几类简单的微分方程
简单微分方程的求解
一、一阶微分方程1. 线性齐次方程'y ()0p x y +=①分离变量法求解②两边同时乘以()p x dx e ⎰，积分因子法 通解：()p x dx y Ce -⎰=2. 线性非齐次方程'y ()()p x y g x +=①常数变易法②两边同时乘以()p x dx e ⎰，积分因子法 通解：()()(())p x dx p x dx y e C g x e dx -⎰⎰=+⎰线性微分方程的解有一些很好的性质，例如（1）齐次方程的解或者恒等于零，或者恒不等于零（2）齐次方程任何解的线性组合仍是它的解（3）齐次方程的任一解与非齐次方程任一解之和仍是非齐次方程的解（4）非齐次方程任意两解之差必是对应齐次方程的解（5）非齐次方程的任一解与对应齐次方程的通解之和是非齐次方程的通解。
3. Bernoulli 方程'()()y p x y g x y α+=（1）0α=时，该方程为线性非齐次方程（2）1α=时，该方程为线性齐次方程（3）0,1α≠时，作变量替换1z y α-=，该方程转化为(1)()(1)()dz p x z g x dxαα+-=-，这是关于未知函数z 的一阶线性方程 4. Riccati 方程2()()()dy p x y q x y f x dx=++Riccati 方程在一般情况下无法用初等积分求出解，只是对一些特殊情况或者事先知道了它的一个特解，才能求出其通解。
（1）当()p x 、()q x 、()f x 都是常数时，是可分离变量方程，用分离变量法求解。
（2）当()0p x ≡时，是线性方程。
（3）当()0f x ≡时，是Bernoulli 方程。
当()f x r ≡，设已有一特解1()y x命1()()()z x y x y x =-，代得211(2)dz dy dy pz py q z dx dx dx=-=++ 这是一个关于z 的Bernoulli 方程。
《高等数学A一》教学大纲
《高等数学A（一）》教学大纲一、课程基本情况课程中文名称：高等数学A（一）课程英文名称：Advanced Mathematics A (I)课程代码：GG31001学分/学时：4/102开课学期：第一学期课程类別：必修；1年级；公共基础适用专业：理工科（非数学类）对数学要求较高的各专业先修课程：无后修课程：高等数学A（二）、A（三）开课单位：数学科学学院大学数学教学中心二、课程教学大纲（一）课程性质与教学目标1. 课程性质：《高等数学A(一)》是理工科（非数学）专业必修的公共基础课程，为后续学习其他专业课程提供数学基础知识和工具．2. 教学目标：通过《高等数学A(一)》课程的学习，使学生掌握单变量微积分学的基础知识，同时培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力．3. 本课程知识与能力符合下列毕业要求指标点：（1）能够运用数学与自然科学基础知识，理解理工科专业工作过程中涉及的相关科学原理（1_1）；（2）能够将数学与自然科学的基本概念运用到复杂工程问题的适当表述之中（2_1）．（二）教学内容及基本要求：第1章函数（3学时）§1.1 集合§1.2 函数§1.3 函数的几种特性§1.4 复合函数§1.5 参数方程，极坐标与复数本章的重点是函数概念，复合函数概念，基本初等函数的性质及其图形．难点是参数方程的概念基本初等函数的性质及其图形．本章要求学生掌握函数的表示方法，基本初等函数的性质，参数方程、极坐标及复数的概念．本章习题：见配套习题册．第2章极限与连续（20学时）§2.1 数列的极限§2.2 函数的极限§2.3 两个重要极限§2.4 无穷小量与无穷大量§2.5 函数的连续性§2.6 闭区间上连续函数的性质本章的重点是极限概念，极限四则运算法则，两个重要极限，连续概念．利用无穷小量代换求极限．难点是极限的ε-N定义、ε-δ定义，闭区间上连续函数的性质的应用．本章要求学生掌握极限的性质及四则运算法则．极限存在的准则，并会利用它求极限．数列的极限与其子数列的极限之间的关系．两个重要极限及应用．无穷小的比较方法，利用等价无穷小求极限，判断间断点的类型．本章习题：见配套习题册．第3章导数与微分（9学时）§3.1 导数的概念§3.2 导数的运算法则§3.3 初等函数的求导问题§3.4 高阶导数§3.5 函数的微分§3.6 高阶微分本章的重点是导数和微分的概念，导数的几何意义及函数的可导与连续之间的关系，导数的四则运算法则和复合函数的求导法，基本初等函数的导数公式，初等函数的一阶、二阶导数的求法．难点是复合函数的求导法，隐函数和参数式所确定的函数的高阶导数．