差分方程、滞后运算
差分方程滞后运算与动态模型
（3）如果 1，差分方程描绘的变 量序列仍然是非收敛序列，但这种特 殊情况下的差分方程对应一个专门的 名称，叫做随机游走过程。
图2.2（a）
1.2
经过以上分析，可以得出结论：一阶差分方 0.8 程中的一阶滞后项的系数的大小关键性地决定了 差分方程的求解结果。实际上，这个系数的取值 0.4 也关键性地决定了时间序列变量的动态走势特征。
滞后算子运算还符合标准的“结合律” 与“交换律”等如下运算法则： 0 （1） L 1 （ 2 ）对任何常数 A 取滞后运算还等于原 常数，即 Lp A = A。 （3）结合与分配律，即 p q p q yt - p + yt -q = L yt L yt (L L )yt
p yt p t
要从高阶向一阶转化，首先定义几个 常用矩阵： t yt p1 p 1 2 0 y 1 0 0 0 t 1 Yt yt 2 F 0 1 0 0 et 0 yt ( p 1) 0 0 0 1 0 p p p1
14
yt 0.8 yt 1 t
图2.2（f）
40 20 0 -20 -40 5 10 15 20 25 30
15
yt 1.2 yt 1 t
2.2
动态乘数与脉冲响应函数
2.2.1 动态乘数（dynamic multiplier） 2.2.2 脉冲响应函数（impulse
当 1 0 时，如(e)情形，动态 乘数的取值正负号交替变化，但是这些 动态乘数的绝对值是呈现逐渐递减至0 的，这种情形经常被形象地称作“震荡 式衰减”。 这样，对于 1的情况，从脉 冲响应函数图来看，随机扰动因素对序 列 yt 的冲击将最终消失，而对应的一 阶差分方程在这种情况下就是一个稳定 的系统。
具有超前和滞后的二阶差分方程的边值问题
直接验证可知， D 是正定矩阵，记它的特征值为 λ j > 0, j = 1, 2, , k 。不妨设
λ1 ≤ λ2 ≤ ≤ λk
k 泛函 J 满足 Palais-Smale 条件 ( 简称 P.S. 条件 ) ，如果对任意的序列 u ( k ) ⊂ E ，若 J u ( )
定义 2.1 设 E 是实的 Banach 空间， J ∈ C1 ( E , ) ，即 J 是定义在 E 上的连续 Fréchet 可微的泛函，称
x0 0, xk 0, ∆= = +1
(1.7)
下解的存在性。 在参考文献[12]中，作者讨论了以下二阶差分方程
0, n ∈ (1, k ) , ∆ (ϕ p ( un −1 ) ) + f ( n, un +1 , un , un −1 ) =
在边值条件
∆u = 0, uk= 0, 0 +1
(1.8)
包含下列方程
f ( t , u ( t + 1) , u ( t ) , u ( t − 1) ) , t ∈ ,
(1.3)
在参考文献[1]中， Smets 和 Willem 得到了类似方程(1.3)格动力系统孤立波解的存在性， 而且方程(1.3)
0, t ∈ , ( p ( t ) ϕ ( u ′) )′ + f ( t , u ( t ) ) =
2. 变分框架及基本引理
为了运用临界点理论，我们将建立(1.1)~(1.2)的变分框架并给出一些必要的引理。 定义 k 上的内积如下：
k
u, v =
∑ un vn ,∀u, v ∈ k
n =1
1
(2.1)
由 k 上的内积可以诱导空间 k 上的范数：
差分方程简介
差分方程简介
汇报人：
contents
目录
• 差分方程的基本概念 • 差分方程的求解方法 • 差分方程的应用 • 差分方程的局限性 • 差分方程的发展历程与未来趋势 • 差分方程的实际案例分析
01
差分方程的基本概念
定义与例子
• 差分方程是描述离散序列变化的方程式。例如，考虑一个数列{an}，我们可以写出一个差分方程：a{n+1} = 2a_n + 3。
应用
经济学中的差分方程模型适用于预测经济指标的未来趋势 、政策效应分析等。然而，由于现实世界中的复杂性，该 模型可能不适用于所有经济情况。
THANKS
感谢观看
公式法
公式法的原理
01
通过差分方程的解的公式直接计算出解。公式法的步骤 Nhomakorabea02
