专题2.1 曲线与方程(2)(讲)-2016-2017学年高二数学同步精品课堂(提升版)(选修2-1)(解析版)
人教版2017高中数学(选修2-1)2.1.1 曲线与方程 精讲优练课型PPT课件
特别提醒：只有点和解一一对应，才能说曲线是方程 的曲线，方程是曲线的方程.
【变式训练】分析下列曲线上的点与相应方程的关系： (1)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy=5之间
的关系.
(2)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足 x+y=0；反之，以方程x+y=0的解为坐标的点都在第二、
四象限两轴夹角的平分线上.因此，第二、四象限两轴
夹角平分线上的点的轨迹方程是x+y=0.
类型二
由方程研究曲线 =0表示的曲线是什么？
第二章 圆锥曲线与方程
2.1 曲线与方程 2.1.1 曲线与方程
【自主预习】 曲线的方程、方程的曲线 在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合
某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)
=0的实数解建立了如下的关系：
(1)曲线上点的坐标都是_____________ 这个方程的解 ； (2)以这个方程的解为坐标的点都是___________；那 曲线上的点 么，这个方程叫做___________；这条曲线叫做_______ 曲线的方程 方程的 _____. 曲线
【即时小测】 1.已知圆C：(x-2)2+(y+1)2=4及直线l：x+2y-2=0，则 点M(4，-1) ( )
A.不在圆C上，但在直线l上
B.在圆C上，但不在直线l上
C.既在圆C上，也在直线l上
D.既不在圆C上，也不在直线l上
【解析】选C.把M(4，-1)代入圆、直线方程时，均使 方程成立，故点M既在圆C上，也在直线l上.
|x|=2的解，但以方程|x|=2的解为坐标的点不都在直
高中数学选修2-1精品课件：2.1.2求曲线的方程
规律与方法
(1)求解曲线方程时： ①第一步在具体问题中有两种情况：a.所研究的问题中已给定了坐标系， 直接在给定的坐标系中求方程；b.原题中没有确定的坐标系，需先建立适 当的坐标系，选取特殊点为原点. ②第二步为求方程最重要的一步，要仔细分析曲线的特征，注意揭示隐 含条件，抓住曲线上任意点满足的等量关系，列出几何关系式，但在具 体解题的过程中经常不出现这一步(被省略). ③第三步将几何关系式转化为代数中的方程.
解析答案
2.到点(1,2)的距离等于 3的动点 Q 的轨迹方程是( C )
A.(x＋1)2＋(y＋2)2＝3
B.(x＋1)2＋(y＋2)2＝9
1 2345
C.(x－1)2＋(y－2)2＝3
D.(x－1)2＋(y－2)2＝9
解析 由圆的定义知动点 Q 的轨迹是以点(1,2)为圆心，以 3为半径的圆，
④化简过程中，注意运算的合理性与准确性，避免增解与漏解，第五步 从理论上讲很有必要，但在没有特殊情况的时候，常省略，有特殊情况 时则不能省，可以说是对第四步的完善. (2)很多时候在求出曲线方程后，第五步直接省略了，没将特殊情况进行 说明，该剔除的没剔除，该补充的没补充，因此出现错误.
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第二章 §2.1 曲线与方程
2.1.2 求曲线的方程
关知识和观点，感受曲线的实际 背景，明确其刻画现实世界和解决实际问题的作用. 2.了解解析几何的基本思想、明确它所研究的基本问题. 3.初步掌握根据已知条件求曲线方程的方法，同时进一步加深理解 “曲线的方程、方程的曲线”的概念.
解析答案
类型三 根据曲线的方程求两曲线的交点 例 3 过点 M(1,2)的直线与曲线 y＝ax(a≠0)有两个不同的交点，且这两个 交点的纵坐标之和为 a，求 a 的取值范围.
