简单微分方程的求解
简单微分方程的求解
一、一阶微分方程1. 线性齐次方程'y ()0p x y +=①分离变量法求解②两边同时乘以()p x dx e ⎰，积分因子法 通解：()p x dx y Ce -⎰=2. 线性非齐次方程'y ()()p x y g x +=①常数变易法②两边同时乘以()p x dx e ⎰，积分因子法 通解：()()(())p x dx p x dx y e C g x e dx -⎰⎰=+⎰线性微分方程的解有一些很好的性质，例如（1）齐次方程的解或者恒等于零，或者恒不等于零（2）齐次方程任何解的线性组合仍是它的解（3）齐次方程的任一解与非齐次方程任一解之和仍是非齐次方程的解（4）非齐次方程任意两解之差必是对应齐次方程的解（5）非齐次方程的任一解与对应齐次方程的通解之和是非齐次方程的通解。
3. Bernoulli 方程'()()y p x y g x y α+=（1）0α=时，该方程为线性非齐次方程（2）1α=时，该方程为线性齐次方程（3）0,1α≠时，作变量替换1z y α-=，该方程转化为(1)()(1)()dz p x z g x dxαα+-=-，这是关于未知函数z 的一阶线性方程 4. Riccati 方程2()()()dy p x y q x y f x dx=++Riccati 方程在一般情况下无法用初等积分求出解，只是对一些特殊情况或者事先知道了它的一个特解，才能求出其通解。
（1）当()p x 、()q x 、()f x 都是常数时，是可分离变量方程，用分离变量法求解。
（2）当()0p x ≡时，是线性方程。
（3）当()0f x ≡时，是Bernoulli 方程。
当()f x r ≡，设已有一特解1()y x命1()()()z x y x y x =-，代得211(2)dz dy dy pz py q z dx dx dx=-=++ 这是一个关于z 的Bernoulli 方程。
微分方程
#
例 例 求解微分方程 解 分离变量 dy dy 2 xy , 2 xdx , dx y
dy 两端积分 2 xdx , y
ln y x 2 C ,
#
例
例： 1 y 2 3 x 2 y dy 求通解 dx 解： y dy dx 分离变量 2 1 y2 3 x y dy dx 1 1 2 C 两端积分 2 2 1 y 2 2 3x 3x 1 y 得通解 注意
特别的，若n 0，即对任意的t R使得f ( tx,ty ) f ( x, y )， 则称f ( x, y )为变量x, y的0次齐次函数。
xy - y 2 例如，对于函数f ( x, y ) 2 ,因为f ( tx,ty ) f ( x, y )， x 2 xy xy - y 2 所以f ( x, y ) 2 为0次齐次函数。 x 2 xy
2
, C2
2
,
于是 C1 1.
§9.2最简单的微分方程 一阶微分方程的一般形式为 F(x,y,y)=0
若可解出y,则可写成显式方程 可分离变量方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程
y=f(x,y)
#
可分离变量方程
( g ( y )和 f ( x ) 连续）
分离变量方程： g( y )dy f ( x )dx
2
练习
2 : 在下列各题中，确定函 数关系式中所含的参数 ， 使函数满足所给的初始 条件：
(1) y (C1 C2 x)e 2 x , y x0 0, y x0 1;
( 2) y C1 sin( x C 2 ), y
解
x
1, y
微分方程
Matlab软件计算数值解 [t，x]=solver（’f’,ts,x0,options）
du dx
(u ) u x ① 分离变量法；如 dy/dx = fx*y，sin(x*y)
② 齐次方程的变换法； 如 dy/dx = f (y/x) ③ 线性方程的常数变易法或公式法. ……
MATLAB软件实现
解析解
dsolve('eqn1','eqn2', …, ' c1 ',…, ' var1 ',…)
xi 1
f ( t , y ( t )) dt [ f ( x i , y ( x i )) f ( x i 1 , y ( x i 1 ))]
xi
x i 1 x i 2 1 2
h
[ f ( x i , y ( x i )) f ( x i 1 , y ( x i 1 ))]
定义：含有导数的方程称为微分方程。如上例， f(x, V(x), V’(x))=0 1、微分方程的一般形式：
n阶
或
F(x, y, y’,…,y(n) ) = 0 隐式 y(n) = f (x, y, y’,…,y (n-1) ) 显式
微分方程模型
特殊情形：
dy dt f (t , y , y ' )
微分方程方法简介
①简单 的微分 方程。
②复杂、 大型的 微分方 程.
