高中数学方法讲解之放缩法
高中数学 4-5反证法与放缩法课件分解
用放缩法证明不等式,关键是放、缩适当.例如上 述过程中,如果把和式的4 项分母依次缩为a,b, c, d , 那 么 和 放 大 为4, 显 然 太 大 了.
课前探究学习
课堂讲练互动
知能达标演练
例4
已知a,
b是 实 数, 求 证
|a 1 |
a
b
| b
|
|a| 1 | a
|
|b| 1 | b
|
.
a
a a
abcd abd ab
b
b b,
abcd bca ba
c
c c,
abcd cdb cd
d
d d,
abcd dac dc
课前探究学习
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知能达标演练
把以上四个不等式相加, 得
abcd a b abcd abd bca
c
c d
b
d
d ac
ab ab
cd cd
,
即
1 a b c d 2. abd bca cdb dac
2．放缩法 将所需证明的不等式的值适当 放大 (或 缩小 )
使它由繁化简，达到证明目的．如果所要证明的不 等式中含有分式，把分母放大，则相应分式的值 放大 ，反之，把分母缩小，则分式的值 缩小 ．
试一试：用放缩法证明不等式常用的方法有哪些？
提示 ①添加或舍去一些项； ②将分子或分母放大(或缩小)； ③真分数的性质：若 0＜a＜b，m＞0，则ab＜ab＋ ＋mm； ④利用基本不等式； ⑤利用函数的单调性； ⑥绝对值不等式：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. ⑦利用函数的有界性：如：|sin x|≤1(x∈R)；x2－x≥14(x∈R)； 2x＞0(x∈R)．
高中数学放缩法公式
“放缩法”证明不等式的基本策略1、添加或舍弃一些正项（或负项）例1、已知*21().n n a n N =-∈求证：*122311...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈ 证明：111211111111.,1,2,...,,2122(21)2 3.222232k k k k k k kk a k n a +++-==-=-≥-=--+-1222311111111...(...)(1),2322223223n n n n a a a n n n a a a +∴+++≥-+++=-->-*122311...().232n n a a a n nn N a a a +∴-<+++<∈ 若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。
由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。
本题在放缩时就舍去了22k-，从而是使和式得到化简.2、先放缩再求和（或先求和再放缩）例2、函数f （x ）=xx 414+，求证：f （1）+f （2）+…+f （n ）>n +)(2121*1N n n ∈-+. 证明：由f (n )=nn 414+=1-1111422n n>-+⋅ 得f （1）+f （2）+…+f （n ）>n22112211221121⋅-++⋅-+⋅-)(2121)2141211(41*11N n n n n n ∈-+=++++-=+- .此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和. 若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。
如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。
“三角函数放缩法技巧全总结”
“三角函数放缩法技巧全总结”昨天爱老师在高考数学文章中，承诺过大家今天要具体讲解一下不等式证明技巧——放缩法。
我来履行诺言啦！那为什么要单独挑出“放缩法”来讲呢？那是因为压轴题只要考到不等式证明，一般会用到这个方法，它属于压轴必备技巧哟！快点码起来~ 放缩法其实是在证明不等式成立时，通过放大或缩小，寻找一个中间量而已。
但是说起来简单，真正求解的话还是比较难的，因为中间变量不是直接可以找到的，有时候甚至给了答案我们都看不明白。
所以放缩的一些常见技巧大家还是要熟悉。
一般是裂项放缩，这个方法在数列的裂项相消里是经常用到的。
例如：求下图的值一看就是有分子分母的形式还要累加，对于这种形式我们最熟悉的莫过于数列中的裂项相消的方法。
但是对于这个题目并不是可以直接裂开的，所以我们要先去通过放缩法对其化简成可裂项相消的形式，再去累加求解。
