对数换底公式推导
高一数学对数的换底公式及其推论精品PPT课件
3．若log 8 3 = p , log 3 5 = q , 用p,q表示 lg 5
猜测到，肯定壹时半会儿凑不齐。于是她赶快差彩蝶去问问月影，她现在到底有好些银子。没壹会儿彩蝶就回来咯，果然不出她の所料，只有壹千两左右！ 假设想要尽快还债，她必须四处筹集余下の那四千两银子。壹文钱难道英雄汉，更何况水清现在需要の是四千两の巨款！以前在年府当二仆役の时候，水清 从来没有为银子发过愁，因为每壹次の开销，她从来都不用问需要花好些银子，她只需要跟王总管说想要啥啊东西就可以，不多时，她想要の东西就能按时 出现在她の房间。因此她对银子壹点儿概念都没有，不但对银子没有概念，而且还从来都没有积攒银两の意识。出嫁前，年夫人非要往她の身上塞银票，水 清还笑话她の娘亲：难道王府还能少咯这各侧福晋の吃喝不成？直到此时，她才真正体会到咯那句古语：穷家富路。出门壹定要带上足够の银子，否则她可 真就是叫天天不应，叫地地不灵！现在，水清急需四千两の银子，而每各月她只能领到二百两の月银，就是她壹丁点儿都不使用，也需要将近两年の时间才 能攒齐还清！更何况，精明如王爷这样の人，怎么可能不会收她の高利贷？假设将来要连本钱带利息壹并偿还の话，那这四千两，将来需要偿还の时候，可 就要变成咯八千两甚至壹万两！傍晚，苏培盛在向王爷禀报当天事项の时候，随口提咯壹句：“回爷，今天年侧福晋差人来跟奴才问咯还贺礼银子の事 情。”“噢，那件贺礼要好些银子，你到市面上打听过咯吗？”“奴才已经打听过咯，至少也要五千两。”“五千两？”“是の，奴才严格按照爷の吩咐， 绝对没有徇私枉法，绝对是公事公办，壹丁点儿折扣都没敢给侧福晋打。”“上次好像连几百两の银子她都拿不出来？”“是，是，上次她让奴才不要发她 例钱咯，用两各月の例钱补上の。”“噢，那这壹次……”“爷，您の意思是说，要不，侧福晋可以少交点儿？”“噢，不用咯，爷这也是禀公办事，否则 她得咯例外，别の人也要拿她做比照，府里の规矩还怎么遵守？”第壹卷 第418章 支援五千两の数目也将王爷极大地震惊咯！他先是与水清如出壹辙地万 分欣慰，竟然是价值五千两の头面首饰！婉然能够有这么壹份体体面面の嫁妆，他真是安心、放心咯，虽然不能说是咯无遗撼，但最少不会内疚惭愧继而他 又惊叹不已，因为他实在是想不到，戴铎竟然会送上来这么壹份厚礼！至于水清，算咯吧，虽然这各数目有些惊人，但是他已经说出去の话，是断断不可能 收回の，不管她用啥啊办法筹钱，都必须照章办事，秉公执法，不能因为她是侧福晋就能够坏咯府里の规矩。反正她们年家有の是银子，这各数目对她们而 言，只是九牛壹毛，小事壹桩。况且年家作为婉然真正の娘家，出这么壹份重礼，也是理所当然。王爷没有网开壹面，走投无路の水清没有办法，只能求助 于娘家。她不想拖欠王府の这四千两银子，当初跟他答应好好の，万不能反悔。虽然她不敢自比君子，但是她从来都是壹各言而有信之人。年夫人收到年峰 交来の水清の信件，喜极而泣：凝儿，终于养好病咯，终于不用她再担惊受怕咯。高兴不已の年夫人听完年老爷给她念の信，这才晓得宝贝女儿百年不遇地 开壹次口竟然是管娘家要银子，当场惊得目瞪口呆。凝儿可是给她银子都不要の人，怎么这回突然要起银子来咯，而且壹开口就是四千两！虽然这各数目对 年夫人而言并不为难，但上次在王府见到水清昏沉不醒の样子，她の心都碎咯。她の心肝宝贝女儿，先是被婉然抢咯夫君，精神受咯极大の刺激，遭咯那么 大の罪，现在连银子都要娘家支援，年夫人现在终于看明白咯女儿在王府过の是啥啊日子。以前，水清永远都是报喜不报忧，总是跟她讲在王府の生活有多 么の好。可是，这就是女儿口中の幸福の王府侧福晋生活？年夫人没有片刻の耽误，立即差倚红去找年峰筹银票，虽然为咯女儿，她不遗余力，在所不惜， 只是令她百思不解の是，凝儿这是遇到咯多大の难事？竟然要四千两银子？水清在信中并没有说明她要银子の原由，她不敢说这是为咯给婉然姐姐送贺礼而 欠下の借债。她即使没有见到年夫人，但她早早就能够猜出来，娘亲壹定会恨死婉然姐姐咯，恨姐姐抢咯凝儿の夫君。可是，这件事情也不是壹时半会儿就 能够跟娘亲解释清楚，她这各侧福晋都不恨姐姐の“夺夫之恨”呢，娘亲还有啥啊可恨の呢？既然解释不清，就先暂且不提咯，将来假设娘亲问起来の话， 她再想借口，反正是绝对不能告诉实情。不过，即使没有告诉娘亲她需要银子の理由，但她仍然有十足の把握，娘亲壹定会第壹时间给她解决燃眉之急，不， 这不仅仅是燃眉之急，这是真正の雪中送炭！果不其然，当天傍晚，水清就收到咯年府の银票，但是她收到の不是四千两，而是整整壹万两！看着手中の银 票，水清の泪水夺眶而出！第壹卷 第419章 还债知女莫如母。年夫人晓得她の凝儿，不到走投无路の时候，绝不会开口向娘家求救。水清是啥啊人，年夫 人最清楚咯，她の宝贝女儿是壹各对银两毫不在意、甚至根本就没有概念の人。而且她在王府里过得这么不如意，指不定下次还会遇到啥啊难事呢，这壹次 能让她舍下脸来求娘家，已经很让她那极要脸面の女儿极为难堪。万壹下壹次再遇到事情，水清因为不愿意壹而再、再而三地求娘家而走投无路怎么办？因 此年夫人特意多准备出咯六千两，希望她の女儿，即使不得王爷の宠，也不要
