第二节 几类简单微分方程及其解法
二阶阶微分方程的解法及应用课件
参数法是一种求解二阶微分方程的方法，通 过引入参数，将微分方程转化为关于参数的 常微分方程。这种方法适用于具有特定形式 的一阶和二阶微分方程，特别是当微分方程 的解与某个参数有关时。通过求解关于参数 的常微分方程，我们可以找到微分方程的解
二阶阶微分方程的解法及应用课件
目 录
• 二阶阶微分方程的基本概念 • 二阶阶微分方程的解法 • 二阶阶微分方程的应用 • 二阶阶微分方程的数值解法 • 二阶阶微分方程的边界值问题
01 二阶阶微分方程的基本概 念
二阶阶微分方程的定义
二阶阶微分方程是包含两个未知函数 和它们的二阶导数的方程。
二阶阶微分方程的一般形式为 F(x, y, y', y''...) = 0，其中 F 是一个给定的函 数，x 和 y 是未知函数及其导数。
供需模型
01
二阶微分方程可以用来描述商品价格随时间和供需关系的变化
。
投资回报
02
在金融领域，二阶微分方程可以用来预测股票价格的变化和投
资回报。
经济增长
03
在研究经济增长时，二阶微分方程可以用来描述人均收入随时
间的变化。
在工程中的应用
控制系统
在自动化和控制工程中，二阶微分方程被用来描述系 统的动态响应和稳定性。
一维边界值问题
一维边界值问题是指求解一个关于一个自变量的二阶微分方程，同时给出该自变 量在两个特定点的取值条件。
一维边界值问题通常用于描述一个物理系统在一维空间中的行为，例如弦的振动 、波的传播等。解决这类问题通常需要使用打靶法、有限差分法等数值方法。
多维边界值问题
多维边界值问题是指求解一个关于多个自变量的二阶微分方 程组，同时给出这些自变量在多维空间中的边界条件。
(完整版)各类微分方程的解法
南京林业大学各种微分方程的解法1.可分别变量的微分方程解法 一般形式 :g(y)dy=f(x)dx 直接解得 ∫g(y)dy= ∫f(x)dx设 g(y)及 f(x) 的原函数挨次为 G(y)及 F(x),则 G(y)=F(x)+C 为微分方程的隐式通解 2.齐次方程解法一般形式 :dy/dx= φ(y/x)令 u=y/x 则 y=xu,dy/dx=u+xdu/dx, 因此 u+xdu/dx=φ(u), 即 du/ ［φ (u)-u ］=dx/x 两头积分 , 得∫du/ ［φ (u)-u ］ =∫dx/x 最后用 y/x 取代 u, 便得所给齐次方程的通解 3.一阶线性微分方程解法一般形式 :dy/dx+P(x)y=Q(x)－∫P(x)dx－∫P(x)dx先令 Q(x)=0 则 dy/dx+P(x)y=0 解得 y=Ce, 再令 y=ue代入原方程 解得 u=∫Q(x) e∫P(x)dx－∫P(x)dx∫P(x)dxdx+C ］dx+C,因此 y=e［∫Q(x)e－∫P(x)dx－ ∫P(x)dx∫P(x)dxdx 为一阶线性微分方程的通解即 y=Ce +e∫Q(x)e 4.可降阶的高阶微分方程解法(n) ① y =f(x) 型的微分方程(n)y =f(x)y (n-1) = ∫f(x)dx+C 1y (n-2) = ∫［ ∫f(x)dx+C 1］ dx+C 2(n)=f(x) 的含有 n 个随意常数的通解挨次类推 , 接连积分 n 次, 便得方程 y ② y ” =f(x,y ’ ) 型的微分方程令 y ’=p 则 y ”=p ’ , 因此 p ’=f(x,p), 再求解得 p=φ (x,C 1)即 dy/dx= φ(x,C 1), 因此 y=∫φ(x,C 1)dx+C 2 ③ y ” =f(y,y ’ ) 型的微分方程令 y ’=p 则 y ”=pdp/dy, 因此 pdp/dy=f(y,p),再求解得 p=φ (y,C 1)即 dy/dx= φ(y,C 1), 即 dy/ φ(y,C 1)=dx, 因此 ∫dy/ φ (y,C 1)=x+C 2 5.