分类讨论与转化思想
分类讨论的思想方法
分类讨论的思想方法知识点导读也是科学研究中最常用、最基本的方法．数学中的分类讨论贯穿知识的各个部分，形式多样、综合性强、逻辑严谨，在解数学题中，分类讨论是一种十分常见和重要的思想方法．那么，什么是数学中的分类讨论呢？一般来说，当一个问题所给的对象不宜进行统一的研究或推理，只有按某一个标准用分组的形式才能方便地表示出来，那么就需要对研究的对象进行分类(即分组)，并对其中的每一类分别进行研究，最后综合各类的结果得到整个问题的结果．它是逻辑划分思想在解决数学问题中的具体运用，它将一个数学问题化整为零，把一个复杂的问题转化为单一的问题，从而“各个击破”，最终使整个问题得以顺利解决．高中数学中经常遇到需要进行分类讨论的问题，归纳起来有以下几种常见类型：一、由数学概念引起的分类有许多数学概念本身就是分类定义的，例如数的绝对值的概念：|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (当a ≥0时)－a (当a ＜0时)这样，当我们遇到求解与绝对值|a |有关的问题时，就要分a ≥0和a ＜0两种情况讨论．二、由有关数学的性质、运算法则、定理、公式引起的分类如在判断两直线是否相互垂直时，要讨论其斜率是否存在；又如指数、对数函数的性质在应用时，要分别针对它们底数的取值进行讨论等．再如等比数列a, aq, aq 2, …， aq n －1，…的前n 项和公式为S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (1－q n )1－q (当q ≠1时)na (当q ＝1时)因此，遇到公比q 是字母或含字母的表达式时，就要讨论公比等于1及公比不等于1的两种情形．三、涉及有关不确定的情况时引起的分类如分段函数、图形、特殊要求等在计算或列式时需要分类讨论，一般是综合的题型．四、由参数变化而引起的分类运用分类讨论的思想解数学题时，一般分为以下四个步骤： (1) 确定讨论的对象和所要讨论对象的范围．(2) 合理分类就是将讨论对象的范围划分子区域，划分子区域时应符合以下三个条件： ① 确定分类的标准一致，不重复、不遗漏； ② 划分子区域只能按同一标准进行； ③ 区域分类应逐级进行．(3) 严格按层次逐级或逐段讨论，不能越级．(4) 归纳总结，综合出结论．其中，确定分类的标准是分类讨论的关键． 范例分类与解题分析【例1】 已知集合A ＝{1, x 2}，集合B ＝{1, 3, x }，且A B ，求x 的值．【解】 ①当x 2＝3，即x ＝±3时，A B .②当⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x x ≠1即x ＝0时，A B .所以x ＝±3或x ＝0.【点评】 注意真子集概念中“B 中至少有一个元素不属于A ”，可以认为A 的元素个数至少比B 的元素个数少1个，又集合的元素具有互异性，即同一个元素在集合中只出现一次，故在第2种情形中要求x ≠1.二、根据运算的要求进行分类【例2】 解关于x 的不等式：2(a ＋1)x －2a ＞ax ＋4.【分析】 原不等式可化为(a ＋2)x ＞2(a ＋2)，因为x 的系数中含有字母a (a 称为参数)，所以应分成a ＋2＞0，a ＋2＝0，a ＋2＜0三种情况来解答．【解】 原不等式可化成(a ＋2)x ＞2(a ＋2)． ①当a ＞－2时，不等式解集为{x |x ＞2}； ②当a ＝－2时，原不等式为0·x ＞0，原不等式解集为∅； ③当a ＜－2时，不等式解集为{x |x ＜2}． 【点评】 数学中的某些运算有着严格的运算要求．如实数集中偶次根式的被开方数必须非负，方程或不等式的两边同乘(同除)的一个数不能为零，不等式两边同乘(同除)一个负数不等号要改变方向等．凡涉及到运算要求的问题，求解时应按照运算的要求进行分类讨论．三、根据定理、公式、法则的限制条件进行分类【例3】 设{a n }是以d 为公差的等差数列，求3a 1＋ 3a 2＋3a 3＋…＋3a n .【分析】 当数列为等比数列且其公比不确定时，在求前n 项和时，必须对公比是否为1分成两种情况进行讨论．【解】 设b n ＝3a n ，∵ b n ＋1b n ＝3a n ＋13a n＝3a n ＋1－a n ＝3d∴ {b n }是以b 1＝3a 1为首项，以q ＝3d 为公比的等比数列 当q ＝3d ＝1，即d ＝0时， 3a 1＋3a 2＋3a 3＋…＋3a n ＝3a 1·n ，(n ∈N ＋)当q ＝3d≠1，即d ≠0时，3a 1＋3a 2＋3a 3＋…＋3a n ＝3a 1(1－3nd )1－3d，(n ∈N ＋)．【点评】 数学中的某些定理、公式、法则等均受到一些条件的限制，如复数的模为非负实数；公式S n ＝a 1(1－q n )1－q中，q ≠1；三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ≠0)有实根的充要条件是b 2－4ac ≥0，无实根的充要条件是b 2－4ac ＜0等，在求解这类问题时，可根据相应的限制条件进行分类讨论．四、根据函数的性质进行分类【例4】 已知幂函数y ＝x 3m －7(m ∈N ＋)在区间(0, ＋∞)内是减函数，且图像关于y 轴对称，求函数解析式．【解】 由于幂函数y ＝x n ，当n ＜0时，在区间(0, ＋∞)内是减函数，所以可得3m －7＜0.解得m ＜73.又∵ m ∈N ＋， ∴ m ＝1, 2.当m ＝1时，函数的解析式为y ＝x －4，是偶函数，其图象关于y 轴对称．当m ＝2时，函数的解析式为y ＝x －1，是奇函数，其图象关于原点对称，∴ m ＝2(舍去)．因此，所求函数的解析式为y ＝x －4.【点评】 幂函数y ＝x n 当n ＜0时，在区间(0, ＋∞)内是减函数，据此可定出m 的取值范围，再由m ∈N ＋及该幂函数为偶函数(图象关于y 轴对称)，进一步确定m 的值．五、根据图形相对位置的变化特征进行分类【例5】 如图，在直角梯形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，DC ∥AB ，动点P 从B 点出发，沿折线B →C →D 运动，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，写出y 与自变量x 之间的函数关系式，并在直角坐标系中画出它的图象．【分析】 △ ABP 的面积由于点P 的运动，函数关系式共分两个部分来求解，分别为点P 在BC 上和点P 在CD 上．【解】 当点P 由B →C 运动时，PB ＝x ，则S △ABP ＝12×AB ×PB ＝2x ，且x ∈；当点P 由C →D 运动时，S △ABP ＝12×AB ×BC ＝124×2＝4，且x ∈(2,4]．∴综上所述：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，4，x ∈x ∈(2，4]，且该函数关系式的图像如图所示．【点评】 此例的求解是根据图形的位置特征进行分类讨论的，对于这类与图形的位置特征有关的数学问题，求解时可根据图形的位置特征进行分类讨论．六、根据参数的取值进行分类【例6】 试根据k 的不同取值，讨论方程kx 2＋y 2＝1所表示的曲线形状．【分析】 根据不同曲线方程对参数的要求，可对方程中参数m 的取值进行分类，求得曲线的标准方程，从而确定出方程所表示的不同曲线．【解】 当k ＝0时，方程为y 2＝1，即y ＝±1表示两条垂直于y 轴的直线；当k ＝1时，方程为x 2＋y 2＝1，表示以原点为圆心，以1为半径的圆；当k ≠0且k ≠1时，方程为x21k＋y 2＝1；当1k＞1，即0＜k ＜1时，表示焦点在x 轴上的椭圆； 当0＜1k 1，即k ＞1时，表示焦点在y 轴上的椭圆；当1k＜0，即k ＜0时，表示焦点在y 轴上的双曲线． 【点评】 在讨论曲线方程时，一定要掌握不同曲线方程的特征，并按照不同曲线方程的要求进行讨论，然后从一般到特殊，进行分类讨论，可先讨论直线、圆，然后再讨论抛物线、椭圆、双曲线．【例7】 不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集为R ，求a 的取值范围．【分析】 因x 2的系数a 2－1可以等于0也可以不等于0，因此对a 2－1是否等于0应分类讨论．【解】 (1)若a 2－1＝0，则a ＝－1或a ＝1 因a ＝1符合题意，而a ＝－1不符合题意 ∴a ＝1；(2)若a 2－1≠0则由题意知 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0(a －1)2＋4(a 2－1)<0∴－35<a<1 综合(1)(2)得，a 的取值范围是(－35，1]．【点评】 由于参数的取值不同，问题的表述也不相同．因此只有对参数进行分类才能根据问题的不同表述分别列式求解．【举一反三】 对任意实数x ，不等式ax 2＋2ax －(a ＋2)<0恒成立，求实数a 的取值范围．【解】 当a ＝0时，由题意得－2<0.符合题意．当a ≠0时，由题意得⎩⎨⎧a <0(2a )2＋4a (a ＋2)<0，解之得－1<a <0. 综上所述，a 的取值范围(－1,0]．【例8】 已知函数y ＝log a x(a>0且a ≠1)在[1, 2]上的最大值比最小值大2，求a 的值． 【分析】 因a 的不同取值，对数函数y ＝log a x 在[1, 2]上的单调性不同，因此必须对a 进行分类讨论．【解】 (1)若a>1由已知得log a 2－log a 1＝2∴log a 2＝2 ∴a 2＝2 ∴a ＝2； (2)若0<a<1由已知得log a 1－log a 2＝2∴log a 12＝2 ∴a 2＝12 ∴a ＝22综合(1)(2)得a ＝2或a ＝22.【点评】 由于参数的取值不同，对数函数y ＝log a x 的单调性也不相同，因此只有对a 进行分类，才能利用函数的单调性列式求解．七、根据求解数学问题结论的多样性进行分类【例9】 根据a 的不同取值，求函数f (x )＝ax 2＋x ＋1的单调区间．【分析】 f (x )可能为一次函数，也有可能为二次函数，而当f (x )为二次函数时，可根据抛物线的开口方向及对称轴的位置，讨论其单调区间．【解】 当a ＝0时，f (x )＝x ＋1，∴ f (x )的递增区间为(－∞，＋∞)．当a ≠0时，f (x )为二次函数，对称轴为x ＝－12a，当a ＞0时，f (x )的递增区间为⎣⎡⎭⎫－12a ，＋∞，递减区间为⎝⎛⎦⎤－∞，－12a ， 当a ＜0时，f (x )的递增区间为⎝⎛⎦⎤－∞，－12a ，递减区间为⎣⎡⎭⎫－12a ，＋∞. 【点评】 一次函数、指数函数、对数函数等在其定义域内的单调性都有两种可能性，二次函数的单调性不仅要考虑抛物线的开口方向，还要考虑对称轴的位置．