2014届一轮复习数学试题选编34不等式选讲(学生版)
北京2014届高三数学一轮复习 不等式单元训练
北京大学附中2014届高三数学一轮复习单元训练：不等式本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知120,0m a a >>>，则使得21|2|(1,2)i m a x i m+≥-=恒成立的x 的取值范围是( ) A ．12[0,]a B ．22[0,]a C ．14[0,]a D ．24[0,]a 【答案】C2．已知点p(x,y)的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥≥032,,1y x x y x 那么点P 到直线3x-4y-9=0的距离的最小值为( ) A ．2 B ． 1C ．514 D ．56 【答案】A3．已知,x y 满足约束条件,1,1.y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值为( )A ． 3-B ． 32-C ．32D ． 3【答案】D4．若变量x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤+011x y x y x ，则z=x+2y 的最大值与最小值分别为( )A ． 1，﹣1B ．2，﹣2C ．1，﹣2D ．2，﹣1【答案】B5．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ，[,,(0,1)]a b c ∈，已知他投篮一次得分的期望是2，则ba 312+的最小值为（ ） A ．332 B ．328 C ．314 D ．316 【答案】D6．目标函数y x z +=2，变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥<+≤+-12553034x y x y x ，则有( )A ．3,12min max ==z zB ．z z ,3min =无最大值C ．,12max=z z 无最小值D ．z 既无最大值，也无最小值【答案】B7．给出下列四个命题：①若0>>b a ，则bb a a 11->-；②已知0>h ，R b a ∈,则h b a 2<-是h a <-1且h b <-1的必要不充分条件③若0>>b a ，则b a b a b a >++22；④若+∈R x ，则xx y 822+=的最小值为8；真命题的个数为( )A ． 1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B8．已知a ＝0.3，b ＝20.3，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 三者的大小关系是( )A ．b>c>aB ．b>a>cC ．a>b>cD ．c>b>a 【答案】A9．△ABC 满足23AB AC ⋅=︒=∠30BAC ，设M 是△ABC 内的一点(不在边界上)，定义),,()(z y x M f =，其中,,x y z 分别表示△MBC ,△MCA ,△MAB 的面积，若)21,,()(y x M f =，则14x y +的最小值为( )A ．8B ．9C ．16D ．18【答案】D10．已知,a b 为非零实数，且a b >，则下列命题成立的是( )A ．22a b >B ．1ba < C ．lg()0ab ->D ．11()()22a b <【答案】D11．已知实数a 、b 满足“a ＞b ”，则下列不等式中正确的是( )A ．|a|＞|b |B ．a 2＞b 2C ．a 3＞b 3D ．ba＞1 【答案】C12．若a 、b 为实数，则下面一定成立的是( )A ．若b a >,则22b a > B ．若b a >,则22b a >C ．若b a >,则22b a >D ．若b a ≠,则22ba ≠【答案】C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知平面区域如图所示，)0(>+=m y mx z 在平面区域内取得最大值时的最优解有无数多个，则=mOCA(5,3)B(1,1)yx【答案】0.514．在平面直角坐标系中，不等式组02030y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩表示的区域为M ，1t x t ≤≤+表示的区域为N ，若12t <<，则M 与N 公共部分面积的最大值为 ． 【答案】5615．在a 克糖水中含有b 克塘（a>b>0），若在糖水中加入x 克糖，则糖水变甜了。
新高考苏教版数学理大一轮复习训练14.4不等式选讲(含答案解析)
14.4 不等式选讲解答题1．已知函数 f ( x) ＝ | x －2| －| x － 5|.(1) 证明：－ 3≤ f ( x) ≤3；(2) 求不等式 f ( x) ≥ x 2－8x ＋ 15 的解集．－ ，x ≤ ，32分析 (1) 证明f ( x) ＝| x －2| － | x －5| ＝ 2 x － ，＜ x ＜ ，7253 ，x ≥ 5.当 2＜x ＜5 时，－ 3＜ 2x －7＜3.因此－ 3≤ f ( x) ≤3.(2) 由 (1) 可知，当 x ≤2时， f ( x) ≥ x 2－ 8x ＋15 的解集为空集；当 2＜x ＜5 时， f ( x) ≥ x 2－ 8x ＋15 的解集为 { x|5 － 3≤x ＜5} ；当 x ≥5时， f ( x) ≥ x 2－ 8x ＋15 的解集为 { x|5 ≤ x ≤6} ．综上，不等式 f ( x) ≥ x 2－ 8x ＋15 的解集为 { x|5 － 3≤x ≤6} ．2221 1 122．已知 a ，b ，c 均为正数，证明： a ＋ b ＋c ＋ a ＋b ＋ c ≥6 3，并确立 a ，b ，c 为什么值时，等号建立．证明法一由于 a 、b 、c 均为正数，由均匀值不等式得2222a ＋b ＋c ≥3( abc) 3，① 1 1 1 1a ＋b ＋c ≥3( abc) －3，②1 1 1 22因此 a ＋b ＋c ≥9( abc) －3.2 2 21 1 12 2 2故 a ＋ b ＋ c ＋ a ＋b ＋c ≥3( abc) 3＋9( abc) －3.又 3( abc) 22 3，③3 ＋9( abc) － ≥2 27＝6 3因此原不等式建立．当且仅当 a ＝b ＝ c 时，①式和②式等号建立．22当且仅当 3( abc) 3＝ 9( abc) －3时，③式等号建立．1即当且仅当 a ＝b ＝c ＝34时，原式等号建立．法二由于 a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，因此 a 2＋b 2 ＋c 2≥ab ＋ bc ＋ac. ①1 1 11 1 1同理 a 2＋b 2＋c 2≥ ab ＋bc ＋ac ，②2221 1 12 1 1 1故 a ＋b ＋ c ＋ a ＋b ＋c ≥ab ＋ bc ＋ac ＋3ab ＋3bc ＋3ac ≥6 3. ③因此原不等式建立，当且仅当 a ＝b ＝ c 时，①式和②式等号建立，当且仅当 a ＝b ＝ c ， ( ab) 2＝( bc) 2＝( ac) 2＝3 时，③式等号建立．1即当且仅当 a ＝b ＝c ＝34时，原式等号建立．＋2 2．已知 m ＞ ，a ，mb 2≤a ＋mbb ∈ ，求证：a1＋m .3 0 R 1＋ m证明 由于 m ＞ ，因此 ＋m ＞ ，因此要证 a ＋ mb 22 21≤a ＋mb ，0 0 1＋m 1＋ ma ＋mb 2 ≤ ＋ m 2 2，即证 ((1a ＋mb) )()即证 m a 2－ab ＋b 2) ≥ ，即证(a －b2≥ ，而( a －b2 ≥0明显建立，(2)0 )a ＋mb 222a ＋ mb故 1＋m≤ 1＋m.4. 已知 f ( x)| ax 1| (aR) ，不等式 f ( x) , 3的解集为 { x | 2剎 x , 1 ｝。
2014年高考数学题分类(不等式选讲)
