全等三角形之中线倍长法
初中数学三角形全等—倍长中线法模型专题分类练习大全(含答案)
2．证明：如图，过点 D 作 DG∥AE，交 BC于点 G；
3．证明：
4．解：（1）如图 2 中，延长 AD 到 E，使 DE=AD，连接 BE．
在△ BED 和△ CAD 中，
，∴△ BED≌△CAD（SAS）．
（2）∵△ BED≌△ CAD，∴BE=AC=5， ∵AB=7，∴2＜ AE＜ 12， ∴2＜2AD＜ 12， ∴ 1＜ AD＜ 6． 解决问题：如图 3 中，
15．已知在 △ABC 中， AD 是 BC边上的中线，分别以 AB 边、 AC 边为直角边各向外作等腰直角 三
角形，如图，求证： EF=2AD．
1.解：如图，延长 AD 至 E，使 DE=AD， ∵AD 是 △ABC 的中线， ∴BD=CD， 在△ ABD 和 △ECD中，， ∴△ ABD≌△ ECD（SAS），∴AB=CE， ∵AD=7，∴ AE=7+7=14， ∵14+5=19，14﹣5=9，∴9＜CE＜19，
，∴△ ABF≌△ CDA， ∴AC=AF，
10．证明：取 AC的中点 F，连接 BF； ∵B 为 AE的中点， ∴BF 为△ AEC 的中位线， ∴EC=2BF；
在△ ABF 与△ACD中，
， ∴△ ABF≌△ ACD（ SAS），∴ CD=BF， ∴CE=2CD．
倍长中线法证三角形全等
倍长中线法证三角形全等例1 、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。
练习 1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围例2.已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE练习2已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EFBCEDBA例3已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠练习3已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE 作业1、已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE +DF =AE .2、五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，求证：AD 平分∠CDE第 1 题图ABFDEC F EDCBA点F 。
试探究线段AB 与AF 、CF4、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.5.已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF6.已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAEDABCMTE点F。
试探究线段AB与AF、CF。
倍长中线法(经典例题)2资料讲解
倍长中线法(经典例题)2倍长中线法（加倍法）知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。
经典例题讲解：例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4：如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F.求证：EF CF BE >+第 14 题图DF CBEAB例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE自检自测：1、如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE 。
2、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。
试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论.E DABCF EABCD3、已知：如图，在ABC∆中，ACAB≠，D、E在BC上，且DE=EC，过D作BADF//交AE于点F，DF=AC.求证：AE平分BAC∠4、如图，CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB．求证：①CE=2CD．②CB平分∠DCE．ABFD E C5、如图已知△ABC ，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，求证EF ＝2AD.4、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.DA BCMTE倍长中线法（加倍法）知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。
专题倍长中线
B
D
C
2、△ABC中，AD是的平分线，且BD=CD，求证AB=AC
A
B
C D
3、已知D是AB中点，∠ACB=90°，求证:CD =
1 2
AB
4、已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，
DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE
A
D B C E
F
5、已知在△ABC中，AD是BC边上的中线， E 是AD 上一点，
倍长中线
倍长中线 —构造全等三角形
△ABC中AD是BC边中线
A
B
D
C
A
B
D
C
E
方法一(直接法)：延长 AD至点E， 使DE=AD,连接BE ∵AD是△ABC的中线 ∴BD=DC 在△ADC和△BDE中 BD=DC ∠BDE= ∠ADC, AD=DE ∴△ADC ≌ △BDE (SAS)
方法二(间接法)：过B作AC的平行线与AD的延长线交于点E ∵AD是△ABC的中线 ∴BD=DC
