2017年秋季学期新版新人教版九年级数学上学期21.3、实际问题与一元二次方程教案29
【新人教版】九年级数学上册：《实际问题与一元二次方程》教案
21.3 实质问题与一元二次方程（1）【教课目的】知识与技术： 1. 能依据详细问题中的数目关系，列出一元二次方程，领会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．2.能依据详细问题的实质意义，查验结果能否合理．过程与方法：经历将实质问题抽象为代数问题的过程，研究问题中的数目关系，并能运用一元二次方程对之进行描绘感情态度价值观：经过用一元二次方程解决身旁的问题，领会数学知识应用的价值，提升学生学习数学的兴趣，认识数学对促使社会进步和发展人类理性精神的作用．【教课重难点】教课要点：列一元二次方程解相关流传问题的应用题教课难点：发现流传问题中的等量关系【教课过程】一、复习引入1、解一元二次方程都是有哪些方法？2、列一元一次方程解应用题都是有哪些步骤？①审题；②设未知数；③找相等关系；④列方程；⑤解方程；⑥答说明：为持续学习成立一元二次方程的数学模型解实质问题作好铺垫．二、研究新知【研究 1】有一人患了流感，经过两轮传染后，有 121 人患了流感，每轮传染中均匀一个人传染了几个人？思虑：（ 1）此题中有哪些数目关系？（2）如何理解“两轮传染”？（3）如何利用已知的数目关系选用未知数并列出方程？设每轮传染中均匀一个人传染x 个人，那么患流感的这个人在第一轮传染中传/在第二轮传染中，传染源是人，这些人中每个人又传染了人，那么第二轮传染了人，第二轮传染后，共有人患流感.（ 4）依据等量关系列方程并求解解：设每轮传染中均匀一个人传染了x 个人，则依题意第一轮传染后有x+1 人患了流感，第二轮传染后有x(1+x) 人患了流感 . 于是可列方程：1+x+x(1+x)=121解方程得x1=10，x 2 =-12( 不合题意舍去 )所以每轮传染中均匀一个人传染了10 个人．(5)为何要舍去一解？（6）假如依照这样的流传速度，三轮传染后，有多少人患流感？说明：使学生经过多种方法解流传问题，考证多种方法的正确性；经过解题过程的对照，领会对已知数目关系的适合变形对解题的影响，丰富解题经验．【研究 2】两年前生产 1 吨甲种药品的成本是5000 元，生产 1 吨乙种药品的成本是6000 元，跟着生产技术的进步，此刻生产 1 吨甲种药品的成本是3000 元，生产 1 吨乙种药品的成本是 3600 元，哪一种药品成本的年均匀降落率较大？思虑：（1）如何理解降落额和降落率的关系？（ 2）若设甲种药品均匀降落率为x，则一年后，甲种药品的成本降落了元，此时成本为元；两年后，甲种药品降落了元，此时成本为元。
九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程3教案新版新人教版
实际问题与一元二次方程教学设计课标要求能根据具体问题的实际意义，检验方程的根是否合理。
教材及学情分析探究3的问题中，已知封面及正中央矩形的长宽比都是9:7，由此可以推出上、下、左、右边衬之比也为9:7。
问题中的方程的两个根都是正数，但他们并不是问题的的解。
必须根据他们的值得大小，来确定哪个更合乎实际。
这种取舍更多地要考虑问题的实际意义，这是检验数学模型的解是否是实际的过程。
九年级的学生在以前学习了用一元一次方程、二元一次方程组、分式方程解决实际问题，有一定的基础，在此基础上，进一步培养学生学习分析问题、找出等量关系来解决实际问题的能力。
课时教学目标1、探索以几何图形为背景的应用题，找出其中的等量关系，建立一元二次方程，体会数学模型在解决现实生活问题中的作用.并能根据实际问题的意义检验结果的合理性.2、经历数学建模建立一元二次方程的过程，锻炼学生分析问题，解决问题的能力.3、通过建立一元二次方程解决实际生活问题，感受数学在生活中的实用性，提高学生学习数学的积极性，体会数学给人类生活带来的促进作用.重点列一元二次方程解决实际应用问题难点寻找问题中的等量关系提炼课题如何找出题干中包含等量关系的语句，并将其转化为等量关系教法学法指导启发式讨论法练习法教具教学过程分析问题，建立模型探究3：如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？