2014高考数学试题分类---不等式选讲（含答案）：1.[2014·广东卷] 设集合A ＝{(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5)|x i ∈{－1，0，1}，i ＝1，2，3，4，5}，那么集合A 中满足条件“1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|≤3”的元素个数为( )A ．60B ．90C ．120D ．1302．[2014·江西卷] (1)(不等式选做题)对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．[2014·陕西卷] 设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则m 2＋n 2的最小值为________．4．[2014·广东卷] 不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________．5．[2014·湖南卷] 若关于x 的不等式|ax －2|＜3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －53＜x ＜13，则a ＝________． 6．[2014·重庆卷] 若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取 值范围是________．7．[2014·福建卷] 已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a .(1)求a 的值； (2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3.8．[2014·辽宁卷] 设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2－8x ＋1.记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N .(1)求M ； (2)当x ∈M ∩N 时，证明：x 2f (x )＋x [f (x )]2≤14.9．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 若a >0，b >0，且1a ＋1b ＝ab . (1)求a 3＋b 3的最小值．(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由.10．[2014·新课标全国卷Ⅱ]设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a ＞0)． (1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)＜5，求a 的取值范围．11．[2014·浙江卷] (1)解不等式2|x －2|－|x ＋1|＞3；(2)设正数a ，b ，c 满足abc ＝a ＋b ＋c ，求证：ab ＋4bc ＋9ac ≥36，并给出等号成立条件．答案1．D 2．(1)C 3．A.5 4．(－∞，－3]∪[2，＋∞) 5．－3 6.⎣⎡⎦⎤－1，127. (Ⅲ)解：(1)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当－1≤x ≤2时，等号成立，所以f (x )的最小值等于3，即a ＝3.(2)由(1)知p ＋q ＋r ＝3，又p ，q ，r 是正实数，所以(p 2＋q 2＋r 2)(12＋12＋12)≥(p ×1＋q ×1＋r ×1)2＝(p ＋q ＋r )2＝9，即p 2＋q 2＋r 2≥3.8．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －3，x ∈[1，＋∞），1－x ，x ∈（－∞，1）.当x ≥1时，由f (x )＝3x －3≤1得x ≤43，故1≤x ≤43； 当x <1时，由f (x )＝1－x ≤1得x ≥0，故0≤x <1.所以f (x )≤1的解集M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 0≤x ≤43. (2)由g (x )＝16x 2－8x ＋1≤4得16⎝⎛⎭⎫x －142≤4，解得－14≤x ≤34， 因此N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －14≤x ≤34，故M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 0≤x ≤34. 当x ∈M ∩N 时，f (x )＝1－x ，于是x 2f (x )＋x ·[f (x )]2＝xf (x )[x ＋f (x )]＝xf (x )＝x (1－x )＝14－⎝⎛⎭⎫x －122≤14. 9解：(1)由ab ＝1a ＋1b ≥2ab，得ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立． 故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥4 2，当且仅当a ＝b ＝ 2时等号成立．所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使2a ＋3b ＝6.10．解：(1)证明：由a >0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪x ＋1a －（x －a ）＝1a＋a ≥2，所以f (x )≥2. (2)f (3)＝⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a |.当a >3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)<5得3<a <5＋212. 当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)<5得1＋52<a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212. 11.解：(1)当x ≤－1时，2(2－x )＋(x ＋1)＞3，得x ＜2，此时x ≤－1；当－1＜x ≤2时，2(2－x )－(x ＋1)＞3，得x ＜0，此时－1<x <0；当x >2时，2(x －2)－(x ＋1)＞3，得x >8，此时x >8.综上所述，原不等式的解集是(－∞，0)∪(8，＋∞)．(2)证明：由abc ＝a ＋b ＋c ，得1ab ＋1bc ＋1ca＝1.由柯西不等式，得(ab ＋4bc ＋9ac )⎝⎛⎭⎫1ab ＋1bc ＋1ca ≥(1＋2＋3)2，所以ab ＋4bc ＋9ac ≥36，当且仅当a ＝2，b ＝3，c ＝1时，等号成立．。
2014年高考一轮复习考点热身训练选修系列(第2部分不等式选讲)
【金榜原创】2014年高考一轮复习考点热身训练：选修系列（第2部分：不等式选讲）一、选择题1 下列各式中，最小值等于2的是（ ） A x y y x + B4522++x x C 1tan tan θθ+ D 22x x -+ 【答案】D20,20,222x x x x -->>∴+≥=2 若,x y R ∈且满足32x y +=，则3271x y ++的最小值是（ ）A1+6 D 7【答案】D3331117x y ++≥==3 设0,0,1x y x y A x y +>>=++, 11x y B x y =+++，则,A B 的大小关系是（ ）A AB = B A B <C A B ≤D A B >【答案】B 11111x y x y x y B A x y x y y x x y+=+>+==++++++++，即A B < 5 设,,a b c R +∈，且1a b c ++=，若111(1)(1)(1)M a b c =---，则必有（ ） A 108M ≤< B 118M ≤< C 18M ≤< D 8M ≥【答案】D()()()(1)(1)(1)a b c a b c a b c b c a c a b M a b c abc +++++++++=---=8≥=6 若,a b R +∈，且,a b M ≠=N =M 与N 的大小关系是A M N >B M N <C M N ≥D M N ≤【答案】A,a b ≠>>>>7. 