本章要求学生掌握导数的四则运算和复合函数的求导法则，隐函数和由参数方程所确定的函数的一、二阶导数，掌握基本初等函数的导数公式，利用一阶微分形式的不变性求微分．本章习题：见配套习题册．第4章微分中值定理及其应用（24学时）§4.1 微分中值定理§4.2 L’Hospital法则§4.3 Taylor公式§4.4 函数的单调性与极值§4.5 函数的凸性和曲线的拐点、渐近线§4.6 平面曲线的曲率本章的重点是Lagrange中值定理及其几何意义，L’Hospital法则求未定式极限，利用导函数判断函数的单调性，极值，凸性与拐点．难点是各种中值定理与Taylor公式的应用．本章要求学生掌握各种中值定理的应用，用L’Hospital法则求未定式极限，用导数判断函数的单调性和求函数极值．求函数最值的方法及其简单应用，利用导数判断函数的凸性，拐点和渐近线，函数作图．本章习题：见配套习题册．第5章不定积分（14学时）§5.1 不定积分的概念与性质§5.2 换元积分法§5.3 分部积分法§5.4 几种特征类型函数的不定积分本章的重点是不定积分的定义，基本公式与性质，第一类换元积分法，第二类换元积分法，分部积分法．难点是不定积分的常见技巧，有理函数的积分，几种不定积分方法的综合应用．本章要求学生掌握有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的不定积分．本章习题：见配套习题册．第6章定积分（12学时）§6.1 定积分的概念§6.2 定积分的性质与中值定理§6.3 微积分基本公式§6.4 定积分的换元法与分部积分法§6.5 定积分的近似计算§6.6 广义积分本章的重点是定积分的概念及性质，定积分的换元法与分部积分法，Newton-Leibniz公式．难点是变上限函数概念与求导，两种广义积分的收敛性判别与计算，几种求定积分方法的综合应用．本章要求学生掌握定积分的性质及其与不定积分的联系，掌握换元积分法，分部积分法和Newton-Leibniz公式．本章习题：见配套习题册．第7章定积分的应用（10学时）§7.1 微元法的基本思想§7.2 定积分在几何上的应用§7.3 定积分在物理上的应用本章的重点是微元法，定积分在几何上的应用，求平面图形的面积，平面曲线的弧长，空间几何体的体积．难点是微元法的基本思想．本章要求学生掌握直角坐标系﹑极坐标系下平面图形的面积公式，平面曲线的弧长公式．已知平行截面积的立体体积公式，旋转体的体积公式，旋转体的侧面积公式．本章习题：见配套习题册．第8章微分方程（10学时）§8.1 微分方程的基本概念§8.2 几类简单的微分方程§8.3 一阶微分方程§8.4 全微分方程与积分因子§8.5 二阶常系数线性微分方程本章的重点是变量可分离方程及一阶线性方程的解法，二阶常系数齐线性微分方程解的结构，二阶常系数齐次线性微分方程的解法．难点是二阶常系数非齐次线性微分方程的求解．通过代换法将一些特殊的微分方程化成可求解的微分方程(变量分离方程，一阶线性方程，二阶常系数线性方程)．本章要求学生掌握变量分离方程及一阶线性微分方程的解法．会用代换法解齐次方程．二阶常系数线性方程的解法．全微分方程的解法．本章习题：见配套习题册．（三）教学方法：以课堂教学为主，结合习题课、讨论课与自学．（1）课堂教学主要讲解高等数学的基本概念、基本理论以及基本分析方法，并将未来专业学习中可能遇到的相关高数问题等融入基本理论的讲解，使学生更好地熟悉或掌握知识，学习运用数学思维方式和研究方法．（2）对难点和重点例题和习题安排在习题课和讨论课中讲解．（3）对比较容易理解的章节让学生自学，以培养学生自主学习的意识、自主学习的能力和抓住要点的能力．（四）考核内容及方式考核方式为闭卷考试，实行教考分离．成绩由平时成绩（30%）和期末考试（70%）两部分组成．平时成绩含考勤、作业、课堂提问、小测验等．（五）教学安排及方式：（六）教材与参考资料：1.教材《高等数学（上）》（理工类，第3版），杜先能，孙国正等，安徽大学出版社，2011年．2.参考书目（1）《高等数学（上册）》（第7版），同济大学数学系编，高等教育出版社，2014年．（2）《高等数学习题全解指南（上册）》（第7版），同济大学数学系编，高等教育出版社，2014年．撰写人：郑婷婷审核人：。
高等数学：微分方程
两边积分,得
用lnC 表示任意常数,考虑到R >0,得积分结果
即
微分方程
微分方程
二、 一阶线性微分方程
我们把形如
的方程称为一阶线性微分方程.当q(x)≡0时,方程
称为一阶线性齐次微分方程;当q(x)≠0时,方程(6-15)称为一阶
线性非齐次微分方程.