综合训练1．A ＝{x |x 2－2x －3＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}，B A ，则a 的值是( )A ．－1,0, 13B ．－1, 13C ．－13，0,1D ．－13，1【分析】 A ＝{－1,3}当B ＝∅时，方程ax －1＝0无解，a ＝0 当B ＝{－1}时，－a －1＝0，a ＝－1当B ＝{3}时，3a －1＝0，a ＝13 a 的值是－1, 0, 13.2．在同一坐标中，y ＝x a和y ＝ax ＋1a的图象可能是( )A B C D3．已知m ∈R ，且(m 2－8m ＋7)＋(m 2－1)i ＝|(2－23i)2|，则m ＝( ) A ．－1或1 B ．－1 C ．1或7 D ．7【分析】 |(2－23i)2|＝|8＋83i|＝16 故有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋7＝16m 2－1＝0解得m ＝－1.4．顶点间的距离为6，渐近线方程为y ＝±12x 的双曲线的标准方程是( )A.x 29－4y 29＝1或y 29－x 236＝1B.y 29－4x 291或x 29－y 236＝1C.x 29－4y 29 1D.y 29－x236＝1【分析】 2a ＝6，a ＝3当焦点在x 轴上时，渐近线为y ＝±b a ＝±12x, b a ＝12 b ＝32双曲线的标准方程是x 29－4y29＝1.当焦点在y 轴上时，渐近线为y ＝±a b ＝±12x ，a b ＝12， b ＝6双曲线的标准方程是y 29－x236＝1.二、填空题5．设A ＝{1,2,3}，B ＝{3, lg a }，若B ⊆A ，则a ＝__10或100________. 【分析】 由题得lg a ＝1或lg a ＝2，∴ a ＝10或a ＝100.6．已知π2＜α＜3π2，则|tan α|tan α＋|sin α|sin α＝_____0___.【分析】 π2＜α＜π时，|tan α|tan α＋|sin α|sin α＝0；π＜α＜3π2|tan α|tan α＋|sin α|sin α0.7．若log a 45＜1，则a 的取值范围是___(0，45)∪(1，＋∞)_______．【分析】 由题意，得log a 45＜1＝log a a ，则当a ＞1时，y ＝log a x 是单调增的，∴a ＞45，即a ＞1；当0＜a ＜1时，y ＝log a x 是单调减的，∴a ＜45，即0＜a ＜45.综上所述，a 的取值范围为(0，45)∪(1，＋∞)．8．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ＞03－x ，x ≤0，则xf (x )＞0的解集是___⎝⎛⎭⎫12，＋∞_______．【分析】 当x ＞0时，x (2x －1)＞0，即x ＞12或x ＜0 ∴x ＞12.当x ≤0时，x (3－x )＞0，解为∅.9．在△ABC 中，已知a ＝23，c ＝2，∠C ＝30°，则b ＝____2或4____.【分析】 cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，32＝12＋b 2－443b，b 2－6b ＋8＝0，b ＝2或4.10．已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，长轴为8，短轴为4，则椭圆方程是___x 216＋y 24＝1或y 216＋x24＝1_____． 【分析】 若焦点在x 轴上，则椭圆方程为x 216＋y 24＝1，若焦点在y 轴上则椭圆方程为y 216＋x241.11．平行于直线3x －4y －20＝0，且和它相距3个单位的直线方程是__3x －4y －5＝0或3x －4y －35＝0______．【分析】 设所求直线方程为3x －4y ＋m ＝0，由题意知两直线间的距离d ＝|－20－m |5＝3，则m ＝－5或－35.三、解答题12．已知集合A ＝{1, p, p 2}，集合B ＝{1, 1－q, 1－2q }，且A ＝B ，求p 的值．【解】 因为A ＝B .所以有⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝1－q p 2＝1－2q ①或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1－2q p 2＝1－q ②由①得⎩⎪⎨⎪⎧2p ＝2－2qp 2＝1－2q ⇒p 2－2p ＝－1⇒p ＝1(舍去)．由②得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1－2q 2p 2＝2－2q ⇒2p 2－p ＝1⇒p ＝－12或p ＝1(舍去)．所以p ＝－12.(舍去p ＝1是因为集合中的元素是互异的)13．求与双曲线x 22y 2＝1有两个公共焦点，且过点(3，2)的圆锥曲线的方程．【解】 双曲线x 22y 2＝1的两个焦点为F 1(－3，0)，F 2(3，0)当圆锥曲线为椭圆时，设其方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 2＋4b 2＝1a 2－b 2＝3 得： a 2＝9，b 2＝6，椭圆的方程为x 29＋y 26＝1.当圆锥曲线为双曲线时，设其方程为x 2a 2y 2b2＝1(a ，b ＞0)，由⎩⎪⎨⎪⎧3a 2－4b 2＝1a 2＋b 2＝3得： a 2＝1, b 2＝2，双曲线的方程为x 2－y 22＝1.14.函数y ＝a －b cos3x 的最大值是6，最小值是－2，求函数y ＝cos πxa＋b 的最小正周期与最小值．【解】 当b ≥0时，根据题意⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝6a －b ＝－2， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝4函数y ＝cos πx a ＋b 的最小正周期T ＝2ππ2＝4，最小值是3；当b ＜0时，根据题意⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝6a ＋b ＝－2，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－4，函数y ＝cos πx a ＋b 的最小正周期T ＝2ππ2＝4，最小值是－5.15．如图，已知矩形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，点P 为BC 或DC 上一动点，设AP 与矩形ABCD 所围成的三角形面积是S ，从点A 沿矩形周界且经过B (或再经过点C )到P 的距离是x ，试用解析式将S 表示为x 的函数．图(1) 图(2) 第15题图【解】 如P 在BC 间，AB ＋BP ＝x ，PB ＝x －4，S ＝12AB ·BP ＝12×4(x －4)＝2x －8，此时，x ∈(4,7]；如P 在DC 间，AB ＋BC＋CP ＝x ，CP ＝x －7，DP ＝DC －CP ＝4－(x －7)＝11－x ，S ＝12AD ·DP ＝12×3×(11－x )＝－32x ＋332此时x ∈(7,11)，∴S ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －8 x ∈(4，7]－32x ＋332x ∈(7，11)。
初中几何教学中转化思想的运用
几何是初中数学教学中非常重要的一部分内容，同时也是数学教学的难点内容，作为初中数学教师我们要从几何教学现状入手，结合转化思想，将几何知识的学习进行转化，降低几何学习的难度，提高学生数学知识学习的有效性。
本文从转化思想在几何教学中的应用背景入手，明确了转化思想在几何教学中的应用意义，最终探索出转化思想在几何教学中的应用策略。
转化思想是初中数学教学中最基本的思想之一，是一切数学思想方法的核心。
转化思想包含的内容也是非常丰富的，如数形结合体现了数与形的转化；函数与方程思想体现了函数、方程、不等式之间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，这三种思想都是转化与化归思想的具体呈现。
需要注意的是转化思想要注意形变、量变而质不变，从而保证转化思想的应用效果不受影响。
一、转化思想在初中数学教学中的应用背景分析转化思想本身是数学教学中的重要思想，数与形的转化，动与静的转化，部分与整体的转化等等，将一些新的知识转化为已经学习过的知识，引导学生用旧知识解决新问题，以帮助学生形成知识体系，提高学生的学习有效性。
同时转化思想在初中数学几何教学中的应用，能够让学生将义务教育阶段的几何知识进行系统学习和应用，为高中阶段更为复杂的立体几何知识的学习奠定坚实的基础。
转化思想在初中数学教学中应用要遵循一定的原则，如熟悉化原则、简单化原则、和谐化原则、回归原则、具体化原则、标准形式化原则、低层次原则等等。
在转化思想应用过程中，我们要坚持应用这些应用原则，才能够充分促进转化思想在几何教学中的应用，促进高效数学课堂的构建。
由此可见，转化思想内容非常丰富，转化思想在几何教学中的应用能够启发学生的数学学习思维，同时还能够启迪教师从多角度、多方面、多层次考虑几何的教学问题，提高几何教学的有效性，为构建高效数学课堂奠定了坚实的基础。
二、转化思想在初中数学教学中的应用价值分析——以几何教学为例转化思想在几何教学中应用的意义是非常重要的，首先，将不熟悉和难以解决的问题转化为熟知的、易解决和已经解决的问题；其次，将抽象的问题转化为具体和直观的问题，降低学生对几何的认知难度；第三，将复杂的问题转化为简单的问题，初中几何问题远比小学阶段的几何问题要复杂得多，我们将复杂的几何问题进行转化，用现有的知识解决新的问题，提高学生学习的信心。
第二部分 专题1 分类讨论思想
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(3)因h(x)＝|f(x)|＝|x3－3ax|在[－1,1]上为偶函数，故只需求在[0,1] 上的最大值即可． 当a>0时f′(x)＝3x2－3a＝3(x＋ a)(x－ a)， ①当 a ≥1，即a≥1时h(x)＝|f(x)|＝－f(x)，－f(x)在[0,1]上单调 递增，此时F(a)＝－f(1)＝3a－1. ②当0< a <1，即0<a<1时，h(x)＝|f(x)|在[0， a ]上单调递减， 在[ a，1]上单调递增． 1 1° 当f(1)＝1－3a≤0即 3 ≤a＜1时，h(x)＝|f(x)|＝－f(x)在[0， a ] 上单调递增，在[ a，1]上单调递减，故F(a)＝－f( a )＝2a a.