专题1.2.1 充分条件与必要条件(讲)-2016-2017学年高二数学同步精品课堂(提升版)(选修2-1)(解析版)
【教学目标】1、知识与技能（1）、正确理解充分而不必要条件、必要而不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件的定义．（2）、会判断命题的充分条件、必要条件、充分不必要条件、 必要不充分条件、充要条件、 既不充分也不必要条件.（3）、通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假．2、过程与方法（1）、通过对充分条件、必要条件、充分不必要条件、 必要不充分条件、充要条件、 既不充分也不必要条件概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．（2）、在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．3、情感、态度与价值观（1）、通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．（2）、激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．【教法指导】教学重点（1）、正确区分充分条件、必要条件、充分不必要条件、 必要不充分条件、充要条件、 既不充分也不必要条件的概念.（2）、正确运用“条件”的定义解题.教学难点如何正确判断充分不必要条件、 必要不充分条件、充要条件、 既不充分也不必要条件.【教学过程】 ☆情境引入☆1.命题的常用形式．（学生回答）2.写出命题“若1x =，则21x =”的逆命题、否命题和逆否命题，并分别判断这四种命题的真假． 学生回答：原命题：若1x =，则21x =； 真命题．逆命题：若21x =，则1x =； 假命题．否命题：若1x ≠，则21x ≠； 假命题．逆否命题：若21x ≠，则1x ≠；真命题． ☆探索新知☆在该问题中，原命题为真我们就称“1x =”能推出“21x =”．也就是说：只要有条件“1x =”就能充分保证结论“21x =”成立．提出问题：1.你能举出一个“若p ，则q ”是真命题的例子吗？并说出条件和结论的联系．以上命题中条件和结论之间的这种推出关系，反映了两者之间的一种“充分的”联系．在数学中我们对这种联系可用一种新的定义—充分条件来描述，从而过渡到第2个问题．2.由刚才的分析你能否尝试着归纳出充分条件的概念？形成概念（教师板书）：一般地，“若p ，则q ”是真命题，是指由p 通过推理可以得出q ．这时，我们就说，由p 可推出q ，记作“q p ⇒”，并且说p 是q 的充分条件（sufficient condition ）；q 是p 的必要条件（necessary condition ）． 理解新知提出问题：对于p 是q 的充分条件容易理解，那么，如何理解q 是p 的必要条件呢？解释：我们可从原命题与其逆否命题真假相同的角度来理解．在刚才问题中，命题“若1x =，则21x =”的逆否命题“若21x ≠，则1x ≠”为真命题．是说“如果21x =不成立，那么1x =也不成立”．这就是说，要使1x =成立，就必须有21x =成立．因此，“21x =”是“1x =”成立的必要条件．五、运用新知例1.下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？(1)若3x >，则2x >；(2)若1x =，则2430x x -+=；(3)若x 为无理数，则2x 为无理数．分析：判断p q ⇒是否成立即判断命题是否为真．例2.下列“若p ，则q ”的命题中(若不是，请改为这种形式)，哪些命题中的q 是p 的必要条件？(1)若x y =，则22x y =；(2)全等三角形面积相等；(3)若a b >，则ac bc >．例3.下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些p 是q 的充分条件？(1)22:,:2p x a b q x ab >+>；(2):5,:10p x q x >>；(3):0,:0p ab q a ≠≠．答案：命题(1) (3)中的p 是q 的充分条件．例4.判断下列命题的真假：(1)()()0x a x b x a --==是的必要条件；(2)sin sin αβαβ==是的充分条件；(3)四边形对角线相等是四边形是平行四边形的必要条件．答案： (1)正确，(2) (3)错误．提炼方法：提出问题，组织学生讨论：如何判断充分条件和必要条件？(1)分清谁是条件p ，谁是结论q ；(2)进行两次推理或判断，即判断p q ⇒是否成立，q p ⇒是否成立；(3)根据(2)写出结论．深化概念：集合{}|3P x x =>,集合{}|2Q x x =>．问集合P 与集合Q 是什么关系？探究问题：如果p 表示某元素x 属于集合P ，q 表示该元素属于集合Q ，如何用集合间的关系理解“p q ⇒”的含义？ 分析：“P Q ⊆” 用图形可以表示为：是指：某元素x 属于集合P ，那么该元素必属于集合Q ，也就是说Q x P x ∈⇒∈，即：“p q ⇒”所以x P ∈是x Q ∈的______条件，x Q ∈是x P ∈的______条件.结论：若P Q ⊆，则x P ∈是x Q ∈的充分条件，x Q ∈是x P ∈的必要条件. ☆课堂提高☆1.在下列电路图中，闭合开关A 是灯泡B 亮的什么条件（用充分条件和必要条件）：如图(1)所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的条件；如图(2)所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的条件． 2.能力提升（开放性题目）填空（写出一个满足题意的即可）(1)“0ab =”的一个充分条件是________；(2)“3x <”的一个必要条件是________.答案：1.(1)充分；(2)必要．2.(1)可填：0,0,00a b a b ====且，这三种中的任何一种；(2)可填：4x < (形如x a <，其中3a ≥的答案都是对的).☆课堂小结☆(1)充分条件与必要条件的概念；(2)如何判断充分条件和必要条件？(3)判断充分条件、必要条件时我们用到了哪些方法？(定义法、等价法（逆否命题）、集合法)(4)数学思想：等价转化.教师总结(一首诗帮助学生记忆)：充分必要逻辑深，核心关键判假真．分清条件和结论，等价命题可判真． ☆课后作业☆1.必做题：课本第12页A 组1、2；2.选做题： B 组1：。
人教新课标版数学高二选修2-1讲义 2.1曲线与方程