所以本题解法为：其实这只是一个简单的放缩技巧，所以接下来重点来了，一些常见形式的放缩形式的总结如下（部分总结）：对于姐妹不等式我们并不陌生，相反初中我们就已经熟悉这个形式了，只是当时我们是以假分数真分数的形式去记忆去理解，那到了高中我们还是用这个性质记忆口诀”小者小,大者大”。
例如：证明对于这个形式看上去没有好的方法去证明，所以想到放缩法去求解，实质就是根据咱们上边的不等式的基本性质。
一个不等式证明我们求解可能将其分为几部分，分别放缩求解，但是要注意我们放缩的方向是一致的，也就是要不都是放大，要不都是放小，切忌符号混乱。
例如：对于这个不等式，我们有很多项，所以放缩的话可以分别放缩这个方法更适合数列或者函数的形式去放缩，有迭代关系。
例如：对于这个题目，是数列的前n项和的形式，虽然不能转化为等差或者等比数列，但是我们要往这个形式去转化，去求解，去化简，然后又想到三角函数的值他是有范围的，肯定在[-1,1],所以从这可以开始放缩。
这个方法也是更适合数列或函数的形式去放缩。
例如：虽然仅仅只是总结了几个放缩的形式，但其实每个例题都是干货满满，并且需要大家消化和练习。
高中数学(人教版选修4-5)配套课件第二讲 2.3 反证法与放缩法
栏 目 链 接
1 1 同理，(1－b)b≤ ，(1－c)c≤ ， 4 4 1 ∴(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤ ，与假设矛盾． 64 1 ∴(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 不能同时大于 . 4 1 证法二 假设三式同时大于 . 4 ∵0＜a＜1，∴1－a＞0， －a ＋b 1 1 ≥ －a b＞ ＝ . 2 4 2 －b ＋c －c ＋a 1 同理 ， 都大于 . 2 2 2 3 3 三式相加，得 ＞ ，此式矛盾， 2 2 ∴原命题成立．
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例 3 若 a，b，c，d∈R＋，求证：1<
a b c ＋ ＋ a＋b＋d b＋c＋a c＋d＋b
d ＋ <2. d＋a＋c
a b c d 证明：记 x＝ ＋ ＋ ＋ . a＋b＋d b＋c＋a c＋d＋b d＋a＋c ∵a、b、c、d∈R＋， a b c d ∴x> ＋ ＋ ＋ ＝1， a＋b＋c＋d a＋b＋c＋d a＋b＋c＋d a＋b＋c＋d a b c d x< ＋ ＋ ＋ ＝2. a＋b a＋b c＋d c＋d ∴1<x<2，即原式成立．
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1 1 1 1 － < <1－ ， 2 3 22 2 1 1 1 1 1 － < < － ， 3 4 32 2 3 „， 1 1 1 1 1 － < < － . n n＋1 n2 n－1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 将它们相加得： － ＋ － ＋„＋ － < ＋ ＋„＋ 2<1－ 2 3 3 4 n n＋1 22 32 n 2 1 1 1 1 ＋ － ＋„＋ － . 2 3 n－1 n 1 1 1 1 1 1 即 － < ＋ ＋„＋ 2<1－ . 2 n＋1 22 32 n n 3 1 1 1 1 1 ∴ － <1＋ 2＋ 2＋„＋ 2<2－ (n∈N*，且 n≥2)． 2 n＋1 2 3 n n
人教版高中数学选修第二讲三反证法与放缩法ppt课件
【名师点评】 当题目结论为否定性命题时，常采用反证法来证明， 对结论的否定要全面不能遗漏，最后的结论可以与已知的定义、定 理、已知条件、假设矛盾．
变式训练 1 已知 f(x)＝x2＋px＋q， (1)求证：f(1)＋f(3)－2f(2)＝2； (2)求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于 1 2.
谢谢观看！
3．放缩法的理论依据
(1)不等式的传递性；
(2)等量加不等量为不等量；
(3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．
4．常用的放缩技巧
(1)舍掉(或加进)一些项；
(2)在分式中放大或缩小分子或分母；
(3)应用重要
不等
式进行
放缩
，如(a＋12)2＋
3 4
>(a＋
1 2
)2；k12
a＋b22＝|a＋b2|≥a＋b2.
b2＋bc＋c2＝
c＋b22＋34b2
≥
c＋b22＝|c＋b2|≥c＋b2.
∴ a2＋ab＋b2＋ b2＋bc＋c2≥a＋b＋c.