① 解析解 y = f(x) ② 数值解 (xi, yi) ③ 图形解
o y
•欧拉方法
• 梯形法
•改进欧拉方法 •龙格-库塔法
x
令
3.2微分方程的经典求解方法讲解
时间常数 T：使e的指数部分等于–1的时间值。因此有，
1 aT 1 及 T a
1.0 Im [s]平面 Re
e at
0.368
m=-a
0
t
T
2T
图3.3 指数项 e –at 的图形及极点 在 S 平面中的位置
22
时间常数定义
时间常数定义
从几何上看，Ae-at曲线在 t=0 处的切线与时间轴的相交点的值等于 时间常数 T 在一个时间常数所对应的时间区间内，指数函数 e-at 的值将从 1 下降至 0.368 例： T 的图解测定 A 1, a 1
2
Aet
• n 越大，则系统暂态衰减越快
问题： 1) 当 =0 时，暂态响应将是如何的？当 >0 或 <0 时呢？
2) 分别当 >0 和 <0 时，暂态相应有什么区别？
20
暂态响应
阻尼比 和无阻尼振荡频率 n
当 >0 时，系统暂态随时间衰减，响应曲线 c(t) 将趋向于稳态值，这
第二节 微分方程的经典求法
稳态响应
正弦输入
多项式输入
稳态响应：正弦输入
输入量 r 假设为：
待解的微分方程具有如下形式
Av Dv c Av 1Dv 1c A0 D0c A1D 1c Aw D wc r
cos t 1 (e 2
j t
r B cos( t )
（过阻尼）
Aet
只有当 是负数时，系统才是 稳定的；如果 是正数，则系 统不稳定，这是我们要避免的 情况。
（欠阻尼）
Aet
17
暂态响应
阻尼比 和无阻尼振荡频率 n
各类微分方程的解法
各类微分方程的解法一、常微分方程的解法。
1. 分离变量法。
分离变量法是解常微分方程的一种常见方法，适用于一阶微分方程。
其基本思想是将微分方程中的变量分离开来，然后对两边分别积分得到解。
例如，对于形如dy/dx = f(x)g(y)的微分方程，可以将其化为dy/g(y) = f(x)dx，然后对两边积分得到解。
2. 积分因子法。
积分因子法适用于一阶线性微分方程，通过求解积分因子来将微分方程化为恰当微分方程，进而求解。
其基本思想是通过乘以一个适当的函数来使得微分方程的系数函数具有某种特殊的性质，使得微分方程变为恰当微分方程。
3. 特征方程法。
特征方程法适用于二阶线性常系数齐次微分方程，通过求解特征方程来得到微分方程的通解。
其基本思想是将二阶微分方程化为特征方程，然后求解特征方程得到微分方程的通解。
4. 变量替换法。
变量替换法是一种常见的解微分方程的方法，通过引入新的变量替换原微分方程中的变量，从而将原微分方程化为更简单的形式，然后求解。
例如，对于形如dy/dx = f(ax+by+c)的微分方程，可以通过引入新的变量u=ax+by+c来简化微分方程的形式，然后求解得到解。
二、偏微分方程的解法。
1. 分离变量法。
分离变量法同样适用于偏微分方程，其基本思想是将偏微分方程中的变量分离开来，然后对各个变量分别积分得到解。
例如，对于形如∂u/∂t = k∂^2u/∂x^2的一维热传导方程，可以将其化为∂u/∂t = k∂^2u/∂x^2，然后对各个变量分别积分得到解。
2. 特征线法。
特征线法适用于一些特殊的偏微分方程，通过引入特征线变量来化简偏微分方程的形式，然后求解。
例如，对于一维波动方程∂^2u/∂t^2 = c^2∂^2u/∂x^2，可以通过引入特征线变量ξ=x-ct和η=x+ct来化简方程的形式，然后求解得到解。
3. 分析法。
分析法是一种常见的解偏微分方程的方法，通过分析偏微分方程的性质和特征来求解。
微分方程常见题型解法
微分方程常见题型攻略一、一阶微分方程1.可分离变量的微分方程及或化为可分离变量的微分方程（齐次）（略）2.一阶线性微分方程（1）一阶线性齐次微分方程：0)( y x P y 法一：分离变量，积分；法二：套公式dxx P Ce y )(.（2）一阶线性非齐次微分方程：)()(x Q y x P y 法一：常数变易法①先求出对应齐次微分方程的通解 dxx P Ce y )(；②常数变易（设原方程的通解为） dx x P e x u y )()(；③代入原方程求出)(x u 即得原方程的通解。
法二：公式法])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P 。
例1【2011年考研】微分方程x ey y xcos 满足条件0)0( y 的解为_________。
