高二数学上学期期中试题理50

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湖北省华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高二上学期期中检测数学试题及答案

华中师大一附中2024-2025学年度上学期期中检测高二数学试题考试时间：120分钟试卷满分：150分命题人：一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．）1．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，1()AA AD CD +-运算的结果为A ．ACB ．BDC ．1AC D ．1AD 2．已知圆22:(2)(4)4C x y -+-=，若圆C 关于直线:2(0,0)l ax by a b +=>>对称，则21a b+的最小值为A ．8B ．1C ．16D ．3．已知椭圆22194y x +=与直线l 交于A ，B 两点，若点(1,1)P -为线段AB 的中点，则直线l 的方程是A ．94130x y +-=B ．94130x y -+=C ．49130x y -+=D ．4930x y -+=4．如图所示，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1=AB =2，则异面直线A 1C 与AB 1所成角的余弦值为A ．12B ．2C ．14D ．245．已知圆2221:104t C x y tx +-+-=与圆222:230C x y y +--=，若圆C 1与圆C 2恰有三条公切线，则实数t的值为A ．±B ．±C ．±D ．06．已知椭圆22:154x y C +=，M 为椭圆C 上的一点，则点M 到直线:40l x y -+=距离最小值为A ．0B ．12C ．D 7．已知F 1，F 2，B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点和上顶点，连接BF 1并延长交椭圆C于点P ，若△PF 2B 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率为A ．12B ．13C ．2D8．设a 为实数，若直线1:10l ax y ++=，2:10l x y ++=，23:(5)330l a a x ay +-+-=两两相交，且交点恰为直角三角形的三个顶点，则这样的1l ，2l ，3l 有A ．2组B ．3组C ．4组D ．5组二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有若干个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．）9．已知圆22:4O x y +=，直线:l y x b =+，下列说法正确的是A ．当b <-或b >-时，圆O 上没有点到直线l 的距离等于1B ．当1b =±时，圆O 上恰有三个点到直线l 的距离等于1C ．当b =时，圆O 上恰有三个点到直线l 的距离等于1D ．当1b =±时，圆O 上恰有四个点到直线l 的距离等于110．将圆2216x y +=上任意一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的12，得到椭圆C ，若该椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，长轴两端点分别为A ，B ，则A ．椭圆的标准方程为221168x y +=B ．若点M 是椭圆C 上任意一点（与A ，B 不重合），P 在F 1M 的延长线上，MN 是∠PMF 2的角平分线，过F 2作F 2Q 垂直MN 于点Q ，则线段OQ 长为定值4C ．椭圆上恰有四个点M ，使得122F MF π∠=D ．若点M 是椭圆C 上任意一点（与A ，B 不重合），则△MF1F 2内切圆半径的最大值为6-11．如图，正方体透明容器ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为8，E ，F ，G ，M 分别为AA 1，AD ，CC 1，A 1B 1的中点，点N 是棱C 1D 1上任意一点，则下列说法正确的是A ．B 1C ⊥BNB ．向量EM 在向量FG 上的投影向量为13FGC ．将容器的一个顶点放置于水平桌面上，使得正方体的12条棱所在的直线与桌面所成的角都相等，再向容器中注水，则注水过程中，容器内水面的最大面积为D ．向容器中装入直径为1的小球，最多可装入512个三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．对于任意实数,,x y z ________．13．已知正方形ABCD 中心的坐标为(2,3)，若直线AB 的方程为3420x y ++=，则与AB 边垂直的两条边所在的直线方程为________________．14．已知点P 是椭圆22:143x y C +=上一动点，过点P 作221:(1)4G x y ++= 的切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，当||||PG AB ⋅最小时，线段AB 的长度为________________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知△ABC 的顶点(2,1)A ，边AB 的中线CM 所在直线方程为10x y -+=，边AC 的高BH 所在直线方程为220x y -+=．（1）求点B 的坐标；（2）若入射光线经过点(2,1)A ，被直线CM 反射，反射光线过点()4,2N ，求反射光线所在的直线方程．16．（15分）已知圆22:64120M x y x y +--+=和(1,0)A -，(1,1)B ，(2,4)C ．（1）求过点(2,4)C 且与圆M 相切的直线方程；（2）试求直线AC 上是否存在点P ，使得314PA PB ⋅= ？若存在，求点P 的个数，若不存在，请说明理由．17．（15分）如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积为1，△A 1BC 的面积为2．（1）求点A 到平面A 1BC 的距离；（2）设D 为A 1C 的中点，AA 1=2AB ，平面A 1BC ⊥平面ABB 1A 1，求二面角A -BD -C 的正弦值．18．（17分）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：如图用一张圆形纸片，按如下步骤折纸：步骤1：设圆心是E ，在圆内异于圆心处取一定点，记为F ；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F ，此时圆周上与点F 重合的点记为A ；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE 的交点为P ；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕和越来越多的点P ．现取半径为8的圆形纸片，设点F 到圆心E 的距离为，按上述方法折纸．以线段FE 的中点为原点，FE的方向为x 轴的正方向建立平面直角坐标系xOy ，记动点P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程：（2）若点Q 为曲线C 上的一点，过点Q 作曲线C 的切线y kx m =+交圆22:16O x y +=于不同的两点M ，N ．（ⅰ）试探求点Q 到点40,D m ⎛⎫- ⎪⎝⎭的距离是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由；（ⅱ）求△OMN 面积的最大值．19．（17分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，且点1,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆上．（1）求椭圆M 的方程；（2）过x 轴上的一定点(1,0)P 作两条直线1l ，2l ，其中1l 与椭圆M 交于A 、B 两点，2l 与椭圆M 交于C 、D 两点，（A ，C 在x 轴上方，B ，D 在x 轴下方），如图所示．（ⅰ）已知(2,0)Q ，直线QA 斜率为1k ，直线QC 斜率为2k ，且121k k ⋅=，求证：直线AC 过定点；（ⅱ）若直线1l ，2l 相互垂直，试求AC BD ⋅的取值范围．华师一附中2024-2025学年度上学期期中高二数学一、单选题1.在长方体1111ABCD A B C D -中，1()AA AD CD +-运算的结果为（）A.ACB.BDC.1AC uuur D.1AD uuur 【答案】C【解】如下图示，1111()AA AD CD AD DC AD AB AC +-=+=+=.2.已知圆22:(2)(4)4C x y -+-=，若圆C 关于直线:2(0,0)l ax by a b +=>>对称，则21a b+的最小值为（）A.8B.1C.16D.【答案】A【解】直线:2l ax by +=过圆心(2,4)C ，则24221a b a b +=⇒+=，且0,0a b >>，所以2121(2)4484b a a b a b a b a b +=++=++≥+，当且仅当11,24a b ==时取等号，故21a b+的最小值为8.3.已知椭圆22194y x +=与直线l ,A B 两点，若点(1,1)P -为线段AB 的中点，则直线l 的方程是（）A.94130x y +-=B.94130x y -+=C.49130x y -+=D.4930x y -+=【答案】B【解】设点1122()A x y B x y ,,(,)，因点(1,1)P -为线段AB 的中点，则12122,2,x x y y +=-+=（*）又1122()A x y B x y ,,(,)在椭圆224936y x +=上，则22114936y x +=①，22224936y x +=②，由-①②，可得121212124()()9()()0y y y y x x x x +-++-=，将（*）代入，化简得12124()9()y y x x -=-，即121294y y x x -=-，可知直线l 的斜率为94，故直线l 的方程为：91(1)4y x -=+，即94130x y -+=.4.如图所示，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB ==，则异面直线1AC 与1AB 所成角的余弦值为（）A.12B.22C.14D.24【答案】C【解】由1111A C A C A A =+ ，1111A A B A A B =-，而111111,A C A A A B A A ⊥⊥且11160B AC ∠=︒，则21111111111111111111()()AC AB AC A A A B A A AC A B AC A A A A A B A A⋅=+⋅-=⋅-⋅+⋅- 20042=-+-=-，11||||22A C AB == ，则1111111cos ,4||||A C AB AC AB A C AB ⋅==-，所以异面直线1AC 与1AB 所成角的余弦值为14.5.已知圆2221:104t C x y tx +-+-=与圆222:230C x y y +--=，若圆1C 与圆2C 恰有三条公切线，则实数t 的值为（）A.22± B.42± C.46± D.0【答案】B【解】由圆1C 与圆2C 恰有三条公切线，可知圆1C 与圆2C 外切.由2221:104t C x y tx +-+-=配方得：221:()12t C x y -+=，知圆心1(,0),2t C 半径11r =；由222:230C x y y +--=配方得：222:(1)4C x y +-=，知圆心2(0,1),C 半径22r =.由1212||C C r r =+，可得2()132t+=，解得42t =±.6.已知椭圆22:154x y C +=，M 为椭圆C 上的一点，则点M 到直线:40l x y -+=距离最小值为（）A.0B.12C.22D.2【答案】C【解】与:40l x y -+=平行且与椭圆相切的直线，其中存在切点到直线l 的距离最小，令切线为0x y t -+=，联立椭圆方程有22()154x x t ++=，整理得229105020x tx t ++=-，所以2210036(520)0t t ∆=-⨯-=，则3t =±，对于30x y -+=，其切点到l 的距离为22，对于30x y --=，其切点到l 的距离为722，点M 到直线:40l x y -+=距离最小值为2.7.已知12,,F F B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点和上顶点，连接1BF 并延长交椭圆C 于点P ，若2PF B 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率为（）A.12B.13C.22D.3【答案】D【解】由2PF B 为等腰三角形，则有2||||PB PF =，而1212||||||||2PF PF BF BF a +=+=，又12||||BF BF a ==，11||||||PB PF BF =+，若1||PF m =，则||PB a m =+，2||2PF a m =-，所以22aa m a m m +=-⇒=，在12BF F △中222112212112||||||cos 2||||BF F F BF c BF F BF F F a +-∠==，在12PF F 中22222112212112||||||2cos 2||||PF F F PF c a PF F PF F F ac+--∠==，1212cos cos 0PF F BF F ∠+∠=，即222c a c a ac -=，整理得223c a =，则33c e a ==.8.设a 为实数，若直线1:10l ax y ++=，2:10l x y ++=，23:(5)330l a a x ay +-+-=两两相交，且交点恰为直角三角形的三个顶点，则这样的1l ，2l ，3l 有（）A.2组B.3组C.4组D.5组【答案】B【解】123,,l l l 的方向向量分别为1(1,)m a =- ，2(1,1)m =- ，23(3,5)m a a a =--+，若12l l ⊥，则12(1,)(1,1)101m m a a a ⋅=-⋅-=+=⇒=-，此时1:10l x y -++=，2:10l x y ++=，3:5330l x y ---=，它们交于一点(0,1)-，不符；若13l l ⊥，则2213(1,)(3,5)(2)0m m a a a a a a a ⋅=-⋅--+=+-=⇒2a =-或0a =或1a =，当2a =-时，1:210l x y -++=，2:10l x y ++=，3:210l x y ++=，满足题设；当0a =时，1:10l y +=，2:10l x y ++=，3:530l x --=，满足题设；当1a =时，1:10l x y ++=，2:10l x y ++=重合，不符；若23l l ⊥，则2223(1,1)(35)450m m a a a a a ⋅=-⋅--+=+-=⇒5a =-或1a =，当5a =-时，1:510l x y -++=，2:10l x y ++=，3:5510l x y --=，满足题设；当1a =时，同上分析，不符.综上，5a =-、2a =-、0a =时满足要求，故有3组.二、多选题9.已知圆22:4O x y +=，直线:l y x b =+，下列说法正确的是（）A.当b <-b >时，圆O 上没有点到直线l 的距离等于1B.当1b =±时，圆O 上恰有三个点到直线l 的距离等于1C.当b =时，圆O 上恰有三个点到直线l 的距离等于1D.当1b =±时，圆O 上恰有四个点到直线l 的距离等于1【答案】CD【解】由题设条件，圆的半径为2，圆心O 到直线:0l x y b -+=的距离为d =对于A ，当b <-或b >时,||b >2>d ，当b =由图1知，圆O 上有一点到直线l 的距离等于1，故A 错误；对于B ，D ，当1b =±时，12d =<，由图2知，圆O 上恰有四个点到直线l 的距离等于1，故B 错误，D 正确；对于C ，当b =时，1d =，由图3知，圆O 上恰有三个点到直线l 的距离等于1，故C 正确.选：CD.10.将圆2216x y +=上任意一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的12，得到椭圆C ，若该椭圆的两个焦点分别为12,F F ，长轴两端点分别为A ，B ，则（）A.椭圆的标准方程为221168x y +=B.若点M 是椭圆C 上任意一点（与A ，B 不重合），P 在1F M 的延长线上，MN 是2PMF ∠的角平分线，过2F 作2F Q 垂直MN 于点Q ，则线段OQ 长为定值4C.椭圆上恰有四个点M ，使得12π2F MF ∠=D.若点M 是椭圆C 上任意一点（与A ，B 不重合），则12MF F △内切圆半径的最大值为6-【答案】BCD【解】若椭圆上点为(,)m n ，则(,2)m n 在2216x y +=上，故22416m n +=，所以椭圆22:1164x y C +=，A 错；假设P 是直线1F M 与2F Q 交点，因为MN 是2PMF ∠的角平分线，过2F 作2F Q 垂直MN 于点Q ，所以Q 为线段2PF 的中点，且2||||MF MP =，而O 是12F F 的中点，故12PF F 中OQ 为中位线，故1112111||||(||||)(||||)4222OQ PF MF PM MF MF a ==+=+==为定值，B 对；当M 为椭圆上下顶点时12F ∠最大，此时2222212224216241cos 2162a a c a c F MF a a +---∠====-，又12(0,π)F MF ∠∈，故122π3F MF ∠=，结合椭圆的对称性，椭圆上恰有四个点M ，使得12π2F MF ∠=，C 对；若12MF F △内切圆半径为r ，则12121211(||||||)||||()||22M M r MF MF F F y F F a c r c y ++=⋅⇒+=，所以||M c y r a c ==+r 最大，只需||M y 最大，为2b =，所以最大6r ==，D 对.故选：BCD11.如图，正方体透明容器1111ABCD A B C D -的棱长为8，E ，F ，G ，M 分别为1111,,,AA AD CC A B 的中点，点N 是棱11C D 上任意一点，则下列说法正确的是（）A.1B C BN⊥B.向量EM 在向量F G 上的投影向量为13FG C.将容器的一个顶点放置于水平桌面上，使得正方体的12条棱所在的直线与桌面所成的角都相等，再向容器中注水，则注水过程中，容器内水面的最大面积为D.向容器中装入直径为1的小球，最多可装入512个【答案】AC【解】A ：由正方体性质知：11111,B C BC B C D C ⊥⊥且1111BC D C C ⋂=都在面11ABC D 内，所以1B C ⊥面11ABC D ，BN ⊂面11ABC D ，则1B C BN ⊥，对；B ：1//EM AB 且112EM AB =，若O 是11,B C BC 交点，连接OG ，所以1////,2OG BC AF OG BC AF ==，故AFGO 为平行四边形，则//AO FG 且AO FG =，所以,EM FG 所成角，即为1,AB AO 所成角，由题设，易知11AB AO OB ===，在1AOB 中22211113|cos |||22AO AB OB OAB AO AB +-∠==⋅，即1,AB AO 夹角为π6，所以,EM FG 夹角为π6，故向量EM 在向量F G上的投影向量为|π|61|cos 2|FG EM FG FG ==⋅ ，错；C ：令放在桌面上的顶点为A ，若1AC ⊥桌面时正方体的各棱所在的直线与桌面所成的角都相等，此时要使容器内水的面积最大，即垂直于1AC的平面截正方体的截面积最大，根据正方体的对称性，仅当截面过111111,,,,,A B BB BC CD DD A D 中点时截面积最大，此时，截面是边长为的正六边形，故最大面积为216sin 602⨯⨯⨯︒=，对；D ：由题意，第一层小球为8864⨯=个，第二层小球为7749⨯=，且奇数层均为64个，偶数层均为49，而第一层与第二层中任意四个相邻球的球心构成一个棱长为1的正四棱锥，故高为2，假设共有n 层小球，则总高度为()112n -+，且n 为正整数，令()1182n -+≤，则1n ≤+，而10111<<，故小球总共有10层，由上，相邻的两层小球共有113个，所以正方体一共可以放1135565⨯=个小球，错.故选：AC三、填空题12.对于任意实数,,x y z______．【解】由目标式的几何意义为空间任意点(,,)A x y z 到定点(1,2,3),(3,2,1)B C 距离的和，要使它们的距离和最小，只需A 在线段BC 上，此时最小值为||BC ==.13.已知正方形ABCD 中心的坐标为(2,3)，若直线AB 的方程为3420x y ++=，则与AB 边垂直的两条边所在的直线方程为________________．【答案】43210x y -+=和43190x y --=【解】由:3420AB l x y ++=,可得34AB k =-，则与AB 边垂直的两条边所在的直线的斜率为43，其方程可设为：14:3l y x b =+，即1:4330l x y b -+=.由正方形的性质，可知点(2,3)M 到直线:3420AB l x y ++=的距离等于它到直线1:4330l x y b -+=的距离，故有312055b -=，解得7b =或193b =-，故与AB 边垂直的两条边所在的直线方程为43210x y -+=和43190x y --=.故答案为：43210x y -+=和43190x y --=.14.已知点P 是椭圆22:143x y C +=上一动点，过点P 作221:(1)4G x y ++= 的切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，当PG AB ⋅最小时，线段AB 的长度为________________．【解】由椭圆方程可知：2,1a b c ===，圆221:(1)4G x y ++= 的圆心为()1,0G -（也为椭圆的左焦点），半径12r =，因为PG AB ⊥，可知四边形PAGB 的面积12PAGB S PG AB =⋅，当PG AB ⋅最小时，即为四边形PAGB 的面积PAGB S 最小，又因为1222PAGB PAG S S r PA ==⨯⋅=△，可知当PG 取到最小值时，四边形PAGB 的面积PAGB S 最小，即PG AB ⋅最小，且点P 是椭圆C 上一动点，由椭圆性质可知：当且仅当点P 为左顶点时，PG 取到最小值1a c -=，此时3π26PA APG =∠=，由对称性可知：3π26PB BPG =∠=，即π3APB ∠=，PAB 为等边三角形，则32AB =.三、解答题：15.已知△ABC 的顶点(2,1)A ，边AB 的中线CM 所在直线方程为10x y -+=，边AC 的高BH 所在直线方程为220x y -+=．（1）求点B 的坐标；（2）若入射光线经过点(2,1)A ，被直线CM 反射，反射光线过点(4,2)N ，求反射光线所在的直线方程．【解】可设点()22,B a a -，因为(2,1)A ，则AB 的中点1,2a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线10x y -+=上，可得1102a a +-+=，解得1a =-，所以点B 的坐标为()4,1B --.【2】设(2,1)A 关于直线10x y -+=的对称点为(),A m n '，则112211022n m m n -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪-+=⎪⎩，解得03n m =⎧⎨=⎩，即()0,3A '所以反射光线所在的直线方程为243204y x --=--，可得4120x y +-=.16.已知圆22:64120M x y x y +--+=和(1,0)A -，(1,1)B ，(2,4)C ．（1）求过点(2,4)C 且与圆M相切的直线方程；（2）试求直线AC 上是否存在点P ，使得314PA PB ⋅= ？若存在，求点P 的个数，若不存在，请说明理由．【解】由2264120x y x y +--+=，可得22(3)(2)1x y -+-=，如图1，因过点(2,4)C 且斜率不存在的直线2x =恰与圆M 相切，故有一条切线方程为2x =；设另一条切线方程为：4(2)y k x -=-，即240kx y k --+=，由圆心(3,2)M 到直线240kx y k --+=的距离1d =，解得34k =-，故另一条切线方程为：34220x y +-=.综上，过点(2,4)C 且与圆M 相切的直线方程为2x =或34220x y +-=；【2】解法一：如图2，因(1,0)A -，(1,1)B ，(2,4)C ，故43AC k =,则直线AC 的方程为：4340x y -+=，设在直线AC 上存在点44(,)3t P t +，满足314PA PB ⋅= ，则有444131(1,)(1,334t t t t ++---⋅--=，即2100802990t t +-=，因2804100(299)0∆=-⨯⨯->，方程有两个不等根，即在直线AC 上存在两个点P ，满足314PA PB ⋅= .故符合题意的点P 有两个.解法二：设在直线AC 上存在点P ，其坐标为(,)P x y ，因(1,0)A -，(1,1)B ，(2,4)C ，故43AC k =,则直线AC 的方程为：4340x y -+=.由314PA PB ⋅= ，可得31(1,)(1,1)4x y x y ---⋅--=，化简得：22354x y y +-=，即221()92x y +-=，故点P 的轨迹是以1(0,)2M 为圆心，半径为3r =的圆（如图3），故要判断点P 的个数，只需判断直线AC 与圆M 的位置关系即可.因圆心1(0,2M 到直线4340x y -+=的距离为3|4|12352d r -==<=，可知直线AC 与圆M 相交，即满足题意的点P 有两个.17.如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为1，1A BC 的面积为52．（1）求点A 到平面1A BC 的距离；（2）设D 为1AC 的中点，12AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，求二面角A BD C --的正弦值．【解】因为直三棱柱111ABC A B C -的体积为1，则三棱锥1A ABC -的体积为13，设点A 到平面1A BC 的距离为d ，则11113A ABC A A BC A BC V V d S --==⋅△，即115332d =⨯，解得5d =，所以点A 到平面1A BC 的距离为255.【2】过A 作1AE A B ⊥，垂足为E ，又平面1A BC ⊥平面11ABB A ，平面1A BC ⋂平面111ABB A A B =，且AE ⊂平面11ABB A ，所以AE ⊥平面1A BC ，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，由⊂BC 平面1A BC ，⊂BC 平面ABC ，可得AE BC ⊥，1BB BC ⊥，又因为1,AE BB ⊂平面11ABB A 且相交，所以⊥BC 平面11ABB A ，所以1,,BC BA BB 两两垂直，设122AA AB a ==，则1A B =，由1AA B 的面积可得111122AA AB d A B ⋅=⋅，即11252225a a ⨯⨯=⨯⨯，解得1a =，即122AA AB ==，1A B =又因为1A BC 的面积为1115222A B BC BC ⋅==，解得1BC =，以B 为原点，建立空间直角坐标系，如图，则()()()()1110,1,0,0,1,2,0,0,0,1,0,0,,,122A A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则11,,122BD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()0,1,0,1,0,0BA BC == ，设平面ABD 的一个法向量 =s s ，则110220m BD x y z m BA y ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩，令2x =，则0,1y z ==-，可得()2,0,1m =- ，设平面BDC 的一个法向量 =s s ，则110220n BD a b c n BC a ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩，令2y =，则0,1x z ==-可得()0,2,1n =- ，则1cos ,5m n m n m n ⋅===⋅ ，设二面角A BD C --为()0,πθ∈，则1cos 5θ=，可得26sin 5θ==所以二面角A BD C --的正弦值为265.18.“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：如图用一张圆形纸片，按如下步骤折纸：步骤1：设圆心是E ，在圆内异于圆心处取一定点，记为F ；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F ，此时圆周上与点F 重合的点记为A ；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE 的交点为P ；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕和越来越多的点P ．现取半径为8的圆形纸片，设点F 到圆心E的距离为，按上述方法折纸．以线段FE 的中点为原点，FE 的方向为x 轴的正方向建立平面直角坐标系xOy ，记动点P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程：（2）若点Q 为曲线C 上的一点，过点Q 作曲线C 的切线y kx m =+交圆22:16O x y +=于不同的两点M ，N ．（ⅰ）试探求点Q 到点40,D m ⎛⎫- ⎪⎝⎭的距离是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由；（ⅱ）求OMN 面积的最大值．【解】：()(),E F -，则8PF PE PA PE AE EF +=+==>，可知动点P 的轨迹是以,E F为焦点的椭圆，且2224,4a c b a c ===-=，所以曲线C 的方程为2211612x y +=.【2】①联立方程2211612y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得()2224384480k x kmx m +++-=，因为直线y kx m =+与曲线C 相切，则()()2222Δ644434480k m k m =-+-=，整理可得221612m k =+，则原方程为222322560m x kmx k ++=，解得16k x m=-，将16k x m=-代入直线y kx m =+，可得222161612k m k y m m m m -=-+==，可知1612,k Q m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且40,D m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则DQ ====②由题意可知：圆22:16O x y +=的圆心为s ，半径4r =，因为s 到直线0kx y m -+=的距离d =，可得2222221612416111m k d k k k +===-+++，因为20k ≥，则22411401k k +≥⇒-≤-<+，可得[)2241612,161d k =-∈+，则OMN面积1122OMN S d MN d =⋅=⨯= ，可知当212d =，即0k =时，OMN S△取到最大值【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法（1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解．（2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值(注意：有时需先换元后再求最值)．19.已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为32，且点31,2⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭在椭圆上．（1）求椭圆M 的方程；（2）过x 轴上的一定点(1,0)P 作两条直线1l ，2l ，其中1l 与椭圆M 交于A 、B 两点，2l 与椭圆M 交于C 、D 两点，（A ，C 在x 轴上方，B ，D 在x 轴下方），如图所示．（ⅰ）已知(2,0)Q ，直线QA 斜率为1k ，直线QC 斜率为2k ，且121k k ⋅=，求证：直线AC 过定点；（ⅱ）若直线1l ，2l 相互垂直，试求AC BD ⋅ 的取值范围．【解】22222321314c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，可得2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故椭圆方程为22:14x M y +=；【2详】（ⅰ）令:AC y kx m =+，1122(,),(,)A x y C x y ，且12,0y y >，12x x ≠且均不为2，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，则222(14)8440k x kmx m +++-=，且22226416(1)(14)0k m m k ∆=--+>，所以2214k m +>，则122814km x x k +=-+，21224(1)14m x x k -=+，由221212121212121212()1222()4y y k x x km x x m k k x x x x x x +++⋅=⋅===---++，所以2222222222222241(1)8414144(1)164161614144m k m m k k m km m km k k k m k k --+++-++++-+==++，则2222416164km k m k m ++=-，所以2231620(310)(2)0m km k m k m k ++=++=，故103m k =-或23m k =-，当103m k =-时，10:()3AC y k x =-，此时过定点10(,0)3；当23m k =-时，2:()3AC y k x =-，此时过定点2(,0)3，而该点在椭圆内，与,A C 在同侧矛盾；综上，直线AC 过定点10(,0)3，得证.（ⅱ）由AC AP PC =+ ，BD BP PD =+ ，又直线1l ，2l 相互垂直，即,AP PD PC BP ⊥⊥ ，第17页/共17页所以()()AC BD AP PC BP PD AP BP PC BP AP PD PC PD ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅ AP BP PC PD =⋅+⋅ ，若11223344(,),(,),(,),(,)A x y C x y B x y D x y ，则11332244(1,),(1,),(1,),(1,)AP x y BP x y PC x y PD x y =--=--=-=- ，所以131313242424()()2AC BD x x x x y y x x x x y y ⋅=-+++-+++，令:1AB x ty =+，则:1y CD x t=-+，且0t ≠，联立22114x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得22(4)230t y ty ++-=，显然0∆>，则13224t y y t +=-+，13234y y t =-+，同理242241t y y t +=+，2242341t y y t =-+，所以2222131313222324(1)()11444t t t x x t y y t y y t t t -=+++=--+=+++，131328()24x x t y y t +=++=+，2242424222211324(1)()11414141t x x y y y y t t t t t -=-++=--+=+++，22424218()241t x x y y t t +=-++=+，所以222222222222224(1)834(1)83477422444414141441t t t t t t AC BD t t t t t t t t --++⋅=--+-+=--++++++++ 422242222236423(1)21541744(1)9(1)9t t t t t t t +++=-=-⨯+++++-，令211m t =+>，则1(0,1)m∈，所以()()()22222222211141,994992541125419194924t m m m t t m m m +⎛⎤==-=-∈ ⎥+-⎝⎦⎛⎫+++----- ⎪⎝⎭，综上，1512,45AC BD ⎛⎤⋅∈-- ⎥⎝⎦。