根据差分方程的特点，寻找解的公式，然后代入初值计算出解
。
公式法的优缺点
03
公式法适用于某些特定类型的差分方程，但不适用于所有类型
的差分方程，需要具体问题具体分析。
计算机方法
计算机方法的原理
利用计算机强大的计算能力，通过编程等方法求解差分方程。
人群、感染人群和免疫人群之间的转换。这些因素都可以通过差分方程来描述 。 • 数学方程：常见的传染病模型如SIR模型，其差分方程为 S(t+1) = S(t) b*S(t)*I(t)/N(t), I(t+1) = I(t) + b*S(t)*I(t)/N(t) - d*I(t), R(t+1) = R(t) + d*I(t)，其中S表示易感人群，I表示感染人群，R表示免疫人群，b表示感染率 ，d表示疾病死亡率。 • 应用：传染病模型适用于预测疾病的传播趋势、评估公共卫生干预措施的效果 等。然而，由于现实世界中的复杂性，该模型可能不适用于所有疾病传播情况 。
差分方程知识点总结
差分方程知识点总结一、差分方程的概念差分方程是指用差分运算符号（Δ）表示的方程。
差分运算符Δ表示的是某一变量在两个连续时间点的变化量。
差分方程通常用于描述离散时间下的变化规律，比如时间序列、离散动力系统等。
二、常见的差分方程1. 一阶线性差分方程一阶线性差分方程的一般形式为：y(t+1) - y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
一阶线性差分方程常常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律。
2. 二阶线性差分方程二阶线性差分方程的一般形式为：y(t+2) - 2*y(t+1) + y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
二阶线性差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的二阶线性变化规律。
3. 线性非齐次差分方程线性非齐次差分方程的一般形式为：y(t+1) - a*y(t) = b，其中a和b为常数。
线性非齐次差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律，并且受到外部条件的影响。
4. 滞后差分方程滞后差分方程的一般形式为：y(t+1) = f(y(t))，其中f为某一函数。
滞后差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的非线性变化规律。
5. 差分方程组差分方程组是指由多个差分方程组成的方程组。
差分方程组通常用于描述多个变量之间的变化规律，比如混合动力系统、多变量时间序列等。
三、差分方程的解法1. 特征根法特征根法是解一阶或二阶线性差分方程的一种常用方法。
通过求解特征方程，可以求得差分方程的通解。
2. 递推法递推法是解一阶或二阶非齐次差分方程的一种常用方法。
通过递推关系，可以求得差分方程的特解。
3. Z变换法Z变换法是解一阶或二阶差分方程的一种常用方法。
通过对差分方程进行Z变换，可以将其转换为等价的代数方程，然后求解其解。
4. 数值解法对于复杂的差分方程，通常采用数值解法求解。
数值解法包括Euler法、Runge-Kutta法、递推法等，通过迭代计算逼近差分方程的解。
已知因果系统的差分方程y
已知因果系统的差分方程y
因果系统的差分方程是描述其输入和输出之间的关系的数学表达式。
在这个方程中，输入信号的当前值与过去的值相关，而输出信号的当前值
则取决于输入信号的当前值和过去的值。
一个典型的因果系统的差分方程可以写成以下的形式：
y[n] = b0*x[n] + b1*x[n-1] + b2*x[n-2] + ... + bk*x[n-k] -
a1*y[n-1] - a2*y[n-2] - ... - an*y[n-k]
其中，y[n]是输出信号的当前值，x[n]是输入信号的当前值，b0、b1、b2、..、bk是输入信号的权重系数，a1、a2、..、an是输出信号的权重
系数，k是滞后阶数。
这个差分方程的含义是，当前时刻的输出值等于输入信号当前值与过
