北师大版高二数学下三个正数的算术-几何平均不等式 第6课时导学案
高二数学(理)《三个正数的算术-几何平均数》(课件)
(a b c)(a b c ab bc ca ) 1 2 2 2 (a b c) (a b) (b c) (c a) 0, 2
2 2 2
湖南长郡卫星远程学校
制作 06
2011年上学期
如果a, b, c R , 那么a b c 3abc
*
n
a1a2 an 叫做这n个正数的几何平均数。
a1 a 2 a n ≥ n
n
2.基本不等式：
a1a2 an n N * , ai R ,1 i n
语言表述：n个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数，当且仅当a1＝a2＝…=an时， 等号成立．
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(1)abc为定值时
a b c 3 abc
3
当且仅当a b c时, 等号成立.
(2)a b c为定值时
abc 3 abc ( ) 3
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2011年上学期
abc 3 推论: abc(a , b, c R ) 3
(1)abc为定值时
*
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2011年上学期
推广
关于“平均数”的概念：
1.如果 a1 , a2 , , an R , n 1且n N 则： a1 a 2 a n 叫做这n个正数的算术平均数。 n
*
n
a1a2 an 叫做这n个正数的几何平均数。
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abc 3 推论: abc(a , b, c R ) 3
(1)abc为定值时
平均值不等式二教学北师大选修
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证明 a＋b＋c＝1⇒(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)＝2， [(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]a＋1 b＋b＋1 c＋c＋1 a≥
3 3
（a＋b）（b＋c）（c＋a）·
3
1
＝9
3 （a＋b）（b＋c）（c＋a）
⇒a＋1 b＋b＋1 c＋c＋1 a≥92.
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知识点2 利用三个正数的算术—几何平均不等式求最值 【例2】 若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围．
解 法一 ∵a，b∈(0，＋∞)，且 ab＝a＋b＋3≥33 3ab， ∴a3b3≥81ab.又 ab>0，∴a2b2≥81. ∴ab≥9(当且仅当 a＝b 时，取等号)． ∴ab 的取值范围是[9，＋∞)． 法二 ∵ab－3＝a＋b≥2 ab，
∴ab，即 ab≥9(当且仅当 a＝b 时取等号) ∴ab 的取值范围是[9，＋∞)． 【反思感悟】 注意平均不等式应用的条件是三个正数在求
最值时，一定要求出等号成立时未知数的值，如果不存在
使等号成立的未知数的值，则最值不存在．
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2．求 y＝sin xcos2x，x∈0，π2 的最大值． 解 ∵x∈0，π2 ，∴sin x>0，y>0. y2＝sin2xcos4x＝2sin2xco2s2xcos2x ≤122sin2x＋co3s2x＋cos2x3＝12233＝584＝247. 故 y≤ 247＝293，此时，2sin2x＝cos2x，tan2x＝12， y 有最大值293.
1．已知 x≥52，则 f(x)＝x2－2x4－x＋4 5有
( )．
A．最大值54 C．最大值 1
1.1.3.三个正数的算术__几何平均不等式 课件(人教A选修4-5)
1 1 1 (1)( 2＋ 2＋ 2)(a＋b＋c)2≥27； a b c 1 1 1 9 (2)(a＋b＋c)( ＋ ＋ )≥ . a＋b b＋c a＋c 2
[精讲详析]
本题考查平均不等式的应用，解答本题
需要先观察求证式子的结构，然后通过变形转化为用平均 不等式证明的问题．
(1)∵a，b，c∈R＋，∴a＋b＋c≥3 abc＞0， 从而(a＋b＋c) ≥9 a2b2c2＞0， 3 1 1 1 1 又 2＋ 2＋ 2≥3 ＞0， a b c a2b2c2 1 1 1 ∴( 2＋ 2＋ 2)(a＋b＋c)2 a b c ≥3 3 1 3 2 2 2 · a b c ＝27. 9 a2b2c2
确定好目标函数，再用
“平均值不等式”求最值．
(2)在确定目标函数时，必须使函数成为一元函数，即只
能含一个变量，否则是无法求最值的．
[通一类] 3．制作一个圆柱形的饮料盒，如果容积一定，怎样设计它 的尺寸，才能使所用的材料最少？
解：设圆柱形饮料盒的体积为 V(定值)，底面半径为 r， 高为 h，表面积为 S. V 则 V＝πr h，∴h＝ 2. πr
2
2V ∴S＝2πr ＋2πrh＝2πr ＋ r
2 2
V V 3 ＝2πr ＋ r ＋ r ≥3 2πV2.