二阶常系数齐次线性微分方程解法一般形式 :y ”+py ’+qy=0,特点方程 r 2+pr+q=0南京林业大学特点方程 r 2+pr+q=0 的两根为 r1,r2 微分方程y”+py’+qy=0的通解r r1x r2x2 1 2两个不相等的实根 r1,y=C e +C e两个相等的实根 r1=r2 y=(C1+C2x)e r1x一对共轭复根 r1=α+iβ, r 2=α-iβαxcosβx+C2sin β x) y=e (C16.二阶常系数非齐次线性微分方程解法一般形式 : y ”+py’+qy=f(x)先求 y”+py’+qy=0 的通解 y0(x), 再求 y”+py’+qy=f(x) 的一个特解 y*(x) 则y(x)=y 0(x)+y*(x) 即为微分方程 y”+py’+qy=f(x) 的通解求y”+py’+qy=f(x) 特解的方法 :①f(x)=P m(x)e x型λ令 y*=x k Q m(x)eλx［k 按λ不是特点方程的根 , 是特点方程的单根或特点方程的重根挨次取 0,1 或 2］再代入原方程 , 确立 Q m(x) 的 m+1个系数λx②f(x)=e［Pｌ(x)cosωx+P n(x)sinωx］型k λx［Q m(x)cos ω x+R m(x)sin ωx］［m=max﹛ｌ ,n ﹜ ,k 按λ +i ω不是特点令 y*=x e方程的根或是特点方程的单根挨次取0 或 1］再代入原方程 , 分别确立 Q (x) 和mR m(x) 的 m+1个系数附微分方程在物理学中的应用:⑴找准适合的研究对象⑵确立正确的数学模型⑶联列合理的微分方程⑷解出最正确的方程结果执笔：缪张华。
第2讲微分方程
，则当
1时，
级数收敛；当 1时，级数发散。
对于幂级数，若
lim
k
ak 1 ( x ak (x
x0 )k1 x0 )k
lim ak1 a k
k
x x0
1，则幂级数
绝对收敛。因此，幂级数的收敛区域为
x x0
lim k
ak ak 1
根式判别法 幂级数的收敛区域为
x x0
lim k k
解得
C1(t)
1
t 0
f ()sind T(0)
C2(t)
1
t 0
f ()cosd 1T(0)
1.3、变系数线性微分方程
一、求解欧拉型常微分方程
形如 ax2 y bxy cy f (x) 的方程叫欧拉方程。
例 1 欧拉型常微分方程
2R R m2R 0
作变量代换 et ，t ln ，则
级数解法 方程的解y(x)在点x0的邻域内无限次 可导，并可表示成泰勒级数形式：
y(x) ak(xx0)k
k0
其中，a0, a1, a2, ... , ak , ...是待定系数。只要能
够确定这些系数，也就得到了方程的解。
在x0 = 0的邻域上求解常微分方程
y2y 0 (是常数)
解： 显然，x0 = 0是方程的常点，可应用常点邻 域的级数解法。
函数y(x)的线性二阶常微分方程
ddx2y2 p(x)ddyxq(x)y0 y(x 0) C 0 , y(x 0 ) C 1
若函数p(x)和q(x)在点x = x0处无限次可导，则 称 x0为方程的常点；否则称x0为方程的奇点。
定理 若x0为方程的常点，则在x0的邻域内存在 满足初始条件的唯一解y(x)。
二阶微分方程
3 2 y 满 足 初 始 条 件y1的 特 解 .
解 令 y p( x ), 代入原式，得
dp 3 2 p y dy 2
即
2 pdp 3 y 2dy
两边积分，得
p2 y 3 C1
x3
由初始条件y
3 2
x3
1, y
1得C1 0, 所以 p2 y 3 .
