几类二阶变系数常微分方程解法论文
几类二阶变系数常微分方程解法论文二阶变系数常微分方程几种解法的探讨胡博（111114109）（湖北工程学院数学与统计学院湖北孝感 432000）摘要：常系数微分方程是我们目前可以完全解决的一类方程，而求变系数常微分方程的通解是比较困难的，一般的变系数常微分方程目前是还没有通用解法的。
本文主要对二阶变系数常微分方程求解进行了探究，利用特解、常数变易法、变量变换等方法求出了某些二阶变系数线性微分方程的通解，并初步归纳了二阶变系数线性方程的求解基本方法及步骤。
关键词：二阶变系数线性微分方程；变换；通解；特解To explore the solution of some ordinary differential equations of two order variable coefficientZhang jun(111114128)(School of Mathematics and Statistics Hubei Engineering University Hubei Xiaogan 432000)Abstract:Differential equation with constant coefficients is a class of equations we can completely solve the present general solution, and change coefficient differential equations is difficult, the variable coefficient ordinary differential equation is at present thereis no general solution. This paper mainly explores the ordinary differential equation with variable coefficients of order two, the use of special solutions, variation of constants, variable transform method to extract some two order linear differential equation with variable coefficients of the general solution, and summarizes the two basic methods for solving the second-order linear equations with variable coefficients and steps.Key words:Two order variable coefficient linear differential equations; transformation; general solution; special solution0 引言二阶变系数常微分方程y′′+p(x)y′+q(x)y=0及其特征值问题是求解数学物理方程的基础。
可见二阶变系数常微分方程在物理学中应用是非常广泛的。
但一般二阶变系数微分方程的求解比较困难，至今仍没有通用解法，因此探讨二阶变系数微分方程的解法是非常有必要的。
本文主要利用特解、常系数变法、变量变换等方法来求解某些二阶变系数微分方程的通解，给我们在日后求解二阶变系数微分方程的过程提供了方便。
1 具有特定结构的二阶变系数常微分方程二阶变系数齐次线性微分方程：f(x)y′′+p(x)y′+q(x)y=0(1.1)，(其中f(x),p(x),q(x)为连续函数)。
1.1满足条件f(x)r2+p(x)r+q(x)=0,r为常数类型时，方程(1.1)的通解在求(1.1)通解前，我们先求二阶常系数齐次线性方程ay′′+by′+cy=0(其中a,b,c为常数且a≠0) (1.1.1)由线性微分方程通解结构定理【1】知，若y1(x),y2(x)是(1.1.1)的两个线性无关的特解，则其通解为y=c1y1(x)+c2y2(x).假设y=e rx是方程是方程(1.2)的一个特解，则讨论r满足的条件对y=e rx两边求导得：y′=re rx,y′′=r2e rx将其代入方程(1.2)得：(ar2+br+c)e rx=0,由于e rx≠0，则可知ar2+br+c=0(1.1.2)当r为(1.3)的一个解时，y=e rx必为(1.2)的解由此很容易求出方程(1.2)的通解。
对比方程(1.1)，(1.1.1)，易知其结构类似，且方程(1.1.1)是(1.1)的特殊形式。
所以我们类比上述求解常系数方程的方法，猜想假设(1.1)有一个特解y=e rx，将y=e rx，y′=re rx,y′′=r2e rx代入方程(1.1)得：[f(x)r2+p(x)r+q(x)e rx]=0其中显然e rx≠0，则有：f(x)r2+p(x)r+q(x)e rx=0 (1.1.3)此时若对f(x)，p(x)，q(x)存在常数r使得(1.1.3)对一切x恒成立，则方程(1.1)有一特解y1=e rx,此时要想求出方程(1.1)的通解，还需要找出另一个特解y2，且y1，y2是线性无关的。
