导数
导数的定义及其应用领域
导数的定义及其应用领域导数是微积分学中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
导数的定义和性质被广泛地应用在物理、工程、经济学等领域中。
本文将简要介绍导数的定义，以及它在不同领域的应用。
一、导数的定义导数可以理解为函数的瞬时变化率。
对于函数f(x)，在点x处的导数表示为f'(x)或df(x)/dx。
导数的定义可以通过极限来描述，即f'(x) = lim┬(h→0)〖((f(x+h)-f(x))/h)〗，其中h是趋于0的增量。
二、导数的性质导数具有多个重要性质，其中一些常见的性质包括：1. 导数可以用于判断函数的单调性。
如果在某个区间内，函数的导数始终为正（或负），则该函数在该区间内单调增加（或减少）。
2. 导数可以用于求解函数的最大值和最小值。
函数在极值点处的导数为零或不存在。
3. 导数满足乘法规则、和差规则和链式法则等运算规则，使得我们可以方便地计算复杂函数的导数。
三、导数的应用领域1. 物理学中的运动学导数在物理学中的运动学方程中起着关键作用。
例如，速度可以定义为物体位移关于时间的导数，加速度则是速度关于时间的导数。
通过求解导数，我们可以推导出各种运动的速度、加速度和位移关系，从而更好地理解物体的运动规律。
2. 工程学中的控制系统导数在工程学中的控制系统中经常被使用。
例如，在机械工程中的控制系统中，导数可以表示速度或者加速度的变化。
这对于设计和分析各种控制系统非常重要，从而提高系统的稳定性和响应度。
3. 经济学中的边际效应导数在经济学中的边际效应分析中起着关键作用。
例如，在经济学中，边际成本和边际收益可以通过求导来计算。
这对于制定合理的经济政策和决策具有重要意义。
4. 生物学中的生态模型导数在生物学中的生态模型中也有广泛应用。
生态学家利用导数来描述物种数量的变化速率，从而研究生态系统的稳定性和动态性。
导数的计算帮助我们理解和预测生物多样性和种群变化等重要生物学现象。
5. 金融学中的风险管理导数在金融学中的风险管理中也起着重要作用。
导数计算公式
导数计算公式导数是微积分中最基本的概念之一，用于描述函数在其中一点的变化率。
在数学中，导数的计算是通过极限的概念进行的。
导数的计算公式可以根据函数的不同类型进行分类。
首先，我们来看一下基本函数的导数计算公式。
1.需知导数计算的公式：(1)常数函数的导数：如果f(x)=c，其中c是常数，则f'(x)=0。
(2)幂函数的导数：若f(x) = x^n(n为常数)，则f'(x) = nx^(n-1)。
(3)指数函数的导数：若f(x) = a^x(a>0且a≠1)，则f'(x) = ln(a) * a^x。
(4)对数函数的导数：若f(x) = logₐ(x)(a>0且a≠1)，则f'(x) = 1 / (ln(a) * x)。
(5)三角函数的导数：sin'(x) = cos(x)cos'(x) = -sin(x)tan'(x) = sec^2(x)。
(6)反三角函数的导数：sin^(-1)'(x) = 1 / √(1 - x^2)cos^(-1)'(x) = -1 / √(1 - x^2)tan^(-1)'(x) = 1 / (1 + x^2)。
2.导数的四则运算法则：导数具有以下四则运算法则，对于函数f(x)和g(x)，它们的导数可以通过以下公式计算：(1)(f±g)'(x)=f'(x)±g'(x)(2) (cf)'(x) = cf'(x)(3)(f*g)'(x)=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)(4)(f/g)'(x)=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/g^2(x)。
3.链式法则：链式法则是导数计算中的一个重要法则，它用于计算复合函数的导数。
设有函数y=f(u)和u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))的导数可以通过以下公式计算：dy/dx = dy/du * du/dx。
导数的定义与求解
导数的定义与求解导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
在这篇文章中，我们将深入探讨导数的定义及其求解方法。
定义：导数可以理解为函数在某一点上的瞬时变化率。
给定函数f(x)，如果函数在点x处的导数存在，则称该导数为f(x)在点x处的导数，记作f'(x)。