若log2xy=-，则x y+的最小值是（）A 2233B 3323C 233 D 322【答案】A 由log2xy=-得21yx=，而221122x xx y xx x+=+=++≥=8.,,a b c R+∈，设a b c dSa b c b c d c d a d a b=+++++++++++，则下列判断中正确的是（）A 01S<< B 12S<< C 23S<< D 34S<<【答案】Ba b c da b c b c d c d a d a b+++++++++++1a b c d a b c da b c d b c d a c d a b d a b c a b c d+++ >+++== +++++++++++++++即1S>，a aa b c a c<+++，c cc d a a c<+++，b bb c d b d<+++，d dd a b d b<+++得1a c c aa b c c d a a c a c+<+=++++++，1b d d bb c d d a b d b b d+<+=++++++即2a b c da b c b c d c d a d a b+++<++++++++，得2S<，所以12S<<9.若1x>，则函数21161xy xx x=+++的最小值为（）A 16B 8C 4D 非上述情况【答案】B2116116811xy x xx x x xx=++=++≥=++10. 设0b a>>，且P=，211Qa b=+，M=，2a bN+=，R=则它们的大小关系是（）AP Q M N R<<<< B Q P M N R<<<<CP M N Q R<<<< D P Q M R N<<<<【答案】A R 为平方平均数，它最大二、填空题11 若实数,,x y z 满足23()x y z a a ++=为常数，则222x y z ++的最小值为 【答案】214a 2222222(123)()(23)x y zx y z a ++++≥++= 即222214()x y z a ++≥，222214a x y z ∴++≥ 12 若,,,a b c d 是正数，且满足4a b c d +++=，用M 表示,,,a b c a b d a c d b c d ++++++++中的最大者，则M 的最小值为__________【答案】3 1()4M a b c a b d a c d b c d ≥+++++++++++3()34a b c d =+++=，即min 3M =13．设函数f (x )＝|2x －1|＋x ＋3，则f (－2)＝________；若f (x )≤5，则x 的取值范围是________． 答案：6 [－1,1]解析：f (－2)＝|2×(－2)－1|＋(－2)＋3＝6，|2x －1|＋x ＋3≤5，即|2x －1|≤2－x ， x －2≤2x －1≤2－x ，解得－1≤x ≤1.14．解关于x 的不等式：|2x －1x|<3的解集是________． 答案：{x |x <－1或x >15} 解析：方法一：|2x －1x |<3⇔|2x －1||x |<3， 将之视为多个绝对值问题，将数轴按0，12分成三段： ⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，－2x －1－x <3或⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x ≤12，－2x －1x <3或⎩⎪⎨⎪⎧ x >12，2x －1x <3.∴x <－1或15<x ≤12或x >12. ∴所求不等式的解集为{x |x <－1或x >15}． 方法二：|2x －1x |<3⇔|2x －1||x |<3，∵x ≠0，∴|x |>0，不等式两边同乘|x |，得|2x －1|<3|x |，两边再平方，得(2x －1)2<(3x )2，即(x ＋1)(x －15)>0. ∴该一元二次不等式的解集即原不等式的解集为{x |x <－1或x >15}． 15．若2x ＋3y ＝1，则4x 2＋9y 2的最小值为________．答案：12解析：由柯西不等式(4x 2＋9y 2)(22＋22)≥(4x ＋6y )2＝4，∴4x 2＋9y 2≥12. 当且仅当2x 2＝3y 2，即2x ＝3y 时取等号． 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝3y 2x ＋3y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14y ＝16， 16.于是4x 2＋9y 2的最小值为12.4．已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝25，则a 2＋2b 2＋c 2的最小值为________． 答案：8 解析：由柯西不等式，得：(a 2＋2b 2＋c 2)[12＋(22)2＋12]≥(a ＋b ＋c )2，∵a ＋b ＋c ＝25， ∴(a 2＋2b 2＋c 2)·52≥(25)2，∴a 2＋2b 2＋c 2≥8， 当且仅当a 1＝2b 22＝c 1，即a ＝2b ＝c ＝455时，a 2＋2b 2＋c 2取最小值8. 三、解答题17．(2012·哈尔滨模拟)已知函数f(x)=|x-a|.(1)若不等式f(x)≤m 的解集为{x|-1≤x ≤5},求实数a,m 的值.(2)当a=2时，解关于x 的不等式f(x)+t ≥f(x+2t)(t ≥0).解析：(1)由|x-a|≤m 得a-m ≤x ≤a+m,所以a m 1a m 5-=-⎧⎨+=⎩，解之得a 2m 3=⎧⎨=⎩为所求. (2)当a=2时，f(x)=|x-2|,所以f(x)+t ≥f(x+2t)⇔|x-2+2t|-|x-2|≤t ①当t=0时，不等式①恒成立，即x ∈R;当t>0时，不等式①⇔()x 22t 22t x 2x t <-⎧⎪⎨----≤⎪⎩或()22t x 2x 22t 2x t -≤<⎧⎪⎨-+--≤⎪⎩或()x 2x 22t x 2t ≥⎧⎪⎨-+--≤⎪⎩解之得x<2-2t 或2-2t ≤x ≤2-t 2或x ∈∅, 即x ≤2-t 2; 综上，当t=0时，原不等式的解集为R ， 当t>0时，原不等式的解集为{x|x ≤2-t 2}. 18．(2012·南安模拟)将12 cm 长的细铁线截成三条长度分别为a 、b 、c 的线段，(1)求以a 、b 、c 为长、宽、高的长方体的体积的最大值；(2)若这三条线段分别围成三个正三角形，求这三个正三角形面积和的最小值. 解析：(1)a+b+c=12,V=abc ≤3a b c 3++（）=64; 当且仅当a=b=c=4时，等号成立.(2)设正三角形的边长为l ,m,n ，则l +m+n=4设这三个正三角形的面积和为S ，则：)())22222223S m n 111l m n S 443=++++≥++=⇒≥l 当且仅当l =m=n=43时，等号成立.即这三个正三角形面积和的最小值为3。
【聚焦典型题】(苏教版)2014届高考一轮数学(理)：《基本不等式》
C.最大值为－4 D.最小值为－4 1 1 (2)已知 a，b∈R＋，且 a＋b＝1，则1＋a1＋b的最小值为________．
【例 2】►已知 a＞0，b＞0，c＞0， bc ca ab 求证： ＋ ＋ ≥a＋b＋c. a b c 正明 ∵a＞0，b＞0，c＞0，
≥3＋2＋2＋2＝9，
1 当且仅当 a＝b＝c＝ 时，取等号 3
【审题视点 】 先局部运用基本不 等式，再利用不等式 的性质相加得到． 【方法锦囊 】 利用基本不等式证 明不等式是综合法 证明不等式的一种 情况， 证明思路是从 已证不等式和问题 的已知条件出发， 借 助不等式的性质和 有关定理， 经过逐步 的逻辑推理最后转 化为需证问题．
考向一 利用基本不等式求最值
≥2
即 x＝3 时取等号，即当 f(x)取得最小值时，x＝3， 则 一 般 是 利 用 函 数 即 a＝3. 单调性求解．
1 1 (3)若可用基本不等 x－2× ＋2＝4， 当且仅当 x－2＝ (x>2)， x－2 x－2 式，但等号不成立，
1 【训练 1】 (2013· 福州模拟)已知 f(x)＝x＋x－2(x<0)，则 f(x)有( A.最大值为 0 B.最小值为 0