联想到常数变易法，易想到假设y 2=u (x )e rx 也是方程(1.1)的一特解， 则y′2=[u′(x )+ru (x )]e rx ,y′′2=[u′′(x )+2ru′(x )+r 2u (x )]e rx将y 2，y ′2， y ′′2代入方程(1.1)得：f (x )u ′′(x )+[2rf (x )+p (x )]u ′(x )+[f (x )r 2+p (x )r +q (x )]u (x )=0由于f (x )r 2+p (x )r +q (x )=0⇒ f (x )u ′′(x )+[2rf (x )+p (x )]u ′(x )=0 (1.1.4) 令h (x )=u ′(x ),则h′(x )=u ′′(x ),将方程(1.5)降为一阶线性⇒1h (x )dh (x )=[−2r −p (x )f (x )]dx ⇒h (x )=e −2rx−∫p (x )f (x )dx 即得出du dx =h (x )=e −2rx−∫p (x )f (x )dx 解得u (x )=∫e−2rx−∫p (x )f (x )dx dx 即得出方程(1.1)另一特解y 2=u (x )erx =e rx ∫e −2rx−∫p (x )f (x )dx dx ， 由于y 2y 1=∫e −2rx−∫p (x )f (x )dx dx ，显然y 1，y 2是线性无关的， 最终得出方程(1.1)的通解为：y =c 1y 1(x )+c 2y 2(x )=[c 1+c 2∫e −2rx−∫p (x )f (x )dx dx]e rx结论（1）：二阶变系数齐次线性微分方程f (x )y ′′+p (x )y ′+q (x )y =0，满足条件f (x )r 2+p (x )r +q (x )=0 ，r 为常数情况下，方程的通解为y =[c 1+c 2∫e −2rx−∫p (x )f (x )dx dx]e rx ,其中c 1，c 2为常数例1求方程xy ′′−2(x +1)y ′+4y =0的通解解：由题可知f (x )=x,p (x )=−2x −2q (x )=4,则由f (x )r 2+p (x )r +q (x )=0⇒xr2−2(x+1)r+4=0⇒(r−2)(rx−2)=0因为r为常数，所以易得r=2，则原方程的一个特解为：y1=e2x假设原方程另一特解y 2=u(x)e2x,( u(x)不为常数)则有y′2=[u′(x)+2u(x)]e2xy′′2=[u′′(x)+4u′(x)+4u(x)]e2x将y2，y′2，y′′2代入原方程得：x[u′′(x)+4u′(x)+4u(x)]e2x−2(x+1)[u′(x)+2u(x)]e2x+4u(x)e2x=0整理得：u′′(x)u′(x)=−2+2x解得u(x)=−12(x2+x+12)e−2x即y2(x)= u(x)e2x=−12(x2+x+12)显然y1=e2x y2(x)= u(x)e2x=−12(x2+x+12)，是线性无关的故原方程通解为：y=c1e2x−12(x2+x+12)1.2 满足条件f(x)r′(x)+f(x)r2(x)+p(x)r+q(x)=0,r(x)为连续可导函数，方程(1.1)的通解要求方程(1.1)的通解同上，主要是要求出方程(1.1)的两个线性无关的特解，类比1.1的求法，猜想方程(1.1)由一特解y=e∫r(x)dx,则y′=r(x)e∫r(x)dx,y′′=r′(x)e∫r(x)dx+r2(x)e∫r(x)dx将y，y′，y′′代入方程(1.1)f(x)y′′+p(x)y′+q(x)y=0中得：e∫r(x)dx(f(x)r′(x)+f(x)r2(x)+p(x)r+q(x))=0由于e∫r(x)dx≠0，故有f(x)r′(x)+f(x)r2(x)+p(x)r+q(x)=0(1.2.1)此时若对已知f(x)，p(x)，q(x)而言存在函数r(x)能使(2.1)式恒成立，则可知方程(1.1)必有一特解y1=e∫r(x)dx由常数变易法可设方程(1.1)的另一特解y2=v(x)e∫r(x)dx,( v(x)为非常数，且y1，y2线性无关)将y 2=v (x )e ∫r (x )dx 代入方程(1.1)，整理可得：f (x )v ′′(x )+(2f (x )r (x )+p (x ))v ′(x )+(f (x )r ′(x )+f (x )r 2(x )+p (x )r +q (x ))v (x ) =0由(2.1)式知f (x )r ′(x )+f (x )r 2(x )+p (x )r +q (x )=0，故有：f (x )v ′′(x )+(2f (x )r (x )+p (x ))v ′(x )=0 也成立 (1.2.2) 方程 (2.2) 不含v (x )项，则可降为一阶线性方程，令v ′(x )=g (x ),则方程 (1.2.2)可化为：f (x )g ′(x )+(2f (x )r (x )+p (x ))g (x )=0⇒g (x )=e −∫2f (x )r (x )+p (x )f (x )dx 即得出v ′(x )=g (x )=e−∫2f (x )r (x )+p (x )f (x )dx ， ⇒v (x )=∫e−∫2f (x )r (x )+p (x )f (x )dx dx 故y 2=v (x )e ∫r (x )dx =e ∫r (x )dx ∙∫e −∫2f (x )r (x )+p (x )f (x )dx dx因此方程(1.1)的通解为y =c 1y 1(x )+c 2y 2(x )=e∫r (x )dx (c 1+c 2∫e −∫2f (x )r (x )+p (x )f (x )dx dx)结论2：二阶变系数齐次微分方程(1.1)满足条件f (x )r ′(x )+f (x )r 2(x )+p (x )r +q (x )=0，则其通解为y =e ∫r (x )dx (c 1+c 2∫e −∫2f (x )r (x )+p (x )f (x )dx dx)例2：求y ′′−2sin x y ′−(cos x −sin 2(x ))y =0的通解解：由题知f (x )=1,p (x )=−2sin x ,q (x )=−cos x +sin 2(x )则得出：r ′(x )+r 2(x )−2sin x r (x )−cos x +sin 2(x )=0r ′(x )−cos x +(y −sin x )2=0易得r (x )=sin x,则由结论2得原方程通解为：y =e ∫sin xdx (c 1∫e −∫(2sinx−2sinx )dx dx +c 2)=e −cosx (c 1x +c 2)1.3 满足条件f(x)r′(x)+f(x)r2(x)+p(x)r+q(x)=0,的非齐次变系数常微分方程f(x)y′′+p(x)y′+q(x)y=g(x)(1.3.1)的通解前面1.1、1.2都是讨论的齐次变系数微分方程，而1.3是对应的非齐次微分方程，故可用常数表变易法求解方程由齐次方程方程(1.3.1)。
几类二阶变系数常微分方程解法论文
二阶变系数常微分方程几种解法的探讨胡博（111114109）（湖北工程学院数学与统计学院湖北孝感 432000）摘要：常系数微分方程是我们目前可以完全解决的一类方程，而求变系数常微分方程的通解是比较困难的，一般的变系数常微分方程目前是还没有通用解法的。
本文主要对二阶变系数常微分方程求解进行了探究，利用特解、常数变易法、变量变换等方法求出了某些二阶变系数线性微分方程的通解，并初步归纳了二阶变系数线性方程的求解基本方法及步骤。
关键词：二阶变系数线性微分方程；变换；通解；特解To explore the solution of some ordinary differential equations of two order variable coefficientZhang jun(111114128)(School of Mathematics and Statistics Hubei Engineering University Hubei Xiaogan 432000)Abstract:Differential equation with constant coefficients is a class of equations we can completely solve the present general solution, and change coefficient differential equations is difficult, the variable coefficient ordinary differential equation is at present thereis no general solution. This paper mainly explores the ordinary differential equation with variable coefficients of order two, the use of special solutions, variation of constants, variable transform method to extract some two order linear differential equation with variable coefficients of the general solution, and summarizes the two basic methods for solving the second-order linear equations with variable coefficients and steps.Key words:Two order variable coefficient linear differential equations; transformation; general solution; special solution0 引言二阶变系数常微分方程y′′+p(x)y′+q(x)y=0及其特征值问题是求解数学物理方程的基础。
类二阶变系数常微分方程的初等解法开题报告
年 月 日
备 注
（5） 一类二阶变系数常微分方程的车灯解法的应用。
2. 进度安排：
1.制定工作计划，建立组织机构2010年10月10日—2010年10月15日
2.确定指导老师，学生分组名单2010年11月16日—2010年11月20日
3.公布论文题目，学生针对选题2010年11月21日—2010年11月30日
4.学生查阅资料，拟定论文提纲2010年12月01日—2011年02月26日
20(03): 108-112.
