2018届一轮复习人教A版数形结合思想 的应用情形归纳 (5) 学案

数学思想在高中数学中的应用情形归纳 第04讲：数形结合思想情形之14-17

【知识要点】

一、数学思想是人对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识过程中被反复运用，带有普遍的指导意义.是建立数学和用数学解决问题的指导思想，而且数学思想是数学学 的精髓，是数学素养的重要内容之一.学生只有领会了数学思想，才能有效地应用知识，形成能力.在我们解决数学问题进行数学思维时，也总是自觉或不自觉地运用数学思想方法.

高中数学解题常用的数学思想有数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想、函数方程思想等.

二、数形结合，是中学数学最重要的思想方法之一.著名数学家华罗庚先生说：“数与形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。切莫忘，几何代数流一体，永远联系切莫分离. ”它精辟地阐述了数形结合的重要性，它不仅是一个重要的数学思想，而且是一种重要的解题方法. 因而数形结合的能力必然是历年高考的一个重点.所谓数形结合的思想方法，就是由数学问题所呈现的条件和结论，通过研究数式的几何意义，或者研究几何问题的代数意义，设法沟通数学问题在数量关系和空间形式的内在联系，使隐含条件明朗化，复杂问题简单化，抽象问题具体化，开拓题目新思路，以便最终找到解决问题的带有数形信息转换特征的数学方法.数形结合思想就是把“数”和它对应的“形”联系起 分析解答数学问题，以形助数，以数解形，数形互助，提高解题效率，优化解题.高中数学中数形结合的情形很多，常见的情形见后面的方法讲评.学/ +*

三、数形结合要注意三个原则：等价性原则、双向性原则、简单性原则. 四、本讲讲了数形结合思想情形之14-17, 情形14：

21

21

y y x x --表示函数()y f x =在1x 到

2x 上的平均变化率，它等于两点1122A(,y ),B(,y )x x 所在直线AB 的斜率AB k ；情形15：0()f x '表示函数()f x 在0x x =处切线的斜率；情形16：定积分()b

a f x dx ⎰表示由直线

,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积；情形17：

()(()0)b

a

s V t dt V t =≥⎰表示做变速直线运动的物体在时间[,]a b 上经过的路程.

【方法讲评】

【例1】函数2

()f x x x =-在区间[

2,]t -上的平均变化率是2，则t = ．

【解析】由题得

22()(2)426

2(2)22

f t f t t t t t t t -------===--++,所以12t t ==或. 【点评】由于平均变化率就是两点所在直线的斜率，所以本题直接代斜率公式即可. 【例2】设函数()2

32f x x x =+-，则 ）

A. 5

B. 5-

C. 10

D. 10-

【点评】1x =处的瞬时变化率，因为它

的分母是x ∆，不是自变量的增量1212x x +∆-=∆，所以需要对它变形，使它满足瞬时变化率的定义公式. 对瞬时变化率要从本质上理解，不能只看形式. (2)

000

()()

lim

x f x x f x x

∆→+∆-∆表示函数在0x 处的瞬时变化率,它等于0()f x '，也等于函数在

0x x =处的切线的斜率.

【反馈检测1】设函数

存在导数且满足，则曲线

在点

处的切线斜率为（ ）

A.

B.

C.

D.

【例3】曲线

在点

处的切线与坐标轴围成的三角形面积为_____ ．

【点评】（1）本题利用了0()f x '的几何意义这个知识点，0()f x '表示函数()f x 在0x x =处切线的斜率.所以我们看到0()f x '就要联想到切线的斜率，看到切线的斜率就要联想到

0()f x '.（2）求切线的问题，一般先要求切点，再求斜率,再根据直线方程的点斜式写出直

线的方程.

【反馈检测2】设函数()2

2x f x g x ⎛⎫=+

⎪⎝⎭

，曲线()y g x =在点(

)()1,1g 处的切线方程为910x y +-=，则曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为__________．

【例4】计算

10

(1dx ⎰

的结果为（ ）.

A ．1

B ．

4π C ．14π+

D ．12π

+

【解析】先利用定积分的几何意义求

dx x ⎰

-1

21：令)10(12≤≤-=x x y

，即

)0,10(12

2

≥

≤≤=+y x y x 表示单位圆的41（如图），dx x ⎰-102

1即是41圆面积，即4

π；所以

10

(1dx +⎰

=4

1111

210π

+

=-+⎰⎰dx x dx .

【点评】（1）本题中函数

1y =的原函数不是很容易找到，所以先利用定积分的性质化简原式，再利用数形结合分析解答.（2）利用数形结合分析解答时，主要变量的范围，不要扩大了变量的范围，导致扩大了平面区域.)10(12≤

≤-=x x y ，即

)0,10(122≥≤≤=+y x y x 表示单位圆的4

1

（如图）

，不是右半圆或整个圆.(3)等价转化是数学里的重要数学思想，它要求我们在每一步的变形和推理时，都必须注意等价变换.

【反馈检测3】3

1

3)___________

dx =⎰