几类二阶变系数微分方程的求解

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二阶阶微分方程的解法及应用课件

分方程转化为关于参数的常微分方程，从而求解。
参数法是一种求解二阶微分方程的方法，通过引入参数，将微分方程转化为关于参数的常微分方程。这种方法适用于具有特定形式的一阶和二阶微分方程，特别是当微分方程的解与某个参数有关时。通过求解关于参数的常微分方程，我们可以找到微分方程的解
二阶阶微分方程的解法及应用课件
目录
• 二阶阶微分方程的基本概念 • 二阶阶微分方程的解法 • 二阶阶微分方程的应用 • 二阶阶微分方程的数值解法 • 二阶阶微分方程的边界值问题
01 二阶阶微分方程的基本概念
二阶阶微分方程的定义
二阶阶微分方程是包含两个未知函数和它们的二阶导数的方程。
二阶阶微分方程的一般形式为 F(x, y, y', y''...) = 0，其中 F 是一个给定的函数，x 和 y 是未知函数及其导数。
供需模型
01
二阶微分方程可以用来描述商品价格随时间和供需关系的变化
。
投资回报
02
在金融领域，二阶微分方程可以用来预测股票价格的变化和投
资回报。
经济增长
03
在研究经济增长时，二阶微分方程可以用来描述人均收入随时
间的变化。
在工程中的应用
控制系统
在自动化和控制工程中，二阶微分方程被用来描述系统的动态响应和稳定性。
一维边界值问题
一维边界值问题是指求解一个关于一个自变量的二阶微分方程，同时给出该自变量在两个特定点的取值条件。
一维边界值问题通常用于描述一个物理系统在一维空间中的行为，例如弦的振动、波的传播等。解决这类问题通常需要使用打靶法、有限差分法等数值方法。
多维边界值问题
多维边界值问题是指求解一个关于多个自变量的二阶微分方程组，同时给出这些自变量在多维空间中的边界条件。

二阶微分方程解

二阶微分方程解二阶微分方程分为齐次和非齐次两种类型。

在这里，我们主要讨论二阶常系数齐次线性微分方程的解法。

二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为：ayy'' + by' + cy = 0其中，a、b、c为常数。

求解过程如下：1. 特征方程：首先求出微分方程的特征方程。

特征方程为：r^2 - pr - q = 0其中，p、q为常数。

2. 求解特征方程：求出特征方程的两个根r1和r2。

可以使用公式：r1,2 = (-p ±√(p^2 - 4q)) / 23. 根据根与系数的关系，得出二阶微分方程的通解：通解= yC1* e^(r1x) + yC2 * e^(r2x)其中，yC1和yC2为待定系数，可通过初始条件求解。

4. 求解特解：若需要求解特解，可以先设特解的形式为y = yE(x)，然后将其代入原方程，求解待定系数。

举例：求解二阶常系数齐次线性微分方程：yy'' - 2y' + 3y = 01. 特征方程：r^2 - 2r + 3 = 02. 求解特征方程：r1= 1，r2 = 33. 通解：通解= yC1* e^x + yC2* e^-x4. 求解特解：设特解为y = yE(x) = e^(x^2)将其代入原方程，求解得到yE(x)为原方程的特解。

需要注意的是，二阶微分方程的解法不仅限于齐次方程，还包括非齐次方程。

非齐次方程的解法通常需要先求解齐次方程的通解，然后通过待定系数法求解特解。

此外，还有其他类型的二阶微分方程，如艾里方程等，其解法更为复杂。

二阶非线性微分方程的解法

二阶非线性微分方程的解法微分方程是现代数学里研究的重要分支之一，也是物理、工程、经济等各个领域中重要的工具。

本文将介绍二阶非线性微分方程的解法，希望对读者有所帮助。

1. 常系数二阶非线性微分方程一般地，形如$y''+f(y)=0$的二阶非线性微分方程是需要特殊注意的。

如果$f(y)$是一个关于$y$的线性函数，那么这个方程就是线性的，可以用标准的方法解决。

但如果$f(y)$是一个非线性函数，问题就比较麻烦了。

对于常系数二阶非线性微分方程，如$$y''+ay+f(y)=0$$其中$a$是常数，我们可以使用想象力来得到它的近似解。

设$y=y_0+u$，其中$y_0$是$y$的一阶近似解，$u$是一个小量。

代入方程得到$$u''+yu'+f(y_0+u)=0$$忽略$u$的高阶项，即可得到$u''+y_0u'+f(y_0)=0$，这是一个线性方程，可以解出$u$，进而得到$y=y_0+u$的近似解。