解：此为一阶线性微分方程，其中1)( x P ，x ex Q xcos )( ，通解为])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P ]cos [11C dx xe e e dxx dx ]cos [C dx xe e e x x x ]cos [C xdx e x )(sin C x e x 。
由初始条件0)0( y ，得0 C ，故所求特解为x ey xsin 。
注：对于微分方程，经常以积分方程的形式出现，即给出的方程中含有积分上限函数。
（1）对于积分方程，方法是两边同时求导，化为微分方程。
但是在求导过程中要注意，如果两边同时求一阶导后还是含有积分上限函数，那么需要再一次求导，直到方程中不再求有积分上限函数，并且也要注意有时候需要对方程进行恒等变换后再求导。
（2）注意积分方程中隐含的初始条件。
例2已知函数)(x f 满足1)(21)(1x f du ux f ，1)(10 dx x f ，求)(x f 。
解：设ux t ，则dt x du 1，于是 10)(du ux f xdt t f x 0)(1。
微分方程组的数值求解方法
微分方程组的数值求解方法微分方程组数值求解方法微分方程组是数学中非常重要的一个分支，它描述了许多自然界和社会生活中的现象，例如电路的运行、天体的运行、生命体的生长等等。
我们需要对微分方程组进行求解，才能够得到它们的解析解，从而更好地理解和应用它们。
然而，大多数微分方程组不可能用解析法求解，因此，我们需要采用数值方法来求解微分方程组。
常见的微分方程组数值求解方法包括欧拉法、龙格库塔法和变步长法等。
下面，我们将逐一介绍它们的基本原理和优缺点。
一、欧拉法欧拉法是微分方程组数值求解方法中最简单的一种。
它的基本思想是将微分方程组中的各个变量离散化，然后根据微分方程组的导数计算每一步的值。
具体来讲，欧拉法的数值求解公式为：\begin{aligned} &x_{n+1}=x_n+hf_n(x_n,y_n,z_n),\\&y_{n+1}=y_n+hf_n(x_n,y_n,z_n),\\&z_{n+1}=z_n+hf_n(x_n,y_n,z_n), \end{aligned}其中，$x(t)$，$y(t)$，$z(t)$是微分方程组的解，$f_n(x_n,y_n,z_n)$是微分方程组导数在点$(x_n,y_n,z_n)$处的值，$h$为时间步长。
欧拉法的优点是简单易懂，方便实现，缺点是误差较大，计算不够精确。
因此，在实际应用中，往往需要采用更加精确的数值方法。
二、龙格库塔法龙格库塔法是微分方程组数值求解方法中比较常用的一种。
它的基本思想是通过多次计算微分方程组中的导数，以获得更加精确的数值解。
具体来讲，龙格库塔法的求解公式为：\begin{aligned}&k_{1x}=hf_n(x_n,y_n,z_n),k_{1y}=hf_n(x_n,y_n,z_n),k_{1z}=hf_n (x_n,y_n,z_n),\\&k_{2x}=hf_n(x_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{k_{1y}}{2},z_n+\frac{k_ {1z}}{2}),k_{2y}=hf_n(x_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{k_{1y}}{2},z_n+ \frac{k_{1z}}{2}),k_{2z}=hf_n(x_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{k_{1y}}{ 2},z_n+\frac{k_{1z}}{2}),\\&k_{3x}=hf_n(x_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{k_{2y}}{2},z_n+\frac{k_ {2z}}{2}),k_{3y}=hf_n(x_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{k_{2y}}{2},z_n+ \frac{k_{2z}}{2}),k_{3z}=hf_n(x_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{k_{2y}}{ 2},z_n+\frac{k_{2z}}{2}),\\&k_{4x}=hf_n(x_n+h,y_n+k_{3y},z_n+k_{3z}),k_{4y}=hf_n(x_n+h,y_n+k_{3y},z_n+k_{3z}),k_{4z}=hf_n(x_n+h,y_n+k_{3y},z_n+k_{3 