∵BE//AC ∴ ∠EBD= ∠C 在△ADC和△BDE中
∴△ADC ≌ △BDE (AAS)
BD=DC ∠BDE= ∠ADC, EBD= ∠C
1、如图在△ABC，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围
B
E
D
C
8、如图所示,∠BAC=∠DAE=90°,M是BE的中点，AB=AC, AD=AE,求证： AM CD
A E B M C
D
9、如图，AD为△ABC的中线，DE平分∠BDA交AB于E,DF平 分∠ADC交AC于F.求证： BE CF EF
A
E
F C
B
北师大版数学七升八暑假作业专题复习提升专题六 倍长中线构造全等三角形(含答案)
北师大版数学七升八暑假作业专题复习提升-专题六倍长中线构造全等三角形中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线.所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造.类型倍长中线构造全等三角形1. 在△ABC中，AB=7，AC=3，则BC边的中线AD的取值范围是.2. 在△ABC中，AB=10，AC=6，则BC边上的中线AD的取值范围是.3.如图，在△ABC中，∠ABC=45∘，AD，BE分别为BC,AC边上的高，AD,BE相交于点F.下列结论：①∠FCD=45∘；②AE=EC；③S△ABF:S△AFC=AD:FD；④若BF=2EC，则△FDC的周长等于AB的长.正确结论的序号是.4.如图，AD为△ABC中BC边上的中线(AB>AC).（1）求证：AB−AC<2AD<AB+AC；（2）若AB=8cm，AC=5cm，求AD的取值范围.5. 如图，已知AD是△ABC的中线，过点B作BE⊥AD，垂足为E.若BE=6，求点C到AD的距离.6.某校数学课外兴趣小组活动时，老师提出如下问题：【探究】如图1，在△ABC中，若AB=8，AC=6，点D是BC的中点，试探究BC 边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，连接BE.请补充完整证明“△ADC≌△EDB”的推理过程.（1）求证：△ADC≌△EDB.证明：∵延长AD到点E，使DE=AD,连接BE.在△ADC和△EDB中,AD=ED（已作）,∠ADC=∠EDB（）, CD=BD（中点定义）,∴△ADC≌△EDB（）.（2）探究得出AD的取值范围是.【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.【问题解决】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AC=BF.求证：∠BFD=∠CAD.7. 【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，连接BE,请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是.A. SSSB. SASC. AAS（2）求得AD的取值范围是.A. 6<AD<8B. 6≤AD≤8C. 1<AD<7D. 1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.【问题解决】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE=EF.试说明AC=BF.（1）【方法学习】数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下解决方法（如图2）.①延长AD到点M，使得DM=AD；②连接BM，通过三角形全等把AB,AC,2AD转化在△ABM中；③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB−BM<AM<AB+BM，从而得到AD的取值范围是.【方法总结】上述方法我们称为“倍长中线法”.“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系.（2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以说明.（3）【深入思考】如图3，AD是△ABC的中线，AB=AE，AC=AF，∠BAE =∠CAF=90∘，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以说明.答案专题六倍长中线构造全等三角形类型倍长中线构造全等三角形1．2<AD<52．2<AD<83．①③④4．（1）证明：如图,延长AD至点E，使AD=DE，连接BE.在△ACD 和△EBD 中，{DC =BD ,∠ADC =∠BDE ,AD =DE ,∴△ACD≌△EBD (SAS)，∴AC =BE （全等三角形的对应边相等）.在△ABE 中，由三角形的三边关系可得AB−BE <AE <AB +BE ，即AB−AC <2AD <AB +AC .（2） 解：∵AB =8cm ，AC =5cm ，∴8−5<2AD <8+5，∴32<AD <132.5．解：如图，过点C 作CF ⊥AD ，交AD 的延长线于点F .∵BE ⊥AD ,CF ⊥AD ,∴∠BED =∠CFD .∵AD 是△ABC 的中线，∴BD =CD .在△BED 和△CFD 中，{∠BED =∠CFD ,∠BDE =∠CDF ,BD =CD ,∴△BED≌△CFD (AAS),∴BE =CF .∵BE =6,∴CF =6,∴ 点C 到AD 的距离为6.（1） 对顶角相等； SAS（2） 1<AD <7（3） 证明：如图，延长AD 到点H ，使DH =AD ,连接BH .由（1）得△ADC≌△HDB,∴BH=AC,∠BHD=∠CAD.∵AC=BF,∴BH=BF,∴∠BFD=∠BHD,∴∠BFD=∠CAD.（1）B（2）C（3）解：如图，延长AD到点M，使AD=DM，连接BM.∵AD是△ABC的中线，∴CD=BD.∵在△ADC和△MDB中,{DC=DB,∠ADC=∠MDB,DA=DM,∴△ADC≌△MDB(SAS),∴BM=AC,∠CAD=∠M.∵AE=EF,∴∠CAD=∠AFE.∵∠AFE=∠BFD,∴∠BFD=∠M,∴BF=BM=AC,即AC=BF.（1）1<AD<7（2）解：AC//BM,且AC=BM.理由:由（1）知,△MDB≌△ADC,∴∠M=∠CAD,AC=BM,∴AC//BM.（3）EF=2AD.理由：如图，延长AD到点M，使得DM=AD，连接BM.由（1）知，△BDM≌△CDA(SAS)，∴BM=AC.∵AC=AF,∴BM=AF.由（2）知:AC//BM，∴∠BAC+∠ABM=180∘.∵∠BAE=∠FAC=90∘，∴∠BAC+∠EAF=180∘,∴∠ABM=∠EAF.在△ABM和△EAF中，{AB=EA,∠ABM=∠EAF,BM=AF,∴△ABM≌△EAF(SAS)，∴AM=EF.∵AD=DM,∴AM=2AD.∵AM=EF,∴EF=2AD.。
