柯西不等式课件
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一般形式的柯西不等式 课件
答案：B
5．实数 ai(i＝1,2,3,4,5,6)满足(a2－a1)2＋(a3－a2)2＋(a4－a3)2 ＋(a5－a4)2＋(a6－a5)2＝1，则(a5 ＋a6
B．2 2
C. 6
D．1
解析：因为[(a2－a1)2＋(a3－a2)2＋(a4－a3)2＋(a5－a4)2＋(a6 －a5)2](1＋1＋1＋4＋1)≥[(a2－a1)×1＋(a3－a2)×1＋(a4－a3)×1 ＋(a5－a4)×2＋(a6－a5)×1]2＝[(a6＋a5)－(a1＋a4)]2，所以[(a6＋a5) －(a1＋a4)]2≤8，即(a6＋a5)－(a1＋a4)≤2 2.
答案：B
3．设 x，y，z∈R，且 x＋y＋z＝1. (1)求(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2 的最小值； (2)若(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥1成立，证明：a≤－3 或
3 a≥－1.
解：(1)[(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2](12＋12＋12)≥[(x－1)＋(y ＋1)＋(z＋1)]2＝(x＋y＋z＋1)2＝4，
答案：B
6．设 x1，x2，…，xn 都是正数，求证：
x11＋x12＋…＋x1n≥x1＋x2＋n2…＋xn.
证明：∵x1，x2，…，xn 都是正数，
∴(x1＋x2＋…＋xn)x11＋x12＋…＋x1n
＝[(
x1)2＋(
x2)2＋…＋(
xn)2]·
1x12＋
1x22＋…＋
1 2 xn
≥ x1·1x1＋ x2·1x2＋…＋ xn·1xn2＝n2， ∴x11＋x12＋…＋x1n≥x1＋x2＋n2…＋xn.
知识点二 一般形式的柯西不等式的应用
4．已知 a，b，c 均大于 0，A＝ 则 A，B 的大小关系是( )
5．实数 ai(i＝1,2,3,4,5,6)满足(a2－a1)2＋(a3－a2)2＋(a4－a3)2 ＋(a5－a4)2＋(a6－a5)2＝1，则(a5 ＋a6
B．2 2
C. 6
D．1
解析：因为[(a2－a1)2＋(a3－a2)2＋(a4－a3)2＋(a5－a4)2＋(a6 －a5)2](1＋1＋1＋4＋1)≥[(a2－a1)×1＋(a3－a2)×1＋(a4－a3)×1 ＋(a5－a4)×2＋(a6－a5)×1]2＝[(a6＋a5)－(a1＋a4)]2，所以[(a6＋a5) －(a1＋a4)]2≤8，即(a6＋a5)－(a1＋a4)≤2 2.
答案：B
3．设 x，y，z∈R，且 x＋y＋z＝1. (1)求(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2 的最小值； (2)若(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥1成立，证明：a≤－3 或
3 a≥－1.
解：(1)[(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2](12＋12＋12)≥[(x－1)＋(y ＋1)＋(z＋1)]2＝(x＋y＋z＋1)2＝4，
答案：B
6．设 x1，x2，…，xn 都是正数，求证：
x11＋x12＋…＋x1n≥x1＋x2＋n2…＋xn.
证明：∵x1，x2，…，xn 都是正数，
∴(x1＋x2＋…＋xn)x11＋x12＋…＋x1n
＝[(
x1)2＋(
x2)2＋…＋(
xn)2]·
1x12＋
1x22＋…＋
1 2 xn
≥ x1·1x1＋ x2·1x2＋…＋ xn·1xn2＝n2， ∴x11＋x12＋…＋x1n≥x1＋x2＋n2…＋xn.
知识点二 一般形式的柯西不等式的应用
4．已知 a，b，c 均大于 0，A＝ 则 A，B 的大小关系是( )
二维形式的柯西不等式人教版1课件
讨论 对一个代数结果进行最简单的诠释，往往要借助
设在平面直角坐标系xoy中有向量α=(a,b), =(c,d) ，与之间的夹角为θ，0≤ θ ≤π （如图）
根据向量数量积的定义，有α.β=│α││β│cos θ
0xy 设在平面直角坐标系xoy中有向量α=(
把该式首先展开，再用配方法，问题就可以解决。
分析 把该式首先展开，再用配方法，问题就可以解
解：
展开乘积得(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2
由于a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=(ac+bd)2+(ad-bc)2
即(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2
知识与能力
1.认识二维柯西不等式的代数和向量形式.理解二维柯西不等式的几何意义.