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[典例3] 设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn>0(n＝1,2,3…)． (1)求q的取值范围； 3 (2)设bn＝an＋2－ 2 an＋1，{bn}的前n项和为Tn，试比较Sn与Tn的 大小． [解]
(1)因为{an}是等比数列，Sn>0，可得
a1＝S1>0，q≠0. 当q＝1时，Sn＝na1>0. a11－qn 1－qn 当q≠1时，Sn＝ >0，即 >0(n＝1,2,3，…)， 1－q 1－q
2 5 解得－ 5 ≤m≤0.
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2 5 2 5 ②当Δ>0即m<－ 5 或m> 5 时， 设方程F(x)＝0的根为x1，x2(x1<x2)， 2 5 m 5 (ⅰ)若m> 5 ，则 2 > 5 ，有 m ≥1， 2 x1<0⇔F0＝1－m2<0. 解得m≥2；
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2 5 m 5 (ⅱ)若m<－ 5 ，即 2 <－ 5 ，有x1<0，x2≤0； x1＋x2<0⇒m<0， x1x2≥0⇒1－m2≥0⇒－1≤m≤1， ∴ 2 5 m<－ 5 ， 2 5 解得－1≤m<－ 5 . 2 5 由(ⅰ)(ⅱ)得－1≤m＜－ 5 或m≥2. 综合①②有－1≤m≤0或m≥2.
主要数学思想方法简介
第一章数学思想和方法第一节主要数学思想方法简介数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果.数学思想方法是一种数学意识，属于思维范畴，只能领会和运用.通过数学思想的培养，数学的能力才会有一个大幅度的提高.掌握数学思想，就是掌握数学的精髓.掌握数学思想方法，可以受用一生.常用的数学思想：分类讨论思想、数形结合思想、方程与函数思想、化归与转化思想等，其他还有建模思想、归纳推理思想、两边夹的思想、换元思想、等效思想、优化思想、连续性思想、运动变化思想等.数学方法，就是解决数学问题的方法，即解决数学具体问题时所采用的方式、途径和手段，也可以说是解决数学问题的策略.常用的一般性数学方法有定义法、配方法、换元法、消元法、参数法、待定系数法、数学归纳法等，常用的逻辑方法有分析法、综合法、反证法、同一法、归纳法、演绎法等，常用的数学思维方法有观察与实验、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳与演绎等.数学思想方法与数学基础知识相比较，它是深层次的.它来源于数学基础知识及常用的数学方法,在运用数学基础知识及方法处理数学问题时，具有指导性的地位.数学思想是宏观的，它更具有普遍的指导意义.而数学方法是微观的，它是解决数学问题的直接具体的手段.一般来说，前者给出了解决问题的方向，后者给出了解决问题的策略.但由于中学数学内容比较简单，知识最为基础，所以隐藏的思想和方法很难截然分开，更多的反映在联系方面，其本质往往是一致的.如常用的分类思想和分类方法，集合思想和交集方法，在本质上都是相通的，所以中学数学通常把数学思想和方法看成一个整体概念，即中学数学思想方法.下面介绍四种主要的数学思想方法.一、函数与方程思想方法用运动和变化的观点分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，然后运用函数的图像和性质去分析问题和解决问题的思想即函数思想.从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为方程（组）或不等式（组）等数学模型，然后通过解方程（组）或不等式（组）来解决问题的思想即方程思想.函数与方程是互相转化的,方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图像与x 轴的交点的横坐标，即函数y＝f(x)的零点，函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)-y＝0.所以方程的问题可以用函数的方法解决，反之函数问题也可以用方程的方法来解决.挖掘题目中的隐含条件，找出需要解答的问题与函数方程的关系，是应用函数与方程思想的关键.比如函数与不等式的关系：()()f x g x >的几何意义就是函数()y f x =的图象在函517数()y g x =的图象的上方，故可用函数思想解决有关不等式问题.又如函数与数列的关系：数列是特殊的函数，即数列的通项或前n 项和是自变量为正整数的函数，故用函数思想可以处理数列问题.再如函数与二项式定理的关系：函数*()()()n f x ax b n N =+∈与二项式定理具有相同的形式，故利用函数思想及赋值法和比较系数法可以解决很多二项式问题.再如函数方程与几何的关系：解析几何中的线和线的位置关系就是方程组问题，参数的取值范围、线段长度的最值、图形面积的最值等就是函数的值域问题.立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算也经常用列方程或建立函数的方法来解决.下面举几个简单的例子.1.一般问题典型例题：已知,,a b c R ∈且515b c a -=，则____.A.24b ac > B.ac b 42≥ C.ac b 42< D.ac b 42≤解：观察选择支，显然与判别式相关，故构造方程.由题意得550a b c ⋅-⋅+=，看成5是实系数一元二次方程20ax bx c -+=的一个实根，所以240b ac ∆=-≥，即ac b 42≥，故选 B.2.计算问题典型例题：求12122+++⋅⋅⋅的极限值.解：这是求无限式的值，一般是用极限方法解决此题，这里我们用方程来解决.设原式x =，列出方程12x x +=，解得262x +=（262x -=舍去），所以原式262+=.3.函数与方程的转化典型例题：已知,a b R ∈，且32351a a a -+=，32355b b b -+=，求a b +的值.解：这是解方程问题，直接解方程难度较大，故转化为函数问题.条件变形得3(1)2(1)2a a -+-=-，3(1)2(1)2b b -+-=，构造函数3()2f x x x =+，则()f x 是奇函数、单调递增函数，所以(1)(1)(1)f a f b f b -=--=-，于是11a b -=-即2a b +=.5184.解决三角函数问题典型例题：已知,,A B C R +∈且2A B C++=，求证1sin sin sin 8A B C ≤.解：这里有三个变量，故可以以其中一个变量为主元构造方程.设sin sin sin t A B C =1sin [cos()cos()]2A B C B C =--+1sin [cos()sin ]2A B C A =--，整理得到一个关于sin A 的一元二次方程2sin cos()sin 20A B C A t --+=，因为方程有解，故其判别式2cos ()80B C t ∆=--≥，则211cos ()88t B C ≤-≤，即1sin sin sin 8A B C ≤.5.解决不等式问题典型例题：对于任意1[,3]2m ∈不等式2424x mx m x ++>+恒成立，求x 的取值范围.解：转化为2(2)(2)0m x x -+->恒成立.（1）当2x =时，不等式不成立；（2）当2x ≠时，看成m 的一次函数2()(2)(2)f m x m x =-+-，则1()02(3)0f f ⎧>⎪⎨⎪>⎩，解之得(,1)(2,)x ∈-∞-+∞ .6.解决数列问题典型例题：设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知123=a ，120S >，130S <，问1S 、2S 、3S 、…、12S 中哪一个最大，并说明理由.解：由题意1122a d =-，则215(12)22n S dn d n =+-，这是关于n 的二次函数；而函数215()(12)22f x dx d x =+-的对称轴方程为5122x d =-；再由题意得1213144420156520S d S d =+>⎧⎨=+<⎩，得2437d -<<-，故51213622d <-<，所以6n =时n S 最大.7.列方程解应用题常见的列方程解应用题，就是方程思想的体现.典型例题：有一种玻璃瓶装饮料，每瓶1元.为了环保，玻璃瓶回收.某人用6元钱买这种饮料，回收3个玻璃瓶可以换1瓶饮料，问此人最多可以喝到多少瓶饮料？解：设此人最终喝了x 瓶饮料，则可列出方程63x x =+，解得9x =.即此人最终喝了9519瓶饮料.二、化归与转化思想方法解题时，把未知的、不熟悉的、复杂的、抽象的、一般的、非基本的问题通过不同方式，转化为已知的、熟悉的、简单的、具体的、特殊的、基本的容易解决的问题，这种方法称为转化法，又称为化归法.转化有等价转化与非等价转化.等价转化的转化过程是充分且必要的，转化后的结果仍为原问题的结果.非等价转化其过程是充分或必要的，之后要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根）.消元法、换元法、数形结合法等具体方法，其实都体现了转化思想.1.数学语言和自然语言的转化典型例题：设(){}22,|4A x y x y =+=，()()(){}222,|34B x y x y r =-+-=，其中0r >,若A B =∅ ,求r 的取值范围.解：由题意，转化为“集合A 表示以原点为圆心以2的半径的圆，集合B 表示以（3，4）为圆心以r 为半径的圆，当两圆无交点时，求半径r 的取值范围”.由图象易得r 的取值范围为03r <<或7r >.2.数与形的转化典型例题：若函数2()4f x x x a =+-+有且仅有一个零点，求a 的取值范围.解：转化为直线y x a =--与半圆24y x =-有且仅有一个交点，如图可知a 的取值范围为22a -<≤或22a =-.3.生疏问题转化为熟悉问题典型例题：求和222222222141614121416141n n S n ++++=+++⋅⋅⋅+----.解：拆分分式转化为熟悉的裂项抵消，22221111133557(21)(21)n S n n =++++++⋅⋅⋅++⨯⨯⨯-⨯+52011111113352121n n n =+-+-+⋅⋅⋅+--+221n n n =++．4.困难问题转化为容易问题典型例题：判断命题“若5x y ->，则3x >或2y <-”的真假.解：设y a -=，转化为判断“若5x a +>，则3x >或2a >”，再转化为判断其逆否命题“若3x ≤且2a ≤，则5x a +≤”，此命题显然正确，故原命题正确.5.繁杂问题转化为简单问题典型例题：已知1111a b c a b c++=++=，求证a 、b 、c 中至少有一个等于1.证明：a 、b 、c 中至少有一个为1，转化为1a -、1b -、1c -中至少有一个为零，只需证(1)(1)(1)0a b c ---=即可.由1111a b c ++=得bc ac ab abc ++=，所以(1)(1)(1)a b c ---()()10abc ab ac bc a b c =-+++++-=，故结论成立.6.正与反的转化当顺向思维较难或无从下手时就反向思考，即反证法、逆向思维的思想.典型例题：已知()f x 、()g x 是定义在R 上的函数，证明存在,[0,1]x y ∈使1()()4xy f x g y --≥.证明：假设对任意,[0,1]x y ∈，有1()()4xy f x g y --<.