2
3 V V 即当 2πr2＝ r ，r＝ 时表面积最小． 2π 此时 h＝2r. 3 V 3 V 即饮料盒的底面半径为 r＝ ，高为 2 时，用料 2π 2π 最省．
本课时经常考查算术—几何平均值不等式在求最值
2 － 3
.
2 － 3
② .
2 1 1 12 故 a2＋b2＋c2＋(a＋b＋ c) ≥3(abc) 3 ＋9(abc)
2019_2020学年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一不等式3三个正数的算术几何平均不等式学案新人教A版选
3．三个正数的算术几何平均不等式1.探索并了解三个正数的算术—几何平均不等式的证明过程．2.会用平均不等式求一些式子或函数的最大(小)值．3．会用平均不等式解决实际中的应用问题．, [学生用书P9])1．三个正数的算术几何平均不等式(定理3) 如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c3≥a ＝b ＝c 时，等号成立．2．基本不等式的推广对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a nna 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任意n 个数的算术平均值不小于它们的几何平均值．( ) (2)a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n 只对n ＝2和n ＝3的情形适用．( )(3)算数几何平均不等式是针对n 个正数而言的，否则不一定成立．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√2．若a ，b ，c 都是正数且a ＋b ＋c ＝6，则abc 的最大值为( ) A ．2 B ．27 C ．8D ．3解析：选C.因为a >0，b >0，c >0，a ＋b ＋c ＝6，所以abc ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c 33＝⎝ ⎛⎭⎪⎫633＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝2时“＝”成立． 3．函数y ＝2x 2＋4x(x ∈R ＋)的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案：A用三个正数的算术几何平均不等式证明不等式[学生用书P9]已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＞b ＞c ＞d ，求证：1a －b ＋1b －c ＋1c －d ≥9a －d. 【证明】 因为a ＞b ＞c ＞d ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，c －d ＞0，a －d ＞0， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＋1c －d (a －d )＝⎝⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＋1c －d [(a －b )＋(b －c )＋(c －d )]≥331a －b ·1b －c ·1c －d×33（a －b ）（b －c ）（c －d ）＝9， 即1a －b ＋1b －c ＋1c －d ≥9a －d，当且仅当a －b ＝b －c ＝c －d 时，等号成立．证明不等式的方法(1)首先观察所要证的式子的结构特点及题目所给条件，看是否满足“一正、二定、三相等”的条件．若满足即可利用平均不等式证明．(2)若题目不满足该条件，则可灵活利用已知条件构造出能利用三个正数的平均不等式的式子．1.已知x ＞0，y ＞0，证明：(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥9xy .证明：因为x ＞0，y ＞0， 所以1＋x ＋y 2≥33xy 2＞0， 1＋x 2＋y ≥33x 2y ＞0，故(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥33xy 2·33x 2y ＝9xy . 2．已知x ，y 均为正数，且x ＞y ，求证：2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3.证明：因为x ＞0，y ＞0，x －y ＞0， 所以2x ＋1x 2－2xy ＋y 2－2y＝2(x －y )＋1（x －y ）2＝(x －y )＋(x －y )＋1（x －y ）2≥33（x －y ）21（x －y ）2＝3，等号成立的条件是1（x －y ）2＝x －y ，即x －y ＝1.所以2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3.利用三个正数的算术几何平均不等式求最值[学生用书P10]求函数y ＝x ＋4（x －1）2(x >1)的最小值．