2. 变系数二阶非线性微分方程对于形如$y''+p(x)y'+q(x)y+r(x)=0$的非齐次线性微分方程，可以通过求出它的齐次解和一个特解的和来得到通解。

但对于非线性微分方程，通常需要采用其它方法来解决。

一个有效的方法是使用变换$$z=y'^2$$将原来的二阶方程转化为一阶方程。

将原方程对$x$求导得到$$y'''+(p(x)+2y''/y')y''+q(x)y'+q'(x)y=0$$用变换$z=y'^2$，得到$$y''=\frac{z'}{2\sqrt{z}}$$代入方程中，可以得到一个一阶非线性微分方程：$$zz''+(p(x)+2\sqrt{z})z'+q(x)z+r(x)=0$$这个方程可以用常数变易法来求解。

一类二阶变系数微分方程的解

第３第３期Ｏ卷
２１００年６月
惠州学院学报（自然科学版）
ＪＲＮＡＬＯＦＨＵＺＯＵＩＨ０ＵＵＮＩＥＲｎＹＶＳ
Ｖｏ．３．Ｎｏ３１０．
ＪＩ００ｕＬ２１
一
类二阶变系数微分方程的解
曹友娣，刘玉彬
Ｙｅ ‘ （＋２］’ ’ ，（，为数。＝－ｃｃｅ‘ ）ｃｃ常）＂ｌｄｌ２山Ｉ
法国数学家刘维尔（ｉｕｉｅ在１４年证明了著名的黎卡提（ｉａ）方程Ｌｏｖｌ）ｌ８１Ｒｃｔｃｉ
一
Ｙ＝Ｐ）＋Ｑｘｙ＋尺（（）（）（．）１２般不可积，即不能用初等积分法求解。（文）均给出了待定函数满足定理条件时方程（．）的通积分。：１２如
关键词：系数微分方程；变变量代换；ｉａｉＲｃｔ方程；ｃ解中图分类号：１５２０７．１文献标识码：Ａ文章编号：６１５３（００００１０１７ — ９４２１）３— ０９— ７
１引言
二阶线性齐次微分方程无论是在微分方程理论上还是在应用上都占有重要位置。对常系数的线性微分方程的通解结构，在一般的著作文中有十分完美的讨论。目前讨论比较多的是二阶变系数线性微分方程解的问题，但是对此类方程却无通用的求解方法。因此二阶变系数微分方程的求解问题一直是人们感兴趣的研究课题，不少的数学工作者总结了多种二阶变系数微分方有程的求解方法（见文）其中刘琼在文中讨论了方程，

一类二阶变系数线性常微分方程的通解

（Ｂ＝ｎ的条件时可用初等积分法求其通解，并推出了求解公式．Ａ）ｉ［关键词］通解；初等积分法；二阶线性常微分方程［图分类号］０７．［献标识码］Ａ［章编号］１７３０（０７００９０中１５１文文６１— ３３２０）３— ００— ３虽然二阶变系数线性常微分方程通解的结构已经比较清楚，其解等于它的齐次方程的通解加上它自身的一个特解．但是，中哪些方程可用初等积分法求解和如何求解的问题尚未解决，其在实践中能用初等积分法求解的相对不多，文献［６介绍了部分这样的方程，１— ］文献［］７介绍了与本问题类似的三阶方程的解法．本文在拓宽条件的基础上探讨了另外一类可用初等积分法求解的二阶方程，推出了相应的求解公式，并举例加以说明．为了叙述方便，记二阶变系数线性常微分方程为： ” Ａ，＋ＢＹ＋）ｙ：Ｄ（）１
［基金项目】云南省教育厅基金项目（６０１０Ｙ４Ａ）
［作者简介】李世云（９４一）男，文山人，１５，云南教授，山民族研究所兼职研究员，文主要从事微分方程研究；林清梅（９０一）１８，
女，福建泉州人，助教，硕士，主要从事微分方程研究．
用与文献［］７类似的方法可以证明如下引理：
引理
Ｙ＝ｙｘ是方程（）（）１的解的充分必要条件是： ∈，Ｖ，ｇ：ｇｘ（）和ｈ＝ｈｘ，（）使得
）：，ｈ，譬．，：且）： ”
定理
在二阶线性常微分方程Ｙ＋Ａ，＋Ｂ ” ）ｙ＝Ｄ中，Ｂ ≠０ＡＢＤ都在（，）阶可导，若，、、口ｂ二且存在ｍ ∈Ｒ使得，

