5.4.1 二维柯西不等式 课件(人教A版选修4-5)
合集下载
2014年人教A版选修4-5课件 1.二维形式的柯西不等式
基本不等式的几何意义: 直角三角形斜边上的 中线不小于斜边上的高.
AD + DB = OC DC = AD DB . 2
A O C
D
B
下面我们讨论柯西不等式的几何意义.
在平面直角坐标系中设向量 a=(a, b), b=(c, d), a 与 b 之间的夹角为 q, 0≤q≤p. y b (c, d) a b = |a || b | cosq , |a b | = |a || b || cosq | |a || b |, a (a, b) 当 a , b 中有零向量, 或 |cosq|=1 时, 等号成立. x O 将坐标代入得 当 |cosq |=1 时, | (a, b)(c, d ) | a 2 + b2 c 2 + d 2 , a , b 共线 , 2 2 2 2 | ( ac + bd ) | a + b c + d , 即 则 ad=bc. 2≤(a2+b2)(c2+d2), ( ac + bd ) 两边平方得 即 (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2. (两向量模的积不小于积的模.)
还能得到什么样的不等式呢?
前面我们学习了基本不等式, 绝对值三角不等式 等, 这些不等式不仅结构形式优美, 而且具有重要的 应用价值, 人们称它们为经典不等式. 下面我们要学 习的柯西不等式和排序不等式就属于这样的不等式. 问题1. a, b, c, dR, 你能对 (a2+b2)(c2+d2) 推出 些什么不等式? (a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2 =a2c2+b2d2+2abcd-2abcd+a2d2+b2c2 =(ac+bd)2+(ad-bc)2 ≥(ac+bd)2. (这个不等式的结构形式有什么特点? 四个数形 成的大小关系是怎样的? 在什么情况下等号成立?)
AD + DB = OC DC = AD DB . 2
A O C
D
B
下面我们讨论柯西不等式的几何意义.
在平面直角坐标系中设向量 a=(a, b), b=(c, d), a 与 b 之间的夹角为 q, 0≤q≤p. y b (c, d) a b = |a || b | cosq , |a b | = |a || b || cosq | |a || b |, a (a, b) 当 a , b 中有零向量, 或 |cosq|=1 时, 等号成立. x O 将坐标代入得 当 |cosq |=1 时, | (a, b)(c, d ) | a 2 + b2 c 2 + d 2 , a , b 共线 , 2 2 2 2 | ( ac + bd ) | a + b c + d , 即 则 ad=bc. 2≤(a2+b2)(c2+d2), ( ac + bd ) 两边平方得 即 (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2. (两向量模的积不小于积的模.)
还能得到什么样的不等式呢?
前面我们学习了基本不等式, 绝对值三角不等式 等, 这些不等式不仅结构形式优美, 而且具有重要的 应用价值, 人们称它们为经典不等式. 下面我们要学 习的柯西不等式和排序不等式就属于这样的不等式. 问题1. a, b, c, dR, 你能对 (a2+b2)(c2+d2) 推出 些什么不等式? (a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2 =a2c2+b2d2+2abcd-2abcd+a2d2+b2c2 =(ac+bd)2+(ad-bc)2 ≥(ac+bd)2. (这个不等式的结构形式有什么特点? 四个数形 成的大小关系是怎样的? 在什么情况下等号成立?)
5.4一般形式的柯西不等式 课件(人教A版选修4-5)
1 xn
(1 x 1 1 x 2 1 x n ) ( xn
2
1 x1
x2
2
1 x2
x2 1 x2
1 xn
) ≥ ( 1 x1 xn 1 xn
2
x1 1 x1
1 x2
1 xn
) ( x1 x 2 x n ) 1
探究 :从平面向量的几何背景能得到
≥
,
将平面向量的坐标代入,化简后得二维形式的柯西不 等 式 : ( a 12 a 22 ) ( b12 b 22 ) ≥ ( a 1 b1 a 2 b 2 ) 2 , 当 且 仅 当
a 1 b 2 a 2 b1 时,等号成立 . 类似地,从空间向量的几何 背景也能得到 ≥ ,将空间向量的坐标代入,
2
x1
2
1 x1
x2
2
1 x2
xn
2
1 xn
≥
1 n1
补充练习
补充练习: 1.已知实数 a , b , c , d , e 满足 a b c d e 8,
a b c d e 16, 求 e
2 2 2 2 2
的取值范围.