上海市上海中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

上海市上海中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题一、填空题1．空间中垂直于同一条直线的两个平面的位置关系是.2．空间中的4个点最多能确定个平面.3．在空间直角坐标系中，点()1,3,5关于xOy 平面的对称点的坐标是.4．若一个球的半径为3，则其体积为.5．若空间向量()1,2,3a = ，()4,2,1b =，(),2,7c x =-- 共面，则实数x =.6．将一个圆锥的侧面展开后，得到一个半圆，则该圆锥轴截面的顶角等于.7．若二面角l αβ--内一点P 到,,l αβ的距离分别等于2，则该二面角的大小为.8．已知空间向量()()1,1,2,,1,1a b t t =-=-的夹角是钝角，则实数t 的取值范围是.9．已知一个圆台有内切球，且两底面半径分别为1，4，则该圆台的表面积为.10．记等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T .若213n n S n T n +=+，则58a b =.11．已知一个正三棱锥的高为6，底面边长为12，动点,P Q 分别在其内切球和外接球上，则线段PQ 长度的取值范围是.12．空间中有五个球两两外切，它们的半径分别为1,1,2,2,r ，则r =.二、单选题13．二面角的取值范围是（）.A ．()0π,B ．[)0,πC ．(]0,πD ．[]0π,14．满足条件{}1231,2,31,2,3a a a ---∈的等差数列{}n a 共有（）个A ．2B ．3C ．4D ．515．给出命题p ：有两个面平行，其余各个面都是平行四边形的多面体一定是棱柱；命题q ：对任意n ∈N 且3n ≥，均存在所有侧面都是直角三角形的n 棱锥，则（）.A ．,p q 都是真命题B ．p 是真命题，q 是假命题C ．p 是假命题，q 是真命题D ．,p q 都是假命题16．在正三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==且,,PA PB PC 两两垂直，M 是AB 的中点，过直线BC 作平面α，则直线PM 与平面α所成角的最大值为（）.A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2三、解答题17．在等差数列{}n a 中，892aa +=-且10120i i a ==-∑.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n a 的前n 项和的最小值.18．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11,2AB AD AA ===，11π3A BAD BAA D A =∠∠==∠，M 是1CC 的中点.(1)求1BD 的长；(2)求1B D A M ⋅.19．在矩形ABCD 中，1,2AB AC ==.(1)将矩形ABCD 绕直线AB 旋转一周，求所得几何体的表面积；(2)将矩形ABCD 绕直线AC 旋转一周，求所得几何体的体积.20．四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，且2π,2,3,43BAD AB PA AD ∠====，M 是BC 的中点.(1)求二面角A PM B --的余弦值；(2)求异面直线AD 和PM 之间的距离.21．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是BC 的中点，,F G 分别是1,CD DD 上的动点.考查过,,E F G三点的平面截正方体所得的截面：(1)当F 是CD 的中点且G 是1DD 的中点时，直接写出截面的周长和面积；(2)当13DF DC =时，若截面为六边形，求1DG DD 的取值范围；(3)当G 是1DD 的中点且截面为五边形时，是否存在点F ，使得截面将正方体分为体积比1:2的两个部分，若存在，求出DFDC的值；若不存在，说明理由.。

2021-2022学年四川省成都石室中学高二上学期期中考试数学(理)试题(解析版)

