7-2一阶微分方程的常见类型及解法
7-2(全微分方程补充)
xdy ydx 1 x y d ln 2 2 x y 2 x y
( P ) ( Q ) 2.公式法: , y x P Q 两边同除， P Q y y x x ln ln P Q Q P x y y x
思考: 如何解方程
1 这不是一个全微分方程 , 但若在方程两边同乘 2 , x 就化成例2 的方程 .
二、积分因子法
若存在连续可微函数 ( x , y ) 0 , 使 为全微分方程, 则称 ( x , y )为原方程的积分因子. 在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到 积分因子.
1 dx 1 x
[ x e
2
1 dx 1 x
dx C ],
x3 x4 通解为 y xy C. 3 4
( x 2 x 3 y )dx (1 x )dy 0, 解2 整理得 P Q 1 , 是全微分方程. y x
A 用曲线积分法:
1 P Q 1 ) , ( x) e 解 ( Q y x x
则原方程为1 dx x x.(3 x 2 y xy2 )dx ( x 3 x 2 y )dy 0,
(3 x 2 y xy2 )dx ( x 3 x 2 y )dy 0,
全微分方程
一、全微分方程 二、积分因子法
一、全微分方程
若存在 u( x, y ) 使 d u( x , y ) P ( x , y ) d x Q ( x , y ) d y 则称 P ( x, y) d x Q ( x, y) d y 0 ①
为全微分方程 ( 又叫做恰当方程 ) . 判别: P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数, 则
解一阶线性微分方程
解一阶线性微分方程一阶线性微分方程是一类常见的微分方程，解决这类问题的方法有很多。
本文将介绍一些解线性微分方程的方法及其相关理论。
一、定义一阶线性微分方程（简称线性微分方程）是指具有如下形式的微分方程：a(x)yb(x)y=f(x)其中，a(x)，b(x)和f(x)是在区间[a，b]内定义的连续函数，y 是未知函数，y表示y的导数。
二、解法1.一般解一般解是指不考虑特殊情况的一般的解法，也就是通用的解法。
设定f(x)=0，a(x),b(x)不全为0则在[a,b]之间有：y= Cexp(-∫b(x)/a(x)dx) +f(x)exp(∫b(x)/a(x)dx)dx 其中C是一个任意常数。
2.特殊解特殊解是指考虑特殊情况时，要使用的特殊的解法。
（1）a(x)=b(x)=0，f(x)=g(x)则有：y=Cx+∫g(x)dx其中C是一个任意常数。
（2）a(x)=b(x)=0，f(x)不等于0则有：y=Cexp(∫f(x)dx)其中C是一个任意常数。
（3）a(x)不为0，b(x)=f(x)=0则有：y=C其中C是一个任意常数。
三、实例下面举一个实例来讲解解线性微分方程的方法及其实际应用。
实例：解 y+y=x+2（x>0）解：这里a(x)=1，b(x)=1，f(x)=x+2，因此有y=C*exp(-x)+x+2-2即y=Cexp(-x)+x取x=0时，有C=y0综上，得通解为：y=y0exp(-x)+x四、总结线性微分方程是一类常见的微分方程，一般可以用一般解法和特殊解法来解决。
一般解法适用于大多数情况，而特殊解法是在一般解法不能够满足特殊约束的情况下使用的，它们非常灵活，能够满足各种不同的需求。
本文介绍了解一阶线性微分方程的方法，以及其实际应用的一个实例，希望对读者有所帮助。
一阶微分方程的解法
一阶微分方程的解法一、分离变量法：分离变量法适用于可分离系数的方程，即可以将微分方程变换成关于未知函数的形式。
例如，考虑一阶微分方程dy/dx = f(x)g(y)，我们可以将方程变换为dy/g(y) = f(x)dx的形式，然后对方程两边同时积分，即可求解出未知函数y(x)的表达式。
二、齐次方程法：齐次方程是指一阶微分方程可以表示为dy/dx = f(y/x)的形式。
对于这种类型的方程，我们可以通过变量替换来将其转化为可分离变量的方程。