z}),\\&x_{n+1}=x_n+\frac{k_{1x}}{6}+\frac{k_{2x}}{3}+\frac{k_{3x}}{ 3}+\frac{k_{4x}}{6},\\&y_{n+1}=y_n+\frac{k_{1y}}{6}+\frac{k_{2y}}{3}+\frac{k_{3y}}{ 3}+\frac{k_{4y}}{6},\\&z_{n+1}=z_n+\frac{k_{1z}}{6}+\frac{k_{2z}}{3}+\frac{k_{3z}}{ 3}+\frac{k_{4z}}{6}, \end{aligned}其中，$k_{1x}$，$k_{1y}$，$k_{1z}$，$k_{2x}$，$k_{2y}$，$k_{2z}$，$k_{3x}$，$k_{3y}$，$k_{3z}$，$k_{4x}$，$k_{4y}$，$k_{4z}$是微分方程组中导数的值。
考研高数必背微分方程初值问题的求解方法
考研高数必背微分方程初值问题的求解方法微分方程初值问题是高等数学中的重要内容，在考研高数中也是一个必备的知识点。
解决微分方程的初值问题可以帮助我们找到函数的特定解，为后续的计算和分析提供基础。
本文将介绍几种常见的求解微分方程初值问题的方法，帮助考生掌握这一知识点。
方法一：分离变量法分离变量法是求解微分方程中常见的一种方法，适用于一阶常微分方程。
其基本思想是将微分方程中的变量分开后，逐个求解。
下面以一个具体的例子来说明分离变量法的具体步骤。
例题：求解微分方程 dy/dx = x/y, y(0) = 1 的特解。
解答：将变量分离得到 y dy = x dx，然后对方程两边同时积分，得到∫dy/y = ∫xdx。
分别求解这两个积分，得到ln|y| = 1/2*x^2 + C1，再两边取指数得到 |y| = e^(1/2*x^2 + C1)。
利用初值条件 y(0) = 1，得到 C1 = 0，因此特解为 y = e^(1/2*x^2)。
方法二：常系数线性齐次微分方程的求解常系数线性齐次微分方程是一类特殊的微分方程，具有形如dy/dx + Py = 0 的特点。
其中，P表示常系数。
这类微分方程的初值问题可以通过特征方程来求解。
例题：求解微分方程 dy/dx + 2y = 0, y(0) = 1 的特解。
解答：首先根据方程的形式可知，这是一个常系数线性齐次微分方程。
它的特征方程为 r + 2 = 0，解得 r = -2。
由于根为实数且不相等，所以特解可以写为 y = C*e^(-2x)，其中C为待定系数。
利用初值条件y(0) = 1，得到 C = 1，因此特解为 y = e^(-2x)。
方法三：二阶线性非齐次微分方程的求解二阶线性非齐次微分方程是一类常见的微分方程，具有形如d^2y/dx^2 + P(x)dy/dx + Q(x)y = f(x) 的特点。
其中，P(x)、Q(x)和f(x)分别表示一阶导数、常数和非齐次项。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、一阶微分方程1. 线性齐次方程'y ()0p x y +=①分离变量法求解②两边同时乘以()p x dx e ⎰，积分因子法 通解：()p x dx y Ce -⎰=2. 线性非齐次方程'y ()()p x y g x +=①常数变易法②两边同时乘以()p x dx e ⎰，积分因子法 通解：()()(())p x dx p x dx y e C g x e dx -⎰⎰=+⎰线性微分方程的解有一些很好的性质，例如（1）齐次方程的解或者恒等于零，或者恒不等于零（2）齐次方程任何解的线性组合仍是它的解（3）齐次方程的任一解与非齐次方程任一解之和仍是非齐次方程的解（4）非齐次方程任意两解之差必是对应齐次方程的解（5）非齐次方程的任一解与对应齐次方程的通解之和是非齐次方程的通解。
3. Bernoulli 方程'()()y p x y g x y α+=（1）0α=时，该方程为线性非齐次方程（2）1α=时，该方程为线性齐次方程（3）0,1α≠时，作变量替换1z y α-=，该方程转化为(1)()(1)()dz p x z g x dxαα+-=-，这是关于未知函数z 的一阶线性方程 4. Riccati 方程2()()()dy p x y q x y f x dx=++ Riccati 方程在一般情况下无法用初等积分求出解，只是对一些特殊情况或者事先知道了它的一个特解，才能求出其通解。
（1）当()p x 、()q x 、()f x 都是常数时，是可分离变量方程，用分离变量法求解。