令0x y ==，则1(0)(0)4f g +<；令0,1x y ==，则1(0)(1)4f g +<；令1,0x y ==，则1(1)(0)4f g +<；则当1x y ==时1(1)(1)f g --1[(1)(0)][(0)(0)][(0)(1)]f g g f f g =-+++-+1(1)(0)(0)(0)f g g f ≥-+-+1(0)(1)4f g -+>，这与假设矛盾，故原命题得证.7.常量与变量的转化典型例题：对于任意01m ≤≤，不等式2(1)20x m x m --+->恒成立，求x 的取值范围.解：我们习惯于x 为变量m 为常量，所以题目转化为“对于任意01x ≤≤，不等式2(1)20m x m x --+->恒成立，求m 的取值范围”，即2()(1)20f x m x m m =-++->对521于任意01x ≤≤恒成立，则22(0)20(1)10f m m f m ⎧=+->⎪⎨=->⎪⎩，解之得(,2)(1,)m ∈-∞-+∞ ，即x 的取值范围为(,2)(1,)x ∈-∞-+∞ .8.抽象问题转化为具体问题典型例题：设函数2()f x ax bx c =-+，若不等式()0f x >的解集为(1,3)，解关于t 的不等式2(8)(2)f t f t +<+.抽象不等式可以根据函数单调性转化为具体不等式.解：不等式()0f x >的解集为(1,3)，则0a <且函数对称轴为2x =，故函数在区间[2,)+∞上递减，而88t +≥，222t +≥，由函数的单调性，不等式转化为282t t +>+即260t t --<，解之得(3,3)t ∈-.三、数形结合思想方法把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来解决数学问题的方法即数形结合方法.运用数形结合，能避免复杂的计算与推理，能简化解题过程.它在解选择题、填空题中更显其优越性.下面举少数简单的例子说明，与其他知识点结合还有许多，更多参见本书后面各章节的图象法.1.解决集合问题典型例题：已知集合3cos (,),03sin x M x y y θθπθ⎧⎫=⎧⎪⎪=<<⎨⎨⎬=⎩⎪⎪⎩⎭，{(,)|}N x y y x b ==+，且M N ≠∅ ，求b 的取值范围.解：集合M 表示以原点为圆心3为半径的上半圆（不含端点），题意为直线y x b =+与半圆有交点，求b 的取值范围.画出草图，如图易知b 的取值范围为332b -<≤.2.解决函数问题典型例题：设2()22f x x ax =-+，当[1,)x ∈-+∞时()f x a >恒成立，求a 的取值范围.522解：转化为“函数2()22g x x ax a =-+-，[1,)x ∈-+∞的图像在x 轴上方”.函数的对称轴x a =，当1a ≥-时由图象得244(2)0a a ∆=--<，故11a -≤<；当1a <-时由图象得(1)0g ->，故31a -<<-；综上可知a 的取值范围为31a -<<.3.解决方程与不等式的问题典型例题：已知关于x 的方程2230x kx k ++=的两根都在1-和3之间（含1-和3），求k 的取值范围.解：由题意画出草图，如图，则2134120(1)0(3)0k k k f f -≤-≤⎧⎪∆=-≥⎪⎨-≥⎪⎪≥⎩，解之得k ∈[-1,0],即k 的取值范围.4.解决三角问题典型例题：求函数sin 2cos 2x y x +=-的值域.解：因为函数sin 2cos 2x y x +=-表示过两点(2,2)P -、(cos sin )A x x ,的直线的斜率，而点A 是圆221x y +=上的点，如图，求函数的值域即求过点P 与圆有交点的直线的斜率的取值范围12[,]y k k ∈，设过点P 的切线为2(2)y k x +=-，则有2|22|11k k +=+，解之得1,2473k -=±，所以函数的值域为4747[]33y ---+∈，.5.解决几何问题523典型例题：求函数246u t t =++-的最值.解：设24x t =+，6y t =-，u x y =+，则22216(04022)x y x y +=≤≤≤≤，，转化为直线y x u =-+与椭圆22216x y +=第一象限的部分（包括端点）有公共点，如图，min 22u =，当直线与部分椭圆相切于第一象限时，u 取最大值，由22216y x u x y =-+⎧⎨+=⎩得22342160x ux u -+-=，根据∆=0得26u =±，取26u =，即max 26u =.四、分类讨论思想方法在数学中有些问题的结论有多种情况，有些问题的结论不能以统一的形式进行表示，有些问题的条件中含有字母且字母的取值不同结果也不同，等等，解决这些问题时就需要根据题目的特点和要求分类，转化成若干个小问题；这种按不同情况分类，然后再逐一解决的思想方法，就是分类讨论思想方法.解题时，要抓住引起分类讨论的原因，把握分类标准，进行合理分类.分类的对象是确定的，标准是统一的，原则是不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论.中学数学中引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：由数学概念引起的分类讨论：如绝对值定义、指数函数与对数函数的底数的意义、等比数列的前n 项和公式等等；由数学运算要求引起的分类讨论：如开偶次方、对数中的底数和真数的要求、不等式两边同乘一实数对不等号方向的影响、函数单调性对不等式中不等号方向的影响等等；由某些概念、定理、法则、公式的限制条件引起的分类讨论；由几何图形中点、线、面、体的相对形状、位置不确定引起的分类讨论；由参数的变化引起的分类讨论：某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法；其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如排列、组合问题，实际应用题等.典型例题1.设{}2|870A x x x =-+=，{}|140B x ax =-=，若A B B = ，求实数a 的值.524解：由题意得{}1,7A =，由A B B = 知B A ⊆，故分B =∅与B ≠∅讨论.（1）当B =∅时，即方程140ax -=无解，则0a =；（2）当B ≠∅时，即方程140ax -=的解为1或7，则14a =或2；综上，a 的值为0、2、14.典型例题2.解关于x 的不等式(1)12a x x ->-.解：原不等式化为(1)(2)02a x a x -+->-，即2(1)()(2)01a a x x a---->-.（1）当1a >时，原不等式化为2()(2)01a x x a --->-，因为211211a a a -=-<--，故其解为2(,)(2,)1a x a -∈-∞+∞- ；（2）当1a =时，原不等式化为102x >-，其解为(2,)x ∈+∞；（3）当01a <<时，原不等式化为2()(2)01a x x a ---<-，因为211211a a a -=->--，故其解为2(2,)1a x a -∈-；（4）当0a =时，原不等式无解；（5）当0a <时，原不等式化为2()(2)01a x x a ---<-，因为211211a a a -=-<--，故其解为2(,2)1a x a -∈-；综上所述：当1a >时，解为2(,)(2,)1a x a -∈-∞+∞- ；当1a =时，解为(2,)x ∈+∞；当01a <<时，解为2(2,)1a x a -∈-；当0a =时，无解；当0a <时，解为2(,2)1a x a -∈-.典型例题3.已知函数2()log ()a f x ax x =-在[2,4]上是增函数，求实数a 的取值范围.解：（1）当1a >时，则2()u x ax x =-在[2,4]上是增函数且恒大于零，根据图象得122(2)420a u a ⎧≤⎪⎨⎪=->⎩，解得12a >，所以1a >；（2）当01a <<时，则2()u x ax x =-在[2,4]上是减函数且恒大于零，根据图象得525()14241640a u a ⎧≥⎪⎨⎪=->⎩，不等式组无解；综上所述，实数a 的取值范围为1a >.典型例题4.数列}{n a 中，11=a ，22=a ，数列}{1+⋅n n a a 是公比为q （0>q ）的等比数列，求数列}{n a 的前n 2项的和n S 2．解：由题意得121n n n n a a q a a +++=，即2n na q a +=，故数列}{n a 的所有奇数项、所有偶数项分别成等比数列，且公比都是q .(1)当1≠q 时，n S 2135212462()()n n a a a a a a a a -=+++++++++ 12(1)(1)11n n a q a q q q --=+--3(1)1n q q-=-；（2）当1=q 时，n S 2135212462()()3n n a a a a a a a a n -=+++++++++= .典型例题5.设常数0a >，变量R λ∈，经过原点O 以(,)e a λ= 为方向向量的直线与经过定点(0,)A a 以(1,2)f a λ=- 为方向向量的直线相交于点P ，问是否存在两个定点E 、F ，使得PE PF +为定值.解：由题意直线OP 、AP 的方程分别为y ax λ=、2y a ax λ-=-，当0λ≠时消去λ，得点(,)P x y 的方程为22()2y y a a x -=-，即222()211()82a y x a -+=；当0λ=时得点(0,)P a ，也在此方程上.（1）当22=a 时，方程表示圆，故不存在满足题意的定点E 、F ；（2）当202a <<或22a >时，方程表示椭圆，故存在两个定点E 、F 使得PE PF +为定值，这时E 、F 为椭圆的焦点.典型例题6.如果异面直线a 、b 所成的角为θ，P 为空间一定点，且过点P 的直线l 与a 、b 所成的角相等，设求满足条件的直线l 的条数.526解：平行平移三条直线交于一点P ，如图，设过点P 的直线l 与a 、b 所成的角均为ϕ；由题意知,(0,]2πθϕ∈，直线l 绕点P 运动变化，则（1）当02θϕ<<时，这样的直线不存在；（2）当2θϕ=时，这样的直线只有一条；（3）当22θπθϕ-<<时，这样的直线有两条；（4）当2πθϕ-=时这样的直线有3条；（5）当22πθπϕ-<<时，这样的直线有四条；（6）当2πϕ=时，这样的直线只有一条.第二节常见的数学方法简介前面介绍了宏观的数学思想方法，在具体的解题中，要用到许多微观的方法技巧.这些方法技巧有几百种之多，这里介绍几种常用的方法.一、定义法定义法，就是直接用数学定义解题.数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来.用定义法解题，是最直接的方法.典型例题1.已知{}0,1A =，}{B x x A =⊆，则下列关系正确的是.A.A ⊆BB.A ⊇BC.A∈BD.A ∉B 解：由题意{}{}{}{},0,1,0,1B =∅，由定义{}0,1A =是B 的一个元素，故选C .典型例题2.函数()y f x =存在反函数，则方程()3f x =的的零点有个.A.只有1个 B.至少1个 C.至多1个D.可以有无数个解：由题意，函数()y f x =是一一映射，根据一一映射的定义，选C .典型例题3.奇函数()f x 的最小正周期为T，求()2T f -的值.解：由奇函数的定义得()()22T T f f -=-，由周期函数的定义得()()()222T T T f f T f =-=-，所以()()22T T f f -=--，即()02T f -=.527。
分类讨论思想
已知函数
f (x )= x
+ 4 x − 5, x ∈ [t , t + 2] ,此函数
备考者要细细体会这“ 例一变” 备考者要细细体会这“一 例一变”的相似与相异之 处.当被解决的问题出现两种或两种以上情况时，为 当被解决的问题出现两种或两种以上情况时， 叙述方便，使问题表述有层次、有条理， 叙述方便，使问题表述有层次、有条理，需作讨论 分别叙述. 分别叙述.