思考：（1）本题中有哪些数量关系？（2）正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形如何理解？（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？分析：依据题意可知，封面的长宽之比是27∶21＝9∶7，中央的矩形的长宽之比也应是9∶7．设中央的矩形的长和宽分别是9a cm和7acm，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是21(27－9a)∶21(21－7a)＝9(3－a)∶7(3－a)＝9∶7．设上、下边衬的宽均为9x cm，则左、右边衬的宽均为7x cm，则中央矩形的长为(27－18x)cm，宽为(21－14x) cm．要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央矩形的面积是封面面积的四分之三．于是可列方程(27－18x)(21－14x)＝43×27×21．整理，得16x2－48x＋9＝0解方程，得x＝6334，即x1≈2.8，x2≈0.2．淡化解方程，重点突出列方程弄清问题背景，把有关数量关系分析透彻，特别是找出可以作为列方程依据的主要相等关系让学生更加熟练地列方程解应用题，并强化运用.把握面积问题的解题技巧,将几何图形的问题用一元二次方程方法来解决所以，9x1＝25.2 cm（不合题意，舍去9x21、如图，是长方形鸡场平面示意图，一边解法一：设道路的宽为x，我们利用“图形纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的小结这节课你学到了什么？面积问题怎样建立数学模型？板书设计 21.3 实际问题与一元二次方程解一元二次方程的一般步骤：1、审:2、设 :3、列4、解 :5、验：检验方程的解是否符合题意，将不符合题意的解舍去6、答:作业设计绩优学案P21 必做题：1—7 选做题：8教学反思。
人教版九年级上册数学 21.3 实际问题与一元二次方程 课件
4.三个连续偶数，已知最大数与最小数的
平方和比中间一个数的平方大332，求这三 个连续偶数.
1.偶数个连续偶数（或奇数），一般可设中间两个为 (x1)和(x 1). 2.奇数个连续偶数（或奇数，自然数），一般可设中 间一个为x.如三个连续偶数，可设中间一个偶数为x， 则其余两个偶数分别为(x2)和(x+2)又如三个连续自 然数，可设中间一个自然数为x，则其余两个自然数 分别为(x1)和(x 1).
解这个方程得：x1 x2 4
CQ
B
答：当AP 4cm时，四边形面积为16cm2
小结 拓展
回味无穷
• 列方程解应用题的一般步骤是: • 1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系? • 2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位; • 3.列:列代数式,列方程; • 4.解:解所列的方程; • 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; • 6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活. • 列方程解应用题的关键是: • 找出相等关系. • 关于两次平均增长(降低)率问题的一般关系: • a(1±x)2=A(其中a表示基数,x表表示增长(或降低)率,A表示新数)
数字与方程
实际问题与一元二次方程 （三）
1. 两个数的差等于4,积等于45,求这两个数.
2. 一个两位数,它的十位数字比个位数字小3,而 它的个位数字的平方恰好等于这个两位数.求这 个两位数.
3.有一个两位数,它的十位数字与个位数字的和是5. 把这个两位数的十位数字与个位数字互换后得到 另一个两位数,两个两位数的积为736.求原来的 两位数.
