【推荐】平面向量加减法、数乘、数量积(必修4精华)
平面向量的运算法则
平面向量的运算法则平面向量是解决平面几何问题的重要工具，通过向量的运算可以简化平面几何问题的处理过程。
本文将介绍平面向量的基本概念和运算法则，以及其在几何问题中的应用。
一、平面向量的表示平面向量用有序数对表示，常用形式为A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，其中A和B分别表示向量的起点和终点，(x₁, y₁)和(x₂, y₂)表示向量的坐标。
二、平面向量的加法平面向量的加法指的是将两个向量按照特定的法则相加，得到一个新的向量。
设有向量A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，则向量A与向量B的和C可以表示为C(x₁ + x₂, y₁ + y₂)。
三、平面向量的减法平面向量的减法指的是计算出一个新的向量，使得用该向量加上被减向量等于另一个向量。
设有向量A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，则向量A 与向量B的差D可以表示为D(x₁ - x₂, y₁ - y₂)。
四、平面向量的数量乘法平面向量的数量乘法指的是将一个向量乘以一个实数，得到一个新的向量。
设有向量A(x, y)和实数k，kA可以表示为kA(kx, ky)。
五、平面向量的点乘平面向量的点乘指的是两个向量的对应坐标相乘后相加的运算。
设有向量A(x₁, y₁)和向量B(x₂, y₂)，则向量A与向量B的点乘可以表示为A·B = x₁x₂ + y₁y₂。
六、平面向量的叉乘平面向量的叉乘指的是两个向量按照一定的法则相乘，得到一个新的向量。
设有向量A(x₁, y₁)和向量B(x₂, y₂)，则向量A与向量B的叉乘可以表示为A×B = x₁y₂ - x₂y₁。
七、平面向量的模长平面向量的模长指的是一个向量的长度，可以通过勾股定理求得。
设有向量A(x, y)，则向量A的模长可以表示为|A| = √(x² + y²)。
八、平面向量的单位向量平面向量的单位向量指的是模长为1的向量，可以通过将向量除以其模长得到。
设有向量A(x, y)，则向量A的单位向量可以表示为Â = (x/|A|, y/|A|)。
高中数学平面向量的运算法则及应用解析
高中数学平面向量的运算法则及应用解析一、引言在高中数学中，平面向量是一个重要的概念，它不仅有着广泛的应用，而且在解题过程中也有着独特的运算法则。
本文将围绕平面向量的运算法则及应用展开讨论，通过具体的题目举例，分析解题思路和考点，帮助高中学生提高解题能力。
二、平面向量的基本概念平面向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示。
平面向量的运算包括加法、减法、数乘和数量积。
1. 平面向量的加法平面向量的加法满足交换律和结合律。
例如，已知向量a = (3, 4)和向量b = (-1, 2)，求向量c = a + b。
解析：根据平面向量的加法法则，我们可以将向量a和向量b的对应分量相加，得到向量c的对应分量。
即c = (3 + (-1), 4 + 2) = (2, 6)。
2. 平面向量的减法平面向量的减法可以看作是加法的逆运算。
例如，已知向量a = (3, 4)和向量b= (-1, 2)，求向量c = a - b。
解析：根据平面向量的减法法则，我们可以将向量a和向量b的对应分量相减，得到向量c的对应分量。
即c = (3 - (-1), 4 - 2) = (4, 2)。
3. 平面向量的数乘平面向量的数乘是指将向量的每个分量都乘以一个实数。
例如，已知向量a = (3, 4)，求向量b = 2a。
解析：根据平面向量的数乘法则，我们可以将向量a的每个分量都乘以2，得到向量b的对应分量。
