抢渡长江问题的数学建模和求解
第13讲 小船渡河模型(解析版)
第13讲小船渡河模型1．（2021·辽宁）1935年5月，红军为突破“围剿”决定强渡大渡河。
首支共产党员突击队冒着枪林弹雨依托仅有的一条小木船坚决强突。
若河面宽300m，水流速度3m/s，木船相对静水速度1m/s，则突击队渡河所需的最短时间为（）A．75s B．95s C．100s D．300s【解答】解：当静水速度与河岸垂直时，垂直于河岸方向上的分速度最大，则渡河时间最短，最短时间为：t=dv c=3001s＝300s，故D正确，ABC错误；故选：D。
一.知识回顾1.模型构建（1）常规简单模型：实际运动是匀速直线运动在运动的合成与分解问题中，两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动。
若其中一个分运动的速度大小和方向都不变，另一个分运动的速度大小不变，方向在180°范围内(在速度不变的分运动所在直线的一侧)变化，我们对合运动或分运动的速度、时间、位移等问题进行研究。
这样的运动系统可看成“小船渡河模型”。
（2）较复杂模型：实际运动是曲线运动水速不变，但船在静水中速度变化；或者船在静水中速度不变，但水速大小变化。
2．模型特点(1)船的实际运动是随水流的运动和船相对静水的运动的合运动。
(2)三种速度：船在静水中的速度v船、水的流速v水、船的实际速度v合。
3．实际运动是匀速直线运动的两类问题、三种情景渡河时间最短当船头方向垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间t min＝dv船渡河位移最短如果v船>v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，等于河宽d如果v 船<v 水，当船头方向(即v 船方向)与合速度方向垂直时，渡河位移最短，等于d v 水v 船5.解题方法：小船渡河问题有两类：一是求渡河时间，二是求渡河位移。
无论哪类都必须明确以下四点：(1)解决问题的关键：正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是船头指向，是分运动。
船的运动方向也就是船的实际运动方向，是合运动，一般情况下与船头指向不一致。
数学九年级典中点
数学九年级典中点摘要：一、数学建模竞赛概述二、2003 年高教社杯全国大学生数学建模竞赛B 题概述三、Matlab 代码在数学建模中的应用四、结论正文：一、数学建模竞赛概述数学建模竞赛是一项面向全球高校大学生的竞技活动，旨在通过对现实问题进行抽象、建模和求解，培养学生的数学应用能力、创新思维和团队协作精神。
竞赛题目一般具有现实意义、跨学科特点，参赛选手需要运用自己所学的数学、物理、计算机等多方面知识来解决实际问题。
二、2003 年高教社杯全国大学生数学建模竞赛B 题概述2003 年高教社杯全国大学生数学建模竞赛B 题要求参赛选手针对一个具有实际背景的问题进行数学建模，并使用Matlab 编程语言进行求解。
题目具体内容涉及抢渡长江时的最优路径选择，需要参赛选手运用优化方法、微分方程等数学知识进行求解。
此题具有较高的挑战性，需要参赛选手具备较强的数学建模能力和编程技能。
三、Matlab 代码在数学建模中的应用Matlab 是一种广泛应用于科学计算和工程设计的编程语言，其强大的数值计算和数据分析功能为数学建模提供了便捷的工具。
在解决实际问题时，参赛选手需要运用Matlab 进行数据预处理、建立数学模型、求解方程组、绘制图形等操作，以得出最终的建模结果。
以2003 年高教社杯全国大学生数学建模竞赛B 题为例，参赛选手需要运用Matlab 进行以下操作：1.根据题目描述，建立抢渡长江的最优路径选择问题的数学模型；2.利用Matlab 求解模型中的微分方程，得到最优路径；3.使用Matlab 绘制最优路径的图形，直观地展示求解结果。