（2）当()0p x ≡时，是线性方程。
（3）当()0f x ≡时，是Bernoulli 方程。
当()f x r ≡，设已有一特解1()y x命1()()()z x y x y x =-，代得211(2)dz dy dy pz py q z dx dx dx=-=++ 这是一个关于z 的Bernoulli 方程。
（4）当Riccati 方程的形式为22dy l b ay y dx x x+=+，可利用变量替换z xy =，将方程化为可分离变量方程 2(1)dz x az l z b dx=-+++ 当Riccati 方程的一个特解()y x ϕ=已知时，我们利用变换()y z x ϕ=+，代入方程后可得：22()()(2()())()(())()dz d x p x z z x x q x z x f x dx dxϕϕϕϕ+=+++++ 由于()y x ϕ=是方程的解，从上式消去相关的项后得：2(2()()())()dz p x x q x z p x z dxϕ=++，这是一个Bernoulli 方程。
（5）当Riccati 方程的形式为2m dy ay bx dx+=，其中a 、b 、m 都是常数，且设0a ≠，又设0x ≠和0y ≠，则当 440,2,,,(1,2,)2121k k m k k k --=-=+-时，方程可通过适当的变换化为变量可分离方程。
5. 可分离变量方程'()()y f x g y =()()dy f x dx g y =，通解为()()dy f x dx C g y =+⎰⎰ 6. 齐次方程()dy y g dx x= 作变量替换y z x =，则dy dz z x dx dx =+，即()dz g z z dx x-=通解为ln ()dz x C g z z =+-⎰。
7. 全微分方程与积分因子设(,)u F x y =是一个连续可微的二元函数，则它的全微分为：(,)(,)(,)F x y F x y du dF x y dx dy x y∂∂==+∂∂ 若有函数使得：(,)(,)(,)dF x y M x y dx N x y dy =+则称(,)(,)0M x y dx N x y dy +=为全微分方程，此时，微分方程的解就是(,)F x y C = 微分方程的成立条件：设函数(,)M x y 和(,)N x y 在一个矩形区域R 中连续且有连续的一阶偏导数，则(,)(,)0M x y dx N x y dy +=是全微分方程的充要条件是(,)(,)M x y N x y y x∂∂=∂∂ 微分方程的解为000(,)(,)(,)xyx y F x y M s y ds N x s ds =+⎰⎰（线积分法） 此时还可应用偏积分法与凑微分法如：22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=重新分组整理为22cos sin ()0x xdx xy dx yx dy ydy -++=如果有函数(,)x y μ，使得方程 (,)(,)(,)(,)0x y M x y dx x y N x y dy μμ+=是全微分方程（恰当方程），则(,)x y μ称为方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=的一个积分因子积分因子一般很难求解，但有如下情况可求：（1）微分方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有一个依赖于x 的积分因子的充要条件是 (,)(,)()/(,)M x y N x y N x y y x∂∂-∂∂仅于x 有关，则积分因子可求： (,)(,)()/(,)()M x y N x y N x y dx y x x e μ∂∂-∂∂⎰=（2）微分方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有一个依赖于y 的积分因子的充要条件是(,)(,)()/(,)N x y M x y M x y x y∂∂-∂∂仅于y 有关，则积分因子可求： (,)(,)()/(,)()M x y N x y M x y dy y x x e μ∂∂-∂∂⎰=积分因子是求解微分方程的一个极为重要的办法，绝大多数方程的求解都可以通过寻找到一个合适的积分因子来解决。
但求一个微分方程的积分因子十分困难，需要灵活运用各种微分法的技巧与经验。
例如，当一个微分方程中出现xdy ydx -的项时，函数1xy 、21x 、21y 和221x y +都有可能成为其积分因子，可以根据方程中其他项进行适当的选择。