教学目标知识与能力1.认识二维柯西不等式的代数和向量形式.理
3.掌握柯西不等式的应用.
2.通过探究，思考和讨论，使学生从数形两方面认识柯西不等式的代数和向量的等价关系。
3.掌握柯西不等式的应用.2.通过探究，思考和讨论，使学生从
证 明≥x12+y12+2│x1x2+y1y2│+x2
《二维形式的柯西不等式》ppt人教版1《二维形式的柯西不等式
不等式(3)对于任何实数都成立，于是可以得到：
分析 不等式(3)对于任何实数都成立，于是可以得到：《
请结合平面直角坐标系，解释不等式(4)的几何意义。
探究 请结合平面直角坐标系，解释不等式(4)的几何意
解：展开乘积得(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d
课件2：二 一般形式的柯西不等式
方法二：令 m＝( 4a＋1, 4b＋1, 4c＋1)．n＝(1,1,1)， 则|m|＝ 4a＋1＋4b＋1＋4c＋1＝ 4(a＋b＋c)＋3＝ 7， |n|＝ 12＋12＋12＝ 3. m·n＝ 4a＋1＋ 4b＋1＋ 4c＋1, 由|m·n|≤|m||n|,得 4a＋1＋ 4b＋1＋ 4c＋1≤ 21. 故 4a＋1＋ 4b＋1＋ 4c＋1的最大值为 21,当且仅当 a＝ b＝c＝13时,取等号.
证法二：(利用柯西不等式) (x＋y＋z)1x＋4y＋9z ≥ x· 1x＋ y· 4y＋ z· 9z2＝(1＋2＋3)2＝36， 当且仅当 x2＝14y2＝19z2， 即 x＝16，y＝13，z＝12时等号成立．
【例 2】设 a,b,c 为正实数,且 a＋b＋c＝3，求证： 2a＋1＋ 2b＋1＋ 2c＋1≤3 3.
典例剖析
【例 1】 已知 a，b，c∈R＋， 求证：ab＋bc＋acba＋bc＋ac≥9. 【分析】利用柯西不等式证明其他不等式时,关键是构造两
组数,向着柯西不等式的形式转化.本例中对应三维柯西不等式,
记 a1＝
ab,a2＝
bc,a3＝
ac,b1＝
b a,
b2＝ bc,b3＝ ac,而 a1b1＝a2b2＝a3b3＝1，因而得证．
思考探究
三维形式的柯西不等式中等号成立的条件写成
ab11＝ba22＝
a3 b3
可以吗？
提示 不可以．因为若出现 bi＝0(i＝1,2,3)的情况，则分式
不成立了，但是，可以利用分式的形式来形象地记忆.
名师点拨 1.三维形式的柯西不等式 三维形式的柯西不等式可以对比二维形式的柯西不等式来 理解和记忆，一般形式的柯西不等式又可以参照三维形式的柯 西不等式来理解和推广，这样易于记忆不等式的结构特征，对 不等式等号成立的条件加深理解．
《一般形式的柯西不等式》课件 (共14张PPT)
2 2 2 2 1 2 2 2 n
(1 a1 1 a2 1 an )
2 1 2 2 2 n
2
n(a a a ) (a1 a2 an ) 1 2 2 2 2 (a1 a 2 a n ) a1 a2 a n n
2
例2 已 知a , b, c , d是 不 全 相 等 的 正 数 ,证明 a b c d ab bc cd da
2 2 2 2
证明 : (a 2 2 c 2 d 2 )(b 2 c 2 d 2 a 2 ) (ab bc cd da )2 a b c d a , b, c , d是不全相等的正数, 不成立 b c d a (a 2 b 2 c 2 d 2 )2 (ab bc cd da )2 即 a 2 b 2 c 2 d 2 ab bc cd da
一般形式的柯西不等式
教学要求：认识一般形式的柯西不等式， 会用函数思想方法证明一般形式的柯西 不等式，并应用其解决一些不等式的问 题. 教学重点：会证明一般形式的柯西不等 式，并能应用. 教学难点：理解证明中的函数思想.
