新编文档-35微分的简单应用-精品文档
微分方程——附应用及历史注记
微分方程是数学中的一个重要分支，它主要研究函数的导数和积分之间的关系。
微分方程的应用广泛，涵盖了物理、工程、生物、经济等多个领域。
历史注记:微分方程的历史可以追溯到17世纪，当时的科学家们开始尝试用数学模型来描述自然现象。
例如，牛顿在研究物体运动规律时，就提出了著名的牛顿定律，这些定律可以用微分方程来表示。
随着科学技术的发展，微分方程的理论和应用也在不断深化和完善。
微分方程的基本形式包括一阶微分方程、二阶微分方程和高阶微分方程等。
一阶微分方程是最简单的微分方程，它的一般形式为dy/dx = f(x, y)，其中y是未知函数，f(x, y)是已知函数。
二阶微分方程的形式更为复杂，但它在物理和工程中有广泛的应用，例如描述振动系统的运动规律。
微分方程的解法主要有直接法和间接法两种。
直接法是通过观察和分析微分方程的形式，直接求出其解析解。
间接法是通过变量替换或积分因子分解等方法，将微分方程转化为更容易求解的形式。
微分方程的应用非常广泛。
在物理学中，微分方程被用来描述物体的运动规律、电磁场的变化、热传导过程等。
在工程学中，微分方程被用来设计电路、优化系统性能等。
在生物学中，微分方程被用来描述种群动态、疾病传播等。
在经济学中，微分方程被用来分析经济系统的动态行为、预测市场趋势等。
总的来说，微分方程是数学和科学中的一个重要工具，它为我们理解和解决实际问题提供了强大的数学支持。
新编文档-第5章 微分方程与差分方程-精品文档
可降阶的二阶方程⑵ 积分得arctany=x+C, 由y(1)=0得 y=tan(x1)
5.3.2 二阶常系数线性微分方程
线性微分方程解的结构
二阶常系数齐次线性微分方程⑴
二阶常系数齐次线性微分方程⑵
代入(*)得 为了简便,取 u=x,则 是(*)的通解.
二阶常系数齐次线性微分方程⑶
二阶常系数齐次线性微分方程的通解
离散阻滞增长模型
第5章 重要概念与公式 通解,特解,线性,差分方程
一阶微分方程的解法 可分离变量的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程
二阶微分方程的解法 可降阶的二阶微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程
线性微(差)分方程解的结构 非齐次通解 = 非齐次特解 + 齐次通解
参数方程微商复习
隐含的初值条件
第5章 微分方程与差分方程
重点：微分方程的解法 难点：建立微分方程模型
5.1 微分方程基础 5.1.1 实际背景
建立这一问题 的数学模型如下：
微分方程 初值条件
指数增长模型 设人口数量N(t)的增长速度与
现有人口数量成正比, 求N(t). (P235)
设开始时人口数量为N0, 年增长率为r,建立这一问题 的数学模型如下：
在求解微分方程时,要注意其初值条件. 求解得到结果时，一般要解释结果的实际意 义. 例如指数增长模型比较适用于短期预测,而 不太适用于长期预测,因为当时间变量趋于无穷 大时，所研究的变量趋于无穷大,这与实际是不 相符的.
阻滞增长模型(Logistic模型)
这就是非常著名的 Logistic 增长模型(即阻滞增长模 型).阻滞增长模型用途十分广泛,除了用于预测人口增 长外,也可完全类似地用于虫口增长、疾病的传播、谣 言的传播、技术革新的推广、销售预测等.