设y = vx，其中v是未知函数。
将y = vx代入原方程，对方程进行求导得到dy/dx = v + x*dv/dx。
将这两个式子代入原方程，得到v +x*dv/dx = f(v)。
将此方程化简为可分离变量的形式后，进行变量分离、积分的步骤，即可得到未知函数v(x)的表达式。
进一步代回y = vx，即可求得原方程的解。
三、一阶线性方程法：一阶线性方程是指可以表示为dy/dx + P(x)y = Q(x)的方程。
对于这种类型的方程，我们可以利用积分因子法来求解。
设积分因子为μ(x) = exp[∫P(x)dx]，其中P(x)是已知的系数。
对原方程两边同时乘以μ(x)，可以得到μ(x)*dy/dx + P(x)μ(x)y =Q(x)μ(x)。
左边这个式子是一个恰当方程的形式，我们可以将其写成d(μ(x)y)/dx = Q(x)μ(x)的形式。
对上述方程进行积分后，再除以μ(x)，即可得到未知函数y(x)。
四、可化为可分离变量的方程：有一些一阶微分方程虽然不能直接分离变量，但是可以通过一些代换或适当变量变换后化为可分离变量的方程。
例如，对于方程dy/dx = f(ax + by + c)，我们可以设u = ax + by + c，将其转化为关于u和x的方程。
然后对方程两边进行求导，并代入y = (u - ax - c)/b，即可得到关于u和x的可分离变量方程。
最后通过分离变量、积分等步骤，计算出未知函数y(x)的表达式。
总结一阶微分方程的类型及其解法
总结一阶微分方程的类型及其解法一阶微分方程是指只包含未知函数的一阶导数的方程。
一阶微分方程广泛应用于物理、工程、经济等各个领域，并且在实际问题中具有重要的作用。
下面将总结一阶微分方程的类型及其解法。
一阶微分方程可以分为可分离变量方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程、可化为常数系数线性方程、可化为直接积分方程等几种类型。
1.可分离变量方程：可分离变量方程指的是方程可以通过将变量分离到方程的两侧来求解。
形式为dy/dx = f(x)g(y)。
首先将方程化为dy/g(y) = f(x)dx的形式，然后对两边同时积分，得到∫(1/g(y))dy = ∫f(x)dx。
最后可以求出y的解。
2.齐次方程：齐次方程指的是方程为dy/dx = f(x, y)/g(x, y)的形式，其中f(x, y)和g(x, y)为齐次函数。
这类方程可以通过进行变量代换，令y = ux，即可将方程化为可分离变量的形式，进而解出y的解。
3.线性方程：线性方程指的是方程为dy/dx + P(x)y = Q(x)的形式。
对于这类方程，可以使用线性常数变易法来求解。
通过引入一个特殊的函数u(x)，可以将方程化为du/dx + [P(x) - Q(x)]u = 0的形式。
然后可以使用可分离变量的方法来求解。
4.伯努利方程：伯努利方程指的是方程为dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n的形式，其中n为常数且n≠0。
1、对于这类方程，可以通过简单的变量代换y = u^(1-n)来将方程化为线性方程，从而方便地求解。
5.可化为常数系数线性方程：可化为常数系数线性方程指的是方程可以通过适当的变换化为形如dy/dx + Py = Q的方程，其中P和Q为常数。
一般来说，这类方程可以通过进行一些适当的代换变量和函数来求解。
6.可化为直接积分方程：可化为直接积分方程是一类特殊的一阶微分方程，形式为M(x,y) +N(x,y)dy/dx = 0。
对于这类方程，可以通过将方程两边进行积分，从而将方程转化为积分方程的形式，进而求出y的解。
一阶微分方程解法
一阶微分方程解法在数学的世界中，微分方程是一个非常重要的领域，它在物理、工程、经济等众多学科中都有着广泛的应用。
一阶微分方程作为微分方程的基础类型之一，掌握其解法对于深入理解和解决更复杂的问题具有关键意义。