微分方程
一阶线性齐次微分方程(6-16)是可分离变量的微分方程,
当p2-4q=0时,特征方程r2+pr+q=0有两个相等的实根,即
r1=r2=- ,此时
2
可得到方程(6-30)的一个特解y=er1x .容易验证
y=xer1x 也是方程(6-30)的一个特解, 且y1 =er1x 与y2 =xer1x 是线
性无关的.由定理6-1可知,齐次方程(6-30)的通解为
微分方程
1.f(x)=Pm (x)eλx 型
f(x)=Pm (x)eλx 型时,Pm (x)为m 次多项式,λ 为常数.此时,可
以证明方程(6-29)具有形如y* =xkQm (x)eλx 的特解,其中Qm (x)
静止状态下沉,所受阻力与下 沉速度成正比(比例系数为k 的
常数).试求潜水艇下沉深度s与时间t的函数关系式.
微分方程
解 潜水艇下沉过程中所受的力有重力、水对潜艇的浮
力及下沉时遇到的阻力.前两个 力都是常量,其合力称为下沉
力,即下沉力F= 重力-浮力;下沉时遇到的阻力大小为
由牛顿第二定律,有
即
微分方程
假设 y=erx是方程(6-30)的特解,其中r为待定常数.将y=erx 、
y'=rerx 、y″=r2erx代入 方程(6-30),得
微分方程常用解法总结
微分方程常用解法总结微分方程常用解法总结2010年02月14日星期日14：47最近有点懒，有点颓废。
所以今天想写点什么了。
断断续续算是学完了微分方程，就来简单总结一下吧。
1、一阶微分方程可分离变量和齐次微分方程是最简单的微分方程了，而dy/dx=f[(a1x+b1y+c1)/(a2x+b2y+c2)]形式的方程则可以通过坐标平移x=x+h，y=y+k化为齐次方程，dy/dx=f(ax+by+c)形式的方程可以通过u=ax+by+c变为可分离变量的方程。
一阶线性方程dy/dx+P(x)y=Q(x)通常通过"常数变易法"或者直接代入公式求其通解。
但一般来说，通过简单的"凑微分"就可以求解。
考虑D[∫P(x)dx]=P(x)，且e∫P(x)dxP(x)=de∫P(x)dx方程两边同时乘上e∫P(x)dx得e∫P(x)dxdy/dx+de∫P(x)dxy=e∫P(x)dxQ(x)即d(e∫P(x)dxy)=e∫P(x)dxQ(x)两边同时对x求积分得e∫P(x)dxy=∫e∫P(x)dxQ(x)dx+c(不妨取每一个积分的常数项都为0即得y=e﹣∫P(x)dx∫e∫P(x)dxQ(x)dx+c]虽然上面说得很复杂，但上面的推导省去了硬背公式的麻烦，而且能运用于实际的运算。
如果每次运算都使用"常数变易法"，不仅步骤比凑微分长，而且回代后的求导过程也可能会出错。
贝努利方程一般是先化为一阶线性微分方程再求解。
2、二阶微分方程形如y``=f(x)，y``=f(x,y`)，y``=f(y,y`)的微分方程，都可以由教材上给出的方法求得通解。
由于方程都是可化为一阶方程求解，所以称以上三个方程为"可降阶二阶微分方程"。
二阶常系数线性微分方程(或者是更高阶的常系数线性微分方程)是最好求解的。
不仅仅是因为它们都公式可寻，而且因为它们的解法有很多，每一种解法都有其独到的美，包括以前所说过的"D算子法"。
微分方程基本分类
微分方程基本分类微分方程是数学中重要的一门分支，广泛应用于自然科学、工程技术和社会科学等领域。
微分方程可以描述变量之间的关系，通过研究微分方程的分类和求解方法，我们能够深入理解各种自然现象和工程问题，为实际应用提供有力的支撑。
本文将介绍微分方程的基本分类，包括常微分方程和偏微分方程两大类。
一、常微分方程常微分方程是指只涉及一个独立变量和其导数的微分方程。
常微分方程常用于描述一维系统的动力学行为。
根据方程中的变量类型和阶数，常微分方程又可分为以下几类。
1. 一阶常微分方程一阶常微分方程是指方程中的最高阶导数为一阶的微分方程。
常见的一阶常微分方程有线性微分方程、分离变量型微分方程和恰当微分方程等。
