一类高阶的差分方程解的稳定性

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一类高阶有理差分方程的全局渐近稳定性

Ｇｏａａｙｔｔａｉｔｆａｓｆｉｈｏｄｒｒｔｎｌｉｅｅｃｕｔｎｌｂｌｓｍｐｏｉｓｂｌｙｏｃｓｏｇ－ｒｅａｉａｄｆｒｎｅｑａｉｃｔｉａｌｈｏｆｅｏ
ＨＵｏｉｅｇ，ＭＩＨａ－ｎｆＡＯ－ｎ，ＺＨＡＮＧａｇＬｉｍｉｇＬｉｎ
— —
其他相关结果见文献［～５．３］
１相关定义及引理
定义ｌ式（）任一正解｛）为关于三２的ｏ称；ｏ最终平凡的，如果｛）最终等于；；否则被称为非
平凡的．
ｘ＿－ｋ，，
—
ｑａ－
（）１
Ｚｌ… ，Ｏ０∞ ）ａ０∞）Ｓｉ｛一ｍ，－ｋ．ｓ，Ｘ ∈（，，Ｅ［，，＋￣ｍｎ１ｌ｝
关键词：有理差分方程；解的符号；局渐近稳定性全
中图分类号：７０１５文献标识码：Ａ
的局近定，：ｋＺ五全渐稳性中，＋，武ｍＥ，
令
Ａ一｛）－ｏｌ — ｏ ’ ｉ１２… ，一，，ｍ
显然，每一个Ａ是式（）２的解序列｛）ｏ一的模ｍ：ｏ同余类，：故
｛）ｌ．｛，，，）ｏ一一ＡｌＡ２… Ａ：ｏ
基金项目：甘肃省自然科学基金（Ｚ０２Ｂ５１）甘肃省教３Ｓ４－２－３，０育厅基金（４６－８Ｏ１ＢＯ）
ｚ＂，ｒ — ，－ｚｌ－
令一则由１得而，式（）
Ｘｎ一

1差分方程稳定性

则 ① 当1, 2是两个不同实根时,二阶常系数线性差分方程的通解为 xn= x*+ C1(1)n + C2(2)n ; ② 当1, 2=是两个相同实根时,二阶常系数线性差分方程的通解为 xn= x* + (C1 + C2 n)n; ③ 当1, 2= (cos + i sin ) 是一对共轭复根时,二阶常系数线性差分方程的通解为 xn = x*+ n (C1cosn + C2sinn ). 易知,当且仅当特征方程的任一特征根 |i |＜1 时, 平衡点x*是稳定的.
对于一阶非线性差分方程 xn+1 = f (xn ) 其平衡点x*由代数方程 x = f (x) 解给出. 为分析平衡点x*的稳定性, 将上述差分方程近似为一阶常系数线性差分方程
xn1 f ( x*)( xn x*) f ( x*),
当 | f ( x*) | 1 时,上述近似线性差分方程与原非线性差分方程的稳定性相同. 因此当 | f ( x*) | 1 时, x*是稳定的；当 | f ( x*) | 1 时, x*是不稳定的.
若有常数a是差分方程(1)的解, 即 F (n; a, a, … , a ) = 0, 则称 a是差分方程(1)的平衡点. 又对差分方程(1)的任意由初始条件确定的解 xn= x(n)都有 xn→a (n→∞), 则称这个平衡点a是稳定的. 一阶常系数线性差分方程 xn+1 + axn= b, (其中a, b为常数, 且a ≠ 0)的通解为 xn=C(- a) n + b/(a + 1) 易知b/(a+1)是其平衡点, 由上式知, 当且仅当 |a|＜1时, b/(a +1)是稳定的平衡点.