2021-2022学年成都石室中学高二上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．命题“0x R ∃∈，320010x x -+>”的否定是（） A ．x R ∀∈，3210x x -+≤ B ．x R ∀∈，3210x x -+> C ．0x R ∃∈，320010x x -+≤ D ．不存在0x R ∈，320010x x -+≤【答案】A【解析】根据特称命题的否定，直接得出结果.【详解】命题“0x R ∃∈，320010x x -+>”的否定是“x R ∀∈，3210x x -+≤”.故选：A.【点睛】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题型.2．若1a =，2b =，且()a ab ⊥-，则向量a 、b 的夹角为（）A ．45B ．60C ．120D ．135【答案】B【分析】利用平面向量垂直可得出()0a a b ⋅-=，求出cos ,a b <>的值，利用平面向量夹角的取值范围可求得向量a 、b 的夹角.【详解】由题意可得()22cos ,12cos ,0a a b a a b a a b a b a b ⋅-=-⋅=-⋅<>=-<>=，可得1cos ,2a b <>=，因为0,180a b ≤<>≤，故,60a b <>=.故选：B.3．抛物线24x y =的焦点到准线的距离为 A ．8 B ．2 C ．12D ．18【答案】D【分析】抛物线方程化为标准方程，利用抛物线的标准方程可得 p ＝18，由焦点到准线的距离为p ，从而得到结果．【详解】解：抛物线24x y =，y 2＝14x 的焦点到准线的距离为p ，由标准方程可得p ＝18，故选D ．【点睛】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，判断焦点到准线的距离为p 是解题的关键．4．{}11,A x x x R =-≥∈，{}2log 1,B x x x R =>∈，则“x B ∈”是“x A ∈”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】解不等式可得集合，进而可得解.【详解】解不等式可得{}{11,0A x x x R x x =-≥∈=≤或}2x ≥， {}{}2log 1,2B x x x R x x =>∈=>，故B A ⊆，所以“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，故选：A.5．已知命题p ：0x ∀>，44x x+>，命题q ：()00,x ∃∈+∞，0122x =，则下列判断正确的是（） A ．p ⌝是假命题 B ．q 是真命题 C ．()p q ∧⌝是真命题 D ．()p q ⌝∨是真命题【答案】D【分析】根据均值不等式得到p 为假命题，根据指数函数单调性得到q 为假命题，对比选项得到答案. 【详解】0x >时，4424x x x x+≥⋅=，当2x =时等号成立，所以44x x +≥，所以p 为假命题；p ⌝为真命题，()p q ∧⌝为假命题，故A 和C 错误. 当0x >时，0221x >=，故q 为假命题，则()p q ⌝∧是假命题. 所以B 错误，D 正确. 故选：D.6．函数()()2sin ,0,2f x x x πωϕωϕ⎛⎫=+∈>< ⎪⎝⎭R 的部分图象如图所示，则ω，ϕ的值分别是（）A ．2，3π-B ．2，6π-C ．4，6π-D ．4，3π 【答案】A【分析】根据三角函数图象可得周期与对称轴，进而可得参数值. 【详解】由已知得35341234T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，故T π=，又0>ω，则222T ππωπ===，即()()2sin 2f x x ϕ=+，又函数经过点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭，即52sin 2=212πϕ⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭，解得2,3k k Z πϕπ=-+∈，又2πϕ<，故3πϕ=-，故选：A.7．若实数x ，y 满足约束条件1002310x x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则12z x y =-的最小值是（）A ．2-B ．32-C ．12-D ．110【答案】B【分析】画出满足条件的可行域，目标函数化为22y x z =-，求出过可行域点，且斜率为2的直线在y 轴上截距的最大值即可.【详解】画出满足约束条件1002310x x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩的可行域，如下图所示：目标函数12z x y =-化为22y x z =-，由12310x x y =-⎧⎨+-=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，设(1,1)A -，当直线22y x z =-过A 点时， 12z x y =-取得最小值为32-. 故选：B.8．以双曲线221916x y -=的焦点为椭圆C 的长轴顶点，且过点5794⎫⎪⎪⎝⎭的椭圆C 的方程为（）A ．2212516x y +=B ．221259x y +=C ．221169x y +=D ．221925x y +=【答案】B【分析】求出双曲线的焦点坐标，得出椭圆的半长轴长，设椭圆标准方程为()22221,0x y a b a b +=>>，代入已知点，求解即可得到椭圆的标准方程. 【详解】解：双曲线221916x y -=的焦点为()()5,0,5,0-，设椭圆标准方程为()22221,0x y a b a b+=>>，则5a =，又椭圆过点5794⎫⎪⎪⎝⎭，所以2222579415b ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，解得3b =，所以椭圆的标准方程为221259x y +=. 故选：B.9．已如A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且,1AC BC AC BC ⊥==，则三棱锥O ABC -的体积为（） A 2B 3C 2D 3【答案】A【分析】由题可得ABC 为等腰直角三角形，得出ABC 外接圆的半径，则可求得O 到平面ABC 的距离，进而求得体积. 【详解】,1AC BC AC BC ⊥==，ABC ∴为等腰直角三角形，2AB ∴=则ABC 2，又球的半径为1，设O 到平面ABC 的距离为d ，则2222122d ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以1112211332212O ABC ABCV Sd -=⋅=⨯⨯⨯⨯=. 故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾股关系求解.10．以过圆2210x y x +=内一点()5,3的最短弦长为等差数列{}n a 的首项1a ，最长弦长为其末项n a ，若等差数列{}n a 的公差11,32d ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则项数n 的取值不可能是（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【分析】由圆的弦长公式，求得18a =，10n a =，结合等差数列的公式，求得21n d=+，进而求得实数n 的范围，结合选项，即可求解.【详解】由题意，将圆2210x y x +=化为22(5)25x y -+=，可得圆心坐标为(5,0)C ，半径=5r ，设(5,3)A ，可得3AC =，由圆的弦长公式，可得2212538a =-=，10n a =，设等差数列的公差为d ，则1(1)n a a n d =+-，即8(1)10n d +-=，所以21n d=+，因为1132d ≤≤，所以2517d ≤+≤，即57n ≤≤，结合选项，可得n 的取值不可能是选项A. 故选：A.11．如图，在ABC 中，30CAB CBA ︒∠=∠=，AC 、BC 边上的高分别为BD 、AE ，则以A 、B 为焦点、且过D 、E 的椭圆与双曲线的离心率的乘积为（）A ．1B 31C ．2D 31【答案】C【分析】先设2AB c =，由条件分别得到AE 、BD ，BE 、AD 的值，根据椭圆焦点和所过的点，由椭圆定义得到2a BD AD =+，求出a ，代入离心率公式求解即可；根据双曲线焦点和所过的点，由双曲线定义得到2a AD BD =-，求出a ，代入离心率公式求解即可.【详解】根据题意，设2AB c =，则AE BD c ==，3BE AD c ==，所以在以A 、B 为焦点，且过D 、E 的椭圆中，23a BD AD c c =+=，)312c a =，即椭圆离心率31ce a==；所以在以A 、B 为焦点，且过D 、E 的双曲线中，23a AD BD c c =-=-，)312c a =，即双曲线离心率31==ce a，所以椭圆与双曲线的离心率的乘积为：))31312⨯=，故选：C.12．点P 是直线l ：2x =-上一动点，点()2,0F ，点Q 为PF 的中点，点M 满足MQ ⊥PF ，()MP OF R λλ=∈，过点M 作圆()2251x y -+=的切线，切点为S ，当MS 取得最小值时，则直线MF 的方程为（） A ．()2y x =±- B ．)22y x =±- C ．)32y x =±- D ．)222y x =±-【答案】D【分析】由题意首先求出M 的轨迹方程，过点M 作圆22(5)1x y -+=的切线，切点为S ，连接MS ，NS ，MN ，利用勾股定理得到2||||1MS MN -||MN 最小时，||MS 有最小值，设(),M x y ，利用两点的距离公式表示出MN ，即可求出MN 的最小值，从而求出M 的坐标，即可求出MF 的方程．【详解】解：依题意，因为MP OF λ=，所以向量MP 与向量OF 共线，所以MP 与x 轴平行，故||MP 即为点M 到直线2x =-的距离d ，又因为M 在线段PF 的垂直平分线上，所以||||MP MF d ==，所以M 点在以(2,0)F 为焦点，以2x =-为准线的抛物线28y x =上，设圆22(5)1x y -+=的圆心为()5,0N ，过点M 作圆22(5)1x y -+=的切线，切点为S ，连接MS ，NS ，MN ，则MNS 为直角三角形，且90MSN ∠=︒，所以222||||||MS NS MN +=，所以2||||1MS MN =-，当||MN 最小时，||MS 有最小值，设(),M x y ，则()()22222510258225124MN x y x x x x x x =-+=-++=-+=-+，所以当1x =时min 26MN =，所以281y =⨯，解得22y =±，所以()1,22M 或()1,22M -，当()1,22M 时222212MF k ==--，此时MF 为()222y x =--；当()1,22M -时222212MF k -==-，此时MF 为()222y x =-；故选：D二、填空题13．在△4BC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin sin cos 2a A B b A a ⋅+，则ba=______． 2【分析】根据正弦定理化简后计算【详解】由正弦定理得2sin sin sin sin cos 2A A B B A A +，即sin 2B A 故sin 2sin B bA a== 214．若直线2y x =与双曲线()222210,0x y a b a b -=>>没有公共点，则该双曲线离心率的取值范围为___________. 【答案】(5⎤⎦【解析】由直线2y x =与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>没有公共点，分析出2b a ≤，再求e 的范围.【详解】∵双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程：b y x a =±，且直线2y x =与双曲线没有公共点， ∴2ba≤ 即2215b e a =+又1e >， ∴15e <≤故答案为：(5⎤⎦【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．15．已知斜率为k 的直线l 过抛物线()2:20C y px p =>的焦点，且与抛物线C 交于A ，B 两点，抛物线C 的准线上一点()1,1M --满足0MA MB ⋅=，则AB =______．【答案】5【分析】求出抛物线C 的方程为24y x =，其焦点为(1,0)F ．直线l 的方程为(1)y k x =-．利用0MA MB ⋅=，说明M 在以AB 为直径的圆上．设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，利用平方差法求出斜率，设AB 的中点为0(Q x ，0)y ，推出02y k=．通过点0(Q x ，0)y 在直线l 上，结合点222(1,)Q k k+是以AB 为直径的圆的圆心．转化求解直线的斜率，求解弦长即可．【详解】解：由题意知，抛物线C 的准线为1x =-，即12p=，得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =，其焦点为(1,0)F ．因为直线l 过抛物线的焦点(1,0)F ，所以直线l 的方程为(1)y k x =-．因为0MA MB ⋅=，所以M 在以AB 为直径的圆上．设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立方程组2112224,4,y x y x ⎧=⎨=⎩两式相减可得1212124y y k x x y y -==-+．设AB 的中点为0(Q x ，0)y ，则02y k=．因为点0(Q x ，0)y 在直线l 上，所以0221x k=+，所以点222(1,)Q k k +是以AB 为直径的圆的圆心．由抛物线的定义知，圆Q 的半径012222222222x x x AB r k+++====+，因为2222222||(2)(1)QM r k k =+++=，所以22222222(2)(1)(2)k k k+++=+，解得2k =-，所以弦长222||22(2)2(2)54AB r k ==+=+=．故答案为：5．16．已知圆M ：（x ＋cos θ）2＋（y －sin θ）2＝1，直线l ：y ＝kx ，下面四个命题：（A ）对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 相切；（B ）对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点；（C ）对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 与和圆M 相切; （D ）对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与和圆M 相切. 其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）. 【答案】（B ）（D ）【分析】根据圆的方程找出圆心坐标和圆的半径r ，然后求出圆心到已知直线的距离d ，利用两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数与半径r 比较大小即可得到直线与圆的位置关系，得到正确答案即可．【详解】由题意可得圆心坐标为(cos ,sin )θθ-，圆M 的半径为1，且圆心到直线l ：y kx =的距离为222cos sin 1sin()sin()111k k d kkθθθϕθϕ--++==+≤++（其中2sin 1k ϕ=+2cos 1k ϕ=+）.∴直线l 与圆M 有公共点，且对于任意实数k ，必存在实数θ，使直线l 与圆M 相切. 故答案为（B ）（D ）.【点睛】本题考查考查直线与圆的位置关系的应用，要求学生会利用圆心到直线的距离与半径比较大小来判断直线与圆的位置关系，灵活运用点到直线的距离公式及两角和的正弦函数公式化简求值，是一道中档题．三、解答题17．已知命题:p 实数m 满足22540m am a -+<，其中0a >；命题:q 方程22135xy m m +=--表示双曲线.（1）若1a =，且p q ∧为真，求实数m 的取值范围；（2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()3,4；（2）5,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）当1a =时，求得不等式22540m am a -+<的解，再由方程22135x y m m +=--表示双曲线，可求得对应的实数m 的取值范围，由p q ∧可知p 、q 均为真命题，由此可求得实数m 的取值范围；（2）求得p ⌝和q ⌝中对应的m 的取值范围，根据p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，可得出集合的包含关系，进而可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】命题p ：由题得()()40m a m a --<，又0a >，解得4a m a <<. 对于命题q ，由于方程22135x y m m +=--表示双曲线，则()()350m m --<，解得35m <<. （1）若1a =，命题p 为真时，14m <<.当p q ∧为真时，则p 真且q 真，1435m m <<⎧∴⎨<<⎩，34m ∴<<，因此，实数m 的取值范围是()3,4；（2）:p m a ⌝≤或4m a ≥，:3q m ⌝≤或5m ≥.由于p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则{m m a ≤或}4m a ≥{3m m ≤或}5m ≥，345a a ≤⎧∴⎨≥⎩，解得534a ≤≤.当54a =时，则有54m m ⎧≤⎨⎩或}5m ≥{3m m ≤或}5m ≥，合乎题意；当3a =时，则有{3m m ≤或}12m ≥{3m m ≤或}5m ≥，合乎题意.综上所述，实数a 的取值范围是5,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查利用复合命题的真假求参数，同时也考查了利用充分不必要条件求参数，考查计算能力，属于中等题.18．已知数列{}n a 满足11a =，12(1)n n na n a +=+，设nn a b n=. （Ⅰ）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S . 【答案】（1）见解析（2）121n n S n =-⋅+（）【详解】分析：（Ⅰ）利用定义证明数列{}n b 为等比数列.( Ⅱ)先求出12n n a n -=⋅，再利用错位相减求出数列{}n a 的前n 项和n S .详解：（Ⅰ）由条件可得111n n a b n ++=+，n n a b n =，所以121n n a a n n +=⋅+，即bn +1=2bn ，又b 1=1，所以{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得12n na n-=，所以12n n a n -=⋅． ①01221122232122n n n S n n --=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅（） ②12312122232122n n n S n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅（）③012311-2-222222212nn nn n S n n -=+++++-⋅=-⋅-整理得：121n n S n =-⋅+（）（n N +∈）点睛：（1）本题主要考查数列性质的证明和错位相减求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.(2) 数列{}·n n b c ，其中{}n b 是等差数列，{}n c 是等比数列，则采用错位相减法.19．已知ABC ∆的面积为S ，且AB AC S ⋅=. (Ⅰ)求tan 2A 的值； (Ⅱ)若4B π=，3AB =，求ABC ∆的面积S .【答案】（Ⅰ）43- ；（Ⅱ）3【分析】（Ⅰ）由已知和三角形面积公式可得1cos sin 2A A =，进而得到tan 2A =，由二倍角的正切公式可得答案;(Ⅱ)由（1）式中的tan 2A =，可得sin cos A A ，由两角和的正弦公式可得sin C ，结合正弦定理可得边b ，代入面积公式可得答案.【详解】解：（Ⅰ）设ABC ∆的角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ， ∵AB AC S ⋅=，∴1cos sin 2bc A bc A =，∴1cos sin 2A A =，∴tan 2A =∴22tan 4tan21tan 3A A A ==--. （Ⅱ）3CB CA -=，即3AB c ==， ∵tan 2A =，02A π<<，∴25sin A =5cos A =∴()25252310sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=由正弦定理知：sin 5sin sin sin c b cb B C B C=⇒=⋅ 1125sin 53322S bc A ===.【点睛】本题主要考查利用正弦、余弦定理求解三角形的基本量及两角和的正弦公式等，需牢记三角函数各公式并灵活运用.20．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点.(1)求证：1//D F 平面11A EC ；(2)求平面AA 1C 1与平面A 1C 1E 夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)13【分析】（1）以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为,,x y z 轴，建立如图空间直角坐标系，求得平面11A EC 的一个法向量，由空间向量的数量积运算可得证；（2）由正方体的特征可得，平面11AA C 的一个法向量为()2,2,0DB =-，根据面面角的向量求解方法可求得答案.【详解】(1)证明：以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为,,x y z 轴，建立如图空间直角坐标系，则()0,0,0A ,()10,0,2A ,()2,0,0B ,()2,2,0C ,()0,2,0D ,()12,2,2C ,()10,2,2D ，因为E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点，所以()2,1,0E ，()1,2,0F ，所以()11,0,2D F =-,()112,2,0AC =,()12,1,2AE =-, 设平面11A EC 的一个法向量为()111,,m x y z =，则11111111220220m AC x y m A E x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令12x =，则()2,2,1m =-，因为1220m D F =⋅-=，所以1m D F ⊥，因为1D F ⊄平面11A EC ，所以1//D F 平面11A EC ；(2)解：由正方体的特征可得，平面11AA C 的一个法向量为()2,2,0DB =-，则822cos ,3322DB m DB m DB m⋅===⨯⋅，所以二面角11A AC E --的正弦值为211cos,3DB m -=.21．在平面直角坐标系xOy 中，一动圆经过点1,02且与直线12x =-相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E. （1）求曲线E 的方程；（2）设P 是曲线E 上的动点，点B 、C 在y 轴上，△PBC 的内切圆的方程为()2211x y -+=，求△PBC 面积的最小值．【答案】（1）22y x =；（2）8.【详解】试题分析：（1）圆心到定点与到定直线距离相等符合抛物线定义，可直接写出标准方程22y x =；（2）设()00,x y P ，()0,b B ，()C 0,c ，直线PB 的方程为：()0000y b x x y x b --+=，由点到直线的距离公式得()2000220x b y b x -+-=，同理()2000220x c y c x -+-=可得022x b c x -=-，面积表示为关于0x 的函数，进而利用基本不等式求最值.试题解析：解：（1）由题意可知圆心到1,02的距离等于到直线12x =-的距离，由抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程：22y x =.（2）设()00,x y P ，()0,b B ，()C 0,c ，直线PB 的方程为：()0000y b x x y x b --+=，又圆心（1，0）到PB 的距离为1，()0022001y b x by b x-+=-+，整理得：()2000220x b y b x -+-=，同理可得：()2000220x c y c x -+-=，所以，可知b ，c 是方程()2000220x x y x x -+-=的两根，所以：0022y b c x -+=-，002x bc x -=-，依题意0bc <，即02x >，则()()222000204482x y x b c x +--=-，因为2002y x =，所以：022x b c x -=-，所以()0001424822S b c x x x =-=-++≥-，当04x =时上式取得等号，所以C PB 面积最小值为8.【解析】1、抛物线的定义；2、点到直线的距离公式及基本不等式求最值.【方法点晴】本题主要考查抛物线的定义、点到直线的距离公及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.22．如图，设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点()10B ,且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ．(1)求点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点．（i ）证明：11MB NB+为定值；（ii ）求四边形MPNQ 面积的取值范围．【答案】(1)221(0)43x y y +=≠ (2)（i ）证明见解析；（ii ）12,83⎡⎣【分析】（1）推出||||EB ED =，转化求解圆A 的标准方程，利用椭圆定义可得点E 的轨迹方程．（2）（i ）设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，11(,)M x y ，22(,)N x y ，不妨设121x x ，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，根据弦长公式表示出||MB ，||NB ，代入计算可得；（ii ）设直线l 的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得||MN ，由PQ l ⊥，设PQ 方程，求得A 到PQ 的距离，再由圆的弦长公式可得||PQ ，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围．【详解】(1)解：圆A ：222150x y x ++-=即为22(1)16x y ++=，可得圆心(1,0)A -，半径4r =，由//BE AC ，可得C EBD ∠=∠，由AC AD =，可得D C ∠=∠，即为D EBD ∠=∠，即有EB ED =，则||||||||||4||2EA EB EA ED AD AB +=+==>=，故E 的轨迹为以A ，B 为焦点的椭圆，且有24a =，即2a =，1c =，223b a c =-=，则点E 的轨迹方程为221(0)43x y y +=≠；(2)解：（i ）证明：依题意：l 与x 轴不垂直，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，11(,)M x y ，22(,)N x y ，不妨设121x x ．由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(43)84120k x k x k +-+-=．则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+．所以)1212||1111MB k x k x +-+-，)2222||1111NB k x k x +-+- 所以()()()()()2112122112222211111111111MB NB k x k x k x x k x x x x +==+-+-+--++--其中()22222211212228412121444343k k k x x x x x x k k ⎛⎫-+-=+--⋅ ⎪++⎝⎭2221122228412911434343k k x x x x k k k -+--=--=+++ 所以()2212122122121114439311143k k MB NB k x x x x k k +++===++--++故1143MB NB +=为定值；（ii ）椭圆221:143x y C +=，设直线:1l x my =+，由PQ l ⊥，设:(1)PQ y m x =--，由2213412x my x y =+⎧⎨+=⎩可得22(34)690m y my ++-=，设3(M x ，3)y ，4(N x ，4)y ，可得342634m y y m +=-+，342934y y m =-+，则322422223636||1||1(34)34m MN m y y m m m =+⋅-=++++2222236(44)111234m m m m +++=⋅+， A 到PQ 的距离为2211d m m ++，2222224434||1611m m PQ r d m m +=-=-++则四边形MPNQ 面积为2222114341||||1222341m m S PQ MN m m ++=⋅=⋅++22211242413431m m m +==+++当0m =时，S 取得最小值12，又2101m >+，可得32483S <=即有四边形MPNQ 面积的取值范围是12,83⎡⎣．。