线性微分方程可以表示为dy/dx+f(x)y=g(x)，其中f(x)和g(x)是已知函数。
分离变量型微分方程可以表示为dy/dx=f(x)g(y)，通过将dy/g(y)=f(x)dx两边积分来求解。
恰当微分方程可以化为M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的形式，并通过判断M(x,y)和N(x,y)的偏导数是否相等来确定是否是恰当微分方程。
2. 二阶常微分方程二阶常微分方程是指方程中的最高阶导数为二阶的微分方程。
常见的二阶常微分方程有线性齐次微分方程、线性非齐次微分方程和常系数高阶线性微分方程等。
线性齐次微分方程可以表示为d²y/dx²+p(x)dy/dx+q(x)y=0，其中p(x)和q(x)是已知函数。
线性齐次微分方程的求解可以通过特征方程和特解的叠加原理来实现。
线性非齐次微分方程是在线性齐次微分方程的基础上添加了一个非齐次项，求解时需要先求出齐次解，再找到一个特解来满足方程。
常系数高阶线性微分方程是指方程中的系数是常数，可以通过特征方程的根的性质来求解。
二、偏微分方程偏微分方程是指涉及多个独立变量和它们的偏导数的微分方程。
偏微分方程常用于描述多维系统的动力学行为，应用广泛且复杂。
根据方程中的变量类型和方程性质，偏微分方程可分为以下几类。
常微分方程中的一些简单例子和方法
常微分方程中的一些简单例子和方法常微分方程是数学中的一个重要分支，它涉及到很多实际问题的数学模型解析和数值求解。
常微分方程可以用于描述很多自然现象，比如物理、生物、经济和工程学等领域。
它是应用数学中的一部分，也是数学中比较重要的一部分，今天我们就来介绍一下常微分方程中的一些简单例子和方法。
一、一阶常微分方程一阶常微分方程形如: $\frac{dy}{dx}=f(x,y)$，其中y是未知函数，x是自变量，f(x,y)是已知函数。
这种方程的解就是y(x)。
下面我们来看几个例子。
1. 求解方程$y'=3x^2$。
对方程两边求积分，得到$y=\int3x^2dx=x^3+C$。
其中C是常数，可以通过初始条件来确定。
比如，如果y(x)在x=0处等于2，则$y(0)=2$，代入求解得到$C=2$，所以完整的解为$y=x^3+2$。
2. 求解方程$y'=2xy$。
对方程两边分离变量，得到$\frac{dy}{y}=2xdx$，对两边求积分，得到$\ln|y|=x^2+C$。
移项得到$y=Ce^{x^2}$，其中C是常数。
3. 求解方程$y'+2xy=x$。
这是一个非齐次线性微分方程，首先求解它的齐次方程$y'+2xy=0$，这个方程的解是$y=Ce^{-x^2}$。
然后我们要找到一个特殊解，这个特殊解满足非齐次方程。
我们可以猜测特殊解为$y=A+Bx$，代入非齐次方程得到$B=1$，$A=-\frac{1}{2}$，因此特殊解为$y=-\frac{1}{2}+x$。
因为非齐次方程的通解等于它的齐次解加上特殊解，所以得到通解为$y=Ce^{-x^2}-\frac{1}{2}+x$。
二、二阶常微分方程二阶常微分方程形如：$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$。
其中y是未知函数，x是自变量，f(x)、p(x)和q(x)都是已知函数。
这种方程的解是y(x)。
常见的微分程类型归纳
常见的微分方程类型归纳微分方程是指含有未知函数的导数的方程。
未知函数是一元函数的叫做常微分方程，未知函数是多元函数的叫做偏微分方程。
《微积分》里面的微分方程仅限于常微分方程。
我们所讲到的微分方程归纳为以下几类：一、可分离变量的微分方程 形如：()()dy f x g y dx= 求解方法： 如果()0g y ≠，方程可化为：()()dy f x dx g y = ,两边取积分, ()()dy f x dx c g y =+⎰⎰求出积分，则为方程的通解。