【方法锦囊 】 【例 3】►(2012· 江苏卷)如图，建立平面直角坐标系 xOy，x 【审题视点 】 (1)问题的背景 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为 1 千米．某炮 (1)令 y＝0，解 1 位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程 y＝kx－ (1 是 人 们 关 心 的 20k 20 社会热点问题， 2 2 ＋k )x (k>0)表示的曲线上，其中 k 与发射方向有关．炮的射 得 x＝1＋k2， 题目往往较长， 程是指炮弹落地点的横坐标． (1)求炮的最大射程； 解题时需认真 通过变形利用 阅读， 从中提炼 (2)设在第一象限有一飞行物 基本不等式确 出有用信息， 建 (忽略其大小)，其飞行高度为 立数学模型， 转 定其最大值； 3.2 千米，试问它的横坐标 a 化为数学问题 不超过多少时，炮弹可以击中 求解．过 二 次 (2) 通 它？请说明理由． (2)当运用基本 1 不等式的求解 2 2 解 (1)令 y＝0，得 kx－ (1＋k )x ＝0， 不等式求最值 20 20k 20 20 来确定对应的 时， 若等号成立 故 x＝ ≤ ＝10， 自 变 量 不 在 2＝ 由实际意义和题设条件知 x>0，k>0， 的 1 2 1＋k 横坐标的取值 k＋ 定义域内时， 就 k 范围． 当且仅当 k＝1 时取等号．所以炮的最大射程为 10 千米． 不 能 使 用 基 本 不等式求解， 此 (2)因为 a>0，所以炮弹可击中目标 ⇔存在 k>0，使 3.2＝ka 时可根据变量 1 2 2 2 2 2 － (1＋k )a 成立⇔关于 k 的方程 a k －20ak＋a ＋64＝0 有正根 的 范 围 用 对 应 20 ⇔判别式 Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0⇔a≤6.所以当 a 不超过 6 千函 数 的 单 调 性 求解． 米时，可击中目标．
2014届高三数学高考一轮复习数学（人教A版·理）【配套训练】选修4-5不等式选讲
2014届高三数学高考一轮复习数学（人教A版·理）【配套训练】选修4-5不等式选讲不等式选讲第1讲含有绝对值的不等式及其解法、证明不等式的基本方法1.不等式|2x-1|<3的解集为.【答案】{x|-1<x<2}< p="">【解析】(1)当2x-1≥0,即x≥时,不等式变为2x-1<3,即x<2,所以≤x<2;(2)当2x-1<0,即x<时,不等式变为-(2x-1)<3,即x>-1,所以-1<x<.< p="">综上,原不等式的解集为={x|-1<x<2}.< p="">2.(2012·江西卷,15(2))在实数范围内,不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集为.【答案】3.若不等式|x+1|+|x-2|≥a对任意x∈R恒成立,则a的取值范围是.【答案】(-∞,3]【解析】(方法一)∵|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,∴使原不等式恒成立的a的取值范围是a≤3.(方法二)∵|x+1|+|x-2|表示数轴上一点A(x)到B(-1)与C(2)的距离之和,而|B C|=3,∴|AB|+|AC|≥3.故a≤3.(方法三)设f(x)=|x+1|+|x-2|=作出函数f(x)的图象如图所示,由图易知f(x)≥3.故a≤3.4.不等式|x-x2-2|>x2-3x-4的解集是.【答案】{x|x>-3}【解析】∵|x-x2-2|=|x2-x+2|,而x2-x+2>0恒成立,∴原不等式等价于x2-x+2>x2-3x-4,即2x>-6,x>-3.故原不等式的解集为{x|x>-3}.5.如果关于x的不等式|x-3|-|x-4|-1【解析】a>(|x-3|-|x-4|)min,令y=|x-3|-|x-4|,由几何意义得-1≤y≤1,故a>-1.6.若不等式>|a-2|+1对于一切非零实数x均成立,则实数a的取值范围是. 【答案】(1,3)【解析】∵≥2,∴|a-2|+1<2,即|a-2|<1,解得1<a<3.< p="">7.已知集合A={x∈R||x+3|+|x-4|≤9},B=,则集合A∩B=.【答案】{x|-2≤x≤5}【解析】解不等式|x+3|+|x-4|≤9.(1)当x<-3时,|x+3|+|x-4|=-x-3+4-x≤9,则x≥-4,即-4≤x<-3;(2)当-3≤x≤4时,|x+3|+|x-4|=x+3+4-x≤9恒成立,则-3≤x≤4;(3)当x>4时,|x+3|+|x-4|=x+3+x-4≤9,则x≤5,即4<x≤5.< p="">综上所述,A={x∈R|-4≤x≤5}.∵t∈(0,+∞),∴x=4t+-6≥2-6=-2,当且仅当t=时等号成立.于是B={x∈R|x≥-2}. 故A∩B={x∈R|-4≤x≤5}∩{x∈R|x≥-2}={x∈R|-2≤x≤5}.8.解不等式x+|2x-1|<3.【解】原不等式可化为或解之可得≤x<或-2<x<.< p="">故原不等式的解集是.9.(2012·江苏卷,21D)已知实数x,y满足:|x+y|<,|2x-y|<,求证:|y|<.【证明】因为3|y|=|3y|=|2(x+y)-(2x-y)|≤2|x+y|+|2x-y|,由题设知|x+y|<,|2x-y|<,从而3|y|<+=,所以|y|<.10.若n∈N+,n≥2,求证:-<++…+<1-.【证明】∵++…+>++…+=++…+=-,又++…+<++…+=++…+=1-,∴-<++…+<1-.11.若x,y∈{x|x>0,且x+y>2},求证:<2和<2中至少有一个成立.【证明】假设<2和<2都不成立,则有≥2,≥2同时成立.∵x>0,y>0,∴1+x≥2y,1+y≥2x同时成立.两式相加,得2+x+y≥2x+2y,即x+y≤2.这与条件x+y>2相矛盾.因此,<2和<2中至少有一个成立.12.(2012·辽宁卷,24)已知f(x)=|ax+1|(a∈R),不等式f(x)≤3的解集为{x|-2≤x≤1}.(1)求a的值;(2)若≤k恒成立,求k的取值范围.【解】(1)由|ax+1|≤3得-4≤ax≤2.又f(x)≤3的解集为{x|-2≤x≤1},所以当a≤0时,不合题意.当a>0时,-≤x≤,得a=2.(2)记h(x)=f(x)-2f,则h(x)=从而可知|h(x)|≤1,因此k≥1.拓展延伸13.(2012·课标全国卷,24)已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围. 【解】(1)当a=-3时,f(x)=当x≤2时,由f(x)≥3得-2x+5≥3,解得x≤1;当2<x<3时,f(x)≥3无解;< p="">当x≥3时,由f(x)≥3得2x-5≥3,解得x≥4;综上,可知f(x)≥3的解集为{x|x≤1}∪{x|x≥4}. (2)f(x)≤|x-4|?|x-4|-|x-2|≥|x+a|.当x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a|4-x-(2-x)≥|x+a|-2-a≤x≤2-a.由条件得-2-a≤1且2-a≥2,即-3≤a≤0.故满足条件的a的取值范围为[-3,0].</x<3时,f(x)≥3无解;<></x<.<></x≤5.<></a<3.<></x<2}.<></x<.<></x<2}<>。
【志鸿优化设计】2014届高考数学一轮复习 阶段检测三 数列 不等式试题 理(含解析)新人教A版
阶段检测三 数列 不等式(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等差数列{a n }中，a 5＋a 11＝30，a 4＝7，则a 12的值为( )． A ．15 B ．23 C ．25 D ．372．已知实数列－1，x ，y ，z ，－2成等比数列，则xyz 等于( )． A ．－4 B ．±4 C ．－22D ．±2 23．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( )．A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 4．已知x ，y 均为正数，且x ≠y ，则下列四个数中最小的一个是( )． A ．12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y B ．1x ＋yC ．1xyD ．12x 2＋y 25．等比数列{a n }的首项a 1＝1 002，公比q ＝12，记p n ＝a 1·a 2·a 3·…·a n ，则p n 达到最大值时，n 的值为( )．A ．8B ．9C ．10D ．116．