一阶微分方程的一般形式可以表示为：＄y' ＋ P(x)y ＝ Q(x)＄，其中＄P(x)＄和＄Q(x)＄是已知的关于＄x$ 的函数，＄y'＄表示＄y$ 对＄x$ 的导数。
接下来，我们将介绍几种常见的一阶微分方程的解法。
一、可分离变量的一阶微分方程如果一阶微分方程可以写成＄g(y)dy ＝ f(x)dx$ 的形式，那么我们就称它为可分离变量的一阶微分方程。
这种类型方程的解法相对简单，只需要分别对等式两边进行积分即可。
例如，考虑方程＄y' ＝ 2xy$，将其变形为＄＼frac{dy}｛y} ＝2xdx$。
然后，对两边积分：＄＼int\frac{dy}｛y} ＝＼int 2xdx$，得到＄＼ln|y| ＝ x^2 ＋ C$（＄C$ 为常数），进而可以得到＄y ＝＼pm e^｛x^2 ＋ C} ＝ Ce^｛x^2}＄（＄C ＝＼pm e^C$）。
二、一阶线性微分方程一阶线性微分方程是形如＄y' ＋ P(x)y ＝ Q(x)＄的方程。
我们可以使用积分因子法来求解。
首先，求出积分因子＄＼mu(x) ＝ e^｛＼int P(x)dx}＄。
然后，将原方程两边乘以积分因子，得到：＄e^｛＼int P(x)dx}y' ＋ P(x)e^｛＼int P(x)dx}y ＝ Q(x)e^｛＼intP(x)dx}＄可以发现等式左边是＄（e^｛＼int P(x)dx}y)＇＄，所以对上式两边积分可得：＄e^｛＼int P(x)dx}y ＝＼int Q(x)e^｛＼int P(x)dx}dx ＋ C$最后，解出＄y$ 即可。
例如，对于方程＄y' ＋ 2y ＝ 3e^｛－2x}＄，这里＄P(x) ＝ 2$，＄＼int P(x)dx ＝ 2x$，积分因子＄＼mu(x) ＝ e^｛2x}＄。
一阶微分方程的类型及其解法
一阶微分方程的类型及其解法
一、一阶微分方程
一阶微分方程（ODE）是指具有一个未知函数及其反问因子的微分
方程。
它可以用来求解解析方程，研究它们的解的性质以及求解复杂
的物理问题。
一阶微分方程可以分为常微分方程、拟齐次线性微分方
程和非线性微分方程三大类。
二、解法
（1）常微分方程可以用积分因子分离变量法、限制变量法及特征
积分法等解法进行求解。
（2）拟齐次线性微分方程的解可用积分系数、分步求积法、可积
方程法等解法得到。
（3）非线性微分方程的解可用近似法（也称为等价线性化法），
极限积分法，pictctc函数法，水平法，积分矩阵法，置换法等解决。
三、总结
一阶微分方程是数学中常见的重要类型，它包括常微分方程、拟
齐次线性微分方程和非线性微分方程。
它可以用来求解解析方程，研
究它们的解的性质以及求解复杂的物理问题。
三类微分方程分别有各
自的求解解法，诸如常微分方程可用积分因子分离变量法、限制变量
法及特征积分法等解法进行求解，拟齐次线性微分方程可用积分系数、
分步求积法、可积方程法等解法得到，而非线性微分方程则可用各种近似法，极限积分法，pictctc函数法等解决。
一阶微分方程解的形式
一阶微分方程解的形式一阶微分方程是数学中常见的一类方程，它涉及到未知函数的一阶导数。
求解一阶微分方程是微分方程学的基本内容之一，也是应用数学中的重要工具。
一阶微分方程的解具有一定的形式，可以通过变量分离、恰当形式、线性、可降阶等方法进行求解。
一阶微分方程的一般形式为：dy/dx = f(x, y)，其中f(x, y)是给定的函数。
我们的目标是找到函数y(x)的表达式，使得方程左侧和右侧的函数相等。
我们来看一个简单的例子。
考虑一阶线性微分方程dy/dx + p(x)y = q(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数。
这个方程可以通过乘以一个积分因子的方法来求解。
积分因子可以表示为μ(x) = exp[∫p(x)dx]，其中exp表示指数函数。
通过乘以积分因子，我们可以将方程变为d[y(x)μ(x)]/dx = q(x)μ(x)。
然后，对等式两边进行积分，即可得到y(x)的表达式。
除了线性微分方程，还有一些特殊的一阶微分方程解的形式。
例如，可分离变量的一阶微分方程可以通过变量分离的方法来求解。