一、复习准备： 提问：1、二维形式的柯西不等式？
提问：2、柯西不等式的向量形式？
提问：3、(2)式如何得到(1)式？
二、讲授新课： 1. 一般形式的柯西不等式：
2. 教学柯西不等式的应用：
例1 已 知a1 , a2 , , an都 是 实 数 ,求 证 1 2 2 2 (a1 a2 an )2 a1 a2 an n
证 明: (1 1 1 )(a a a )
P 41 6. 设x1 , x 2 ,xn R , 且x1 x2 xn 1,
(1 a1 1 a2 1 an )
2 1 2 2 2 n
2
n(a a a ) (a1 a2 an ) 1 2 2 2 2 (a1 a 2 a n ) a1 a2 a n n
2
例2 已 知a , b, c , d是 不 全 相 等 的 正 数 ,证明 a b c d ab bc cd da
2 2 2 2
证明 : (a 2 2 c 2 d 2 )(b 2 c 2 d 2 a 2 ) (ab bc cd da )2 a b c d a , b, c , d是不全相等的正数, 不成立 b c d a (a 2 b 2 c 2 d 2 )2 (ab bc cd da )2 即 a 2 b 2 c 2 d 2 ab bc cd da
一般形式的柯西不等式
教学要求：认识一般形式的柯西不等式， 会用函数思想方法证明一般形式的柯西 不等式，并应用其解决一些不等式的问 题. 教学重点：会证明一般形式的柯西不等 式，并能应用. 教学难点：理解证明中的函数思想.
一、复习准备： 提问：1、二维形式的柯西不等式？
提问：2、柯西不等式的向量形式？
提问：3、(2)式如何得到(1)式？
二、讲授新课： 1. 一般形式的柯西不等式：
2. 教学柯西不等式的应用：
例1 已 知a1 , a2 , , an都 是 实 数 ,求 证 1 2 2 2 (a1 a2 an )2 a1 a2 an n
证 明: (1 1 1 )(a a a )
P 41 6. 设x1 , x 2 ,xn R , 且x1 x2 xn 1,
一般形式的柯西不等式 课件
类型 1 利用柯西不等式求最值(自主研析)
[典例 1] (1)求函数 f(x)＝ x－6＋ 12－x的最大值 及此时 x 的值；
(2)设 2x＋3y＋5z＝29，求函数 u＝ 2x＋1＋ 3y＋4 ＋ 5z＋6的最大值．
解：(1)由柯西不等式得( x－6＋ 12－x)2≤(12＋ 12)[( x－6)2＋( 12－x)2]＝2(x－6＋12－x)＝12，
(1)求 a＋b＋c 的值； (2)求 1a2＋1b2＋c2 的最小值．
49 解：(1)因为 f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)| ＋c＝|a＋b|＋c，当且仅当－a≤x≤b 时，等号成立．
又 a＞0，b＞0，所以|a＋b|＝a＋b，所以 f(x)的最小 值为 a＋b＋c，
归纳升华 1．我们在使用柯西不等式解决问题时，往往不能直 接应用，需要先对式子的形式进行变化，拼凑出与柯西不 等式相似的结构，继而达到使用柯西不等式的目的，在应 用柯西不等式求最值时，不但要注意等号成立的条件，而 且要善于构造，技巧如下：
(1)巧拆常数；(2)重新安排某些项的次序；(3)改变结 构；(4)添项．
(2)由柯西不等式知：
左边＝ ab2＋ bc2＋ ac2·
ba2＋
bc2＋
ac2≥
ab·
ba＋
b c·
bc＋
c a·
ac2＝
(1＋1＋1)2＝9.
所以原不等式成立．
归纳升华 利用柯西不等式证明某些不等式时，有时需将表达式 适当地变形，因此必须善于分析题目的特征，根据题设条 件，利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结 合等方法，才能发现问题的突破口．
3．定理 3(二维形式的三角不等式)
设 x1，y1，x2，y2∈R，那么 x12＋y21＋ x22＋y22≥ （x1－x2）2＋（y1－y2）2.
柯西不等式(一)教学课件
2 2
例 3、已知 x、y R 且 3x2 2 y 2 „ 6 ，求证： 2 x y „ 11.