则 x(18 x) 81
化简得，x2 18x 81 0 (x9)2 0 x1 x2 9
人教版九年级数学上册：21.3 实际问题与一元二次方程 教学设计1
人教版九年级数学上册：21.3 实际问题与一元二次方程教学设计1一. 教材分析人教版九年级数学上册第21.3节“实际问题与一元二次方程”是本册教材的重要内容，旨在让学生通过解决实际问题，掌握一元二次方程的解法和应用。
本节内容通过引入实际问题，让学生理解一元二次方程的模型，培养学生的数学建模能力，提高学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了代数基础知识，对一元二次方程有一定的了解，但解决实际问题的能力还有待提高。
因此，在教学过程中，要注重培养学生的数学建模能力，引导学生将实际问题转化为数学问题，并用一元二次方程进行解决。
三. 教学目标1.理解实际问题与一元二次方程的关系，掌握一元二次方程的解法。
2.培养学生将实际问题转化为数学问题的能力，提高学生的数学建模能力。
3.培养学生解决实际问题的能力，提高学生的综合素质。
四. 教学重难点1.教学重点：理解实际问题与一元二次方程的关系，掌握一元二次方程的解法。
2.教学难点：将实际问题转化为数学问题，并用一元二次方程进行解决。
五. 教学方法采用问题驱动法，情境教学法，案例教学法和小组合作学习法。
通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究，培养学生解决实际问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关实际问题，用于引导学生理解和应用一元二次方程。
2.准备多媒体教学设备，用于展示和讲解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际问题，如物体运动问题、面积问题等，引导学生关注实际问题中的一元二次方程，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解一元二次方程的定义和解法，让学生理解一元二次方程的模型，并能熟练运用解法求解。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，将导入环节中的实际问题转化为数学问题，并用一元二次方程进行解决。
教师巡回指导，帮助学生解决问题。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些类似的实际问题，巩固所学知识，提高解决实际问题的能力。
人教版数学九年级上册21.3实际问题与一元二次方程-病毒传染问题课件(共15张PPT)
分析
1
第一轮传染 后
1+1·x
1+x+x(1+x)
如果按照这样的传染 速度三轮传染后有多 少人患流感?
某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染， 经过两轮感染后就会有81台电 脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中 平均一台电脑会感染几台电脑？ 若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的 电脑会不会超过700台？
如果按照这样的传染速度三轮传染后有多少人患流感? 参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手10次,有多少人参加聚会?
球队参加比赛? x(x 1) 体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的
1、某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有225个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌？
15 一个两位数,它的十位数字比个位数字小3,而它的个位数字的平方恰好等于这个两位数.
你知道吗?
(1)一个两位数，个位数字是a，十位数字是b， 则两位数可表示为__1_0_b+a
(2)一个三位数，个位数字是a，十位数字是b， 百位数字是c,可表示为_1_0_0_c+10b+a
例题3
一个两位数,它的十位数字比个位数字小3,而它的 个位数字的平方恰好等于这个两位数.求这个两位数.
一个两位数，十位数字与个位数字之和是6，
脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中
2 2、要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排15场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?
3. 要组织一场篮球联赛, 每两队之间都赛2场,计划 一个两位数,它的十位数字比个位数字小3,而它的个位数字的平方恰好等于这个两位数.
参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手10次,有多少人参加聚会? 培养分析问题、解决问题的能力 .