这类方程可以表示为dy/dx = g(x)h(y)，其中g(x)和h(y)是已知函数。
我们可以将方程变形为dy/h(y) = g(x)dx，然后对等式两边进行积分，最后得到y(x)的表达式。
一阶齐次线性微分方程的解的形式也具有特殊的形式。
一个一阶齐次线性微分方程可以表示为dy/dx = F(y/x)，其中F是一个已知函数。
通过变量替换y = vx，我们可以将方程化简为dv/dx = (F(v) - v)/x。
然后，我们可以通过分离变量或者其他的方法来求解这个方程。
除了上述的几种解的形式外，还有一些其他的方法可以用于求解一阶微分方程。
例如，可以通过恰当形式的方法来求解一些特殊的微分方程。
此外，一阶微分方程还可以通过可降阶法、变量替换、常系数线性微分方程等方法来求解。
总结起来，一阶微分方程的解具有一定的形式，可以通过变量分离、恰当形式、线性、可降阶等方法进行求解。
一阶微分方程的常见类型及解法
一阶微分方程的解法多样，包括分离变量法、常数变易法、 积分因子法等，灵活运用这些方法可以求解各种类型的一 阶微分方程。
02 一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的标准形式
一阶线性微分方程的一般形式为：$y' + p(x)y = q(x)$，其中$p(x)$和 $q(x)$是已知函数，且$p(x)$在所考虑的区间上连续。
应用领域
物理学、化学、工程学等领域中的实际问题，如放射性衰变、化学反应速率、电路分析等。
04 一阶常系数线性微分方程 组
一阶常系数线性微分方程组的标准形式
一阶常系数线性微分方程组的一般形式为
$y' + p(x)y = q(x)$，其中$p(x)$和$q(x)$是已知函数，且$p(x)$和$q(x)$的系数是常数。
03
积分因子法：通过构造一个积分因子，将原方程转化为全微分方程，从而简化 求解过程。具体步骤包括：根据方程形式构造积分因子，将原方程两边同乘以 积分因子，得到全微分方程，求解全微分方程得到原方程的通解。
举例与应用
举例
求解一阶常系数线性微分方程组 $y' + 2y = x$。首先写出对应的齐次方程 $y' + 2y = 0$，求出齐次方程的 通解 $y = C_1e^{-2x}$。然后用常数变易法求出非齐次方程的特解 $y = frac{1}{2}x - frac{1}{4}$。最后将
通解和特解相加得到原方程的通解 $y = C_1e^{-2x} + frac{1}{2}x - frac{1}{4}$。
应用
一阶常系数线性微分方程组在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。例如，在电 路分析中，一阶常系数线性微分方程组可以用来描述电路中电压和电流的关系；在经济 学中，一阶常系数线性微分方程组可以用来描述商品价格与供求关系之间的动态变化。
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2
GB
2
ln(
G B v x ) ． GB m
27-6
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7.2.2
齐次方程
形如
dy y ( ) dx x
定义 7.2.2
(7.2.6)
的一阶微分方程称为齐次方程．
dy y y ln 是齐次方程． dx x x
例如
y 2dx (2 x2 xy)dy 0 也是齐次方程．这是因为可将方程化为
v
vdv dx ， G B v m GB
2
ln(G B v)
x C ． m
GB ln(G B) ，
由初始条件 x |t 0 0, v |t 0 0 得 v |x0 0 ，代入上式，得C 故该落体的速度与位移的函数关系为
v
ydx ( x x 2 y 2 )dy ．
27-10
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续解
这里将 y 为自变量，x 为未知函数. 由曲线 L 的对称性，我们可
dx x x ( )2 1 ． dy y y