05 第五节二阶线性微分方程解的结构

第五节二阶线性微分方程解的结构分布图示★ 二阶线性微分方程的概念二阶线性微分方程的解的定理★ 定理1 ★ 函数的线性相关与线性无关★ 定理2 ★ 定理3★ 定理4 ★ 定理5 ★ 例1★ 解线性微分方程的降阶法★ 例2 ★ 常数变易法 ★ 例3★ 线性微分方程的解法小结★ 例4★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题7—5 ★ 返回内容要点一、二阶线性微分方程解的结构二阶线性微分方程的一般形式是)()()(22x f y x Q dx dy x P dx y d =++， (5.1) 其中)(x P 、)(x Q 及)(x f 是自变量x 的已知函数，函数)(x f 称为方程(5.1)的自由项. 当0)(=x f 时, 方程(5.1)成为0)()(22=++y x Q dx dy x P dx y d ， (5.2) 这个方程称为二阶齐次线性微分方程，相应地，方程(5.1)称为二阶非齐次线性微分方程.定理1 如果函数)(1x y 与)(2x y 是方程(5.2)的两个解, 则)()(2211x y C x y C y += (5.3)也是方程(5.2)的解，其中21,C C 是任意常数.定理2 如果)(1x y 与)(2x y 是方程(5.2)的两个线性无关的特解，则)()(2211x y C x y C y +=就是方程(5.2)的通解，其中21,C C 是任意常数.定理3 设*y 是方程(5.1)的一个特解，而Y 是其对应的齐次方程(5.2)的通解，则 *+=y Y y (5.4)就是二阶非齐次线性微分方程(5.1)的通解.定理4 设*1y 与*2y 分别是方程)()()(1x f y x Q y x P y =+'+''与 )()()(2x f y x Q y x P y =+'+''的特解，则**+21y y 是方程 )()()()(21x f x f y x Q y x P y +=+'+'' (5.5)的特解.定理5 设21iy y +是方程)()()()(21x if x f y x Q y x P y +=+'+'' (5.6)的解，其中)(),(),(),(21x f x f x Q x P 为实值函数，i 为纯虚数. 则1y 与2y 分别是方程)()()(1x f y x Q y x P y =+'+''与 )()()(2x f y x Q y x P y =+'+''的解.二、二阶变系数线性微分方程的一些解法对于变系数线性方程，要求其解一般是很困难的. 这里我们介绍处理这类方程的两种方法. 一种是利用变量替换使方程降阶——降阶法；另一种是在求出对应齐次方程的通解后，通过常数变易的方法来求得非齐次线性方程的通解——常数变易法.对于二阶齐次线性方程, 如果已知其一个非零特解, 作变量替换,1⎰=zdx y y , 就可将其降为一阶齐次线性方程, 从而求得通解. 并有下列刘维尔公式.1)(21211⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=⎰-⎰dx e y C C y y dx x P 三、常数变易法在求一阶非齐次线性方程的通解时, 我们曾对其对应的齐次方程的通解, 利用常数变易法求得非齐次方程的通解. 这种方法也可用于二阶非齐次线性方程的求解.设有二阶非齐次线性方程),()()(22x f y x Q dx dy x P dxy d =++ (5.10) 其中)(),(),(x f x Q x P 在某区间上连续, 如果其对应的齐次方程0)()(22=++y x Q dx dy x P dx y d 的通解2211y C y C y +=已经求得, 那么也可通过如下的常数变易法求得非齐次方程的通解.设非齐次方程(5.10)具有形如2211*y u y u y += (5.11)的特解, 其中)(),(2211x u u x u u ==是两个待定函数, 将上式代入原方程从而确定出这两个待定函数.例题选讲例 1 已知x x x x x x x e e xe y e xe y e xe y ---+=-=+=23221,,是某二阶非齐次线性微分方程的三个特解：（1）求此方程的通解；（2）写出此微分方程；（3）求此微分方程满足6)0(,7)0(='=y y 的特解.