 教学反思： 五、教学反思：
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数列求和教学设计一、教材分析
数列的求和是北师大版高中必修5第一章第内容。
它是等差数列和等比数列的延续，与前面学习的函数也有着密切的联系。
它是从实际问题中抽离出来的数学模型，实际问题中有广泛地应用。
同时，在公式推导过程中蕴含着分类讨论等丰富的数学思想。
二、教法分析
基于本节课是专题方法推导总结课，应着重采用探究式教学方法。
在教学中以学生的讨论和自主探究为主，辅之以启发性的问题诱导点拨，充分体现学生是主体，教师服务于学生的思路。
三、学法分析
在此之前，已经学习了等差数列与等比数列的概念及通项公式，已经具备了一定的知识基础。
在教师创设的情景中，结合教师点拨提问，经过交流讨论，形成认识过程。
在这个过程中，学生主动参与学习，提高自身的数学修养。
让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力。
四、三维目标
1知识与技能
理解掌握各种数列求和的方法,学会解析数列解答题,提高解决中难题的能力.
2过程与方法
通过对例题的研究使学生感受数列求和方法的多样性
3情感态度与价值观
感受数学问题的差异，但又能以不同的方法加以解决，进而体会到数学知识的灵活性
五、教学重点与难点
本着课程标准，在吃透教材的基础上，我确立如下教学重点与难点：
重点：数列求和公式的推导及其简单应用。
此推导过程中蕴含了分类讨论，递推、转化等重要思想，是解决一般数列求和问题的关键，所以非常重要。
为此，我给出了四种方法进行数列求和，加深学生理解，突出重点。
难点：数列求和公式的推导及应用。
在此之前，已经学习了等差数列与等比数列的前n项和，可由此引发进行数列求和的专题学习，为此，我引导学生先进性等差与等比数列的复习。
由此引入专题学习。
下面，为了讲清重点和难点，达到本节课的教学目标，我再从教法学法上谈谈：
六、教学过程
页 1 第
助学生回作答n?)aa(1?1)?(a?忆方法和
?a1??公式?1)a?na(?Sn: n项和巩固练习:求下列各数列的前(Sn=n2) …。
1.{an}:1,3,5,…,2n-1,
n1111 , ,(),,, 2.{bn}: 2482（分组转化法）2.分组求和法:
3n2222…1+2，2+，3+,，…，n+例2.求数列
3n2222)
…+(ｎSn=(1+2)+(2+ +)+(3+ )+
3n2222+n)+(2+) +++……=(1+2+3+
1)?n(n1?n2-1 += n:
反思与小结
3n2222教师引掌握不同n+。
,…的前n项和数列1+2，2+，3+，…，让学生导，结构的数({an}为等差或等比数列。
）、{bn} 项的特征cn=an+bn 在分析题列的求解n目的过程方法，另{2加一个等比} 要善于从通项公式中看本质：一个等差{n}
中找到解则有时我们需求出外要特别观察通项公式，如果通项公式没给出，题的方法通项公式，这样才能找规律解题。
巩固练习n
的前……9999991.求数列，，，.n项和Ｓ
页 2 第
页 3 第
页 4 第五：板书设计
六．教学反思页 5 第。