1 4 9 z x y
(a1 a2 an )(b1 b2 bn ) ≥ (a1b1 a2b2 anbb )
2 2 2 2 2 2 2
当且仅当 b i 0 ( i 1 , 2 , , n )或存在一个数
k , 使得 a i kb i ( i 1 , 2 , , n )时 , 等号成立 。
5.4一般形式的柯西不等式 课件(人教A版选修4-5)(2)
9 z
( x y z)
14 (
) (
)
14 4 6 12 36 当且仅当 y 2 x , z 3 x , 即 x 1 6 ,y 1 3 ,z 1 2 时 , 等号成立 .
课外练习:
1 在 ABC 中 , 设其各边长为 求证 : ( a b c )(
2 2 2
a , b , c , 外接圆半径为 1
2
R,
2
1
2
B sin
1
2
) 36 R C
sin A sin 2 .设 a , b , c 为正数 , 且 a b c 1 ,
求证 : ( a
1 a
) (b
2
1 b
) (c
2
1 c
)
2
100 3
3 .若 n 是不小于 2的正整数 , 试证 : 4 7 1 1 2 1 3 1 4 1 2n 1 1 2n 2 2
根据上面结果，你能猜想出一般形式的柯西不 等式吗？
猜想并证明 结论
猜想柯西不等式的一般形式
2 2 2 2 2 2 2
(a1 a2 an )(b1 b2 bn ) ≥ (a1b1 a2 b2 anbb ) ②
2 2 分析： A a 12 a 2 a n ， B a b a b a b 设 1 1 2 2 n n 2 2 2 C b1 b 2 b n ， 不 等 式 ② 就 是 A C ≥ B 2
构造二次函数 f ( x ) ( a 1 a 2 a n ) x 2 ( a 1 b1 a 2 b 2 a n b n ) x
高中数学人教A版选修4-5配套课件：第三讲 二维形式的柯西不等式
2 1 )＋ ( 2y) ]2 3 2 2 2 2 1 ［ 3x ＋ 2y ］[( ) 2＋ ( )2 ] 3 2 4 1 11 2 2 ＝ (3x ＋2y )( ＋ ) 6 ＝ 11. 3 2 6 所以 2x＋y 11，
【解析】1. 2x＋y ＝ [ 3x (
2
1.已知3x2＋2y2≤6，则2x＋y的最大值为_____.
2.已知 a 1－b 2 b 1－a 2 1,求证：a2+b2=1.
【解题探究】 1.题1中，结合已知条件与待求的式子，应该怎样建立关系使 用柯西不等式？ 2.题2中的已知条件应该如何利用？
探究提示： 1.把待求式子进行平方得到(2x＋y)2并结合已知条件进行变 换，利用二维形式的柯西不等式找到不等关系，从而求得待 求式子的最大值. 2．题2中的已知条件的形式与柯西不等式的形式相似，可以 考虑利用柯西不等式进行转化，通过要证明是等式，考虑柯 西不等式等号成立的条件即可.
所以kmax=4. 答案：4
2．设m=(3,4)， 则根据柯西不等式的向量 n (cos x, 1 sin 2 x )， 形式可得： f x 3cos x 4 1 sin 2 x
32 42 cos2 x 1 sin 2 x 5 2.
当且仅当m∥n时上式取等号，此时，
b d b d
立.
2．设x，y∈R，且2x＋3y＝13，则x2＋y2的最小值为______. 【解析】根据二维形式的柯西不等式可得： (2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)，又因为2x＋3y＝13， 所以x2＋y2≥13. 答案：13
3.设a=(-2,2),｜b｜=6，则a·b的最小值是________，此时
高中数学 第三讲 二维形式的柯西不等式课件 新人教版选修4-5
( x1 y1 )2 ( x2 y2 )2 ( xn yn )2
补充例题:
例1
已知x,
y,a,b
R
,
且
a x
b y
1,求x
y的最小值.