证明：由柯西不等式可得
a c b d
证法四、 （全量不小于部分） 由于 (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2 (ad bc)2 所以 (a2 b2 )(c2 d 2 ) …(ac bd )2 .
当且仅当 ad bc 即 时，等号成立
a c b d
定理 1 对任意实数 a，b，c，d ，有 (a2 b2 )(c2 d 2 ) …(ac bd )2 . 当向量 (a, b) 与 (c, d ) 共线，即 时，等号成立.
两
边
平
方
a
得
b
A
a 2 b 2 c 2 d 2 卆 ac bd
即 (a b )(c d ) …(ac bd )
2 2 2 2
2
a
c
当且仅当 OB OA 即
a c
b 时，等号成立. d
定理 1 对任意实数 a，b，c，d ，有 (a2 b2 )(c2 d 2 ) …(ac bd )2 . 当向量 (a, b) 与 (c, d ) 共线，即 时，等号成立.
若 a、b 不全为 0，构造函数
f ( x) (a2 b2 ) x2 2(ac bd ) x (c2 d 2 )
由 f ( x) (ax c)2 (bx d )2 …0 对任意 x R 恒成立 所以 4(ac bd )2 4(a2 b2 )(c2 d 2 ) „ 0 即 (a2 b2 )(c2 d 2 ) …(ac bd )2
注： （1）该不等式称为（二维）柯西不等式；
例 3、已知 x、y R 且 3x2 2 y 2 „ 6 ，求证： 2 x y „ 11.
证明：由柯西不等式可得
a c b d
证法四、 （全量不小于部分） 由于 (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2 (ad bc)2 所以 (a2 b2 )(c2 d 2 ) …(ac bd )2 .
当且仅当 ad bc 即 时，等号成立
a c b d
定理 1 对任意实数 a，b，c，d ，有 (a2 b2 )(c2 d 2 ) …(ac bd )2 . 当向量 (a, b) 与 (c, d ) 共线，即 时，等号成立.
两
边
平
方
a
得
b
A
a 2 b 2 c 2 d 2 卆 ac bd
即 (a b )(c d ) …(ac bd )
2 2 2 2
2
a
c
当且仅当 OB OA 即
a c
b 时，等号成立. d
定理 1 对任意实数 a，b，c，d ，有 (a2 b2 )(c2 d 2 ) …(ac bd )2 . 当向量 (a, b) 与 (c, d ) 共线，即 时，等号成立.
若 a、b 不全为 0，构造函数
f ( x) (a2 b2 ) x2 2(ac bd ) x (c2 d 2 )
由 f ( x) (ax c)2 (bx d )2 …0 对任意 x R 恒成立 所以 4(ac bd )2 4(a2 b2 )(c2 d 2 ) „ 0 即 (a2 b2 )(c2 d 2 ) …(ac bd )2
注： （1）该不等式称为（二维）柯西不等式；
《柯西不等式》课件
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应用场景
幂和不等式在数学分析和最优化理论等领域有应用，例如在求解约束优化问题、估计函数 的极值以及分析函数的收敛性等方面。
05
习题与解答
习题一：证明柯西不等式
总结词
通过数学推导证明柯西不等式
详细描述
这道习题要求学生掌握柯西不等式的证明方法，通过数学推导和证明，理解柯西不等式的原理和性质 。
习题二：应用柯西不等式解决问题
总结词
运用柯西不等式解决实际问题
详细描述
这道习题要求学生能够运用柯西不等式解决实际问题，如最大值、最小值问题等，培养学生的数学应用能力。
习题三：探索柯西不等式的变体
总结词
研究柯西不等式的变体形式
详细描述
这道习题要求学生探索柯西不等式的变体形式，理解不同形式的不等式及其应用，培养学生的数学探究能力。
详细描述
平方和不等式是指对于任意非负实数序列a_1, a_2, ..., a_n，有(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) >= (a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2。
应用场景
平方和不等式在数学、物理和工程领域有广泛的应用，例如在求解最优 化问题、估计数值稳定性以及分析信号处理中的频率响应等方面。
时。
数学期望
柯西不等式在大数定律的研究中也有应用， 如在研究强大数定律和弱大数定律时。
大数定律
利用柯西不等式，可以推导出一些数学期望 的性质和计算方法。
概率不等式
柯西不等式在概率不等式的证明中也有应用 ，如Chebyshev不等式等。
柯西不等式(二)教学课件
1 4 9 即 …36. a b c
例 3、已知 a、b、c、x、y、z R 且 a2 b2 c2 25, x2 y 2 z 2 36 ，
abc ax by cz 30 ，求 的值. x yz
证明：由于柯西不等式有
302 (ax by cz)2 „ (a2 b2 c2 )( x2 y 2 z 2 ) 25 36 900 ，
1 4 9 例 2、已知 a、b、c R ，且 a b c 1 ，求证： …36. a b c
证明：由于柯西不等式可知
1 4 9 1 4 9 1 2 3 2 (a b c)( ) …( a b c ) 36. a b c a b c a b c
1．2一般形式的柯西不等式
一、复习回顾
定理 1（二维柯西不等式） 对任意实数 a，b，c，d ，有 (a2 b2 )(c2 d 2 ) …(ac bd )2 .