一类高阶有理差分方程的全局渐进稳定性

㈩
其中Ｆ — ｆ（ … １一２ … ，ｎｒ， — ｇ（，一２… ，一， — ｈｘ一１一２・，ｎＰ，ｘ，，，Ｘ－ｋＧ）ｘ一１，）Ｈ（ｐ，，・Ｘ－１）
∈ Ｃ（Ｏ，。）（。）ｇ ∈ Ｃ（Ｏ，。），Ｏ，。）ｈ∈ Ｃ（Ｏ。），Ｏ。），Ｚｉ∈ ｛，３ … ｝０≤ ｒ ≤ （。，Ｏ，。），（。（。），（，。（，。）ｋ，，１２，，，，
．
一
吉一
＃等一＋＋＋６＋６ｎ６１＋易ｎ＋
ｎ＋ｎ＋６＋ｃ＋ｃ＋
若ｎ≥ １６＜１ｃ１则有ｎ— ｎ６一，，＜，，，．（）可得 ≥ １故ｃ一由２，
收稿日期：０７０ — ３２０— ７２
Ｖ０＿Ｎｏ１ｌ７．
Ｍａ．２０ｒ０８
２００８年３月
一
类高阶有理差分方程的全局渐进稳定性
牛文英王小梅闰卫平
（山西大学数学科学学院，山西太原０００）３０６
［要］对一类高阶有理差分方程的唯一正解及其全局渐进稳定的充分条件进行了研究，摘并
盘ｃ＋盘＋ｂ－ｂＩｌ－ｃａ．Ｃ－＋１ｂ２ｌ－ａＩＣｌ－ｂ
１
。ｂ
１
。Ｃ
同，ａ，足余种形，得｝昙十理当，满其四情时也＝６ｃ可去＿

差分方程模型的稳定性分析分析解析

学校代码107221306052104分类号0175.1密级公开. 差分方程模型的稳定性分析 ..... Stability analysis of difference equation model作者姓名党臭燕专业名称一…数学与应用数学学科门类指导教师提交论文日期成绩评定 ___________________________________ 题目仲、英 ___ 理学 _____王振华二零一六年六月摘要微分方程是研究数学的一个重要分支，是本科期间我们必须掌握的基本知识，而本文我们研究的是一个递推关系式，也称差分方程。

它是一种离散化的微分方程，是利用描述客观事物的数量关系的一种重要的数学思想来建立模型的。

而利用差分方程建立模型解决问题的方法在生活中随处可见，比如在自由竞争市场经济中的蛛网模型是利用差分方程分析经济何时趋于稳定，又如金融问题中的养老保险也是利用差分方程来分析保险品种的实际投资价值。

而差分方程模型是描述客观世界中随离散时间变量演化规律的有力建模工具。

本文首先给出差分方程的定义以及求解过程并给出判断差分方程稳定性的判断方法，随后以同一环境下的羊群和草群的相互作用为模型分析其种群的数量变化过程，进而研究线性差分方程的稳定性，最后用一个实际模型来更好的说明差分方程的稳定性对解决实际问题有非常大的帮助。

关键字：差分方程；差分方程模型；平衡点；稳定性AbstractDifference equation is also called recursive equation, it is to describe the relationship between the number of objective things of a kind of important mathematical model. And the use of the differential equation model of the solution can be found everywhere in life. Such as cobweb model in the free market economy is to use the difference equation analysis when the economic stability, and as the financial problem of pension insurance breed difference equation is used to analysis the actual investment value. This paper gives the judge the stability of difference equation to judge method, then in the same group of sheep and grass under the environment of interaction analysis for the model a process, the number of the population change, in turn, study the stability of the linear difference equation. In the end, one practical model to better explain the stability of difference equation.Key words: Difference equation;Difference equation model ; Balance point; Stability目录摘要 (1)Abstract (II)目录 (III)引言 (1)1、差分方程的定义及其分类 (1)（1）差分算子： (1)2. 差分方程的求解与稳定性判断方法: (2)（1）差分方程的求解： (2)（2）.差分方程的平衡解稳定性判断方法： (4)3. 差分方程模型的应用： (4)3.1 模型：种群模型 (4)3．11 模型的引入与假设 (4)3．12线性差分方程模型的建立与求解 (5)3．13生态模型的平衡点及稳定性分析: (7)总结 (10)参考文献 (11)附录 (12)谢辞 (13)咸阳师范学院2016届本科毕业设计(论文)引言随着科学技术的不断发展，将数学思想融入实际生活解决社会问题变得非常普遍。