解
:
x,
y,a,b
R ,
a x
b y
1,
x y ( x )2 ( y )2
( a b )2
a x
2
b y
2
当 且 仅 当 x b y a ,即 x a 时 取 等 号.
3.证明：在不等式的左端嵌乘以因式 x2 x3 xn x1 ，
也即嵌以因式 x1 x2 xn ，由柯西不等式，得
x12 x22
x2 x3
x2 n1
xn2
xn x1
( x2 x3
xn x1 )
x1 x2
2
x2 x3
2
xn1 xn
2
xn x1
2
(x12 y12 ) (x22 y22 ) ≥ (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
x1
y2
x2
y1
时,等号成立. y
y
P1 (x1 , y1 )
| y1 - y2 |
. 当 且仅 当
P1(x1, y1)
O
P2 (x2 , y2 )
x
P2 (x2 , y2 )
O
| x1 - x2 |
2
x2
2
x3
2
xn
x1
2
≥
x1 x2
x2
x2 x3
x3
xn1 xn
xn
xn x1
x1
补充例题:
例1
已知x,
y,a,b
R
,
且
a x
b y
1,求x
y的最小值.
解
:
x,
y,a,b
R ,
a x
b y
1,
x y ( x )2 ( y )2
( a b )2
a x
2
b y
2
当 且 仅 当 x b y a ,即 x a 时 取 等 号.
3.证明：在不等式的左端嵌乘以因式 x2 x3 xn x1 ，
也即嵌以因式 x1 x2 xn ，由柯西不等式，得
x12 x22
x2 x3
x2 n1
xn2
xn x1
( x2 x3
xn x1 )
x1 x2
2
x2 x3
2
xn1 xn
2
xn x1
2
(x12 y12 ) (x22 y22 ) ≥ (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
x1
y2
x2
y1
时,等号成立. y
y
P1 (x1 , y1 )
| y1 - y2 |
. 当 且仅 当
P1(x1, y1)
O
P2 (x2 , y2 )
x
P2 (x2 , y2 )
O
| x1 - x2 |
2
x2
2
x3
2
xn
x1
2
≥
x1 x2
x2
x2 x3
x3
xn1 xn
xn
xn x1
x1
高中数学 第三节 柯西不等式课件 新人教A版选修4-5
等号成立.
3.一般形式的柯西不等式 设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则 (a12+a22+a32+…+an2)(b12+b22+b32+…+bn2)≥ ___(_a_1b_1_+_a_2_b_2+_a_3_b_3_+_…__+_a_nb_n_)_2__,当且仅当_b_i=_0_(_i_=_1_,_ _2_,_3_,_…__,_n_)_或_存__在__一__个__数__k_,_使__得__a_i=_k_b_i_(_i_=_1_,_2_,_3_,_…__,_n_)_ 时,等号成立.
【解析】(1)错误.当b，d=0时，柯西不等式成立，但
a 不c 成立.
bd
(2)错误.当b1,b2,b3都为零时,
柯西不等式成立.
a1 a不2 成a立3 ，但此时
b1 b2 b3
(3)错误.当 =0时， || .
答案：(1)× (2)× (3)×
考向 1 二维柯西不等式代数形式的应用
【典例1】设a,b∈R+且a+b=2.求证： a2 b2 2.
【互动探究】本例条件不变，试求4a+8b+27c的最小值.