去的几个输入信号值的加权和，再减去输出信号当前值与过去的几个输出
信号值的加权和。
第一个例子是一个简单的滞后系统，它的差分方程可以写成：
y[n]=x[n-1]
这个方程的含义是，当前时刻的输出值等于输入信号上一个时刻的值。
这个系统只有一个滞后阶数，没有权重系数。
它的输出信号直接取决于输
入信号的过去值。
第二个例子是一个带有权重系数的差分方程，它可以写成：
y[n]=0.5*x[n]+0.3*x[n-1]+0.2*x[n-2]-0.6*y[n-1]-0.7*y[n-2]
这个方程的含义是，当前时刻的输出值等于输入信号当前值和过去两个输入信号值的加权和，再减去输出信号过去两个时刻的值的加权和。
输入信号的权重系数为0.5、0.3和0.2，输出信号的权重系数为-0.6和-0.7、这个系统的输入和输出信号都有两个滞后阶数。
时间序列练习题
如果没有特别说明，在本练习中~,,t i i d ε,()()()2t t 0,,0,t E Var E t τεεσεετ===≠ 一、填空题1.时间序列{}2,5,9的二阶差分为_________.2.时间序列{}t ε经过一阶差分后序列均值为_________,方差为_________________3.对于时间序列t X ，∆表示差分运算，则111d d d t t t X X X ---∆=∆-∆表示_____阶差分。
4.差分方程1t t t y y w φ-=+的j 期动态乘子为________________.5.差分方程01122t t t t y y y φφφε--=+++的特征方程为___________,特征根为_____6.差分方程01122t t t t y y y φφφε--=+++可用滞后算子表示成()t t L y εΦ=，则()L Φ＝___________.7.差分方程01122t t t t y y y φφφε--=+++稳定的条件是方程特征根落在单位圆_____，将方程表示成滞后算子形式()2121t t L L y φφε--=，如果想要差分方程稳定，则其辅助方程21210z z φφ--=的根落在单位圆________。
8.一般来说，对于n 阶差分方程的解有两部分组成，其中含有n 个互相独立的任意常数的解称为差分方程的_____，不含有任意常数的解称为差分方程的_____。
9.差分方程11t t t y y φε-=+稳定的条件为________。
10.AR (1)模型150.5t t t y y ε-=++的均值为___________，自方差为_______，自协方差函数满足齐次差分方程______________。
11.MA （1）模型150.5t t t y εε-=+-的均值为________，自方差为_________，一阶自协方差为________，其它为_______。
3.4.差分方程简介
故原方程的通解为
（2）方程对应的特征方程为 λ 1= 0 ，其特征根为 λ =1 ，于是齐次方
* 程的通解为 yi = C 。设方程的特解为： yi = Acos π i + Bsin π i 2 2
将其代入原方程可解得 A = B = 1 2 故原方程的通解为
yi = C 1 (cos π i + sin π i) 2 2 2
λn + Pλn1 ++ P 1λ + P = 0 1 n n
（3.4.3）
方程（3.4.3）称为（3.4.2）的特征方程。若 λ1, λ2 ,, λn 是（3.4.3）的 n 个不同的根，则 Y (i) = λ1 ,Y2 (i) = λ2 ,,Yn (i) = λn 就是（3.4.2）的 n 个 1
r 1+ P ++ P 1 n
是稳定的条件与对应的齐次方程（3.4.2）完全相同。
此外，对于 n 维向量 yi 和 n× m 常数矩阵 A 构成的一阶线性差分方程组
yi +1 + Ayi = 0
其 平 衡点 稳 定的 条 件是 矩阵 A 的特 征 根
λi ( i =1,2,, n) 均有 λi <1 。 即均在复平面上的
（3）
若 Y1 (i) ，…，Yn (i) 是方程（3.4.2） n 个线性