二、二阶常系数线性微分方程
定义１ 方程
y py qy f ( x)
(5)
叫做二阶常系数线性微分方程，其中 p 、q 是常数．
当f x 0时, 方程(5)叫做二阶常系数线性微分方程．
当f ( x) T 0时, 方程(5)叫做二阶常系数线性非齐次微分方程.
下面来讨论二阶常系数线性微分方程的解法．
这是关于 p 的一阶线性非齐次微分方程．因为
x ln x x x xe e dx e dx e ,
1 dx ln x , x
所以
y p x(e x C1 ),
x
从而所求微分方程的通解为
C1 2 y ( x 1)e x C2 . 2
关键在于求出方程的两个线性无关的特解 y1 和 y2 ． rx 而当 r 为常数时，指数函数 y e 和它的各阶导数 都只相差一个常数因子．因此，我们可以设想二阶常系数齐次 方程式的特解也是一个指数函数 y e rx ，只要求出 r ,便可得 到方程(6)的解．
14
将 y e 和它的一、二阶导数 y re rx , y r 2e rx 代 , 入方程(6)，得到 er x (r 2 pr q) 0
y ex (C1 cos x C2 sinx )
(完整word版)各类微分方程解法
南京林业大学各样微分方程的解法1.可分别变量的微分方程解法 一般形式 :g(y)dy=f(x)dx直接解得 ∫g(y)dy= ∫f(x)dx设 g(y)及 f(x) 的原函数依次为 G(y)及 F(x),那么 G(y)=F(x)+C 为微分方程的隐式通解 2.齐次方程解法一般形式 :dy/dx= φ(y/x)令 u=y/x 那么 y=xu,dy/dx=u+xdu/dx, 所以 u+xdu/dx=φ(u), 即 du/ ［φ (u)-u ］=dx/x 两端积分 , 得∫du/ ［φ (u)-u ］ =∫dx/x 最后用 y/x 代替 u, 便得所给齐次方程的通解 3.一阶线性微分方程解法一般形式 :dy/dx+P(x)y=Q(x)－∫P(x)dx－∫P(x)dx先令 Q(x)=0 那么 dy/dx+P(x)y=0 解得 y=Ce, 再令 y=ue代入原方程解得 u=∫Q(x) e∫P(x)dx－∫P(x)dx∫P(x)dxdx+C ］dx+C,所以 y=e［∫Q(x)e－∫P(x)dx－ ∫P(x)dx∫P(x)dxdx 为一阶线性微分方程的通解即 y=Ce +e∫Q(x)e 4.可降阶的高阶微分方程解法(n) ① y =f(x) 型的微分方程(n)y =f(x)y (n-1) = ∫f(x)dx+C 1y (n-2) = ∫［ ∫f(x)dx+C 1］ dx+C 2(n)=f(x) 的含有 n 个任意常数的通解依次类推 , 接连积分 n 次, 便得方程 y ② y 〞 =f(x,y ’ ) 型的微分方程令 y ’=p 那么 y 〞=p ’ , 所以 p ’=f(x,p),再求解得 p=φ (x,C 1)即 dy/dx= φ(x,C 1), 所以 y=∫φ(x,C 1)dx+C 2 ③ y 〞 =f(y,y ’ ) 型的微分方程令 y ’=p 那么 y 〞=pdp/dy, 所以 pdp/dy=f(y,p), 再求解得 p=φ (y,C 1) 即 dy/dx= φ(y,C 1), 即 dy/ φ(y,C 1)=dx, 所以 ∫dy/ φ (y,C 1)=x+C 2 5.二阶常系数齐次线性微分方程解法一般形式 :y 〞+py ’+qy=0,特色方程 r 2+pr+q=01南京林业大学特色方程 r 2+pr+q=0 的两根为 r1,r2微分方程y〞+py’+qy=0的通解r r1x r2x212两个不相等的实根 r1,y=C e +C e两个相等的实根 r1=r2y=(C1+C2x)e r 1 x一对共轭复根 r1=α+iβ, r 2=α-iβαxcosβx+C2sin β x) y=e (C16.