微分方程的求解方法与应用案例分享
微分方程的求解方法与应用案例分享微分方程是数学中重要的一门分支，它描述了自然界和社会现象中的变化规律。
微分方程的求解方法多种多样，本文将介绍常见的几种求解方法，并结合实际应用案例进行分享。
一、常微分方程的求解方法1. 可分离变量法可分离变量法是求解一阶常微分方程的常用方法。
首先将方程中的变量分离，然后进行积分得到结果。
例如，对于形如dy/dx=f(x)g(y)的方程，可以将其化简为dy/g(y)=f(x)dx，再对两边同时进行积分即可得到解析解。
2. 齐次方程法齐次方程法适用于形如dy/dx=F(y/x)的方程。
通过令v=y/x，将方程转化为dv/dx=F(v)-v/x，再进行变量分离和积分即可求解。
3. 线性方程法线性方程法适用于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的一阶线性微分方程。
通过乘以一个积分因子，可以将方程化为d(μy)/dx=μq(x)，再对两边同时积分得到解析解。
4. 变量替换法变量替换法是一种常用的求解微分方程的方法。
通过引入新的变量替换原方程中的变量，可以将方程化为更简单的形式。
例如，对于形如dy/dx=f(ax+by+c)的方程，可以通过引入新的变量u=ax+by+c来进行变量替换，从而简化求解过程。
二、微分方程的应用案例分享1. 放射性衰变问题放射性衰变是微分方程在物理学中的一个重要应用。
以放射性核素的衰变为例，其衰变速率与核素的数量成正比，可以用微分方程dy/dt=-ky来描述，其中y表示核素的数量，t表示时间，k为比例常数。
通过求解这个微分方程，可以得到核素的衰变规律，进而预测未来的衰变情况。
2. 振动问题微分方程在工程学中的应用也非常广泛，例如振动问题。
以简谐振动为例，可以通过微分方程m(d²x/dt²)+kx=0来描述，其中m为质量，k为弹性系数。
通过求解这个微分方程，可以得到振动的解析解，进而研究振动的频率、幅度等特性。
3. 生物种群模型微分方程在生态学中的应用也非常重要，例如生物种群模型。
3-5函数的微分
sin xexdx ex cos xdx
ex (sin x cos x)dx ，
dy
x 4
ex (sin x cos x) x 4
dx
dy x 0.1 2e 4 。 4 x0.1
2e 4 dx ，
23-17
例 3.5.4 设 y earctan(x2 ) ，利用微分运算求 dy ，并求 y 。
但是令人遗憾的是，利用微分进行近似计算时，其误差 是多少，我们并不清楚，从而不能控制误差。
究其原因是我们对 y dy o(x) 了解甚少。 x x0
在第 4 章里将有更精确的方法来解决这一问题。
23-24
一、主要内容
关 系
dy dx
y
dy
ydx
y
dy
o(x)
导数
f (x0 x) f (x0 ) f (x0 )x, 或 f (x0 x) f (x0 ) f (x0 )x.
记 x0 x x ，则 x x x0 , 上式化为
f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) 。
当 x0 0 ，且 x 很小时，有 f (x) f (0) f (0)x 。
y f ( x)在点x0处可导,并称这个极限为函数y f ( x)
在点x0处的导数, 记为y
x x0
,
dy dx
或 df ( x)
x x0
dx
x x0 , 即
y
x x0
y lim x0 x
lim
x 0
f (x0
数学中差分和微分的详细和应用
数学中差分和微分的详细和应⽤微分的定义 （￣︶￣）↗什么是微分：在古典的微积分学中，微分被定义为变化量的线性部分，在现代的微积分定义中，微分被定义为将⾃变量的改变量映射到变化量的线性部分的线性映射，这个映射也被称为切映射。
给定的函数在⼀点的微分如果存在，就⼀定是唯⼀的。
什么是差分： (还有⼀个兄弟)差分⼜名差分函数或差分运算，是数学中的⼀个概念。
它将原函数f(x) 映射到f(x+a)−f(x+b)差分运算，相应于微分运算，是微积分中重要的⼀个概念。
差分的定义分为前向差分和逆向差分两种。
(尤其是在⼯科实践中，差分的应⽤不亚于对微分的使⽤)。
在社会经济活动与⾃然科学研究中,我们经常遇到与时间t有关的变量,⽽⼈们往往⼜只能观察或记录到这些变量在离散的t时的值。
对于这类变量,如何去研究它们的相互关系,就离不开差分与差分⽅程的⼯具。
微积分中的微分与微分⽅程的⼯具,事实上来源于差分与差分⽅程.因此差分与差分⽅程更是原始的客观的⽣动的材料。
归根结底，科学只是⼀种⼯具，科学源于⽣活实践⼜需要落地于实践，正如微分和差分的关系⼀样，讲到这⾥微分的定义是什么已经不重要了，你就把它当成⾃变量只变化了⼀点的时候，函数值的微笑变化就好了。