三角形全等专题倍长中线法
齐等三角形基原判决条件：之阳早格格创做1、三边对于应相等(SSS).2、二边夹角对于应相等(SAS).3、二角夹边对于应相等(ASA).4、二角对于边对于应相等(AAS).5、曲角三角形齐等条件：①斜边及向来角边对于应相等（HL）；②向来角边及一钝角对于应相等（ASA）大概斜边及一钝角对于应相等（AAS）；③二曲角边对于应相等(SAS).★注意：曲角三角形齐等，除边边边（SSS），边角边（SAS），角边角（ASA），角角边（AAS）对于应相等中，另有曲角边及斜边（HL）、向来角边及一钝角（ASA)、斜边及一钝角（AAS）、二曲角边（SS）等对于应相等.除以上基原判决中，齐等三角形其余判决条件：1、三条中线对于应相等，二个三角形齐等.2、三条下线对于应相等，二个三角形齐等.3、三条角仄分线对于应相等，二个三角形齐等.4、二个角及第三个角的角仄分线对于应相等，二个三角形齐等.5、二条边及第三条边上的中线对于应相等，二个三角形齐等.6、钝角三角形中，一钝角战其一邻边对于应相等，钝角所对于的较大边也相等，二个三角形齐等.大概二边及其中一边的对于角(钝角)对于应相等，二个三角形齐等.（SSA）7、等腰三角形中，底边战顶角分别对于应相等，二个等腰三角形齐等.8、等腰曲角三角形中，周少相等，二个等腰曲角三角形齐等.（果为等腰曲角三角形三边之比为1：1：√2，故周少相等时，等腰曲角三角形的对于应角相等，对于应边相等，故齐等）.9、等边三角形中，有一边对于应相等，二个三角形齐等.★特地提示：正在三角形齐等的判决中，一定有边相等，一定不AAA战SSA（除非此角为钝角），那二种情况皆不克不迭唯一决定三角形的形状.三角形齐等的本量：1.齐等三角形的对于应角相等.4. 齐等三角形的对于应边上的中线相等.角仄分线相等.3.齐等三角形里积周少相等.6.齐等三角形的对于应边上的下对于应相等.等腰三角形的本量1、等腰三角形的二个底角度数相等（简写“等边对于等角”）.2、等腰三角形的顶角仄分线，底边上的中线，底边上的下沉合（简写“等腰三角形的三线合一本量”）.3、等腰三角形的二底角仄分线相等（二条腰上的中线相等，二条腰上的下相等）.4、等腰三角形底边上的笔曲仄分线到二条腰的距离相等.5、等腰三角形的一腰上的下与底边的夹角等于顶角的一半.6、等腰三角形底边上任性一面到二腰距离之战等于一腰上的下（等里积法道明）.7、等腰三角形是轴对于称图形（不是等边三角形的情况下），惟有一条对于称轴，顶角仄分线地圆的曲线是它的对于称轴，等边三角形有三条对于称轴.8、等腰三角形的腰大于下.等腰三角形的腰的仄圆等于下的仄圆加底的一半的仄圆.初中三角形齐等博题倍少中线法倍少中线法的定义：延少中线，使所延少部分与中线相等，而后往往需要对接相映的顶面，则对于应角对于应边皆对于应相等.时常使用于构制齐等三角形.中线倍少法多用于构制齐等三角形战道明边之间的闭系以便当供其中一边的范畴值.1、如图，正在△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的与值范畴是( )A.2＜AB＜12B.4＜AB＜12C.9＜AB＜19D.10＜AB ＜19 问案：C解题思路：延少AD至E，使DE=AD，对接CE，可先道明△ABD≌△ECD，则AB=CE，正在△ACE中，根据三角形的三边闭系，得AE-AC＜CE＜AE+AC，即9＜CE＜19.则9＜AB＜19.故选C.2、如图，已知CB、CD分别是钝角△AEC战钝角△ABC的中线，且AC=AB，给出下列论断：①AE=2AC；②CE=2CD；③∠ACD=∠BCE；④CB仄分∠DCE，则以上论断精确的是（）A.①②④B.①③④C.①②③D.①②③④问案：A解题思路：①精确，延少CD至面F，使得DF=CD，对接AF，可先道明△ADF≌△BDC，再道明△ACF≌△BEC，由那二个三角形齐等不妨得知②、④精确.由△ACF≌△BEC，得∠ACD=∠E,若要∠ACD=∠BCE，则需∠E＝∠BCE，则需BC=BE，隐然不可坐，故③选项过失3、如图，面E是BC的中面，∠BAE=∠CDE，延少DE到面F使得EF=DE，对接BF，则下列道法精确的是（）①BF∥CD ②△BFE≌△CDE ③AB=BF④△ABE为等腰三角形A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④问案：A解题思路：不妨先道明△BEF≌△CED，不妨得到②精确，从而得到∠F=∠D，BF∥CD，①精确，又∵∠BAE=∠CDE=∠F，∴AB=BF，③精确.④不精确.4、如图，正在正圆形ABCD中，E为AB边的中面，G、F 分别为AD，BC边上的面，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的少为（） A.1 B.2 C.3 D.4 问案：C解题思路：延少FE接DA的延少线于面M，则可证△AEM≌△BEF，再道明△GEM≌△GEF，不妨得到GF=GM=GA+BF=3，问案选C5、如图，正在△ABC中，面D、E为边BC的三仄分面，则下列道法精确的有（）①BD=DE=EC②AB+AE＞2AD ③AD+AC＞2AE ④AB+AC＞AD+AEA.1个B.2个C.3个D.4个问案：D解题思路：面D、E为边BC的三仄分面，∴BD=DE=CE延少AD至面M，AE至面N，使得DM=AD，EN=AE，对接EM、CN，则可道明△ABD≌△MED，从而可得AB+AE＞2AD，再道明△ADE≌△NCE，从而可得AD+AC＞2AE，将二式相加可得到AB+AE+AD+AC＞2AD+2AE,即AB+AC ＞AD+AE.