解 (1) 由题设知, ,232y y e x -=21y y e x -=-是相应齐次线方程的两个线性无关的解,且,21x x e xe y +=是非齐次线性方程的一个特解，故所求方程的通解为 y x x x x e C e C e xe -+++=2202x x x e C e C xe -++=221，其中.101C C +=(2) 因y x x x e C e C xe -++=221 ①所以x x x x e C e C xe e y --++='2212②x x x x e C e C xe e y -+++=''22142从这两个式子中消去,,21C C 即所求方程为;22x x xe e y y y -=-'-''(3) 在①, ②代入初始条件,6)0(,7)0(='=y y 得,721=+C C 61221=+-C C ⇒,41=C ,32=C从而所求特解为 .342x x x xe e e y ++=-降阶法例2（E01）已知x x y sin 1=是方程0222=++y dx dy x dxy d 的一个解, 试求方程的通解. 解作变换⎰=,1zdx y y 则有dx dy ⎰+=,11zdx dx dy z y 22dx y d ⎰++=.221211zdx dx y d z dx dy dx dz y 代入题设方程，并注意到1y 是题设方程的解,有,022111=⎪⎭⎫+ ⎝⎛+z x y dx dy dx dz y 将1y 代入，并整理,得x z dx dz cot 2-=⇒.sin 21xC z = 故所求通解为y ⎰=zdx y 1⎢⎣⎡⎥⎦⎤+=.sin sin 221C dx x C x x )cot (sin 21C x C x x +-=).cos sin (112x C x C x -= 其中21,C C 为任意常数. .Cx dxdy =从而得到对应齐次方程的通解.221C x C y += 为求非齐次方程的一个解,*y 将21,C C 换成待定函数,,21u u 设,221u x u y +=*根据常数变易法, 21,u u 满足下列方程组⎪⎩⎪⎨⎧='⋅+'='⋅+'x u u x u u x 212120201⇒,211='u .2122x u -=' 积分并取其一个原函数得,211x u =.632x u -=于是，题设原方程的一个特解为 *y 1221⋅+=u x u 6233x x -=.33x = 从而题设方程的通解为.33221x C x C y ++=常数变易法例3（E02）求方程x dx dy x dxy d =-122的通解. 解先求对应的齐次方程的通解.由0122=-dx dy x dx y d dx dy x dx y d 122＝ dx xdx dy d dxdy 11=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅ ，||ln ||ln ln C xdxdy += 即 .Cx dx dy = 从而得到对应齐次方程的通解.221C x C y +=为求非齐次方程的一个解,*y 将21,C C 换成待定函数,,21u u 设,221u x u y +=*则根据常数变易法，21,u u 满足下列方程组⎩⎨⎧='⋅+'='⋅+'x u u x u u x 212121201.21,21221x u u -='=' 积分并取其一个原函数得 .6,21321x u x u -== 于是，题设原方程得一个特解为.3621333221x x x u x u y =-=⋅+⋅=* 从而题设方程的通解为 .33221x C x C y ++=例4（E03）求方程1111-=--'-+''x y x y x x y 的通解. 解因为,01111=---+xx x 易见题设方程对应的齐次方程的一特解为,1x e y =由刘维尔公式求出该方程的另一特解2y dx e e e dx x xx x ⎰--⎰=121,x = 从而对应齐次方程的通解为,21x e C x C y +=可设题设方程的一个特解为,11*x e u x u y += 由常数变易法, 21,u u 满足下列方程组⎪⎩⎪⎨⎧-='+'='+'102121x u e u u e u x x x ⇒,11-='u x xe u -='2 积分并取其一个原函数得,1x u -=',2x x e xe u ----=' 于是，题设方程的通解为 .1221---+=x x e C x C y x课堂练习1.下列函数组在其定义域内哪些是线性无关的?).(,)2(;,)1(22b a e e xe e bx ax x x ≠2.给出n 阶线性微分方程的n 个解, 问能否写出这个微分方程及其通解?3.已知x e x y =)(1是齐次方程02=+'-''y y y 的解, 求非齐次方程x e x y y y 12=+'-''的通解.。