[5]胡劲松，郑克龙.一类二阶变系数线性微分方程的解法[J]. 重庆工商大学学报，自然科学版,2004, 21(5) : 429-430.
[6]张清芳,库在强.用观察法求某些二阶变系数齐次方程的通解[ J] .高等数学研究, 2005, 8( 3) : 47-48.
[7]杨淑娥,焦琳.二阶微分方程的非常规解法[J].徐州工程学院报,2005(03): 83-86.
三、现有基础和具备的条件
1.现有基础：
（1）本人通过大学四年的学习，具有撰写本课题的扎实的专业理论知识基础。
2.具备的条件：
（1）学校图书馆有许多关于本课题的资料，网上也可以查到相关资料，本人在选题之前已做了大量的前期准备工作，收集了相关资料。
（2）担任本人的指导老师具有多年的教学经验和毕业论文指导经验，对本课题的研究能进行深入和细致的指导。
3.参考文献：
[1]丁同仁,李承治.常微分方程教程[M].北京:高等教育出版社, 2001.
[2]王高雄,周之铭等.常微分方程[M].北京:高等教育出版社, 2001.
[3]李鸿祥.两类二阶变系数线性微分方程的求解[J].高等数学研究, 2002, 5 (2) : 10-13.
一类二阶变系数线性微分方程解题方法探究
一类二阶变系数线性微分方程解题方法探究1. 引言1.1 研究背景二阶线性微分方程是微积分中的重要内容，通过对其求解可以研究各种物理现象和工程问题。
一般情况下，二阶线性微分方程的系数是常数，但在实际问题中，系数往往是变化的，这就是变系数线性微分方程。
变系数线性微分方程是一类具有很高难度的微分方程，在传统的数学建模和求解中往往难以得到简洁的解析解。
目前，关于变系数线性微分方程的研究主要集中在数值求解和特殊情况下的解法探究上，而对于一般情况下的解法仍存在一定的挑战。
有必要对一类二阶变系数线性微分方程的解题方法进行深入探究，以完善相关理论和方法，推动微分方程领域的发展和应用。
1.2 研究目的本文旨在探究一类二阶变系数线性微分方程的解题方法，旨在通过研究该类微分方程的一般形式，特殊情况下的解法探究以及变系数对解的影响分析，深入理解微分方程中变系数的作用机制。
本研究旨在通过数值方法求解，探讨在实际应用中如何有效地求解该类微分方程，从而为工程问题中的应用提供理论支撑。
通过实例分析，将具体问题与理论相结合，验证所提出的解题方法的有效性和实用性。
最终，通过对变系数线性微分方程的解析解与数值解进行对比，分析方法的优缺点，探讨未来研究的方向，为这一领域的深入研究提供基础。
1.3 相关工作相关工作是指已经在变系数线性微分方程解题方法方面取得一定成果的学者们的工作。
在这个领域中，已经有许多学者对不同类型的二阶变系数线性微分方程进行了探究与解析，并提出了各种解题方法。
某些学者使用变换方法将一个复杂的二阶变系数线性微分方程化简为一个更容易求解的形式；另一些学者则采用特殊函数法或级数解法来求解特定类型的变系数微分方程。
还有学者尝试将变系数微分方程转化为常系数微分方程来求解，以简化计算过程。
一些研究者也尝试使用计算机数值模拟的方法来求解二阶变系数线性微分方程，通过数值求解可以得到更精确的数值解，并且可以应用于实际工程和科学问题中。
对二阶变系数线性微分方程求解法的研究
“ （ ） ＝ 。
（ ５ ）
令ｔ ＝ ｌ ｎ ｘ ，则 ｘ ＝ ｅ ， （ ５ ）式 化为
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殊型 的二 阶变系数线性微分方程。本文研 究了三种满足特殊条件的二 阶变系数微分方程，在此基础上，研究一般型的二阶变系数线 性微分方程。从方程的 自身特点出发，巧妙构造结构 ，利用降阶法把二阶变系数线性微分方程的求解问题转嫁为一阶线性微分方程 的 求解 问题 。 首先构 造结 构 系数 函数 ，然后 利 用构造 结 构 的 系数 函数 ，通 过 降 阶法得 到求 二 阶变 系数 线性微 分 方程 通解 或特 解 的一
二阶变系数线性微分方程的求解问题--本科毕业论文
目录一、论文正文摘要 (1)1引言 (1)2构造系数函数法 (1)2.1第一种构造系数函数法 (1)2.1.1应用举例 (4)2.2第二种构造系数函数法 (5)2.2.1应用举例 (5)3常数变异法 (5)3.1求二阶变系数齐次线性微分方程的通解 (6)3.2求二阶变系数非齐次线性微分方程的解 (6)3.3.1 应用举例 (8)4 总结 (9)致谢 (9)参考文献 (9)二、附录开题报告 (11)中期检查报告 (12)结题报告 (14)答辩报告 (15)答辩过程记录 (16)指导教师：贾化冰二阶变系数线性微分方程的求解问题苏鲜娜 （宝鸡文理学院 数学与信息科学学院，陕西 宝鸡 721013 ）摘 要:本文考虑二阶变系数线性微分方程的求解问题.基于系数函数的特点,利用常数变异法,获得二阶变系数线性微分方程的通解，并举例说明。
关键词:二阶变系数线性微分方程；通解；常数变易法1 引言随着科学的发展和社会的不断进步，微分方程的应用也越来越广泛，比如在物理，化学，电子技术，自动控制等领域，它都发挥着及其重要的作用，同时也都提出了许多有关微分方程的问题。