【解】 因为x >1，所以x －1>0，y ＝x ＋4（x －1）2＝12(x －1)＋12(x －1)＋4（x －1）2＋1 ≥3312（x －1）·12（x －1）·4（x －1）2＋1＝4， 当且仅当12(x －1)＝12(x －1)＝4（x －1）2，即x ＝3时等号成立．即y min ＝4.用平均不等式求最值的注意点(1)应用平均不等式，要注意三个条件，即“一正、二定、三相等”同时具备时，方可取得最值．其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如配系数、拆项、分离常数、平方变形等．(2)当不具备使用平均不等式的条件时，求函数的最值可考虑利用函数的单调性．若x >0，求函数y ＝4x 2＋1x的最小值．解：因为x >0，所以y ＝4x 2＋1x ＝4x 2＋12x ＋12x≥334x 2·12x ·12x＝3.当且仅当4x 2＝12x (x >0)，即x ＝12时，取“＝”，所以当x ＝12时，y ＝4x 2＋1x(x >0)的最小值为3.应用三个正数的算术几何平均不等式解决实际问题[学生用书P10]如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．众所周知，灯挂得太高，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学知道，桌子边缘一点处的灯光亮度E 和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r 的平方成反比，即E ＝k sin θr2.这里k 是一个和灯光强度有关的常数，那么究竟应该怎样选择灯的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？【解】 因为r ＝2cos θ，所以E ＝k ·sin θcos 2θ4(0<θ<π2)．所以E 2＝k 216·sin 2θ·cos 4θ＝k 232·(2sin 2θ)·cos 2θ·cos 2θ≤k 232·⎝⎛⎭⎪⎫2sin 2θ＋cos 2θ＋cos 2θ33＝k 2108.当且仅当2sin 2θ＝cos 2θ时取等号， 所以h ＝2tan θ＝2时，E 最大．本题获解的关键是在获得了E ＝k ·sin θcos 2θ4后，对E 的表达式进行变形求得E 的最大值．解应用题时必须先读懂题意，建立适当的函数关系式，若把问题转化为求函数的最值问题，常配凑成可以用均值不等式的形式，若符合条件“一正，二定，三相等”即可求解．1.用长度为72 cm 的铁丝截成12段围成一个长方体，当它的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大值是多少？解：设长、宽、高分别为x ，y ，z ， 则x >0，y >0，z >0，且4(x ＋y ＋z )＝72， 即x ＋y ＋z ＝18.所以体积V ＝xyz ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y ＋z 33＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1833＝216.当且仅当x ＝y ＝z ＝6时，V max ＝216.因此当长方体的长、宽、高均为6 cm 时，其体积最大，最大值为216 cm 3.2．已知圆锥的底面半径为R ，高为H ，求圆锥的内接圆柱体的高h 为何值时，圆柱的体积最大？并求出这个最大的体积．解：设圆柱体的底面半径为r ，如图，由相似三角形的性质可得H －h H ＝rR，所以r ＝R H(H －h )．所以V 圆柱＝πr 2h ＝πR 2H2(H －h )2h (0<h <H )．根据均值不等式可得V 圆柱＝4πR 2H 2·H －h 2·H －h 2·h ≤4πR 2H 2⎝ ⎛⎭⎪⎫H 33＝427πR 2H . 当且仅当H －h2＝h ，即h ＝13H 时，V 圆柱最大＝427πR 2H .1．对不等式a ＋b ＋c3≥3abc 的理解(1)在不等式中a ，b ，c 的范围是a >0，b >0，c >0，等号成立的条件是a ＝b ＝c . (2)a ＋b ＋c3≥3abc 与a ＋b2≥ab 都是a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n 的特例，它们统称为均值不等式．因此与基本不等式的应用是一样的．(3)将不等式a 3＋b 3＋c 3≥3abc 中的a ，b ，c 分别以3a ，3b ，3c 代替就可得到a ＋b ＋c3≥3abc .2．定理3的两个推论 (1)当abc 为定值时：a ＋b ＋c ≥33abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．(2)当a ＋b ＋c 为定值时：abc ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c 33，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号． 3．用定理3求最值时的关注点 一“正”：项或因式为正．二“定”：项(因式)的和或积为定值．三“相等”：各项相等或各因式相等时等号成立．1．正实数x ，y ，z 满足xyz ＝2，则( ) A ．