【名师点评】 (a＋b2)2＋34b2 去掉非负数34b2 而变小．
变式训练 3 求证：32－n＋ 1 1<1＋212＋312＋…＋n12<2 －n1(n∈N＋，n≥2)．
方法感悟
1．反证法的证题思路及适用类型 要证不等式M>N，先假设M≤N，由题设及其他性质推出矛盾，从而 肯定M>N成立．凡涉及到的证明不等式为否定性命题,唯一性命题,或 是含“至多”、“至少”等字句时，可考虑使用反证法．
2．常用的换元法——三角换元 对于条件不等式的证明，当所给的条件较复杂，一个变量不易用另 一个变量表示时，可考虑三角换元,将两个变量都用一个参数表示， 此法如果运用得当,可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转 化为三角问题，如问题中已知x2＋y2＝a2，a∈(0，＋∞)，可设x＝ acosθ，y＝asinθ；若已知x2＋y2≤1，可设x＝rcosθ，y＝rsinθ(|r|≤1) 等．
《反证法和放缩法》 说课稿
《反证法和放缩法》说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是《反证法和放缩法》。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程、板书设计这几个方面来展开我的说课。
一、教材分析本节课是高中数学选修 2-2 中的内容。
反证法和放缩法是数学中重要的证明方法，它们在解决数学问题和培养学生逻辑思维能力方面具有重要的作用。
反证法是一种间接证明的方法，通过先假设命题的结论不成立，然后推出矛盾，从而证明原命题成立。
放缩法是通过对不等式的适当放大或缩小，来达到证明不等式的目的。
教材在编排上，先介绍反证法，再引入放缩法，使学生在学习过程中逐步掌握这两种方法，并能灵活运用。
二、学情分析学生在之前的学习中已经掌握了直接证明的方法，如综合法和分析法，但对于间接证明的方法接触较少。
在思维能力方面，学生已经具备了一定的逻辑推理能力，但对于反证法和放缩法这种较为抽象和灵活的证明方法，还需要进一步的引导和训练。
此外，学生在学习过程中可能会遇到以下困难：一是对于反证法中如何正确地提出反设，以及如何推出矛盾感到困惑；二是在使用放缩法时，难以把握放缩的尺度和方向。
三、教学目标1、知识与技能目标（1）学生能够理解反证法和放缩法的概念和基本原理。
（2）掌握反证法和放缩法的一般步骤，并能运用这两种方法证明简单的数学命题。
2、过程与方法目标（1）通过对具体问题的分析和解决，培养学生的逻辑推理能力和创新思维能力。
（2）让学生经历探索、发现和应用的过程，体会数学方法的多样性和灵活性。
3、情感态度与价值观目标（1）激发学生对数学的兴趣，培养学生勇于探索和创新的精神。
（2）通过合作学习，培养学生的团队合作意识和交流能力。
四、教学重难点1、教学重点（1）反证法的概念、步骤和应用。
（2）放缩法的基本原理和常见的放缩技巧。
2、教学难点（1）如何正确地提出反设，并通过推理推出矛盾。
（2）在运用放缩法时，如何合理地进行放缩。
高考数学-压轴题-放缩法技巧全总结 (1)
2021高考数学备考之 放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩例1.(1)求∑=-n k k 12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k .解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k nk 奇巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n n n (2))1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n(3))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+r r r r r r n r n r n nC Tr rrn r (4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n nn(5)nn nn21121)12(21--=- (6)n n n -+<+221(7))1(21)1(2--<<-+n n nn n (8)n n n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-(9)⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n(11)21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n(11) )2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n(12) 111)1(1)1(1)1)(1(11123--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<⋅=n n n n n n n n n nn n11112111111+--<-++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=n n n n n n n(13) 3212132122)12(332)13(2221nnn n n n n n n <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(14)!)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k (15))2(1)1(1≥--<+n n n n n (15) 111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i j i j i j i j i ji j i例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n (2)求证:n n412141361161412-<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn(4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn解析:(1)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以 )12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni (2))111(41)1211(414136116141222nnn-+<+++=++++(3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ,再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案(4)首先nn n n n++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到nn 131211)11(2++++<-+再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211-+<++++n n例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n解析: 一方面: 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 另一方面: 1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n例4.