二阶常系数非齐次线性微分方程解法一般形式 : y 〞+py’+qy=f(x)先求 y〞+py’+qy=0 的通解 y0(x), 再求 y〞+py’+qy=f(x) 的一个特解 y*(x)那么 y(x)=y 0(x)+y*(x) 即为微分方程 y〞+py’+qy=f(x) 的通解求 y〞+py’+qy=f(x) 特解的方法 :①f(x)=P m(x)e x型λ令 y*=x k Q m(x)eλx［k 按λ不是特色方程的根 , 是特色方程的单根或特色方程的重根依次取 0,1 或 2］再代入原方程 , 确定 Q m(x) 的 m+1个系数λx②f(x)=e［Pｌ(x)cosωx+P n(x)sinωx］型kλx［Q m(x)cos ω x+R m(x)sin ωx］［m=max﹛ｌ ,n ﹜ ,k 按λ +i ω不是特色令 y*=x e方程的根或是特色方程的单根依次取0 或 1］再代入原方程 , 分别确定 Q (x) 和mR m(x) 的 m+1个系数附微分方程在物理学中的应用:⑴找准合适的研究对象⑵确定正确的数学模型⑶联列合理的微分方程⑷解出最正确的方程结果执笔：缪张华2。
微分方程求解方法
微分方程求解方法微分方程是数学中的一个重要概念，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
微分方程求解是通过已知条件找到满足方程的未知函数的过程。
根据方程的类型和性质，有多种解法可供选择。
一、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程形式为dy/dx = f(x)g(y)，可以通过变量的分离和积分的方法进行求解。
具体步骤如下：1. 将方程变形为dy/g(y) = f(x)dx。
2. 对两边同时积分，得到∫(1/g(y))dy = ∫f(x)dx。
3.求出积分的表达式，然后求解原方程。
二、一阶线性微分方程一阶线性微分方程的一般形式为dy/dx + P(x)y = Q(x)，可通过线性变换和积分的方法进行求解。
具体步骤如下：1. 通过线性变换将方程变为dy/dx + yP(x) = Q(x)P(x)。
2. 确定积分因子μ(x) = e∫P(x)dx。
3. 将原方程两边同时乘以μ(x)，并进行化简得到d(yμ(x))/dx = Q(x)μ(x)。
4. 对等式两边同时积分得到∫d(yμ(x))/dx dx = ∫Q(x)μ(x)dx。
5.求出积分的表达式，然后求解原方程。
三、二阶线性齐次微分方程二阶线性齐次微分方程的一般形式为d²y/dx² + p(x)dy/dx + q(x)y = 0，可以通过特征根法求解。
具体步骤如下：1. 假设解的形式为y = e^(mx)。
2. 将形式代入原方程，得到特征方程m² + pm + q = 0。
3.求解特征方程得到特征根m₁和m₂。
4.根据特征根的情况，得到相应的通解。
四、二阶线性非齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程的一般形式为d²y/dx² + p(x)dy/dx +q(x)y = f(x)，可以通过常数变易法求解。
具体步骤如下：1.假设原方程的特解为y=u(x)，将其代入原方程，得到关于u和它的导数的代数方程。
2.根据原方程的非齐次项f(x)的形式，设定特解的形式。
微分方程解法
微分方程解法微分方程是数学中非常重要的一种方程，它描述了变量之间的变化率关系。
解微分方程是找到满足给定条件的函数，使得该函数满足微分方程。
本文将探讨微分方程的解法，并介绍一些常用的解法方法。
一、常微分方程的解法常微分方程是只含有一个未知函数的微分方程。
常微分方程的解法方法主要有以下几种：1. 可分离变量法对于形如dy/dx=f(x)g(y)的方程，如果能将其分离成f(x)dx=g(y)dy 的形式，那么可以通过分别对方程两边进行积分来求得解。
这种方法适用于大部分可分离变量的微分方程。
2. 齐次方程法对于形如dy/dx=F(y/x)的方程，如果能将其转化为F(z)=z的形式，其中z=y/x，那么可以通过引入新变量z来简化微分方程的求解。