2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程2.1.2 求曲线的方程1.结合已学过的曲线与方程的实例，了解曲线与方程的对应关系.(了解)2.理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.(重点)3.通过具体的实例掌握求曲线方程的一般步骤，会求曲线的方程.(难点)[基础·初探]教材整理1曲线的方程与方程的曲线阅读教材P34～P35例1以上部分内容，完成下列问题.一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是____________；(2)以这个方程的解为坐标的点都是__________，那么，这个方程叫做________，这条曲线叫做方程的曲线.【答案】这个方程的解曲线上的点曲线的方程设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，则下列命题正确的是()A.坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上B.曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0C.坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D.一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0【解析】本题考查命题形式的等价转换，所给命题不正确，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的.“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故选项A、C错，选项B显然错.【答案】 D教材整理2求曲线方程的步骤阅读教材P36“例3”以上部分，完成下列问题.已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是____________.【解析】设P(x，y)，∵△MPN为直角三角形，∴MP2＋NP2＝MN2，∴(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16，即x2＋y2＝4.∵M，N，P不共线，∴x≠±2，∴轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2).【答案】x2＋y2＝4(x≠±2)[小组合作型]对曲线的方程和方程的曲线的定义的理解(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；(3)第二、四象限角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系.【导学号：37792038】【精彩点拨】曲线上点的坐标都是方程的解吗？以方程的解为坐标的点是否都在曲线上？【自主解答】(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解，但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上.因此|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程.(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此到两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.(3)第二、四象限角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0，反之，以方程x＋y ＝0的解为坐标的点都在第二、四象限角平分线上.因此第二、四象限角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.1.分析此类问题要严格按照曲线的方程与方程的曲线的定义.2.定义中有两个条件，这两个条件必须同时满足，缺一不可.条件(1)保证了曲线上所有的点都适合条件f (x ，y )＝0；条件(2)保证了适合条件的所有点都在曲线上，前者是说这样的轨迹具有纯粹性，后者是说轨迹具有完备性.两个条件同时成立说明曲线上符合条件的点既不多也不少，才能保证曲线与方程间的相互转化.[再练一题]1.已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 在此方程表示的曲线上，求实数m 的值. 【解】 (1)因为12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，所以点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上.(2)因为点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上， 所以x ＝m 2，y ＝－m 适合方程x 2＋(y －1)2＝10，即⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＋(－m －1)2＝10. 解得m ＝2或m ＝－185.故实数m 的值为2或－185.由方程研究曲线(1)(x ＋y －1)x －1＝0；(2)2x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0；(3)(x －2)2＋y 2－4＝0.【精彩点拨】 (1)方程(x ＋y －1)x －1＝0中“x ＋y －1”与“x －1”两式相乘为0可作怎样的等价变形？(2)在研究形如Ax 2＋By 2＋Cx ＋Dy ＋E ＝0的方程时常采用什么方法？(3)由两个非负数的和为零，我们会想到什么？【自主解答】 (1)由方程(x ＋y －1)x －1＝0可得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x －1≥0，x ＋y －1＝0或x －1＝0， 即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1.故方程表示一条射线x ＋y －1＝0(x ≥1)和一条直线x ＝1.(2)对方程左边配方得2(x －1)2＋(y ＋1)2＝0.∵2(x －1)2≥0，(y ＋1)2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2(x －1)2＝0，(y ＋1)2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1. 从而方程表示的图形是一个点(1，－1).(3)由(x －2)2＋y 2－4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，y 2－4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.因此，原方程表示两个点(2,2)和(2，－2).1.判断方程表示什么曲线，就要把方程进行同解变形，常用的方法有：配方法、因式分解或化为我们熟悉的曲线方程的形式，然后根据方程、等式的性质作出准确判定.2.方程变形前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线，另外，当方程中含有绝对值时，常借助分类讨论的思想.[再练一题]2.