laplace方法
Laplace变换
第四章Laplace变换•本章要点•Laplace变换的定义•Laplace变换的性质，收敛域•卷积定理(S域)•周期和抽样信号的Laplace变换•系统函数和单位冲激响应•Laplace变换与Fourier变换的关系14.1拉氏变换的定义定义的引出拉氏正变换的推导拉氏反变换的推导23时域分析：()()()()h t r t f t h t →=∗(零状态响应)频域分析：)()()()()()()()(ωωωωωH F R t r H t h F t f ⋅=↔⎭⎬⎫↔↔频谱的概念：)(),(1ωωF n F 谱系数，频谱密度一、定义的引出复频域分析：ω+σ=↔j s ),s (F )t (f Laplace 变换 付氏变换不存在的信号，拉氏变换可能存在； 用拉氏变换求反变换，运算简单。
采用Laplace 变换的好处4对一般信号)(t f ，乘以衰减因子teσ−，即te)t (f σ−⋅在σ的某范围内（ασ>）收敛。
依定义：令sj =ω+σ[][]dtee tf et f F tj ttωσσ−+∞∞−−−⋅=⋅∫)()(dtet f tj )()(ωσ+−+∞∞−⋅=∫)(ωσj F +=则()()dtet f s F ts −∞∞−∫=Laplace 正变换131.F(s)的ROC 在s 平面内由平行于j ω轴的带状区域组成2.对有理Laplace 变换，ROC 内不包括任何极点3.若f(t)是有限长且绝对可积信号，则ROC 是整个s 平面4.右边信号的ROC 在收敛轴右，σ> α5.左边信号的ROC 在收敛轴左，σ< β6.双边信号的ROC 为带状区域，α< σ< β7.若F(s)有理，则ROC 被极点所界定或延伸至无穷远，而且在ROC 内不包含F(s)的任何极点8.若F(s)有理，f(t)是右边信号，则ROC 在s 平面上位于最右边极点的右边；f(t)是左边信号，则ROC 在s 平面上位于最左边极点的左边；五、一般情况16五.单位冲激信号()[]()1=⋅δ=δ∫∞−dt et t L sts 域全平面收敛()[]()000st stedt et t t t L −∞−=⋅−δ=−δ∫常用函数的拉氏变换可查表4-1。
Laplace 变换
2
一、Laplace 变换的引入
1. Fourier 变换的“局限性”？ 在工程实际问题中，许多以时间 t 为自变量的函数( 比如 起始时刻为零的因果信号等)在 t <0 时为零，而有些甚至 在 t < 0 时根本没有意义。 因此在对这些函数进行 Fourier 变换时，没有必要( 或者 不可能)在整个实轴上进行。
[ ( t ) ] 1; [ tm]
m! s m 1
(5)
(6)
s ; 2 2 s a a [ sin a t ] 2 . 2 s a
1 ; sa
[ cos a t ]
jat s t 1 jat s t e dt ) [ sin a t ] ( e e dt e 0 2j 0
(返回)
17
第2章 Laplace 变换
§2.1 Laplace 变换的概念 §2.2 Laplace 变换的性质 §2.3 Laplace 逆变换 §2.4 Laplace 变换的应用
18
§2.2 Laplace 变换的性质
一、线性性质与相似性质 二、延迟性质与位移性质 三、微分性质 四、积分性质 五、周期函数的像函数 六、卷积与卷积定理
11
四、几个常用函数的 Laplace 变换
(1)
(2) (3) 解 (3)
1 [1] = [ u( t ) ] ; s
[ ( t ) ] 1; [ tm]
m
m! s m 1
m 0
[t ]
t e
s t
1 m s t t de dt s 0
[ t m 1 ]
0
f (t ) e s t d t f (t ) e s t d t
微分方程几种求解方法
微分方程几种求解方法微分方程是数学中重要的概念之一，用于描述变量之间的函数关系。
求解微分方程是数学和工程中的常见问题。
根据问题的性质和条件，有多种方法可以用来求解微分方程，下面将介绍几种常见的求解方法。
1.变量分离法：变量分离法是求解一阶常微分方程的常用方法。
它的基本思想是将微分方程中的变量分离，然后进行积分。