一类二阶变系数线性微分方程的新解法

~ ,方程(4)就变为伯努利方程,因而可解。即设 z ~ ( x ) 是方程(4)的一个特解,则做变换: ~ z
可将(4)化为:
dz ~ ( x ) p ( x )) z z 2 (2 dx
(5)
①作者简介:张道祥(1979,3—),男,汉,安徽天长人,博士,副教授,研究方向:微分方程理论及其应用。李亭亭(1992,3—),女,汉,安徽人,本科,在读博士,研究方向:环论与同调代数。
New Method on Solving a kind of Second-order Linear Differential Equations With Variable Coefficients
Zhang Daoxiang Li Tingting
(School of Mathematics and Computer Science, Anhui Normal University, Wuhu Anhui, 241002, China) Abstract: The second order linear differential equation plays an important role in the theory of ordinary differential equations. There have several methods on solving second order linear differential equation with constant coefficients, such as eigenvalue method, comparative coefficient method, Laplace transform method. While it has no normal method to solve second order linear differential equation with variable coefficients. By using the variable substitution method, the general solutions of secondorder linear differential equations with variable coefficients are obtained. Moreover, two examples are given to illustrate the results. Key Words: Second-order linear differential equation with variable coefficients; General solution; Riccati Equation

求解二阶微分方程

求解二阶微分方程二阶微分方程是指形式为$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$的方程，其中$p(x),q(x),f(x)$为已知函数，$y$是未知函数。

解二阶微分方程的一般思路是先求出其对应的齐次方程的通解，再找一个特解，将它们相加即可得到原方程的通解。

首先，我们来解齐次方程$y''+p(x)y'+q(x)y=0$。

设其解为$y=h(x)$，将其代入原方程得到：$$h''(x)+p(x)h'(x)+q(x)h(x)=0$$这是一个二阶线性非齐次常系数微分方程，可以使用常数变易法求解。

设$h(x)=e^{rx}$，代入原方程得到：$$r^2e^{rx}+p(x)re^{rx}+q(x)e^{rx}=0$$化简后得：$$r^2+p(x)r+q(x)=0$$这是一个关于$r$的一元二次方程，我们可以解得$r_1$和$r_2$。

此时，方程的两个线性无关的解分别为$h_1(x)=e^{r_1x}$和$h_2(x)=e^{r_2x}$。

如果$r_1$和$r_2$是相等的实数，那么$h_1(x)$和$h_2(x)$是线性相关的，此时只取一个解。

如果$r_1$和$r_2$是两个不同的实数，那么它们的线性组合$c_1h_1(x)+c_2h_2(x)$也是齐次方程的解，其中$c_1$和$c_2$是任意常数。

如果$r_1$和$r_2$是共轭复数，即$r_1=\alpha+i\beta$和$r_2=\alpha-i\beta$，那么$e^{r_1x}$和$e^{r_2x}$都是齐次方程的解。

我们可以通过欧拉公式将其化为正弦和余弦的形式，即：$$e^{\alpha x}(\cos(\beta x)+i\sin(\beta x)),\ e^{\alphax}(\cos(\beta x)-i\sin(\beta x))$$将这两个解合并为一个复数解$h(x)=e^{\alpha x}(c_1\cos(\beta x)+c_2\sin(\beta x))$。