即b = (2 × 3, 2 × 4) = (6, 8)。
4. 平面向量的数量积平面向量的数量积是指将两个向量的对应分量相乘再相加。
例如，已知向量a= (3, 4)和向量b = (-1, 2)，求向量a与向量b的数量积。
解析：根据平面向量的数量积法则，我们可以将向量a和向量b的对应分量相乘再相加，得到数量积。
即a · b = 3 × (-1) + 4 × 2 = 5。
三、平面向量的应用解析平面向量不仅在数学中有着重要的应用，而且在物理、几何等领域也有着广泛的应用。
平面向量知识点
平面向量知识点在数学的世界里，平面向量是一个十分重要的概念，它不仅在数学领域有着广泛的应用，还在物理学、工程学等多个学科中发挥着关键作用。
接下来，让我们一起深入了解平面向量的相关知识。
一、平面向量的定义平面向量是既有大小又有方向的量。
我们可以用有向线段来表示平面向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
比如，从点 A 指向点 B 的有向线段就可以表示一个向量，记作向量 AB 。
二、平面向量的基本运算1、向量的加法向量的加法遵循三角形法则和平行四边形法则。
三角形法则：将两个向量首尾相连，从第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量就是这两个向量的和。
平行四边形法则：以两个向量为邻边作平行四边形，从共同的起点引出的对角线所表示的向量就是这两个向量的和。
例如，向量 a 和向量 b 相加，记作 a ＋ b 。
2、向量的减法向量的减法可以转化为加法来进行。
向量 a 减去向量 b ，等于向量a 加上向量b 的相反向量，即 a b ＝ a ＋（b) 。
3、数乘向量实数λ与向量 a 的乘积是一个向量，记作λa 。
当λ＞0 时，λa 与 a 的方向相同；当λ＜0 时，λa 与 a 的方向相反；当λ=0 时，λa ＝ 0 。
数乘向量满足分配律和结合律：（1）分配律：λ(a ＋ b) ＝λa ＋λb ；（2）结合律：λ(μa) ＝（λμ)a 。
三、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i 、j 作为基底。
对于平面内的一个向量 a ，有且只有一对实数 x 、y ，使得 a ＝ xi ＋ yj 。
我们把有序数对(x, y)叫做向量 a 的坐标，记作a ＝（x, y) 。
例如，向量 a ＝（3, 2) ，就表示向量 a 在 x 轴上的分量是 3，在 y 轴上的分量是 2 。
通过向量的坐标表示，我们可以很方便地进行向量的运算。
设向量 a ＝（x₁, y₁) ，向量 b ＝（x₂, y₂) ，则：1、向量的加法：a ＋ b ＝（x₁＋ x₂, y₁＋ y₂) ；2、向量的减法：a b ＝（x₁ x₂, y₁ y₂) ；3、数乘向量：λa ＝（λx₁, λy₁) ；4、向量的模：｜a| ＝√（x₁²＋ y₁²) ；5、向量的点积（数量积）：a · b ＝ x₁x₂＋ y₁y₂。
平面向量知识点梳理
平面向量知识点梳理第一篇：一、平面向量的基本概念及表示方法1. 平面向量的定义：平面向量是具有大小和方向的量，用箭头表示。
2. 平面向量的表示方法：平面向量通常用有向线段来表示，线段的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
二、平面向量的运算法则1. 向量的加法：将两个向量的起点放在一起，然后将两个箭头相连，连接结果的箭头即为两个向量相加的结果。
2. 向量的减法：将两个向量的起点放在一起，然后将第二个向量取反，再按向量加法的法则进行运算。
3. 向量的数乘：将向量的长度与一个数相乘，结果的方向保持不变，只改变了大小。
三、平面向量的性质1. 平面向量的相等：两个向量的大小和方向完全相同，则它们是相等的。