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≥－1，y ≥0表示的平面区域为M ，若直线y ＝kx －3k 与平面区域M 有公共点，则k 的取值X 围是( )．A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，0B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，13 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－13 7．若直线2ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b的最小值为( )．A ．14B ．12C ．2D ．4 8．已知各项均不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8等于( )．A ．2B ．4C ．8D ．169．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值是( )．A ．0B ．－2C ．－52D ．－310．(2012某某高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a ＜b )，其全程的平均时速为v ，则( )．A ．a ＜v ＜abB ．v ＝abC ．ab ＜v ＜a ＋b2D ．v ＝a ＋b211．数列{a n }的通项a n ＝n 2⎝⎛⎭⎪⎫cos2n π3－sin2n π3，其前n 项和为S n ，则S 30为( )．A ．470B ．490C ．495D ．51012．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 成立，则( )．A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜12二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上)13．已知x ＞0，y ＞0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则a ＋b 2cd的最小值是__________．14．已知数列{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝________.15．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为________．16．在数列{a n }中，若a 2n －a 2n ＋1＝p (n ≥1，n ∈N *，p 为常数)，则称{a n }为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断：①若{a n }是等方差数列，则{a 2n }是等差数列；②{(－1)n}是等方差数列；③若{a n }是等方差数列，则{a kn }(k ∈N *，k 为常数)也是等方差数列． 其中真命题的序号为__________(将所有真命题的序号填在横线上)．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8.18．(12分)已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|. (1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值X 围．19．(12分)已知p ：x －5x －3≥2，q ：x 2－ax ≤x －a ，若⌝p 是⌝q 的充分条件，某某数a的取值X 围．20．(12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝－13，a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝2n －6. (1)设b n ＝a n ＋1－a n ，求数列{b n }的通项公式； (2)求当n 为何值时，a n 的值最小．21．(12分)数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n (S n －1)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)设b n ＝log 2S nS n ＋2，数列{b n }的前n 项和为T n ，求满足T n ≥6的最小正整数n . 22．(12分)有n 个首项为1的等差数列，设第m 个数列的第k 项为a mk (m ，k ＝1,2,3，…，n ，n ≥3)，公差为d m ，并且a 1n ，a 2n ，a 3n ，…，a nn 成等差数列．(1)当d 3＝2时，求a 32，a 33，a 34以及a 3n ；(2)证明d m ＝p 1d 1＋p 2d 2(3≤m ≤n ，p 1，p 2是m 的多项式)，并求p 1＋p 2的值；(3)当d 1＝1，d 2＝3时，将数列{}d m 分组如下：(d 1)，(d 2，d 3，d 4)，(d 5，d 6，d 7，d 8，d 9)，…(每组数的个数构成等差数列)，设前m 组中所有数之和为(c m )4(c m ＞0)，求数列{2m c·d m }的前n 项和S n .参考答案1．B2．C 解析：∵xz ＝(－1)×(－2)＝2，y 2＝2， ∴y ＝－2(y ＝2不合题意)． ∴xyz ＝－2 2.3．A 解析：由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)．4．D 解析：∵12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝x ＋y 2xy ＞2xy 2xy ＝1xy，∴不能选A.又∵1x ＋y ＜12xy ＜1xy， ∴不能选C ，下面比较B 和D.令x ＝1，y ＝2，则B 中的式子等于13，D 中的式子等于110.∴D 选项中的式子的值最小．5．C 解析：a n ＝1 002×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＜1⇒n ＞10，即等比数列{a n }前10项均不小于1，从第11项起小于1，故p 10最大．6．A 解析：如图所示，画出可行域，直线y ＝kx －3k 过定点(3,0)，由数形结合，知该直线的斜率的最大值为k ＝0，最小值为k ＝0－13－0＝－13.7．D 解析：圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，所以圆的直径为4，而直线被圆截得的弦长为4，则直线应过圆心(－1,2)，所以有－2a －2b ＋2＝0，即a ＋b ＝1.所以1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝1＋1＋b a ＋a b≥2＋2b a ×a b＝4.8．D 解析：因为{a n }为等差数列，所以a 3＋a 11＝2a 7，所以已知等式可化为4a 7－a 27＝0，解得a 7＝4或a 7＝0(舍去)，又{b n }为等比数列，所以b 6b 8＝b 27＝a 27＝16.9．C 解析：设f (x )＝x 2＋ax ＋1，则对称轴为x ＝－a 2.若－a 2≥12，即a ≤－1时，f (x )在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上是减函数，应有12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥0⇒52-≤a ≤－1；若2a -≤0，即a ≥0时，则f (x )在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上是增函数，应有f (0)＝1＞0恒成立，故a ≥0； 若0≤2a -≤12，即－1≤a ≤0，则应有222112424a aa a f ⎛⎫-=-+=- ⎪⎝⎭≥0恒成立，故－1≤a ≤0.,综上可得，有a ≥52-． 10.A 解析：v ＝2211aba b a b=++＜2ab a b +－a ＝22ab a ab a b --+＝2ab a a b -+＞22a a a b -+＝0，所以2aba b+＞a ，即v ＞a .