∴①②③④均精确.6、下列命题：①有二个角战第三个角的仄分线对于应相等的二个三角形齐等；②有二条边战第三条边上的中线对于应相等的二个三角形齐等；③有二条边战第三条边上的下对于应相等的二个三角形齐等．其中精确的是（）解问：解：①精确．不妨用AAS大概者ASA判决二个三角形齐等；②精确．不妨用“倍少中线法”，用SAS定理，推断二个三角形齐等；如图，分别延少AD、A′D′到E、E′，使得AD=DE，A′D′=D′E′，∴△ADC≌△EDB，∴BE=AC，共理：B′E′=A′C′，∴BE=B′E′，AE=A′E′，∴△ABE≌△A′B′E′，∴∠BAE=∠B′A′E′，∠E=∠E′，∴∠CAD=∠C′A′D′，∴∠BAC=∠B′A′C′，∴△BAC≌△B′A′C′．③不精确.果为那个下大概正在三角形的里里，也有大概正在三角形的中部，也便是道，那二个三角形大概一个是钝角三角形，一个是钝角三角形，所以便不齐等了.面评：原题考查了齐等三角形的判决要领；要根据选项提供的已知条件逐个分解，分解时瞅是可切合齐等三角形的判决要领，注意SSA是不克不迭判得三角形齐等的.。
78 全等模型—倍长中线模型
拓展应用：以△ABC 的边 AB，AC 为边向外作△ABE 和△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°， M 是 BC 中点，连接 AM，DE．当 AM＝3 时，求 DE 的长． 【答案】问题背景： SAS；问题解决：完整过程见解析；拓展应用： DE＝6． 【分析】问题背景：先判断出 BD=CD，由对顶角相等∠BDE=∠CDA，进而得出△ADC≌△EDB（SAS）； 问题解决：先证明△ADC≌△EDB（SAS），得出 BE=AC=3，最后用三角形三边关系即可得出结论； 拓展应用：如图 2，延长 AM 到 N，使得 MN=AM，连接 BN，同（1）的方法得出△BMN≌△CMA（SAS）， 则 BN=AC，进而判断出∠ABN=∠EAD，进而判断出△ABN≌△EAD，得出 AN=ED，即可求解． 【详解】问题背景：如图 1，延长 AD 到点 E，使 DE＝AD，连接 BE，
【答案】4＜AE＜8 【分析】证明△ABD≌△ECD（AAS），得到 AB=EC=6，AD=ED，再由三角形的三边关系即可得出答案． 【详解】解：∵AD 是 BC 边上的中线， ∴BD=CD． ∵AB∥CE， ∴∠BAD=∠E， 在△ABD 和△ECD 中， BAD E BDA CDE ， BD CD ∴△ABD≌△ECD（AAS）， ∴AB=EC=6， ∴AD=DE， 在△ACE 中，CE-AC＜AE＜CE+AC， 即 6-2＜AE＜6+2， ∴4＜AE＜8． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的三边关系等知识；熟练掌握三角 形的三边关系，证明三角形全等是解题的关键．
题型二：利用倍长中线证明线段、角相等 【例题 2】（2021·全国八年级课时练习）如图，CE、CB 分别是 ABC 与 ADC 的中线，且 ACB ABC ， AC AB ．求证： CD 2CE ．
(完整版)倍长中线法(经典例题)0001
倍长中线法知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时， 常常采用 倍长中线法 添加辅助线.所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全 等三角形的有关知识来解决问题的方法.倍长中线法的过程： 延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一 条）,用SAS 证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS 全等三角形模型的构造。
【方法精讲】常用辅助线添加方法一一倍长中线方式2:间接倍长作 CF 丄 AD 于 F ,作BE 丄AD 的延长线于E连接BE经典例题讲解：例ABC 中，AB=5, AC=3,求中线 AD 的取值范围△ ABC 中AD 是BC 边中线使 DE=AD, 连接BEA B 方式1 :延长AD 到E , D A DE A连接CNN例2:已知在△ ABC 中，AB=AC D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ,且DF=EF , 求证：BD=CE例3:已知在△ ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且 BE=AC 延长 BE 交AC 于F ,求证：AF=EFABC 中，AB AC ，D 、E 在 BC 上，且 DE=EC 过 D 作DF //BA 例4:已知：如图，在 交 AE 于点 F , DF=AC. 求证：AE 平分 BAC D例5:已知CD=AB / BDA=Z BAD, AE是厶ABD的中线，求证：/ C=Z BAE1、如图，△ ABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点，求证，AD平分/ BAE.2、在四边形ABCD中，AB// DC, E为BC边的中点，/ BAE=Z EAF, AF与DC的延长线相交于点F。
试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论•E3、如图，AD为ABC的中线，DE平分BDA交AB于E, DF平分ADC交AC于F.求证: BE CF EF第14题图4、已知：如图，ABC中，C=90 , CM AB于M , AT平分BAC交CM于D,交BC于T,过D作DE//AB交BC于E,求证：CT=BE.C。
2023年中考数学常见几何模型全归纳之模型 全等模型-倍长中线与截长补短(原卷版)