以在 y 0 的范围内求解．这时上式可化为
x dx dv v v y 这是齐次方程．令 ，则 x yv ，有 ，代入上式，得 y dy dy
M1( x) N1( y)dx M 2 ( x) N2 ( y)dy 0
的一阶微分方程称为可分离变量的微分方程．
设 g ( y) 0 ，将方程式（7.2.1）化为变量分离的方程
dy f ( x)dx. g ( y)
(7.2.3)
若 f 与 g 都是连续函数，两边积分，得
dy g ( y) f ( x)dx ．
7.2
7.2.1 7.2.2 7.2.3 7.2.4
一阶微分方程的常见类型及解法
可分离变量的微分方程 齐次方程 一阶线性微分方程 可用简单变量代换法求解的方程
27-1
2018/6/8
7.2.1
可分离变量的微分方程
形如
dy f ( x) g ( y， ) dx
定义 7.2.1 或
(7.2.1) (7.2.2)
(7.2.4)
27-2
设 G y 及 F x 分别为
1 及f ( x) 的原函数，则有 g ( y)
G( y) F ( x) C .
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(7.2.5)
将式（7.2.5）两边微分即可证明由式（7.2.5）所确定的 x, y 之间的 隐函数关系式一定满足方程式（7.2.3） ，且式（7.2.5）含有一个任意常 数 C，所以式（7.2.5）为方程（7.2.3）的通解，也即为方程（7.2.1）的 通解，称为隐式通解，在方便时可以转化为显式通解．
ye
1 dx x
( xe xe
1 dx x
dx C ) e
ln x
( xe xe
ln x
dx C ) .
为了计算简便,上式中的 ln x 可用 ln x 代替，故原方程通解为
y eln x ( xe xe ln xdx C ) x(C e x ) ．
注 3：式 (7.2.10) 和 (7.2.14)的所有不定积分中不再含有任意常数．
27-14
例 7.2.5 求微分方程 y y cos x e sin x ln x 的通解．
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解 这是一阶非齐次线性微分方程，其中 P( x) cos x, Q( x) e sin x ln x ， 由通解公式（7.2.14）得该方程的通解为
dv dy dv 2 ． v y v v 1 ，得 2 dy v 1 y
积分得 以v
ln(v v 2 1) ln y ln C ，
即 v v2 1
C )． 2
y ． C
x 代入得通解 y
y 2 2C ( x
由此可见，该曲线是以 x 轴为对称轴，焦点在原点的抛物线．
du (u ) ．这是可分离变量的微分方程． dx
du dx (u ) u x ．
于是
将其代入式(7.2.6)，得到 u x
当 (u) u 0 时，分离变量后积分得 记 F (u) 为
1 的一个原函数，则得 F (u) ln | x | C ， (u ) u
也称方程 (7.2.9)为对应于一阶非齐次线性微分方程(7.2.8) (Q ( x ) 0 ) 的齐次方程．
27-12
dy ， P( x) y 0 dx
(7.2.9)
对于一阶齐次线性微分方程
dy P( x) y 0 ．显然它是可分离变量的 dx
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微分方程，通过分离变量法，得到通解 y Ce P ( x )dx ． (7.2.10) dy 对于一阶非齐次线性微分方程 P( x) y Q( x) ， 我们可用所谓的 “常 dx
27-11
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7.2.3 一阶线性微分方程
定义 7.2.3 形如
dy P ( x 方程称为一阶线性微分方程．
如果 Q( x) 0 ，则方程（7.2.8）变为 称为一阶齐次线性微分方程．
如果 Q ( x ) 0 ，称方程（7.2.8）为一阶非齐次线性微分方程．
