抽屉原理
抽屉原理
桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放两个苹果。
这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。
抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n＋1或多于n＋1个元素放到n个集合中去，其中必定至少有一个集合里有两个元素。
” 抽屉原理有时也被称为鸽巢原理（“如果有五个鸽子笼，养鸽人养了6只鸽子，那么当鸽子飞回笼中后，至少有一个笼子中装有2只鸽子”）。
它是组合数学中一个重要的原理。
抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用。
许多有关存在性的证明都可用它来解决。
例1：400人中至少有2个人的生日相同.解：将一年中的366天视为366个抽屉，400个人看作400个物体，由抽屉原理1可以得知：至少有2人的生日相同. 400/366=1…34,1+1=2又如：我们从街上随便找来13人，就可断定他们中至少有两个人属相相同.“从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。
”“从数1，2，...，10中任取6个数，其中至少有2个数为奇偶性不同。
”例2：幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，那么不管怎样挑选，在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同，试说明道理.解：从三种玩具中挑选两件，搭配方式只能是下面六种：（兔、兔），（兔、熊猫），（兔、长颈鹿），（熊猫、熊猫），（熊猫、长颈鹿），（长颈鹿、长颈鹿）。
把每种搭配方式看作一个抽屉，把7个小朋友看作物体，那么根据原理1，至少有两个物体要放进同一个抽屉里，也就是说，至少两人挑选玩具采用同一搭配方式，选的玩具相同.上面数例论证的似乎都是“存在”、“总有”、“至少有”的问题，不错，这正是抽屉原则的主要作用.（需要说明的是，运用抽屉原则只是肯定了“存在”、“总有”、“至少有”，却不能确切地指出哪个抽屉里存在多少.抽屉原理虽然简单，但应用却很广泛，它可以解答很多有趣的问题，其中有些问题还具有相当的难度。
抽屉原理
第二十讲 抽屉原理[知识导学]（1）抽屉原理的一般表述①假设有三个水果放入2个抽屉中，必然有一个抽屉中至少有2个水果，它的一般表述为： 第一抽屉原理：（mn+1）个物体放入n 个抽屉，其中必有一个抽屉中至少有（m+1)个物体。
②若把3个物体放入4个抽屉中，则必然有一个抽屉空着。
它的一般表述为：第二抽屉原理：（mn-1）个物体放入n 个抽屉，其中必有一个抽屉中至多有（m-1）个物体。
（2）构造抽屉的方法：常见的构造抽屉的方法有：数的分组、染色分类、图形的分割、剩余类等等。
[典型理解][例1]某班有49个学生，最大的12岁，最小的9岁，问：是否一定有两个学生，他们是同年同月出生的？【分析】此类问题明显为抽屉问题，可用抽屉原理求解。
【解答】从9岁到12岁共有4年，合48个月，因为49÷48=14811 ，根据抽屉原理知道这个班一定有两个或两个以上的学生在同一年同一月出生。
因为按48个月设置48个“抽屉”，把49人往“抽屉”里面放，全部放完后，一定有这样一个“抽屉”，里面有两个人或两个以上的人，在同一“抽屉”里面的人就是同年同月生的，所以一定有两个学生，他们是同年同月生的。
[举一反三1]①15个小朋友中，至少有几个小朋友在同一月出生，至多有几个同一月出生？②某校有370名1998年出生的学生，其中至少有2名学生的生日是同一天？为什么？③某校六年级有同龄学生367人，请问有没有两个学生的生日是同一天？为什么？[例2]证明：37人中（1）至少有4人属相相同：（2）要保证有5人属相相同，但不保证有6人属相相同，那么人的总数应在什么范围内？【分析】可以把12个属相看做12个抽屉，根据第一抽屉原理即可解决。
【解答】（1）因为37÷12=3……1,，所以根据第一抽屉原理，至少有3+1=4（人）属相相同。
（2）要保证有5人的属相相同的最少人数为4×12+1=49（人）不保证有6人属相相同的最多人数为5×12=60（人）所以，总数应在49人到60人的范围内。