2017年秋季学期新版新人教版九年级数学上学期21.3、实际问题与一元二次方程教案1
实际问题与一元二次方程教学内容本节课主要学习建立一元二次方程的数学模型解决匀变速运动问题。
教学目标知识技能1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．数学思考经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述。
解决问题通过解决匀变速问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，发展实践应用意识． 情感态度通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．重难点、关键 重点：列一元二次方程解有关匀变速问题的应用题难点：发现匀变速问题中的等量关系，建立一元二次方程的数学模型关键：理解匀变速运动中有关物理量的关系，根据匀变速问题中的等量关系列方程。
教学准备教师准备：制作课件，精选习题学生准备：复习有关知识，预习本节课内容教学过程一、 复习引入1． 路程、速度和时间三者的关系是什么？2． 某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程s （m ）和时间t （s ）•之间的关系为：•s=10t+3t 2，那么行驶200m 需要多长时间?【活动方略】教师演示课件，给出题目． 学生口答，老师点评。
【设计意图】复习基本的行程问题，掌握其数量关系，为继续学习建立一元二次方程的数学模型解匀变速运动问题作好铺垫．二、 探索新知【问题情境】一辆汽车以20m/s 的速度行驶，司机发现前方路面有情况，•紧急刹车后汽车又滑行25m 后停车．（1）从刹车到停车用了多少时间?（2）•从刹车到停车平均每秒车速减少多少?（3）刹车后汽车滑行到15m 时约用了多少时间（精确到0.1s ）?分析：（1）刚刹车时时速还是20m/s ，以后逐渐减少，停车时时速为0．•因为刹车以后，其速度的减少都是受摩擦力而造成的，所以可以理解是匀速的，因此，其平均速度为2002=10m/s ，那么根据：路程=速度×时间，便可求出所求的时间．（2）很明显，刚要刹车时车速为20m/s，停车车速为0，车速减少值为20-0=20，因为车速减少值20，是在从刹车到停车所用的时间内完成的，所以20除以从刹车到停车的时间即可．（3）设刹车后汽车滑行到15m时约用除以xs．•由于平均每秒减少车速已从上题求出，所以便可求出滑行到15米的车速，从而可求出刹车到滑行到15m的平均速度，再根据：路程=速度×时间，便可求出x的值．解：（1）从刹车到停车所用的路程是25m；从刹车到停车的平均车速是2002+=10（m/s）那么从刹车到停车所用的时间是2510=2.5（s）（2）从刹车到停车车速的减少值是20-0=20从刹车到停车每秒平均车速减少值是202.5=8（m/s）（3）设刹车后汽车滑行到15m时约用了xs，这时车速为（20-8x）m/s则这段路程内的平均车速为20(208)2x+-=（20-4x）m/s所以x（20-4x）=15 整理得：4x2-20x+15=0解方程：得x1≈4.08（不合，舍去），x2≈0.9（s）答：刹车后汽车行驶到15m时约用0.9s．【思考】刹车后汽车行驶20ｍ时用多少时间？（精确到0.1秒）【活动方略】学生分组、讨论解答。
九年级数学上册 21.3 实际问题与一元二次方程(第1课时)教案 (新版)新人教版
九年级数学上册 21.3 实际问题与一元二次方程（第1课时）教案（新版）新人教版教学内容由“倍数关系”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问题．教学目标掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题．通过复习二元一次方程组等建立数学模型，并利用它解决实际问题，引入用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决实际问题．重难点关键1．重点：用“倍数关系”建立数学模型2．难点与关键：用“倍数关系”建立数学模型教学过程一、复习引入（学生活动）问题1：列方程解应用题下表是某一周甲、乙两种股票每天每股的收盘价（收盘价：股票每天交易结果时的价格）：星期一二三四五甲12元12.5元12.9元12.45元12.75元乙13.5元13.3元13.9元13.4元13.75元某人在这周内持有若干甲、乙两种股票，若按照两种股票每天的收盘价计算（不计手续费、税费等），则在他帐户上，星期二比星期一增加200元，•星期三比星期二增加1300元，这人持有的甲、乙股票各多少股？老师点评分析：一般用直接设元，即问什么就设什么，即设这人持有的甲、乙股票各x、y张，由于从表中知道每天每股的收盘价，因此，两种股票当天的帐户总数就是x或y乘以相应的每天每股的收盘价，再根据已知的等量关系；星期二比星期一增加200元，星期三比星期二增加1300元，便可列出等式．