分类讨论思想
1.分类讨论思想又称“逻辑化分思想” 1.分类讨论思想又称“逻辑化分思想”，它是把所 分类讨论思想又称 要研究的数学对象划分为若干不同的情形， 要研究的数学对象划分为若干不同的情形，然后 再分别进行研究和求解的一种数学思想. 再分别进行研究和求解的一种数学思想.分类讨论 思想在高考中占有十分重要的地位， 思想在高考中占有十分重要的地位，相关的习题 具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点，难 具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点， 度有易，有中，也有难. 度有易，有中，也有难.题型可涉及任何一种题 型，知识领域方面，可以“无孔不入”地渗透到 知识领域方面，可以“无孔不入” 每个数学知识领域. 每个数学知识领域.
探究拓展
某些学生一见到有“二次”出现， 某些学生一见到有“二次”出现，往
往认识为“二次函数” 往认识为“二次函数”或“二次方程”，这是由 二次方程” 定式思维引起的，备考者务必树立强烈的“ 定式思维引起的，备考者务必树立强烈的“确认 身份”意识，否则，分析问题有失偏颇. 身份”意识，否则，分析问题有失偏颇.如本例 中，未表明不等式的次数，且高次项系数含可变 未表明不等式的次数， 参数，我们称之为“准二次不等式” 参数，我们称之为“准二次不等式”，解题时要 分情况讨论,确认不等式“二次项”系数是否为零. 分情况讨论,确认不等式“二次项”系数是否为零. 变式训练1 已知m 求函数f )=(4变式训练1 已知m∈R，求函数f(x)=(4-3m)x22x+m在区间［0，1］上的最大值. 在区间［ 上的最大值. 分析 求 最大值的方法不同，所以对m 最大值的方法不同，所以对m可先分成两种情况去 讨论. 讨论. 当4-3m=0时f(x)是一次函数，4-3m≠0时 =0时 是一次函数， ≠0时 f(x)是二次函数，由于二次函数开口向上和向下 是二次函数，
五年级上册数学运用转化思想的地方
五年级上册数学运用转化思想的地方数学的核心在于数学思维，不在于计算过程，计算是一种不需要创造性的体力活。
如果你发现自己的学习过程中大多数精力都花在了计算器都可以解决的问题上，那明显就是用错力了。
转化思想是数学学习过程中常用的思想方法，是数学问题解决的基本思路和途径之一，传颂千古的司马光砸缸、曹冲称象等故事，都成功地运用了转化的策略。
1转化思想方法转化与化归是中学数学最基本的数学思想之一，是一切数学思想方法的核心。
转化是客观存在，转化思想是主观对客观的反映。
转化思想在数学上比比皆是，数学解题的过程，其实就是一个通过转化获得问题解决的过程。
数形结合的思想体现了数与形的转化；函数与方程的思想体现了函数、方程、不等式之间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，所以以上三种思想也是转化与化归思想的具体呈现。
运用转化思想要注意的是形变、量变而质不变，以保证转化只是恒等变形或等价变形、一旦转化造成制约条件变化，从而引起取值范围变化时，就要及时进行检验.2解决哪些问题除了一些基本题，直接运用有关定义、定理、法则求解外，通常都要对条件和结论进行转化，把隐性转化为显性，把分散转化为集中，把多元转化为一元，把高次转化为低次，把未知转化为已知或通过一般与特殊转化；数与形相互转化，动与静相互转化，部分与整体相互转化，从陌生到熟悉，把所要解决的问题转化为已经解决的问题，求得问题的解决。
在研究数学问题时，转化的原则是：将不熟悉和难解的问题转为熟知的、易解的和已经解决的问题；将抽象的问题转为具体的和直观的问题；将复杂的转为简单的问题；将一般的转为特殊的问题；将实际的问题转为数学的问题等等使问题易于解决。
转化的内涵非常丰富，等价转化和非等价转化、已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。
转化的思想启迪我们在解决数学问题上，要用多角度，多方位的目光来看问题。
3具体应用方法常见的转化方法：①直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题；②换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题；③数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换获得转化途径；④等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的；⑤特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题，使结论适合原问题；⑥构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题；⑦坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题也是转化方法的一个重要途径。
专题一第二讲分类讨论思想化归与转化思想
第二讲 分类讨论思想、化归与转化思想1．在正实数集上定义一种运算*：当a≥b时，a*b＝b3；当a<b时，a*b＝b2，则满足3]( )A．3 B．1或9C．1或 D．3或32．(2013·高考福建卷)满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为( )A．14 B．13C．12 D．103．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为( )A. B．4C. D．4或4．过抛物线y＝ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若PF与QF的长分别是p、q，则＋等于( )A．2a B.C．4a D.5．设函数f(x)＝x3＋sin x，若0≤θ≤时，f(m cos θ)＋f(1－m)>0恒成立，则实数m的取值范围是( )A．(0,1) B．(－∞，0)C．(－∞，1) D．(－∞，)6．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a 的值为________．7．(2013·高考北京卷)函数f(x)＝的值域为________．8．已知函数f(x)＝x3＋2x2－ax＋1.若函数g(x)＝f′(x)在区间(－1,1)上存在零点，则实数a的取值范围是________．9．在等比数列{a n}中，已知a3＝，S3＝，求a1与q.10．已知函数f(x)＝x3＋mx2－3m2x＋1，m∈R.(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)若f(x)在区间(－2,3)上是减函数，求m的取值范围．11．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x －1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P、圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A、B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.第二讲 分类讨论思想、化归与转化思想1．【解析】选D.由题意得或，解得x＝3或3.2．【解析】选B.若a＝0，则b＝－1,0,1,2，此时(a，b)的取值有4个；若a≠0，则方程ax2＋2x＋b＝0有实根，需Δ＝4－4ab≥0，∴ab≤1，此时(a，b)的取值为(－1,0)，(－1,1)，(－1，－1)，(－1,2)，(1,1)，(1,0)，(1，－1)，(2，－1)，(2,0)，共9个．∴(a，b)的个数为4＋9＝13.3．【解析】选D.分侧面矩形长、宽分别为6和4或4和6两种情况．4．【解析】选C.因为直线PQ是任意的，所以，可以取最特殊的情况：直线PQ垂直y轴时．此时|PF|＝|QF|＝，∴＋＝4a，故选C.5．【解析】选C.易知f(x)为奇函数、增函数，f(m cos θ)＋f(1－m)>0，即f(m cos θ)>f(m－1)，∴m cos θ>m－1，而0≤θ≤时，cos θ∈[0,1]，∴，得m<1.6．【解析】∵A∩B＝{3}，故a＋2＝3或a2＋4＝3.若a＋2＝3，则a＝1，检验知，满足题意．若a2＋4＝3，则a2＝－1，不合题意，故a＝1.【答案】17．【解析】当x≥1时，log x≤log1＝0，∴当x≥1时，f(x)≤0.当x<1时，0<2x<21，即0<f(x)<2.因此函数f(x)的值域为(－∞，2)．【答案】(－∞，2)8．【解析】g(x)＝f′(x)＝3x2＋4x－a，g(x)＝f′(x)在区间(－1,1)上存在零点，等价于3x2＋4x＝a在区间(－1,1)上有解，等价于a的取值范围是函数y＝3x2＋4x在区间(－1,1)上的值域，不难求出这个函数的值域是[－，7)．故所求的a的取值范围是[－，7)．【答案】[－，7)9．【解】当q＝1时，a1＝a2＝a3＝，S3＝3a1＝，显然成立；当q≠1时，由题意，得∴由①②，得＝3，即2q2－q－1＝0，∴q＝－或q＝1(舍去)．当q＝－时，a1＝＝6.综上可知，当q＝1时，a1＝；当q＝－时，a1＝6.10．【解】(1)当m＝1时，f(x)＝x3＋x2－3x＋1，又f′(x)＝x2＋2x－3，所以f′(2)＝5.又f(2)＝，所以所求切线方程为y－＝5(x－2)，即15x－3y－25＝0.所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为15x－3y－25＝0.(2)因为f′(x)＝x2＋2mx－3m2，令f′(x)＝0，得x＝－3m或x＝m.当m＝0时，f′(x)＝x2≥0恒成立，不符合题意．当m>0时，f(x)的单调递减区间是(－3m，m)，若f(x)在区间(－2,3)上是减函数，则，解得m≥3.当m<0时，f(x)的单调递减区间是(m，－3m)，若f(x)在区间(－2,3)上是减函数，则，解得m≤－2.综上所述，实数m的取值范围是(－∞，－2]∪[3，＋∞)．11．【解】由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左，右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2)．(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R＝2，所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4.若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝2.若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则＝，可求得Q(－4,0)，所以可设l：y＝k(x＋4)．由l与圆M相切得＝1，解得k＝±.当k＝时，将y＝x＋代入＋＝1，并整理得7x2＋8x－8＝0，解得x1,2＝，所以|AB|＝|x2－x1|＝.当k＝－时，由图形的对称性可知|AB|＝.综上，|AB|＝2或|AB|＝.。