2024-2025学年河北省邯郸市高二上学期12月期中考试数学检测试题(含答案)

注意事项1．答题前在答题卡上的指定位置．2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答卡上的非答题区域均无效．3．选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑在答题卡上作答4．考试结束后5．本卷主要考查内容~第三章．一8小5分40分有一项是符合题目要求的．1.抛物线y =8x 2的焦点到其准线的距离为()A.132B.116C.18D.42.已知椭圆x 29+y 24=1上有一点P 到右焦点的距离为4，P 到左焦点的距离为()A.6B.3C.4D.23.双曲线y 23-x 26=1的焦点坐标为()A.±3,0B.0,±3C.±3,0D.(0,±3)4.已x 216+y 2m=1(0<m <8)的F 1,F 2，P 是△PF 1F 2的面积的最大值为37，m =()A.7B.3C.7D.95.若方程x 24-m 2-y 21+m =1表示焦点在y 轴上的双曲线m 的取值范围为()A.-∞，-2 B.-2，-1 C.-2，2 D.-1，16.已A 在y 2=2px (p >0)上A 到6，离是10，p 的值是()A.2或4 B.6或12C.4或16D.2或187.如2024-2025学年河北省邯郸市高二上学期12月期中考试数学检测试题看成是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为40cm ，最大直径为60cm ，双曲线的离心率为6，则该花瓶的高为()A.90cmB.100cmC.110cmD.120cm8.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左，右顶点分别为A ，B ，且椭圆C 的离心率为306，点P 是椭圆C 上的一点，且tan ∠P AB =14，则tan ∠APB ()A.-109 B.-1110 C.1110 D.109二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.关于双曲线x 24-y 26=1与双曲线x 24+t -y 26-t=1(-4<t <6)，下列说法不正确的是()A.实轴长相等B.离心率相等C.焦距相等D.焦点到渐近线的距离相等10.设点F 1，F 2分别为椭圆C ：x 29+y 25=1的左、右焦点，点P 是椭圆C 上任意一点，若使得PF 1 ⋅PF 2=m 成立的点恰好是4个，则实数m 的取值可以是()A.1B.3C.5D.411.已知抛物线C ：y 2=12x ，点F 是抛物线C 的焦点，点P 是抛物线C 上的一点，点M (4,3)，则下列说法正确的是()A.抛物线C 的准线方程为x =-3B.若PF =7，则△PMF 的面积为23-32C.PF -|PM |的最大值为10D.△PMF 的周长的最小值为7+10三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.双曲线x 210-y 26=1的一个焦点在抛物线y 2=2px (p >0)的准线上，则抛物线的标准方程为13.已知椭圆C:x24+y2b2=1(0<b<2)，偶函数f x =m-1x3+x2-3，且f b≤2，则椭圆C的离心率的取值范围是．14.我国著名数学家华罗庚说“数缺形时少直观，形少数时难入微：数形结合百般好，隔离分家万事休”，包含的意思是：几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观的反映和描述，通过“数”与“形”的相互转化，常常可以巧妙地解决问题，所以“数形结合”是研究数学问题的重要思想方法之一.比如：(x-a)2+(y-b)2这个代数问题可以转化为点A x,y与点B a,b之间的距离的几何问题.结合上述观点可得，方程y2-8y+25-y2+8y+25=27的解为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过P(-3,0)，Q(0,-2)两点；(2)长轴长等于20，离心率等于35．16.已知圆C的方程为x2+y2-4x+6y-m=0．(1)求实数m的取值范围；(2)若圆C与直线l:x+y+3=0交于M，N两点，且MN=23，求m的值．17.已知点A(-4,2)，B(2,8)，C(4,2)中恰有两个点在抛物线E::x2=2py(p>0)上，(1)求E的标准方程；(2)若点M x1,y1，N x2,y2在E上，且x1x2=-16，证明：直线MN过定点．18.在平面直角坐标系xOy中，点M x,y到点F1,0与到直线x=5的距离之比为5 5，记点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)若点P是圆x2+y2=5上的一点(不在坐标轴上)，过点P作曲线C的两条切线，切点分别为A,B，记直线P A,PB的斜率分别为k1,k2，且k1=-4-k2，求直线OP的方程.19.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为π3，C的焦距为8．(1)求双曲线C的标准方程；(2)过右焦点F的直线l与双曲线C交于M，N两点，A(-2,0)．求证：点A在以线段MN为直径的圆上．参考答案1．B【分析】将抛物线方程转化为标准方程求解.【详解】解：抛物线的标准方程为x 2=18y ，所以焦点坐标为F 0,132 ，其准线方程为y =-132，所以抛物线y =8x 2的焦点到其准线的距离为d =132--132 =116，故选：B 2．D【分析】根据椭圆的定义即可求出.【详解】由椭圆x 29+y 24=1，得a 2=9，即a =3，设左焦点为F 1，右焦点为F 2，则PF 1 +PF 2 =2a =6，因为PF 2 =4，所以PF 1 =2，即点P 到左焦点的距离为2.故选:D .3．D【分析】根据题意，结合双曲线的几何性质，即可求解.【详解】由双曲线y 23-x 26=1，可得a =3,b =6，则c =a 2+b 2=3，且双曲线的焦点在y 轴上，所以双曲线的焦点坐标为(0,±3).故选：D .4．A【分析】利用点P 的纵坐标表示△PF 1F 2的面积，再借助范围求出最大值即可.【详解】依题意，椭圆半焦距c =16-m ，设点P (x 0,y 0),y 0≠0，则0<|y 0|≤m ，因此△PF 1F 2的面积S =12⋅2c ⋅|y 0|≤16-m ⋅m =16m -m 2，则16m -m 2=37，即m 2-16m +63=0，而0<m <8，解得m =7，所以m =7.故选：A 5．A【分析】原方程可变形为y 2-m -1-x 2m 2-4=1，根据已知有-1-m >0-4+m 2>0 ，解出即可.【详解】因为方程x 24-m2-y 21+m =1表示焦点在y 轴上的双曲线，x 24-m 2-y 21+m =1可变形为y 2-m -1-x 2m 2-4=1.所以有-1-m >0-4+m 2>0 ，即m +1<0m 2-4>0 ，解得m <-2.故选：A .6．D【分析】设A x ,6 ，根据抛物线的定义求解；【详解】设A x ,6 ，代入抛物线y 2=2px (p >0)，解得：x =18p，又因为点到焦点的距离是10，根据抛物线的定义，得：18p +p 2=10,化简得：p 2-20p +36=0,解得：p =2或18.故选：D .7．B【分析】由a ,b ,c 关系以及离心率、a =20可得双曲线方程，进一步代入x =30即可求解.【详解】由该花瓶横截面圆的最小直径为40cm ，有a =20，又由双曲线的离心率为6，有c =206,b =205，可得双曲线的方程为x 2400-y 22000=1，代入x =30，可得y =±50，故该花瓶的高为100cm .故选：B .8．B【分析】设P x 0,y 0 是椭圆上的点，设k 1=tan ∠P AB =14，k 2=-tan ∠PBA 求出k 1⋅k 2为定值，从而能求出tan ∠PBA 的值，然后根据tan ∠APB =-tan ∠P AB +∠PBA求解.【详解】设P x 0,y 0 代入椭圆方程，则x 02a 2+y 02b2=1a >b >0整理得：y 20=b 2a2a 2-x 20 ,设k 1=tan ∠P AB =14，k 2=-tan ∠PBA 又k 1=y 0x 0+a ，k 2=y 0x 0-a ,所以k 1⋅k 2=y 0x 0+a ⋅y 0x 0-a =y 20x 20-a 2=-b 2a 2=-a 2-c 2a 2=-1-e 2=-16而k 1=tan ∠P AB =14，所以k 2=-tan ∠PBA =-23，所以tan ∠PBA =23tan ∠APB =-tan ∠P AB +∠PBA =-tan ∠P AB +tan ∠PBA 1-tan ∠P AB ⋅tan ∠PBA=-14+231-14×23=-1110故选：B 9．ABD【分析】利用双曲线的性质对每个选项逐个判断即可【详解】双曲线x 24-y 26=1中，实轴长为2a 1=4，虚轴长为2b 1=26，焦距长为2c 1=24+6=210，右焦点为10,0 ，所以离心率e 1=c 1a 1=102，渐近线方程为y =±62x ，不妨取y =62x 即6x -2y=0，所以焦点到渐近线的距离为d 1=6×106+4=6，双曲线x 24+t -y 26-t =1(-4<t <6)中实轴长为2a 2=24+t ，虚轴长为2b 2=26-t ，焦距长为2c 2=210，右焦点为10,0 ，所以离心率e 2=c 2a 2=104+t =40+10t 4+t ，渐近线方程为y =±6-t4+tx ，不妨取y =6-t4+tx 即6-t x -4+t y =0，所以焦点到渐近线的距离为d 2=6-t ×1010=6-t ，综上，两条双曲线只有焦距相等，故选：ABD 10．BD【分析】首先设点P x 0,y 0 ，得到PF 1 =-2-x 0,-y 0 ，PF 2=2-x 0,-y 0 ，结合点P 在椭圆上得到x 20=9m -94，若成立的点有四个，则x 0在-3,3 有两实数解，则有0<9m -94<9，解出其范围结合选项即得.【详解】设P x 0,y 0 ，∵F 1-2,0 ，F 22,0 ，∴PF 1 =-2-x 0,-y 0 ，PF 2=2-x 0,-y 0 ，由PF 1 ⋅PF 2 =m 可得x 20+y 20=m +4，又∵点P 在椭圆C 上，即x 209+y 205=1，∴x 20=9m -94，要使得PF 1 ⋅PF 2 =m 成立的点恰好是4个，则0<9m -94<9，解得1<m <5.故选：BD 11．ACD【分析】根据抛物线的标准方程可得准线方程为x =-3，即可判断A ，根据抛物线定义得到x P =4，故P 点可能在第一象限也可能在第三象限，分情况计算三角形面积即可判断B ，利用三角形任意两边之差小于第三边结合三点一线的特殊情况即可得到∴|PF |-|PM | max=MF ，计算即可判断C ，三角形PMF 的周长=PM +MF +PF =PM +PF +10，再结合抛物线定义即可求出|PM |+|PF |的最小值，即得到周长最小值.【详解】∵y 2=12x ，∴p =6，∴F 3,0 ，准线方程为x =-3，故A 正确；根据抛物线定义得PF =x P +p2=x P +3=7，x P =4，∵M 4,3 ,∴PM ⎳y 轴，当x =4时，y =±43，若P 点在第一象限时，此时P 4,43 ,故PM =43-3，△PMF 的高为1，故S △PMF =12×43-3 ×1=23-32，若点P 在第四象限，此时P 4,-43 ，故PM =43+3，△PMF 的高为1，故S △PMF =12×43+3 ×1=23+32，故B 错误；∵|PF |-|PM |≤MF ，∴|PF |-|PM | max =MF =4-3 2+3-0 2=10,故C 正确；(连接FM ，并延长交于抛物线于点P ，此时即为|PF |-|PM |最大值的情况，图对应如下)过点P 作PD ⊥准线，垂足为点D ，△PMF 的周长=PM +MF +PF =PM +PF +10=PM +PD +10，若周长最小，则PM +PD 长度和最小，显然当点P ,M ,D 位于同一条直线上时，PM+MF 的和最小，此时PM +MF =PD =7,故周长最小值为7+10，故D 正确.故选：ACD .12．y 2=16x【分析】由双曲线的方程可得双曲线的焦点坐标，由抛物线的方程可得准线方程，再由题意可得p 的值，进而求出抛物线的方程．【详解】由双曲线x 210-y 26=1的方程可得c 2=10+6=16，解得c =4，所以双曲线的焦点坐标为±4，0 ，抛物线的准线方程为x =-p2，由题意可得-p2=-4，解得p =8，所以抛物线的方程为：y 2=16x ，故答案为：y 2=16x ．13．0,32【分析】根据奇偶性求m ，由f b ≤2可得b 的范围，然后可得离心率范围.【详解】∵f x 是偶函数，∴f -x =1-m x 3+x 2-3=f x =m -1 x 3+x 2-3，∴1-m =0，解得m =1,f x =x 2-3，∴f b =b 2-3 ≤2，∴-2≤b 2-3≤2,1≤b 2≤5，又∵0<b <2,∴1≤b <2，∴e =c a=a 2-b 2a =4-b 22，∴e ∈0,32．故答案为：0,3214．±14【分析】将原方程配方，方程的解转化为直线x =3与双曲线y 27-x 29=1的交点的纵坐标。