图7-2-1
由 题 意 ， PMT ， 由 光 学 反 射 定 律 有 OMA PMT ， 故
y AO OM ． 又 AO AN ON MN cot ON x ， 而 OM x2 y 2 ， y y 得微分方程 x x 2 y 2 ，即 y
(7.2.12)
把式（7.2.11） 、式（7.2.12）代入
dy P( x) y Q( x) ，得 dx
C( x) Q( x)e P ( x )dx
27-13
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积分得
C ( x) Q( x)e P ( x )dxdx C ．
(7.2.13)
将式（7.2.13）代回式（7.2.11） ，得方程
但上式反映的是速度与时间的关系，并没有直接反映速度与位移的联系．
27-5
续解 为了得到速度与位移的关系，将 故微分方程化为
v
dv dv dv dx dv 表示成 v ， dt dt dx dt dx
2018/6/8
dv G B v ． dx m
分离变量后化为 两边积分，得
(7.2.7)
du u2 du 2u ux ,即 x ． dx u 2 dx u 2
分离变量得 积分得
1 1 dx ( )du ． 2 u x
1 1 u ln | u | C ln | x | ，即 ln | ux | u C ． 2 2
y ，整理，得原方程通解为 x ln | y | y C． 2x
注 1：从式（7.2.15）可以看出，一阶非齐次线性微分方程的通解可以表示 为对应的一阶齐次线性微分方程的通解与非齐次方程本身的一个特解之和． 后面将介绍这个结论对于高阶非齐次线性微分方程也成立．
注 2： 当 Q( x) 0 时，式(7.2.14) 即为式(7.2.10)，可见一阶齐次线性微分 方程的通解也包含在式 (7.2.14)之中．
y e cos dx [ e sin x ln x e cos dxdx C ] e sin x [ ln xdx C ]
e sin x ( x ln x x C ) ．
例 7.2.6
解
求微分方程 ( y x2e x )dx xdy 0 的通解． 1 原方程可化为 y y xe x ,是一阶非齐次线性微分方程．通解为 x
注 1：这种通过分离变量来解微分方程的方法称为分离变量法． 式 (7.2.2)用分离变量法类似可解．
注 2：在上述方法中，受到 g ( y) 0 的前提假设，如果扩大任意常数 C 的取值范围，则可使 g ( y) 0 的解仍包含在通解中．
27-3
例 7.2.1
dy y(1 x) 求微分方程 满足初始条件 y dx x
y 所以齐次方程 (7.2.6)的通解为 F ( ) ln | x | C ． x
27-8
2018/6/8
例 7.2.3
求微分方程 y 2dx (2 x2 xy)dy 0 的通解．
y ( )2 dy x ， dx y 2 x
解 原方程可化为齐次方程
y 令 u ，得 x
其间还受到介质的浮力 B 与阻力 R 的作用.已知阻力 R 与下坠的速度 v 成 正比，比例系数为 λ，即 R v .试求该落体的速度与位移的函数关系．
解 物体在下坠过程中所受到的合力为
F GBR．
设 x 轴铅直向下，原点是物体开始下坠时的位置，如果经过时间 t ， 物体的位移为 x x t ，速度为 v v(t ) ，故 x |t 0 0, v |t 0 0 ． 设 x 轴铅直向下，原点是物体开始下坠时的位置，如果经过时间 t ， 物体的位移为 x x t ，速度为 v v(t ) ，故 x |t 0 0, v |t 0 0 ． dv dv G B v 由牛顿第二定律得 m G B v ，即 ． dt dt m
数变易法”来求出它的通解，具体做法如下.
假设
dy P( x) y Q( x) 有形如 y C ( x)e P ( x )dx . dx
(7.2.11)
的解，这里 C( x) 为函数，并非常数．则
dy C(x)e P ( x )dx C ( x) P( x)e P ( x )dx . dx