x ＋y ＋z 的最大值是3 2 B ．x ＋y ＋z 的最大值是332 C ．x ＋y ＋z 的最小值是3 2 D ．x ＋y ＋z 的最小值是332解析：选D.由三个正数的算术几何平均不等式，得x ＋y ＋z ≥33xyz ＝332，当且仅当x ＝y ＝z ＝32时，x ＋y ＋z 取得最小值332.2．设a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝3，则ab 2的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．6解析：选C.因为ab 2＝4a ×b 2×b2≤4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 2＋b 233＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 33＝4×13＝4， 当且仅当a ＝b2＝1时，等号成立．即ab 2的最大值为4.3．已知0＜x ＜12，则x 2(1－2x )的最大值为________．解析：因为0＜x ＜12，所以1－2x ＞0，则x 2(1－2x )＝x ·x (1－2x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋x ＋（1－2x ）33＝133＝127.当且仅当x ＝1－2x ，即x＝13时等号成立．故x 2(1－2x )的最大值为127. 答案：1274．当x >0时，(1)求y ＝x ＋4x2的最小值．(2)求y ＝x ＋27x3的最小值．解：(1)因为x >0，所以y ＝x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x2≥33x 2·x2·4x2＝3. 当且仅当x 2＝4x2，即x ＝2时，y min ＝3.(2)因为x >0，所以y ＝x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x3≥44⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33·27x 3＝4. 当且仅当x 3＝27x3，即x ＝3时，y min ＝4.。
1.1.3.三个正数的算术__几何平均不等式 课件(人教A选修4-5)
∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2，
2 2 2 1 2x ＋1－x ＋1－x 3 4 ∴y2≤ ( )＝ . 2 3 27
3 当且仅当 2x ＝1－x ＝1－x ，即 x＝ 时取“＝”号． 3
2 2 2
2 3 ∴y≤ . 9 2 3 ∴y 的最大值为 . 9
[悟一法] (1)利用三个正数的算术—几何平均不等式定理求最值， 可简记为“积定和最小，和定积最大”． (2)应用算术—几何平均不等式定理，要注意三个条件即
[读教材· 填要点]
1．三个正数的算术—几何平均不等式 a＋b＋c 3 如果 a，b，c∈R＋，那么 ≥ abc ，当且仅当 a＝b 3
＝c 时，等号成立．
2．n 个正数 a1，a2，„，an 的算术—几何平均不等式 对于 n 个正数 a1，a2，„，an，它们的算术平均不小于 它 们的几何平均，即 a1＋a2＋„＋an n a „a 1 n ≥ n 当且仅当 a1＝a2＝…＝an 时，等号成立．
[小问题· 大思维]
a＋b＋c 3 1．满足不等式 ≥ abc成立的 a，b，c 的范围是什么？ 3
提示：a，b，c的范围为a≥0，b≥0，c≥0. 2．应用三个正数的算术—几何平均不等式，求最值应注意 什么？ 提示：三个正数的和为定值，积有最大值；积为定值，
和有最小值．当且仅当三个正数相等时取得．
的条件是否保持一致．
[通一类] 2．设0<a<1,0<b<1,0<c<1，
13 求证：abc(1－a)(1－b)(1－c)≤( ) . 4 证明：∵0<a<1，∴1－a>0.
a＋1－a 2 1 ∴0<a(1－a)≤[ ]＝ . 2 4 1 1 同理 0<b(1－b)≤ ，0<c(1－c)≤ 4 4 将以上三个不等式相乘得 13 abc(1－a)(1－b)(1－c)≤( ) . 4
1.1.3.三个正数的算术__几何平均不等式 课件(人教A选修4-5)
本题考查基本不等式、算术—几何平均值
不等式等基础知识，同时考查了等号成立的条件及推理运算 能力．
[证明] 法一：因为 a，b，c 均为正数，由平均值不 等式得 a2＋b2＋c2≥3(abc) ，
1 － 1 1 1 ＋b＋ c≥3(abc) 3 ， a
2 3
①
1 1 12 所以(a＋b＋ c) ≥9(abc)
中的应用.2012年昆明模拟以解答题的形式考查了算术—
几何平均值不等式在证明不等式中的应用，是高考模拟命
题的一个新亮点．
[考题印证]
(2012· 昆明模拟)已知 a，b，c 均为正数，证明：a2＋b2＋ 1 1 12 c ＋(a＋b＋c ) ≥6 3，并确定 a，b，c 为何值时，等号成立．
2
[命题立意]
2
2V ∴S＝2πr ＋2πrh＝2πr ＋ r
2 2
V V 3 ＝2πr ＋ r ＋ r ≥3 2πV2.