抽 屉 原 理
抽屉原理知识要点:把4个苹果任意放在3个抽屉里,其中至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果,可以这样想:如果一只抽屉里只有一个苹果,那么3个抽屉最多只有3个苹果,所以一定有一个抽屉里至少放2个。
这种推理的依据，就是抽屉原理。
1、抽屉原理：把多于n个的苹果放进n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。
2、方法：应用抽屉原理要注意确定什么是“抽屉”，什么是“苹果”，苹果的数目一定要大于抽屉的个数。
即满足“苹果多，抽屉少”这一条件，就可以利用抽屉原理。
3、抽屉原理的结论只是肯定了“存在”“总是”或“至少有”，而不是确切地说在哪一个抽屉里有，更不能说出具体每个抽屉的苹果个数。
4、概念：抽屉原则一：如果n＋k(k≥1)个物体放入n个抽屉里，则至少有一个抽屉里放有两个或两个以上的物体。
抽屉原则二：如果把mn＋k(k≥1)个物体放进n个抽屉里，则至少有一个抽屉中放有m＋1个或更多个物体。
1、六年级有45名学生参加小学数学竞赛，成绩都是整数，满分是100分。
已知2名学生的成绩在60分以下，其余学生的成绩均在75~95之间，问：至少有几名学生的成绩相同？2、少先队员组织文体活动共500人参加，其中有拔河、游泳和打羽毛球三个项目，规定每人必须参加一项或两项活动。
至少有几名队员参加的项目相同？3、从顶点起，每隔1米种一棵树，如果把3块“爱护树木”的小牌分别挂在3棵树上，那么不管怎么挂，至少有2棵挂牌的树，它们之间的距离为偶数？4、用1、2、3、4四个数字任意写一个1万位数，从这个数中，任意截取相邻的四位数字，可以组成许多个四位数，在这些四位数中，至少有多少个相同？5、学校买来历史、文艺、科普三种图书若干本，每个学生从中任意借2本，那么至少多少个学生中，一定有两人所借图书种类完全相同？6、有10副白色和10副红色式样相同的手套，都散乱放在箱子里，不看而取，问至少从箱子里拿出多少只手套，才能保证有同样颜色的一副手套？7、一个袋子里装有一些球，这些球仅只有颜色不同，其中红球10个，白球9个，黄球8个，蓝球2个。
抽屉原理
抽屉原理（一）一．基本原理抽屉原理一：把m 个元素分成n 类个则至少有一类有⎥⎦⎤⎢⎣⎡>n m n m ),(．抽屉原理二：把无穷多个元素分成有限类，则至少有一类包含无穷多个元素．二．实例精选１．有10人参加某次会议，每一位代表至少认识其余９位中的一位，证明：这１０人中至少有两人认识的人数相等．２．在前2189个正整数中任取８个数，求证：存在两个数，它们之间的比值在]3,31[内．３．已知整数{}1,0,1,,,,,,,,10211021-∈i x x x x a a a 使得对列证明：存在一个非零数 ， 和式10102211x a x a x a +++ 能被1001整除．４．任意给定正整数m ，求证：一定有m 的某一整数倍，它完全由０和１两数字组成．５．设n a a a n 是,,,21 个任意给定的整数，求证：其中一定可以找到紧连在一起的若干个数，使得它们的和可被n 整除．６．任意给定１０个自然数，试证明：可以用减、乘两种运算把它们适当连起来，其结果能被１８９０整除．７．（１）任意１００个整数，求证一定可以从中找出若干个整数，使得它们的和被100整除； （２）证明：从任意200个整数中，一定可以找出１００个数，它们的和能被１００整除．８．对于n+1个不同的自然数，如果每一个数都小于2n ，那么从中选出三个数，使其中两个数之和等于第三个数．９．设集合{}证明：,2,,3,2,1n A =（１）若Ｂ是Ａ的任一n+1阶子集，Ｂ中一定存在两个数是互素的；（２）一个可被另阶子集中存在两个数，的任意1+n A 一个整除．１０．证明：在任意的１１个无穷小数中，一定可以找到两个小数，它们的差或者含有无穷多个数字０或者含有无穷多个数字９．三．练习１．证明任意５２个正整数，一定可以找到两个数a ，b ，使a+b 或b a -被１４０整除．２．从１，４，７，１０，100,97, 这些数中，任取20个不同的整数形成一个集合A ，求证：A 中必有两组不同的数，其和都是104．３．证明：对任何自然数n ，必有其某一整数倍，使之包含9,,2,1,0 中的每一个数字． ４．