无关的解，则它们的线性组合 C1Y (i) ++ CnYn (i) 1 就是 （3.4.2）的通解。 Y1 (i) ，…， Yn (i) 称为（3.4.2） 的一组基本解。 （4） 若 C1Y (i) ++ CnYn (i) 是 （3.4.2） 的通解， y *(i) 是 1 非齐次方程（3.4.1）的一个特解，则
计量经济学：平稳时间序列分析-差分方程与延迟算子
[c112 c222
c
p
2 p
]t
2
[c113
c223
c
p
3 p
]t 3
1
0
i
1
1ip1
2ip2 p1
i
p2 i
i2
i
p 1 i
p
因为 i 是矩阵F的特征值，它满足 ip 1ip1 2ip2 p1i p 0
ip p1
i
iipp12
Fti
ip
2
i
i
p3
iti
i2
i
i
1
即 ti 是与矩阵F的特征值 i 相对应的特征向量。
11 0
f (t1)
11
1
f (1)
11 t 1
t
其中
f ( j)
11
c11j
c22j
cppj
证明：只需证
ci
p
p1 i
k1(i k )
k i
令
iipp12
ti
ip
3
则
i
1
1 2 3
1
0
0
Fti
0
1
0
0 0 0
p1
0 0
p
0 0
iipp12 ip3
Jij
0i j
0
C1 j1 ji i j
0
C 2 j2 ji
C1 j1 ji
0
ni 1
C j
ni 2
C j
jni 1 i
jni 2 i
i j
例如，考察有重根的二阶差分方程
F
j
M
j
差分方程
第八讲 差分方程模型一、差分方程介绍规定t 只取非负整数。
记为变量在t 点的取值，则称t y y t t t y y y −=Δ+1为的一阶向前差分，简称差分，称Δ为的二阶差分。
类似地，可以定义的阶差分。
t y t t t t t y t t y y y y y y +−=Δ−Δ=ΔΔ=+++12122)(t y t y n t ny Δ由及的差分给出的方程称为的差分方程，其中含的最高阶差分的阶数称为该差分方程的阶。
差分方程也可以写成不显含差分的形式。
例如，二阶差分方程也可改写成t y t 、t y t y t y 02=+Δ+Δt t t y y y 012=+−++t t t y y y 。
满足一差分方程的序列称为差分方程的解。
类似于微分方程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。
若解中不含任意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。
t y 称如下形式的差分方程)(110t b y a y a y a t n t n t n =+++−++L （1） 为阶常系数线性差分方程，其中是常数，n n a a a ,,,10L 00≠a 。
其对应的齐次方程为0110=+++−++t n t n t n y a y a y a L （2）容易证明，若序列与均为（2）的解，则也是方程（2）的解，其中为任意常数。
若是方程（2）的解，是方程（1）的解，则也是方程（1）的解。
)1(t y )2(t y )2(2)1(1t tt y c y c y +=21,c c )1(t y )2(t y )2()1(t t t y y y +=方程（1）可用如下的代数方法求其通解： （I ）先求解对应的特征方程（3）00110=+++−a a a n nL λλ（II ）根据特征根的不同情况，求齐次方程（2）的通解。
（i ）若特征方程（3）有n 个互不相同的实根n λλ,,1L ，则齐次方程（2）的通解为t n n t c c λλ++L 11 （为任意常数）n c c ,,1L （ii ）若λ是特征方程（3）的重根，通解中对应于k λ的项为t k k tc c λ)(11−++L ，),,1(k i c i L =为任意常数。
2020版金融计量学：时间序列分析视角(第三版)教学课件第3章第1节
无论是脉冲响应函数还是累积脉
冲响应函数，其根本特性都由一阶滞
后项系数 决定。
图3.3(a)
0.8 0.4 0.0 -0.4 -0.8
0
5
10
15
20
(a) 0.3