a b 当向量 (a, b) 与 (c, d ) 共线，即 时，等号成立. c d
注:（1）不等式的证明方法 （2）柯西不等式的应用技巧
a1 x b1 0 a x b 0 a a 2 当且仅当 2 即 1 2 b1 b2 an x bn 0
an 时，等号成立. bn
理
2
设 a1, a2 , , an 与 b1 , b2 , , bn 是 两 组 实 数 ， 则 有
an2 )(b12 b22 bn2 ) …(a1b1 a2b2 anbn )2 .
a1 a2 即 b1 b2 an 时，等号成立. bn
定理 2 设 a1, a2 , , an 与 b1 , b2 , , bn 是两组实数，则有
例 3、已知 a、b、c、x、y、z R 且 a2 b2 c2 25, x2 y 2 z 2 36 ，
abc ax by cz 30 ，求 的值. x yz
证明：由于柯西不等式有
302 (ax by cz)2 „ (a2 b2 c2 )( x2 y 2 z 2 ) 25 36 900 ，
1 4 9 例 2、已知 a、b、c R ，且 a b c 1 ，求证： …36. a b c
证明：由于柯西不等式可知
1 4 9 1 4 9 1 2 3 2 (a b c)( ) …( a b c ) 36. a b c a b c a b c
1．2一般形式的柯西不等式
一、复习回顾
定理 1（二维柯西不等式） 对任意实数 a，b，c，d ，有 (a2 b2 )(c2 d 2 ) …(ac bd )2 .
a b 当向量 (a, b) 与 (c, d ) 共线，即 时，等号成立. c d
注:（1）不等式的证明方法 （2）柯西不等式的应用技巧
a1 x b1 0 a x b 0 a a 2 当且仅当 2 即 1 2 b1 b2 an x bn 0
an 时，等号成立. bn
理
2
设 a1, a2 , , an 与 b1 , b2 , , bn 是 两 组 实 数 ， 则 有
an2 )(b12 b22 bn2 ) …(a1b1 a2b2 anbn )2 .
a1 a2 即 b1 b2 an 时，等号成立. bn
定理 2 设 a1, a2 , , an 与 b1 , b2 , , bn 是两组实数，则有
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15
7 4 4 x 5 y 6 z 15
2 7
而(4x+5y+6z)2≤(x2+y2+z2)(42+52+62)
x2+y2+z2
225 44
例 5 .已知 x 1 , x 2 , , x n R , 求证 x1
2
x2
2
x n 1 xn
2
xn
2
x2
x3
x1
x1 x 2 x n .
2 2 2
a , b , c , d , e 满足 a b c d e 8 ,
2
e 16 , 求 e 的取值范围
2
.