故选A. 11.A 解析：注意到a n ＝n 2cos 23n π，且函数y ＝cos 23x π的最小正周期是3，因此当n是正整数时，a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝12-n 2－12(n ＋1)2＋(n ＋2)2＝3n ＋72，其中n ＝1,4，7，…，S 30＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5＋a 6)＋…＋(a 28＋a 29＋a 30)＝(3×1＋72)＋(3×4＋72)＋…＋(3×28＋72)＝3×10(128)2⨯+＋72×10＝470.12.C 解析：(x －a )⊗(x ＋a )＜1 ⇔(x －a )[1－(x ＋a )]＜1 ⇔－x 2＋x ＋a 2－a －1＜0 ⇔x 2－x －a 2＋a ＋1＞0.∵不等式对任意实数x 成立，∴Δ＜0，即1－4(a －a 2＋1)＜0， 4a 2－4a －3＜0，解得－12＜a ＜32． 13.4 解析：由题知a ＋b ＝x ＋y ，cd ＝xy ，x ＞0，y ＞0，则2()a b cd+＝2()x y xy +＝4，当且仅当x ＝y 时取等号． 14.323(1－4－n) 解析：由a 2＝2，a 5＝14，得a 1＝4，q ＝12．则a n ＝4·12⎛⎫ ⎪⎝⎭n －1＝23－n ，a n a n ＋1＝25－2n ＝23·14⎛⎫ ⎪⎝⎭n －1.所以a 1a 2，a 2a 3，…，a n a n ＋1是以14为公比，以23为首项的等比数列．故a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1 ＝323(1－4－n)． 15.3 解析：不等式组10,10x y x +-≥⎧⎨-≤⎩表示的区域为甲图中阴影部分．又因为ax －y ＋1＝0恒过定点(0,1)，当a ＝0时，不等式组10,10,10x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域的面积为12，不合题意；当a ＜0时，所围成的区域面积小于12，所以a ＞0，此时所围成的区域为三角形，如图乙所示，由其面积为S ＝12×1×(a ＋1)＝2，解得a ＝3.甲乙16.①②③ 解析：①正确，因为a n 2－21n a +＝p ，所以21n a +－2n a ＝－p ，于是数列{2n a }为等差数列．②正确，因为(－1)2n －(－1)2(n ＋1)＝0为常数，于是数列{(－1)n}为等方差数列．③正确，因为2kn a －2kn k a +＝(2kn a －21kn a +)＋(21kn a +－22kn a +)＋(22kn a +－23kn a +)＋…＋(21kn k a +-－2kn k a +)＝kp ，则{a kn }(k ∈N *，k 为常数)也是等方差数列．17.证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，∴111111a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (1)(1)(1)a b c abc---=()()()b c a c a b abc+++=8=， 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．18.解：(1)当a ＝－3时，f (x )＝25,2,1,23,25, 3.x x x x x -+≤⎧⎪<<⎨⎪-≥⎩当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1； 当2＜x ＜3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时 ，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4； 所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}．(2)由f (x )≤|x －4|，得|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |. 当x ∈[1,2]时，由|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |， 得4－x －(2－x )≥|x ＋a |， 即－2－a ≤x ≤2－a .由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0. 故满足条件的a 的取值X 围为[－3,0]． 19.解：由53x x --≥2，得13x x --≤0， ∴1≤x ＜3.由x 2－ax ≤x －a ，得(x －a )(x －1)≤0. (1)当a ＜1时，解得a ≤x ≤1； (2)当a ＝1时，解得x ＝1； (3)当a ＞1时，解得1≤x ≤a . ∵⌝p 是⌝q 的充分条件，∴q 是p 的充分条件．设p 对应集合A ，q 对应集合B ，则A ＝{x |1≤x ＜3}且B ⊆A . 当a ＜1时，B ＝{x |a ≤x ≤1}，B A ，不符合题意； 当a ＝1时，B ＝{x |x ＝1}，B ⊆A ，符合题意；当a ＞1时，B ＝{x |1≤x ≤a }，若B ⊆A ，需1＜a ＜3. 综上，得1≤a ＜3.∴实数a 的取值X 围是[1,3)．20.解：(1)由a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝2n －6得， (a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝2n －6， 即b n ＋1－b n ＝2n －6.b 1＝a 2－a 1＝－14.当n ≥2时，b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝－14＋(2×1－6)＋(2×2－6)＋…＋[2(n －1)－6]＝－14＋2×(1)2n n -－6(n －1)＝n 2－7n －8. 经验证，当n ＝1时，上式也成立．∴数列{b n }的通项公式为b n ＝n 2－7n －8.(2)由(1)可知，a n ＋1－a n ＝n 2－7n －8＝(n ＋1)(n －8)． 当n ＜8时，a n ＋1＜a n ，即a 1＞a 2＞a 3＞…＞a 8； 当n ＝8时，a 9＝a 8；当n ＞8时，a n ＋1＞a n ，即a 9＜a 10＜a 11＜…. ∴当n ＝8或n ＝9时，a n 的值最小．21.(1)证明：∵S n 2＝a n (S n －1)，∴S n 2＝(S n －S n －1)(S n －1)(n ≥2)． ∴S n S n －1＝S n －1－S n ，即1n S －11n S -＝1. ∴1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列． (2)解：由(1)知S n ＝1n，∴b n ＝log 2n ＋2n.∴T n ＝log 2(31×42×53×64×…×n ＋2n )＝log 2(n ＋1)(n ＋2)2≥6.∴(n ＋1)(n ＋2)≥128.∵n ∈N *，∴n ≥10.∴满足T n ≥6的最小正整数为10. 22．解：(1)当d 3＝2时，∵a 31＝1，∴a 32＝a 31＋d 3＝3，a 33＝a 31＋2d 3＝5，a 34＝a 31＋3d 3＝7，…，a 3n ＝a 31＋(n －1)d 3＝2n －1. (2)由题意知a mn ＝1＋(n －1)d m ，a 2n －a 1n ＝[1＋(n －1)d 2]－[1＋(n －1)d 1]＝(n －1)(d 2－d 1)，同理，a 3n －a 2n ＝(n －1)(d 3－d 2)，a 4n －a 3n ＝(n －1)(d 4－d 3)，…，a nn －a (n －1)n ＝(n －1)(d n－d n －1)．又因为a 1n ，a 2n ，a 3n ，…，a nn 成等差数列， 所以a 2n －a 1n ＝a 3n －a 2n ＝…＝a nn －a (n －1)n .故d 2－d 1＝d 3－d 2＝…＝d n －d n －1，即{d n }是公差为d 2－d 1的等差数列． 所以，d m ＝d 1＋(m －1)(d 2－d 1)＝(2－m )d 1＋(m －1)d 2.