这种方法适用于一类具有齐次性质的微分方程。
3. 线性微分方程法对于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的方程，如果p(x)和q(x)都是已知函数，那么可以通过求解一阶线性常系数齐次微分方程的解，再利用特解和齐次解的线性组合求得原方程的解。
线性微分方程是常微分方程中最常见的一类方程。
对于形如dy/dx=F(ax+by+c)的方程，如果通过适当的变量替换，将方程化为直线的斜率不变的形式，那么可以通过直线积分求解。
这种方法适用于一类具有特殊形式的微分方程，在求解过程中可通过合适的变换将其转化为更简单的方程。
5. 特殊类型方程法除了上述常见的解法方法外，还有一些特殊类型的微分方程有自己独特的解法。
例如，一阶线性微分方程、二阶常系数线性齐次微分方程、二阶线性方程等都有一些特殊性质和求解方法。
二、偏微分方程的解法偏微分方程是含有多个未知函数及其偏导数的方程。
相对于常微分方程，偏微分方程的求解更加复杂，常用的解法方法有以下几种：1. 分离变量法对于形如u_t=F(x)G(t)的方程，如果能将其分离为F(x)/G(t)=h(u)=h(x)+k(t)的形式，那么可以通过分别对方程两边进行积分来求得解。
微分方程常用解法总结
微分方程常用解法总结微分方程常用解法总结2010年02月14日星期日14：47最近有点懒，有点颓废。
所以今天想写点什么了。
断断续续算是学完了微分方程，就来简单总结一下吧。
1、一阶微分方程可分离变量和齐次微分方程是最简单的微分方程了，而dy/dx=f[(a1x+b1y+c1)/(a2x+b2y+c2)]形式的方程则可以通过坐标平移x=x+h，y=y+k化为齐次方程，dy/dx=f(ax+by+c)形式的方程可以通过u=ax+by+c变为可分离变量的方程。
一阶线性方程dy/dx+P(x)y=Q(x)通常通过"常数变易法"或者直接代入公式求其通解。
但一般来说，通过简单的"凑微分"就可以求解。
考虑D[∫P(x)dx]=P(x)，且e∫P(x)dxP(x)=de∫P(x)dx方程两边同时乘上e∫P(x)dx得e∫P(x)dxdy/dx+de∫P(x)dxy=e∫P(x)dxQ(x)即d(e∫P(x)dxy)=e∫P(x)dxQ(x)两边同时对x求积分得e∫P(x)dxy=∫e∫P(x)dxQ(x)dx+c(不妨取每一个积分的常数项都为0即得y=e﹣∫P(x)dx∫e∫P(x)dxQ(x)dx+c]虽然上面说得很复杂，但上面的推导省去了硬背公式的麻烦，而且能运用于实际的运算。
如果每次运算都使用"常数变易法"，不仅步骤比凑微分长，而且回代后的求导过程也可能会出错。
贝努利方程一般是先化为一阶线性微分方程再求解。
2、二阶微分方程形如y``=f(x)，y``=f(x,y`)，y``=f(y,y`)的微分方程，都可以由教材上给出的方法求得通解。
由于方程都是可化为一阶方程求解，所以称以上三个方程为"可降阶二阶微分方程"。
二阶常系数线性微分方程(或者是更高阶的常系数线性微分方程)是最好求解的。
不仅仅是因为它们都公式可寻，而且因为它们的解法有很多，每一种解法都有其独到的美，包括以前所说过的"D算子法"。
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第二节 几类简单微分方程及其解法
本节将介绍可分离变量的微分方程、齐次方程以及一阶线性微分方程等一阶微分方程的解法. 一阶微分方程是微分方程中最基本的、最常见的一类方程.它的一般形式可表示为：
0)',,(yyxF或),('yxFy，
其中)',,(yyxF为,,'xyy的已知函数，),(yxF为,xy的已知函数. 一、可分离变量的微分方程 如果一阶微分方程),('yxFy的等式右端能分解为：
)()(),(ygxfyxF，
即)()('ygxfy (7.2.1) 则称方程(7.2.1)为可分离变量的微分方程.