解 : 4(a
2
b c d )
2
2
2
2
( 1 1 1 1 )( a (a b c d)
2 2 2
b c d )
变式 .设 x 1 ,x 2 , x n R , 且 x 1 x 2 x n 1, 求证 : x1
2
1 x1
x2
2
1 x2
xn
2
1 xn
1 n 1
变式 .设 x 1 ,x 2 , x n R , 且 x 1 x 2 x n 1, 求证 : x1
2
9 y 的最小值为
2
1
1 1 , 最小值点为 ( , ) 2 4 6
例 3 .已知实数 m , n 0 （1）求证： a
2
b
2
(a b) mn 9 1 2x
2
; 1 2 )的最小值。
m （ 2）求函数 y
n 2 x
, x (0,
例4.Δ ABC之三边长为4，5，6，P为三角形 內部一点P，P到三边的距离分別为x，y，z， 求x2+y2+z2的最小值。
( x 1 + y 1 + z1 ) + ( x 2 + y 2 + z 2 )
2 2 2 2 2 2
( x 1 - x 2 ) +( y 1 - y 2 ) ( z 1 - z 2 )
2
2
2
柯西不等式的一般形式
设a1,a2 ,a3 , … ,an ,b1 ,b2 ,b3 , …,bn 是实数,则
变式引申:
若 2 x 3 y 1, 求 4 x
解 : 由柯西不等式 4x
2
2
9 y 的最小值 , 并求最小值点
2
2
.
(4 x .
9 y )( 1 1 ) ( 2 x 3 y )
2
2
2
2
1,
9y
2
1 2
当且仅当 2 x 1 3 y 1 , 即 2 x 3 y 时取等号 . 1 x 4 2 x 3 y 由 得 1 2 x 3 y 1 y 6 4x
1 x1
1 x2
x2
) ( 1 x1 xn 1 xn
2
x1 1 x1
1 x2
1 x2
2
1 xn
) ( x1 x 2 x n ) 1
x1
2
1 x1
x2
2
1 x2
xn
2
1 xn
1 n1
例 6 已知实数 a b c d
2
1 x1
x2
2
2
1 x2
x2
2
xn
2
1 xn
xn
2
1 n 1
) x2
2
证明 : ( n 1 ) (
x1
1 x1
1 x2
1 xn x1
2
(1 x 1 1 x 2 1 x n ) ( xn 1 xn
2
2 2 2 2 2
当且仅当 a d = b c 时等号成立． （二维形式的柯西不等式） 若 a ,b ,c ,d 都是实数，则
a b c d | ac bd |
2 2 2 2
当且仅当 a d = b c 时等号成立．
柯西不等式的向量形式
β 设 α , 是两个向量,则
| || || |
(a1 a2 an )(b1 b2 bn ) (a1b1 a2b2 anbn )
2 2 2 2 2 2 2
当且仅当bi=0(i=1 ,2 ,3 , …,n)或 bi≠0(i=1 ,2 ,3 , … ,n)时, 等号成立.
a1 b1 = a
2
2
2
即 4 ( 16 e ) ( 8 e ) , 即 64 4 e 5 e 16 e 0 , 故 0 e
2
2
64 16 e e
2
16 5
（二维形式的柯西不等式）
若 a ,b ,c ,d 都是实数，则
(a + b )(c + d ) (ac + bd)
C
6 F z x A D 4 B P y E 5
C
6
解： s
456 2
15 2
A
F z x D 4 B P y E 5
ABC面积=
s ( s a )( s b )( s c ) 15 2
7 2
5 2
3 2
15 4
7
又
1 2
(4 x 5 y 6 z )
柯西不等式
例1. 求函数
引：
y 5
x 1
10 2 x
的最大值
若 2 x 3 y 1, 求 4 x 9 y 的 最 小 值 , 并 求 最 小 值 点 .
2 2
例2.设实数 x , y , z 满足 x 2 y 3 z 3 ,
2 2 2
求 S x 2 y 3 z 的最大值
当且仅当 β 是零向量，或存在k实数使
α = kβ
时，等号成立．
二维形式的三角不等式
设 x 1 ,y 1 ,x 2 ,y 2 R , 那么
(x1 + y1 ) + (x 2 + y 2 )
2 2 2 2
( x 1 - x 2 ) +( y 1 - y 2 )
2
2
三维形式的三角不等式
设 x 1 ,y 1 ,z 1 ,x 2 ,y 2 ,z 2 R , 那么
注:简记;积和方不大于方和积
n
ai
2
i 1
n
bi
2
i 1
( a i bi )
i 1
n
2
练习：
1.已知： n m
2
2
2， a
2
b
2
1 ,
证明：
2 am bn
2
2 。
2x y z x 2y z
2 2
2.设x，y，zR，求 最大值。
的
3.求函数 f ( x ) a sin x b cos x 在 ( 0 , ) 上 2 的最大值,其中a，b为正常数．