非正弦周期电流电路
29第二十九讲 有效值平均值和平均功率及非正弦周期电路的计算
∫0
T
i 2 dt
设一非正弦周期电流 i 可以分解为傅里叶级数： 可以分解为傅里叶级数：
i = I 0 + ∑ I km cos( kω1t + φk )
k =1
∞
代入有效值公式，则得此电流的有效值为： 代入有效值公式，则得此电流的有效值为：
1 I= T
∫
T
0
[ I 0 + ∑ I km cos( kω1t + φk )]2 dt
它相当于正弦电流经全波整流后的平均值， 它相当于正弦电流经全波整流后的平均值，因为取电流的 绝对值相当于把负半周的值变为对应的正值。 绝对值相当于把负半周的值变为对应的正值。
对于同一非正弦周期电流，当用不同类型的仪表进行测 对于同一非正弦周期电流， 量时，会得到不同的结果。例如： 量时，会得到不同的结果。例如： 用磁电系仪表（直流仪表）测量，所得结果将是电流 用磁电系仪表（直流仪表）测量， 的恒定分量； 的恒定分量； 用电磁系仪表测得的结果为电流的有效值； 用电磁系仪表测得的结果为电流的有效值； 用全波整流仪表测量时，所得结果为电流的平均值， 用全波整流仪表测量时，所得结果为电流的平均值， 因为这种仪表的偏转角与电流的平均值成正比。 因为这种仪表的偏转角与电流的平均值成正比。 因此，在测量非正弦周期电流和电压时，要选择合适 因此，在测量非正弦周期电流和电压时， 的仪表，并注意不同类型仪表读数表示的含义。 的仪表，并注意不同类型仪表读数表示的含义。
k = 1
ϕ
•
(1 )
= − 81 . 70
o
( 容性 )
o
I m ( 1 ) = 13 . 47 ∠ 81 . 70 P ( 1 ) = 272 . 33 W
第十二章非正弦周期电流电路
第十二章 非正弦周期电流电路一、是非题是非题(注:请在每小题后[ ]内用"√"表示对,用"×"表示错)1. 周期非正弦电流的有效值，不仅与其各次谐波的有效值有关， 而且还与各次谐波的初相位有关。
[×]2. 电压u(t)=3sinωt+2sin(3ωt + 60°)的相量表达式为mU &=（3∠00+2∠600） [×]3. 电压波形的时间起点改变时，波形对纵轴和原点的对称性将发生变化, 但不影响它是否为奇次谐波函数。
[√]4. 奇谐波函数一定不包含直流分量。
[√]二、选择题选择题(注:在每小题的备选答案中选择适合的答案编号填入该题空白处,多选或不选按选错论)1. 在图中,12,20i t i t ==, 则电流3i 的有效值为______。
(Ａ) １Ａ； (Ｂ) ５Ａ； (Ｃ) ７Ａ。
解：I3=5A。
2. 欲测一周期非正弦量的有效值应用_____。
(Ａ) 电磁式仪表； (Ｂ) 整流式仪表； Ｃ磁电式仪表。
解：电磁式仪表。
3. 下列四个表达式中，是非正弦周期性电流的为_____。
(Ａ) t t t i π3cos 32cos 26)(++=， Ａ (Ｂ) ()34cos 5cos36sin 5,i t t t t =+++ Ａ (Ｃ) ()2sin(34sin(7),i t t t =+ Ａ(Ｄ) t t t t i ωπωcos cos cos )(++= Ａ解：()34cos 5cos36sin 5,i t t t t =+++1. 已知t t t t u ωπωπωω5cos 230)323sin(280)323sin(280sin 230+++−+=伏, 则u 的有效值为_____。
(Ａ) Ｕ＝30+80+80+30=220Ｖ(B) 120.83U ==V(Ｃ) 90.55U == V解：80∠(-2π/3)+80∠(2π/3)=160∠(2π/3)=-80， 323sin(280)323sin(280πωπω++−t t =)3sin(280πω−t V90.55U == V。
第13章 非正弦
u = U 0 + u1 = U 0 + U1m sinω t
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t
此时电路中的电流也是非正弦周期量。 此时电路中的电流也是非正弦周期量。 即：
u U 0 U 1m i= = sinω t + R R R
三、非正弦周期电流电路的分析方法 谐波分析法 既然不同频率的正弦量和直流分量可以叠加成一 个周期性的非正弦量， 个周期性的非正弦量，那么反过来一个非正弦的周期 量是否也可分解为正弦分量和直流分量呢？ 量是否也可分解为正弦分量和直流分量呢？数学上已 有了肯定的答案，一切满足狄里赫利条件的周期函数 有了肯定的答案， 都可以分解为傅里叶级数。 都可以分解为傅里叶级数。 这样就可将非正弦周期量分解为若干个正弦交流 电路来求解。 电路来求解。 分解合成法
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bK =
π∫
Im
1
2π
0
iS (ω t )sinkω td(ω t)
0 K为偶数 2I = m kπ K为奇数
1 π (− cos kω t ) 0 = π k