设)(yg≠0，则方程(6.2.1)改写为：
dxxfdyyg)()(1，
上式两边积分，可得 dxxfdyyg)(
)(
1.
上述将微分方程化成分离变量形式求解的方法，称为分离变量法. 注：在分离变量时，未知函数y的函数和微分要写在等式的左边.
例1 求微分方程)3(2'yxy的通解. 解1： 原方程可改写为)3(2yxdxdy.
分离变量，两边积分,得,231xdxdyy ,3ln12cxy即.312cxey
记1cec，则微分方程的通解为 32xcey （c为任意常数）.
解2： 原方程可改写为)3(2yxdxdy. 分离变量，两边积分,得,231xdxdyy ,ln)3ln(2cxy即,3ln2xcy23xcey
则微分方程的通解为 32xcey （c为任意常数）.
注：为了简化运算，规定： （1） 微分方程中出现形为udu的积分时，可不按不定积分基本积分公式表写成
lnduucu，而是写成lnduuu；
（2） 不定积分等式中至少有一个形为udu的积分时，任意常数不写成c，而写成cln并放在等式右侧. 例2 求微分方程yxy'的通解. 解: 分离变量，两边积分, 得 ,dydxyx
cxylnlnln cxln 则微分方程的通解为cxy （c为任意常数）.
例3 求微分方程dxexdyxeyy)1(2)1(2的通解. 解: 分离变量，两边积分, 得
dxxxdyeeyy2121，
cxeyln)1ln()1ln(2 )1(ln2xc，
).1(12xcey 则微分方程的通解为 ]1)1(ln[2xcy （c为任意常数）.
例4 求微分方程)'('2yyaxyy的通解. 解: 原方程可写为 ,')(2ayyyxa 分离变量，两边积分,得 dyayy)1(11()1adyyay
1dxax, ,ln)ln()1ln(lncxaayy
)(ln1lnxacayy，
即 ).(1xacayy
则微分方程的通解为 )1)((ayxacy （c为任意常数）.
例5 求微分方程0sin)1(cosydyeydxx满足定解条件4)0(y的特解. 解: 分离变量，两边积分, 得
dxeedyyyxx1cos
sin
，
cos(1)cos1xxdydeye
,
即 ceyxln)1ln(cosln
)1(lnxec，
则微分方程的通解为 )1(cosxecy
由定解条件 4)0(y 可得：42c， 所以，所求特解为 )1(42cosxey. 例6 跳伞运动员跳伞下落，当伞张开时，伞以初速度为零垂直下落. 设空气助力与运动速度成正比，求跳伞运动员下落速度与时间的函数关系及其极限速度.
解: 设下落速度为)(tv，则加速度)('tva. 跳伞运动员所受的外力为：重力mg，方向
与速度方向相同；阻力)0(kkv，方向与速度方向相反. 根据牛顿第二定律，下落速度)(tv满足的微分方程为 ,'mvkvmg
定解条件为,0)0(v 分离变量，并积分,得 ,mdtkvmg
dv
(),dmgkvkdtmgkvm
，
ln()lnkmgkvtcm，
lnmgkvktcm，
ktmmgkvec
，
通解为： ),(1tmkcemgkv
代入定解条件 ,0)0(v可得,mgc 所以，跳伞运动员下落速度与时间的函数关系为
).1(tmkekmgv 当时间足够大时，极限速度为 )1(limlimtmkttekmgv
.kmg 答 下落速度与时间的函数关系为)1(tmkekmgv，极限速度为kmg. 二、齐次微分方程 如果一阶微分方程可写为
)(xyfdxdy （7.2.2）
则称方程（7.2.2）为齐次微分方程，简称为齐次方程. 特点: 将所给一阶微分方程整理成标准形式(,)yFxy,如果(,)Fxy中的每一项里的
x,y的幂指数之和恒为同一常数k,该方程为齐次微分方程.