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所＋ｚ，ｆｄ．故解以一ｃｚｚ通为一ｚ，
２ｅＹ一１ｚ十２２．ｅ一１。＋
．
例３求（－１ｙ－ｘｘ－）ｙ＋一（－１的通解．ｘ）ｅ解方程变形为ｙ＇ｔ，
ｚ
，
３＋ｌ一ｚ１，定２取（一，能等。７（）由理，ｒ）１使式一／＿一ｅ选－就ｚ
ｓ）一一），（一（ｚ一＝
＋１ — 上一０成立，＋Ｚ —— 恒且
．
故原方程的通解为
一
｛』＿『１ｅｚｃｃＪ［１Ｌ一）＿＋ｆｆ］ｄ』（ｄ］｝一＋
［参考文献］
［］丁同仁，承治．微分方程教程［．京：等教育出版社，０１１李常Ｍ］北高２０［］庄万．微分方程习题解Ｅ．南：２常Ｍ］济山东科学技术出版社，０３２０．
．ｙ一
例方一去６ｙ８一的解２求程（＋ｚ／ｚ０通．）＋
解因为 ———
１一２＋ｚ．ｚ６６１８ｆ
＝一
、８５，ｘ
一一３由定理１原方程可化为 √ ．，
ｄｔ一２ｄ。 — ｏ，２ｔ＋，
（．Ｂａｉ１ｓｃＣｏｕｓｓＤｅｒｍｅｆＧｕｇｚｏｕＰａｕＰｏｌｔｃｉｒｅｐａｔｎｔｏａｎｈｎｙｙｅｈｎｃ，Ｇｕｎｇｈｏａｚｕ，Ｇｕａｇｄｇ１４ｎｏｎ５１８３，Ｃｈｉａ；ｎ
因为 — ｒ）方程（）解，（是３的即（＋ｐ（ｒ（＋ｑｚ）（三Ｏ所以ｚ））ｚ）（ｒｚ）三，三
ｒ）Ｈｚ）（ｒ（＋（ｒＩ）（一厂（．（Ｕ（＋２ｚ）ｚ）（））ｚｚ）
令 “ （），ｚ一即得到一阶线性方程
Ｙ一ｒ（）（＋ｒｚ）（，１ｚ）ｚ（ｚ）一ｒ）（＋２ｚ）￡（＋（（（ｚ）ｒ（ｚ）））
代人方程（）１得
ｒｚ）Ｉ＋２ｚ）ｚ）ｐ（ｒｘ））（（＋ｐ（／（＋ｑ）（）（一－）（ “ （）ｒ（ “ （＋ｘ）（ｕ（＋ｚ）ｚｚ）ｚ）（ｒＩ）ｚ）厂ｚ（．
研究
￣ｐ（ｙ＋ｑｚ）－ｘ）（一－（，厂ｚ）（）１
（中（）ｇｚ，）连续函数）其．，（），（为ｚ满足一定条件下的求解情况．
２几个结论
定理１设方程（）足条件１满
一
（数）常，
：ｃｅ十等ｚＣ－ｚ－（一）．１ｘｘｅｘｅ
例４解方程。Ｕ－ｙ－ｙＯｙｑｘ＝．解由推论２原方程的通解为，
— ｘｐ
｛忐
．
ｄｘ｛ｄ）ｅ熹（）＝ｘｐ
＋一Ｓｚ
一ｚ（ｅ１ｉ十２）
ＳｖｒｌＫｉｄｆＳｃｎ — ｒｒＶａｉｂｅＣｏｆｉｉｎｔｅｅａｎｓｏｅｏｄｏｄｅｒａｌｅｆｃｅ
ＤｉｆｒｎｉｌＥｑｕｔｏｏｕｉｎｆｅｅｔａａｉｎＳｌｔｏ
ＦＡＮｉ — ｉ．ＢＩＺｈａ — Ｘａｏｑｎｏｈｕｉ
＋户（）＋ｑｚ）（一０（）４
推论３若ｐｚ）ｑｚ是关于ｚ的连续函数，（，（）且（）－ｑｘ（ｅ～１＋１则方程ｚ一（）ｃ），
解为
ｖ一。
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，
１声（）０一． ≠ ．ｚ
Ｌｑ（ｊｃｘ）
其ｅ＿；茎则程，为中｛，；：ｃ化一二：方ｉ可
。
ｄｙ．Ｃｙ．。ｄ
十
－
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ｆ（）（）
‘
证
今
（一ｚ－）ｆ
代入（）得１，