(2008年全国一卷)设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<.1()n n a f a +=. 设1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b-≥.证明:1k a b +>.解析: 由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列, 故 若存在正整数k m ≤, 使b a m≥,则b a a k k ≥>+1,若)(k m b a m≤<,则由101<<≤<b a a m 知0ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m ,∑=+-=-=km m m k k k k a a a a a a a111ln ln ,因为)ln (ln 11b a k a akm m m<∑=,于是b a b a b a k a a k =-+≥+>+)(|ln |11111例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+ 321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n .解析:首先可以证明:nx x n+≥+1)1(∑=++++++++--=-++---+--=n k m m m m m m m m k k n n n n n 111111111])1([01)2()1()1( 所以要证1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n 只要证:∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--nk m m m m m m m m m n k m n k m m k k n n n n n k m k k 111111111111111])1[(2)1()1(1)1()1(])1([故只要证∑∑∑=++==++-+<+<--nk m m n k m n k m m k k k m k k 1111111])1[()1(])1([,即等价于m m mm m k k k m k k -+<+<--+++111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m kkm kkm 而正是成立的,所以原命题成立.例6.已知n n n a 24-=,nn na a a T +++=212,求证:23321<++++nT T T T .解析:)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321n n nn n n nT -+-=-----=+++-++++=所以123)2(22232234232323422234342)21(2)14(3422111111+⋅-⋅⋅=+⋅-⋅=-+=-+-=-+-=++++++n n nn n n n n n n n n n n nn T⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--⋅⋅=+12112123)12)(122(2231n n nn n 从而231211217131311231321<⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-=+++++n n nT T T T例7.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n,求证:*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+证明:nn n n n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122=⋅=>-=+-=+,因为12++<n n n ,所以)1(2122214122n n n n n x x n n -+=++>>+所以*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+二、函数放缩例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n nn∈+-<++++ .解析:先构造函数有xxx x x 11ln 1ln -≤⇒-≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln n n nn+++--<++++ cause ⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n n n n 31121219181716151413121313121 6533323279189936365111n n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++>---所以665365133ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n nn例9. 例10.首先:⎰-<n in ABCFx S1,从而,)ln(ln |ln 11i n n x x i n n i n ni n --==<⋅--⎰ 取1=i 有,)1ln(ln 1--<n n n, 所以有2ln 21<,2ln 3ln 31-<,…,)1ln(ln 1--<n n n,n n n ln )1ln(11-+<+,相加后可以得到: )1ln(113121+<++++n n 另一方面⎰->n i n ABDExS 1,从而有)ln(ln |ln 11i n n x x i i n n i n ni n --==>⋅---⎰ 取1=i 有,)1ln(ln 11-->-n n n , 所以有nn 1211)1ln(+++<+ ,所以综上有nn n 1211)1ln(113121+++<+<++++ 例11.求证:e n <+⋅⋅++)!11()!311)(!211( 和e n <+⋅⋅++)311()8111)(911(2 .解析:构造函数后即可证明 例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++⋅⋅⨯+⋅⨯+n e n n 解析:1)1(32]1)1(ln[++->++n n n n ,叠加之后就可以得到答案例13.