对于有关常系数线性微分方程的问题，已有许多研究者提出了各种不同的求解方法，然而，对于变系数线性微分方程，特别是二阶甚至高阶变系数线性微分方程的求解问题却研究的并不是很多，作为微分理论重要组成部分的二阶变系数线性微分方程，在现代科技、工程等各领域中都具有广泛的应用，可是对于如何来求解二阶变系数线性微分方程, 虽然对其解的结构已有一定研究，但是却仍然没有一种成规的方法.无论是在中国还是在外国现行的《高等数学》[1]中，也只是对于常系数微分方程的求解问题做了比较详细的研究与归纳，即使在《常微分方程》中也没有对二阶变系数微分方程的通解或者特解作出更深一步的研究。
如果()p x ,()q x 为连续且非常数的函数，那么方程()()()y p x y q x y f x '''++=，被称为二阶变系数线性微分方程。
二阶变系数线性齐次微分方程的一些解法
二阶变系数线性齐次微分方程的一些解法二阶变系数线性齐次微分方程的求解方法有多种，其中常用的有拉普拉斯变换、迭代、改型四阶 Runge-Kutta 法等。
1、拉普拉斯变换：拉普拉斯变换可以用于求解二阶变系数线性齐次微分方程。
该方法被称为拉普拉斯变换是由波扎西在1820年提出的，其原理是使用一种变换把微分方程变换成容易求解的线性方程组。
例如：考虑以下方程：$y\prime\prime +222ty\prime +529y=0$可以使用以下四步法将其转换为可以直接求解的形式：(1) 用拉普拉斯变量$z=y\prime$，等号右边变为：$z\prime+222tz+529y=0$(2)$y\prime=z$，两边同时乘以$e^{\int{222t}dt}$，此时等号两边的导数消去，得：$e^{\int{222t}dt}z+222te^{\int{222t}dt}y=0$，再变形得：$z+222te^{\int{-222t}dt}y=0$(3)将等号两边都乘以$e^{\int{-222t}dt}$，则有：$e^{\int{-222t}dt}z+222y=0$(4)等号两边同时除以$222$，则有：$\frac{e^{\int{-222t}dt}}{222}z+y=0$这样就可以将方程变换为可以直接求解的标准形式：$\frac{dz}{dt}+p(t)z+q(t)y=0$，这就是二阶变系数线性齐次微分方程的拉普拉斯变换所得到的结果。
2、迭代法迭代法是指通过某种规则迭代取不断精确的数据，从而求解问题的方法。
它指定了一系列迭代公式，用来在定义域上以增量方式估计近似解。
迭代法可以用来求解二阶变系数线性齐次微分方程，其基本原理是首先对方程进行拉弦展开（也叫做多项式拟合），然后分别求出每次迭代时的Y和V值，并用它们来更新下一次的Y和V 值，从而不断地进行反复的迭代操作，直到找到足够精确的解。
二阶变系数齐次常微分方程的解法及其应用
2011届本科毕业论文二阶变系数齐次常微分方程的解法及其应用所在学院：数学科学学院专业班级：数学07-(4)实验班学生姓名：曼则热古丽．图尔荪指导教师：吐尔洪.艾尔米丁答辩日期：2011年5月11日新疆师范大学教务处目录引言................................................................................................................. 错误！未定义书签。
1 二阶变系数齐次常微分方程的通解及其应用..................................... 错误！未定义书签。
2 二阶变系数齐次方程的两个解法及其应用............................................. 错误！未定义书签。
2.1利用常数变易法解二阶变系数齐次线性微分方程....................... 错误！未定义书签。
2.2未知函数代换................................................................................... 错误！未定义书签。
3二阶变系数线性微分方程的一般求解法及其应用.................................. 错误！未定义书签。
3.1二阶变系数线性微分方程的一般求解法....................................... 错误！未定义书签。
3.2应用................................................................................................... 错误！未定义书签。
4 总结............................................................................................................. 错误！未定义书签。
微分方程应用二阶常微分方程的解法和物理应用