方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线()A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于x－y＝0对称【解析】同时以－x代替x，以－y代替y，方程不变，所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称.【答案】 C[探究共研型]求曲线的方程探究1【提示】建立坐标系的基本原则：(1)让尽量多的点落在坐标轴上；(2)尽可能地利用图形的对称性，使对称轴为坐标轴.建立适当的坐标系是求曲线方程的首要一步，应充分利用图形的几何性质，如中心对称图形，可利用对称中心为原点建系；轴对称图形以对称轴为坐标轴建系；条件中有直角，可将两直角边作为坐标轴建系等.探究2求曲线方程时，有些点的条件比较明显，也有些点的条件要通过变形或转化才能看清，有些点的运动依赖于另外的动点，请你归纳一下求曲线方程的常用方法？【提示】一般有三种方法：一直接法；二定义法；三相关点法，又称为代入法.在解题中，我们可以根据实际题目选择最合适的方法.求解曲线方程过程中，要特别注意题目内在的限制条件.在Rt△ABC中，斜边长是定长2a(a＞0)，求直角顶点C的轨迹方程.【导学号：37792039】【精彩点拨】(1)如何建立坐标系？(2)根据题意列出怎样的等量关系？(3)化简出的方程是否为所求轨迹方程？【自主解答】取AB边所在的直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，过O与AB垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则A(－a,0)，B(a,0)，设动点C为(x，y).由于|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，所以((x＋a)2＋y2)2＋((x－a)2＋y2)2＝4a2，整理得x2＋y2＝a2.由于当x＝±a时，点C与A或B重合，故x≠±a.所以所求的点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a).1.求曲线方程的一般步骤(1)建系设点；(2)写几何点集；(3)翻译列式；(4)化简方程；(5)查漏排杂：即证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点.2.一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤(5)可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，另外，根据情况，也可以省略步骤(2)，直接列出曲线方程.3.没有确定的坐标系时，要求方程首先必须建立适当的坐标系，由于建立的坐标系不同，同一曲线在坐标系的位置不同，其对应的方程也不同，因此要建立适当的坐标系.[再练一题]3.已知一曲线在x轴上方，它上面的每一点到点A(0,2)的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程.【解】设曲线上任一点的坐标为M(x，y)，作MB⊥x轴，B为垂足，则点M属于集合P＝{M||MA|－|MB|＝2}.由距离公式，点M适合的条件可表示为x2＋(y－2)2－y＝2.化简得x2＝8y.∵曲线在x轴上方，∴y>0.∴(0,0)是这个方程的解，但不属于已知曲线.∴所求曲线的方程为x2＝8y(y≠0).1.已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)()A.在直线l上，但不在曲线C上B.在直线l上，也在曲线C上C.不在直线l上，也不在曲线C上D.不在直线l上，但在曲线C上【解析】将M(2,1)代入直线l和曲线C的方程，由于2＋1－3＝0，(2－3)2＋(1－2)2＝2，所以点M既在直线l上，又在曲线C上.【答案】 B2.在直角坐标系中，方程|x|·y＝1的曲线是()【解析】 当x ＞0时，方程为xy ＝1，∴y ＞0，故在第一象限有一支图象；当x ＜0时，方程为－xy ＝1，∴y ＞0，故在第二象限有一支图象.【答案】 C3.已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 满足PM →·PN →＝4，则点P 的轨迹方程为________.【解析】 设点P 的坐标为P (x ，y )，由PM →·PN →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝4，得x 2＋y 2＝8，则点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝8.【答案】 x 2＋y 2＝84.设圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.【导学号：37792040】【解】 法一：如图所示，设OQ 为过O 的一条弦，P (x ，y )为其中点，连接CP ，则CP ⊥OQ .OC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，连接MP ，则|MP |＝12|OC |＝12，得方程⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14. 由圆的范围，知0<x ≤1.即所求弦中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，0<x ≤1.法二：如图所示，由垂径定理，知∠OPC ＝90°，所以动点P 在以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为圆心，OC 为直径的圆上. 由圆的方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14， 由圆的范围，知0<x ≤1.即所求弦中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，0<x ≤1.。
(人教)高中数学选修2-1【精品课件】2-1 曲线与方程
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
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预习引导
(2)求曲线的方程的步骤 ①建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点 M 的 坐标; ②写出适合条件 P 的点 M 的集合 P={M|P(M)}; ③用坐标表示条件 P(M),列出方程 f(x,y)=0; ④化方程 f(x,y)=0 为最简形式; ⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上. 一般地,化简前后方程的解集是相同的,步骤⑤可以省略不写,如有 特殊情况,可以适当说明.另外也可以省略步骤②,直接列出曲线方程.