换底公式
换底公式的形式：
换底公式是一个比较重要的公式，在很多对数的计算中都要使用，也是高中数学的重点。
log（a）（b）表示以a为底的b的对数。
所谓的换底公式就是log（a）（b）=log(n)(b)/log(n)（a）
换底公式的推导过程：
若有对数log（a）（b）设a=n^x,b=n^y(n>0,且n不为1)
则 log（a）（b）=log（n^x）(n^y)
根据对数的基本公式log(a）(M^n)=nloga(M) 和基本公式log(a^n)M=1/n×log(a) M
易得 log(n^x)(n^y)=y/x
由 a=n^x,b=n^y 可得 x=log(n)(a),y=log(n)(b)
则有：log(a)(b)=log(n^x)(n^y)=log(n)(b)/log(n)(a)
得证：log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a)
例子：log(a)(c) * log(c)(a)=log(c)(c)/log(c)(a) *log(c)(a)=log(c)(c)=1
换底公式的应用：
1.在数学对数运算中，通常是不同底的对数运算，这时就需要换底.
通常在处理数学运算中，将一般底数转换为以e为底（即In）的自然对数或者是转换为以10为底（即lg）的常用对数，方便于我们运算；有时
也通过用换底公式来证明或求解相关问题；
2.在工程技术中，换底公式也是经常用到的公式，例如，在编程语言中，有些编程语言（例如C语言）没有以a为底b为真数的对数函数；只有以常用对数10为底的对数或自然对数e为底的对数（即Ig、In）,此时就要用到换底公式来换成以e或者10为底的对数来表示出以a为底b为真数的对数表达式，从而来处理某些实际问题。
对数公式的推导
对数函数性质的推导由指数函数(01)n a a a b >≠=且，可推知：log a n b =，从而：性质1、log ()log log a a a MN M N =+<证法1>由于m n m na a a +⋅=设,m n M a N a ==则：log a M m =log a N n =m n MN a +=于是：()log log log a a a M N MN m n =+=+性质2、log log log M a a a NM N =-<证明>log log log log log M MN a a a a Na M N a M M N N a a a -=== 对数恒等式由于指数函数是单调函数，故：log log log M a a a N M N=-性质3、log log ()(0,1)log b b a N N a b b >≠=换底公式特例：1log log a b b a=<证明>设，所以。
两边取对数，则有t log log ∂=ββχ所以，∂=ββχlog log t又因为所以性质4、log log n a a M n M=特例：1log log a a n M =<证明>n n M M =可知：()n log n log n MM M αααα==（换底公式）即()log log n a a M nM a a ⋅=由于指数函数是单调函数，故：log log n a a M M n =⋅性质5、log log m m n n a a b b =<证明>lg lg log log lg lg mm n m ma n n n ab b bba a ==⋅=性质6、1log log n a n ab b=注：性质4和性质6都是性质5的特例。
换底公式的推导过程
换底公式的推导过程摘要：一、换底公式简介1.什么是换底公式2.换底公式的应用场景二、换底公式的推导过程1.指数函数的定义2.对数函数的定义3.换底公式推导三、换底公式在实际问题中的应用1.常见函数的换底计算2.实际问题中的换底应用正文：一、换底公式简介换底公式，又称换底对数公式，是数学中一种重要的公式。
它可以将一个以某个底数为底的指数函数或对数函数转换为以任意底数为底的指数函数或对数函数。
换底公式广泛应用于各种数学问题，尤其是涉及到对数和指数运算的问题。
二、换底公式的推导过程1.指数函数的定义：设a>0 且a≠1，函数f(x)=a^x (x∈R)，称为以a 为底的指数函数。
2.对数函数的定义：设a>0 且a≠1，函数g(x)=log_a x (x>0)，称为以a 为底的对数函数。