2. 平面向量的负向量：具有相同大小但方向相反的向量称为原向量的负向量。
3. 平面向量的数量积：两个向量的数量积等于两个向量的模长的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
4. 平面向量的夹角：两个向量的夹角是一个锐角，它与它们的余弦值有关。
5. 平面向量的线性相关与线性无关：若存在不全为零的实数使得向量的线性组合等于零向量，则称这些向量线性相关；否则称这些向量线性无关。
四、平面向量的坐标表示1. 平面向量的坐标表示方法：平面向量可以用有序数对或者列向量来表示。
2. 平面向量的坐标运算：平面向量的加法、减法和数乘运算可以通过对应元素之间的运算来进行。
五、平面向量的标准表示1. 平面向量的标准表示方法：平面向量可以表示为单位向量与它的长度的乘积。
2. 平面向量的标准化：将向量除以它的模长，使其成为单位向量。
六、平面向量的数量积1. 平面向量的数量积的计算：将两个向量的对应坐标相乘，再将相乘结果相加。
2. 平面向量的数量积与夹角：两个向量的数量积等于它们的模长的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积。
以上是平面向量的一些基本概念、运算法则、性质和表示方法的梳理。
通过学习平面向量，我们可以更好地理解和应用向量的概念，并在几何问题中进行计算和推导。
平面向量的基本运算知识点总结
平面向量的基本运算知识点总结平面向量是数学中一个重要的概念，它是具有大小和方向的量。
在代数表示中，可以使用向量的分量或坐标表示。
平面向量的基本运算包括向量的加法、减法、数量乘法和数量除法。
本文将对这些运算进行总结并给出相应的示例。
一、向量的加法向量的加法是指将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。
向量的加法满足交换律和结合律。
设 A 和 B 分别为两个向量，则它们的和向量 C 的分量满足以下关系：Cₓ = Aₓ + BₓCᵧ = Aᵧ + Bᵧ示例：已知向量 A = (2, 3) 和 B = (4, -1)，求其和向量 C = A + B。
解：Cₓ = 2 + 4 = 6Cᵧ = 3 + (-1) = 2因此，C = (6, 2)。
二、向量的减法向量的减法是指将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量。
向量的减法可以视为向量加法的逆运算。
设 A 和 B 分别为两个向量，则它们的差向量 C 的分量满足以下关系：Cₓ = Aₓ - BₓCᵧ = Aᵧ - Bᵧ示例：已知向量 A = (2, 3) 和 B = (4, -1)，求其差向量 C = A - B。
解：Cₓ = 2 - 4 = -2Cᵧ = 3 - (-1) = 4因此，C = (-2, 4)。
三、数量乘法数量乘法指的是将一个向量的每个分量都乘以一个实数得到一个新的向量。
设向量 A 为一个向量，k 为一个实数，则数量乘法的结果向量 B 的分量满足以下关系：Bₓ = k * AₓBᵧ = k * Aᵧ示例：已知向量 A = (2, 3)，求其数量乘法的结果向量 B = 2A。
解：Bₓ = 2 * 2 = 4Bᵧ = 2 * 3 = 6因此，B = (4, 6)。
四、数量除法数量除法指的是将一个向量的每个分量都除以一个实数得到一个新的向量。
设向量 A 为一个向量，k 为一个非零实数，则数量除法的结果向量 B 的分量满足以下关系：Bₓ = Aₓ / kBᵧ = Aᵧ / k示例：已知向量 A = (4, 6)，求其数量除法的结果向量 B = A / 2。
平面向量的所有公式归纳总结
平面向量的所有公式归纳总结-高一
很多同学在高中数学学习上很吃力，想知道如何学习数学，下面101为大家整理高一数学以及学习方法，供参考!