设有一十进制无穷小数{}为是偶数，是奇数，且n i a a a a a a a A 21321,9,,2,1,0(.0 ∈= 为有理数的个位数，求证：A )2(21>+--n a a n n ．５．已知2n 个自然数满足下列两个条件：n a a a 221,,, .4)2(;21)1(221221n a a a n a a a n n =+++≤≤≤≤≤ 求证：)21(2n i a n i ≤≤必可表示为若干个之和．６．设m 为任一偶数，有m 个正整数，其中每一个均不超过m ，并且所有这些数的和为２m ，求证：一定可以把这m 个正整数分为两组，使得每组中各数之和均为m ．抽屉原理（二）一．基本原理抽屉原理一：把m 个元素分成n 类个则至少有一类有⎥⎦⎤⎢⎣⎡>n m n m ),(．抽屉原理二：把无穷多个元素分成有限类，则至少有一类包含无穷多个元素．二．抽屉的构造方法１．整除性问题：常以剩余类为抽屉；２．集合问题：常以元素的性质划分集合构造抽屉； ３．其它问题：常将状态不同的元素分类构造抽屉．三．例题精选１．平面上有定点Ａ，Ｂ和任意四点4321,,,P P P P ，求证：这四点中一定有两点j i P P , 31|s i n s i n |)(≤∠-∠≠B AP B AP j i j i 使得． 解：将正弦值的范围［０，１］分成三个区间：]1,32[],32,31[],31,0[即可．２．平面上任意５个整点，两两连接线段的中点之中一定有一个整点． 解：５个点的纵横坐标的奇偶性必有两个相同．３．坐标平面上任意给定１３个整点，其中任三点不共线，求证：必有以其中３点为顶点的三角形，其重心是整点．解：横坐标模３的余数为０，１，２，１３个点至少有５个点的横坐标模３同余；这５个点的纵坐标模３的余数为０，１，２各有一个，则取这３个，它们的纵，横坐标的和模３余０；否则，必有３个模３同余．得证．４．设正方形ＡＢＣＤ被９条直线相截，每条都把它分成２个四边形，且两者面积之比都是3:2，证明：至少有３条直线共点．解：与一组对边相交的直线至少有５条，至少有三条过点Ｐ或Ｑ５．在边长为１的正三角形内，任取７个点，其中任意三点不共线，证明：其中必有三点构成的三角形的面积不超过123． 解：关键：６．在边长为１的正方形内（包括边界）任意放１０１个点，任何三点都不共线，证明：总可以找三点，以这三点为顶点的三角形面积不大于1． 解：法一：P ∙Q∙关键：把正方形５０等分，再证明矩形内接三角形面积不超过矩形面积的一半． 法二：直接把正方形分成100个小正方形，逐步减少抽屉个数，经行33次后，必有 一个小正方形中有3个点．７．在直径为５的圆内任意放入１０个点，证明：存在两个点，它们间的距离小于２．关键：3254412225224254<-=⋅⋅⋅-+=AB８．从全世界每个城市各起飞１架飞机，分别落在离它最近的一个城市（若有几个距离一样近，可任选１个）．证明：每个城市降落的飞机一定不会超过６架． 关键：假设降落到Ａ城市的飞机多于６架，以Ａ为中心，以到它较远的Ｂ城的距离作圆，将圆６等分为６ 个区域，则至少有２架落入同一区域， 由DA CA CD ,60或则≤︒≤∠CAD ，故飞机Ｄ 应降落在Ｃ城，而不是Ａ城，矛盾．９．４９个学生解３个问题，每个问题的得分是从０到７的整数，证明存在两个学生Ａ，Ｂ，对每个问题，Ａ的得分都不小于Ｂ的得分．OACBＡＢＣＤ４四．练习１．设点Ｐ是正n 边形的一个内点，证明：该正n 边形存在两个顶点Ａ和Ｂ，使得ππ≤∠<-A P B n)21(．２．平面上任意给定６个点（它们无三点共线），试证明：总能找到三点，使得这三点为顶点的三角形的内角中有不超过︒30的角．３．边长为４的正三角形内任意放入１１个点，求证：其中有两个点，它们之间的距离不超过332． ４．圆上（圆内和边界）任取８个点，则至少有２个点，其距离小于半径．５．半径为１９的圆Ｃ内有６５０个点，证明：存在内半径为２，外半径为３的圆环，它至少盖住其中的１０个点．。
抽屉原理
4、任给7个不同的整数,求证其中必有两个整数,它们的和 或差是10的倍数.
“连续”问题
1、有50名运动员进行某个项目的单循环赛， 如果没有平局，也没有全胜。试证明：一 定有两个运动员积分相同。
2、某学生用11个星期做完数学复习题，他每 天至少做一道题，每星期至多做12道题. 证明： 一定存在连续的若干天，他恰好做了21道题.
抽屉,年龄最大的 是13岁,最小的是11岁,那么其中必有（ ） 名学生是同年同月出生的.