【解析】 (123)4a8b27c
a bc
［ (1 )2 (2 )2 (3 )2 ］ ［ 4 a2 8 b2 2 7 c2 ］ a bc
( 1 4a2 8b3 27c)2
a
b
c
=(2+4+9)2=225,
又∵ 1 2 ∴34a2+, 8b+27c≥
第三节 柯西不等式
1.二维形式的柯西不等式
3.一般形式的柯西不等式 设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则 (a12+a22+a32+…+an2)(b12+b22+b32+…+bn2)≥ ___(_a_1b_1_+_a_2_b_2+_a_3_b_3_+_…__+_a_nb_n_)_2__,当且仅当_b_i=_0_(_i_=_1_,_ _2_,_3_,_…__,_n_)_或_存__在__一__个__数__k_,_使__得__a_i=_k_b_i_(_i_=_1_,_2_,_3_,_…__,_n_)_ 时,等号成立.
【解析】(1)错误.当b，d=0时，柯西不等式成立，但
a 不c 成立.
bd
(2)错误.当b1,b2,b3都为零时,
柯西不等式成立.
a1 a不2 成a立3 ，但此时
b1 b2 b3
(3)错误.当 =0时， || .
答案：(1)× (2)× (3)×
考向 1 二维柯西不等式代数形式的应用
【典例1】设a,b∈R+且a+b=2.求证： a2 b2 2.
【互动探究】本例条件不变，试求4a+8b+27c的最小值.
【解析】 (123)4a8b27c
a bc
［ (1 )2 (2 )2 (3 )2 ］ ［ 4 a2 8 b2 2 7 c2 ］ a bc
( 1 4a2 8b3 27c)2
a
b
c
=(2+4+9)2=225,
又∵ 1 2 ∴34a2+, 8b+27c≥
第三节 柯西不等式
1.二维形式的柯西不等式
高二数学,人教A版,选修4-5第3讲, 二维形式的柯西不等式,课件
【答案】 B
[小组合作型]
二维柯西不等式的向量形式及应用
已知 p，q 均为正数，且 p3＋q3＝2.求证：p＋q≤2.
【精彩点拨】 为了利用柯西不等式的向量形式，可分别构造两个向量．
【自主解答】 p ＋q
2 2
设
1 1 3 3 m＝p2，q2，n＝(p2，q2)，则
3 1 3 1 ＝p2p2＋q2q2＝|m· n|≤|m||n|
＝ p3＋q3· p＋q＝ 2 p＋q. 又∵(p＋q)2≤2(p2＋q2)， p＋q2 ∴ 2 ≤p2＋q2≤ 2 p＋q， p＋q2 ∴ 2 ≤ 2· p＋q，则(p＋q)4≤8(p＋q)． 又 p＋q>0， ∴(p＋q)3≤8，故 p＋q≤2.
使用二维柯西不等式的向量形式证明不等式，关键是合理构造出两个向 量．同时，要注意向量模的计算公式|a|＝ x2＋y2对数学式子变形的影响．
[再练一题] 1．若本例的条件中，把“p3＋q3＝2”改为“p2＋q2＝2”，试判断结论是否 仍然成立？
【解】 设 m＝(p，q)，n＝(1,1)， 则 p＋q＝p· 1＋q· 1＝|m· n|≤|m|· |n|＝ p2＋q2· 12＋12. 又 p2＋q2＝2. ∴p＋q≤ 2· 2＝2. 故仍有结论 p＋q≤2 成立.
一
二维形式的柯西不等式
1．认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义．(难点) 2．通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题．(重点)
[基础· 初探] 教材整理 二维形式的柯西不等式
阅读教材 P31～P36，完成下列问题． 内容 代数形式 等号成立的条件 若 a，b，c，d 都是实数，则(a2 ＋b2)· (c2＋d2)≥ (ac＋bd)2 当且仅当 ad＝bc 时，等号成立
高中人教数学选修4-5课件：第三讲 二维形式的柯西不等式
作业：
P36 1 、5 P37 6 、 9
二维形式的柯西不等式
新田一中高二备课组
定理1（二维形式的柯西不等式）: 若a,b,c,d都是实数,则 (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
你能证明吗？
当且仅当ad=bc时,等号成立. 推论 a2 b2 c2 d 2 ac bd
a2 b2 c2 d 2 ac | | bd
例题分析例：1.已知a,b为实数,证明：
(a4+b4) (a2+b2)≥ (a3+b3)2
例2.求函数y 5 x 1 10 2x的最大值.