例1：2cos dy y x dx= 解：将变量分离，得到 2cos dy xdx y= 两边积分，即得 1sin x c y -=+ 则通解为 1sin y x c =-+ 二、一阶线性微分方程形如： )()(x Q y x P dxdy =+ （1） 若0)(=x Q ，则原方程称为一阶线性齐次方程；若0)(≠x Q ，原方程称为一阶线性非齐次方程。
求解方法：先解原方程对应齐次方程的通解：对应齐次方程为： 0)(=+y x P dxdy （2） 分离变量，得dx x P y dy )(-= 两边积分，得 ⎰=-dx x P ce y )( （3）（3）为一阶线性齐次方程（2）的通解。
常数变易法：令对应齐次方程的通解⎰=-dx x P ce y )(中的常数c 为 ()c u x =（常数变函数）则⎰=-dx x P e x u y )()(为非齐次方程(1)的通解；将⎰=-dx x P e x u y )()(代入（1）式，解得()u x 的具体函数表达式，即求出（1）式的通解。
例2：求微分方程x xy y =-'2的通解解：对应齐次方程为： 20y xy '-=分离变量，得 12xdx dy y= 两边取积分，得 12 xdx dy y =⎰⎰解得：22211x c c x x y e e e ce +=±=±⋅=令 ()c u x =则 ()2x y u x e =为原方程的通解，带入原式。
微分方程简介与分类
微分方程简介与分类一、引言微分方程(Differential Equation)是数学中重要的分支之一，应用广泛于自然科学、工程技术等领域。
它描述了变量之间的关系，使我们能够理解事物变化的规律，并通过数学方法求解未知函数。
本文将简要介绍微分方程的概念、分类以及一些常见的求解方法，以帮助读者对微分方程有初步了解。
二、微分方程的概念微分方程是含有未知函数及其导数的方程。
一般形式的微分方程可以表示为：F(x, y, y', y'', ..., y^(n)) = 0其中，y是未知函数，y’、y’’、…、y^(n)分别表示y的一阶、二阶、…、n阶导数，x是独立变量。
三、微分方程的分类微分方程可分为以下几类：1.常微分方程(Ordinary Differential Equation, ODE)常微分方程是研究一元函数的微分方程，它的方程中只包含一元函数及其有限个阶数的导数，不包含偏导数。
常微分方程按阶数和线性性质可进一步分为以下几类：•一阶线性常微分方程•一阶非线性常微分方程•高阶常微分方程2.偏微分方程(Partial Differential Equation, PDE)偏微分方程是研究多元函数的微分方程，它的方程中包含多元函数及其偏导数。
偏微分方程按阶数和线性性质可进一步分为以下几类：•一阶线性偏微分方程•一阶非线性偏微分方程•高阶线性偏微分方程•高阶非线性偏微分方程3.分离变量微分方程分离变量微分方程是一类特殊的微分方程，它的解可以通过将未知函数及其导数分离后进行积分得到。
4.齐次微分方程齐次微分方程是指方程中每一项都是未知函数及其导数的同次多项式的微分方程。
5.非齐次微分方程非齐次微分方程是指方程中包含了非齐次项的微分方程，解的求解方法一般需要借助常数变易法。
四、微分方程的求解方法对于微分方程的求解，常用的方法有以下几种：1.分离变量法对分离变量微分方程，将未知函数及其导数分离到方程两侧，然后进行变量的分离并积分。
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第6节 几类简单的微分方程第6节 几类简单的微分方程
5.微分方程的初始条件
称问题⎪⎩⎪⎨⎧==′==′′′−−.1)
1(1)()( , ,)(,)(
,0) , ,, , ,(n n n y x y
y x y y x y y y y y x F 为初值问题或Cauchy 问题。