四川省成都市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析

2023-2024学年度上期高2025届半期考试高二数学试卷（答案在最后）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上作答无效．5．考试结束后，只将答题卡收回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一．单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量()(),2,2,3,4,2a x b =-=-，若a b ⊥，则x 的值为（）A.1B.4- C.4D.1-【答案】C 【解析】【分析】根据向量垂直的坐标运算即可求解.【详解】由()(),2,2,3,4,2a x b =-=- 得3840a b x ⋅=--= ，所以4x =，故选：C2.已知直线1:3410l x y --=与2:3430l x y -+=，则1l 与2l 之间的距离是（）A.45B.35C.25 D.15【答案】A 【解析】【分析】直接由两平行线之间的距离公式计算即可.【详解】因为已知直线1:3410l x y --=与2:3430l x y -+=，而()()34430⨯---⨯=，所以12l l //，所以由两平行线之间的距离公式可得1l 与2l 之间的距离是45d ==.故选：A.3.已知圆()()221:219C x y -++=与圆()()222:134C x y ++-=，则圆1C 与圆2C 的位置关系为（）A.相交B.外切C.内切D.内含【答案】B 【解析】【分析】根据两圆圆心距与半径的关系即可求解.【详解】()()221:219C x y -++=的圆心为()2,1,3r -=，()()222:134C x y ++-=的圆心为()1,3,2R -=，由于125C C ==,125C C r =+=R ，所以1C 与圆2C 外切，故选：B4.若直线()1:410l x a y +-+=与2:20l bx y +-=垂直，则a b +的值为（）A.2 B.45C.23D.4【答案】D 【解析】【分析】根据直线垂直的条件求解．【详解】由题意40b a +-=，∴4a b +=．故选：D ．5.已知事件,A B 相互独立，且()()0.3,0.7P A P B ==，则()P AB =（）A.1 B.0.79C.0.7D.0.21【答案】D 【解析】【分析】由独立事件的概率乘法公式计算．【详解】由题意()()()0.30.70.21P AB P A P B ==⨯=，故选：D ．6.如图，空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 为BC 中点，点N 在侧棱OA 上，且2ON NA =，则MN =（）A.121232a b c--+B.211322a b c-++C.211322a b c --D.111222a b c +-【答案】C 【解析】【分析】由图形中线段关系，应用向量加减、数乘的几何意义用,,OA a OB b OC c === 表示出MN.【详解】1221()2332MN MB BO ON CB OB OA OA OB OC OB=++=-+=+-- 211211322322OA OB OC a b c =--=--.故选：C7.已知椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，长轴为12A A ，过椭圆上一点M 向x 轴作垂线，垂足为P ，若212||13MP A P A P =⋅，则该椭圆的离心率为（）A.3B.3C.13D.23【答案】B 【解析】【分析】根据题意，设()00,M xy ，表示出12,A P A P ，结合椭圆方程，代入计算，再由离心率公式，即可得到结果.【详解】设()00,M x y ，则2200221x y a b+=，()()()120,0,,0,,0A a A a P x -，则10A P x a =+，20A P x a =-，0MP y =所以222002201200||13a y y MP A P A x x a P x a+⋅=-==⋅-，且22x a <，所以22213y a x =-，即222003a x y -=，代入椭圆方程可得222002231a y y a b-+=，化简可得223a b =，则离心率为63e ===.故选：B8.现有一组数据不知道其具体个数，只知道该组数据平方后的数据的平均值是a ，该组数据扩大m 倍后的数据的平均值是b ，则原数据的方差、平方后的数据的方差、扩大m 倍后的数据的方差三个量中，能用,,a b m 表示的量的个数是（）A.0 B.1C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】设出原始数据，逐个计算求解即可.【详解】设该组数据为123,,n x x x x ⋅⋅⋅，则12nx x x x n++⋅⋅⋅+=.所以22212n x x x a n++⋅⋅⋅+=，12n mx mx mx mx b n ++⋅⋅⋅+==，所以b x m =.原数据的方差()()()()2222221212221212n n n x x x x x x x x x x x x x s xnn n-+-+⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+==-+2222222b b a x x a x a a m m ⎛⎫=-+=-=-=- ⎪⎝⎭，可以用,,a b m 表示.扩大m 倍后的数据的方差：()()()()()()2222221212222n n mx mx mx mx mx mx x x x x x x s m nn ⎡⎤-+-+⋅⋅⋅+--+-+⋅⋅⋅+-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦22222212b m s m a m a b m ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，可以用,,a b m 表示.平方后的数据的方差：()()()()2222222224441212221232n n n x a x a x aa x x x x x x s a nn n-+-+⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+==-+44444422212122n n x x x x x x a a a n n++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=-+=-.不能用,,a b m 表示.故选：C.二．多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分．9.我校举行党史知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照[)[)[)[)[]50,60,60,70,70,80,80,90,90,100分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图．根据图中信息，下列说法正确的是（）A.图中的x 值为0.020B.这组数据的极差为50C.得分在80分及以上的人数为400D.这组数据的众数的估计值为82【答案】AC 【解析】【分析】根据频率值和为1即可判断A ；根据由频率分布直方图无法求出这组数据得极差，即可判断B ；求出得分在80分及以上的频率，再乘以总人数，即可判断C ；根据频率分布直方图中众数即可判断D .【详解】解：()100.0050.0350.0300.0101x ⨯++++=，解得0.020x =，故A 正确；因为由频率分布直方图无法求出这组数据得极差，故B 错误；得分在80分及以上的频率为()100.0300.0100.4⨯+=，所以得分在80分及以上的人数为10000.4400⨯=，故C 正确；这组数据的众数的估计值为75，故D 错误.故选：AC .10.下列说法正确的是（）A.对任意向量,a b ，都有a b b a⋅=⋅B.若a b a c ⋅=⋅且0a ≠，则b c=C.对任意向量,,a b c，都有()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅ D.对任意向量,,a b c ，都有()+⋅=⋅+⋅ a b c a c b c【答案】AD 【解析】【分析】可由数量积的定义及运算律可逐一判定选项.【详解】cos ,a b a b a b ⋅=，cos ,b a a b a b ⋅= ，可得a b b a ⋅=⋅，故选项A 正确；由a b a c ⋅=⋅ 可得()0a b c ⋅-=，又0a ≠ ，可得b c = 或()a cb ⊥- ，故选项B 错误；()()cos ,R a b c a b a b c c λλ⋅⋅==∈,()()cos ,R a b c c b c b a a μμ⋅⋅==∈所以()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ 不一定成立，故选项C 错误；由向量数量积运算的分配律可知选项D 正确；故选：AD.11.甲､乙两支田径队队员的体重(单位：kg)信息如下：甲队体重的平均数为60，方差为200，乙队体重的平均数为68，方差为300，又已知甲､乙两队的队员人数之比为1：3，则关于甲､乙两队全部队员的体重的平均数和方差的说法正确的是（）A.平均数为67B.平均数为66C.方差为296D.方差为287【答案】BD 【解析】【分析】先利用比重计算全部队员体重的平均值，再利用平均值计算方差即可.【详解】依题意，甲的平均数160x =，乙的平均数268x =，而甲､乙两队的队员人数之比为1：3，所以甲队队员在所有队员中所占比重为14，乙队队员在所有队员中所占比重为34故甲、乙两队全部队员的体重的平均数为：1360686644x =⨯+⨯=；甲、乙两队全部队员的体重的方差为：()()22213200606630068665922828744s ⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-=+=⎣⎦⎣⎦.故选：BD.12.已知四面体中三组对棱的中点间的距离都相等，则下列说法正确的是（）A.该四面体相对的棱两两垂直B.该四面体四个顶点在对面三角形的射影是对面三角形的外心C.该四面体的四条高线交于同一点（四面体的高线即为过顶点作底面的垂线）D.该四面体三组对棱平方和相等【答案】ACD 【解析】【分析】设,,AB b AC c AD d ===，利用向量法AD 选项，用几何法判断BC 选项．【详解】选项A ，如图，四面体ABCD 中，,,,,,E F G H I J 是所在棱中点，EF GH IJ ==，设,,AB b AC c AD d === ，则111()()222EF AF AE AD AB AC d b c =-=-+=-- ，111()()222GH AH AG AC AD AB c d b =-=+-=+- ，EF GH =，即EF GH = ，所以11()()22d b c c d b --=+-，所以222222222222d b c b d c d b c d b c c d b d b c++-⋅-⋅+⋅=+++⋅-⋅-⋅c d b c ⋅=⋅ ，即()0c b d ⋅-= ，所以()c b d ⊥- ，即AC DB ⊥，所以AC BD ⊥，同理,AB CD AD BC ⊥⊥，A 正确；选项B ，设1AH ⊥平面BCD ，1H 是垂足，CD ⊂平面BCD ，所以1AH CD ⊥，又AB CD ⊥，11,,AB AH A AB AH =⊂ 平面1ABH ，所以CD ⊥平面1ABH ，而1BH ⊂平面1ABH ，所以1CD BH ⊥，同理1BC DH ⊥，所以1H 是平面BCD 垂心，同理可得其它顶点在对面的射影是对面三角形的垂心，B 错；选项C ，如上图，1AH ⊥平面BCD ，2BH ⊥平面ACD ，3DH ⊥平面ABC ，123,,H H H 是垂足，先证明12,AH BH 相交，1AH ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，所以1AH CD ⊥，又AB CD ⊥，11,,AB AH A AB AH =⊂ 平面1ABH ，所以CD ⊥平面1ABH ，同理CD ⊥平面2ABH ，所以平面1ABH 和平面2ABH 重合，即12,AH BH 共面，它们必相交，设12AH BH H ⋂=，下面证明DH ⊥平面ABC ，与证明CD ⊥平面1ABH 同理可证得BC ⊥平面1ADH ，又DH ⊂平面1ADH ，所以BC DH ⊥，同理由2BH ⊥平面ACD 可证得DH AC ⊥，而,AC BC 是平面ABC 内两相交直线，所以DH ⊥平面ABC ，因此DH 与3DH 重合，同理可证CH ⊥平面ABD ，C 正确；选项D ，由选项A 的讨论同理可得b c b d c d ⋅=⋅=⋅，222222222()2AB CD AB CD b d c b c d c d +=+=+-=++-⋅ ，222222222()2AC BD AC BD c d b b c d b d +=+=+-=++-⋅，所以2222AB CD AC BD +=+，同理222222AB CD AC BD AD BC +=+=+，D 正确．故选：ACD ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.经过()()0,2,1,0A B -两点的直线的方向向量为()1,k ，则k =______．【答案】2【解析】【分析】方向向量与BA平行，由此可得．【详解】由已知(1,2)BA =，()1,k 是直线AB 的方向向量，则2k =，故答案为：2.14.在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为25，29，30，32，37，38，40，42，那么这组数据的第65百分位数为______．【答案】38【解析】【分析】根据百分位数的定义即可求解.【详解】865% 5.2⨯=,故这组数据的第65百分位数为第6个数38，故答案为：3815.写出与圆221:(1)(3)1C x y +++=和222:(3)(1)9C x y -++=都相切的一条直线的方程__________．【答案】0x =##4y =-##430x y -=##34100x y ++=【解析】【分析】判断两个圆是相离的，得到应该有四条公切线，画出图形易得0x =或4y =-为公切线，设切线方程为y kx b =+，根据圆心到直线的距离等于半径列出关于,k b 方程组，求解.【详解】因为圆1C 的圆心为()11,3C --，半径11r =圆2C 的圆心为()23,1C -，半径23r =又因为124C C =所以圆1C 与圆2C 相离，所以有4条公切线.画图为：易得:0a x =或:4n y =-是圆221:(1)(3)1C x y +++=和222:(3)(1)9C x y -++=的公切线设另两条公切线方程为：y kx b =+圆1C 到直线y kxb =+的距离为1=圆2C 到直线y kxb =+3=所以3133k b b k ++=-+所以31339k b b k ++=-+或31339k b b k ++=-+-34k b =+或52b =-当52b =-1==所以34k =-，切线方程为34100x y ++=当34k b =+3==所以()()225249b b +=++所以240b b +=所以0b =或4b =-当0b =时43k =，切线方程为430x y -=当4b =-时0k =，切线方程为4y =-故答案为：0x =或4y =-或430x y -=或34100x y ++=16.已知P 为直线=2y -上一动点，过点P 作圆221x y +=的两条切线，切点分别为,B C ，则点()2,1A 到直线BC 的距离的最大值为______．【答案】52【解析】【分析】首先设点00(,)P x y ，求过点BC 的直线方程，并判断直线BC 过定点，再利用几何关系求最大值.【详解】设00(,)P x y ，过点P 引圆221x y +=的两条切线，切点分别为,B C ，则切点在以OP 为直径的圆上，圆心00,22x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径r =，则圆的方程是22220000224x y x y x y +⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理为：22000x y x x y y +--=，又点,B C 在圆221x y +=上，两圆方程相减得到001x x y y +=，即直线BC 的方程是001x x y y +=，因为02y =-，代入001x x y y +=得021x x y -=，则直线BC 恒过定点10,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以点()2,1A 到直线BC 的距离52d AN ≤==，所以点()2,1A 到直线BC 的距离的最大值为52.故答案为：52.【点睛】思路点睛：首先本题求以OP 为直径的圆，利用两圆相减，求得过两圆交点的直线方程，关键是发现直线BC 过定点，这样通过几何关系就容易求定点与动直线距离的最大值.四．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知ABC 的周长为()()14,3,0,3,0B C -．（1）求点A 的轨迹方程；（2）若AB AC ⊥，求ABC 的面积．【答案】（1）()2210167x y y +=≠（2）7【解析】【分析】（1）结合椭圆定义可得A 的轨迹方程.（2）利用AB AC ⊥及椭圆定义可列出方程，求解AC AB ⋅，即可算出ABC 的面积．【小问1详解】ABC 的周长为14且6,86BC AC AB BC =∴+=>=，根据椭圆的定义可知，点A 的轨迹是以()()3,0,3,0B C -为焦点，以8为长轴长的椭圆，即4,3,a c b ===A 的轨迹方程为221167x y+=，又A 为三角形的顶点，故所求的轨迹方程为()2210167x y y +=≠．【小问2详解】222,||||36AB AC AB AC BC ⊥∴+== ①．A 点在椭圆()2210167x y y +=≠上，且()()3,0,3,0B C -为焦点，8AC AB ∴+=，故22||264AC AB AC AB ++⋅=②．由①②可得，14AC AB ⋅=，故172S AC AB =⋅⋅=．ABC ∴ 的面积为7．18.如图，四面体OABC 的所有棱长都为1,,D E 分别是,OA BC 的中点，连接DE ．（1）求DE 的长；（2）求点D 到平面ABC 的距离．【答案】18.219.3【解析】【分析】（1）利用基底,,OA OB OC 表示出向量DE，再根据向量数量积求长度的方法即可求出；（2）由该几何体特征可知，点O 在平面ABC 的射影为ABC 的中心，即可求出．【小问1详解】因为四面体OABC 的所有棱长都是1，所以该四面体为正四面体，()1111122222DE DA AB BE OA OB OA OC OB OA OB OC =++=+-+-=-++，而且12OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅= ，所以()()2211131442DE OA OB OC =--=-=，即2DE =，所以DE 的长为2．【小问2详解】因为四面体OABC 为正四面体，所以点O 在平面ABC 的射影O '为ABC 的中心，ABC 的外接圆半径为11sin6023︒⨯=，所以点O 到平面ABC 的距离为3d ==，由于D 点为线段OA 的中点，所以点D 到平面ABC 的距离为3．19.现从学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[)155160,，第二组[)160,165,⋅⋅⋅，第八组[]190195,．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．（1）求第七组的频率并估计该校的800名男生的身高的中位数；（2）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记事件A 表示随机抽取的两名男生不．在同一组．．．．，求()P A ．【答案】（1）第七组的频率为0.06，中位数为174.5cm（2）815【解析】【分析】（1）根据频率为和1，可得第七组的频率为0.06，设学校的800名男生的身高中位数为m ，根据中位数的定义可得()0040080217000405...m ..+++-⨯=,求解即可；（2）用列举法写出基本事件的总数和两名男生不在同一组所包含的基本事件，即可得解.【小问1详解】（1）由直方图的性质，易知第七组的频率为415(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06++0.008)=0.06505-⨯⨯．由于0.040.080.20.320.5,0.040.080.20.20.520.5++=<+++=>，设学校的800名男生的身高中位数为m ，则170175m <<，由()0040080217000405...m ..+++-⨯=,得1745m .=，所以学校的800名男生的身高的中位数为174.5cm ．【小问2详解】解：第六组[)180185,的人数为4，设为a b c d ,,,，第八组[]190195,的人数为0.0085502⨯⨯=，设为,A B ，则从中随机抽取两名男生有,,,,,,,,,,,,,dB,ab ac ad bc bd cd aA aB bA bB cA cB dA AB 共15种情况．事件A 表示随机抽取的两名男生不在同一组，所以事件A 包含的基本事件为,,,aA aB bA bB ，,,,cA cB dA dB 共8种情况．所以()815P A =．20.已知圆C 经过点()0,2A ，()6,4B ，且圆心在直线340x y --=上.（1）求圆C 的方程；（2）若平面上有两个点()6,0P -，()6,0Q ，点M 是圆C 上的点且满足2MP MQ=，求点M 的坐标.【答案】（1）()22420x y -+=（2）10,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或10,33⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）设出圆心，利用点到直线的距离公式即可求得圆的方程.（2）根据已知条件求得M 满足的方程联立即可求得M 的坐标.【小问1详解】∵圆心在直线340x y --=上，设圆心()34,C a a +，已知圆C 经过点()0,2A ，()6,4B ，则由CA CB =，=解得0a =，所以圆心C 为()4,0，半径r CA ===所以圆C 的方程为()22420x y -+=；【小问2详解】设(),M x y ，∵M 在圆C 上，∴()22420x y -+=，又()6,0P -，()6,0Q ，由2MPMQ=可得：()()2222646x y x y ⎡⎤++=-+⎣⎦，化简得()221064x y -+=，联立()()22224201064x y x y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩解得10411,33M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或10411,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.21.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1π,2,3,2BAC AB AC AA M ∠====是AB 的中点，N 是11B C 的中点，P 是1BC 与1B C 的交点，点Q 在线段1A N 上．（1）若//PQ 平面1A CM ，请确定点Q 的位置；（2）请在下列条件中任选一个，求11A QA N的值；①平面BPQ 与平面ABC的夹角余弦值为53；②直线AC 与平面BPQ所成角的正弦值为106．【答案】（1）Q 为1A N 靠近N 三等分点处（2）①1112A Q A N =；②1112A Q A N =【解析】【分析】（1）分别以1,,AC AB AA 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，求出面1A CM 的法向量n，由//PQ 平面1A CM 得PQ n ⊥ ，即0PQ n ⋅= ，求解11A QA N即可；（2）设()1101A Q A Nλλ=<<，求出平面BPQ 的法向量为m，平面ABC 的法向量，若选择①，利用平面与平面的夹角的向量求法求解；若选择②，由直线与平面所成角的向量求法求解.【小问1详解】分别以1,,AC AB AA 所在直线为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，()()()()()130,0,3,2,0,0,0,1,0,1,1,3,1,1,,,,32A C M N P Q a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()()1132,0,3,0,1,3,1,1,2A C A M PQ a a ⎛⎫=-=-=-- ⎪⎝⎭ ．设面1A CM 的法向量(),,n x y z =r ，则110A C n A M n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即23030x z y z -=⎧⎨-=⎩．令2z =，得()3,6,2n =．因为//PQ 平面1A CM ，所以PQ n ⊥ ，即0PQ n ⋅=．所以()()316130a a -+-+=，得23a =，122,,033A Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以13A Q = ．因为11123A Q A N A N ==，所以Q 为1A N 靠近N 三等分点处时，有//PQ 平面1A CM ．【小问2详解】设()1101A QA Nλλ=<<，则()11,,0A Q A N λλλ== ．所以1111331,1,,1,1,22PQ PA A Q PA A N PB λλλ⎛⎫⎛⎫=+=+=--=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设平面BPQ 的法向量为()111,,m x y z =，则00PQ m PB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()()11111131102302x y z x y z λλ⎧-+-+=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩．令()141z λ=-，得()()()3,32,41m λλλ=--．注意到平面ABC 的法向量为()0,0,1，直线AC 的方向向量为()1,0,0，若选择①，平面BPQ 与平面ABC的夹角余弦值为53，则()10,0,1cos 53m mθ⋅==．即()2483001λλλ-+=<<，解得12λ=，即1112A Q A N =．若选择②，直线AC 与平面BPQ所成角的正弦值为106，则()21,0,0sin 106m mθ⋅==．即()2181713001λλλ+-=<<，解得12λ=，即1112A Q A N =．22.已知()()()2,3,2,0,2,0,A B C ABC -∠的内角平分线与y 轴相交于点E ．（1）求ABC 的外接圆的方程；（2）求点E 的坐标；（3）若P 为ABC 的外接圆劣弧 BC 上一动点，ABC ∠的内角平分线与直线AP 相交于点D ，记直线CD 的斜率为1k ，直线CP 的斜率为2k ，当1275k k =-时，判断点E 与经过,,P D C 三点的圆的位置关系，并说明理由．【答案】（1）2232524x y ⎛⎫+-=⎪⎝⎭（2）20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）点E 在经过,,P D C 三点的圆上，理由见解析【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质即可求解圆心和半径，从而得解；（2）根据等面积法或者利用角平分线的性质可得AB AF BCCF=，即可求解长度得斜率，进而可求解直线方程，得解；（3）联立方程可得22223234,11k k k P k k ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭，6743,3131k k D k k --⎛⎫ ⎪--⎝⎭，根据1275k k =-可得1k =，即可求解点的坐标，由点的坐标求解圆的方程，即可判定.【小问1详解】易知ABC 为C 为直角的直角三角形，故外接圆的圆心为斜边AB 边的中点30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为52，所以外接圆的方程为2232524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭．【小问2详解】设ABC ∠的内角平分线交AC 于点F ，根据角平分线性质定理，可知AB AF BCCF=，（利用11sin 22211sin 222ABFBCFABC AB BF AF BC S ABC S BC BF FC BC ∠⋅⋅==∠⋅⋅ 可得AB AF BC CF =）由结合3AF CF +=，5AB ==,4,3BC AC ==所以4133BD CF CF k BC =⇒==所以，ABC ∠的内角平分线方程为()123y x =+，令0x =，即可得点E 坐标20,3⎛⎫⎪⎝⎭．【小问3详解】点E 在经过,,P D C 三点的圆上，理由如下：由题意可知直线AP 的斜率存在，故设直线AP 的直线方程为()32y k x -=-，联立直线与圆的方程()223232524y k x x y ⎧-=-⎪⎨⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎩，可得()()22221344640kx k k x kk ++-+--=注意到,A P 两点是直线与圆的交点，所以2246421P k k x k --⋅=+222321P k k x k --∴=+，故22223234,11k k k P k k ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭．联立直线AP 与ABC ∠的内角平分线方程()321233y k x y x ⎧-=-⎪⎨=+⎪⎩，可得6731k x k -=-6743,3131k k D k k --⎛⎫∴ ⎪--⎝⎭．此时221222243433434003443313111,6753423253422313111k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ----------++======------+----++，12343475,1435534k k k k k k k -+∴==-=-∴=-+．此时，点31,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点11,.22D P ⎛⎫- ⎪⎝⎭点满足在劣弧 BC 上．设经过,,P D C 三点的圆的方程为()2222040x y mx ny t m n t ++++=+->，则4205320120m t m n t m n t ++=⎧⎪--+=⎨⎪-++=⎩，解得5617673m n t ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩．所以，经过,,P D C 三点的圆的方程为2251770663x y x y +-+-=．将点20,3E ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入圆的方程成立，所以点E 在经过,,P D C 三点的圆上.。