令p 1＝2－m ，p 2＝m －1，则d m ＝p 1d 1＋p 2d 2，此时p 1＋p 2＝1.(3)当d 1＝1，d 2＝3时，d m ＝2m －1(m ∈N *)．数列{d m }分组如下：(d 1)，(d 2，d 3，d 4)，(d 5，d 6，d 7，d 8，d 9)，…. 按分组规律，第m 组中有2m －1个奇数，所以第1组到第m 组共有1＋3＋5＋…＋(2m －1)＝m 2个奇数．注意到前k 个奇数的和为1＋3＋5＋…＋(2k －1)＝k 2，所以前m 2个奇数的和为(m 2)2＝m 4.即前m 组中所有数之和为m 4，所以(c m )4＝m 4.因为c m ＞0，所以c m ＝m ，从而2c m d m ＝(2m －1)·2m (m ∈N *)．所以S n ＝1·2＋3·22＋5·23＋7·24＋…＋(2n －3)·2n －1＋(2n －1)·2n.2S n ＝1·22＋3·23＋5·24＋…＋(2n －3)·2n ＋(2n －1)·2n ＋1.故－S n ＝2＋2·22＋2·23＋2·24＋…＋2·2n －(2n －1)·2n ＋1＝2(2＋22＋23＋…＋2n )－2－(2n －1)·2n ＋1＝2×2(2n－1)2－1－2－(2n －1)·2n ＋1＝(3－2n )2n ＋1－6.所以S n ＝(2n －3)2n ＋1＋6.。
2014高考数学一轮汇总训练《不等关系与不等式》理 新人教A版-推荐下载
大于等于，至少， 不低于
≥
小于等于， 至多，不超
过
≤
工时分别为 2 小时和 1 小时，A，B 两种设备每月有效使用台时数分别为 400 和 500.写出 满足上述所有不等关系的不等式．
解：设甲、乙两种产品的产量分别为 x，y， 则由题意可知Error!
比较大小
[例 2] (1)已知 a1，a2∈(0,1)，记 M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则 M 与 N 的大小关系是( )
A．①②
C．③④
解析：选 B 当 c＝0 时，①不成立；当|a|＝1，b＝－2 时，④不成立．
2．如果 a∈R，且 a2＋a<0，那么 a，a2，－a，－a2 的大小关系是( )
A．a2>a>－a2>－a
C．－a>a2>a>－a2
解析：选 B ∵a2＋a<0，∴－1<a<0. 1
不妨令 a＝－2，易知选项 B 正确． 3．已知 a>b，c>d，且 c，d 不为 0，那么下列不等式成立的是( )
考什么
1.了解现实世界和日常生活 中的不等关系． 2.了解不等式(组)的实际背 景． 3.掌握不等式的性质及应 用．
1．比较两个实数大小的法则 设 a，b∈R，则 (1)a＞b⇔a－b＞0； (2)a＝b⇔a－b＝0； (3)a＜b⇔a－b＜0. 2．不等式的基本性质
性质 对称性 传递性 可加性
可乘性
∴M>N.
B．乙先到教室
D．谁先到教室不确定
B．－a>a2>－ a2>a
D．a2>－a>a>－a2
B．ac>bd
D．a＋c>b＋d
2014高三数学一轮复习特级教师整理《不等式证明》典型例题十(人教版)
典型例题十
例10 设是正整数，求证．
分析：要求一个项分式的范围，它的和又求不出来，可以采用“化整为零”的方法，观察每一项的范围，再求整体的范围．
证明：由，得．
当时，；
当时，
……
当时，．
∴．
说明：1、用放缩法证明不等式，放缩要适应，否则会走入困境．例如证明．由，如果从第3项开始放缩，正好可证明；如果从第2项放缩，可得小于2．当放缩方式不同，结果也在变化．
2、放缩法一般包括：用缩小分母，扩大分子，分式值增大；缩小分子，扩大分母，分式值缩小；全量不少于部分；每一次缩小其和变小，但需大于所求，第一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头，同时放缩后便于求和．。
2014安徽中考数学一轮复习测试题二【方程(组)与不等式(组)】
2014安徽中考数学一轮复习测试题二【方程（组）与不等式（组）】本试卷共8大题，计23小题，满分150分，考试时间120分钟。
题号 一 二三四五六七八总分 得分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项的代号写在题后的括号内。
每一小题，选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个的（不论是否写在括号内）一律得0分。
1．已知关于x 的方程2x －a －5＝0的解是x ＝－2，则a 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．9 D ．－92．一元二次方程2x 2－5x ＋1＝0的根的情况是( ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定 3．下列不等式变形正确的是（ ）A ．由a ＞b ，得ac ＞bcB ．由a ＞b ，得-2a ＜bcC ．由a ＞b ，得-a ＞-bD ． 由a ＞b ，得a -2＜b -24．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≥+-31202x x x ＞的解集是( )A ．x ≥8B ．x ＞2C ．0＜x ＜2D ．2＜x ≤85．若方程3x 2－6x ＋m =0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围在数轴上表示正确的是( )A ．B ．C ．D ．6．解分式方程1223=+-+xx x 时，去分母后可得到( ) A ．x(2＋x)－2(3＋x)＝1 B ．x(2＋x)－2＝2＋x C ．x(2＋x)－2(3＋x)＝(2＋x)(3＋x) D ．x －2(3＋x)＝3＋x7． 如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，•每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是（ ）A ．20gB ．25gC ．15gD ．30g 8．分式方程vv -=+206020100的解是( )A ．v ＝－20B ．v ＝5C ．v ＝－5D ．v ＝209．假期到了，17名女教师去外地培训，住宿时有2人间和3人间可供租住，每个房间都要住满，她们有几种租住方案( ) A ．5种 B ．4种 C ．3种D ．2种10．甲、乙两个工程队共同承包某一城市美化工程，已知甲队单独完成这项工程需要30天，若由甲队先做10天，剩下的工程由甲、乙两队合作8天完成．问乙队单独完成这项工程需要多少天？若设乙队单独完成这项工程需要x 天．则可列方程为( )A ．183010=+x B ．10＋8＋x ＝30 C ．1)1301(83010=++x D ．830101=+-x ）（二、填空题（本大题4小题，每小题5分，满分20分）11．已知x ＝－2是方程x 2＋mx －6＝0的一个根，则方程的另一个根是________．12．若不等式组⎩⎨⎧≥-≥-035m x x 有解，则m 的取值范围是________．13．小成每周末要到距离家5千米的体育馆打球，他骑自行车前往体育馆比乘汽车多用10分钟，乘汽车的速度是骑自行车速度的2倍．设骑自行车的速度为x 千米/时，根据题意列方程为________．14．若关于t 的不等式组⎩⎨⎧≤+≥-4120t a t ，恰有三个整数解，则关于x 的一次函数a x y -=41的图象与反比例函数xa y 23+=的图象的公共点的个数为________． 三、（本大题共两小题，每小题8分，满分16分）15．解方程组：①⎩⎨⎧=-=+112312y x y x16．解方程：x 2＋4x －2＝0．四、（本大题共两小题，每小题8分，满分16分）17．解分式方程：0)1(213=-+--x x x x ． 18．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：⎪⎩⎪⎨⎧-+-≤--13214)2(3x x x x ＞五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．阅读材料，解答问题。
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．（2012年江苏理）已知实数x,y满足: 求证: .