专题01 全等模型--倍长中线与截长补短全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.倍长中线模型【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。
【常见模型及证法】1、基本型：如图1，在三角形ABC 中，AD 为BC 边上的中线.证明思路：延长AD 至点E ，使得AD =DE . 若连结BE ，则BDE CDA ∆≅∆；若连结EC ，则ABD ECD ∆≅∆；2、中点型:如图2，C 为AB 的中点.证明思路：若延长EC 至点F ，使得CF EC =，连结AF ，则BCE ACF ∆≅∆;若延长DC 至点G ，使得CG DC =，连结BG ，则ACD BCG ∆≅∆.3、中点+平行线型：如图3, //AB CD ，点E 为线段AD 的中点.证明思路：延长CE 交AB 于点F (或交BA 延长线于点F )，则EDC EAF ∆≅∆.1．（2022·山东烟台·一模）（1）方法呈现：如图①：在ABC 中，若6AB =，4AC =，点D 为BC 边的中点，求BC 边上的中线AD 的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E 使DE AD =，再连接BE ，可证ACD EBD △≌△，从而把AB 、AC ，2AD 集中在ABE △中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在ABC 中，点D 是BC 的中点，DE DF ⊥于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC于点F ，连接EF ，判断BE CF +与EF 的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD 中，//AB CD ，AF 与DC 的延长线交于点F 、点E 是BC 的中点，若AE 是BAF ∠的角平分线．试探究线段AB ，AF ，CF 之间的数量关系，并加以证明．2．（2022·河南南阳·中考模拟）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：如图，在ABC 中，D 是边BC 的中点，过点C 画直线CE ，使//CE AB ，交AD 的延长线于点E ，求证：AD ED =证明∵//CE AB （已知）∵ABD ECD ∠=∠，BAD CED ∠=∠（两直线平行，内错角相等）．在ABD △与ECD 中，∵ABD ECD ∠=∠，BAD CED ∠=∠（已证），BD CD =（已知），∵()A.A.S ABD ECD △△≌，∵AD ED =（全等三角形的对应边相等）．（1）【方法应用】如图①，在ABC 中，6AB =，4AC =，则BC 边上的中线AD 长度的取值范围是______． （2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD 中，//AB CD ，点E 是BC 的中点，若AE 是BAD ∠的平分线，试猜想线段AB 、AD 、DC 之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）【拓展延伸】如图③，已知//AB CF ，点E 是BC 的中点，点D 在线段AE 上，EDF BAE ∠=∠，若5AB =，2CF =，求出线段DF 的长．3．（2022·河北·中考模拟）倍长中线的思想在丁倍长某条线段（被延长的线段a 要满足两个条件：①线段a 一个端点是图中一条线段b 的中点；②线段a 与这条线段b 不共线)，然后进行连接，构造三角形全等，再进一步将某些线段进行等量代换，再证明全等或其他的结论，从而解决问题．【应用举例】如图（1），已知：AD 为ABC ∆的中线，求证：2AB AC AD +>．简证：如图（2），延长AD 到E ，使得DE AD =，连接CE ，易证ABD ECD ∆≅∆，得AB = ，在ACE ∆中，AC CE +> ，2AB AC AD +>．【问题解决】（1）如图（3），在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，求证：AF EF =．（2）如图（4），在ABC ∆中，90,A D ∠=︒是BC 边的中点，E F 、分别在边AB AC 、上，DE DF ⊥，若3,4BE CF ==，求EF 的长．（3）如图（5），AD 是ABC ∆的中线，,AB AE AC AF ==，且90BAE FAC ∠=∠=︒，请直接写出AD 与EF 的数量关系_ 及位置关系_ ．模型2.截长补短模型【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。
全等三角形-倍长中线模型、垂线模型、旋转模型
是题库不是教案全等三角形-倍长中线模型、垂线模型、旋转模型一、垂线模型1．在ABC 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，过点C 作直线MN ，过点A 作AM MN ⊥于点M ，过点B 作BN MN ⊥于点N ．（1）如图1，当直线MN 在ABC 外时，证明：MN AM BN =+．（2）如图2，当直线MN 经过ABC 内部时，其他条件不变，则,AM BN 与MN 之间有怎样的数量关系？请说明理由．2．如图，已知：ABC 中，AB AC =，BAC 90∠=︒，分别过B ，C 向经过点A 的直线EF 作垂线，垂足为E ，F ．（1）当EF 与斜边BC 不相交时，请证明EF BE CF(=+如图1)；（2）如图2，当EF 与斜边BC 这样相交时，其他条件不变，证明：EF BE CF =-；3．如图1，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于点D ，BE MN ⊥于点E ．（1）在图1中，求证:①ADC CEB ∆∆≌；②DE AD EB =+；（2）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，DE ，AD ，EB 三条线段的长度关系又如何？并说明理由．4．