图3.3(b)
0.8 0.4 0.0 -0.4 -0.8
0
5
10
15
20
(b) 0.8
图3.3(c)
1.2 0.8 0.4 0.0 -0.4 -0.8
金融计量学
第三章 差分方程、滞后运算与 动态模型
3.1 一阶差分方程 3.2 动态乘数与脉冲响应函数 3.3 高阶差分方程 3.4 滞后算子与滞后运算法
2
3.1 一阶差分方程
3.1.1 差分方程的定义
yt yt1 t (3.1)
一个差分方程就是指将一个变量的 当期值定义为它的前一期和一个当期 的随机扰动因素的函数。模型（3.1） 等式的右侧只有因变量的一次滞后期 出现，这样的差分方程称为一阶差分 方程。
0
5
10
15
20
(c) 1.0
图3.3(d)
40 30 20 10
0 -10
0
5
10
15
20
(d) 1.2
图3.3(e)
1.2 0.8 0.4 0.0 -0.4 -0.8 -1.2
0
5
10
15
20
(e) 0.8
图3.3(f)
40 30 20 10
0 -10 -20 -30 -40
0
5
10
15
20
(f) 1.2
图3-3非常清晰地显示出，不同的
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因此若给定初始值y0，yt 就可以由 t的序列来表示。
6
如果y0没有给定，则 y0 y1 0 ( y2 1 ) 0 y2 1 0
2
y0 yt
m 1
y m 1 j
系数的 后面的图即描绘了一阶差分方程中不同 -0.4 所对应的 yt 序列的动态路径。
0.0 -0.8 5 10 15 20 25 30
yt 0.3 yt 1 t
图2.2（b）
1.0 0.5 0.0 -0.5 -1.0 5 10 15 20 25 30
11
yt 0.8 yt 1 t
j 1 j j 1
一阶差分方程的动态乘数的表达式可以写成 yt j t
j
2.2.2 脉冲响应函数 从动态乘数的定义可知，对应每 一个时期跨度j，有一个对应的动态乘 数，那么如果将不同时期跨度j的动态 乘数按j从小到大的顺序摆放在一起， 形成一个路径，就成为了脉冲响应函 数。
累积脉冲响应函数：
3
yt yt 1 t
图2.1 美国CPI环比通胀率
16 U.S. CPI Inflation 12
8 % 4
0
-4
1950
1960
1970
1980
1990
2000
2010
1948年1季度-2010年3季度
原始数据来源：Fred Data, Federal Reserve Bank of St. Louis，经 作者计算。
一些差分运算常用的表达式:
yt yt 1 ( 1) yt 1 t
yt yt yt 1
(yt ) yt ( yt yt 1 ) ( yt 1 yt 2 )
2
5
2.1.2 一阶差分方程的求解(反复迭代 法):
如果y0是给定的，则 y1 y0 1 y2 y1 2 ( y0 1 ) 2 2 y0 1 2 y3 y2 3 3 y0 21 2 3 yt yt 1 t t y0 t 11 t 2 2 t t y0 i t i
yt j yt j yt j yt j j j 1 j 2 1 t t 1 t 2 t j
累积脉冲响应函数用来衡量随机扰动 因素出现永久性变化后，即 t , t 1 ,, t j 都 变化一个单位，对 yt j 造成的影响和冲击 情况。
图2.2（c）
1 0 -1 -2 -3 5 10 15 20 25 30
12
yt yt 1 t
图2.2（d）
0 -50 -100 -150 -200 5 10 15 20 25 30
13
yt 1.2 yt 1 t
图2.2（e）
2 1 0 -1 -2 5 10 15 20 25 30
2.2
动态乘数与脉冲响应函数
2.2.1 动态乘数（dynamic multiplier） 2.2.2 脉冲响应函数（impulse
response function, IRF）
2.2.1 动态乘数 对于yt yt 1 t 而言, 动态乘数可以定义为 yt j 动态乘数 = , j 0, 1, 2 t
j j 0
m
t m 1
y m 1 t i