差分方程及其稳定性分析

差分方程及其稳定性分析随着科技的不断发展和应用，数学作为一门基础学科，得到了越来越广泛的应用。

其中，差分方程作为一种离散化的微积分，被广泛地运用于电子、天文、生物、经济等领域中的模型计算和分析。

本文将介绍差分方程的基本概念和常见类型，以及如何对其进行稳定性分析。

一、差分方程的基本概念差分方程是指在内插点上的函数值之间的关系方程，其通常形式为：$$x_{n+1} = f(x_n)$$其中，$x_{n}$ 表示第 $n$ 个内插点的函数值，$f$ 是描述$x$ 的随时间变化关系的任意函数。

当然，差分方程还可以有更多的变量和函数，形式也可以更加复杂。

二、差分方程的类型根据差分方程的形式和特征，可将其分为以下几种类型：1、线性差分方程线性差分方程的一般形式为：$$x_{n+1} = ax_n+b$$其中，$a,b$ 为常数，$x_n$ 为第 $n$ 个内插点的函数值。

线性差分方程的求解可以采用常数变易法、特征方程法、生成函数法等多种方法。

2、非线性差分方程非线性差分方程是指其中的关系函数 $f$ 不是线性函数。

一般来说，非线性差分方程更难于求解。

3、线性递推方程线性递推方程是指卷积和形式的一类差分方程。

其形式为：$$x_{n+k} = a_1x_{n+k-1} + a_2x_{n+k-2} + \cdots + a_kx_n$$其中，$a_1,a_2,\cdots,a_k$ 为常数。

三、稳定性分析差分方程作为一种离散化的微积分，常常代表系统的动态演化过程。

因此，判断差分方程的解在过程中是否保持稳定性非常重要。

下面将介绍两种常见的差分方程稳定性分析方法。

1、线性稳定性分析法线性稳定性分析法是指对线性差分方程的解进行稳定性分析。

对于一般型的线性差分方程：$$\Delta x_{n+1} = a\Delta x_n$$其中，$\Delta x_n = x_{n+1} - x_n$，$a$ 为常数。

通过求解特征方程 $r-1=ar$，求得 $a$ 的值，便可判断差分方程解的稳定性。

一类高阶时滞差分方程的有界持久性与全局渐近稳定性

（）２
初值一一＋一，ｌ为任意正数．， — ，０
方程（）ｋ＝１的特殊情况已被文献广泛地研究过．例如，［，］到了当Ａ，ｌ１时文１２得０Ａ ∈ （，，０ｐ ∈ （，），程（）０ ∞）ｐ，ｌ０１时方１的正平衡点是其一切正解的全局吸引子；［］文２还证明了ｐ０
文献标识码：Ａ
中图分类号：Ｏ１５７７．
引
言
考虑下列高阶时滞差分方程
Ｘ＋ｎｌ其中
Ａｏ
：
＋
＋… ＋ “＋
（：０ｌ２ … ）ｎ＇，，Ｊ ’ ， ’
… （）１
Ａ，‘ ［，，ｉＰ ∈ ０ ∞）
（ｉ＝０１２ … ｋｋ∈ （，，），，，，；１２ … ）
＝ｐｌ＝１方程（）时１的正平衡点是全局渐近稳定的．对Ａ， ∈ （，，０＝２ｐ＝１２０Ａｌｏ ∞）ｐ，ｌ／时
的一些结果及公开问题，可见文［，］当ｐ３４；ｌ＝０时的一些结果．文［，］见５６．
文章编号：ＯＯＯ８（ｏ２１－１８ｏｌＯ－８７２ｏ）１１８－７
一
类高阶时滞差分方程的有界持久性
与全局渐近稳定性。
李先义
（．华大学数理部，南衡阳４１０；．东师范大学数学系，海２０６）１南湖２０１２华上００２