导数可以用极限的概念来定义，具体地，函数f(x)在点x处的导数可以通过以下极限来求解：f'(x) = lim(h→0) (f(x+h) - f(x))/h其中，h为一个趋近于0的数。
求解导数的方法有很多，下面将介绍几种常见的方法。
1.用定义法求导数：利用导数的定义进行计算。
将函数代入定义式，并对极限进行化简，最终得到导数的值。
这种方法适用于简单函数，但对于复杂函数可能会很繁琐。
2.常见函数的导数：为了简化求导数的过程，我们需要记住一些基本函数的导数。
常见函数的导数公式包括：常数函数的导数为0，幂函数的导数为n*x^(n-1)，指数函数的导数为a^x*ln(a)，对数函数的导数为1/x。
有了这些基本函数的导数公式，可以通过组合和运用求导法则来求解更复杂函数的导数。
3.利用求导法则：求导法则是一系列用于简化求导过程的规则。
常见的求导法则包括：常数乘法法则（导数与常数相乘）、和差法则（导数的和等于导数的和）、乘法法则（导数的乘积等于一个函数的导数乘以另一个函数，再加上另一个函数的导数乘以一个函数）、链式法则（嵌套函数的导数等于外层函数的导数乘以内层函数的导数），以及复合函数的求导法则等。
利用这些法则，可以更快速地求解复杂函数的导数。
4.隐函数求导：有时候，函数的表达式并不是显式给出的，而是以方程的形式出现。
这时需要使用隐函数求导的方法来求解导数。
隐函数求导基于隐函数定理和导数的定义，通过对方程两边求导得到导数的表达式。
求导是微积分的一个基本概念，它在数学和科学的各个领域中都有广泛应用。
导数的定义帮助我们理解函数的瞬时变化率，求导的方法则使我们能够更方便地计算函数的导数。
导数的定义与计算方法
导数的定义与计算方法导数是微积分中的重要概念之一，用于研究函数的变化率和曲线的切线斜率。
本文将从导数的定义入手，介绍导数的计算方法，并给出一些例题来帮助读者更好地理解和应用导数。
一、导数的定义在数学上，给定一个函数y=f(x)，其导数定义为函数在某一点x处的变化率。
导数可以用极限来表示，即：f'(x) = lim Δx→0 (f(x+Δx) - f(x))/Δx其中f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数，Δx为自变量的增量。
导数的值可以表示函数在该点的切线斜率，即函数曲线在该点处的速率。
二、导数的计算方法导数的计算方法有多种，下面列举几种常见的：1. 基本导数公式对于常见的基本函数，存在一些导数的基本公式，如：- 常数函数导数为零：d/dx(c) = 0，其中c为常数；- 幂函数导数为功率减一：d/dx(x^n) = nx^(n-1)，其中n为常数；- 指数函数导数等于自身：d/dx(e^x) = e^x；- 对数函数导数为倒数：d/dx(ln(x)) = 1/x。
通过应用基本导数公式，可以计算更复杂函数的导数。
2. 导数的四则运算规则对于已知的函数f(x)和g(x)，导数的四则运算规则如下：- 和差法则：(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)- 积法则：(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)- 商法则：(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/[g(x)]^2以上规则为导数的基本运算规则，可以根据需要进行组合和推广。
3. 链式法则如果函数y=f(g(x))是由两个函数复合而成，那么它的导数可以用链式法则来计算。
链式法则可以表示为：d/dx(f(g(x))) = f'(g(x)) * g'(x)通过链式法则，可以求解更复杂的复合函数的导数，进一步扩展了导数的计算方法。
数学中求导的公式
数学中求导的公式求导是微积分中的一个重要概念，用于描述一个函数在某一点的变化率。
在数学中，求导的公式是通过对函数进行微分来计算它的导数。
导数表示了函数在某一点的切线斜率，也可以用来求函数的最值、高阶导数等。
在求导的过程中，我们常用的求导公式有以下几个：1. 常数函数的导数公式：对于常数函数y = c，其中c为常数，其导数为0。
这是因为常数函数的图像是一条水平直线，斜率为0。
2. 幂函数的导数公式：对于幂函数y = x^n，其中n为常数，其导数为y' = n * x^(n-1)。
这个公式可以通过使用定义来推导，也可以使用幂函数的特殊性质来求导。
3. 指数函数的导数公式：对于指数函数y = a^x，其中a为常数且不等于1，其导数为y' = ln(a) * a^x。
指数函数的导数与函数自身成正比，且比例常数是ln(a)。