．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）选修4-5:不等式选讲
已知 且 ,求 的最大值.
．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）选修4-5:不等式选讲
设正数a,b,c满足 ,求 的最小值.
．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）[选修4—5 :不等式选讲]已知实数 满足 求 的最小值.
．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）(选修4—5:不等式选讲)
已知 , , , 都是正数,且 ,求证: .
．（2013江苏高考数学）D.[选修4-5:不定式选讲]本小题满分10分.
已知 ,且 ,求 的最小值.
．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）(选修4-5:不等式选讲)
若 ,证明
．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）(选修4—5:不等式选讲)
已知常数 满足 ,解关于 的不等式: .
．（2009高考(江苏)）设 ≥ ＞0,求证： ≥ .
解得 .所以原不等式的解集是 .
D.选修4—5:不等式选讲
已知a,b是正数,求证:a2+4b2+≥4.
证明:因为a,b是正数,所以a2+4b2≥4ab
所以a2+4b2+≥4ab+≥2=4.
即a2+4b2+≥4
证明:∵ ,
由题设 ∴ .∴ .
解:
∴ ,
且 ,即 , ,
∴ ,
当且仅当 时,等号成立
【解】因为a,b,c均为正数,且 ,所以 .
已知 >0,求证:
．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）(选修4—5:不等式选讲)
设函数 .
(1)当 时,求函数 的定义域;
(2)若函数 的定义域为R,试求 的取值范围.
．（江苏省南京市四区县2013届高三12月联考数学试题）D.选修4—5(不等式选讲)
已知实数 满足 ,求 的最小值;
．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）
江苏省2014届一轮复习数学试题选编34：不等式选讲参考答案
一、解答题
D.由柯西不等式,得
选修4—5:不等式选讲
证明:方法一+b=2,所以左边-右边=
因为a,b都是正实数,所以ab≤=1
所以,左边-右边≥0,即+≥1
方法二:由柯西不等式,得
(+)[(2+()2]≥(a+b)2
．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）(选修4—5:不等式选讲)
已知 , , 都是正数,且 ,求 的最大值.
．（江苏省南通市、泰州市、扬州市、宿迁市2013届高三第二次调研（3月）测试数学试题）设正数a，b，c满足 ，求 的最小值．
．（2011年高考（江苏卷））解不等式:
．（江苏省南京市2013届高三9月学情调研试题（数学）WORD版）D.选修4—5:不等式选讲
(2)由题设知,当 时,恒有 ,
即 由(1) ,∴
[必做题]
D.选修4—5(不等式选讲)
解:由柯西不等式可知:
故 ,当且仅当 ,即:
取得最小值为
D.
解:∵(x+2y+2z)2(12+22+22)(x2+y2+z2)=9,当且仅当时取等号,
|a-1|3,解得a4,或a-2
选修4—5:不等式选讲
解原不等式等价于或
江苏省2014届一轮复习数学试题选编34：不等式选讲
一、解答题
．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）D.[选修4-5:不等式选讲]已知 为正数,且满足 ,求证: .
．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学））选修4—5:不等式选讲
已知a,b都是正实数,且a+b=2,求证:+≥1.
．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）选修4-5:不等式选讲已知|x+1|+|x-l|<4的解集为M,若a,b∈M,证明:2|a+b |<|4+ab|.
因为a+b=2,所以上式即为(+)×4≥4.
即+≥1
【解】因为a，b，c均为正数，且 ，所以 ．
于是
，
当且仅当 时，等号成立．………………………………………8分
即 ，故 的最小值为1．………10分
【命题立意】本小题主要考查解绝对值不等式的基础知识,考查分类谈论、运算求解能力.
【解析】原不等式可化为 ;或 ,
解得或
即4≤x<2+或3<x<4或x<1.
综上,原不等式的解集为{x|x<1或3<x<2+}
由柯西不等式,得 ,
即 ,
即 .
所以 ,即 的最小值为
证明:由柯西不等式可得
7分
．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）选修4—5:不等式选讲
设 ,求证: .
．（苏州市第一中学2013届高三“三模”数学试卷及解答）[选修4 - 5:不等式选讲]设 ,实数 满足 ,求证: .
．（南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）(选修4-5:不等式选讲)
设 都是正数,且 =1,求证: .
于是
,
当且仅当 时,等号成立
即 ,故 的最小值为1
由柯西不等式, ,
因为 ,所以 ,
当且仅当 ,即 时,等号成立,
所以 的最小值为
本题主要考察利用比较法证明不等式,考察推理论证能力.
证明:∵
又∵ >0,∴ >0, ,
∴
∴
∴
解:(1)由题设知: ,
如图,在同一坐标系中作出函数
和 的图象(如图所示),
知定义域为
．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）(不等式选讲)
已知函数 ( ).
(Ⅰ)当 时,已知 ,求 的取值范围;
(Ⅱ)若 的解集为 或 ,求 的值.
．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）选修4—5:不等式选讲
解不等式x|x-4|-3<0.
．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）选修4-5:不等式选讲