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课堂合作探究
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预习引导
1.曲线的方程与方程的曲线 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线 C(看作点的集合或适合某种 条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下 的关系: (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线.
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KEQIAN YUXI DAOXUE
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问题导学
当堂检测
例 1 分析下列曲线上的点与相应方程的关系: (1)过点 A(2,0)平行于 y 轴的直线与方程|x|=2 之间的关系; (2)到两坐标轴的距离的积等于 5 的点与方程 xy=5 之间的关系; (3)第二、四象限角平分线上的点与方程 x+y=0 之间的关系. 思路分析:按照曲线的方程与方程的曲线的定义进行分析.
高二数学选修2-1课件：2.1.1 求曲线的方程
BM
x2＋y2＝1
O
A
x
第十三页，编辑于星期一：一点 二十一分。
课堂小结
1.轨迹与轨迹方程是两个不同的概 念，轨迹是指曲线，轨迹方程是指曲 线的方程.求轨迹方程的本质，就是 在给定的坐标系中，求轨迹上任意一 点的横坐标与纵坐标之间的关系.
第十四页，编辑于星期一：一点 二十一分。
课堂小结
2.求已知类型的曲线方程，一般用待 定系数法或直接法求解；求未知类型的 曲线方程，有代入法、参数法、定义法 等，其解法比较灵活，并且因题而异.
yB
O A
lx
第六页，编辑于星期一：一点 二十一分。
y
M
B
O A
lx
设点M为直线l上任意一点, 设M（x，y）
P＝{M||MA|＝|MB|}
(x 1)2 (y 1)2 x＋2y－7＝0
(x 3)2 (y 7)2
第七页，编辑于星期一：一点 二十一分。
典型例题
例1.如图，点F到直线l的距离为2，曲
线C上每一点到点F的距离减去它到直
线l的距离的差都是2，且曲线C也在直
线l上方.建立适当的坐标系,求曲线的
方程.
Fy
M
l
O
x
第八页，编辑于星期一：一点 二十一分。
y
F （0，2）
M（x，y）
l
O
Bx
P＝{M||MF|－|MB|＝2}
设点M（x，y）为曲线C上任意一点
x 2 (y 2)2 y 2
化简得：x 2 8y x 2 8y(x 0)
第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 曲线与方程
第一页，编辑于星期一：一点 二十一分。
知识回顾
在什么条件下，方程f(x，y)＝0是曲 线C的方程，同时曲线C是该方程的曲 线？
高二数学选修2-1 求曲线的方程(一) ppt
以上过程可以概括为一句话:建．设．现．(．限．)．代．化．.
课本例
5
例 1 已知一条直线 l 和它上方的一个点 F,点 F 到 l 的距离是 2.一条曲线也在 l 的上方,它上面的每一 点到 F 的距离减去到 l 的距离的差都是 2,建立适 当的坐标系,求这条曲线的方程.
∵上面变形过程步步可逆,∴ (x1 1)2 (y1 1)2 (x1 3)2 (y1 7)2
综上所述M,线1A段ABM的1方B1垂法直小平结分线的方程是 x 2y 7 40 .
第一种方法运用现成的结论当然快,但它需要你对研 究的曲线要有一定的了解;第二种方法虽然有些走弯路,但 这种方法有一般性.
求曲线的方程可以这样一般地尝试,注意其中的步骤:
求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤:
√ √ 1.建立适当的坐标系,设曲线上任一点 M 的坐标 (x, y) ;
2.写出适合条件 P 的几何点集: P M P(M ) ;
√3.用坐标表示条件 P(M ) ,列出方程 f (x, y) 0 ; 4.化简方程 f (x, y) 0 为最简形式;
0
曲线 坐标化 曲线的方程
研究
平面解析几何研究的主要问题是：
x
迪卡尔
1.求曲线的方程; 2.通过方程研究曲线的性质. 2
问题 1.
设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7), 求线段 AB 的垂直平分线的方程.
如何求曲线的方程?
