高一数学必修4第三章综合检测题

第三章综合检测题 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共60分) 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)

1．sin2π12－cos2π12的值为( )

A．－12 B.12 C．－32 D.32 [答案] C [解析] 原式＝－(cos2π12－sin2π12)＝－cosπ6＝－32. 2．函数f(x)＝sin2x－cos2x的最小正周期是( ) A.π23 B．π C．2π D．4π [答案] B

[解析] f(x)＝sin2x－cos2x＝2sin(2x－π4)，故T＝2π2＝π. 3．已知cosθ＝13，θ∈(0，π)，则cos(3π2＋2θ)＝( ) A．－429 B．－79 C.429 D.79 [答案] C [解析] cos(3π2＋2θ)＝sin2θ＝2sinθcosθ＝2×223×13＝429. 4．若tanα＝3，tanβ＝43，则tan(α－β)等于( ) A．－3 B．－13 C．3 D.13 [答案] D

[解析] tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝3－431＋3×43＝13. 5．cos275°＋cos215°＋cos75°·cos15°的值是( ) A.54 B.62 C.32 D．1＋23 [答案] A [解析] 原式＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos15°＝1＋12sin30°＝54. 6．y＝cos2x－sin2x＋2sinxcosx的最小值是( ) A.2 B．－2 C．2 D．－2 [答案] B

[解析] y＝cos2x＋sin2x＝2sin(2x＋π4)，∴ymax＝－2. 7．若tanα＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)＝( ) A．－1 B．－15 C.57 D.17 [答案] D [解析] tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝tanβ－α－tanα1＋tanβ－αtanα＝3－21＋6＝17.

8．已知点P(cosα，sinα)，Q(cosβ，sinβ)，则|PQ→|的最大值是( ) A.2 B．2

C．4 D.22 [答案] B

[解析] PQ→＝(cosβ－cosα，sinβ－sinα)，则|PQ→|＝cosβ－cosα2＋sinβ－sinα2＝2－2cosα－β，故|PQ→|的最大值为2.

9．函数y＝cos2x＋sin2xcos2x－sin2x的最小正周期为( ) A．2π B．π C.π2 D.π4 [答案] C [解析] y＝1＋tan2x1－tan2x＝tan(2x＋π4)，∴T＝π2.

10．若函数f(x)＝sin2x－12(x∈R)，则f(x)是( ) A．最小正周期为π2的奇函数 B．最小正周期为π的奇函数 C．最小正周期为2π的偶函数 D．最小正周期为π的偶函数 [答案] D

[解析] f(x)＝sin2x－12＝－12(1－2sin2x)＝－12cos2x，∴f(x)的周期为π的偶函数． 11．y＝sin(2x－π3)－sin2x的一个单调递增区间是( ) A．[－π6，π3] B．[π12，712π]

C．[512π，1312π] D．[π3，5π6] [答案] B [解析] y＝sin(2x－π3)－sin2x＝sin2xcosπ3－cos2xsinπ3－sin2x＝－

(sin2xcosπ3＋cos2xsinπ3)＝－sin(2x＋π3)，其增区间是函数y＝sin(2x＋π3)的减区间，即2kπ＋π2≤2x＋π3≤2kπ＋3π2，∴kπ＋π12≤x≤kπ＋7π12，当k＝0时，x∈[π12，7π12]． 12．已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则log5(tanαtanβ)2等于( ) A．2 B．3 C．4 D．5 [答案] C

[解析] 由sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13得 sinαcosβ＋cosαsinβ＝12sinαcosβ－cosαsinβ＝13，∴ sinαcosβ＝

5

12

cosαsinβ＝112

，

∴tanαtanβ＝5， ∴log5(tanαtanβ)2＝log552＝4. 第Ⅱ卷(非选择题 共90分) 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．(1＋tan17°)(1＋tan28°)＝________. [答案] 2 [解析] 原式＝1＋tan17°＋tan28°＋tan17°·tan28°，又tan(17°＋

28°)＝tan17°＋tan28°1－tan17°·tan28°＝tan45°＝1，∴tan17°＋tan28°＝1－tan17°·tan28°，代入原式可得结果为2. 14．(2012·全国高考江苏卷)设α为锐角，若cosα＋π6＝45，则sin2α＋π12的值为______． [答案] 17250 [解析] ∵α为锐角，∴π6

α＋

π

6

＝35；

∴sin2α＋π3＝2sinα＋π6cosα＋π6＝2425， cos(2α＋π3)＝cos(α＋π6)2－sin2(α＋π6)＝725 ∴sin2α＋π12＝sin2α＋π3－π4＝sin2α－π3cosπ4－cos2α＋π3sinπ4

＝17250. 15．已知cos2α＝13，则sin4α＋cos4α＝________.