微分方程应用二阶常微分方程的解法和物理应用微分方程应用一、引言微分方程是数学中重要的一种方程形式，在各个领域中都有广泛的应用。
其中，二阶常微分方程是微分方程中的常见形式之一，其解法和物理应用具有重要意义。
本文将围绕二阶常微分方程展开讨论，分析其解法和物理应用。
二、二阶常微分方程的解法二阶常微分方程可以写作：$$y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=f(x)$$其中，$y''(x)$表示函数$y(x)$的二阶导数，$y'(x)$表示函数$y(x)$的一阶导数，$p(x)$、$q(x)$和$f(x)$为已知函数。
在解二阶常微分方程时，常采用以下两种方法。
1. 特征方程法特征方程法是解二阶常微分方程的常用方法之一。
首先，我们将二阶常微分方程转化为特征方程，并求解该特征方程的根。
假设特征方程有两个不同的实根$\lambda_1$和$\lambda_2$，则二阶常微分方程的通解可以表示为：$$y(x)=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}$$其中，$C_1$和$C_2$为待定常数。
2. 变量分离法变量分离法也是解二阶常微分方程的常用方法之一。
我们将二阶常微分方程通过一些变换，化为可分离变量的形式。
然后，对方程进行逐步积分，并对变量进行分离，最终求得方程的解。
变量分离法灵活简便，适用于不同形式的二阶常微分方程。
三、二阶常微分方程的物理应用二阶常微分方程在物理学中有着广泛的应用。
下面介绍几个典型的物理应用例子。
1. 自由振动在弹簧振子的运动中，可通过二阶常微分方程描述其自由振动。
方程形式如下：$$m\frac{d^2x}{dt^2}+kx=0$$其中，$m$表示弹簧振子的质量，$k$表示弹簧的弹性系数。
通过求解该二阶常微分方程，可以得到弹簧振子的运动规律。
2. 热传导热传导现象可用二阶常微分方程进行描述。
热传导方程如下：$$\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}$$其中，$u$表示温度的变化，$a$为传热系数。
二阶常微分方程解的存在问题分析毕业论文
二阶常微分方程解的存在问题分析毕业论文目 录§1 引言 (1)§2 常系数线性微分方程的解法 (1)2.1 二阶常系数齐次线性微分方程的解法——特征方程法 (1)2.2 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 (3)2.2.1类型Ⅰ：x n e x P x f λ)()(= (3)2.2.2类型Ⅱ：x n m e x x P x x P x f λωω)sin )(cos )(()(+= (6)§3 二阶微分方程的降阶和幂级数解法 (7)3.1 可将阶的一些方程类型 (7)3.2 二阶线性微分方程的幂级数解法 (10)3.3 二阶变系数线性微分方程的常系数化 (12)3.3.1 欧拉方程 (12)3.3.2 二阶线性微分方程的常系数化 (13)§4 拉普拉斯变换 (14)§5 二阶微分方程的存在唯一性 (16)5.1 存在唯一性定理 (16)5.2 应用举例 (21)5.2.1 关于二阶线性齐次方程解的零点 (21)5.2.2 二阶线性非齐次方程的边值问题 (21)致 谢 (24)参考文献 (25)§1 引言二阶线性微分方程是常微分方程中一类很重要的方程。
这不仅是因为其一般理论已经研究地比较清楚，而且还因为它是研究非线性微分方程的基础，在工程技术和自然科学中有着广泛的应用。
本文将主要介绍几种不同类型的二阶线性微分方程的解法，及二阶微分方程的初值问题的存在唯一性定理。
§2 常系数线性微分方程的解法2.1 二阶常系数齐次线性微分方程的解法——特征方程法若21,y y 是二阶常系数齐次线性微分方程0'''=++qy py y ，其中q p ,均为常数 （2.1）的两个线性无关的解，那么（2.1）的通解就可表示成2211y C y C y +=（21,C C 为任意常数）由此可知，只要找到方程（2.1）的两个线性无关的解，就能求出（2.1）的通解。
(完整版)二阶常微分方程边值问题的数值解法毕业论文
二阶常微分方程边值问题的数值解法摘要求解微分方程数值解的方法是多种多样的，它本身已形成一个独立的研究方向，其要点是对微分方程定解问题进行离散化．本文以研究二阶常微分方程边值问题的数值解法为目标，综合所学相关知识和二阶常微分方程的相关理论，通过对此类方程的数值解法的研究，系统的复习并进一步加深对二阶常微分方成的数值解法的理解，为下一步更加深入的学习和研究奠定基础．对于二阶常微分方程的边值问题，我们总结了两种常用的数值方法：打靶法和有限差分法．在本文中我们主要探讨关于有限差分法的数值解法．构造差分格式主要有两种途径：基于数值积分的构造方法和基于Taylor展开的构造方法．后一种更为灵活，它在构造差分格式的同时还可以得到关于截断误差的估计．在本文中对差分方法列出了详细的计算步骤和Matlab程序代码，通过具体的算例对这种方法的优缺点进行了细致的比较．在第一章中，本文将系统地介绍二阶常微分方程和差分法的一些背景材料．