• 从一副张扑克牌（去掉大小王）中，至少 取出几张牌，才能保证一定有2张牌的点数 和颜色相同？ • 至少取出几张牌，才能保证必定有相邻的3 张牌出现？
完成对应练习
染色问题
假设法最核心的思维是： 把物体尽量多的平均分给各个抽屉
这个核心思路是用“有余数的除法”这一数学形式表示出来的。
解题方法：
• 用物品数除以抽屉数，若除数不为零，则“至少数”为商 加1； • 若除数为零，则“至少数”为商。
抽屉原理解题的关键：
（1）找准抽屉和物品个数；
（2）营造“最不利情况”。
• • • • •
前面取的球都没有达到15个球颜色相同的状况。
4、布袋里有4种不同颜色的球，每种都有 10个。最少取出多少个球，才能保证其中 一定有3个球的颜色一样？
5、从一副完整的扑克牌中，至少抽出（23） 张牌，才能保证至少有6张牌的花色相同。
最不利状况： 各个花色都取了5张花色相同的牌，一共是5*4=20 然后取了大、小王共2张牌然后任取一张，就可以保证至 少有6张牌的花色相同了。
设此学生前i天做xi道题（i=1，2，…，77），则x1<x2<…<x77≤12×11=132， 令yi=xi+21，则y1<y2<…<y77≤132+21=153，于是x1，x2，…，x77，y1， y2，…，y77这154个数都≤153，其中必有两数相同，设xi=yj，则xi=xj+21， xi−xj=21，即从第j+1天到第i天，他恰好做了21道题.
抽屉原理
抽屉原则1 如果把多于n个元素（即一切相当于苹果的事物）按任一确定的方式分放在n个集合（即相当于抽屉的事物）中，那么一定有一个集合中至少含有两个元素。
抽屉原则2 如果把多于m×n个元素按任一确定的方式分成n个集合，那么一定有一个集合中至少含有m+1个元素。
应用抽屉原理来解题，一般的思路和步骤是：1、构造抽屉，找出苹果；2、把苹果放进或从抽屉中取出；3、根据抽屉原理，说出理由，得出结果。
构造抽屉是应用抽屉原理解题得关键。
首先要考虑到苹果的个数要多于抽屉的个数。
例1、某校举行数学竞赛。
六年极共有八个班参加，获一等奖的共有9人。
一定会有什么情况发生？例2、有大小相同的红黄蓝绿4种颜色的小球各10个，每人随意拿出2个，至少有多少人才能保证他们当中一定有两个人所拿到的两个球的颜色是相同的？例3、这学期的科技活动有制作汽车、轮船、飞机、火箭四种模型。
每人至少做一种，至多四种都做；至少有多少名同学参加，才能保证一定有两个人制作的种类完全相同？练习：1、某校今年招收了366名1995年出生的新生，那么至少有几个学生是同年、同月、同日生的。
2、一只布袋中装有甲乙两种饼干各若干块，你起码要取出多少块，才能保证有一种饼干不少于3块？3、育才中学五年级（1）班有学生54人，能否至少有2人在同一个星期内过生日？4、在一个口袋中有10个黑球、6个白球、4个红球。
问：至少从中取出多少个球，才能保证其中有白球？5、有3个不同的自然数，至少有两个数的和是偶数。
为什么？6、口袋中三种颜色的筷子各10根，问：（1）至少取多少根才能保证三种颜色都取到？（2）至少取出多少根才能保证有2双颜色不同的筷子？（3）至少取出多少根才能保证有2双颜色相同的筷子？7、袋里有红、黄、蓝、黑四种颜色的单色球，从袋中任意取出若干个球。
问：至少要取出多少个球，才能保证有3个球是同一个颜色的？8、红、黄、蓝、白、黑五种球各十五只，混放在一只球箱里，如果蒙住你的眼睛，让你在球箱中摸球，至少要摸出多少个球才能保证有2只球的颜色相同？9、自行车厂有700名职工，在这些职工中任意选出36个人。
抽屉原理
抽屉原理在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题，例如：“13个人中至少有两个人出生在相同月份”；“某校400名学生中，一定存在两名学生，他们在同一天过生日”；“2003个人任意分成200个小组，一定存在一组，其成员数不少于11”。
这类存在性问题中，“存在”的含义是“至少有一个”。
在解决这类问题时，只要求指明存在，一般并不需要指出哪一个，也不需要确定通过什么方式把这个存在的东西找出来。
这类问题相对来说涉及到的运算较少，依据的理论也不复杂，我们把这些理论称之为“抽屉原理”。
（一）抽屉原理的常见形式定理1：如果把n+1个元素分成n个集合，那么不管怎么分，都存在一个集合，其中至少有两个元素。
证明：（用反证法）若不存在至少有两个元素的集合，则每个集合至多1个元素，从而n个集合至多有n个元素，此与共有n+1个元素矛盾，故命题成立。