2
3 V V 即当 2πr2＝ r ，r＝ 时表面积最小． 2π 此时 h＝2r. 3 V 3 V 即饮料盒的底面半径为 r＝ ，高为 2 时，用料 2π 2π 最省．
本课时经常考查算术—几何平均值不等式在求最值
[研一题] [例3] 已知圆锥的底面半径为R，高为H，求圆锥的内 接圆柱体的高h为何值时，圆柱的体积最大？并求出这个最
大的体积．
[精讲详析] 本题考查算术—几何平均不等式在实际问
题中的应用，解答本题需要作出圆锥、圆柱的轴截面，利 用相似三角形建立各元素之间的关系，然后利用算术—几 何平均不等式求最大值．
1 1 12 1 1 故 a ＋b ＋c ＋(a＋b＋ c) ≥ab＋bc＋ac＋3ab＋3bc＋
2 2 2
高中数学第一章不等关系与基本不等式3平均值不等式教学案北师大版
§3平均值不等式[对应学生用书P12][自主学习]1．定理1对任意实数a ，b ，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取“＝”号． 2．定理2(两个正数的平均值不等式)对任意两个正数a ，b a ＝b 时取“＝”号．我们称a ＋b2为正数a 与b 的算术平均值，ab 为正数a 与b 的几何平均值；因此定理2又可叙述为：两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值．3．定理3对任意三个正数a ，b ，c ，有a 3＋b 3＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”号． 4．定理4(三个正数的平均值不等式) 对任意三个正数a ，b ，c ，有a ＋b ＋c3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”号．这个定理可以叙述为：三个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值． 5．定理2,4的推广一般地，对n 个正数a 1，a 2，…，a n (n ≥2)，数值a 1＋a 2＋…＋a n n，na 1a 2…a n ，分别称为这n 个正数的算术平均值与几何平均值．且有：a 1＋a 2＋…＋a n n≥ na 1a 2…a n .当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，取“＝”号，即n 个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值．[合作探究]1．如何利用求差法证明定理2? 提示：因为a ＋b2－ab ＝a －b22≥0，所以a ＋b2≥ab .2．由定理1与定理2能得到以下结论吗？ (1)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)；(2)21a ＋1b≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ，b ∈R ＋)；(3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a >0，b >0)．提示：可以．3．利用定理2,4求最值需满足什么条件？ 提示：“一正二定三相等”．[对应学生用书P13][例1] (1)(2)设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ac b ＋abc≥a ＋b ＋c .[思路点拨] 本题考查平均值不等式及不等式的性质等基础知识，同时考查推理论证能力．解答此题需要先观察所求式子的结构，然后拆成平均值不等式的和，再进行证明．[精解详析] (1)a 4＋b 4≥2a 2b 2， 同理a 4＋c 4≥2a 2c 2，b 4＋c 4≥2b 2c 2， 将以上三个不等式相加得：a 4＋b 4＋a 4＋c 4＋b 4＋c 4≥2a 2b 2＋2a 2c 2＋2b 2c 2，即：a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋a 2c 2＋b 2c 2. (2)∵当a ＞0，b ＞0时，a ＋b ≥2ab ， ∴bc a ＋ac b ≥2 bc a ·acb＝2c . 同理：bc a ＋ab c≥2bc a ·abc＝2b ， ac b ＋ab c ≥2ac b ·abc＝2a . 将以上三个不等式相加得：2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a＋ac b＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )， ∴bc a ＋ac b ＋abc≥a ＋b ＋c .平均值不等式具有将“和式”和“积式”相互转化的放缩功能，常常用于证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用平均值不等式的切入点．但应注意连续多次使用平均值不等式定理的等号成立的条件是否保持一致．若将本例(1)中a ，b ，c ∈R ，变为a ，b ，c ∈R ＋， 求证：a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca . 证明：∵a ，b ，c 为正实数，∴a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ca . 由上面三式相加可得(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )≥2ab ＋2bc ＋2ca ， 即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .1．已知实数a ，b ，c ，d 满足a >b >c >d ，求证： 1a －b ＋1b －c ＋1c －d ≥9a －d . 证明：因为a >b >c >d ， 所以a －b >0，b －c >0，c －d >0. 