四、结论数学建模竞赛是一项对参赛选手具有较高挑战性的活动，需要选手具备较强的数学建模能力和编程技能。
在解决实际问题时，选手需要运用Matlab 等编程语言进行数据处理、建立模型、求解方程组等操作，以得出最终的建模结果。
小船渡河模型
小船渡河模型
小船渡河模型是指模拟运用数学工具来求解一个小船在河中兜航时会遇到的问题。
它
是一种**求解乘客穿越河口的计算问题**，被认为是数学建模的一种**经典的应用场景**。
小船渡河模型一般由三部分组成：河流、船只和渡河乘客三个要素。
在渡河优化模型中，河流用来描述河流的**长度和宽度、险点和安全等级**，船只则是河流行走的媒介，
**用来描述船只的容量、速度和耗能**，而渡河乘客则是描述船上乘客**属性和移动速度
**等信息。
通过三者之间的关系，建立小船渡河优化模型。
它用来求解最优渡河时间、最佳渡河
距离、最优渡河路线以及当状态发生变化时，小船何时可以到达某一站点的等问题。
小船渡河模型的概念起源于16世纪的一个数学应用题，问题是求解两条河口之间的
最短距离。
许多算法都是基于该模型来解决实际河流导航的问题。
小船渡河模型包含许多求解问题，它可以把解决这些问题归结为计算概率和优化问题，从而帮助参与者求得最佳渡河策略。
它已经成功地被应用于航运工业，如航运公司的**最
优船舶路线规划、最短渡河时间判断等**，极大提高了航运效率和安全性。
数学建模++防洪物资调运问题之欧阳与创编
目录摘要2一、问题重述与分析51、问题的重述52、问题分析6二、模型假设与符号说明81、模型假设82、符号说明9三、模型的分析、建立与求解101、关于问题（1）的分析与求解：102、关于问题（2）模型的分析、建立和求解113、关于问题（3）的分析与求解：184、关于问题（4）的分析和模型的建立、求解：22欧阳与创编四、模型的评价与改进26参考文献：27附录28摘要防洪物资调运问题实质是个运筹学网络规划中的最短路问题。
由于灾害发生地点和时间具有较大随机性，结合实际情况，我们对其建立了相应的模型。
前三问是提前做好物资的储备，所以我们假设时间相对较宽裕。
将运输分为三个阶段，分别为：“使储备库优先达到预测库存”、“使各库存都达到预测值”和“使各库存在允许最大库存范围内尽可能的多”。
使用图论中的方法将交通网络图转化成数学图形，并用Floyd算法求出欧阳与创编企业至各储备库及仓库的运输资金最少的各条路线，即将高等公路转化为普通路线后的等效最短路线。
第一阶段：使储备库达到预测值，以总运费最少为目标建立模型，求出具体调运量。
第二阶段：达到预测库存前以调运时间最少为目标建立模型，求出每条路线前期的调运量。
再按照以当天库存与预测库存相对差值的最大值尽可能小为原则建立模型，如果相对差值相同，远距离优先运输建立模型，求出各路线每天的具体调运量。
第三阶段：达到预测后以调运费用最少为目标建立模型，求出每条路线后期的调运量。
在同等考虑储备库的情况下，以同样的原则建立模型，求出各路线每天的具体调运量。
同时根据问题三的要求，求得20天后各仓库和储存库的物资量如下表所示：欧阳与创编问题四中的紧急调运的问题，我们的首要目标是使防洪物资尽可能早的运输到储备库及仓库。
此时，我们不再考虑运费资金问题，以实际路程最短为目标求出各企业与仓库间的最优路线。
同样将运输分为两个阶段（第一阶段为到达库存前，第二阶段达到预测库存后）都以调运时间最短即以最短路为目标建立模型，求出各路线的调运量。
数学建模的概念和方法
5）按建模目的分:
描述模型、预报模型、优化模型、决策模型、控 制模型等.
6）按对模型结构的了解程度分:
白箱模型：其内在机理相当清楚的学科问题，包括 力学、热学、电学等.