关于高阶时滞差分方程的稳定性研究

ａｒｅｚｅｒｏ
ｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅａｂｏｖｅ
ｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄｂｙｐａｒａｍｅｔｅｒｓ
ｏｆｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ｗｈｉｃｈｗｉｌｌｂｅｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔｆｏｒａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓａｎｄｖｅｒｉｆｉｃａｔｉｏｎｓ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｄｅｌａｙｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｅｑｕａｔｉｏｎ；ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｅｑｕａｔｉｏｎ；ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃｓｔａｂｉｌｉｔｙ；
ｚｒＩ＋１＝—＋Ｂ—４ｘ．－４＋Ｘｎ一七一４＇ｎ＝
及线性方程
‰＋１：—丝垒二４＿＋Ｃｘｎ一七一４，ｎ：０，１，２，．．．Ａ）１．３．１（【Ｌ
，ｌ＇ｚ，…
・上Ｊ
％＋５一ａｘ竹＋ｂｘ。一ｋ＝０，ｎ＝０，１，２，… 的稳定性．其中角，Ｂ４，Ａ，ａ及６为常数，ｋ＞１正整数，得到如下结果．
（１．３．２）
定理１．３．１方程（１．３．２）零解渐近稳定，当且仅当下列条件之一成立：（ａ）ｋ三Ｏ（ｍｏｄ
七兰２（ｍｏｄ３），０＜Ｄ＜１，口一１＜ｂ＜ｂ（ａ，≯１）；－１＜ａ＜０，一口一ｌ＜（－ｔ）七＋１ｂ＜ｂ（ａ，≯１），
其中≯，是堕呈ｓ业ｉｎ业ｋＯ＝ｌｏＩ在（翳等，孥）内的解．
一２一
第ｌ章
综述
有理差分方程稳定性研究见文【２７一删．
１．３文章主要内容及结果
第１章综述我们主要介绍了本课题研究背景及国内外发展状况．第２章我们给出本文所用到的基本概念以及基本引理．在第３章中我们研究一类有理型时滞差分方程
曲
ｂｉｏｗｔｈｅｒｅｓｅａｒｃｈｏｆｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆｌｉｎｅａｒｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｅｑｕａｔｉｏｎｓａｎｄｒａｔｉｏｎａｌｄｉｆｆｅｒ－

一类高阶线性差分方程的全局稳定性

文章编号１００４．６４１０（２０１３）０２．００３２．０４
一
类高阶线性差分方程的全局稳定性
王琦，张更容，韩松，李乃雄
（１．广西科技大学理学院，广西柳州５４５００６；２．广西大学数学与信息科学学院，广西南宁５３０００４）
第２４卷第２期２０１３年６月
广西科技大学学报
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＧＵＡＮＧＸＩＵＮＩＶＥＲＳｎＹＯＦＳＣＩＥＮＣＥＡＮＤＴＥＣＨＮ０Ｌ０ＧＹ
Ｖｏ１．２４Ｎｏ．２
Ｊｕｎｅ２０１３
问题．
关键词：线性差分方程；收敛；有界性中圈分类号：Ｏ１７５文献标志码：Ａ
０引言
离散系统理论在经济学、自动控制工程、通讯、雷达技术、生物医学工程、图像技术、电动力学系统及核物理学等学科已发挥了巨大作用，随之而来的是人们对差分方程理论的需求．而差分方程模型是应用广泛的一类离散数学模型，它在生态学、生理学、物理学、工程学、自动控制与设计、数值计算及经济学研究
其中ｋ＝７，ａ＝Ｏ．４，ａｌ＝ａ２＝ａ４＝ａ￣＝ａ６＝０，锄０．３，ａＴ＝０．５．

差分方程稳定性PPT课件

则称 a是差分方程(1-1)的平衡点.
又对差分方程(1-1)的任意由初始条件确定
的解 xn= x(n)都有 xn→a (n→∞),
则称这个平衡点a是稳定的.
一阶常系数线性差分方程
xn+1 + axn= b, (其中a, b为常数, 且a ≠-1, 0)的通解为
xn=C(- a) n + b/(a + 1) 易知b/(a+1)是其平衡点, 由上式知, 当且仅当|a|＜1时, b/(a +1)是稳定的平衡点.
讨论 x* 的稳定
性
SUCCESS
THANK YOU
2020/9/29
补充知识(刚学过的):
一阶非线性差分方程 xk1 f (xk ) (1) 的平衡点及稳定性
(1)的平衡点 x*——代数方程 x=f(x)的
根 (1)的近似线性方 xk1 f ( x*) f ( x*)( xk x*) (2) 程
b=2.6 0.2000 0.4160 0.6317 0.6049
0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154
b=3.3 0.2000 0.5280 0.8224 0.4820
0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236
离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性
y
yk 1
yk
ryk (1
k
N
)
(1)
变量代换
xk
r (r 1)N
yk
yk 1
(r
1) yk