法一:运用现成的结论──直线方程的知识来求.
解:∵ kAB 又∵线段
2.1曲线和方程
—— 2.1.2求曲线的方程（一）
1
一、方程的曲线和曲线的方程: ⑴曲线上的点的坐标都是方程的解; (纯粹性) ⑵以方程的解为坐标的点都在曲线上; (完备性)
高二数学选修2-1-曲线与方程(123)-精品PPT课件
y
A
0
2x
分析特例归纳定义
定义 曲线的方程，方程的曲线
• 给定曲线C与二元方程f（x，y）=0， 若满足
• （1）曲线上的点坐标都是这个方程 的解
• （2）以这个方程的解为坐标的点都
是曲线上的点
y
• 那么这个方程f（x，y）=0叫做这条
f(x,y)=0
2.1曲线和方程
—— 2.1.1曲线和方程
• 主要内容：
• 曲线和方程的概念、意义及曲线和方程的两个基 本问题
• 重点和难点：
• 曲线和方程的概念
？
曲线和方程之间有 什么对应关系呢？
分析特例归纳定义
（1）、求第一、三象限里两轴间夹角平分线的 坐标满足的关系
l 第一、三象限角平分线
点的横坐标与纵坐标相等 x=y（或x-y=0）
2.1曲线和方程
—— 2.1.2求曲线的方程（一）
一、方程的曲线和曲线的方程: ⑴曲线上的点的坐标都是方程的解; (纯粹性) ⑵以方程的解为坐标的点都在曲线上; (完备性)
就说这条曲线是这个方程的曲线,这个方程是
这条曲线的方程.
二、坐标法 形成
解析几何
在平面上建立直角坐标系:
y
f(x,y)=0
学习例题巩固定义
例1判断下列结论的正误并说明理由 对（1）过点A（3，0）且垂直于x轴的直线为x=3 错（2）到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=2 错（3）到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1
例2：解答下列问题，并说明理由：
（1）判断点A（-4，3），B (3 2, 4) ，C ( 5, 2 5) 是
否在方程 x2 y2 25(x 0) 所表示的曲线上。
高二数学人教A版选修2-1课件：2.1 曲线与方程
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
解:(1)假命题.以坐标原点为圆心,半径为 2 的圆的方程应是
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预习导引
12
命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”是正确的,下列命题中正确的是( ) A.方程f(x,y)=0的曲线是C B.方程f(x,y)=0的曲线不一定是C C.f(x,y)=0是曲线C的方程 D.以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上 答案:B 提示:不论方程f(x,y)=0是曲线C的方程,还是曲线C是方程f(x,y)=0的曲线,都必须同时满足两层含义:曲线上 的点的坐标都是方程的解,以方程的解为坐标的点都在曲线上,所以A,C,D错误.举例如下:曲线C:第一、三象限 的角平分线,方程为|x|=|y|,显然满足已知条件,但A,C,D错误.
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
三、轨迹方程的求法
1.求曲线方程时应注意的四个问题 (1)在第一步中,如果原题中没有确定坐标系,首先选取适当的坐标系,通常选取特殊位置为原点,相互垂直的 直线为坐标轴. (2)第二步要仔细分析曲线的特征,注意揭示其隐含的条件,抓住与曲线上任意一点M有关的等量关系,列出 等式,此步骤有时也可以省略,而直接将几何条件用动点的坐标表示. (3)在第三步化简的过程中,注意运算的合理性与准确性,尽量避免“失解”或“增解”. (4)第四步的说明可以省略不写,若有特殊情况,可以适当说明,如某些点虽然其坐标满足方程,但不在曲线上, 可以通过限定方程中x(或y)的取值予以剔除.
【精品】高中数学人教A版选修2-1课件：2.1.1曲线与方程课件(22张)
【例1】证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0) 的点的轨迹方程是xy=±k . 证明：（1）设 M ( x 0 ,是轨迹上的任意一点 . y0 ) 因为点M与x轴的距离为 y0 ，与y轴的距离为 x， 0 所以 x 0 y0 k , 即：x0 y0 k ,
F.
2
. M (x,y)
lx
x 2 ( y 2 )2 y 2,
①
x ( y 2) ( y 2) ,
2 2 2
o
B
化简得
1 2 y x . 8
因为曲线在x轴的上方，所以y>0.虽然原点O的坐
标（0,0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所
以曲线的方程应是
1 2 y x（ x 0） . 8
A．一个点
C．两条直线
B．一条直线
D．一个点和一条直线
解析：选C.由x2＋xy＝x，得x(x＋y－1)＝0， 即x＝0或x＋y－1＝0. 由此知方程x2＋xy＝x表示两条直线． 故选C.