安徽省池州市贵池区2024-2025学年高二上学期期中检测数学试题含答案

2024～2025学年第一学期高二期中检测数学（答案在最后）全卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．5．本卷主要考查内容：选择性必修第一册第一章～第二章．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量()1,2,4a =，()1,0,2b =-r，则a b ⋅的值为（）A.()1,0,8- B.9C.－7D.7【答案】D 【解析】【分析】根据空间向量数量积坐标运算法则进行计算.【详解】()()1,1,2,00874,21a b ⋅⋅=-=-++=.故选：D2.直线+1=0x 的倾斜角为（）A.34π B.4π C.2π D.不存在【答案】C 【解析】【分析】根据倾斜角的定义可得结果【详解】因为直线+1=0x 即直线1x =-垂直于轴,根据倾斜角的定义可知该直线的倾斜角为2π，故选:C.3.与直线20x y +=垂直，且在x 轴上的截距为-2的直线方程为（）．A.220x y -+=B.220x y --= C.220x y -+= D.220x y --=【答案】A 【解析】【分析】先求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解.【详解】由题得所求直线的斜率为12，∴所求直线方程为10(2)2y x -=+，整理为220x y -+=．故选：A【点睛】方法点睛：求直线的方程，常用的方法：待定系数法，先定式（从直线的五种形式中选择一种作为直线的方程），后定量（求出直线方程中的待定系数）.4.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点E 为上底面对角线11A C 的中点，若1BE AA x AB y AD =++，则（）A.11,22x y =-=B.11,22x y ==-C.11,22x y =-=-D.11,22x y ==【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量的线性运算即可求解.【详解】根据题意，得；11()2BE BB BA BC =++11122AA BA BC=++111,22AA AB AD =-+ 1BE AA xAB y AD =++ 又11,,22x y =-=∴故选：A5.已知向量()0,0,2a = ，()1,1,1b =- ，向量a b + 在向量a上的投影向量为（）．A.()0,0,3 B.()0,0,6C.()3,3,9- D.()3,3,9--【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算及投影向量的公式计算即可.【详解】由题意可知()1,13a b +=-，，()6,2a b a a +⋅== ，所以向量a b + 在向量a上的投影向量为()()()60,0,20,0,322a b a a a a +⋅⋅=⨯=⋅ .故选：A6.若圆()()2213425O x y -+-=:和圆()()()222228510O x y r r +++=<<:相切，则r 等于A.6B.7C.8D.9【答案】C 【解析】【分析】根据的圆标准方程求得两圆的圆心与半径，再根据两圆内切、外切的条件,分别求得r 的值并验证510r <<即可得结果.【详解】圆()()2213425O x y -+-=:的圆心()13,4O ，半径为5；圆()()2222:28O x y r +++=的圆心()22,8O --，半径为r.＝|r－5|，求得r＝18或－8，不满足5<r<10.＝|r＋5|，求得r＝8或－18(舍去)，故选C．【点睛】本题主要考查圆的方程以及圆与圆的位置关系，属于基础题.两圆半径为,R r ，两圆心间的距离为d ，比较d 与R r -及d 与R r +的大小，即可得到两圆的位置关系.7.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点()2,1,0D ，向量()4,1,2,m m =⊥平面DEF ，则点O 到平面DEF 的距离为（）A.21B.7C.21D.21【答案】B 【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算直接计算点O 到平面DEF 的距离.【详解】因为()2,1,0D ，所以()2,1,0OD = ，又向量()4,1,2,m m =⊥平面DEF ，所以()4,1,2m =是平面DEF 的一个法向量所以点O 到平面DEF的距离为7OD m d m ⋅===.故答案为：7.8.已知直线l ：x －my ＋4m －3＝0（m ∈R ），点P 在圆221x y +=上，则点P 到直线l 的距离的最大值为（）A.3B.4C.5D.6【答案】D 【解析】【分析】先求得直线过的定点的坐标，再由圆心到定点的距离加半径求解.【详解】解：直线l ：x －my ＋4m －3＝0（m ∈R ）即为()()340x y m -+-=，所以直线过定点()3,4Q ，所以点P 到直线l的距离的最大值为16OQ r +=+=，故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知直线2y x =与0x y a ++=交于点()1,P b ，则（）A.3a =-B.2b =C.点P 到直线30ax by ++=的距离为13D.点P 到直线30ax by ++=的距离为13【答案】ABD 【解析】【分析】联立直线方程结合其交点坐标求参数a 、b ，进而应用点线距离公式求P 到直线30ax by ++=的距离即可.【详解】由题意，得：210b b a =⎧⎨++=⎩，解得3a =-，2b =，故A 、B 正确，∴()1,2到直线3230x y -++=的距离13d ==，故C 错误，D 正确.故选：ABD.10.已知空间向量()()3,1,2,3,3,1a b =--= ，则下列说法正确的是（）A.()32//a b a+B.()57a a b⊥+C.a =D.b =【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，结合向量的坐标运算，以及向量的共线和垂直的坐标表示，准确计算，即可求解.【详解】因为向量()()3,1,2,3,3,1a b =--= ，可得214,10a a b =⋅=-，对于A 中，由()323,3,8a b +=-，设32a b a λ+= ，即()3,3,8(3,1,2)λ-=--，可得33382λλλ-=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，此时方程组无解，所以32a b + 与a 不平行，所以A 错误；对于B 中，由()257575147(10)0a a b a a b ⋅+=+⋅=⨯+⨯-=，所以()57a a b ⊥+，所以B 正确；对于C中，由a ==，所以C 正确；对于D中，由b == D 正确.故选：BCD.11.直线2y x m =+与曲线y =恰有两个交点，则实数m 的值可能是（）A.4B.5C.3D.4110【答案】AD 【解析】【分析】做出函数图象，数形结合，求出m 的取值范围，再进行选择.【详解】做出函数2y x m =+与y =的草图.设2y x m =+与圆224x y +=2=⇒m =m =-（舍去）.因为函数2y x m =+与y =有两个交点，所以4m ≤<.故选：AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知在空间直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(1,2,)3-，点B 的坐标为(0,1,4)--，点A 与点C 关于x 轴对称，则||BC =___________.【答案】【解析】【分析】首先根据对称求出点C 的坐标，然后根据两点间的距离公式求||BC 的值即可.【详解】因为点A 与点C 关于x 轴对称，所以点C 的坐标为()1,2,3-，又因为点B 的坐标为(0,1,4)--，所以BC ==．13.过点()2,4作圆224x y +=的切线，则切线方程为___________．【答案】2x =或34100x y -+=【解析】【分析】考虑直线斜率不存在和直线斜率存在两种情况，利用圆心到直线距离等于半径列出方程，求出切线方程.【详解】①直线的斜率不存在时2x =满足，②直线斜率存在时，设切线方程为()42y k x -=-，则324d k ==⇒=，所以切线方程为4y -=()324x -，即34100x y -+=．故答案为：2x =或34100x y -+=.14.在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点．若圆上存在一点C ，满足5344OC OA OB =+，则r 的值为________．【答案】【解析】【详解】22225325539OC OA OB OA 2OA OB OB44164416⎛⎫=+=+⋅⋅+ ⎪⎝⎭即222225159r r r cos AOB r 16816=+∠+，整理化简得cos∠AOB＝－35，过点O 作AB 的垂线交AB 于D，则cos∠AOB＝2cos 2∠AOD－1＝－35，得cos 2∠AOD＝15.又圆心到直线的距离为OD＝=，所以cos 2∠AOD＝15＝22OD r＝22r ，所以r 2.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.已知直线l 过点()2,1P -．（1）若直线l 与直线230x y ++=垂直，求直线l 的方程（2）若直线l 在两坐标轴的截距互为相反数，求直线l 的方程．【答案】（1）240x y --=；（2）20x y +=或30x y --=．【解析】【分析】（1）根据直线方程垂直设出方程求解未知数即可；（2）根据截距的概念分类讨论求方程即可.【小问1详解】因为直线l 与直线230x y ++=垂直，所以可设直线l 的方程为20x y m -+=，因为直线l 过点()2,1P -，所以()2210m -⨯-+=，解得4m =-，所以直线l 的方程为240x y --=【小问2详解】当直线l 过原点时，直线l 的方程是2xy =-，即20x y +=．当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为x y a -=，把点()2,1P -代入方程得3a =，所以直线l 的方程是30x y --=．综上，所求直线l 的方程为20x y +=或30x y --=16.已知向量()()1,1,,2,,a t t t b t t =--=.（1）若a b ⊥ ，求t 的值；（2）求b a -的最小值.【答案】（1）2（2）5【解析】【分析】（1）由空间向量垂直得到方程，求出答案；（2）计算出()1,21,0b a t t -=+-，利用模长公式得到b a -= ，求出最小值.【小问1详解】因为a b ⊥ ，所以0a b ⋅=，即()()22110t t t t -+-+=，解得2t=；【小问2详解】()1,21,0 b a t t-=+-所以b a-=.所以当15t=时，b a-取得最小值为5.17.如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为直角梯形，//AD BC，AB BC⊥，AP⊥平面ABCD，Q为线段PD上的点，2DQ PQ=，1AB BC PA===，2AD=．（1）证明：//BP平面ACQ；（2）求直线PC与平面ACQ所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）利用三角形相似得2MD MB=，结合2DQ PQ=，则有//MQ BP，利用线面平行的判定即可证明；（2）以A为坐标原点，建立合适的空间直角坐标系，求出平面ACQ的法向量，利用线面角的空间向量法即可得到答案.【小问1详解】如图，连接BD与AC相交于点M，连接MQ，∵//BC AD，2AD BC=，则AMD CMB，∴2MD ADMB CB==，2MD MB=，∵2DQ PQ=，∴//MQ BP，BP ⊄ 平面ACQ ，MQ Ì平面ACQ ，∴//BP 平面ACQ ；【小问2详解】AP ⊥ 平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ,,AP AB AP AD ∴⊥⊥，因为底面AB BC ⊥,则AB ，AD ，AP 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，各点坐标如下：()0,0,0A ，()1,1,0C ，()0,0,1P ，220,,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭．设平面ACQ 的法向量为(),,m x y z =，由()1,1,0AC = ，220,,33AQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，有02233AC m x y AQ m y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，1y =-，1z =，可得()1,1,1m =- ，由()1,1,1CP =-- ，有1CP m ⋅=，CP m ==，则1cos ,3CP m == ．故直线PC 与平面ACQ 所成角的正弦值为13．18.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,F G 分别是棱1,CC AD 的中点，E 为棱AB 上一点，且异面直线1B E 与BG 所成角的余弦值为25.（1）证明：E 为AB 的中点；（2）求平面1B EF 与平面11ABC D 所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）4242【解析】【分析】（1）以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，不妨令正方体的棱长为2，设()2,,0E a ，利用111cos ,B E BG B E BG B E BG⋅= ，解得1a =，即可证得；（2）分别求得平面1B EF 与平面11ABC D 的法向量m n ，，利用cos ,m n m n m n⋅=⋅ 求解即可.【小问1详解】证明：以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.不妨令正方体的棱长为2，则()0,0,0D ，()1,0,0G ，()2,2,0B ，()12,2,2B ，()0,2,1F ，设()2,,0E a ，则()10,2,2B E a =-- ，()1,2,0BG =-- ，所以()1121422cos ,5524B E BG a B E BG B E BG a ⋅-===-+ ，所以2430a a -+=，解得1a =（3a =舍去），即E 为AB 的中点.【小问2详解】由（1）可得()10,1,2B E =-- ，()2,1,1EF =- ，设(),,m x y z = 是平面1B EF 的法向量，则12020m B E y z m EF x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ .令2z =，得()1,4,2m =-- .易得平面11ABC D 的一个法向量为()12,0,2n DA == ，所以cos ,42m n m n m n ⋅===⋅ .所以所求锐二面角的余弦值为42.19.已知圆C 过点(1,0)M -且与直线20x +-=相切于点1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，直线:30l kx y k --+=与圆C 交于不同的两点A ，B ．（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 与x 轴的正半轴交于点P ，直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k +是定值．【答案】（1）221x y +=（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）确定圆心和半径，可得圆C 的方程.（2）把直线方程与圆C 方程联立，得到12x x +，21x x ，再表示出12k k +，运算整理即可.【小问1详解】过点1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭且与直线20x +-=垂直的直线为：1022x y ⎛⎫⎫---= ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭0y -=.又线段MN，其中1,22N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭的垂直平分线为：()222213122x y x y ⎛⎫⎛⎫++=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0y +=.由00y y -=+=，得圆心()0,0C ，又221r CM ==.故圆C 的方程为：221x y +=.【小问2详解】将()3y kx k =+-代入221x y +=得：()2231x kx k ⎡⎤++-=⎣⎦，整理得：()()()222123310k x k k x k ++-+--=.由0∆>⇒()()()22224341310k k k k ⎡⎤--+-->⎣⎦⇒43k >.设1,1，2,2，则()122231k k x x k -+=+，()2122311k x x k --=+.又()1,0P ，所以()111111133111k x y k k x x x -+===+---，同理：2231k k x =+-.所以121233211k k k x x +=++--()()()121236211x x k x x +-=+--()()1212123621x x k x x x x +-=+-++()()()22222336123123111k k k k k k k k k -⨯-+=+----+++()()()22222336123123111k k k k k k k k k -⨯-+=+----+++18629k k --=+23=-.所以1223k k +=-为定值.。