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＋1c －d (a －d )＝⎝⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＋1c －d [(a －b )＋(b －c )＋(c －d )]≥331a －b ·1b －c ·1c －d×33a －b b －c c －d ＝9.即1a －b ＋1b －c ＋1c －d ≥9a －d.[例2] (1)已知x >0，y >0，且x ＋y＝1，求x ＋y 的最小值．(2)求函数y ＝x 2(1－5x )⎝⎛⎭⎪⎫0≤x ≤15的最大值．[思路点拨] 本题考查利用平均值不等式求最值以及利用不等式知识分析、解决问题的能力．解答此题(1)可灵活使用“1”的代换或对条件进行必要的变形，再用平均值不等式求得和的最小值；而解答题(2)需要将两项积x 2(1－5x )改变成三项积52x ·x ⎝ ⎛⎭⎪⎫25－2x ，再对它使用平均值不等式，即可获得所求．[精解详析] (1)法一：∵x >0，y >0，1x ＋9y＝1，∴x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y (x ＋y )＝y x ＋9x y＋10≥6＋10＝16.当且仅当y x ＝9x y ，又1x ＋9y＝1， 即x ＝4，y ＝12时，上式取等号． 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16. 法二：由1x ＋9y＝1得(x －1)(y －9)＝9(定值)，可知x >1，y >9，而x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10≥2x －y －＋10＝16.所以当且仅当x －1＝y －9＝3， 即x ＝4，y ＝12时，上式取等号． 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16. (2)y ＝52x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫25－2x ＝52x ·x ⎝ ⎛⎭⎪⎫25－2x ， ∵0≤x ≤15，∴25－2x ≥0.∴y ≤52⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25－2x 33＝4675. 当且仅当x ＝x ＝25－2x ，即x ＝215时，y max ＝4675.利用平均值不等式求最值，一般按以下三步进行：(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值； (2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取“－1”变为同正；(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决．切记利用平均值不等式求最值时的三个条件：“一正二定三相等”必须同时满足，函数方可取得最值，否则不可以．2．(新课标全国卷Ⅰ)若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由． 解：(1)由ab ＝1a ＋1b≥2ab，得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立． 所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6. 3．已知x ∈R ＋，求函数y ＝x 2·(1－x )的最大值． 解：y ＝x 2(1－x )＝x ·x (1－x ) ＝x ·x ·(2－2x )×12≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x ＋2－2x 33＝12×827＝427. 当且仅当x ＝2－2x ，即x ＝23时取等号．此时，y max ＝427.本课时平均值不等式是高考的一个非常重要的考点，在高考和模拟中考查其在求最值方面的应用，有时亦以解答题的形式考查其在证明不等式方面的应用，考查学生利用不等式的性质等知识分析、解决问题的能力．[考题印证]1．(浙江高考)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245B.285C ．5D ．6[命题立意]本题考查利用平均值不等式求最小值，考查了分析、解决问题的能力． [自主尝试] ∵x ＋3y ＝5xy ， ∴1y ＋3x＝5，∵x >0，y >0，∴(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝3x y＋12yx＋9＋4≥23xy·12yx＋13＝25，∴5(3x ＋4y )≥25，∴3x ＋4y ≥5，当且仅当x ＝2y 时取等号． ∴3x ＋4y 的最小值是5. [答案] C2．(新课标卷Ⅱ)设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1. 证明：(1) ab ＋bc ＋ca ≤13；(2) a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.[命题立意]本题主要考查重要不等式、均值不等式的应用以及整体代换的思想、考查考生转化与化归思想和逻辑思维能力．[自主尝试](1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ， 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1， 即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13，当且仅当“a ＝b ＝c ”时等号成立．(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a＋a ≥2c ，当且仅当“a 2＝b 2＝c 2”时等号成立．故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，即 a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.