3.下面四组方程表示同一条曲线的一组是( D ) A ．y 2＝x 与 y ＝ x
建系 设点 列方程 化简 证明（省略）
若命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0
的解”是正确的，则下列命题为真命题的是( D ) A．不是曲线C上的点的坐标，一定不满足方程f(x，y)＝0 B．坐标满足方程f(x，y)＝0的点均在曲线C上 C．曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线
D．不是方程f(x，y)＝0的解，一定不是曲线C上的点
[思路探索] 从定义入手，考查定义中的两个条件．
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【教学目标】
(1) 知识目标：学会求曲线方程的步骤和方法。
(2) 能力目标：能用所学知识理解新的概念，并能运用概念解决实际问题，从中体会转化化归的思想方法，提高思维品质，发展应用意识。
(3) 情感目标：通过本节课的学习，学生能够体验几何问题可以转化成代数问题来研究，真正认识到数学是解决实际问题的重要工具；学生通过观察、分析、推断可以获得数学猜想，体验到数学活动充满着探索性和创造性。
【重点难点】
1.教学重点：求曲线方程的方法和步骤．
2.教学难点：在解决实际问题时灵活转化等量关系．
【教学过程】
☆情境引入☆
在美丽的南沙群岛中，甲岛与乙岛相距8海里，一艘军舰在海上巡逻，巡逻过程中，从军舰上看甲乙两岛，保持视角为直角，你认为军舰巡逻的路线应是怎样的曲线，你能为它写出一个方程吗？
☆探索新知☆
求曲线的方程的步骤
上一节，我们已经学习了曲线的方程与方程的曲线的概念.利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x, y）所满足的方程f(x, y)=0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.
解析几何与坐标法
我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法. 在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何.因此，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科.
平面解析几何研究的两个基本问题.
（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；
（2）通过曲线的方程，研究平面曲线的性质.
题型一求直线方程
【例1】设A,B两点的坐标分别是(－1,－1)，(3,7)，求线段AB的垂直平分线的方程.
解析：设点M(x,y)是线段AB的垂直平分线上的任意一点，也就是点M属于集合
P=｛M|｜MA｜=｜MB｜｝.
由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为
=
上式两边平方，并整理得x+2y－7=0. ①
我们证明方程①是线段AB 的垂直平分线的方程.
（1）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐标都是
方程①的解；（2）设点M 1的坐标（x 1,y 1）是方程①的解，即
x 1+2y 1－7=0, x 1=7－2y 1.
点M 1到A ，B 的距离分别是
==
=
即点M 在线段AB 的垂直平分线上.
由(1)、(2)可知,方程①是线段AB 的垂直平分线的方程.
题型二 求曲线方程
【例2】已知一条直线l 和它上方的一个点F ，点F 到l 的距离是2.一条曲线也在l 的上方，它上面的每一点到F 的距离减去到l 的距离的差都是2,建立适当的坐标系，求这条曲线的方程
.
2,y =①
将①式移项后两边平方，得
222(2)(2),x y y +-=+化简得
21.8
y x = 因为曲线在x 轴的上方，所以y>0.虽然原点O 的坐标（0,0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应是210.8y x x =
≠（） ☆课堂提高☆
1.圆心在直线x-2y+7=0上的圆C 与x 轴交于两点A(-2,0)，B(-4,0),则圆C 的方程为 . (x+3)2+(y-2)2=5
2.在△ABC 中，B ，C 坐标分别为（-3，0），（3，0），
且三角形周长为16，则点A的轨迹方程是________________.
22
x y
+=1(x≠±5)
2516
☆课堂小结☆
1.本节学习了一种方法--直接法求曲线方程;
2.直接法求曲线方程五个步骤的实质是将产生曲线的几何条件逐步转化为含动点坐标的代数方程的过程.(因此求曲线方程时要注意挖掘题中形成曲线的等量关系);
3.求曲线方程时,五个步骤不一定要全部实施.如第二步、第五步；
注意: (1)建系要适当；
(2)化简变形要考查等价与否(即考察曲线的完备性和纯粹性).
☆课后作业☆
A组 4-5题
：。