2 K 2 K
2Im AK = b + a = bK = 为奇数） （K为奇数） kπ − bK o ψK = arctan = −90 aK
1 T 2 I= ∫0 i dt i = I0 + i1 + i2 +K T 2 2 2 2 i = I0 + i1 + i2 +K
) ) + 2I0(i1 + i2 +K + 2(i1i2 + i1i3 +K +K
1 T 2 2 2 ∫0 Adt = I0 + I1 + I2 +K T 1 T 1 T 正交性 ∫0 Bdt = 0 T ∫0 Cdt = 0 得证 T
非正弦周期电流电路的有效值、平均值和平均功率的计算
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直流分量：
I0
Im 2
157 μA 78.5μA 2
基波最大值：
I1m
2Im
2 1.57 μA 3.14
100 μA
三次谐波最大值：
1 I3m 3 I1m 33.3μA
五次谐波最大值：
I5m
1 5
I1m
20μA
角频率：
2π T
2 3.14 rad/s 6.28 106
10
51C 5 106 1000 1012
iS
+ R
Cu
51L 5 106 103Ω 5kΩ
L
-
Z (51)
(R jXL5)( jXC5) R j(5XL5 XC5)
208.3
89.53
Ω
U5 Is5 Z (51) 20 106
4.166 89.53mV 2
208.3 89.53 V 2
I(1)
440 A 60 j20
6.96
18.4 A
a
+
U1–
U
+ 2–
* W* 60
j20 I
三次谐波作用： Uab(3) 100 30 V
I(3)
100 30 A 60 j60
1.18
15
A
b 测的是u1 的功率
i [6.96 2 cos(t 18.4 ) 1.18 2 cos(3t 15 )]A
各相的初相分别为
A相
k
B相
k
4nπ
2 3
π
C相
k
4nπ
2 3
π
正序对称 三相电源
②令 k =6n+3，即：k =3,9,15, …
高二物理竞赛课件对称三相非正弦周期电流电路
U]+3msin[3(t–T/3)+3
]
=U1msin(t–120°+1 )+ U3msin(3t+3 ) + U5msin(5t–240°+5 )+
uC(t)=U1msin(t–240°+1 )+ + U5msin(5t–120°+5
U)+3msin(3t+3
)
1、基波电源作用于电路
•
uA1(t)=U1msin(t+1)
Ul= U21l+U25l+ •••
= 3 U21ph+U25ph+U27ph+ •••
Ul< 3 Uph (2) 连接
由KCL和对称性
•
•
•
IA3q= IB3q = IC3q =0
•
•
I3q=
3U3Aq 3Z3q
•
IA3q
Z3q
•
UC3q
-
+
+•
-UA3q
I•3q
Z3q
•
IB3q
Z3q
-
+
U• B3q
不含常数项和偶次谐波项
I•11= –I•21= 3.54–45
=200rad/s的电源作用
I•32=0
I•12=
–I•22=
250 –500 10+j35
106
P11=125W
I• 12
10 j20
+
-250 –j200
•
I32
I• 22
- 60
j20
+ 500
非正弦周期信号电路
瞬态分析的目的是了解电路在非正弦周期信号作用下的动态响应过程，包括电压、 电流的峰值、相位、波形等参数。
稳态分析
稳态分析是研究非正弦周期信号作用于电路时，电路 达到稳态后电压和电流的平均值或有效值。
稳态分析主要采用频域分析方法，通过将非正弦周期 信号进行傅里叶级数展开，转化为多个正弦波成分，
非正弦周期信号电路可以用于设计音频功率 放大器，将微弱的音频信号放大到足够的功 率以驱动扬声器或其他音频输出设备。
电力电子系统
逆变器
01
非正弦周期信号电路可以用于设计逆变器，将直流电转换为交
流电，以驱动电机、照明和加热等设备。
整流器
02
非正弦周期信号电路也可以用于设计整流器，将交流电转换为
直流电，以提供稳定的直流电源。
再对每个正弦波成分进行单独分析。
稳态分析的目的是了解电路在非正弦周期信号作用下 的稳态工作状态，包括平均功率、效率等参数。
频率响应分析
1
频率响应分析是研究非正弦周期信号作用于电路 时，电路在不同频率下的响应特性。
2
频率响应分析主要采用频域分析方法，通过测量 电路在不同频率下的输入输出特性，绘制频率响 应曲线。
生物医学工程
在生物医学工程中，非正 弦周期信号用于刺激或记 录生物体的电生理信号。
02
非正弦周期信号电路的基本 元件
电感元件
电感元件是利用电磁感应原理制 成的元件，其基本特性是阻碍电
流的变化。
当电感元件的电流发生变化时， 会在其周围产生磁场，储存磁场
能量。
电感元件的感抗与频率成正比， 因此对于非正弦周期信号，电感 元件会对其产生较大的阻碍作用。
注电考试最新版教材-第9讲 第四章：非正弦周期电流电路(一)