微分的⼏何意义(* ￣3)(ε￣ *)⼏何意义：微分的⼏何意义就是：直⾓三⾓形的⾼dy等于正切值（斜率导数即f′(x)）乘以该三⾓形的底边dx。
把这些微分即微⼩的dy累积起来就得到三⾓形的⾼或着说得到了函数值的本⾝即y=f(x)。
微分是函数改变量的线性主要部分。
微积分的基本概念之⼀。
上图中的dy就代表了微分 ，⽽△y代表的是差分 ，书中这⾥也叫△y为增量。
微分的基本公式和运算法则ヾ(▽*)))微分的基本公式和运算法则和导数的基本运算⼀致如果觉得这⾥总结的有不全⾯的，可以去参考上⼀期潇婷姐姐写的《⾼等数学——导数运算法则》打不开的⼩伙伴可以进公众号⾃⾏浏览南理⼯乐学空间相关的运算计算⽅法加法减法直接提出法乘法除法⼀项不动，另⼀项动三⾓函数现成的公式复合函数链式求导法则利⽤微分进⾏近似计算 (这部分会了就通关了)例题：近似计算e1.006的值：解：令f(x)=e x，则f′(x)=e xlim x→1f(1.006)=f(1)+f′(1)(1.006−1)=e+0.006∗e=2.7346本篇⽂章会同步到博客博⽂，博客地址：博客名：tinierZhao⼤家如果想看原⽂章的话，可以去这⾥进⾏查阅 ，能点个关注就再好不过了。
新编文档-常微分方程二阶线性微分方程习题课-精品文档
将 y,y,y 代入方程,
A 1 , y1xe3x
4
4
原方程通解： yYy
C 1e3xC 2ex
1 4
xe3
x
12
二阶线性微分方程
例9 求方 y3y 程 2yxe2x的通 . 解
解 f(x)xe2x，2
(1) 求对应齐次方程的通解
特征方程 2320
特征根 11 ， 22
对应齐次方程通解 YC 1exC 2e2x
(2) 求特征根，1,2
(3) 根据特征根的不同情况，得到相应的通解。
特征根的情况
通解的表达式
实根 12
y C 1 e 1 x C 2 e 2 x
实根 12
复根 1， 2i
y (C 1 C 2 x )e1 x
y e x ( C 1 co x C s 2 six ) n
3
二阶线性微分方程
例2 求方 y4y程 4y0的.通解
解 特征方程 2440
特征根 2（二重根）
通解： y(C 1C 2方 y2y程 5y0的.通解
解 特征方程 2250
特征根 1,212i,
通解： y e x ( C 1 c2 o x C s 2 s2 ix ) n
5
二阶线性微分方程
例4
解初值问题
16y24y9y0, yx04, yx02.
的解, 求此方程的通解.
非齐次线性方程的两个特解之差
是对应 齐次方程的特解.
解
y2y1x2,y3y2ex，
x e
2 x
常数
x2,ex 线性无关.
齐次线性方程的通解：YC1x2C2ex，
非齐次方程的通解： yYy.
2
利用微分方程解决实际问题的浅例
利用微分方程解决实际问题的浅例一、引言微分方程是数学中的重要工具，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
通过建立微分方程模型，我们可以描述和解决各种实际问题。
本文将通过一个浅例，介绍如何利用微分方程解决实际问题的方法和步骤。
二、问题描述我们考虑一个简单的物理问题：一个质量为m的物体在水平面上受到一个恒定的水平力F的作用。
我们想要求解物体的运动方程，并计算其位置随时间的变化。
三、建立微分方程模型1. 问题分析首先，我们需要分析问题并确定所需的物理量。
根据牛顿第二定律，物体的运动方程可以用如下微分方程表示：m * a = F其中，m是物体的质量，a是物体的加速度，F是物体受到的水平力。
2. 求解过程为了求解上述微分方程，我们需要确定物体的加速度。
根据物理学知识，加速度可以表示为速度对时间的导数，即：a = dv/dt其中，v是物体的速度，t是时间。
将上述等式代入原始的微分方程中，可以得到：m * dv/dt = F3. 求解方法上述微分方程是一个一阶常微分方程，我们可以通过分离变量的方法求解。
将方程重新整理，得到：dv = F/m * dt对上述等式两边同时积分，可以得到：∫dv = ∫F/m * dt即：v = F/m * t + C其中，C是积分常数。
4. 初值条件为了确定积分常数C，我们需要给出一个初值条件。
在t=0时刻，物体的速度为0。
代入该条件，可以得到：0 = F/m * 0 + C由此可得，C = 0。
四、求解结果根据上述分析，我们求解得到物体的速度随时间的变化为：v = F/m * t进一步，我们可以求解物体的位置随时间的变化。
根据物理学知识，位置可以表示为速度对时间的积分，即：x = ∫v dt代入速度的表达式，可以得到：x = ∫(F/m * t) dt对上述积分进行计算，可以得到：x = F/(2m) * t^2 + C’其中，C’是积分常数。
五、讨论与应用通过上述求解过程，我们得到了物体的位置随时间的变化。