[对应学生用书P15]一、选择题1．设0＜a ＜b ，a ＋b ＝1，则下列不等式正确的是( )A．b＜2ab＜a2＋b2＜a2＋b2B．2ab＜b＜a2＋b2＜a2＋b2C．2ab＜a2＋b2＜b＜a2＋b2D．2ab＜a2＋b2＜a2＋b2＜b解析：∵0＜a＜b，且a＋b＝1，∴0＜a＜b＜1，∴a2＋b2＞2ab，b＞a2＋b2，且a2＋b2＞b. 故2ab＜a2＋b2＜b＜a2＋b2.答案：C2．设a，b，c∈R＋，则“abc＝1”是“1a＋1b＋1c≤a＋b＋c”的( )A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要的条件解析：当a＝b＝c＝2时，有1a＋1b＋1c≤a＋b＋c，但abc≠1，所以必要性不成立；当abc＝1时，1a＋1b＋1c＝bc＋ac＋ababc＝bc＋ac＋ab，a＋b＋c＝a ＋b＋b＋c＋a＋c2≥ab＋bc＋ac，所以充分性成立，故“abc＝1”是“1a＋1b＋1c≤a＋b＋c”的充分不必要条件．答案：A3．已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是( ) A．3 B．4C.92D.112解析：∵2xy＝x·(2y)≤⎝⎛⎭⎪⎫x＋2y22，∴8＝x＋2y＋2xy≤x＋2y＋⎝⎛⎭⎪⎫x＋2y22，即(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0.又x＞0，y＞0，∴x＋2y≥4.当且仅当x＝2，y＝1时取等号，即x＋2y的最小值是4.4．对于x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，不等式1sin 2x ＋p cos 2x ≥16恒成立，则正数p 的取值范围为( ) A ．(－∞，－9] B ．(－9,9] C ．(－∞，9]D ．[9，＋∞)解析：令t ＝sin 2x ，则cos 2x ＝1－t .又x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴t ∈(0,1)．不等式1sin 2x ＋p cos 2x ≥16可化为p ≥⎝⎛⎭⎪⎫16－1t (1－t )， 而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫16－1t (1－t )＝17－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋16t ≤17－2 1t·16t ＝9，当1t ＝16t ，即t ＝14时取等号， 因此原不等式恒成立，只需p ≥9. 答案：D 二、填空题5．若x ，y 是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2的最小值是________．解析：原式＝x 2＋14x 2＋y 2＋14y 2＋x y ＋y x .∵x ＞0，y ＞0，∴原式≥2·12＋2·12＋2＝4，当且仅当x ＝y ＝22时，等号成立． 答案：46．已知a ，b ∈R ＋，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋ac ≥________. 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋a c＝3＋bc a 2＋ac b 2＋ab c 2＋a 2bc ＋b 2ca ＋c 2ab≥3＋6 6bc a 2·ac b 2·ab c 2·a 2bc ·b 2ca ·c 2ab＝9.7．已知二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，则a ＋1c ＋c ＋1a的最小值为________．解析：∵f (x )＝ax 2＋2x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)， ∴a >0.∴c －1a ＝0.∴c ＝1a.∴a ＋1c ＋c ＋1a ＝a 2＋a ＋1a 2＋1a≥2a 2·1a2＋2a ·1a＝4， 当且仅当a ＝1a，即a ＝1时取等号． 答案：48．x ，y >0，x ＋y ＝1，则⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎪⎫y ＋1y 的最小值为________．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y ＝xy ＋1xy ＋y x ＋x y ， 因为x ，y >0，且x ＋y ＝1⇒xy ≤14.(当且仅当x ＝y ＝12时取等号)以xy 为整体，xy ＋1xy 在(0，14]上单调递减，故xy ＝14，⎝ ⎛⎭⎪⎫xy ＋1xy min ＝174，当且仅当x ＝y ＝12时取得，对y x ＋xy ≥2y x ·x y ＝2，当且仅当x ＝y ＝12时取得， 故⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y 的最小值为254.答案：254三、解答题9．设a ，b ，x ，y ∈R ，且有a 2＋b 2＝3，x 2＋y 2＝6，求ax ＋by 的最大值． 解：∵a 2y 2＋b 2x 2≥2aybx ， ∴(a 2＋b 2)(x 2＋y 2)≥(ax ＋by )2， 当且仅当ay ＝bx 时取等号． ∴ax ＋by ≤3×6＝32，当且仅当ax ＝by 且a 2＋b 2＝3且x 2＋y 2＝6时，等号成立． 10．(江苏高考)已知x >0，y >0， 证明：(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥9xy .解：因为x >0，y >0， 所以1＋x ＋y 2≥33xy 2>0， 1＋x 2＋y ≥33x 2y >0，故(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥33xy 2·33x 2y ＝9xy .11．