证明:)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n 解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到:12111)('--=--=x x x x f ,令0)('>x f 有21<<x ,令0)('<x f 有2>x ,所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12+=n x 有,1ln 22-≤n n 所以211ln -≤+n n n,所以)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n 例14. 已知112111,(1).2n n n aa a n n +==+++证明2n a e <. 解析:nn n n n a n n a n n a )21)1(11(21))1(11(1+++<+++=+, 然后两边取自然对数,可以得到nn n a n n a ln )21)1(11ln(ln 1++++<+ 然后运用x x <+)1ln(和裂项可以得到答案) 放缩思路：⇒+++≤+n nn a nn a )2111(21⇒++++≤+n nn a nn a ln )2111ln(ln 21nn n n a 211ln 2+++≤。
[整理版]高中数学放缩法
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高考专题 放缩法缩法是不等式证明中一种常用的方法，也是一种非常重要的方法。
在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。
但放缩的范围较难把握，常常出现放缩之后得不出结论或得出相反结论的现象。
因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。
要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。
掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活，从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力。
数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．一．先求和后放缩例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求：（1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：21<n B解：（1）由已知得2)1(4+=n n a S ，2≥n 时，211)1(4+=--n n a S ，作差得：1212224----+=n n n n n a a a a a ，所以0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，又因为{}n a 为正数数列，所以21=--n n a a ，即{}n a 是公差为2的等差数列，由1211+=a S ，得11=a ，所以12-=n a n（2）)121121(21)12)(12(111+--=+-==+n n n n a a b n n n ，所以21)12(2121)1211215131311(21<+-=+---+-=n n n B n 注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前n 项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列{}n a 满足条件()n f a a n n =-+1）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和．二．先放缩再求和1．放缩后成等差数列，再求和例2．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n n a a S +=.(1) 求证：2214n n n a a S ++<；(2) 求证：112122n n n S S S S S +-<++⋅⋅⋅+<解：（1）在条件中，令1=n ，得1112122a S a a ==+，1011=∴>a a ，又由条件n n n S a a 22=+有11212+++=+n n n S a a ，上述两式相减，注意到n n n S S a -=++11得)1)((11=--+++n n n n a a a a01>+∴>+n n n a a a∴11n n a a +-=所以， n n a n =-⨯+=)1(11，(1)2n n n S +=所以42)1(212)1(21222++=++∙<+=n n n a a n n n n S（2）因为1)1(+<+<n n n n ，所以212)1(2+<+<n n n n ，所以2)1(23222121+++⨯+⨯=++n n S S S n 212322++++<n 2122312-=+=+n S n n ；222)1(2222121nn S n n n S S S =+=+++>++2．放缩后成等比数列，再求和例3．（1）设a ，n ∈N *，a ≥2，证明：n n na a a a⋅+≥--)1()(2；（2）等比数列{a n }中，112a =-，前n 项的和为A n ，且A 7，A 9，A 8成等差数列．设nn n a a b -=12，数列{b n }前n 项的和为B n ，证明：B n ＜13．解：（1）当n 为奇数时，a n ≥a ，于是，n n n n na a a a a a⋅+≥+=--)1()1()(2．当n 为偶数时，a －1≥1，且a n ≥a 2，于是n n n n n n n a a a a a a a a a a a ⋅+≥⋅-+=⋅-≥-=--)1()1)(1()1()1()(22．（2）∵9789A A a a -=+，899A A a -=-，899a a a +=-，∴公比9812a q a ==-．∴nn a )21(-=． nn n nn n b 231)2(41)21(141⋅≤--=--=．∴n n b b b B ++=2131)211(31211)211(213123123123122<-=--⋅=⋅++⋅+⋅≤n n ．3．放缩后为差比数列，再求和例4．已知数列{}n a 满足：11=a ，)3,2,1()21(1 =+=+n a na n n n ．求证：11213-++-≥>n n n n a a 证明：因为n nn a na )21(1+=+，所以1+n a 与n a 同号，又因为011>=a ，所以0>n a ，即021>=-+n nn n a na a ，即n n a a >+1．所以数列{}n a 为递增数列，所以11=≥a a n ，即n n n n n n a n a a 221≥=-+，累加得：121212221--+++≥-n n n a a ．令12212221--+++=n n n S ，所以n n n S 2122212132-+++= ，两式相减得：n n n n S 212121212121132--++++=- ，所以1212-+-=n n n S ，所以1213-+-≥n n n a ，故得11213-++-≥>n n n n a a ．