下面的几个方程和对应的积分因子分别为：10,xy xdy ydx xydx -+= 2210,x xdy ydx x dx -+= 2210,yxdy ydx y dx -+= 22221)(0,x y xdy ydx x y dx ++-+= 另外，若有微分方程：1122((,)(,))((,)(,))0M x y dx N x y dy M x y dx N x y dy +++=其中第一组和第二组各有积分因子1(,)x y μ和2(,)x y μ，使得1111(,)((,)(,))(,)x y M x y dx N x y dy dF x y μ+=2222(,)((,)(,))(,)x y M x y dx N x y dy dF x y μ+=由于对任意可微函数1()u G 和2()u G ，111(,)((,))x y F x y G μ是第一组的积分因子，222(,)((,))x y F x y G μ是第二组的积分因子。
如果能选取的1()u G 和2()u G ，使得： 111222(,)((,))(,)((,))x y F x y x y F x y G G μμ=则111(,)((,))(,)x y F x y x y G μμ=就是该微分方程的一个积分因子。
8. 变量替换法（1）形如()f ax by c dy dx=++的方程 对于这种类型的方程，引入新变量z ax by c =++ 则a b dy dz dx dx =+，于是原方程就化为()a bf z dz dx=+ 这是一个变可分离方程，它的通解为()dz x C a bf z =++⎰ 此时注意：形如111222a xb yc a x b y c dy dx ++=++的微分方程，若上下二元一次方程组有解，则利用齐次解法依靠解的坐标点化简此式，若无解则利用变量替换法求解。
（2）形如()()0yf xy dx xg xy dy +=的方程对于这类方程，引入新变量z xy =，则z x y=，2xdz zdx x dy -= 原方程可以化为(()())()0z f z g z dx g z dz x-+=，这是一个可分离变量方程。
（3）用变量替换法求解微分方程是十分灵活的，依赖于方程的形式和求导的经验，在学习过程中要多积累。
9. 一阶隐式微分方程解法10. 近似解法（1）逐次迭代法逐次迭代法是利用证明初始值问题解的存在唯一性时所构造的Picard 迭代序列的前若干项来近似初始值问题的解，其近似序列为：00()y x y =0100()(,())x x y x y f t y t d t=+⎰ 001()(,())xn n x y x y f t y t dt -=+⎰当初始值问题满足解的存在唯一性定理的条件时，上面的迭代序列在一个区间一致收敛到它的解。
故当n 较大时，()n y x 就是初始值问题解的一个较好的近似。
（2）Taylor 级数法设初始值问题的解可以在0x 的邻域内展开为收敛幂级数：00()()n n n y x a x x ∞==-∑由Taylor 级数理论知，n a 是由()y x 的n 阶导数确定的，即：()000()()()!n n n y x y x x x n ∞==-∑ 于是，级数形式的解实际上就是要求出()y x 在0x 点的各阶导数值。
如果我们能计算出()y x 前面一些导数值()0()n y x 时，就可以利用函数()000()()()!n Nn N n y x y x x x n ==-∑来近似初始值问题的解()y x 。
由复合链导法则和方程初始值得：(0)000()()y x y x y ==(1)000()(,)x x dyy x f x y dx ===02(2)''00000002()(,())(,)(,)(,)x y x x x x d y d y x f x y x f x y f x y f x y dx dx =====+ 0(3)''''''0000000()((,)(,)(,)(,)2(,)(,)x y xx xy x x d y x f x y f x y f x y f x y f x y f x y dx ==+=++ ''2'''2000000000000(,)(,)(,)(,)((,))(,)yy y x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y ++ 根据需要，当函数(,)f x y 已知时，我们可以计算出解()y x 在0x 点直到N 阶导数值 从而得出()y x 的近似表达式。