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90º，∠ABC ＝45 º，点O 是AB 的中点，过A 、C 两点向经过点O 的直线作垂线，垂足分别为E 、F.（1）如图①，求证：EF ＝AE+CF.（2）如图②，图③，线段EF 、AE 、CF 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想.5．探究：如图①，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线l 经过点C ，且点AB 、在直线l 的同侧，过点A B 、分别作直线l 的垂线，垂足分别为点D E 、．求证：DE AD BE =+．应用：如图②，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线l 经过点C ，且点AB 、在直线l 的异侧，过点AB 、分别作直线l 的垂线，垂足分别为点D E 、．直接写出线段AD BE DE 、、之间的相等关系．图① 图②6．在ABC 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ，（1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，显然有：DE AD BE =+（不必证明）；是题库不是教案=-；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE AD BE（3）当直线MN MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．7．问题1：在数学课本中我们研究过这样一道题目：如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥MN，AD⊥MN，垂足分别为E、D．图中哪条线段与AD相等？并说明理由．问题2：试问在这种情况下线段DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出来，不需要说明理由．问题3：当直线CE绕点C旋转到图2中直线MN的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由．8．在△ABC中，∠ACB=90︒，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN 于E.(1)当直线MN如图(1)的位置时，求证：①△ADC≌△CEB ②DE=AD+BE(2)当直线MN绕点C旋转到图(2)的位置时，直接写出DE、AD、BE三者之间的关系.9．过正方形ABCD（四边都相等，四个角都是直角）的顶点A作一条直线MN．图（1）图（2）图（3）⊥于点E，过点D作（1）当MN不与正方形任何一边相交时，过点B作BE MN⊥于点F如图（1），请写出EF，BE，DF之间的数量关系，并证明你的结DF MN论．（2）若改变直线MN的位置，使MN与CD边相交如图（2），其它条件不变，EF，BE，DF的关系会发生变化，请直接写出EF，BE，DF的数量关系，不必证明；（3）若继续改变直线MN的位置，使MN与BC边相交如图（3），其它条件不变，EF，BE，DF的关系又会发生变化，请直接写出EF，BE，DF的数量关系，不必证明．10．已知，△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，过A 任作一直线l，作BD⊥l于D，CE⊥l于E，观察三条线段BD，CE，DE 之间的数量关系．（1）如图1，当l 经过BC 中点时，此时BD CE；（2）如图2，当l 不与线段BC 相交时，BD，CE，DE 三者的数量关系为，并证明你的结论．（3 ）如图3 ，当l 与线段BC 相交，交点靠近B 点时，BD ，CE ，DE 三者的数量关系为．证明你的结论，并画图直接写出交点靠近C 点时，BD，CE，DE 三者的数最关系为．11．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．是题库不是教案（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明． ①如图1，延长DE 到点F ，使EF ＝DE ，连接BF ；②如图2，分别过点B 、C 作BF ⊥DE ，CG ⊥DE ，垂足分别为点F ，G ．（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．二、倍长中线模型12．如图，在ABC 中，D 为BC 的中点，若3,4AC AD ==．则AB 的长不可能．．．是（ ）A ．5B ．7C ．8D ．913．如图，在△ABC 中，AB=5，AC=3，AD 是BC 边上的中线，AD 的取值范围是（ ）A ．1＜AD ＜6B ．1＜AD ＜4C ．2＜AD ＜8 D ．2＜AD ＜4 14．如图，AD 是ABC 中BC 边上的中线，若AB ＝5，AC ＝8，则AD 的取值范围是_____．15．在ABC 中，5AB =，3AC =，AD 是ABC 的中线，设AD 长为m ，则m的取值范围是______．16．在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，若7,5AB AC ==，则AD 长的取值范围是_________．17．如图，ABC ∆中，3AB =，4AC =，AD 为中线，求中线AD 的取值范围．18．如图，CE 、CB 分别是△ABC 与△ADC 的中线，且∠ACB=∠ABC ．求证：CD=2CE ．19．已知：如图，D 是△ABC 边BC 上一点，且CD ＝AB ，∠BDA ＝∠BAD ，AE 是△ABD 的中线．求证：AC ＝2AE ．20．已知：如图，AD ，AE 分别是△ABC 和△ABD 的中线，且BA ＝BD ．求证：AE ＝12AC ．21．如图，在△ABC 中，已知：点D 是BC 中点，连接AD 并延长到点E ，连接BE.是题库不是教案（1）请你添加一个条件使△ACD ≌△EBD ，并给出证明.