是在二维平面内既有方向direction又有大小magnitude
的量，物理课学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量标量。
平面向量用a,b,c上面加一个小箭头表示，也能够用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。
向量的加法
1、向量的加法满足法则和法则
ABBC=AC
ab=,yy
a0=0a=a
2、向量加法的运算律：
交换律：ab=ba;
结合律：abc=abc
向量的减法
假如a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,ab=00的反向量为0
AB-AC=CB即“共同起点,指向被减”
a=,yb=,y则a-b=-,y-y
向量的的数量积
1、概念：已知两个非零向量a,=a,OB=b,则角AOB称作向
量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
概念：两个向量的数量积内积、点积是一个数量,记作a、b不共线,则ab=|a||b|cos〈a,b〉;若a、b共线,则ab=-
∣a∣∣b∣
2、向量的数量积的坐标表示：ab=yy
3、向量的数量积的运算律
ab=ba交换律;
λab=λab关于数乘法的结合律;
abc=acbc分配律;
4、向量的数量积的性质
aa=|a|的平方。
平面向量的线性运算
平面向量的线性运算平面向量是解决平面几何问题的重要工具。
平面向量之间可以进行线性运算，包括加减法、数量乘法和应用特殊运算规则的向量乘法。
本文将详细介绍平面向量的线性运算及其应用。
一、平面向量的基本概念在平面直角坐标系中，向量由两个有序实数对表示，分别表示向量在 x 轴和 y 轴上的分量。
设向量 a 的分量为 (a1, a2)，则向量 a 可表示为 a = a1i + a2j，其中 i 和 j 分别是 x 轴和 y 轴的单位向量。
二、平面向量的加法设有两个平面向量 a = a1i + a2j， b = b1i + b2j，其和为 c = (a1 +b1)i + (a2 + b2)j。
向量的加法满足交换律、结合律和零向量的存在性。
三、平面向量的减法设有两个平面向量 a = a1i + a2j， b = b1i + b2j，其差为 c = (a1 - b1)i + (a2 - b2)j。
向量的减法也满足交换律和结合律。
四、平面向量的数量乘法设有平面向量 a = a1i + a2j，实数 k，k与向量 a 的数量积为 k * a =ka1i + ka2j。
数量乘法满足结合律、分配律和对数乘法的分布律等性质。
五、平面向量的线性运算应用1. 向量共线与平行若有两个非零向量 a 和 b，当且仅当存在实数 k，使得 a = kb，称向量 a 和 b 共线。
若向量 a 和 b 共线且方向相同或相反，则称向量 a 和b 平行。
2. 向量的线性组合设有向量组 a1, a2, ..., an，其中每个向量的形式为 ai = ai1i + ai2j。
对于任意给定的实数 k1, k2, ..., kn，向量 b = k1a1 + k2a2 + ... + knan 称为向量组 a1, a2, ..., an 的线性组合。
3. 向量的共面性若存在不全为零的实数 k1, k2, k3，使得 k1a1 + k2a2 + k3a3 = 0，称向量组 a1, a2, a3 共面。
平面向量的运算法则
平面向量的运算法则在数学中，平面向量是具有大小和方向的量，常用箭头表示。
平面向量有许多运算法则，包括相加、相减、数量乘法等。
1. 平面向量的表示方法平面向量通常用坐标表示，形式为 (x, y) 或 i*x + j*y，x、y分别表示向量在x轴和y轴上的分量，i和j是单位向量。
2. 平面向量的相加设有两个平面向量 A 和 B，A 的坐标表示为 (x1, y1)，B 的坐标表示为 (x2, y2)。
则 A + B 的坐标表示为 (x1 + x2, y1 + y2)。
3. 平面向量的相减设有两个平面向量 A 和 B，A 的坐标表示为 (x1, y1)，B 的坐标表示为 (x2, y2)。
则 A - B 的坐标表示为 (x1 - x2, y1 - y2)。
4. 平面向量的数量乘法设有一个平面向量 A，A 的坐标表示为 (x, y)，k 为实数。
则 kA 的坐标表示为 (k*x, k*y)。
5. 平面向量的数量除法设有一个平面向量 A，A 的坐标表示为 (x, y)，k 为非零实数。
则A/k 的坐标表示为 (x/k, y/k)。
6. 平面向量的数量积设有两个平面向量 A 和 B，A 的坐标表示为 (x1, y1)，B 的坐标表示为 (x2, y2)。
两个向量的数量积为 A·B = x1*x2 + y1*y2，是一个数量。
7. 平面向量的向量积设有两个平面向量 A 和 B，A 的坐标表示为 (x1, y1)，B 的坐标表示为 (x2, y2)。
两个向量的向量积为 A×B = x1*y2 - x2*y1，是一个向量。
8. 平面向量的模长一个平面向量 A 的模长表示为 |A|，计算公式为|A| = √(x^2 + y^2)，其中 x 和 y 分别为向量 A 在 x 轴和 y 轴上的分量。
9. 平面向量的数量积与夹角设有两个非零平面向量 A 和 B，它们之间的夹角θ 满足以下公式：cosθ = (A·B) / (|A|*|B|)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
学生：刘海芮年级：高一教师：刘春科日期：平面向量加减法、数乘、数量积【知识点】1、向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量。