在定理1的叙述中，可以把“元素”改为“物件”，把“集合”改成“抽屉”，抽屉原理正是由此得名。
定理2：把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+ 1个或多于m+1个的物体。
证明：（反证法）若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能定理3：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。
.定理4：把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体。
证明：（反证法）若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共至少有mn个物体，与题设矛盾，（二）抽屉原理研究的几类问题分析：（1）整除问题：例1：对于任意的五个自然数，证明其中必有3个数的和能被3整除.证明∵任何数除以3所得余数只能是0，1，2，不妨分别构造为3个抽屉：[0]，[1]，[2]①若这五个自然数除以3后所得余数分别分布在这3个抽屉中(即抽屉中分别为含有余数为0,1,2的数)，我们从这三个抽屉中各取1个(如1~5中取3,4,5)，其和(3+ 4+5=12)必能被3整除.②若这5个余数分布在其中的两个抽屉中，则其中必有一个抽屉，包含有3个余数（抽屉原理），而这三个余数之和或为0，或为3，或为6，故所对应的3个自然数之和是3的倍数.③若这5个余数分布在其中的一个抽屉中，很显然，必有3个自然数之和能被3整除.例1′：对于任意的11个整数，证明其中一定有6个数，它们的和能被6整除.证明：设这11个整数为：a1，a2，a3……a11 又6=2×3①先考虑被3整除的情形由例2知，在11个任意整数中，必存在：3|a1+a2+a3，不妨设a1+a2+a3=b1；同理，剩下的8个任意整数中，由例2，必存在：3 | a4+a5+a6.设a4+a5+a6= b2；同理，其余的5个任意整数中，有：3|a7+a8+a9，设：a7+a8+a9=b3②再考虑b1、b2、b3被2整除.依据抽屉原理，b1、b2、b3这三个整数中，至少有两个是同奇或同偶，这两个同奇（或同偶）的整数之和必为偶数.不妨设2|b1+b2则：6|b1+b2，即：6|a1+a2+a3+a4+a5+a6∴任意11个整数，其中必有6个数的和是6的倍数.（2）面积问题：例1：九条直线中的每一条直线都将正方形分成面积比为2:3的梯形证明：这九条直线中至少有三条经过同一点.证明：如图，设直线EF将正方形分成两个梯形，作中位线MN。
抽屉原理
原理1：把多于或等于n+1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。
抽屉原理证明（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的
n+k(k≥1)，故不可能。
原理2 ：把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于m+1的物体。
证明（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能。
原理3 ：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。
原理1 、2 、3都是第一抽屉原理的表述。
把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体。
证明（反证法）：若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共至少有mn个物体，与题设矛盾，故不可能。
把8个苹果分给7个小朋友，如果苹果不许切开，无论怎样分都有一个小朋友拿到2个苹果，对吗
将20 个苹果分给19个小朋友，如果不许切开，无论怎样分，其中有一个小朋友至少分到几个苹果
13个小朋友至少有2个小朋友在同一个月里过生日，对吗
全班54名同学，至少有几个人在同一个月过生日，？
口袋里有足够的红，白，蓝三种颜色的球，现在31个人轮流从袋子里取球，每人各取3个，至少几个人拿球的情况相同
把100个苹果分割10个小朋友，每个小朋友分得到的苹果的个数互不相同，分的苹果的个数最多的小朋友至少分的多少的苹果?