例3.设a,b∈R+,a+b=1,1a求证
1 b
4
练习：
1.已知a2 b2 1,
求证|a cos bsin |1
2.已知2x2 3y2 6, 求证x 2y 11
观y 察
0
P1(x1,y1)
y P1(x1,y1)
P2(x2,y2)
x
0
x P2(x2,y2)
根据两点间距离公式以及三角形的 边长关系:
x12 y12 x22 y22 (x1 x2)2 (y1 y2)2
定理３（二维形式的三角不等式）
设x1,
y, 1
x
,
2
y 2
R
， 那么
x12 y12 x22 y22 (x1 x2)2 (y1 y2)2
ur r
| m n || m | | n | | cos || m | | n |
ur r ur r
| m n || m | | n |
ac bd a2 b2 c2 d 2
定理2: （柯西不等式的向 | || || |
人教A版选修4-5 第三章 一 二维形式的柯西不等式 课件(29张)
【解】 (1)设 m＝coas θ，sinb θ，n＝(cos θ，sin θ)，
则|a＋b|＝coas
θ·cos
θ＋sinb
θ·sin
θ
＝|m·n|≤|m||n|
＝
a cos
θ2＋sinb
θ2·
1
＝ coas22θ＋sibn22θ，
所以(a＋b)2≤coas22θ＋sibn22θ.
栏目 导引
第三讲 柯西不等式与排序不等式
利用柯西不等式求最值 (1)先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解 的先决条件； (2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当 添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解， 这也是运用柯西不等式解题的技巧； (3)有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目 的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一 致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不 等式的方法也是常用技巧之一．
栏目 导引
第三讲 柯西不等式与排序不等式
已知 a，b∈R＋，且 a＋b＝1，求证：(ax＋by)2 ≤ax2＋by2. 证明：设 m＝( ax， by)，n＝( a， b)， 则|ax＋by|＝|m·n|≤|m||n| ＝ （ ax）2＋（ by）2· （ a）2＋（ b）2 ＝ ax2＋by2· a＋b ＝ ax2＋by2， 所以(ax＋by)2≤ax2＋by2.
栏目 导引
第三讲 柯西不等式与排序不等式
已知 a，b 都是正实数，且 ab＝2， 求证：(1＋2a)(1＋b)≥9. 证明：因为 a，b 都是正实数， 所以由柯西不等式可知(1＋2a)(1＋b) ＝[12＋( 2a)2][12＋( b)2]≥(1＋ 2ab)2， 当且仅当 a＝1，b＝2 时取等号． 因为 ab＝2， 所以(1＋ 2ab)2＝9， 所以(1＋2a)(1＋b)≥9.
高中数学人教A版选修4-5课件：3-1二维形式的柯西不等式
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 已知2x+3y=1,求4x2+9y2的最小值.
解: ∵(4x2+9y2)(22+22)≥(4x+6y)2=4,
1 2 2 ∴4x +9y ≥ , 2
当且仅当 2× 2x=3y× 2,即 2x=3y 时,等号成立. 又 2x+3y=1,得 x= , ������ = . 故当 x= , ������ = 时,4x2+9y2 的最小值为 .
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
1
2
2.柯西不等式取等号的条件 剖析：柯西不等式取等号的条件不易记住,我们可以多方面联系 来记忆,如(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,取等号的条件是“ad=bc”,有点 像a,b,c,d成等比数列时,ad=bc;柯西不等式的向量形式中 |α· β|≤|α||β|,取等号的条件是β=0或存在实数k,使α=kβ.我们可以从 向量的数量积的角度来理解和记忆.
,此
∴|a· b|≤ (-2)2 + 12 + 22 × 6 = 18,
当且仅当存在实数k,使a=kb时,等号成立. ∴-18≤a· b≤18. ∴a· b的最小值为-18, 此时b=-2a=(4,-2,-4). 答案：-18 (4,-2,-4)
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
1
2
3Байду номын сангаас
3.二维形式的三角不等式
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
题型一