1差分方程稳定性

f (x* ) 1 x*是(2)和(1)的稳定平衡点 f (x* ) 1 x*是(2)和(1)的不稳定平衡点
差分方程的稳定性
xk1 f (xk ) 称为一阶差分方程
xk2 f (xk1, xk )称为二阶差分方程
f为线性函数时，称为线性差分方程
一般的非线性方程，可以线性化近
似解决。
最简单的一阶线性方程
平衡点为
xk 1 axk b
x* b 1 a
如果Xk→X*,则x*成为稳定的平衡点
xk1 axk b,可以做变换
yx b 1 a
化为齐次方程 yk1 ayk 0,
平衡点为 y* 0
所以yk1 (a)k y1 | a | 1 系统稳定
x(k 1) Ax(k) 0, x(k)是n维向量稳定的充要条件：
A的特征值全小于 1
即 | i | 1
xk1 f (xk ) f (x*) f (x*)(xk x*) xk1 x* f (x*)(xk x*)，记yk xk x *，则yk1 f (x*) yk 0 x *稳定 | f (x*) | 1
一阶非线性差分方程 xk1 f (xk ) (1) 的平衡点及稳定性 (1)的平衡点 x*——代数方程 x=f(x)的根 (1)的近似线性方程 xk1 f ( x*) f ( x*)( xk x*) (2) 稳定性判断 x*也是(2)的平衡点
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二阶时，xk2 a1xk1 a2 xk b 也可以化为齐次方程
若特征方程2 a1 a2 0 两个根为1，2，则xk c11k c2k2 稳定 | 1 | 1，| 2 | 1
一般一阶差分方程 xk1 f (xk ) 平衡点 x* f (x*)