4. 对数函数的导数公式：对于对数函数y = log_a(x)，其中a为常数且大于0且不等于1，其导数为y' = 1 / (x * ln(a))。
对数函数的导数可以通过换底公式和指数函数的导数公式推导得到。
5. 三角函数的导数公式：对于三角函数sin(x)、cos(x)、tan(x)等，它们的导数公式分别为cos(x)、-sin(x)、sec^2(x)等。
这些公式可以通过使用极限定义来推导。
6. 反三角函数的导数公式：对于反三角函数arcsin(x)、arccos(x)、arctan(x)等，它们的导数公式分别为 1 / sqrt(1 - x^2)、-1 / sqrt(1 - x^2)、1 / (1 + x^2)等。
这些公式可以通过使用反函数的导数与原函数导数互为倒数的性质来推导。
7. 复合函数的导数公式：对于复合函数y = f(g(x))，其中f和g 分别为函数，其导数可以通过链式法则来计算。
链式法则表示，复合函数的导数等于外层函数在内层函数的导数上乘以内层函数的导数。
求导基本公式16个
求导基本公式16个求导是微积分中的重要概念，用来求函数的变化率和斜率。
在求导过程中，有一些基本公式是非常重要的，它们可以帮助我们简化计算。
下面是16个常用的求导基本公式：1. 常数规则：对于常数c，导数为0。
即：d/dx(c) = 0。
2. 变量规则：对于自变量x，导数为1。
即：d/dx(x) = 1。
3. 幂规则：对于幂函数y = x^n（n为常数），导数为ny^(n-1)。
即：d/dx(x^n) = nx^(n-1)。
4. 指数函数规则：对于以e为底的指数函数y = e^x，导数为e^x。
即：d/dx(e^x) = e^x。
5. 对数函数规则：对于以a为底的对数函数y = log_a(x)，导数为1/(x·ln(a))。
即：d/dx(log_a(x)) = 1/(x·ln(a))。
6. 乘法法则：对于函数y = u(x)v(x)，导数为u'(x)v(x) +u(x)v'(x)。
即：d/dx(uv) = u'v + uv'。
7. 除法法则：对于函数y = u(x)/v(x)，导数为(u'(x)v(x) -u(x)v'(x))/(v(x))^2。
即：d/dx(u/v) = (u'v - uv')/(v^2)。
8. 链式法则：对于复合函数y = f(g(x))，导数为f'(g(x))·g'(x)。
即：d/dx(f(g(x))) = f'(g(x))·g'(x)。
9. 正弦函数法则：对于正弦函数y = sin(x)，导数为cos(x)。
即：d/dx(sin(x)) = cos(x)。
10. 余弦函数法则：对于余弦函数y = cos(x)，导数为-sin(x)。
即：d/dx(cos(x)) = -sin(x)。
11. 正切函数法则：对于正切函数y = tan(x)，导数为sec^2(x)。
导数的计算方法总结
导数的计算方法总结导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点的变化率。
下面是导数的计算方法的总结：1. 通过定义计算导数：导数的定义是函数在某一点的极限，可以用以下公式表示：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) f(x)] / h.其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
2. 基本导数法则：常数规则，如果f(x)是常数c，那么f'(x) = 0。
幂函数规则，如果f(x) = x^n，其中n是实数常数，那么f'(x) = nx^(n-1)。
和差法则，如果f(x)和g(x)都是可导函数，那么(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)。
乘法法则，如果f(x)和g(x)都是可导函数，那么(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
商法则，如果f(x)和g(x)都是可导函数，且g(x)≠0，那么(f/g)'(x) = [f'(x)g(x) f(x)g'(x)] / [g(x)]^2。
3. 链式法则：链式法则适用于复合函数的导数计算。
如果y = f(g(x))，其中f和g都是可导函数，那么y对x的导数可以通过以下公式计算：dy/dx = f'(g(x)) g'(x)。
4. 高阶导数，导数的导数称为高阶导数。
一阶导数是函数的斜率，二阶导数是函数的曲率。