在第二章中，本文将通过Taylor展开分别求得二阶常微分方程边值问题数值解的差分格式．在第三章中，在第二章的基础上利用Matlab求解具体算例，并进行误差分析．关键词：常微分方程,边值问题，差分法，Taylor展开，数值解The Numerical Solutions ofSecond-Order Ordinary Differential Equations with the Boundary Value ProblemsABSTRACTThe numerical solutions for solving differential equations are various. It formed an independent research branch. The key point is the discretization of the definite solution problems of differential equations. The goal of this paper is the numerical methods for solving second-order ordinary differential equations with the boundary value problems. This paper introduces the mathematics knowledge with the theory of finite difference. Through solving the problems, reviewing what have been learned systematically and understanding the ideas and methods of the finite difference method in a deeper layer, we can establish a foundation for the future learning.For the second-order ordinary differential equations with the boundary value problems, we review two kinds of numerical methods commonly used for linear boundary value problems, i.e. shooting method and finite difference method. There are mainly two ways to create these finite difference methods: i.e. Taylor series expansion method and Numerical Integration. The later one is more flexible, because at the same time it can get the estimates of the truncation errors. We give the exact calculating steps and Matlab codes. Moreover, we compare the advantages and disadvantages in detail of these two methods through a specific numerical example. In the first chapter, we will introduce some backgrounds of the ordinary differential equations and the difference method. In the second chapter, we will obtain difference schemes of the numerical solutions of the Second-Order ordinary differential equations with the boundary value problems through the Taylor expansion. In the third chapter, we using Matlab tosolve the specific examples on the basis of the second chapter, and analyzing the errors.KEY WORDS: Ordinary Differential Equations, Boundary Value Problems, Finite Difference Method, Taylor Expansion, Numerical Solution毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。