不能说向量就是有向线段，（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是)；（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有)；④三点共线共线；（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
的相反向量是－。
2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
3.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a =e1＋e2。
4、实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：当>0时，的方向与的方向相同，当<0时，的方向与的方向相反，当＝0时，，注意：≠0。
5、平面向量的数量积：（1）两个向量的夹角：对于非零向量，，作，称为向量，的夹角，当＝0时，，同向，当＝时，，反向，当＝时，，垂直。
（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即＝。
规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。
（4）的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积。
（5）向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为，则：①；②当，同向时，＝，特别地，；当与反向时，＝－；当为锐角时，＞0，且不同向，是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，＜0，且不反向，是为钝角的必要非充分条件；③非零向量，夹角的计算公式：；④。
6、向量的运算：（1）几何运算：①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：②向量的减法：用“三角形法则”：设，由减向量的终点指向被减向量的终点。
注意：此处减向量与被减向量的起点相同。
（2）坐标运算：设，则：①向量的加减法运算：，。
②实数与向量的积：。
③若，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。
④平面向量数量积：。
⑤向量的模：。
⑥两点间的距离：若，则。
7、向量的运算律：（1）交换律：，，；(2)结合律：，；（3）分配律：，。
提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即，为什么？8、向量平行(共线)的充要条件：＝0。
9、向量垂直的充要条件：..特别地。
10.线段的定比分点：（1）定比分点的概念：设点P是直线P P上异于P、P 的任意一点，若存在一个实数，使，则叫做点P 分有向线段所成的比，P 点叫做有向线段的以定比为的定比分点；（2）的符号与分点P的位置之间的关系：当P点在线段P P上时>0；当P点在线段PP的延长线上时<－1；当P点在线段P P的延长线上时；若点P分有向线段所成的比为，则点P 分有向线段所成的比为。
（3）线段的定比分点公式：设、，分有向线段所成的比为，则，特别地，当＝1时，就得到线段P P的中点公式。
在使用定比分点的坐标公式时，应明确，、的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。
在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比。
11.平移公式：如果点按向量平移至，则；曲线按向量平移得曲线.注意：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！12、向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2），特别地，当同向或有；当反向或有；当不共线（3）在中，①若，则其重心的坐标为。
②为的重心，特别地为的重心；③为的垂心；④向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)； ⑤的内心；（3）若P 分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，则，特别地为的中点；（4）向量中三终点共线存在实数使得且.向量、向量加减法、向量数乘1．下列说法正确的是( ) ①向量与是平行向量，则A 、B 、C 、D 四点一定不在同一直线上②向量a 与b 平行，且|a |＝|b |≠0，则a ＋b ＝0或a －b ＝0 ③向量的长度与向量的长度相等④单位向量都相等 A ．①③ B ．②④ C ．①④D ．②③2．下列命题正确的是( )A ．向量a 与b 共线，向量b 与c 共线，则向量a 与c 共线B ．向量a 与b 不共线，向量b 与c 不共线，则向量a 与c 不共线C ．向量与是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点一定共线D ．向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量 3．在下列判断中，正确的是( ) ①长度为0的向量都是零向量； ②零向量的方向都是相同的； ③单位向量的长度都相等； ④单位向量都是同方向； ⑤任意向量与零向量都共线． A ．①②③ B ．②③④ C ．①②⑤ D ．①③⑤4．