解法: 通过变量替换,化为可分离变量的方程. 令 xyu， xuy ))((xuu
对x求导，得)('ufxuudxdy，即 uufxu)(' 分离变量并积分，得 cxduuufln)(1
（c为任意常数） （7.2.3）
完成等式左端的积分并回代，即可得到通解. 例7 求微分方程xyxyytan'的通解.
解: 令xyu, xuy，''tan,yuxuuu 代入方程得 uxutan' 分离变量，两边积分,得
cotdxudux，
,lnsinlncxu cxusin，
则微分方程的通解为
,sincxxy或cxxyarcsin，（c为任意常数）.
三、一阶线性微分方程 如果一阶微分方程),('yxFy的未知函数及其导数都是一次项的，称为一阶线性微分方程. 一阶线性微分方程的一般形式为 ).()('xqyxpy （7.2.4）
如果0)(xq，则方程（6.2.4）成为 .0)('yxpy （7.2.5）
方程（7.2.5）称为一阶齐次线性微分方程，相应地，方程（7.2.4）称为一阶非齐次线性微分方程. 1、 一阶齐次线性微分方程 一阶齐次线性微分方程是可分离变量的微分方程.分离变量后，可写为
,)(1dxxpdyy 两边积分,得 (),dypxdxy
,ln)(lncdxxpy
ln(),ypxdxc 则一阶齐次线性微分方程（7.2.5）的通解为 ()pxdxyce （c为任意常数）. 7.2.6） 2、一阶非齐次线性微分方程 将一阶非齐次线性微分方程（7.2.4）中的)(xq取为零，得到得齐次线性微分方程（7.2.5）称为该非齐次线性微分方程对应的齐次线性微分方程. 为了求得一阶非齐次线性微分方程（7.2.4）的通解，可采用常数变易法：即在求得对
应的齐次线性微分方程的通解（7.2.6）后，将通解（7.2.6）中的常数c变易为待定函数)(xu
代入方程（7.2.4）得)(xu满足的关系式,求解)(xu得到通解y. 设一阶非齐次线性微分方程（7.2.4）的通解为 ,)()(dxxpexuy ,)()()()()(''dxxpdxxpexpxuexuy
将y和'y代入一阶非齐次线性微分方程（7.2.4），得
()()()()'()'()()()()()'()(),pxdxpxdxpxdxpxdxypxyuxeuxpxeuxpxeuxeqx ()'()(),pxdxuxeqx
积分，得 .)()()(cdxexqxu
dxxP
因此，一阶非齐次线性微分方程（7.2.4）的通解为 ()()[()],Pxdxpxdxyqxedxce （c为任意常数） （7.2.7）
公式（7.2.7）可改写为 .)()()()(dxexqeceydxxPdxxpdxxp
由上式可见，一阶非齐次线性微分方程（7.2.4）的通解是对应的一阶齐次线性微分方程的通解dxxpceY)(和其本身的一个特解dxexqeydxxPdxxp)()()(*的和.*yYy 这个结论对其他类型非齐次线性方程亦成立. 为了简便起见，本书中，我们称非齐次线性微分方程对应的齐次线性微分方程的通解Y为非齐次线性微分方程的‘余函数’ .
例8 求微分方程02'xyy的通解.
分析：该方程为一阶齐次线性微分方程，xxp2)(，可用分离变量法，也可用公式（7.2.6）直接求解. 解： 通解为
xdxcey2
2xce ， （c为任意常数）.
例9 求微分方程xeyy'的通解. 分析：该方程为一阶非齐次线性微分方程，1)(xp，xexq)(，可用公式（7.2.7）直接求解. 解： 通解为 dxdxxecdxeey)(
()xdxce ()xxce， （c为任意常数）.
例10 求微分方程xxyxysin1'满足定解条件1)2(y的特解. 分析：该方程为一阶非齐次线性微分方程，xxp1)(，xxxqsin)(，可用公式（7.2.5）直接求通解，再用定解条件1)2(y求特解. 解： 通解为 11sin()dxdxxxx
yedxcex