高阶导数可以通过连续应用导数的定义和法则来计算。
5. 隐函数求导，当函数无法直接表示为y = f(x)的形式时，可以使用隐函数求导方法来计算导数。
6. 参数方程求导，对于参数方程x = f(t)和y = g(t)，可以通过对x和y同时关于t求导来计算参数方程的导数。
以上是导数的计算方法的总结，这些方法可以帮助我们计算函数在特定点的导数，进而了解函数的变化趋势和性质。
各种导数公式
各种导数公式一. 常数函数的导数当函数f(f)=f为一个常数时，任何数f的函数的导数都为零。
即： $\\frac{d}{dx}c=0$二. 幂函数的导数1.对于幂函数f(f)=f f，其中f为常数，则它的导数为： $\\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$2.特殊情况下，当f=0时，f(f)=f0=1，导数为：$\\frac{d}{dx}1=0$三. 指数函数的导数1.对于指数函数f(f)=f f，其中f为常数且f>0，则它的导数为： $\\frac{d}{dx}a^x=a^xln(a)$四. 对数函数的导数1.自然对数函数f(f)=ff(f)的导数为：$\\frac{d}{dx}ln(x)=\\frac{1}{x}$2.一般对数函数f(f)=fff f f的导数为：$\\frac{d}{dx}log_ax=\\frac{1}{xln(a)}$五. 三角函数的导数1.正弦函数f(f)=fff(f)的导数为：$\\frac{d}{dx}sin(x)=cos(x)$2.余弦函数f(f)=fff(f)的导数为：$\\frac{d}{dx}cos(x)=-sin(x)$3.正切函数f(f)=fff(f)的导数为：$\\frac{d}{dx}tan(x)=sec^2(x)$六. 反三角函数的导数1.反正弦函数f(f)=ffffff(f)的导数为：$\\frac{d}{dx}arcsin(x)=\\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}$2.反余弦函数f(f)=ffffff(f)的导数为：$\\frac{d}{dx}arccos(x)=-\\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}$3.反正切函数f(f)=ffffff(f)的导数为：$\\frac{d}{dx}arctan(x)=\\frac{1}{1+x^2}$七. 复合函数的导数法则1.若f=f(f)和f=f(f)，则复合函数f=f(f(f))的导数为：$\\frac{dy}{dx}=\\frac{dy}{du}\\cdot\\frac{du}{dx}$八. 导数的加减法则1.若$y=u\\pm v$，则导数之和为：$\\frac{d}{dx}(u\\pmv)=\\frac{du}{dx}\\pm\\frac{dv}{dx}$九. 导数的乘法法则1.若$y=u\\cdot v$，则导数之积为：$\\frac{d}{dx}(u\\cdotv)=u\\frac{dv}{dx}+v\\frac{du}{dx}$十. 导数的除法法则1.若$y=\\frac{u}{v}$，则导数之商为：$\\frac{d}{dx}\\left(\\frac{u}{v}\\right)=\\frac{v\\frac{d u}{dx}-u\\frac{dv}{dx}}{v^2}$十一. 高阶导数1.高阶导数表示对函数导数的多次求导，用f次求导运算符′表示，例如f″表示f的二阶导数。
所有的导数公式
所有的导数公式
导数是微积分中的一个重要概念，它是描述函数变化率的工具。
在求导时，我们需要掌握一些导数公式，以下是常用的导数公式：
1. 常数函数的导数为0，即d/dx c = 0。
2. 幂函数的导数为基数乘以指数减一次幂，即d/dx x^n = n x^(n-1)。
3. 指数函数的导数为自身的常数倍，即d/dx e^x = e^x。
4. 对数函数的导数为自变量的倒数，即d/dx ln x = 1/x。
5. 三角函数的导数：
正弦函数的导数为余弦函数，即d/dx sin x = cos x。
余弦函数的导数为负的正弦函数，即d/dx cos x = -sin x。
正切函数的导数为其平方加1的倒数，即d/dx tan x = 1/(cos^2 x)。
余切函数的导数为其平方加1的负倒数，即d/dx cot x =
-1/(sin^2 x)。
6. 反三角函数的导数：
反正弦函数的导数为其分母的平方根的倒数，即d/dx arcsin x = 1/√(1-x^2)。