把400本书随意分给若干个同学，但每个人不得超过11本，问至少有多少个同学得到的书的本书相同
一个鱼缸，其中有5个品种，问至少捞出多少条才能保证5条同一品种的鱼？。
抽屉原理
抽屉原理抽屉原理1：将n+1件或更多件的物体随意地放到n个抽屉中去，那么，至少有一个抽屉中的物体个数不少于2个。
抽屉原理2：将多于m×n个（m×n+1，m×n+2，……）物体任意放到n个抽屉去，那么至少有一个抽屉的物体个数不少于m+1.例1：五（1）班有40名学生。
班里有1个小书架，同学们可以任意借阅。
问：小书架至上少要有多少本书，才能保证至少有一个同学能借到2本书？练习：五（1）班有49名学生。
老师至少拿几本书随意分给大家，才能保证至少有一个同学能得到两本书？例2：有黑色、白色、黄色的筷子各8根，混杂放在一起。
黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子，问：至少要取多少根才能保证达到要求？练习：衣柜里有10件绿色衣服，6件白色衣服，7件红色衣服，2件蓝色衣服。
如果闭着眼睛取衣服，那么至少要取多少件，才能保证取出的衣服中至少有两件颜色相同？例3：一副扑克牌有4种花色，每种花色有13张，从中任意抽牌，问：至少要抽多少张牌，才能保证有4张牌是同一花色的？练习：幼儿园小朋友分水果，有苹果、梨、橘子3种。
如果每个小朋友任意拿两个，那么，至少有多少个小朋友拿过后，才一定会出现两人拿得水果是相同的？例4：学校开设了音乐、美术、体育、科技4个兴趣小组。
每位同学任意参加两个小组，问：至少有几个同学参加活动，就能保证有2个同学参加的小组相同？练习：幼儿园买来许多猪、狗、马的塑料玩具，每个小朋友任意选择两件。
问：至少要有几个小朋友才能保证有两人选的玩具相同？例5：把135块饼干分给16个小朋友。
若每个小朋友至少要分到一块饼干，那么不管怎样分，一定会有两个小朋友得到的饼干数目相同。
为什么？练习：把97件玩具分给幼儿园大班的小朋友，不管怎样分都至少有一位小朋友分得5件或5件以上的玩具。
问：这个班最多有多少个小朋友？例6：五（1）班有40名学生，他们都订阅了《小朋友》《儿童时代》《少年报》三种报刊中的一种、两种或三种。
抽屉原理
抽屉原理【知识要点】抽屉原理一般有两种形式，通常称为原理1和原理2。
原理1将（n+1）个苹果放入n个抽屉中，则必有一个抽屉中至少有2个苹。
原理2将(m×n+1)个苹果放入n个抽屉中，则必有一个抽屉中至少有（m+1）个苹果。
抽屉原理是一种特殊的思维方法，我们可以根据它来作出许多有趣的推理和判断，在利用抽屉原理进行判断时，要注意把握“苹果”和“抽屉”的个数，往往从“最不利原则”出发来考虑，思考问题的角度较为独特。
使用抽屉原理解决有关的数学问题，关键是构造抽屉。
常见的构造抽屉的方法有：“数的分组”、“图形的分割”、“染色分类”、“余数分类”等等。
【典型例题】例1 在某校内，任选13人，其中至少有2人的属相是相同的，为什么？例2有三个自然数，至少有两个数的和是偶数，为什么？例3一个盒子里装有四种不同图案的画片，其中小兔、小狗、小猫、小熊各20张，问一次要取出多少张画片，才能使得其中至少有8张画片的图案相同？例4 四个朋友聚会，每个人各带两件礼品，分别赠送给其余三个人中的两个人，试证明，至少有两对人，每对人是互相赠送过礼品的。
例5 将全体正整数按其个位数字分为10类：个位数字是1的为第一类，个位数字是2的为第二类……个位数字是9的为第九类，个位数字是0的为第十类。
（1）任意取出6个互不同类的正整数，其中一定有两个数的和是10的倍数吗？（2）任意取出7个互不同类的正整数，其中一定有两个数的和是10的倍数吗？例6 布袋中有60块大小、形状都相同的木块，每15块涂上相同的颜色，一次至少取出多少块才能保证其中至少有3块颜色相同？例7 2012名冬令营营员去游览长城、颐和园、天坛，规定每人至少去一处，最多去两处游览，至少有几个人游览的地方完全相同？例8 从1，2，3，…,2011这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差不等于4？【小试锋芒】成绩：1、在40米长的一条公路旁种5棵树，说明至少有2棵树之间的距离不超过10米。
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抽屉原理桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面至少放两个苹果。
这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。
抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n+1或多于n+1个元素放到n个集合中去，其中必定至少有一个集合里有两个元素。
” 抽屉原理有时也被称为鸽巢原理。
它是组合数学中一个重要的原理。
为小学六年级课程。
目录1常见形式▪第一抽屉原理▪第二抽屉原理2应用▪基本介绍▪整除问题▪面积问题▪染色问题3狄利克雷▪含义▪表现形式▪例证▪练习4一般表述5经典练习▪系列之一▪系列之二▪系列之三▪系列之四1常见形式编辑第一抽屉原理原理1：把多于n+1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。