数学选修课教案分类讨论思想
数学选修课教案分类讨论思想第一章：引言1.1 课程背景本课程旨在帮助学生掌握数学中的分类讨论思想，培养学生解决数学问题的能力。
通过学习本课程，学生将能够理解和运用分类讨论思想解决实际问题。
1.2 教学目标了解分类讨论思想的基本概念及其在数学中的应用。
学会运用分类讨论思想解决数学问题。
培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
第二章：分类讨论思想概述2.1 分类讨论思想定义分类讨论思想是将研究对象按照一定的标准进行分类，对每一类分别进行讨论，综合各类结果得到问题的解答。
2.2 分类讨论思想的应用分类讨论思想在数学中有着广泛的应用，例如在解方程、不等式、几何问题等方面。
通过分类讨论，可以将复杂问题转化为简单问题，有助于提高解题效率。
第三章：分类讨论思想在解方程中的应用3.1 一元二次方程的解法了解一元二次方程的定义及其解法。
掌握运用分类讨论思想解一元二次方程的方法。
3.2 分式方程的解法了解分式方程的定义及其解法。
学会运用分类讨论思想解分式方程的方法。
第四章：分类讨论思想在不等式中的应用4.1 绝对值不等式的解法了解绝对值不等式的定义及其解法。
掌握运用分类讨论思想解绝对值不等式的方法。
4.2 多项式不等式的解法了解多项式不等式的定义及其解法。
学会运用分类讨论思想解多项式不等式的方法。
第五章：分类讨论思想在几何中的应用5.1 几何图形的性质了解几何图形的性质及其分类。
学会运用分类讨论思想研究几何图形的性质。
5.2 几何问题的解决方法了解几何问题的解决方法及其分类。
掌握运用分类讨论思想解决几何问题的方法。
教学评价：通过本章学习，学生应能够了解和运用分类讨论思想解决数学问题，提高解决问题的能力。
教师可根据学生的课堂表现、作业完成情况和问题解答情况进行评价。
第六章：分类讨论思想在代数中的应用6.1 多项式的因式分解理解多项式的概念及其因式分解的方法。
学会运用分类讨论思想对多项式进行因式分解。
6.2 系统的线性方程组理解线性方程组的概念及其解法。
分类讨论思想解题模板
分类讨论的数学思想【考点综述】分类讨论是高中数学的一种重要思想方法，分类讨论的过程是一个逻辑推理的过程：化整为零，各个击破，再积零为整这也是从一般到特殊、再从特殊到般的过程，能培养学生思维的条理性和严密性.逻辑推理是高中数学的六大核心素养之一，指的是从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养.它主要包括两类：从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎.分类讨论是指在解决一个问题时，若无法用同一种方法解决，则可以根据不同情况把问题分类，转化成若干个小问题，再将这些小问题逐一解决，从而使原问题获得解决.【解题方法思维导图预览】【解题方法】解题方法模板：所给的问题比较复杂，需要按照一定的标准进行分类讨论使用情景：较复杂的数学问题解题模板：第一步确定需要讨论的对象和它的取值范围；第二步逐类进行讨论，得出各类结果第三步归纳各类结论，得出结论.实际应用问题模板一：分段函数中的分类讨论思想使用情景：分段函数分类讨论 解题模板：例1已知函数()ln ,012,02xx x f x x >⎧⎪=⎨⎛⎫-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩若(())0f f a ≤，则实数a 的取值范围为___.[]21log 3,0,e e ⎡⎤-⋃⎢⎥⎣⎦解题模板选择：本题中所给的是一个由分段函数解不等式的问题，故选取实际应用问题模板一分段函数中的分类讨论思想进行解答. 解题模板应用：第一步确定需要讨论的对象和它的取值范围；题目中的函数为分段函数，需要对自变量按照函数的解析式分类讨论： 第二步逐类进行讨论，得出各类结果令()0f x ≤，即ln 00x x ≤⎧⎨>⎩或12020xx ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪≤⎩，解得01x <≤或10x -≤≤，(())0f f a ≤，∴()01f a <≤或()10f a -≤≤，∴0ln 10a a <≤⎧⎨>⎩或102120a a ⎧⎛⎫<-≤⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪≤⎩或1ln 00a a -≤≤⎧⎨>⎩或112020a a ⎧⎛⎫-≤-≤⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪≤⎩， 解得2log 30a -≤≤或1a e e ≤≤，第三步归纳各类结论，得出结论.故不等式的解集为：[]21log 3,0,e e ⎡⎤-⋃⎢⎥⎣⎦. 【典型例题】1. 设函数f (x )=()212log ,0log ,0x x x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()()1,00,1-B. ()(),11,-∞-+∞C. ()()1,01,-⋃+∞D. ()(),10,1-∞-⋃【答案】C 【解析】【分析】由于a 的范围不确定，故应分0a >和0a <两种情况求解.【详解】当0a >时，0a -<，由()()f a f a >-得212log log a a >，所以22log 0a >，可得：1a >，当0a <时，0a ->，由()()f a f a >-得()()122log log a a ->-，所以()22log 0a -<，即01a <-<，即10a -<<， 综上可知：10a -<<或1a >.故选：C2. 已知函数221,0()log ,0x x f x x x ⎧+-≤=⎨>⎩，若()1f a ≤，则实数a 的取值范围是（ ）A. (4][2,)-∞-+∞B. [1,2]-C. [4,0)(0,2]-D. [4,2]- 【答案】D 【解析】【分析】分0a ≤，0a >两种情况进行讨论，结合绝对值不等式的求解以及对数函数的性质即可求出实数a 的取值范围.【详解】当0a ≤时，()211f a a =+-≤，解得40a -≤≤；当0a >时，()22log 1log 2f a a =≤=，解得02a <≤；综上所述，[]4,2a ∈-.故选:D.【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解，考查了对数不等式的求解，考查了分类的思想.3. 已知a R ∈，设函数222,1,()ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x 在R 上恒成立，则a 的取值范围为A. []0,1B. []0,2C. []0,eD. []1,e【答案】C 【解析】【分析】先判断0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立；若ln 0x a x -≥在(1,)+∞上恒成立，转化为ln xa x≤在(1,)+∞上恒成立． 【详解】∵(0)0f ≥，即0a ≥，（1）当01a ≤≤时，2222()22()22(2)0f x x ax a x a a a a a a a =-+=-+-≥-=->， 当1a >时，(1)10f =>，故当0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立； 若ln 0x a x -≥在(1,)+∞上恒成立，即ln x a x ≤在(1,)+∞上恒成立，令()ln x g x x=，则2ln 1'()(ln )x g x x -=，当,x e >函数单增，当0,x e <<函数单减， 故()()min g x g e e ==，所以a e ≤．当0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立； 综上可知，a 的取值范围是[0,]e ，故选C ．【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析．4. 已知函数,1()(32)2,1ax f x xa x x ⎧-≤-⎪=⎨⎪-+>-⎩在(),-∞+∞上为增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A. 30,2⎛⎤⎥⎝⎦B. 30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】若函数()()13221ax f x x a x x ⎧-≤-⎪=⎨⎪-+>-⎩，，是R 上的增函数，则0320232a a a a ⎧⎪-⎨⎪≤-+⎩＞＞，解得答案.【详解】∵函数()()13221ax f x x a x x ⎧-≤-⎪=⎨⎪-+>-⎩，，是R 上的增函数，，∴0320232a a a a ⎧⎪-⎨⎪≤-+⎩＞＞，解得a ∈312⎡⎫⎪⎢⎣⎭，，故选：C【点睛】本题考查的知识点是分段函数单调性的性质，首先保证每一段单增，再保证分段点处增，属于中档题.5. 设函数222(2)()log (2)x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩，若()7f m =，则实数m 的值为（ ）A. 0B. 1C. 3-D. 3【答案】D【解析】【分析】对m 讨论，分别求出两段中m 的值，注意取舍.【详解】当2m ≥时，2()27f m m =-=，解得：3m =或3m =-（舍去），当2m <时，2()log 7f m m ==，解得：722m =>舍去，综上可得，实数m 的值为：3，故选：D 【点睛】本题主要考查了分段函数，解题的关键是确定自变量的取值范围.实际应用问题模板二：含参型分类讨论使用情景：解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论.例2-A 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （0，3），B （2，3），及圆C ：（x -a ）2+（y +1）2=15+22a ，若线段AB （包括端点A ，B ）在圆C 的外部，则实数a 的取值范围是 .答案：(()46,-∞++∞解题模板选择：本题中考查圆的方程的应用，需要对具体的参数进行分类讨论，故选取实际应用问题模板二含参型分类讨论进行解答. 解题模板应用：第一步确定需要讨论的对象和它的取值范围； 本题中a 为参数，需要a 的值进行分类讨论， 第二步逐类进行讨论，得出各类结果 （1）若a =0，符合题意.（2若a <0，圆心C （a ，-1）在第三象限，此时只需要点A 在圆C 外即可（恒符合题意）. （3）若0<a <2，圆心C （a ，-1）在第四象限，而且在线段AB 的正下方，此时只需圆C 的半径r <4，解得0a <<（4）若a ≥2，圆心C （a ，-1）在第四象限，此时只需点B 在圆C 外即可符合题意，解得4a >+第三步归纳各类结论，得出结论.综上，实数a 的取值范围是(()46,-∞++∞.【名师点睛】分类讨论是解决含参问题的常用方法，如能运用数形结合思想、函数思想，便可简化分类讨论，达到迅速、准确的解题效果. 