结果的正确性，表述的清晰性。
宗旨 创新意识 团队精神 重在参与 公平竞争
年份 2019 2019 2019 2019
2019 2019
2019-2019年数学建模竞赛题目
A题
B题
C题
D题
SARS的传播 露天矿生产的 SARS的传 抢渡长江
车辆安排
播
奥运会临时超 电力市场的输 饮酒驾车 公务员招聘 市网点设计 电阻塞管理
(1,1)
(1,1)循环
(2,0) (0，2)
(0,1) (0,3)
S8 (0,2) d8 ((10,,02)) S9 ((10,,24))
(1,1)
(1,3)
(2,0) (3，2)循环
(0,1)
(0,2)循环
S9 (0,3) d9 ((10,,02)) S10 ((0,11,)3)
(1,1)
数学建模的概念和方法
参 考 教 材
参 考 教 材
1. 数学建模的概念和步骤
1.1. 数学建模的概念 1.2. 数学建模的步骤 1.3. 一个数学建模实例 1.4. 数学模型的分类 1.5. 数学建模竞赛介绍
1.1 数学建模的概念
•数学建模，简单地讲就是用数学的知识和方法去解 决实际问题. •一个简单的例：甲乙两地相距750公里，船从甲到 乙顺水航行要30 小时，从乙到甲逆水航行要50 小时 ，问船速、水速是多少？
变分法在求解最速渡江路线问题的应用
取渡江出发点为 ! （%， %） ， 水流方向为 " 轴正向， 垂直河对岸方向为 # 轴正向， 建坐标系如图 （$） $ 设渡江终点 % （ &， ’） ， 水流速度大小为 (， 渡江者游速大小为 )$ 在下列情形下， 求解最速渡江 线路及最短渡江时间$ 一、 若 ) 与 ( 为常数 设渡江线路方程为 # *（ * "） ， 点+ （ "， #） 为其上一点， 记点 + 处水速与游速的合速度大小为 (% ， 合速度方向为曲线 # *（ * "） 在点 + 处的切线方向， 设切线的倾角为 !， 则 #, * +,-!$ 又记游速方向与 合速度方向的夹角为 "， 则 ./-" 合速度的大小 (% * ! ( )& . (& ./-& ! ./-!， 01." - ! ) )
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数学建模
变分法在求解最速渡江路线问题的应用
孙冬梅!
摘 （ 华南热带农业大学海口校区! 海口! "#$$%$ ）
!
要! 本文在渡江者游速大小一定、 水流速度大小一定或随水域均匀变化的情况下， 建立变分法模型求解
最速渡江问题， 求得了最速渡江线路的解析解， 并在此基础上， 对 “ &%%’ 年高教杯全国大学生数学建模竞赛” “ 抢渡 长江” 题求得最优数值解 关键词! 变分法! 最速渡江线路! 解析解! 数值解! 中图分类号! ($#)
./ 故渡江总时间 ! 可用泛函表示为 ! ! ! ! ! "
高等数学研究! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! #"". 年 $$ 月
$
#
16394-数学建模-培训课件-防洪物质调运问题
题目防洪物资调运问题摘要：本题所说的是防洪物质调运问题。
在此问题中我们求任意两个点之间运费每一百件最少的路线，把附件2（生产企业，物资仓库及国家级储备库分布图）的分布图转化为纯数学图[]1（见模型建立中图一），所得图是连通图，设为()EVG,=，各个边的权为相联两点每百件物资的运费。
我们利用“策略空间迭代法”[]2，求任意两点间最优路线，显然我们建立的数学（简单图形）模型是可行的、合理的。
得出最优路线为企业1→○26→○19→仓库5、企业1→○26→○19→○18→仓库2、企业1→○26→储备库1、企业2→○6→○40→储备库1、企业2→○42→仓库1、企业2→○42→○28→仓库7、企业2→○42→○28→○29→储备库2。
数据的整理统计在此问题中是很有必要的，我们根据实际情况，在保证国家级储备库的情况下，采用就近原则，在此基础上建立线性规划模型，运用Lindo 运用软件对我们所建立线性规划问题进行计算。
得出调运量为：企业1→仓库5 为0.0百件、企业1→仓库2为330百件、企业1→储备库1为270.0百件、企业2→储备库1为0.0百件、企业2→仓库1为300百件、企业2→仓库7为110.0百件、企业2→储备库2为0.0百件、企业3→仓库4为120.0百件、企业3→仓库3为0百件、企业3→仓库8为 60百件、企业3→仓库6为20百件、企业3→储备库2为700.0百件。
再把天数为20带入上述线性规划，运用Lindo运用软件进行计算，可以得到由于汛期路段○26○27交通中断，同上述思想，中断路线改为企业2→○6→○40→储备库1，建立线性规划，运用Lindo运用软件求解，其结果见解答问题中第（4）问的结果。
关键词：策略空间迭代法、线性规划模型、Lindo。
一：问题的重述我国地域辽阔，气候多变，各种自然灾害频频发生，特别是每年在长江、淮河、嫩江等流域经常爆发不同程度的洪涝灾害，给国家和人民财产带来重大损失，防洪抗涝成为各级政府的一项重要工作。
数学建模案例
决策控制。
6）模型检验： 把模型分析的结果“翻译”回到实
际对象中，用实际现象、数据等检验模型的合理性
和适应性检验结果有三种情况：符合好，不好，阶
段性和部分性符合好。
7）模型应用：应用中可能发现新问题，需继续完善。
四、数学建模的特点
五、数学建模的分类
1）按变量的性质分：
2、模型建立
x --第k 次渡河前此案的商人数 k yk --第k次渡河前此案的随从数 sk ( xk , yk )过程的状态 u --第k 次渡船上的商人数 k vk --第k次渡船上的随从数 d k (uk ,vk )决策 x , y 0， 1， 2， 3 k k k 1,2, S --允许状态集合 u , v 0， 1， 2 k k k 1,2, D--允许决策集合
每一件产品单位货物量的成本c ( )为 c ( ) ( a b ) / p q 1/3 . 其中p，q为正数.这就是包装量为时单位货物量总成本 的数学模型.不难看出，它是包装量的减函数，表明 包装增大时每件产品的单位货物量的成本将下降，与我 们平时观察到的数据是一致的.