ｄ＝－，ｄ一ｚ＿Ｚ（）譬ｅｚ，ｙ＋（・ｑ），
ｅ出。＋ｄ＋Ｙ＝２ ‘ 一＝＝，ｔｇ（）’ ｚ－
这已经是可积常系数二阶线性微分方程．定理２若存在ｒ）等式ｒ（＋夕（）（）ｒ（－ｑｘ一０则方程（）通解为（使）ｚｒｚ＋。）￣（），－１的
，为可降阶的二阶微方程，之得此解
ｆ￣ｅ）］』ｚ出ｚｃ－ｃｔ｛ｌｒ￣／ “ ｄｚｚ（ｌ（［ｅ＋］＋｝ｘＳｘ）（）ｄｘａ－ｄ．
＋是＋Ｚ一厂ｚ）ｅ“ ｚ（Ｊ
，
若ｒ）＝（＝一去［（）ｋ￣／＋（）（））（）（＝－］（）ｚｒ＋ｒ（＋ｑ１一ｚｚ常数）将其代人（）则方程（），３，１化为
在定理２中令ｒｚ一即得如下结论．（）推论２若户ｚ一－ｘ（）则方程（）通解为（）ｑｘ，１的
— ｚ
｛１ｆ．厂）ｄｃｃ＿ｅｘ』（ｅｚｚ＋）ｆ）－＋］ｐ［ｚ（￣ｄ．
第２７卷第３期
２１０１年６月
大学数学
ＣｏＬＬＥＧＥＡＴＨＥＭＡＴＩＭＣＳ
Ｖｏ＿ｌ２７，． № ３
Ｊｎ２１方程的求解
范小勤，毕朝晖
（．州番禺职业技术学院基础课部，东广州５１８；２南京交通职业技术学院图书馆，苏南京２１８）１广广１４３．江１１８
证在（），２中令二１代人（）得ｒ（）ｐ（ｒｚ＋ｒ（＋ｑｚ＝ｏ再令ｒ）＝＝４，ｚ＋）（））（）＝，＝（一ｒｚ一ｚｒｚ＋ｑｚ，以，ｚ＋ｒ１＋ｒ（）＝，为伯努利方程，解为（）（）（）（）所ｒ（）（）ｚ＝０此ｚ＝通
例５已知
对应的齐次方程有一解为ｒ）＿ｎ求非齐次方程的通解．（一ｓ＿ｘｉ＝
，
解由理，＋ｃ・ｃｚ号，解定３２ｔｚ。，一＋通为有。 — ｔ得－
ｖ＿厂一ＣＳ＇一：Ｏ．＋ｓｎＺ十ｉｚ．ｚ・
这已经是一个常系数二阶线性微分方程．
在定理２中令ｒ）ｒ常数）即得以下结论．（ — （，
推论１若存在常数ｒ得ｒ＋ｒ）（一０则方程（）使（十ｑ），１的通解为
— ｅ
｛¨ ［（ｅｄｃｄｃ』』ｚｚｚｅ＿厂）吖＋］＋）．
一ｅ
）ｅ一Ａｄｃ， “ （ｅ＋］＋）｛ “ Ｅ “ ｄｚ
，
其中ｓ：一（～ｒｚ．ｒ）一百（）是且／（）（））（）若（一１（ｚ一）ｚ＋（）（）ｚｒ１＋（）ｑｚ一常数）ｚｚ＋（）（
＋＋）．（＝
２２Ｏ
大学数学
第２７卷
３实
例
例方一２１解程导＋一２解（一（＋（＝一＋一，忌０＝，＝ｚ一＋ｔ所ｚ）４ｚ２ｚ ≥ ０＝，ｏ２詈ｆ十，以ｚｑ））４取ｚ则，ｚ（十ｚｃ．荨ｃ＋）ｚｚ
１引
言
变系数二阶线性微分方程在纯数学、用数学、学、理学及工程技术中有着重要的地位．于它应力物关
的通解结构有十分完美的结论，求解却无一般方法．但本文从解常系数或可降阶的二阶线性方程的方法
［摘要］给出了可化为常系数或可降阶的变系数二阶微分方程的条件及在此条件下求变系数微分方程
的解．
［键词］变系数；系数；分方程；解关常微求
［图分类号］０１５１中．７［献标识码］ｃ文［章编号］１７ — ４４２１）ｇ００ — ４文６２１Ｓ（０１Ｏ一２００
第３期
范小勤，：类二阶变系数微分方程的求解等几
２３Ｏ
１］王波．用待定法求解变系数微分方程［］焦作大学学报，０４１（）９ — １０－３利Ｊ．２０，８７：９０．