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，，
并且当ｋ偶为
＋ｏ０）× … ×
，ｏ）的点的集合，中ａ ≥ ０（０１ … ，～１，时存在唯一连续增函数ｈ：＋）［．＋ｏ其一，，ｋ）同［一口＋ ∞ ）使ｈ（）一Ｈ（ — ｌ３ … ， — １．，ｉ，，ｋ）
第３７卷第３期
２１０１年９月
文章编号：１０ — ３３２１）３００７０４４５（０１０ — ２１０
一
类高阶的差分方程解的稳定性
葛琦，侯成敏
（延边大学理学院数学系，吉林延吉１３０３０２）
／ｎｔｎ：：ｃｉｓｈｕｏ，一）一＋Ｈ，０＋ｏ）ｓｃｈｔｈ（）一ｕｈｔａ
Ｈ
ｏｕｉｎｆｃＤｅ‘ｅｔ（。，，，ＩｓｔｅｓｔｏｏｎｓｏｈｏｎｌｔｏｓｏＯｖＩＯ＆Ｉ … ＆）ｉｈｅｆｐｉｔｆｔｅｆｒｌ（ｇ
作者研究了差分方程一其中是∈ ，ｎ— ｋ志１。＋，… ，厂Ｌｇ是［，－。上非负０ｑ。）
收稿日期：２１ — ４３０１０ —１
作者简介：葛琦（９３）女，教授，究方向为泛函分析．１７一副研
关键词：差分方程；收敛性；稳定性
［
中图分类号：７．Ｏ１５８
文献标识码：Ａ
ＳａｉｉｙＰｒｐｒｉｓｏａｓｏｉｈｒｔｂｌｔｏｅｔｅｆａＣｌｓｆＨｇｅＯｒｅｆｅｅｃｕｔｏｄｒＤｉｆｒｎｅＥｑａｉｎｓ
（ｚ
Ｋｅｒｓｉｅｅｃｑａｉｎ；ｎｎｉｅｒｔｂｌｙｙｗｏｄ：ｄｆｒｎｅｅｕｔｓｏｌａ；ｓａｉｔｆｏｎｉ
０引言
在文献［］，Ｋａｋｗ证明了差分方程，．一１中ｌｏｉ，＿ ” ∈ Ｚ在初始条件（。，７ ∈ ３）
摘要：研究了非线性差分方程Ｘ — Ｆｎ
１十
Ｘｋｎ＿
（，＋１ …）其中 ∈ ｛，，，是ｎ一ｋ，，２３ …｝
＋１Ｊ ’’ ～ …
，
八ｚ＋】ｇＬ
…
０～
［，Ｃ）连续非负递增函数．明了方程在初始条件（， … ，ｋ）磷下的解是稳定的Ｏ＋ｏ上证－，Ｘ ∈ ７２数时，敛到（。口，，）收 “， … ＆的解的初始点的集合是形如（。ｙ “，，）∈ ［。＋。）ｒ “，。 × ａ
，
Ａｓ ‘ｈｔｔＷｅｓｕｄｅｔｓａｌｔｏｆｔｓｕｉ：ｔｉｄｈｅｔｂｉｉｙｈｅｏｌｔｏｎ
。ｔｎｏｉｅｒｄｉｆｒｎｃｅｆｈｅｎｌｎａｆｅｅｅｑ
ｕｉｎｓａｔ。
．．．．
。，ｚ）∈
［， ∞］０＋较小的扰动下的正解是稳定的，指出收敛于第一象限内任意有界解的初始点（并
，
［，。］０＋。的集合构成了唯一连续递增函数ｈ：０＋Ｃ）一［＋ｏ）使＾。．文献［］中，［， × ３ｏ３，（）一在２
，，，）［。＋ ∞ ）［１ｌ … ＾１ ∈ “ ， × “，＋。） … × ［１＋ ∞ ）（ ≥ ０：０１ … ，。 × 口一，ｎ，ｉ，，ｋ— １，ｒ。ｅｘｓｓｍｅｕｉｕ。ｔｕｕｃｅｓｇ）ｍ。ｅｖｒｅｉｔ。ｎｑｅｃｎｉ。ｓｉｒａｉｎｎｎ
，
基金项目：国家自然科学基金资助项目（１６０９；边大学科研项目（大科合字［ｏｏ第。４）１１１４）延延２１］０号
２２０
延边大学学报（自然科学版）
第３７卷
连续递增函数．明了该方程在初始条件（，一，证。ｚｚ）∈ Ｒ下的解是稳定的，且当ｋ为奇数时收并敛到（。ａ，， “ ， … ａ）的解的初始点的集合是形如（０ｙ “，ｙ，ｙ）∈ ［。＋。）［＋ｏ） … × ［ｎ，。 × “，ｏ × ｎ，
பைடு நூலகம்
了２ｋＯｎ
（
，１…）ｗｅ ∈ ｛，，．，ｓａ。ｔｕｕ。ｎｇｔｅｉｒａｉ＋，，ｈｒｅ２３．），ｇｉｎｉ。ｓｎｅａｖｎｅｓ．＿ｃｎｉｅ
ｎｇ
ｆｎｔｎｎ［，＋ ∞ ）ｗｈｎｉｅｅ，ｗｅｓｏｈｔｔｅｓｔ。ｎｔ１ｖ１ｅｕｈｔａ。ｒｓ。ｄｎｕｃｉｓｏｏＯ．ｅｓｖｎｈｗｔａｈｅｆｉｉａａｕｓｓｃｈｔｃｒｅｐｎｉｇｉ
ＧＥＱｉＨＯＵｅｇｒｉ，Ｃｈｎ — ｎａ
（ＤＰａｔｎｙＭａｈｍａｉｏｌｇ＿ｉｃｐｒｍｅｔｔｅｔ，Ｃｌｅ。ｆＰ，ＹｎｉｎＵｎｖｒｉ，Ｙ ” １３０Ｃｈｉ２）ｏｃ厂ａｂａｉｅｓｔａｙ０２ｚ３，。