[答案] 59 [解析] cos2α＝2cos2α－1＝13得cos2α＝23，由cos2α＝1－2sin2α

＝13得sin2α＝13(或据sin2α＋cos2α＝1得sin2α＝13)，代入计算可得． 16．设向量a＝(32，sinθ)，b＝(cosθ，13)，其中θ∈(0，π2)，若a∥b，则θ＝________.

[答案] π4

[解析] 若a∥b，则sinθcosθ＝12，即2sinθcosθ＝1，∴sin2θ＝1，又θ∈(0，π2)，∴θ＝π4. 三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本题满分10分)已知cosα－sinα＝352，且π32π，求

sin2α＋2sin2α

1－tanα的值．

[解析] 因为cosα－sinα＝325，所以1－2sinαcosα＝1825，所以2sinαcosα＝725. 又α∈(π，3π2)，故sinα＋cosα＝－1＋2sinαcosα＝－425， 所以sin2α＋2sin2α1－tanα＝2sinαcosα＋2sin2αcosαcosα－sinα＝2sinαcosαcosα＋sinαcosα－sinα＝725×－425325＝－2875.

18．(本题满分12分)设x∈[0，π3]，求函数y＝cos(2x－π3)＋2sin(x－π6)的最值． [解析] y＝cos(2x－π3)＋2sin(x－π6) ＝cos2(x－π6)＋2sin(x－π6) ＝1－2sin2(x－π6)＋2sin(x－π6)＝－2[sin(x－π6)－12]2＋32. ∵x∈[0，π3]，∴x－π6∈[－π6，π6]． ∴sin(x－π6)∈[－12，12]， ∴ymax＝32，ymin＝－12. 19．(本题满分12分)已知tan2θ＝2tan2α＋1，求证：cos2θ＋sin2α

＝0.

[证明] cos2θ＋sin2α＝cos2θ－sin2θcos2θ＋sin2θ＋sin2α＝1－tan2θ1＋tan2θ＋sin2α＝

－2tan2α1＋2tan2α＋1＋sin2α＝－tan2α1＋tan2α＋sin2α＝－sin2α

cos2α＋sin2α

＋sin2α＝－sin2α＋sin2α＝0.

20．(本题满分12分)已知向量a＝(cos3x2，sin3x2)，b＝(cosx2，－sinx2)，c＝(3－1)，其中x∈R. (1)当a⊥b时，求x值的集合； (2)求|a－c|的最大值．

[解析] (1)由a⊥b得a·b＝0，即cos3x2cosx2－sin3x2sinx2＝0，则cos2x＝0，得x＝kπ2＋π4(k∈Z)，∴x值的集合是{x|x＝kπ2＋π4，k∈Z}． (2)|a－c|2＝(cos3x2－3)2＋(sin3x2＋1)2 ＝cos23x2－23cos3x2＋3＋sin23x2＋2sin3x2＋1 ＝5＋2sin3x2－23cos3x2＝5＋4sin(3x2－π3)，则|a－c|2的最大值为9.∴|a－c|的最大值为3. 21．设函数f(x)＝22cos(2x＋π4)＋sin2x (Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期； (Ⅱ)设函数g(x)对任意x∈R，有g(x＋π2)＝g(x)，且当x∈0，π2时，g(x)＝12－f(x)；求函数g(x)在[－π，0]上的解析式。 [解析] f(x)＝22cos(2x＋π4)＋sin2x＝12cos2x－12sin2x＋12(1－cos2x)＝12－12sin2x (Ⅰ)函数f(x)的最小正周期T＝2π2＝π