例2-B 解不等式（x -1）（x -k ）<0. 答案见解析解题模板选择：本题中考查不等式的解法，需要对具体的参数进行分类讨论，故选取实际应用问题模板二含参型分类讨论进行解答. 解题模板应用：第一步确定需要讨论的对象和它的取值范围； 不等式中k 为参数，需要对k 进行分类讨论. 第二步逐类进行讨论，得出各类结果 当k >1时，则不等式的解为1<x <k ；当k =1时，原不等式变为（x -1）2<0，不等式无解； 当k <1时，则不等式的解为k <x <1. 第三步归纳各类结论，得出结论.综上可得：当k >1时，则不等式的解为1<x <k ；当k =1时，原不等式无解；当k <1时，则不等式的解为k <x <1.【名师点睛】这种分类是根据不等式求解运算的适用范围分类的. 【典型例题】6. 已知函数2()(2)4()f x x a x a R =-++∈ （1）解关于x 的不等式()42f x a ≤-；（2）若对任意的[1,4]x ∈，()10f x a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）答案不唯一，具体见解析.（Ⅱ）4a ≤ 【解析】【分析】（Ⅰ）将原不等式化为()20x a x （）--≤，分类讨论可得不等式的解. （Ⅱ）若1x =则a R ∈；若(]1,4x ∈，则参变分离后可得411a x x ≤-+-在(]1,4恒成立，利用基本不等式可求411x x -+-的最小值，从而可得a 的取值范围. 【详解】（Ⅰ） ()24f x a ≤-+ 即()2220x a x a -++≤，∴ ()20x a x （）--≤，（ⅰ）当2a <时，不等式解集为{}2x a x ≤≤；（ⅱ）当2a =时，不等式解集为{}2x x =； （ⅲ）当2a >时，不等式解集为{}2x x a ≤≤，综上所述，（ⅰ）当2a <时，不等式解集为{}2x a x ≤≤； （ⅱ）当2a =时，不等式解集为{}2；（ⅲ）当2a >时，不等式解集为{}2x x a ≤≤ .（Ⅱ）对任意的[]()1410x f x a ，，∈++≥恒成立，即()2250x a x a -+++≥恒成立，即对任意的[]1,4x ∈，()2125a x x x -≤-+恒成立.①1x =时，不等式为04≤恒成立，此时a R ∈；②当](1,4x ∈时，2254111x x a x x x -+≤=-+--，14x <≤，∴ 013x <-≤ ，∴ 4141x x -+≥=-， 当且仅当411x x -=-时，即12x -=，3x =时取“=”,4a ∴≤ . 综上4a ≤ .【点睛】含参数的一元二次不等式，其一般的解法是：先考虑对应的二次函数的开口方向，再考虑其判别式的符号，其次在判别式于零的条件下比较两根的大小，最后根据不等号的方向和开口方向得到不等式的解．含参数的不等式的恒成立问题，优先考虑参变分离，把恒成立问题转化为不含参数的新函数的最值问题，后者可用函数的单调性或基本不等式来求.7. 已知函数()24f x x mx =++．(1)求函数在区间[]1,2上的最大值max y ；(2)当[]1,2x ∈时，0y <恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】(1)当3m >-时,82max y m =+；当3m ≤-时,5max y m =+ ；(2)5m <-. 【解析】 【分析】（1）分322m -<和322m -≥两种情况，讨论函数的最大值； （2）[]1,2x ∈时，0y <恒成立的等价条件为(1)0(2)0f f <⎧⎨<⎩，求出不等式组的解可确定m 的取值范围．【详解】(1)函数24y x mx =++的图象开口向上，对称轴为2mx =-， 在区间[]1,2上的最大值，分两种情况：①322m -<（3m >-）时，根据图象知，当2x =时，函数取得最大值82max y m =+； ②322m -≥（3m ≤-）时，当1x =时，函数取得最大值5max y m =+.所以，当3m >-时,82max y m =+；当3m ≤-时,5max y m =+.(2)[]1,20x y ∈<，恒成立，只需在区间[]1,2上的最大值0max y <即可，所以(1)0(2)0f f <⎧⎨<⎩，得45m m <-⎧⎨<-⎩，所以实数m 的取值范围是5m <-. 【点睛】本题主要考查含参数的二次函数在给定区间的最大值，分类讨论是解决本题的关键；另外恒成立问题往往通过其等价条件来求解更简单．8. 已知关于x 的不等式()()22454130a a x a x +---+>的解集为R ，求实数a 的取值范围.【答案】119a ≤< 【解析】【分析】按照两种情况讨论：①当2450a a +-=时，可得1a =符合；②当2450a a +-≠时，根据图象的开口方向和判别式列式可解得结果. 【详解】根据题意，分两种情况①当2450a a +-=时，即1a =或5a =-时， 若1a =，不等式变为30>，成立，符合条件；若5a =-，不等式变为2430x +>，解集为1|8x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭，不符合题意.②当2450a a +-≠时，不等式为一元二次不等式，要使解集为R ，则对应二次函数的图象开口只能向上，且2216(1)12(45)0a a a ∆=--+-<，即2450a a +->且2216(1)12(45)0a a a ∆=--+-<，则5a <-或1a >，且220190a a -+<，所以5a <-或1a >，且119a <<，即119a <<，综上，实数a 的取值范围119a ≤<.【点睛】本题考查了分类讨论思想，考查了一元二次不等式恒成立问题，属于基础题. 9. 已知函数2()1()f x ax ax a R =--∈.(1)若对任意实数x ，()0f x <恒成立，求实数a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式()23f x x <-. 【答案】(1) 40a ;(2)详见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）对a 讨论，0a >时不合题意；0,a =合题意；0a <，利用判别式小于0解不等式，求交集即可得到所求范围；（2）先将不等式()2220ax a x -++<化为()()120x ax --<，再对参数a 的取值范围进行讨论，利用一元二次不等式的解法分别解不等式即可.解析：（1）当0a =时，()10f x =-<恒成立；当0a ≠时，要使对任意实数x ，()0f x <恒成立，需满足()()20410a a a <⎧⎪⎨∆=---<⎪⎩， 解得40a ，故实数a 的取值范围为40a.（2）由不等式()23f x x <-得()2220ax a x -++<，即()()210ax x --<.方程()()210ax x --=的两根是11x =，22(0)x a a=>. ①当0a <时，20a<，不等式的解为2x a <或1x >；②当0a =时，不等式的解为1x >； ③当02a <<时，21a <不等式的解为21x a<<； ④当2a =时，21a=，不等式无解； ⑤当2a >时，21a >，不等式的解为21x a<<综上：①当0a <时，不等式的解为{x 2x a <或}1x >；②当0a =时，不等式的解为{x }1x >；③当02a <<时，不等式的解为{}21x x a<<；④当2a =时，，不等式解集为∅ ； ⑤当2a >时，不等式的解为{}21xx a<< 【方法点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法、分类讨论思想，属于难题. 分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.10. 对任意x ∈R ，函数()2(4)42f x mx m x m =+-+-的值恒大于零，求m 的取值范围.【答案】不存在这样的实数m ，使函数()f x 的值恒大于零. 【解析】【分析】①当0m =时，函数()f x 的值不恒大于零，舍去；②当0m ≠时，根据一元二次函数的图象与性质，列出不等式组，即可求解.【详解】①当0m =时，函数()44f x x =-+的值不恒大于零，不符合题意，舍去； ②当0m ≠时，要使得对任意x ∈R ，函数()f x 的值恒大于零，则满足()244(42)0m m m m >⎧⎪⎨---<⎪⎩，即20924160m m m >⎧⎨-+<⎩， 此不等式组无解，故m φ∈.综上知，不存在这样的实数m ，使函数()f x 的值恒大于零.【点睛】本题主要考查了一元二次函数的图象与性质的应用，以及一元二次不等式的求解，着重考查分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题.实际应用问题模板三：按性质型分类讨论使用情景：结合数列或函数的性质需要进行分类讨论 解题模板：例3已知数列{}n a 的前n 项和21n S n =-，则13579a a a a a ++++等于（ ）A.40B.44C.45D.49 B解题模板选择：本题中数列的通项公式的确定与n 相关，需要分类讨论n =1和n ≥2两种情况，故选取实际应用问题模板三按性质型分类讨论进行解答. 解题模板应用：第一步确定需要讨论的对象和它的取值范围；由前n 项和确定数列的通项公式需要对n 进行分类讨论：第二步逐类进行讨论，得出各类结果当n =1时，a 1=0；当n ≥2时，n n a S =-221(1)21n S n n n -=--=-，而n =1时，2n -1=2×1-1=1≠0，所以0,121,2n n a n n =⎧=⎨-⎩， 第三步归纳各类结论，得出结论.所以13579a a a a a ++++=0+5+9+13+17=44，故选：B.【典型例题】11. 在数列{}n a 中，223n S n n =-，则通项公式n a =________．【答案】45n -【解析】【分析】首先利用1n n n a S S -=-得出2n ≥时的通项公式，把1n =代入此通项公式检验也满足，从而得到数列的通项公式.【详解】当1n =时，11231a S ==-=-，当2n ≥时，()()12223213145n n n n n a S S n n n -=---+-=--=， 1n =时，上式也成立，∴45n a n =-，故答案为：45n -.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，熟练掌握数列的递推式1n n n a S S -=-是解本题的关键，属于基础题．12. 设数列{}n a 的前n 项和n S 满足11n n n n S S S S ++=⋅-()n N *∈，且11a =，则n a =_____． 