陕西省西安市第一中学2022-2021学年高二上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案

市一中高校区2022—2021学年度第一学期期中考试高二数学试题（理科）命题人：袁芹芹一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．已知向量a =(-1,1,-1)，b =(2, 0,-3)，则a b 等于（） A.2 B. -4 C. -5 D.12.不等式021≥+-xx的解集为（）A ．]1,2[-B ．]1,2(-C ．),1()2,(+∞--∞D ．),1(]2,(+∞--∞ 3. 下列命题中是假命题的是（） A ．若a > 0，则2a>1 B ．若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0 C ．若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列D ．若a+c=2b ，则a ，b ，c 成等差数列4．已知{}n a 是等比数列，1414,2a a ==,则公比q 等于（）A ．21-B ．-2C ． 2D ．215. 命题“任意x ∈R ，|x |＋x 2≥0”的否定是（） A ．任意x ∈R ，|x |＋x 2<0 B ．存在x ∈R ，|x |＋x 2≤0C ．存在x 0∈R ，|x 0|＋x 20<0 D ．存在x 0∈R ，|x 0|＋x 20≥0 6. 如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ，则用向量a ，b ，c 可表示向量1BD 等于( ) A ．a ＋b ＋c B ．a －b ＋c C ．a ＋b －c D ．－a ＋b ＋c7. 若,,a b c 为实数，则下列命题正确的是（）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若0a b <<，则22a ab b >>C ．若0a b <<，则11a b < D ．若0a b <<，则b a a b >8. 若命题))((q p ⌝∨⌝为真命题，则p ，q 的真假状况为（）A ．p 真，q 真B ．p 真，q 假C ．p 假，q 真D ．p 假，q 假 9. 已知变量x ，y 满足条件，则目标函数z=2x+y( )A ．有最小值3，最大值9B ．有最小值9，无最大值C ．有最小值8，无最大值D ．有最小值3，最大值810．已知数列{}n a 的前n 项和12+=+n n S n ，则3=a （）A. 321 B. 281 C. 241 D. 20111. 设2910n a n n =-++，则数列{}n a 前n 项和最大值时，n 的值为（）A ．4B ．5C ．9或10D ．4或512. 方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是 ( )．A ．0<a ≤1B ．a <1C ．a ≤1D ．0<a ≤1或a <0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知0,0,0>>>n y x ，41,x y +=则yx 41+的最小值为． 14. 若不等式22214x a x ax ->++对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是________ 15.在数列{}n a 中，11a =，13(1)n n a S n +=≥，则数列{a n }的通项公式。

(整理版)桐乡一中高二上学期期中考试数学理试题

桐乡一中高二上学期期中考试数学理试题考生注意：1、考试范围：必修2第一章，第二章及用空间向量解立几中有关问题2、总分100分，时间120分钟。

一、选择题：本大题共10题，每题4分，共40分。

1.经过空间任意三点作平面〔 ▲ 〕A ．只有一个B ．可作二个C ．可作无数多个D ．只有一个或有无数多个2.以下结论正确的选项是〔 ▲ 〕A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.以三角形一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，那么该棱锥可能是六棱锥D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线3.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如下图的一个正方形，那么原来的图形是〔 ▲ 〕4.假设直线a 不平行于平面α，那么以下结论成立的是〔 ▲ 〕A.平面α内的所有直线都与直线a 异面B.平面α内不存在与直线a 平行的直线C.平面α内的直线都与直线a 相交D.平面α内必存在直线与直线a 垂直5.：①假设两条直线和第三条直线所成的角相等，那么这两条直线互相平行；②假设两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行；③假设两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。

其中真．▲〕 A ．0 B ．1 C ．2 D ．36.直线n m 、与平面βα、①假设n m n m //,//,//则αα ②假设m n n m ⊥α⊥α则,,//③假设β⊥αβα⊥则,//,m m ④β⊥αβ⊥αm m 则,//,〔 ▲ 〕A ．②③ B．②③④ C ．②③④ D．①④7.设四棱锥ABCD P -的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥，使得截面是平行四边形，那么这样的平面α 〔 ▲ 〕A ．不存在B ．有且只有1个C ．恰好有4个D ．有无数多个8.假设三棱锥的一条棱长为x ，其余棱长均为1，体积是)(x V ，那么函数)(x V 在其定义域上为〔 ▲ 〕A.增函数且有最大值B.增函数且没有最大值C.不是增函数且有最大值D.不是增函数且没有最大值9.如下图，正四棱锥ABCD S -侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，那么异面直线BE 与SC 所成角的大小为〔 ▲ 〕A. 090B. 060C. 045D. 03010.如图，动点P 在正方体1AC 的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体外表相交于,M N ，设=,BP x MN y =，那么函数()y f x =的图象大致是〔 ▲ 〕二、填空题：本大题共7题，每题3分，共21分。