3.换底公式推导：设y=f(x)=a^x，我们想要找到一个与f(x) 等价的函数，即h(x)=b^x，其中b 为任意正实数且b≠1。
我们可以通过对f(x) 取对数，然后用g(x) 表示，即：log_b y = log_b (a^x) = x * log_b a这样我们就得到了h(x) = b^x，即：h(x) = b^(x * log_b a)因此，我们可以用h(x) 替代f(x)，使得以b 为底的指数函数与以a 为底的指数函数等价。
三、换底公式在实际问题中的应用1.常见函数的换底计算：在实际问题中，我们常常需要将一个函数表示为另一种底数的函数。
例如，将自然指数函数表示为以2 为底的指数函数，可以使用换底公式：2^x = e^(x * log_e 2)2.实际问题中的换底应用：在物理学、化学和工程等领域，换底公式经常用于计算各种物理和化学常数的对数。
例如，在计算气体定律问题时，我们需要计算气体的体积、温度和压强等参数的对数，这时可以使用换底公式将底数为自然常数e 的对数转换为底数为任意正实数的对数，以便进行计算。
《对数的换底公式》课件
对数的应用
Байду номын сангаас
复利计算
对数可以用于计算复利。 它可以简化复利计算公式， 提高计算效率。
声音表示
对数可以用于表示声音的 强度和频率。它可以将庞 大的数值转换为更易理解 的单位。
解决复杂问题
对数还可以用于解决一些 复杂的数学问题。它可以 简化计算过程，并提供新 的思路。
总结
1 换底公式的作用 2 对数的多种性质
《对数的换底公式》PPT 课件
在这个PPT课件中，我们将学习什么是对数的换底公式以及它的应用。通过生 动的图像和实例，让我们一起探索这个有趣且实用的数学概念。
什么是对数换底公式？
对数换底公式是用来将不同底数的对数转换为相同底数的对数的公式。它有 着广泛的应用，并可以简化数学计算。
对数换底公式的推导
对数的换底公式可以 将不同底数的对数转 换为相同底数的对数。 这大大方便了数学计 算的进行。
对数具有多种性质， 应用广泛。我们应该 深入了解这些性质， 发挥它们在实际问题 中的威力。
3 掌握换底公式的
重要性
熟练掌握对数的换底 公式可以在实际应用 中极大地方便计算， 并解决各种数学问题。
通过对数的定义式$log_{a}b=c$转换为指数形式，并利用指数的运算规律，我 们可以推导出对数的换底公式。
对数的性质
基数要求
对数的基数必须为正数且不能为1。这是对数函数的基本性质之一。
真数要求
对数的真数必须为正数。只有正数才能取对数。
反函数关系
对数函数的反函数是幂函数。这为我们研究对数与幂函数之间的关系提供了便利。
高一数学对数的换底公式及其推论
4
解：二) log4 3 log2 8 log2 4 log2 4 log 1 log2 2 3 9 3 1 2 2 ( 2) ( 1 ) 2 3 1 4 2 2 2
作业：课本P74的4（3）、5
1.课本P74，第1,2,3,4,5,7题 1．求值：
3) log4 3 log9 2 log1
2
32
3 3） 2
条件求值
例2．已知
用a, b 表示
log2 3 a, log3 7 b
l og6 21
l og3 21 l og3 ( 3 7) 解： l og6 21 l og3 ( 2 3) l og3 6
l og3 3 l og3 7 l og3 2 l og3 3
(log2 5 log4 0.2)(log5 2 log25 0.5)
2．若 log3 4 log4 8 log8 m log4 2,求m
3 若l og 8 3 p, l og 3 5 q,
2.各小组数学负责人17:50办公室
用p, q表 示 l g5
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附赠 中高考状元学习方 法
前 言 高考状元是一个特殊的群体，在许
多人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺 目的星星那样遥不可及。但实际上他们和 我们每一个同学都一样平凡而普通，但他 们有是不平凡不普通的，他们的不平凡之 处就是在学习方面有一些独到的个性，又 有着一些共性，而这些对在校的同学尤其 是将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
2
小结:
( a > 0 ,a 1 ，m > 0 ,m 1,N>0) 三个推论:
原创精品课件1：3.4 第2课时 对数的运算性质和换底公式(导学式)
典例精讲：题型二：运用 对数的运算性质求值
【例2】计 算： (1); (3) (4) (2)；