解：设这人持有的甲、乙股票各x、y张．则0.5(0.2)2000.40.61300x yx y+-=⎧⎨+=⎩解得1000(1500(xy=⎧⎨=⎩股)股)答：（略）二、探索新知上面这道题大家都做得很好，这是一种利用二元一次方程组的数量关系建立的数学模型，那么还有没有利用其它形式，也就是利用我们前面所学过的一元二次方程建立数学模型解应用题呢？请同学们完成下面问题．（学生活动）问题2：某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？老师点评分析：直接假设二月份、三月份生产电视机平均增长率为x．•因为一月份是1万台，那么二月份应是（1+x）台，三月份应是在二月份的基础上以二月份比一月份增长的同样“倍数”增长，即（1+x）+（1+x）x=（1+x）2，那么就很容易从第一季度总台数列出等式．解：设二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率为x，则1+（1+x）+（1+x）2•=3.31 去括号：1+1+x+1+2x+x2=3.31整理，得：x2+3x-0.31=0解得：x=10%答：（略）以上这一道题与我们以前所学的一元一次、二元一次方程（组）、分式方程等为背景建立数学模型是一样的，而我们借助的是一元二次方程为背景建立数学模型来分析实际问题和解决问题的类型．例1．某电脑公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、•二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．分析：设这个增长率为x，由一月份的营业额就可列出用x表示的二、三月份的营业额，又由三月份的总营业额列出等量关系．解：设平均增长率为x则200+200（1+x）+200（1+x）2=950整理，得：x2+3x-1.75=0解得：x=50%答：所求的增长率为50%．三、巩固练习（1）某林场现有木材a立方米，预计在今后两年内年平均增长p%，那么两年后该林场有木材多少立方米?（2）某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为x，可列出方程为__________．四、应用拓展例2．某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．分析：设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000+2000x·80%；第二次存，本金就变为1000+2000x·80%，其它依此类推．解：设这种存款方式的年利率为x则：1000+2000x·80%+（1000+2000x·8%）x·80%=1320整理，得：1280x2+800x+1600x=320，即8x2+15x-2=0解得：x1=-2（不符，舍去），x2=18=0.125=12.5%答：所求的年利率是12．5%．五、归纳小结本节课应掌握：利用“倍数关系”建立关于一元二次方程的数学模型，并利用恰当方法解它．六、布置作业1．教材复习巩固1 综合运用1．2．选用作业设计．作业设计一、选择题1．2013年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x ，依题意列出的方程是（ ）．A ．100（1+x ）2=250B ．100（1+x ）+100（1+x ）2=250C ．100（1-x ）2=250D ．100（1+x ）2 2．一台电视机成本价为a 元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，•所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为（ ）．A ．（1+25%）（1+70%）a 元B ．70%（1+25%）a 元C ．（1+25%）（1-70%）a 元D ．（1+25%+70%）a 元3．某商场的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，•售价的折扣（即降低的百分数）不得超过d%，则d 可用p 表示为（ ）．A ．100p p +B ．pC ．1001000p p -D ．100100p p+ 二、填空题1．某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x ，第一年的产量为6万kg ，•第二年的产量为_______kg ，第三年的产量为_______，三年总产量为_______．2．某糖厂2002年食糖产量为at ，如果在以后两年平均增长的百分率为x ，•那么预计2004年的产量将是________．3．•我国政府为了解决老百姓看病难的问题，•决定下调药品价格，•某种药品在1999年涨价30%•后，•2001•年降价70%•至a•元，•则这种药品在1999•年涨价前价格是__________．