湖北省武汉市部分重点中学2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题含答案

武汉市部分重点中学2024-2025学年度上学期期中联考高二数学试卷（答案在最后）本试卷共4页，19题．满分150分．考试用时120分钟．考试时间：2024年11月12日下午14：00—16：00祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．2，选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线320x y --=在y 轴上的截距为（）A ．2-B ．2C ．23D ．23-2．已知直线1:1l y x =-绕点(0,1)-逆时针旋转512π，得到直线2l ，则2l 不过第__________象限．A ．四B ．三C ．二D ．一3．已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器进行模拟实验产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下：412451312531224344151254424142435414135432123233314232353442据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（）A ．0.4B ．0.45C ．0.5D ．0.554．已知事件A ，B 互斥，它们都不发生的概率为13，且()3()P A P B =，则()P B =（）A ．16B ．13C ．23D ．565．现有一段底面周长为12π厘米和高为15厘米的圆柱形水管，AB 是圆柱的母线，两只蚂蚁分别在水管内壁爬行，一只从A 点沿上底部圆弧顺时针方向爬行2π厘米后再向下爬行5厘米到达P 点，另一只从B 沿下底部圆弧逆时针方向爬行2π厘米后再向上爬行4厘米爬行到达Q 点，则此时线段PQ 长（单位：厘米）为（）A ．B ．12C ．D ．6．概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定：各出赌金210枚金币，先赢3局者可获得全部赎金．但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局，问这420枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是（）A ．甲315枚，乙105枚B ．甲280枚，乙140枚C ．甲210枚，乙210枚D ．甲336枚，乙84枚7．在平面直角坐标系中，点P 的坐标为50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，圆22121:10504C x x y y -+-+=，点(,0)T t 为x 轴上一动点．现由点P 向点T 发射一道粗细不计的光线，光线经x 轴反射后与圆C 有交点，则t 的取值范围为（）A ．1527,88⎡⎤⎢⎣⎦B ．710,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．727,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1510,83⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．如图所示，四面体ABCD 的体积为V ，点M 为棱BC 的中点，点E ，F 分别为线段DM 的三等分点，点N 为线段AF 的中点，过点N 的平面α与棱AB ，AC ，AD 分别交于O ，P ，Q ，设四面体AOPQ 的体积为V '，则V V'的最小值为（）A ．14B ．18C ．116D ．127二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9．给出下列命题，其中是真命题的是（）A ．已知{,,}a b c 是空间的一个基底，若23m a c =+ ，则,,}a b m 〈也是空间的一个基底B ．平面α经过三点(2,1,0)A ，(1,3,1)B -，(2,2,1)C -，向量(1,,)n u t =是平面α的法向量，则2u t +=C ．若0a b ⋅> ，则,a b <>是锐角D ．若对空间中任意一点O ，有111362OM OA OB =++，则M ，A ，B ，C 四点不共面10．下列命题正确的是（）A ．设A ，B 是两个随机事件，且1()2P A =，1()3P B =，若1()6P AB =，则A ，B 是相互独立事件B ．若()0P A >，()0P B >，则事件A ，B 相互独立与A ，B 互斥有可能同时成立C ．若三个事件A ，B ，C 两两相互独立，则满足()()()()P ABC P A P B P C =D ．若事件A ，B 相互独立，()0.4P A =，()0.2P B =，则()0.44P AB AB = 11．平面内到两个定点A ，B 的距离比值为一定值(1)λλ≠的点P 的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点(2,0)A ，(6,0)B ，动点P 满足||1||3PA PB =，记点P 的轨迹为τ，则下列命题正确的是（）A ．点P 的轨迹τ的方程是2230x y x +-=B ．过点(1,1)N 的直线被点P 的轨迹τ所截得的弦的长度的最小值是1C ．直线220x y -+=与点P 的轨迹τ相离D ．已知点3,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，点M 是直线:270l x -+=上的动点，过点M 作点P 的轨迹τ的两条切线，切点为C ，D ，则四边形ECMD 面积的最小值是3三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．同时扡掷两颗质地均匀的骰子，则两颗骰子出现的点数之和为6的概率为__________．13．已知曲线1y =+与直线y x b =+有两个相异的交点，那么实数b 的取值范围是__________．14．在空间直角坐标系中，(0,0,0)O ，(0,,3)A a ，(3,0,)B a ，(,3,0)C a ，33,3,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，P 为ABC △所确定的平面内一点，设||PO PD -的最大值是以a 为自变量的函数，记作()f a ．若03a <<，则()f a 的最小值为__________．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分13分）“体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战2025年杭州举办的国际射联射击世界杯，某射击训练队制订了如下考核方案：每一次射击中10环、中8环或9环、中6环或7环、其他情况，分别评定为A ，B ，C ，D 四个等级，各等级依次奖励6分、4分、2分、0分．假设评定为等级A ，B ，C 的概率分别是12，14，18．（1）若某射击选手射击一次，求其得分低于4分的概率；（2）若某射击选手射击两次，且两次射击互不影响，求这两次射击得分之和为8分的概率．16．（本题满分15分）已知ABC △的顶点(4,2)A ，边AB 上的中线CD 所在直线方程为7250x y +-=，边AC 上的高线BE 所在直线方程为40x y +-=．（1）求边BC 所在直线的方程；（2）求BCD △的面积．17．（本题满分15分）如图所示，已知斜三棱柱111ABC A B C -中，AB a = ，AC b = ，1AA c =，在1AC 上和BC 上分别有一点M 和N 且AM k AC = ，BN k BC =，其中01k ≤≤．（1）求证：MN ，a ，c共面；（2）若||||||2a b c ===，13AB =且160BAC BB C ∠=∠=︒，设P 为侧棱1BB 上靠近点1B 的三等分点，求直线1PC 与平面11ACC A 所成角的正弦值．18．（本题满分17分）已知在平面直角坐标系xOy 中，(1,0)A -，(7,0)B -，平面内动点P 满足||2||PB PA =．（1）求点P 的轨迹方程；（2）点P 轨迹记为曲线C ，若曲线C 与x 轴的交点为M ，N 两点，Q 为直线:17l x =上的动点，直线MQ ，NQ 与曲线C 的另一个交点分别为E ，F ，求|EF|的最小值．19．（本题满分17分）对于三维向量()(),,,,N,0,1,2,k k k k k k k a x y z x y z k =∈= ，定义“F 变换”：()1F k k a a += ，其中，1k k k x x y +=-，1k k k y y z +=-，1k k k z z x +=-．记k k k k a x y z = ，k k k k a x y z =++．（1）若0(2,3,1)a =，求2a 及2a ；（2）证明：对于任意0a ，必存在*k ∈N ，使得0a 经过k 次F 变换后，有0k a = ；（3）已知1(,2,)()a p q q p =≥ ，12024a = ，将1a再经过m 次F 变换后，m a 最小，求m 的最小值．武汉市部分重点中学2024-2025学年度上学期期中联考高二数学试卷参考答案与评分细则题号1234567891011答案ADCDBA DCABADACD12．53613．1)+14．215．解：（1）设事件A ，B ，C ，D 分别表示“被评定为等级A ，B ，C ，D ”．由题意得，事件A ，B ，C ，D 两两互斥，所以1111()12488P D =---=．所以111()()()884P C D P C P D =+=+= ．因此其得分低于4分的概率为14；（2）设事件i A ，i B ，i C ，i D 表示"第i 次被评定为等级A ，B ，C ，D ，i 1,2=．（2）设事件i A ，i B ，i C ，i D 表示“”第i 次被评定为等级A ，B ，C ，D ，i 1,2=．则“两次射击得分之和为8分”为事件()()()121221B B AC A C ，且事件12B B ，12AC，21A C 互斥，()121114416P B B =⨯=，()()12211112816P AC P A C ==⨯=，所以两次射击得分之和为8分的概率()()()()()()121221*********2161616P P B B AC A C P B B P ACP A C ⎡⎤==++=+⨯=⎣⎦ ．16．解：（1）因为AC BE ⊥，所以设直线AC 的方程为：0x y m -+=，将(4,2)A 代入得2m =-，所以直线AC 的方程为：20x y --=，联立AC ，CD 所在直线方程：207250x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得(1,1)C -，设()00,B x y ，因为D 为AB 的中点，所以0042,22x y D ++⎛⎫⎪⎝⎭，因为()00,B x y 在直线BE 上，D 在CD 上，所以0040x y +-=，0042725022x y ++⨯+⨯-=，解得06x =-，010y =，所以(6,10)B -，10(1)11617BC k --==---，所以BC 所在直线的方程为：111(1)7y x +=--，即11740x y +-=．（2）由（1）知点(1,6)D -到直线BC 的距离为：d ==，又||BC ==，所以12722BCD S ==△．17．（1）证明：因为1AM k AC kb kc ==+，()(1)AN AB BN a k BC a k a b k a kb =+=+=+-+=-+，所以(1)(1)MN AN AM k a kb kb kc k a kc =-=-+--=-- ．由共面向量定理可知，MN ，a ，c共面．（2）取BC 的中点为O ，在1AOB △中，1AO B O ==13AB =，由余弦定理可得22211cos2AOB ∠=-，所以12π3AOB ∠=，依题意ABC △，1B BC △均为正三角形，所以BC AO ⊥，1BC B O ⊥，又1B O AO O = ，1B O ⊂平面1B AO ，AO ⊂平面1B AO ，所以BC ⊥平面1AOB ，因为BC ⊂平面ABC ，所以平面1AOB ⊥平面ABC ，所以在平面1AOB 内作Oz OA ⊥，则Oz ⊥平面ABC ，以OA ，OC ，Oz 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示：则1332B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(0,1,0)B -，3,0,0)A ，(0,1,0)C ，1332C ⎛⎫⎪⎝⎭，1332A ⎫⎪⎝⎭设(,,)n x y z =是平面11ACC A 的一个法向量，(3,1,0)AC =，13332AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，则100n AC n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即303332022y x y z ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩，取1z =得(3,3,1)n =-- ，依题意可知123BP BB =，则11112332333713,,,323232C P C B BP C B BB ⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=--+⨯-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．设直线1PC 与平面11ACC A 所成角为θ，则11169sin cos ,13213||133n C PC P n n C Pθ⋅====⋅⨯．故直线1PC 与平面11ACC A 所成角的正弦值为913．18．解：（1）设动点坐标(,)P x y ，因为动点P 满足||2||PB PA =，且(1,0)A -，(7,0)B -，2222(7)2(1)x y x y ++=++化简可得，222150x y x +--=，即22(1)16x y -+=，所以点P 的轨迹方程为22(1)16x y -+=．（2）曲线22:(1)16C x y -+=中，令0y =，可得2(1)16x -=，解得3x =-或5x =，可知(3,0)M -，(5,0)N ，当直线EF 为斜率为0时，||||EK FK +即为直径，长度为8，当直线EF 为斜率不为0时，设EF 的直线方程为x ny t =+，()11,E x y ，()22,F x y ，联立22(1)16x ny t x y =+⎧⎨-+=⎩消去x 可得：22(1)16ny t y +-+=，化简可得；()2212(1)(3)(5)0n y t ny t t ++-++-=由韦达定理可得1221222(1)1(3)(5)1t n y y n t t y y n -⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩，因为()11,E x y ，()22,F x y ，(3,0)M -，(5,0)N ，所以EM ，FN 的斜率为113EM y k x =+，225FN y k x =-，又点()11,E x y 在曲线C 上，所以()2211116x y -+=，可得()()()22111116135y x x x =--=+-，所以111153EM y x k x y -==+，所以EM ，FN 的方程为115(3)x y x y -=+，22(5)5y y x x =--，令17x =可得()1212205125Q x y y y x -==-，化简可得；()()121235550y y x x +--=，又()11,E x y ，()22,F x y 在直线x ny t =+上，可得11x ny t =+，22x ny t =+，所以()()121235550y y ny t ny t ++-+-=，化简可得；()()221212535(5)5(5)0n y y n t y y t ++-++-=，又1221222(1)1(3)(5)1t n y y n t t y y n -⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩，代入可得()2222(3)(5)2(1)535(5)5(5)011t t t n n n t t n n +--++-+-=++，化简可得()()222253(3)(5)10(5)(1)5(5)10n t t n t t t n ++-+--+-+=，()222222(5)3951510105525250t t n t n n n t n t t n -++++-++--=，(5)(816)0t t --=，所以2t =或5t =，当5t =时EF 为5x ny =+，必过(5,0)，不合题意，当2t =时EF 为2x ny =+，必过(2,0)，又||EF 为圆的弦长，所以当EF ⊥直径MN 时弦长||EF 最小，此时半径4r =，圆心到直线EF 的距离为211-=||8EF =，综上，||EF的最小值．19．解：（1）因为0(2,3,1)a = ，1(1,2,1)a = ，2(1,1,0)a = ，所以21100a =⨯⨯= ，21102a =++=，（2）设{}max ,,(0,1,2)k k k k M x y z k == 假设对N k ∀∈，10k a +≠，则1k x +，1k y +，1k z +均不为0；所以12k k M M ++>，即123M M M >>> ，因为*(1,2)k M k ∈=N ，112321121M M M M M M +≥+≥+≥≥++ ，所以121M M +≤-，与120M M +>矛盾，所以假设不正确；综上，对于任意0a ，经过若干次F 变换后，必存在K N*∈，使得0K a =．（3）设()0000,,a x y z = ，因为1(,2,)()a p q q p =≥，所以有000x y z ≤≤或000x y z ≥≥，当000x y z ≥≥时，可得0000002p x y y z q z x=-⎧⎪=-⎨⎪-=-⎩，三式相加得2q p -=又因为12024a =，可得1010p =，1012q =；当000x y z ≤≤时，也可得1010p =，1012q =，所以1(1010,2,1012)a =；设k a的三个分量为()*2,,2m m m +∈N 这三个数，当2m >时，1k a +的三个分量为2m -，2，m 这三个数，所以14k k a a +=- ；当2m =时，k a 的三个分量为2，2，4，则1k a + 的三个分量为0，2，2，2k a +的三个分量为2，0，2，所以124k k a a ++=== ；所以，由12024a = ，可得5058a = ，5064a =；因为1(1010,2,1012)a = ，所以任意k a的三个分量始终为偶数，且都有一个分量等于2，所以505a 的三个分量只能是2，2，4三个数，506a的三个分量只能是0，2，2三个数，所以当505m <时，18m a +≥ ；当505m ≥时，14m a +=，所以m 的最小值为505．。

2024-2025学年河南省南阳市六校高二上学期10月期中考试数学试题(含答案)

2024-2025学年河南省南阳市六校高二上学期10月期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知直线l 的斜率为− 3，则直线l 的一个方向向量的坐标为( )A. (−1,− 3)B. ( 3,−1)C. (− 3,−1)D. ( 3,−3)2.抛物线C ：y = 2x 2的焦点坐标为( )A. ( 22,0)B. ( 24,0)C. (0, 28)D. (0, 24)3.已知▵ABC 三个顶点的坐标分别为A (3,−1)，B (−5,2)，C (7,4)，则BC 边上的中线所在直线的方程为( )A. x +2y−1=0B. 2x +y−5=0C. 2x−y−7=0D. x−2y−5=04.已知双曲线C 以两个坐标轴为对称轴，且经过点(2, 3)和(− 5,−2)，则C 的渐近线方程为( )A. y =± 22xB. y =±xC. y =± 2xD. y =±2x5.“a =−3”是“直线ax +2ay−3=0与(a−1)x−(a +1)y +13=0垂直”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知直线l 经过点P (2,1)，且与圆C ：(x +1)2+(y−2)2=9相交于A ，B 两点，若|AB |=4 2，则直线l 的方程为( )A. y =1或3x +4y−10=0B. y =1或4x +3y−11=0C. 4x +3y−11=0或3x +4y−10=0D. 4x−3y−5=0或3x−4y−2=07.如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于l 位置时，拱顶离水面的高度为2.5m ，水面宽度为8m ，当水面上涨0.9m 后，水面的宽度为( )A. 6.4mB. 6mC. 3.2mD. 3m 8.已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线上一点，若P 与F 1恰好关于C 的一条渐近线y =2x 对称，且|PF 2|=2，则▵PF 1F 2的面积为( )A. 2B. 22C. 23D. 4二、多选题：本题共3小题，共18分。

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精选教案可编辑 2016-2017学年度上学期期中考试高二数学（理科）试卷卷Ⅰ 一、选择题：本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.下列所给点中，在方程0122yxyx表示的曲线上的是

（A）)0,0( (B) )1,1( (C) )2

,0( (D))1,1(

2.椭圆22936xy

的短轴长为

（A）2 (B) 4 (C)6 (D) 12

3. 已知命题p：“Rx，0222xx”，则p是

（A）Rx，0222xx (B) Rx0，022020xx

4. 对于常数m、n，“0mn”是“方程221mxny

的曲线是椭圆”的

（A）充分不必要条件 (B) 必要不充分条件（C）充要条件 (D) 不充分不必要条件 5.已知1,1,112aaa 为等比数列，则a （A）0或1 (B) 1 （C）0 (D) 不存在 6．命题“数列{}na前n项和是2nSAnBnC的形式，则数列{}na为等差数列”的逆命题，否

命题，逆否命题这三个命题中，真命题的个数为

（A）0 (B)1 (C)2 (D)3 7. 设定点12(0,3),(0,3)FF

，动点P满足条件mmPFPF9||||21（其中常数0m），则点P

的轨迹是精选教案可编辑（A）椭圆 (B) 线段 (C) 不存在 (D) 椭圆或线段

8．已知点)1,3(和)6,4(在直线023ayx的两侧，则实数a的取值范围为（A）)24,7( （B）),24()7,( （C）)7,24( （D）),7()24,(

9. 已知点(,)xy满足不等式组43021032190xyxyxy，则yx的最大值为（A）1 （B）25 （C）52 （D）53

10.已知椭圆171622yx的左、右焦点分别为12,FF，点P在椭圆上，若12,,PFF

是一个直角三角

形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（A） 47 (B)37 (C) 47或37 (D) 6

11.椭圆1133222aayax的离心率的最小值为 (A) 36 （B）32 (C)31 (D)33 12. 关于x的方程2(2)310xabxab

的两个实根分别在区间(1,0)和(0,1)上，则

ab的取值范围为

(A）31(,)55 (B)21(,)55 (C)32(,)55 (D)11(,)55

卷Ⅱ 精选教案

可编辑二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13. 椭圆13222yx的焦点坐标为．

14. 设实数xy，满足约束条件1,23,1,yxyxyx目标函数zaxy仅在点)43,4

(取最大值，则实数a

的取值范围为________ . 15. 已知数列na满足naaann11,10（nN），则nan取最小值时n .

16. 设1F、2F分别是椭圆1162522yx的左，右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为)4,6(，则|PM |＋|1PF

|的最大值为_____ ___．

三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分10分) (Ⅰ)已知某椭圆的左右焦点分别为)0,1(),0,1(21FF，且经过点)414,21(P，求该椭圆的标准方程；

(Ⅱ) 已知某椭圆过点)2

,1(),1,2(，求该椭圆的标准方程.

18.(本小题满分12分) 已知命题:p“11222mymx是焦点在x轴上的椭圆的标准方程”，命题:q“不等式组







mxyxyxyy210

所表示的区域是三角形”.若qp为真命题，qp为假命题，求实数m的取值范围.

19．(本小题满分12分) 精选教案可编辑已知正数ba,满足22baab． (Ⅰ)求ab的最小值； (Ⅱ)求2ab的最小值.

20. (本小题满分12分) 已知数列}{na满足)(121Nnaann，21a.

(Ⅰ)求证}1{na为等比数列，并数列}{na的通项公式；

(Ⅱ)求数列}{nna的前n项和nS)(Nn

21. (本小题满分12分) 设椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率2

3e．已知点)23,0(P到这个椭圆上的点的最远距离

为7,求这个椭圆方程．

22. (本小题满分12分) 设1a，集合{|0}AxRx，2{|23(1)60}BxRxaxa

， DAB.

(Ⅰ)求集合D（用区间表示）； (Ⅱ)求函数axaxxf)1()(2在D内的零点. 精选教案可编辑 2016-2017学年度上学期期中考试高二数学试卷参考答案一．选择题 CBDBC CDADC AA 二．填空题

理科：)0,6

( )1,3( 4

或5 15

文科：)0,2( 3或1 4 5 三．解答题

17. (Ⅰ)aPFPF22242342516144116144

||||21，又椭圆焦点为)0,1(，

所以椭圆方程为1222yx.……………………5分 (Ⅱ)设椭圆方程为122nymx，则有123,12nmnm，解得21,41nm，所以椭圆方

程为12422yx.……………………10分 18. （理科）如果p为真命题，则有01mm，即21m；……………………3分

若果q为真命题，则由图可得2

30m或2m.……………………7

分因为qp为真命题，qp为假命题，所以p和q一真一假，所以实数m的取值范围为),2

(]1,0(……………………12分

（文科）如果p为真命题，则有01mm，即21m；……………………3分若果q为真命题，则由图可得22

m.……………………7分

1Oyx精选教案

可编辑因为qp为真命题，qp为假命题，所以p和q一真一假，所以实数m的取值范围为]2

,1(.……………………12分

19.（理科） (Ⅰ)22222abbaab，设tab，所以02222tt，解得

22t，……………………4分

所以ab最小值为246，当ab2，即12a时取到. ……………………6分 (Ⅱ)由题可得)1(122aa

b，

所以55451811442aaa

aba，即ba2最小值为

554，……………………10分

当181aa

，即122a时取到. ……………………12分

（文科）(Ⅰ)abbaab222，所以22ab，所以ab最小值为8，……………………4分当ab2，即2a时取到. ……………………6分 (Ⅱ)由题可得121ba，所以9225)2)(21(2baabbababa，即ba2最小值为9，……………………10分

当3ba时取到. ……………………12分 20. (Ⅰ)由题可得)1(211nnaa，又111a，所以}1{na为等比数列，……………………2

分且121nna，所以121nna；……………………4分

(Ⅱ) nnnann12，设12n

nnb的前n项和为nT，

所以1221022)1(...232221nnnnnT

nnnnnT22)1(...23222121321…………………6分

所以12)1(2)2...22(211210nnn

nnnT,……………………10分