•要有严密的数学推理，模型本身要正确；
•要有足够的精确度。 4）模型求解：可以包括解方程、画图形、证明定理 以及逻辑运算等。会用到传统的和近代的数学方 法，计算机技 术（编程或软件包）。特别地近似计 算方法（泰勒级数，三角级数，二项式展开、代数 近似、有效数字等）。
5）模型分析：结果分析、数据分析。
学会联合主办。从1985年起每年举行一届， MCM，这是最早的数学建模。1987年以前的全称是 Mathe 在每年的二月下旬或三月初的某个星期五到 星期日举行，到 2009 -matical Competition in 年已举行了 Modeling。25届。
全国大学生数学建模竞赛题目 .doc
2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读 “对论文格式的统一要求”）D 题 抢渡长江“渡江”是武汉城市的一张名片。
1934年9月9日，武汉警备旅官兵与体育界人士联手，在武汉第一次举办横渡长江游泳竞赛活动，起点为武昌汉阳门码头，终点设在汉口三北码头，全程约5000米。
有44人参加横渡，40人达到终点，张学良将军特意向冠军获得者赠送了一块银盾，上书“力挽狂澜”。
2001年，“武汉抢渡长江挑战赛”重现江城。
2002年，正式命名为“武汉国际抢渡长江挑战赛”，于每年的5月1日进行。
由于水情、水性的不可预测性，这种竞赛更富有挑战性和观赏性。
2002年5月1日，抢渡的起点设在武昌汉阳门码头，终点设在汉阳南岸咀，江面宽约1160米。
据报载，当日的平均水温16.8℃, 江水的平均流速为1.89米/秒。
参赛的国内外选手共186人（其中专业人员将近一半），仅34人到达终点，第一名的成绩为14分8秒。
除了气象条件外，大部分选手由于路线选择错误，被滚滚的江水冲到下游，而未能准确到达终点。
假设在竞渡区域两岸为平行直线, 它们之间的垂直距离为 1160 米, 从武昌汉阳门的正对岸到汉阳南岸咀的距离为 1000米，见示意图。
请你们通过数学建模来分析上述情况, 并回答以下问题:1. 假定在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变，且竞渡区域每点的流速均为 1.89 米/秒。
试说明2002年第一名是沿着怎样的路线前进的，求她游泳速度的大小和方向。
如何根据游泳者自己的速度选择游泳方向，试为一个速度能保持在1.5米/秒的人选择游泳方向，并估计他的成绩。
1160m 长江水流方向 终点: 汉阳南岸咀 起点: 武昌汉阳门1. 在（1）的假设下，如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游, 他(她)们能否到达终点？根据你们的数学模型说明为什么 1934年 和2002年能游到终点的人数的百分比有如此大的差别；给出能够成功到达终点的选手的条件。
2. 若流速沿离岸边距离的分布为 (设从武昌汉阳门垂直向上为 y 轴正向) ：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<<≤≤=米米秒，米米米秒，米米米秒，米1160960/47.1960200/11.22000/47.1)(y y y y v游泳者的速度大小（1.5米/秒）仍全程保持不变，试为他选择游泳方向和路线，估计他的成绩。
全国数学建模比赛优秀论文点评
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。