（2）若5AB =，3AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围.22．（1）如图1，AD 是ABC ∆的中线，8,6AB AC ==，求AD 的取值范围，我们可以延长AD 到点M ，使DM AD =，连接BM （如图2所示），这样就可以求出2AD 的取值范围，从而得解，请写出解题过程；（2）在（1）问的启发下，解决下列问题：如图3，AD 是ABC ∆的中线，BE 交AC 于点E ，交AD 于点F ，且AE EF =，求证：AC BF =．23．如图1，AD 为△ABC 的中线，延长AD 至E ，使DE ＝AD ．（1）试证明：△ACD ≌△EBD ；（2）用上述方法解答下列问题：如图2，AD 为△ABC 的中线，BMI 交AD 于C ，交AC 于M ，若AM ＝GM ，求证：BG ＝AC ．24．阅读下列材料，完成相应任务．数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线．求证：2AB AC AD +>．智慧小组的证法如下：证明：如图2，延长AD 至E ，使DE AD =，∵AD 是BC 边上的中线∴BD CD =在BDE ∆和CDA ∆中BD CD BDE CDA DE DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BDE CDA ∆∆≌（依据一）∴BE CA =在ABE ∆中，AB BE AE +>（依据二）∴2AB AC AD +>．任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：______________________________________________；依据2：______________________________________________．归纳总结：上述方法是通过延长中线AD ，使DE AD =，构造了一对全等三角形，将AB ，AC ，AD 转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．任务二：如图3，3AB =，4AC =，则AD 的取值范围是_____________；任务三：如图4，在图3的基础上，分别以AB 和AC 为边作等腰直角三角形，在Rt ABE∆是题库不是教案中，90BAE ∠=︒，AB AE =；Rt ACF ∆中，90CAF =︒∠，AC AF =．连接EF ．试探究EF 与AD 的数量关系，并说明理由．25．（阅读理解）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC 中，若AB ＝8，AC ＝6，求BC 边上的中线AD 的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到点E ，使DE ＝AD ，请根据小明的方法思考：(1)由已知和作图能得到△ADC ≌△EDB 的理由是_____.A ．SSSB ．SASC ．AASD ．HL(2)求得AD 的取值范围是______.A ．6＜AD ＜8B ．6≤AD≤8C ．1＜AD ＜7 D ．1≤AD≤7（感悟）解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.（问题解决）(3)如图2，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE ＝EF.求证：AC ＝BF.三、旋转模型26．如图所示的正方形ABCD 中，点E 在边CD 上，把ADE 绕点A 顺时针旋转得到ABF ，20FAB ∠=︒．旋转角的度数是（ ）A ．110°B ．90°C ．70°D ．20° 27．如图，已知ABC 和AEF 中，BE ∠=∠，AB AE =，BC EF =，25EAB ∠=︒，57F ∠=︒，线段BC 分别交AF ，EF 于点M ，N ．（1）请说明EAB FAC ∠=∠的理由；（2）ABC 可以经过图形的变换得到AEF ，请你描述这个变换；（3）求AMB ∠的度数．28．如图，ABC 中，60ABC ∠=︒，将ABC 绕点B 逆时针旋转60︒得到DBE ，DE 的延长线与AC 相交于点F ，连接DA 、BF ．（1）求证：//DA BC ．（2）若BF AF ==DF 的长．29．如图，D 是等边三角形ABC 内一点，将线段AD 绕点A 顺时针旋转60°，得到线段AE ，连接CD ，BE,（1）求证：∠AEB=∠ADC ；（2）连接DE ，若∠ADC=105°，求∠BED 的度数．是题库不是教案30．已知ABC 与DAE 都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°．求证：（1）ABE ≌ACD ；（2）DC ⊥BE ．31．如图，在△AOB 和△COD 中，OA=OB ，OC=OD ，∠AOB=∠COD=90°，当将△COD绕点O 顺时针旋转时，连线AC 与BD 之间的大小关系如何？试猜想并证明你的结论．32．如图，△OAB 和△OCD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠AOB ＝∠COD ＝90°，AC 、BD 交于点M ．(1) 如图1，求证：AC=BD ，判断AC 与BD 的位置关系并说明理由；(2) 如图2，∠AOB ＝∠COD ＝60°时，∠AMD 的度数为___________.33．如图，AB AC =，AE AD =，CAB EAD α∠=∠=．（1）求证：AEC ADB ≅△△；（2）若90α=︒，试判断BD 与CE 的数量及位置关系并证明；（3）若CAB EAD α∠=∠=，求CFA ∠的度数．34．如图①所示，已知ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，MN 是经过点A 的直线，,BD MN CE MN ⊥⊥，垂足分别为点D 、E ．（1）求证：DE DB EC =+；（2）如图②，将MN 绕点A 旋转，使MN 和BC 交于G 点，其他条件不变，结论（1）还成立吗？