三、综合提高题1．为了响应国家“退耕还林”，改变我省水土流失的严重现状，2000年我省某地退耕还林1600亩，计划到2002年一年退耕还林1936亩，问这两年平均每年退耕还林的平均增长率2．洛阳东方红拖拉机厂一月份生产甲、乙两种新型拖拉机，其中乙型16台，•从二月份起，甲型每月增产10台，乙型每月按相同的增长率逐年递增，又知二月份甲、乙两型的产量之比是3：2，三月份甲、乙两型产量之和为65台，•求乙型拖拉机每月的增长率及甲型拖拉机一月份的产量．3．某商场于第一年初投入50万元进行商品经营，•以后每年年终将当年获得的利润与当年年初投入的资金相加所得的总资金，作为下一年年初投入的资金继续进行经营．（1）如果第一年的年获利率为p ，那么第一年年终的总资金是多少万元?（•用代数式来表示）（注：年获利率=年利润年初投入资金×100%） （2）如果第二年的年获利率多10个百分点（即第二年的年获利率是第一年的年获利率与10%的和），第二年年终的总资金为66万元，求第一年的年获利率．答案:一、1．B 2．B 3．D二、1．6（1+x ） 6（1+x ）2 6+6（1+x ）+6（1+x ）22．a （1+x ）2t3．10039a 三、1．平均增长率为x ，则1600（1+x ）2=1936，x=10%2．设乙型增长率为x ，甲型一月份产量为y ：则210316(1)2(20)16(1)65y x y x +⎧=⎪+⎨⎪+++=⎩224141632290y x x y x =+⎧⎨++-=⎩ 即16x 2+56x-15=0，解得x=14=25%，y=20（台） 3．（1）第一年年终总资金=50（1+P ）（2）50（1+P ）（1+P+10%）=66，整理得：P 2+2.1P-0.22=0，解得P=10%。
九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程1教案新版新人教版
实际问题与一元二次方程教学设计课标要求能根据具体问题的实际意义，检验方程的根是否合理。
教材及学情分析本节以“探究”的形式讨论如何用一元二次方程解决实际问题，问题中的数量关系更加复杂，目的是是学生更深入地认识一元二次方程与现实生活的联系，加强建模思想，培养运用一元二次方程分析和解决实际问题的能力，其中，重点是分析实际问题中的数量关系，列一元二次方程。
要注意让学生经历完整的建立一元二次方程解决实际问题的过程。
九年级的学生在以前学习了用一元一次方程、二元一次方程组、分式方程解决实际问题，有一定的基础，在此基础上，进一步培养学生学习分析问题、找出等量关系来解决实际问题的能力。
课时教学目标1．会根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程并求解，能根据问题中的实际意义，检验所得结果的合理性.2．经过“问题情境建立模型求解解释与应用”的过程中，进一步锻炼学生的分析问题，解决问题的能力.3、通过建立一元二次方程解决实际问题，体验数学的应用价值，增强学习数学的兴趣.重点构建一元二次方程解决实际问题难点会用代数式表示问题中的数量关系，能根据问题的实际意义，检验所得结果的合理性提炼课题如何根据实际问题，找出等量关系教法学法指导启发式讲授法练习法教具准备教学过程提要环节学生要解决的问题或完成的任务师生活动设计意图引入新课复习巩固我们已经学过用一元一次方程来解决实际问题，你还记得列一元一次方程解决实际问题的步骤吗？审题、设未知数、找等量关系、列方程、解方程，最后答题．同一元一次方程、二元一次方程（组）等一样，一元二次方程也可以作为反映某些实际问题中数量关系的数学模型．这一节将讨论如何利用一元二次方程解决实际问题．通过复习用一元一次方程解决实际问题的步骤，为本节课的学习做铺垫教学过程实际问题与一元二次方程分析问题，建立模型方法总结，知识内化探究1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？归纳：本题一流感为问题背景，讨论按一定传播速度逐步传播的问题，特别需要注意的是，在第二轮传染中，在实际生活中，类似原型很多，比如细胞分裂，信息传播，传染病扩散，害虫繁殖等，一般就考虑两轮传播，这些问题有通性，在解题时有规律可循.引导学生审题，让学生思考怎样设未知数，找等量关系列出方程．分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人．开始有一个人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，用代数式表示，第一轮后共有个人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，用代数式表示，第二轮后共有个人患了流感．列方程：1＋x＋x(x＋1)＝121，整理，得：x2＋2x－120＝0．解方程，得x1＝10，x2＝－12（不合题意，舍去）答：每轮传染中平均一个人传染了10个人．