【答案】1,11,2(1)n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪-⎩【解析】【分析】由11n n n n S S S S ++=⋅-，两本同除以1n n S S +⋅，可构造1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，由此可求出a 1n S n=，再利用1n n n a S S -=-，即可求得n a【详解】由11n n n n S S S S ++=⋅-，得1111n n S S +-= ()n N *∈，1n S ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是以11111S a ==为首相，1为公差的等差数列，11(1)1n n n S ∴=+-⨯=，1n S n∴=， 当2n ≥ 时，11111(1)n n n a S S n n n n -=-=-=---，1,11,2(1)n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪-⎩【点睛】本题主要考查了由数列的递推关系式，求数列的通项公式，是常考题型，属于中档题. 13. 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2+n +2，则a 1+a 3+a 5+a 7＝_____．【答案】34【解析】【分析】根据,n n S a 关系求得n a ，即可赋值得到结果.【详解】因为22n S n n =++，当1n =时，114a S ==；当2n ≥时，()()22121122n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦. 又当14a =不满足上式，故可得4,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩.则135746101434a a a a +++=+++=. 【点睛】本题考查利用n S 求n a ，注意分类讨论，属基础题.14. 设正数数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项之积为n T ，且1n n S T +=，则数列{}n a 的通项公式是________________. 【答案】1(1)n a n n =+ 【解析】【分析】令1n =可得11112a S T ===，利用n T 的定义，1(2)n n n T S n T -=≥，可得n T 的递推关系，从而得1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，求出n T 后可得n S ，从而可得n a ． 【详解】111T a S ==，∴121a =，112a =，即1112S T ==，1(2)n n n T S n T -=≥，∴11n n n T T T -+=，∴1111n n T T --=，即{}n T 是以2为首项，1为公差的等差数列， 故1211n n n T =+-=+，11n T n =+，1n n S n =+，112S =也符合此式，1n n S n =+， ∴当2n ≥时，1111(1)n n n n n a S S n n n n --=-=-=++，又112a =，∴1(1)n a n n =+， 故答案为：1(1)n a n n =+. 【点睛】本题考查求数列的通项公式，解题中注意数列的和、数列的积与项的关系，进行相应的转化．如对积n T 有1(2)n n n T S n T -=≥，对和n S 有1(2)n n n a S S n -=-≥，另外这种关系中常常不包括1n =的情形，需讨论以确定是否一致．15. 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2+n ，则a n ＝_____．【答案】2n【解析】【分析】根据数列的通项与前n 项和的关系求解即可.【详解】由题,当1n =时,21112a =+=,当2n ≥时,()()1112n n n a S S n n n n n -=-=+--=.当1n =时也满足.故2n a n =.【点睛】本题主要考查了根据数列的通项与前n 项和的关系求通项公式的方法,属于基础题. 实际应用问题模板四：不确定型分类讨论使用情景：对于一些不确定型的问题，需要进行分类讨论.解题模板：例4设数列1221,,,a a a 满足：11n n a a +-=（n =1，2，…，20），1721,,a a a 成等比数列.若1211,9a a ==.则满足条件的不同数列的个数为 .答案：15099解题模板选择：本题中数列的问题需要确定1和-1的个数，不能确定类型，故选取实际应用问题模板四不确定型分类讨论进行解答.解题模板应用：第一步确定需要讨论的对象和它的取值范围；因为1721,,a a a 成等比数列.所以27121a a a =9=，a 7=±3. 则需要对7a 进行分类讨论.第二步逐类进行讨论，得出各类结果当73a =-时，注意到()71764a a a a -=-=-()()6521a a a a +-+⋯+-，故这6个差中必为5个-1，1个+1所以1721,,,a a a 共有566C =种可能的情况.类似地，由()(21721202012a a a a a =-=-+-)()1987a a a +⋯+-，可知这14个差中必为13个1，1个-1所以7821,,,a a a 共有131414C =种可能的情况.当73a =时，注意到()71762a a a a =-=-+()()6521a a a a -+⋯+-，故这6个差中必为2个-1，4个+1，所以1721,,,a a a ⋯共有2615C =种可能的情况.类似地，由()(2172120206a a a a a =-=-+-)()1987a a a +⋯+-知，这14个差中必为10个+1，4个-1，所以7821,,,a a a 共有10141001C =种可能的情况.所以，a 7=3时，有15×1001=15015个不同的数列. 第三步归纳各类结论，得出结论.综上，满足条件的不同数列的个数为84+15015=15099.【名师点睛】有些题目中的条件开放，使求解结果不唯一，若对这类问题考虑不全面，时常会发生漏解现象.也有些几何问题，因图形的位置不能确定或形状不能确定，必须分类全面讨论.。
分类讨论思想方法
1 1 < a < 4 f ( 1 )＝ 2 − 1 > 0 ∴ a 或 a
1 1 【解】当a>0时，f(x)＝a（x－ ）＋ － a 时 ＝ （ － ）＋2－ a
1 ≤1 a f (1)＝a − 2 + 2≥ 0 或
1 ≥4 a f ( 4)＝16a − 8 + 2≥ 0
1 1 ∴a≥1或 或 <a<1或φ即a > 或 即 ； 2 2 ＝a f (1)＝a − 2 + 2 ≥ 0 解得φ； 当a<0时， 时 ，解得 ； f (4)＝16a − 8 + 2 ≥ 0
＝－2x＋ ＝－6， 当a＝0时，f(x)＝－ ＋2 , f(1)＝0，f(4)＝－ ，∴不合题意 ＝ 时 ＝－ ＝ ， ＝－
2
1 当－ <a<0时，(x＋4a)(x－6a)>0，解得 时 ＋ － ，解得:x<6a或x>－4a； 或 － ； 2
1 当a>－ 时，(x＋4a)(x－6a)<0，解得：6a<x<－4a。 － ＋ － ，解得： － 。 2 综上所述， 综上所述，……
【注】含参问题，结合参数的意义及对结果的影响 含参问题， 而分类讨论。（含参型） 而分类讨论。（含参型） 。（含参型
二、分类讨论的步骤、原则和方法 分类讨论的步骤、
1．分类评论的一般步骤是： ．分类评论的一般步骤是：
→明确讨论对象，确定对象的全体→确定分类标准，正确进行分类 明确讨论对象，确定对象的全体 确定分类标准 确定分类标准， 明确讨论对象 →逐步进行讨论，获取阶段性结果 归纳小结，综合得出结论。 逐步进行讨论， 归纳小结， 逐步进行讨论 获取阶段性结果→归纳小结 综合得出结论。
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分类讨论与转化思想
★【概述】
1、 对于某个问题的研究分两种或两种以上情形，分别加以讨论的方法，就称为分类讨论法。
分类讨论法对于考察我们全面思考问题、训练思维的完整性有着极其重要的作用，是近年来历届中考必考的重要方法之一。
2、转化：也称化归思想。
当一个问题条件比较复杂，计算或证明比较困难时，通过已知知识间的联系，把复杂问题转换成简单、易于解决的问题，从而达到解题目的的方法。
例如：把二元方程通过消元转化为一元方程解决；把实际问题转化到一个数学模型中解决；转化是研究数学的最基本的方法。
★★【解题基本策略】
把所有的情况进行分类讨论，找出满足要求的条件或结论。
通常要把问题进行转化、分解为简单或熟悉的问题解决。
★★★【典型例题解析】
【考点题型1】-----几何背景下的分类讨论
◆(一）、以等腰三角形为目标的分类讨论
【例1】在梯形ABCD 中，AD//BC,AD=3，DC=5，AB=24,0
45=∠B ,点M,N 分别为线段BC
与CD 上的动点，且BM=2CN,
(1)、求：cosC 的值
(2)、当ΔMNC 为等腰三角形时，求CN 的长。
【点拨】：为使背景图形中隐含条件显性化，将背景分离研究。
动态几何中，需要关注：背景信息、运动规则、运动范围。
【例2】在Rt ⊿ABC 中，0
90=∠A ,AB=6，AC=8，D,E 分别是AB,AC
的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ ⊥BC 于点
Q 、过点Q 作QR//BA,交AC 于R,当点Q 与点C 重合时，点P 停止
运动。
（1）、点D 到BC 的距离DH 的长。
（2）、当⊿PQR 是等腰三角形时，求出所有满足条件的BQ 的值。
【点拨】：1、背景中的隐含条件有：∠PQR=∠C,cosC=5
4
2、上述两个例题中，所要讨论的等腰三角形中，都有一个角是定角（度数已知或三角函数可求）因而考虑求这个定角的两边（边长为定值或用某一字母的代数式表示）简称“边角边”法。
其步骤为：①、求定角的余弦值，②、求夹定角的两边或表达式，③、分类讨论。
【例3】在边长为1的正方形ABCD 中，点E 在BC 边上，点F
在射线DC 上，若CE=4
1，延长FE 与直线AB 交于点G ，若⊿EAG 是等腰三角形，求CF 的长。
【点拨】：在所要讨论的等腰三角形中，三个角的大小都在变，这类问题在分类讨论时，应该尝试将三边都表示出来，再两两相等列方程获得求解。
简称为“边、边、边”法。
【例4】在⊿ABC 中，AB=AC=8， cosB=8
5,点D 、E 分别在边BC 、AC 上（点D 与B,C 不重合），且∠ADE=∠B,设BD=x
当⊿DCE 是等腰三角形时，求BD 的值。
【点拨】：1、“一线三等角”的相似基本模型，利用相似的性质将⊿DCE 转化为讨论⊿ABD 是等腰三角形的问题，这种方法就是转化法。
2、与例1.例2类似“边、角、边”问题。
【例5】在矩形ABCD 中，AB=10，AD=4. 点E,F 分别在边AB,CD
上，当⊿DEF 是腰长为5的等腰三角形时，求：AE 和DF 的值。
【点拨】：本题是知道腰及一个顶点，需要确定两个动点的问题，借助“辅助圆”利用交轨法完成。
不要遗漏，保证讨论完毕。
【小结】：几何背景下的等腰三角形的讨论，远比函数背景下的复杂，类型多，方法多。
常考的类型方法归纳如下：
（1）、直接法。
直接讨论等腰三角形本身
①、代数法（边角边，边边边），利用方程求解
②、几何法（利用“交轨”作图确定顶点的位置，还是要借助代数法完成。