若成立请给出证明；若不成立，请探究CE 、DB 、DE 的关系，并证明你的结论．35．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于点D ，BE MN ⊥于点E ．（1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①ADC CEB △≌△；②DE AD BE =+；（2）当直线MN 绕点C 旋转到如图2所示的位置时，求证：DE AD BE =-； （3）当直线MN 绕点C 旋转到如图3所示的位置时，试问DE ，AD ，BE 具有怎样是题库不是教案的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明．36．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线,MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于点D ，BE ⊥MN 于点E 。
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DCB
A
授课教案
教学标题
中线倍长法证明全等
教学目标
熟练掌握有中点为背景的全等三角形证明的方法.
教学重难点
重点掌握中线倍长法模型的建立，能利用中线倍长法解决问题.
上次作业检查
授课内容：
一．热身训练
1.如图,已知: AD是BC上的中线 ,且DF=DE．求证:BE∥CF．
2.如图，AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF．求证：AM是△ABC的中线．
3. AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。求证：BF=CF
4. 如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：AF=DE．
5. 已知：如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证： AE＝AF．
二．知识梳理
1.中点的定义
2.中点的表示方法：等量关系、倍的关系、分的关系
3.三角形中线的作用：等分面积
4.全等三角形中中线的作用：倍长中线（延长中线至*，连接**，利用SAS证明三角形
全等）
三．典型例题
例1．（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.
分析：①将AD边放在某个三角形中，利用三边关系求出取值范围；
②中线倍长法的具体应用：延长AD至M，使DM=AD，连接BM；利用SAS证
明三角形全等；
③将线段AC转换成BM，在△ABM中利用三边关系求出2AD取值范围.
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例2. 如图：在△ABC中，BA=BC，D是AC的中点。求证：BD⊥
AC.
分析：中线倍长法，延长BD至M，使DM=BD，连接AM，两
次全等，再证明角相等.
例3. 已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：12CDAB
分析：中线倍长法，延长CD至M，使DM=CD，连接AM，
两次全等，解决线段分的证明.
例4. 已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC
分析：中线倍长法，E为中点，可倍长DE、FE、CE至M（具体是哪条线段尝试之后再引
导学生下结论），连接AM，利用SAS证明三角形全等，有部分等腰三角形的知识参与解题，
可引导学生回忆三角形按边分类时所传授的等腰三角形的知识.
四．课堂练习
1. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD
2. 已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC
五．课后反思：
1.三角形全等证明的方法，注意两次全等的问题；
2.有中点为背景参与的问题，常见思路是“中线倍长法”.
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学 案
1.如图,已知: AD是BC上的中线 ,且DF=DE．求证:BE∥CF．
2.如图，AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF．求证：AM是△ABC的中线．
3. AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。求证：BF=CF
4. 如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：AF=DE．
5. 已知：如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证： AE＝AF．
例1．（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.
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例2. 如图：在△ABC中，BA=BC，D是AC的中点。求证：BD⊥
AC.
例3. 已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：12CDAB
例4. 已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC
1. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD
2. 已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC
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