x ，y ，a ，b 均为正实数，x ，y 为变数，a ，b 为常数，且a ＋b ＝10，a x ＋b y＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b .解：∵x ＋y >0，a >0，b >0且a x ＋b y＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋bx y ＋ay x≥a ＋b ＋2bx y ·ayx＝a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2.当且仅当bx y ＝ayx时取等号， 此时(x ＋y )min ＝(a ＋b )2＝18. 即a ＋b ＋2ab ＝18. 又a ＋b ＝10， 联立⎩⎨⎧a ＋b ＋2ab ＝18，a ＋b ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝2.。
1.1.3.三个正数的算术__几何平均不等式 课件(人教A选修4-5)
[小问题· 大思维]
a＋b＋c 3 1．满足不等式 ≥ abc成立的 a，b，c 的范围是什么？ 3
提示：a，b，c的范围为a≥0，b≥0，c≥0. 2．应用三个正数的算术—几何平均不等式，求最值应注意 什么？ 提示：三个正数的和为定值，积有最大值；积为定值，
和有最小值．当且仅当三个正数相等时取得．
本题考查基本不等式、算术—几何平均值
不等式等基础知识，同时考查了等号成立的条件及推理运算 能力．
[证明] 法一：因为 a，b，c 均为正数，由平均值不 等式得 a2＋b2＋c2≥3(abc) ，
1 － 1 1 1 ＋b＋ c≥3(abc) 3 ， a 2 3
①
1 1 12 所以(a＋b＋ c) ≥9(abc)
设圆柱体的底面半径为 r，如图，由相似 H－h r R 三角形的性质可得 H ＝R，∴r＝H(H－h)． πR2 ∴V 圆柱＝πr2h＝ 2 (H－h)2h(0＜h＜H)． H 根据平均不等式可得 4πR2 H－h H－h 4πR2 H 3 V 圆柱＝ 2 · · · h≤ 2 ( ) H 2 2 H 3 4 2 ＝ πR H. 27 H－h 1 4 2 当且仅当 ＝h，即 h＝ H 时，V 圆柱最大＝ πR H. 2 3 27
中的应用.2012年昆明模拟以解答题的形式考查了算术—
几何平均值不等式在证明不等式中的应用，是高考模拟命
题的一个新亮点．
[考题印证]
(2012· 昆明模拟)已知 a，b，c 均为正数，证明：a2＋b2＋ 1 1 12 c ＋(a＋b＋c ) ≥6 3，并确定 a，b，c 为何值时，等号成立．
2
[命题立意]
的条件是否保持一致．
[通一类] 2．设0<a<1,0<b<1,0<c<1，
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a 3 b 3 ab2 ba2 ，同理， b 3 c 3 bc2 cb 2 ， c 3 a 3 ca 2 ac2 。
将 这 三 个 同 向 不 等 式 的 两 边 分 别 相 加 ， 可 得 2 （ a b c ）
3 3 3
a(b 2 c 2 ) b(c 2 a 2 ) c(a 2 b 2 ) a 2bc b 2ca c 2ab =6abc，
abc 3 abc 。当且仅当 3
a b c 时，等号成立。可叙述为：三个正数的算术平均值不小于它们的几
何平均值。其满足的条件是（一正、二定、三相等）。 （检测反馈） 1.函数 y 3 x A.6 2.函数 y 4 x
2
12 ( x 0) 的最小值是 ( x2
B. 6 6 C.9
) D.12
16 的最小值是____________ ( x 1) 2
2
【拓展延伸】一般地，对 n 个正数 a1，a2，，an (n 2 )，我们把数n n ， a1 a 2 a n 分别称为这 n 个正数的算术平均值于几何平 n
均值， 且有
a b c 33 abc
即
abc 3 abc .显然，此式当且仅当 a b c 时，等号成立. 个正数 3
的算术平均数不小于它们的几何平均数 〔巩固提高〕 1，已知 0<x<4.5，当 x 取什么值时， x 2 (9 2 x) 的值最大？最大值是多少？
【总结归纳】定理 4：如果 a, b, c R ，那么
3 3 3 所以， a b c 3abc显然，此式当且仅当 a b c 时，等号成立。
问题 2，请同学们讨论、尝试证明不等式：定理 4：如果 a, b, c R ，那 么
abc 3 abc 。当且仅当 a b c 时，等号成立。 3
1
证明，由定理三可得， (3 a ) 3 (3 b ) 3 (3 c ) 3 33 a 3 b 3 c ，所以
a1 a 2 ... a n n 此式当且仅当 a 1 = a2 an a1a2 an 。 n
时取“=”号。即 n 个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值。
(学生小结) 谈谈本节课有什么收获与困惑？
2
高二年级第二学期数学学科导学稿 执笔人： 王广青 审核人： 王广青 学校： 安中数学组 时间： 2013 年 3 月 日
个人空间
集体备课 一、课题：三个正数的算术-几何平均不等式 二、学习目标 1．能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决 最值问题； 2．了解基本不等式的推广形式。 三、教学过程 〔温故知新〕
2 2 问题 1：预习，提问学生定理一以及满足的条件。 a + b 2ab (a,b R )。
问题 2： 预习， 提问学生平均值定理以及满足的条件。 其满足的条件是（一正、二定、三相等）。 〔导学释疑〕
ab ab（a,b R ） 2
问 题 1, 请 同 学 们 讨 论 、 尝 试 证 明 不 等 式 ： 如 果 a, b, c R ， 那 么
a 3 b 3 c 3 3abc（当且仅当 a b c 时，等号成立）试证明。
定理三，对任意三个正数 a,b,c,有 a b c 3abc （当且仅当
3 3 3
a b c 时取“=”号） 。
证 明 ， 因 为 a>b ， 所 以 a > b ， 所 以 (a-b)( a - b ) 0, 即