i i 0
7
t m
1
可以观察到， t m 1 （1）如果 1 ,那么 的取值随 着m的不断增大而减小，最终减为0， 此时 yt 称为收敛序列。 t m 1 1 （2）如果 ，那么 的取值随 着m的不断增大将不会逐渐减小为0， 而是趋近于无穷大。此时 yt 称为非收 敛序列。
（3）如果 1，差分方程描绘的变 量序列仍然是非收敛序列，但这种特 殊情况下的差分方程对应一个专门的 名称，叫做随机游走过程（random Walk process)。
图2.2（a）
1.2
经过以上分析，可以得出结论：一阶差分方 0.8 程中的一阶滞后项的系数的大小关键性地决定了 差分方程的求解结果。实际上，这个系数的取值 0.4 也关键性地决定了时间序列变量的动态走势特征。
从模型可知，如果 1 条件满 足，在极限情况下，累积脉冲响应函 1 数就等于 。 1 无论是脉冲响应函数还是累积脉 冲响应函数，其根本特性都由一阶滞 后项系数 决定。
图2.3(a)
0.8 0.4 0.0 -0.4 -0.8 0 5
(a)
0.3
10
15
20
图2.3(b)
0.8 0.4 0.0 -0.4 -0.8 0 5
当 1 0 时，如(e)情形，动态 乘数的取值正负号交替变化，但是这些 动态乘数的绝对值是呈现逐渐递减至0 的，这种情形经常被形象地称作“震荡 式衰减”。 这样，对于 1的情况，从脉 冲响应函数图来看，随机扰动因素对序 列 yt 的冲击将最终消失，而对应的一 阶差分方程在这种情况下就是一个稳定 的系统。
(e)
0.8
图2.3(f)
40 30 20 10 0 -10 -20 -30 -40 0 5 10 15 20
(f) 1.2
图2-3非常清晰地显示出，不同的 取值，对应的脉冲响应函数图表现非常 不同。归纳来说： 在 0 1 的情况下，如(a)和(b)情 形，体现在脉冲响应函数中的动态乘数 随时间跨度j的增加而呈现几何式递减并 最终趋近于0的趋势。
再来考察其它可能的情况： 首先，如果 1 ，如(c)，动态 乘数始终等于1，而不管时间跨度j如 一个单位的变化将导 何变化。这样， 致序列 yt 永久性地变化一个单位。
其次，对于 1的情况，(d)描绘了对应 例子的脉冲响应函数图，可以看出，动态乘数随 时间跨度j的增加呈现几何式上升趋势。而当 1 时，动态乘数表现出震荡式不断上升的变化。可 见，在 1 的条件下，对应的一阶差分方 程为不稳定系统。 因此，如果脉冲响应函数图呈现出不断下降 的趋势，这说明由差分方程刻画的时间序列是收 敛的，否则该时间序列是发散或者是随机游走的 。
14
yt 0.8 yt 1 t
图2.2（f）
40 20 0 -20 -40 5 10 15 20 25 30
15
yt 1.2 yt 1 t
►我们可以看出，一阶差分方程的滞后项系 数大小可以判断出时间序列变量的收敛与 发散特征。 ►在金融计量分析中，我们还可以通过观察 时间序列变量的走势来初步判断该时间序 列的收敛与发散特征，以及如何构建时间 序列模型。
在 j=0这种特殊情况下, 动态乘数也经常 被称为影响乘数（impact multiplier）, yt 影响乘数 = t
另外， yt yt 1 t 也可以写成 yt j yt 1 t t 1 t j 1 t i
金融计量学
张成思
第二讲
2.1 2.2 2.3 2.4
差分方程、滞后运算与 动态模型
一阶差分方程 动态乘数与脉冲响应函数 高阶差分方程 滞后算子与滞后运算法
2
2.1 一阶差分方程 2.1.1 差分方程的定义 (2.1) 一个差分方程就是指将一个变量的 当期值定义为它的前一期和一个当期 的随机扰动因素的函数。模型（2.1） 等式的右侧只有因变量的一次滞后期 出现，这样的差分方程称为一阶差分 方程。
(b)
10
0.815Fra bibliotek20图2.3(c)
1.2 0.8 0.4 0.0 -0.4 -0.8 0 5
(c)
1.0
10
15
20
图2.3(d)
40 30 20 10 0 -10 0 5 10 15 20
(d)
1.2
图2.3(e)
1.2 0.8 0.4 0.0 -0.4 -0.8 -1.2 0 5 10 15 20