[思路分析]运用对数运算性质求值时，当底数相同， 则直接利用对数运算性质求解，若底数不同，则借 助对数运算性质和换底公式，化式子为同底的形式 ，同时尽可能使真数只有一种或少数几种(通常为
典例精讲：题型二：运用 对数的运算性质求值
探究 点2
换底公式
换底公式用途和 本质: (1)换底公式的主要用途在于将一般对数式化为常 用对数或自然对数，然后查表求值，以此来解决 对数求值的问题． (2)换底公式的本质是化为同底，这是解决对数 问题的基本方法．
典例精讲：题型一：对 数的运算性质
【例 1】 用 logax ， logay ， logaz 表
第三章 指数函数和对 数函数
§4 对数
第2课时 对数的运算性质和 换底公式
高中数学必修1· 精品课
学习目标
1 ．加深对数的
概念. 2．理解对数运算性质的推导过程，掌握对数的运算 性质、换底公式. 3．能熟练运用对数的运算性质进行 化简求值．
引入 课题
在前面，我们已经知道对数式 logaN ＝ x 是由
探究 点2
换底公式
问题 结合对数的定义，你能推导出对数的 1: 换底公式吗? (a>0,且a≠1; c>0,且 c≠1; b>0)
证明：设， 由对数的定义可得：
两边取以c为底的对数得： ∴
即证得 ∴
探究 点2
换底公 式:
换底公式 (a>0,且a≠1; c>0,且 c≠1; b>0)
即：一个对数可以用同底数的两个对数 的商来表示． 推论 (1)bnlogab； logba＝1)． (2)logab＝ (或logab·
log函数的求导公式
log函数的求导公式
一般地，如果a（a大于0，且a不等于1）的b次幂等于n(n\ue0)，那么数b叫做以a为底n的对数，记作log an=b,读作以a为底n的对数，其中a叫做对数的底数，n叫做真数。
一般地，函数y=log(a)x，（其中a是常数，a\ue0且a不等于1）叫做对数函数。
log函数的运算公式主要有运算法则、换底公式和推导公式。
1.运算法则：
（1）log a(mn)=log am+logan
（2）log a(m/n)=log am-logan
（3）logann=nlogan
（4）(n,m,n∈r)
如果a=em，则m为数a的自然对数，即lna=m，e=2.…为自然对数的底，其为无穷不循环小数。
定义：若an=b（a\ue0，a≠1）则n=log ab。
2.换底公式（很重要）
log mn=log a m/log an
换底公式导出
log mn= -log nm
3推导公式
log (1/a) (1/b) = log (a^-1) (b^-1) = -1logab/-1 = log a(b)
log a(b)*log b(a) =1
loge(x)= ln (x)
lg(x)=log10(x)
介绍了log函数的运算公式，才能对函数公式有效率地展开转变，从而进一步提高运算的效率和准确性。
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对数换底公式推导
对数换底公式是一种有用的数学公式，可以快速从一种底数（如2）更改为另一种底数，以便解决复杂的数学问题。
对数换底公式可以起到辅助解决这些问题的作用，也可以用于各种复杂的数学演算。
本文将结合实例来加深对换底公式的理解，并讨论推导过程。
对数换底公式的推导
首先，给出对数换底公式的通式：
logaX = logbX/logbA
其中，“logaX”表示以a为底的X的对数，“logbX”表示以b为底的X的对数，“logbA”表示以b为底的A的对数。
这个公式可以用来换算出任意一种底数下的任意一个数的对数。
要推导出这个公式，需要考虑两个步骤：
第一步：以a为底，将X的对数表示为幂函数，即：
X = A^(logaX)
第二步：以b为底，将X的对数表示为幂函数，即：
X = B^(logbX)
结合上面两个步骤，得到：
A^(logaX) = B^(logbX)
将A和B都取以b为底的对数，得到：
logbA^(logaX) = logbB^(logbX)
化简得到：
logbA * logaX = logbB * logbX
从而得到：
logaX = logbX/logbA
实例验证
下面利用实例来加深对换底公式的理解。
假设现在有个数为1024，以2为底的对数是10，问它以8为底的对数（log81024）是多少？
解：根据换底公式，log81024=log210/log28=10/3=3.33
得出结论：log81024=3.33
结论
本文介绍了对数换底公式的推导过程，并利用实例加深了读者对该公式的理解。
由于换底公式可以方便地从一种底数（如2）更改为另一种底数（如8），因此在解决各种复杂的数学问题时，可以起到辅助解决这些问题的作用。