思考：按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患流感？121＋121×10＝1331（人）通过对这个问题的探究，你对类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗?后一轮被传染的人数是前一轮患病人数的x倍．弄清问题背景，特别注意分析清楚题意，题中没有特别说明，那么最早的患者没有痊愈，仍在继续传染别人.让学生掌握这一类题型小结1．利用“倍数关系”建立关于一元二次方程的数学模型，并利用恰当方法解它．2．解一元二次方程的一般步骤：一审、二设、三列、四解、五验（检验方程的解是否符合题意，将不符合题意的解舍去）、六答．板书设计 21.3 实际问题与一元二次方程解一元二次方程的一般步骤：1、审:2、设 :3、列4、解 :5、验：检验方程的解是否符合题意，将不符合题意的解舍去6、答:作业设计习题21.31、必做题：2、3、4、 52、选做题：6教学反思。
九年级数学上册 213 实际问题与一元二次方程教案 (新版)新人教版 教案
2.类比如果每轮传染中，平均每人传染x人，那么一人患流感在第一轮传染中传染了人，第一轮传染后共有人患流感；第二轮传染中又传染了人，第一轮传染后共有人患流感；
五、课堂小结
这节课我学会了…… （知识）
我体验到了…… （方法）
我感受到了…… （情感）
六、作业设计
教学反馈
签字
三、例题讲解
怎样用方程思想解决这一问题？
解:设每轮传染中,平均每人传染x人，得
1+x+x（1+x）=121，
解方程，得
x=10，x=－12（舍去）
∴x=10
答：每轮传染中平均一个人传染了10个人．
再思考
（1）如果按照这样的传染速度，第三轮传染后有多少人患流感？
解：121+121×10=1331.
（2）综上所述，每轮传染后患流感的人数分别为：1、11、121、1331.你发现这组数据的规律了吗?第四轮传染后有人患流感．
2.张老师有急事要电话通知全班50名同学，已知一分钟每人只能通知3人，问:3分钟能否完成任务？
3.植物的成长是有规律的，某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是91，每个枝干长出多少分支？
【迁移应用，拓展探究】
1.某传销组织对小明洗脑:加入我们组织，只需交纳1000元，发展10个会员.当年即可收回成本，四年便可成为百万富翁，当然如果你发展下线更多你的收入会更大.你觉得这些话有道理吗?为什么?
讲解，讨论练习
预习导航
板书设计
21.3实际问题与一元二次方程(2)增长率(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“增长率在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
（2）加强一元二次方程求解方法的训练，特别是针对增长率问题的求解，提高学生的运算能力。
（3）在分析实际问题过程中，教师应引导学生关注关键信息，培养学生的数学建模素养，避免建立错误的方程。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《实际问题与一元二次方程（2）增长率》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过商品价格增长或人口增长的情况？”这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索增长率的奥秘。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）理解增长率的定义及其在实际问题中的应用，能够根据问题情景建立一元二次方程。
举例：某商品原价为x元，经过两次提价后，价格变为1.2x元。重点在于让学生掌握如何将提价过程转化为数学方程，即(1+p)（2）掌握一元二次方程求解方法，特别是求解增长率相关问题时，如何将实际问题转化为方程求解。
2.教学难点
（1）在实际问题中，学生难以理解增长率的概念，特别是如何将其转化为数学方程。
举例：在商品提价问题中，学生可能会对多次提价、连续提价等情景产生混淆，难以准确列出方程。
（2）对于一元二次方程求解方法，特别是涉及到增长率问题时，学生可能会在求解过程中出现错误。
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实际问题与一元二次方程
教学内容
21.3 实际问题与一元二次方程（1）：由“倍数关系”等问题建立数学模型，并通过配方法
或公式法或分解因式法解决实际问题．
教学目标
1．掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决实际问题．
2．经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二
次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型．