4．放缩后为裂项相消，再求和例5．在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中，若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数），则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1( -+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列321的逆序数63=a ．（1）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式；（2）令nn n n n a aa ab 11+++=，证明32221+<++<n b b b n n ，n =1,2,….解（1）由已知得15,1054==a a ，2)1(12)1(+=+++-+=n n n n a n .（2）因为 ,2,1,22222211==+⋅+>+++=+=++n nn n n n n n n a a a a b n n n n n ，所以n b b b n 221>+++ .又因为 ,2,1,222222=+-+=+++=n n n n n n n b n ，所以)]211()4121()3111[(2221+-++-+-+=+++n n n b b b n =32221232+<+-+-+n n n n .综上， ,2,1,32221=+<++<n n b b b n n .注：常用放缩的结论：（1）)2(111)1(11)1(11112≥--=-<<+=+-k kk k k k k k k k（2）．)2)(111(212112)111(2≥--=-+<<++=+-k kk k k kk k k k常见高考放缩法试题1. 设{}{},n n a b 都是各项为正数的数列，对任意的正整数n ，都有21,,n n n a b a +成等差数列，2211,,n n n b a b ++成等比数列．（1）试问{}n b 是否成等差数列？为什么？（2）如果111,2a b ==，求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．2. 已知等差数列｛n a ｝中，2a ＝8，6S ＝66.（Ⅰ）求数列｛n a ｝的通项公式；（Ⅱ）设n n a n b )1(2+=，n n b b b T +++= 21，求证：n T ≥16.3. 已知数列{n a }中531=a ，112--=n n a a （n ≥2，+∈N n ），数列}{nb ，满足11-=n n a b （+∈N n ）（1）求证数列{n b }是等差数列；（2）求数列{n a }中的最大项与最小项，并说明理由；（3）记++=21b b S n …n b +，求1)1(lim +-∞→n nS b n n ．4. 已知数列{a n }中，a 1>0, 且a n +1=23na +， (Ⅰ)试求a 1的值，使得数列{a n }是一个常数数列；(Ⅱ)试求a 1的取值范围,使得a n +1>a n 对任何自然数n 都成立；(Ⅲ)若a 1 = 2，设b n = | a n +1－a n | (n = 1，2，3，…)，并以S n 表示数列{b n }的前n 项的和，求证：S n <25．5. （1）已知：)0(∞+∈x ，求证xx x x 11ln 11<+<+；（2）已知：2≥∈n N n 且，求证：11211ln 13121-+++<<+++n n n 。
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放缩法（一）
将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的的方法，叫放缩
法。
放缩法的方法有：
⑴添加或舍去一些项，如：aa12；nnn)1(
⑵将分子或分母放大（或缩小）
⑶利用基本不等式，如：
4lg16lg15lg)25lg3lg(5lg3log2
；
2
)1()1(nn
nn
⑷利用常用结论：
Ⅰ、kkkkk21111；
Ⅱ、kkkkk111)1(112 ；
111)1(112kkkk
k
（程度大）
Ⅲ、)1111(21)1)(1(111122kkkkkk ； （程
度小）
例1.若a, b, c, dR+，求证：
21
caddbdccacbbdba
a
【巧证】：记m =caddbdccacbbdbaa
∵a, b, c, dR+
∴1cbaddbadccacbabdcbaam
2cdddccbabbaam
∴1 < m < 2 即原式成立
例2.当 n > 2 时，求证：1)1(log)1(lognnnn
【巧证】：∵n > 2 ∴0)1(log,0)1(lognnnn
∴2222)1(log2)1(log)1(log)1(log)1(lognnnnnnnnnn
12log22
n
n
∴n > 2时, 1)1(log)1(lognnnn
例3.求证：213121112222n
【巧证】：nnnnn111)1(112
∴2121113121211113121112222nnnn
十二、放缩法:
巧练一：设x > 0, y > 0,yxyxa1, yyxxb11，求证：
a < b
巧练一：【巧证】：yyxxyxyyxxyxyx11111
巧练二：求证：lg9•lg11 < 1
巧练二：【巧证】：122299lg211lg9lg11lg9lg222
巧练三：1)1(log)1(lognnnn
巧练三：【巧证】：
2
2
2
)1(log)1(log)1(logn
nn
n
nn
12log22
n
n
巧练四：若a > b > c, 则0411accbba
巧练四：【巧证】：
cacbbacbbacbba4)()(22))((
1211
2
巧练五：)2,(11211112nRnnnnn
巧练五：【巧证】：左边11111122222nnnnnnnn
巧练六：121211121nnn
巧练六：【巧证】： 11121nnnn中式
巧练七：已知a, b, c > 0, 且a2 + b2 = c2，求证：an + bn
< cn (n≥3, nR*)
巧练七：【巧证】： ∵122cbca，又a, b, c > 0,∴
22,cbcbcacann
∴1nncbca
放缩法是不等式的证明里的一种方法，其他还有比较法，综合法，分析法，反证法，代换
法等。
所谓放缩法，要证明不等式A
（1）舍掉（或加进）一些项。
（2）在分式中放大或缩小分子或分母。
（3）应用基本不等式放缩。
（4）应用函数的单调性进行放缩。
（5）根据题目条件进行放缩。
放缩法的理论依据主要有：
（1）不等式的传递性；
（2）等量加不等量为不等量；
（3）同分子（母）异分母（子）的两个分式大小的比较。
放缩法是贯穿证明不等式始终的指导变形方向的一种思考方法 。
注意：（1）放缩的方向要一致。
（2）放与缩要适度
（3）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出
现放缩失当的现象。所以对放缩法，只需要了解，不宜深入。