第4章 非正弦周期电流电路大纲要求：了解非正弦周期量的傅立叶级数分解方法掌握非正弦周期量的有效值、平均值和平均功率的定义和计算方法 掌握非正弦周期电路的分析方法4.1非正弦周期信号 非正弦周期交流信号的特点 (1)不是正弦波 (2)按周期规律变化周期函数:设T 为周期函数f(t)的周期，即f(t)=f(t+kT)，k=0，1，2，3…如果f(t)满足狄里赫利条件，即（1）在一个周期内，如极大值和极小值的数目为有限个； （2）在一个周期内，如只有有限个不连续点;（3）在一个周期内，f(t)绝对值的积分为有限值，即∞<⎰t d t f T)(则f(t)可展开为一无穷级数。
周期函数展开成傅里叶级数4.2 有效值、平均值和平均功率 有效值•任意周期电流电压均为⎰=Tt d i TI 021ω（1）如i(t)可展为付氏级数∑∞=++=110n n m )t n (n i s I I )t (i θω(2)将(2)代入（1），即将f(t)代入方均根值中，计算多项式的平方的平均值，由于三角函数的正交性，可知各交叉项乘积的2倍在一周期内的积分值应为零，+++++++++=)cos()2cos()cos()(12121110n nm mm t n A t A t A A t f φωφωφω平均值也为零。
只有各平方项的平均值不为零⎰=T)I (t d )I (T20201t d )t n (n i s I Tn T m n θω+⎰10221t d )t n cos (I TTm n 10221211ω⎰-=221021222mn m n m n I T I T T t I T === ∑∞=+=∴12202n m n I I I∑∞=+=1220n I I I 由此可见，非正弦周期电流的有效值等于它的直流分量及各谐波分量有效值的平方之和的平方根。
注意：对于单一正弦波，有n m n I I 2=，但对整个周期波则不存在这种关系当f(t)为电压时，则∑∞=+=122n n U U U 周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方和的方根。
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∞
电路分析基础
1 则其有效值U = T
∫
T
0
[u( t )]2dt
T ∞
（均方根） 均方根）
1 = T
∫
0
[U 0 + ∑ U km cos( kω 1t + ϕ k )]2 dt
k =1
考虑被积函数中四项： 考虑被积函数中四项： ① U0
2
② 2U 0 ∑ U km cos( kω 1 t + ϕ k )
1 = T
∫
T
0
∞ U 0 I 0 + ∑ U k I k [cos(2kω 1 t + ϕ u k + ϕ i k ) + cos(ϕ u k − ϕ i k )]dt k =1 ∞
= U 0 I 0 + ∑ U k I k cos(ϕ u k − ϕ i k )
电路分析基础
k =1 ∞
∞
(k ≠ n) 可见， 中不论谐波电压与电流的频率是否相同， 可见，u,i 中不论谐波电压与电流的频率是否相同，均构 成瞬时功率的一部分。 成瞬时功率的一部分。
+ ∑ ∑ U km cos( kω 1 t + ϕ u k ) I nm cos( nω 1 t + ϕ i n )
k =1 n = 1
电路分析基础
第4章 非正弦周期电流电路
4.1 非正弦周期信号 4.2 非正弦周期函数的谐波分析 4.3 平均值，有效值和平均功率 4.4 非正弦周期电流电路的计算
电路分析基础
4.1 非正弦周期信号
f(t) A 0 -A T A … t … 0 T (b) 锯齿波 f(t) A… t T (e) 半波整流 … … t -A(c) 三角波 … t f(t) AT f(t) … t
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非正弦交流电路
非正弦周期电流电路基本的分析方法称为谐波分析法，它是正弦电流电路分析方法的推广。
计算步骤为：首先利用数学中的傅立叶级数，将非正弦周期激励分解成为一系列不同频率的正弦量之和；再根据线性电路的叠加原理，分别计算出各个频率分量单独作用于电路时在电路中产生的响应分量；最后把各响应分量按时域形式进行叠加，就得到了电路在非正弦周期激励下的响应。
若一端口网络端口上的电压、电流表达式为：
1、非正弦计算（一）
分析：由于已给定电压源的付里叶级数展开式，只要按步骤计算出在每一电压分量作用于电路产生的电流响应，再按瞬时值叠加即可。
需要注意的是：直流分量作用电路时，电容相当于开路，正弦分量作用于电路时，随着频率的增高，容抗减小。
方程式及结果如下：
最后将电流叠加并代入功率计算公式：
2、非正弦计算（二）
方程式及结果如下：
3、非正弦计算（三）
分析：若负载中不含基波分量，则电源中基波分量必然降在传输线上，则L、C发生并联谐振；而4ω的谐波分量全部传至负载，要求传输线4ω的谐波阻抗为0；故必须L1、C与L2发生串联谐振，代入串联谐振条件，则电路可解。
方程式及结果如下：。