微分方程满足初始条件的解称为特解。
称附加条件
1)
1(21)( , ,)(,)(,)(−−==′′=′=n n y x y
y x y y x y y x y
阶为 n 微分方程0) , , , , ,()
(=′′′n y
y y y x F 的初始条件。
6.微分方程的解的几何意义
一般地，微分方程的每一个解都是一个一元函数
y=，其图形是一条平面曲线，我们称它为微分 y
)
(x
方程的积分曲线，通解的图形是平面上的一族曲线，
称为积分曲线族，特解的图形是积分曲线族中的一条
确定的曲线。
这就是微分方程的通解与特解的几何意义。
（2）x C x C y 3sin 3cos 21+=。
解：x C x C y 3cos 33sin 321+−=′，
)3sin 3cos (93sin 93cos 92121x C x C x C x C y +−=−−=′′， 故所求的微分方程为y y 9−=′′。
注：这类问题的解法是先求导，再消去任意常数，若通解中 含有两个或三个任意常数，则需求二阶或三阶导数。
2
12
2y C x C y Cx C =+=+请分别求函数 特例 和所满足的微：分方程。
（二）一阶线性非齐次方程的解法
)()(x Q y x P y =+′ ①
所对应的齐次微分方程为
0)(=+′y x P y ② 1．常数变易法
及其导数∫−∫′=′−−dx
x P dx
x P e
x P x C e x C y )()()()()(
代入方程①，则有
∫=−dx
x P Ce
y )(是方程②的通解，将x C 变易为的
待定函数)(x C ，猜想∫=−dx
x P e
x C y )()(是①的解。
将 ∫=−dx
x P e
x C y )()( ③
例9．求下列方程的通解。
（1）0)1(2)22(2
2
=−+−++dy y dx y x y x ；
分析：观察方程，发现dy 前的因子)1(2−y 恰与
y y 22−有导数关系，故令y y z 22−=。
解：令y y z 22
−=，则dy y dz )1(2−=， 原方程改写为0)2(2=+++dz dx z x x ， )2(2
x x z z +−=+′，
])2([[2
∫
+∫+−∫=−C dx e x x e
z dx dx
]
)2([2∫
+−=−dx e x x C e x x 2
22][])2([x Ce
e x C e
dx e x x C e x
x x
x x −=−=+−=−−−∫
，
把y y z 22
−=代入，得原方程的通解：
x
Ce
y y x −=−+222。
例11．设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力与它下落 的速度成正比（比例系数为0 >k 常数），起跳时的速 度为0，求下落的速度与时间之间的函数关系。
解：设跳伞员下落速度为)(t v v =。
跳伞员所受的外力等于重力和阻力之和，重力 的大小mg 为，方向与速度的方向一致；阻力的大 小kv 为，方向与速度的方向相反，故所受外力为 kv mg F −=，
例2．求解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=′==′′− .0)0( ,1)0( , y y xe y x 解：x xe y −=′′，
∫∫∫−−−−+−=−==′dx e xe e
xd dx xe y x x x x )(1C e xe
x x +−−=−−， 将初始条件0)0(=′y 代入上式，1 1=C 得，故 1+−−=′−−x x e
xe y 。
22)1 (C x e xe dx e xe y x x x x +++=+−−=−−−−∫， ∴所求特解为12−++=−−x e xe y x x 。
将初始条件1)0(=y 代入上式，1 2−=C 得，。