教学重点
用“倍数关系”建立数学模型．
教学难点
用“倍数关系”建立数学模型．
教学过程
一、导入新课
问题1：列方程解应用题
下表是某一周甲、乙两种股票每天每股的收盘价（收盘价：股票每天交易结果时的价格）：
星期 一 二 三 四 五
甲 12元 12.5元 12.9元 12.45元 12.75元
乙 13.5元 13.3元 13.9元 13.4元 13.75元
某人在这周内持有若干甲、乙两种股票，若按照两种股票每天的收盘价计算（不计手续费、
税费等），则在他帐户上，星期二比星期一增加200元，星期三比星期二增加1300元，这人
持有的甲、乙股票各多少股？
分析：一般用直接设元，即问什么就设什么，即设这人持有的甲、乙股票各x、y张，由于
从表中知道每天每股的收盘价，因此，两种股票当天的帐户总数就是x或y乘以相应的每天
每股的收盘价，再根据已知的等量关系；星期二比星期一增加200元，星期三比星期二增加
1300元，便可列出等式．
解：设这人持有的甲、乙股票各x、y张．
则0.5(0.2)2000.40.61300xyxy 解得1000(1500(xy股)股)
答：（略）
二、新课教学
上面这道题是一种利用二元一次方程组的数量关系建立的数学模型，那么还有没有利用其它
形式，也就是利用我们前面所学过的一元二次方程建立数学模型解应用题呢？请同学们完成
下面问题．
问题2：某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数
是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？
分析：直接假设二月份、三月份生产电视机平均增长率为x．•因为一月份是1万台，
那么二月份应是（1＋x）台，三月份应是在二月份的基础上以二月份比一月份增长的同样“倍
数”增长，即（1＋x）＋（1＋x）x＝（1＋x）2，那么就很容易从第一季度总台数列出等式．
解：设二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率为x，则1＋(1＋x)＋(1＋x)2＝3.31.
去括号，得
1＋1＋x＋1＋2x＋x2＝3.31．
整理，得
x2＋3x
－0.31＝0．
解得：x＝10%
答：（略）
以上这一道题与我们以前所学的一元一次、二元一次方程（组）、分式方程等为背景建
立数学模型是一样的，而我们借助的是一元二次方程为背景建立数学模型来分析实际问题和
解决问题的类型．
例 某电脑公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、•二月、三
月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．
分析：设这个增长率为x，由一月份的营业额就可列出用x表示的二、三月份的营业额，
又由三月份的总营业额列出等量关系．
解：设平均增长率为x，则
200＋200(1＋x)＋200(1＋x)2＝950．
整理，得
x2＋3x
－1.75＝0．
解得：x＝50%
答：所求的增长率为50%．
三、巩固练习
1．填空题．
（1）某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为6万kg，•第二年的产量
为_______kg，第三年的产量为_______，三年总产量为_______．
（2）某糖厂2002年食糖产量为at，如果在以后两年平均增长的百分率为x，•那么预计2004
年的产量将是________．
（3）我国政府为了解决老百姓看病难的问题，决定下调药品价格，•某种药品在2009年涨
价30%•后，2011年降价70%•至a•元，则这种药品在2009年涨价前价格是__________．
参考答案（1）6(1＋x) 6(1＋x)2 6＋6(1＋x)＋6(1＋x)2
（2）A(1＋x)2t
（3）10039a
2．某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000
元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320
元，求这种存款方式的年利率．
分析：设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息
是1000＋2000x·80%；第二次存，本金就变为1000＋2000x·80%，其它依此类推．
解：设这种存款方式的年利率为x
则：1000＋2000x·80%＋(1000＋2000x·8%)x·80%＝1320
整理，得：1280x2＋800x＋1600x＝320，即8x2＋15x－2＝0
解得：x1＝－2（不符，舍去），x2＝18＝0.125＝12.5%
答：所求的年利率是12.5%．
四、课堂小结
本节课应掌握：
利用“倍数关系”建立关于一元二次方程的数学模型，并利用恰当方法解它．
五、布置作业
习题21.3 第6题．