反余弦函数的导数为其分母的平方根的负倒数，即d/dx arccos x = -1/√(1-x^2)。
反正切函数的导数为其分母加1的倒数，即d/dx arctan x = 1/(1+x^2)。
反余切函数的导数为其分母减1的倒数，即d/dx arccot x = -1/(1+x^2)。
以上是常用的导数公式，掌握这些公式对于理解和应用微积分的概念和方法都是非常重要的。
导数的概念几何意义与运算
导数的概念几何意义与运算一、导数的概念导数是微积分的重要概念之一，是描述函数变化速度的衡量工具。
对于一条曲线上的任意一点，其导数值表示了该点处的切线斜率。
导数的定义为：若函数f(x)在点x0处有定义，那么函数在该点的导数为：f'(x0) = lim(h→0) [f(x0+h) - f(x0)] / h其中 lim 表示极限，h 表示的是 x 的增加量。
导数的概念可以推广到函数的各种高阶导数，分别表示函数变化的速率、加速度、变化的变化率等。
二、导数的几何意义1.切线斜率：导数可以看作是函数曲线在其中一点处切线的斜率。
特定点处的切线斜率表示了函数在该点的变化速度。
2.函数的增减性：若函数在其中一区间内的导数恒大于0，则函数在该区间上是递增的；若导数恒小于0，则函数在该区间上是递减的。
导数的正负性能够直观地反映函数的增减趋势。
3.极值点：若函数在其中一点的导数为0，那么这个点称为函数的极值点。
导数为0相当于切线水平，函数在这一点上由增转为减或由减转为增。
三、导数的运算法则1.常数乘法：对于常数k，(k*f(x))'=k*f'(x)。
2.求和与差：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
3.乘法法则：(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。
4.商法则：(f(x)/g(x))'=[f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x)]/[g(x)]^25.复合函数求导：对于复合函数y=f(g(x))，若g(x)在点x处可导，而f在g(x)处可导，则y也在点x处可导，且y'=f'(g(x))*g'(x)。
四、应用举例1.速度和加速度：对于一个物体的位移函数s(t)，其导数s'(t)表示在时间t的瞬时速度。
二次导数s''(t)则表示在时间t的瞬时加速度。
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- 1 - 导数的计算与导数的几何意义 1. 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cosx f(x)＝cos x f′(x)＝－sinx f(x)＝ax f′(x)＝axlna f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax f′(x)＝1xln a
f(x)＝ln x f′(x)＝1x
2．导数的运算法则 （1） [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； （2） [f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
（3）2()'()()'()()'()()fxfxgxgxfxgxgx(g(x)≠0)． 3. 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数几何意义： 函数()yfx在点0x处的导数0'()fx就是曲线()yfx在点00(,())xfx处的切线和斜率，即0'()kfx. 相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 典型例题 例1【2016高考新课标2理数】若直线ykxb是曲线ln2yx的切线，也是曲线ln(1)yx的切线，则b ．
【答案】1ln2
【解析】对函数ln2yx求导得1yx，对ln(1)yx求导得11yx，设直线ykxb与函数ln2yx相切于点111(,)Pxy，与函数ln(1)yx相切于点222(,)Pxy， - 2 -
则1122ln2,ln(1)yxyx，则点111(,)Pxy在切线上得1111ln2()yxxxx，由222(,)Pxy在切线上得2221ln(1)()1yxxxx，这两条直线表示同一条直线，所以
12221
2
111ln(1)ln1xxxxxx
，解之得112x，所以112kx，所以1ln211ln2bx.