抽屉原理证明（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n+k(k≥1)，故不可能。
原理2 ：把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于m+1的物体。
证明（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能。
原理3 ：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。
原理1 、2 、3都是第一抽屉原理的表述。
第二抽屉原理把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体(例如，将3×5-1=14个物体放入5个抽屉中，则必定有一个抽屉中的物体数少于等于3-1=2)。
证明（反证法）：若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共至少有mn个物体，与题设矛盾，故不可能。
2应用编辑基本介绍应用抽屉原理解题抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用。
许多有关存在性的证明都可用它来解决。
例1：同年出生的400人中至少有2个人的生日相同。
解：将一年中的366天视为366个抽屉，400个人看作400个物体，由抽屉原理1可以得知：至少有2人的生日相同. 400/366=1…35,1+1=2又如：我们从街上随便找来13人，就可断定他们中至少有两个人属相相同。
“从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。
”“从数1，2，3，...，10中任取6个数，其中至少有2个数为奇偶性不同。
”例2：幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，那么不管怎样挑选，在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同，试说明道理。
解：从三种玩具中挑选两件，搭配方式只能是下面六种：（兔、兔），（兔、熊猫），（兔、长颈鹿），（熊猫、熊猫），（熊猫、长颈鹿），（长颈鹿、长颈鹿）。
把每种搭配方式看作一个抽屉，把7个小朋友看作物体，那么根据原理1，至少有两个物体要放进同一个抽屉里，也就是说，至少两人挑选玩具采用同一搭配方式，选的玩具相同。
上面数例论证的似乎都是“存在”、“总有”、“至少有”的问题，不错，这正是抽屉原则的主要作用.（需要说明的是，运用抽屉原则只是肯定了“存在”、“总有”、“至少有”，却不能确切地指出哪个抽屉里存在多少.抽屉原理虽然简单，但应用却很广泛，它可以解答很多有趣的问题，其中有些问题还具有相当的难度。
下面我们来研究有关的一些问题。
制造抽屉是运用原则的一大关键例1 从2、4、6、…、30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有两个数之和是34。
分析与解答我们用题目中的15个偶数制造8个抽屉：此抽屉特点：凡是抽屉中有两个数的，都具有一个共同的特点：这两个数的和是34。
现从题目中的15个偶数中任取9个数，由抽屉原理（因为抽屉只有8个），必有两个数可以在同一个抽屉中（符合上述特点）.由制造的抽屉的特点，这两个数的和是34。
例2：从1、2、3、4、…、19、20这20个自然数中，至少任选几个数，就可以保证其中一定包括两个数，它们的差是12。
分析与解答在这20个自然数中，差是12的有以下8对：{20，8}，{19，7}，{18，6}，{17，5}，{16，4}，{15，3}，{14，2}，{13，1}。
另外还有4个不能配对的数{9}，{10}，{11}，{12}，共制成12个抽屉（每个括号看成一个抽屉）.只要有两个数取自同一个抽屉，那么它们的差就等于12，根据抽屉原理至少任选13个数，即可办到（取12个数：从12个抽屉中各取一个数（例如取1，2，3，…，12），那么这12个数中任意两个数的差必不等于12）。
例3：从1到20这20个数中，任取11个数，必有两个数，其中一个数是另一个数的倍数。
分析与解答根据题目所要求证的问题，应考虑按照同一抽屉中，任意两数都具有倍数关系的原则制造抽屉.把这20个数按奇数及其倍数分成以下十组，看成10个抽屉（显然，它们具有上述性质）：{1，2，4，8，16}，{3，6，12}，{5，10，20}，{7，14}，{9，18}，{11}，{13}，{15}，{17}，{19}。
从这10个数组的20个数中任取11个数，根据抽屉原理，至少有两个数取自同一个抽屉.由于凡在同一抽屉中的两个数都具有倍数关系，所以这两个数中，其中一个数一定是另一个数的倍数。
例4：某校校庆，来了n位校友，彼此认识的握手问候.请你证明无论什么情况，在这n个校友中至少有两人握手的次数一样多。