若||＝||且＝，则四边形ABCD 的形状为( )A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．等腰梯形5．已知空间四边形ABCD 中，G 为CD 的中点，则等于（ ）A．B．C．D．6．已知的外接圆半径为1，圆心为，且0，则的值为（）A．B．C．D．7．的三个内角的对边分别为，已知，向量，，若，则角的大小为（）A．B．C．D．8．如图，在中，点是边上靠近的三等分点，则（）A．B．C．D．9．(09·山东文)设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则( )A．＋＝0 B．＋＝0C．＋＝0 D．＋＋＝010．在△ABC中，D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，则＋等于( )A．B．C．D．11．a、b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是( )A．a与b方向相同B．a∥bC．a＝－bD．a与b的关系不确定12．已知平行四边形ABCD，设＋＋＋＝a，而b是一非零向量，则下列结论正确的有( )①a∥b②a＋b＝a③a＋b＝b④|a＋b|<|a|＋|b|A．①③B．②③C．②④D．①②13．在四边形ABCD中，＝＋，则四边形ABCD一定是( )A．矩形B．菱形C．正方形D．平行四边形14．向量(＋)＋(＋)＋化简后为( )A．B．C．D．15．化简－＋＋的结果等于( )A．B．C．D．16．给出下列各命题：(1)零向量没有方向；(2)若|a|＝|b|，则a＝b；(3)单位向量都相等；(4)向量就是有向线段；(5)两相等向量若其起点相同，则终点也相同；(6)若a＝b，b＝c，则a＝c；(7)若a∥b，b∥c，则a∥c；(8)若四边形ABCD是平行四边形，则＝，＝.其中正确命题的序号是________．17．已知在直角三角形中，，，点是斜边上的一个三等分点，则 .18．已知△ABC是边长为1的等边三角形，P为边BC上一点，满足＝2，则·＝．19．已知.则的夹角为_______________.20．2010·浙江宁波十校)在平行四边形ABCD中，＝e1，＝e2，＝，＝，则＝________(用e1，e2表示)．21．设向量满足（1）求的值；（2）求与夹角的正弦值.22．设为平面内的四点，且（1）若求点的坐标；（2）设向量若与平行，求实数的值.23．若E，F，M，N分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：＝.24．在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O且||＝||＝1，＋＝＋＝0，cos∠DAB＝.求|＋|与|＋|.25．如图，在△ABC中，D、E分别为AC、AB边上的点，＝＝，记＝a，＝b，求证：＝ (b－a)．向量数量积1．等边三角形的边长为，，，，那么等于（）A．B．C．D．2．已知向量，，则与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．3．已知，，，则( )A．B．C．D．4．已知向量，，且，则（）B．C．D．A．5．已知向量、满足，，，则等于（）A．B．C．D．6．已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么等于 ( ) A．B．C．D．47．已知||=3，||=5，且，则向量在向量上的投影为（）B．3 C．4 D．5A．8．在中，，，是边的中点，则（）A．4 B．3 C．2 D．19．已知向量a＝(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则b等于( ) A．B．D．(1,0)C．10．如图，在中，则的值为 .11．已知向量，若，则实数 .12．已知平面向量，，则与夹角的余弦值为 .13．已知向量，满足｜｜＝1，｜｜＝2，a与b的夹角为60°，则｜－｜＝__________．14．以下四个命题：①在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且，则；②设是两个非零向量且，则存在实数λ，使得；③方程在实数范围内的解有且仅有一个；④且，则；其中正确的是15．已知向量 .16．已知平面上三点A、B、C，满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值等于________．17．若非零向量α，β满足|α＋β|＝|α－β|，则α，β的夹角为________．18．已知平面向量a与b的夹角为60°，|a|=1，|2a+b|=，则|b|= .19．已知向量，满足，，，则向量与向量的夹角为．20．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b.若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．21．设向量，，为锐角．（1）若，求的值；（2）若，求的值．22．如图，在底角为的等腰梯形中，已知，分别为，的中点.设，.(1)试用，表示，；(2)若，试求的值.23．已知．（1）若三点共线，求实数的值；（2）证明：对任意实数，恒有成立24．已知O为平面直角坐标系的原点，设＝(2,5)，＝(3,1)，＝(6,3)．在线段OC 上是否存在点M，使MA⊥MB.若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．25．已知|a|＝，|b|＝3，a与b夹角为45°，求使a＋λb与λa＋b的夹角为钝角时，λ的取值范围．。