例2【2016高考新课标3理数】已知fx为偶函数，当0x错误！未找到引用源。时，()ln()3fxxx错误！未找到引用源。，则曲线yfx在点(1,3)处的切线方程是
_______________． 【答案】21yx
【练一练趁热打铁】 1. 已知函数31fxaxx的图像在点1,1f的处的切线过点2,7，则 a .
【答案】1 【解析】 试题分析：∵2()31fxax，∴(1)31fa，即切线斜率31ka， 又∵(1)2fa，∴切点为（1，2a），∵切线过（2,7），∴273112aa，解得a1.
2. 【2016年高考四川理数】设直线l1，l2分别是函数f(x)= ln,01,ln,1,xxxx图象上点P1，P2
处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是( ) （A）(0,1) （B）(0,2) （C）(0,+∞) （D）(1,+∞) 【答案】A 【解析】设111222,ln,,lnPxxPxx（不妨设121,01xx），则由导数的几何意义 - 3 -
易得切线12,ll的斜率分别为121211,.kkxx由已知得12122111,1,.kkxxxx切线1l的方程分别为111
1lnyxxxx，切线2l的方
程为2221lnyxxxx，即1111lnyxxxx.分别令0x得110,1ln,0,1ln.AxBx又1l与2l的交点为2111221121,ln11xxPxxx，11x，
2112211
2111211PABABPxxSyyxxx
，01PABS．故选A．
应用导数研究函数的单调性、极值、最值 【背一背基础知识】 1．函数的单调性 在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减． 2．函数的极值 (1)判断f(x0)是极值的方法 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时， ①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f′(x)； ②求方程f′(x)＝0的根； ③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值． 3．函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． - 4 -
(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f(x)在(a，b)内的极值； ②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
【讲一讲基本技能】 必备技能：1.导数法证明函数()fx在(,)ab内的单调性的步骤 (1)求'()fx； (2)确认'()fx在(,)ab内的符号； (3)作出结论：'()0fx时为增函数；'()0fx时为减函数． 2.求函数的单调区间方法一：①确定函数()yfx的定义域； ②求导数''()yfx； ③解不等式'()0fx，解集在定义域内的部分为单调递增区间； ④解不等式'()0fx，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
3.求函数的单调区间方法二：①确定函数()yfx的定义域； ②求导数''()yfx，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根； ③把函数()fx的间断点(即()fx的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()fx的定义区间分成若干个小区间； ④确定'()fx在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性． 4.求函数f(x)极值的步骤： (1)确定函数的定义域； (2)求导数f′(x)； (3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根； (4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值． 5. 求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a，b)内的极值； (2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)； (3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
典型例题 例1已知函数f(x)＝－2lnx＋x2－2ax＋a2，其中a>0. 设g(x)为f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性； - 5 -
【答案】 【解析】由已知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞), g(x)＝f '(x)＝2(x－1－lnx－a) 所以g'(x)＝2－22(1)xxx 当x∈(0，1)时，g'(x)＜0，g(x)单调递减 当x∈(1，＋∞)时，g'(x)＞0，g(x)单调递增 例2【2016年高考北京理数】设函数()axfxxebx，曲线()yfx在点(2,(2))f处的切线方程为(1)4yex， （1）求a，b的值； （2）求()fx的单调区间. 【答案】（Ⅰ）2a，be；（2）)(xf的单调递增区间为(,). 【解析】（1）因为bxxexfxa)(，所以bexxfxa)1()(. 依题设，,1)2(,22)2(efef即,1,222222ebeebeaa 解得eba,2；（2）由（Ⅰ）知exxexfx2)(. 由)1()(12xxexexf即02xe知，)(xf与11xex同号. 令11)(xexxg，则11)(xexg. 所以，当)1,(x时，0)(xg，)(xg在区间)1,(上单调递减； 当),1(x时，0)(xg，)(xg在区间),1(上单调递增. 故1)1(g是)(xg在区间),(上的最小值， 从而),(,0)(xxg. 综上可知，0)(xf，),(x，故)(xf的单调递增区间为),(. 例3已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2(a，b∈R)． (1)若函数f(x)在x＝1处有极值10，求b的值； (2)若对于任意的a∈[－4，＋∞)，f(x)在x∈[0,2]上单调递增，求b的最小值．