分析与解答共有n位校友，每个人握手的次数最少是0次，即这个人与其他校友都没有握过手；最多有n-1次，即这个人与每位到会校友都握了手.然而，如果有一个校友握手的次数是0次，那么握手次数最多的不能多于n-2次；如果有一个校友握手的次数是n-1次，那么握手次数最少的不能少于1次.不管是前一种状态0、1、2、…、n-2，还是后一种状态1、2、3、…、n-1，握手次数都只有n-1种情况.把这n-1种情况看成n-1个抽屉，到会的n个校友每人按照其握手的次数归入相应的“抽屉”，根据抽屉原理，至少有两个人属于同一抽屉，则这两个人握手的次数一样多。
在有些问题中，“抽屉”和“物体”不是很明显的，需要精心制造“抽屉”和“物体”.如何制造“抽屉”和“物体”可能是很困难的，一方面需要认真地分析题目中的条件和问题，另一方面需要多做一些题积累经验。
例5：15个网球分成数量不同的4堆，数量最多的一堆至少有多少个球？（注意，增加数量不同的条件）分析与解答：此题实际是求出15可分拆多少种4个互不相同的整数之和，而15=1+2+3+9=1+2+4+8=1+2+5+7=1+3+4+7=1+3+5+6=2+3+4+6，所以最多一堆的球数可能是9、8、7、6，其中至少有6个。
整除问题把所有整数按照除以某个自然数m的余数分为m类，叫做m的剩余类或同余类，用[0]，[1]，[2]，…，[m-1]表示.每一个类含有无穷多个数，例如[1]中含有1，m+1，2m+1，3m+1，….在研究与整除有关的问题时，常用剩余类作为抽屉.根据抽屉原理，可以证明：任意n+1个自然数中，总有两个自然数的差是n的倍数。
(证明：n+1个自然数被n整除余数至少有两个相等（抽屉原理），不妨记为m=a1*n+b n=a2*n+b，则m-n整除n)。
例1 证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数。
分析与解答在与整除有关的问题中有这样的性质，如果两个整数a、b，它们除以自然数m 的余数相同，那么它们的差a-b是m的倍数.根据这个性质，本题只需证明这8个自然数中有2个自然数，它们除以7的余数相同.我们可以把所有自然数按被7除所得的7种不同的余数0、1、2、3、4、5、6分成七类.也就是7个抽屉.任取8个自然数，根据抽屉原理，必有两个数在同一个抽屉中，也就是它们除以7的余数相同，因此这两个数的差一定是7的倍数。
例2：对于任意的五个自然数，证明其中必有3个数的和能被3整除.证明∵任何数除以3所得余数只能是0，1，2，不妨分别构造为3个抽屉：[0]，[1]，[2]①若这五个自然数除以3后所得余数分别分布在这3个抽屉中(即抽屉中分别为含有余数为0,1,2的数)，我们从这三个抽屉中各取1个(如1~5中取3,4,5)，其和(3+4+5=12)必能被3整除.②若这5个余数分布在其中的两个抽屉中，则其中必有一个抽屉至少包含有3个余数（抽屉原理），即一个抽屉包含1个余数，另一个包含4个，或者一个包含2个余数另一个抽屉包含3个。
从余数多的那个抽屉里选出三个余数，其代数和或为0，或为3，或为6，均为3的倍数，故所对应的3个自然数之和是3的倍数.③若这5个余数分布在其中的一个抽屉中，很显然，从此抽屉中任意取出三个余数，同情况②，余数之和可被3整除，故其对应的3个自然数之和能被3整除.例2′：对于任意的11个整数，证明其中一定有6个数，它们的和能被6整除.证明：设这11个整数为：a1，a2，a3……a11 又6=2×3①先考虑被3整除的情形由例2知，在11个任意整数中，必存在：3|a1+a2+a3，不妨设a1+a2+a3=b1；同理，剩下的8个任意整数中，由例2，必存在：3 | a4+a5+a6.设a4+a5+a6=b2；同理，其余的5个任意整数中，有：3|a7+a8+a9，设：a7+a8+a9=b3②再考虑b1、b2、b3被2整除.依据抽屉原理，b1、b2、b3这三个整数中，至少有两个是同奇或同偶，这两个同奇（或同偶）的整数之和必为偶数.不妨设2|b1+b2则：6|b1+b2，即：6|a1+a2+a3+a4+a5+a6∴任意11个整数，其中必有6个数的和是6的倍数.例3：任意给定7个不同的自然数，求证其中必有两个整数，其和或差是10的倍数.分析：注意到这些数除以10的余数即个位数字，以0，1，…，9为标准制造10个抽屉，标以[0]，[1]，…，[9].若有两数落入同一抽屉，其差是10的倍数，只是仅有7个自然数，似不便运用抽屉原则，再作调整：[6]，[7]，[8]，[9]四个抽屉分别与[4]，[3]，[2]，[1]合并，则可保证至少有一个抽屉里有两个数，它们的和或差是10的倍数.证明：一个整数被10除的余数只能是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 ，把余数为1和9的数、2和8的数、3和7的数、4和6的数分别并成一组，则余数只能是0，±1，±2，±3，±4，5，共6组，在任给的7个整数中，必有两数，被10除的余数是同一组，如果这两个数的余数符号相同，则差是10的倍数，如果这两个数的余数符号相反，则和是10的倍数，因此，7个整数中，必有两个数，其和或差是10的倍数。
抽屉原理- 表述抽屉原理的一种更一般的表述为：“把多于kn+1个东西任意分放进n个空抽屉（k是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少k+1个东西。