具体步骤是将微分方程写成形式dy/dx=f(x)g(y)，然后将方程变换为g(y)dy=f(x)dx，再两边同时积分，即可得到方程的解。
这种方法适用于一阶常微分方程，如y'=f(x)。
2.齐次方程方法：齐次方程是指微分方程中不包含任意常数项的方程。
对于齐次方程可以使用变量代换法进行求解。
具体的步骤是将微分方程中y的函数形式换成u，然后进行代换，将微分方程变为可分离变量的形式。
然后用变量分离法来求解，最后再进行反代还原，得到原方程的解。
这种方法适用于一阶齐次常微分方程，如dy/dx=f(y/x)。
3.线性方程方法：线性微分方程是指微分方程中只有一阶导数，并且函数关系是线性的。
线性方程可以使用常数变易法或者待定系数法来进行求解。
常数变易法的基本思想是假设方程的解具有特定的形式，然后将其带入方程，通过确定待定的常数来求解。
待定系数法的基本思想是假设方程的解是一组形式已知的函数的线性组合，然后通过确定待定系数来求解。
这些方法适用于一阶线性常微分方程，如dy/dx+a(x)y=b(x)。
4.积分因子法：积分因子法是一种用于求解一阶非齐次线性常微分方程的方法。
它的基本思想是通过引入一个合适的因子，将一阶非齐次线性微分方程转化为恰当微分方程，从而利用变量分离法来求解。
具体步骤是先将非齐次方程写成标准形式dy/dx+p(x)y=q(x)，然后通过选择合适的积分因子μ(x)来将方程转为恰当微分方程（即满足(dμ(x)/dx)y+p(x)μ(x)=q(x)），再对该恰当微分方程进行积分，即可得到原方程的解。
LapLace 变换
部分分式展开第二项得
1 1 1 s2 2 3 6 2 s ( s 5s 4) s s 1 s 4
查拉氏变换表 2-1，反变换得到
1 1 t 1 4 t e e 2 3 6
其中第一项为零状态响应中的稳态分量，后两项为零状态响应中的瞬态分量，也随 t 趋于零。 最后得到
t s 0
应用函数导数的拉氏变换法则，在使函数 f (t ) 的拉氏变换积分为收敛的区域内令 s 趋于零，则有
df (t ) lim e st dt lim sF (s) f (0) s 0 0 s 0 dt
因为 lim e
s 0
st
0
f (t )e st dt
存在，式中 s j 为复变量，则称其为 f (t ) 的拉普拉斯变换（简 称为拉氏变换） ，记作 F ( s ) 或 L[ f (t )] ，即
F (s) L[ f (t )] f (t )e st dt
0
F ( s ) 是复变量 s 的函数称为 f (t ) 的像函数，f (t ) 称为 F ( s ) 的原函数。
原函数 f (t ) ， t 0 象函数 F ( s)
(t )
1(t )
1
1 s
1 s2
t
1 2 t 2
e at te
at
1 s3
1 sa
1 (s a)2
sin t
s2 2
s s2 2
cos t
三、拉氏变换的积分下限问题 根据定义，拉氏变换的积分下限为零。而在控制工程中，输入信号往往是在
1，所以有
拉普拉斯Laplace定理的简化证明
拉普拉斯(Laplace)定理的简化证明拉普拉斯定理（Laplace's Theorem）是一个关于在一定条件下线性微分方程的解的存在性和唯一性的定理。
这个定理的现代形式如下：如果一个线性微分方程的系数是连续的，并且在整个实数域上满足某种条件，那么这个方程在某个区间内有且只有一个解。
首先，我们考虑一个一阶线性微分方程：y' + p(x)y = q(x)其中 p(x) 和 q(x) 是已知函数，y(x) 是未知函数。
我们可以将上述方程改写为：y' = q(x) - p(x)y然后对方程两边同时积分，得到：∫y'dx = ∫(q(x) - p(x)y)dx即：y = ∫q(x)dx - ∫p(x)ydx对于右侧的积分，我们可以使用分部积分法，得到：∫p(x)ydx = p(x)y - ∫p'(x)ydx因此原方程可以改写为：y + ∫p'(x)ydx = ∫q(x)dx - p(x)y或者，如果我们定义一个新的函数F(y) = ∫p'(x)ydx，那么原方程可以简化为：y + F(y) = ∫q(x)dx - p(x)y根据初始条件 y(a)，我们可以将上述方程转化为以下等式：y + F(y) = ∫q(x)dx - p(x)y + y(a)这是一个关于 y 的线性方程，其中 F(y) 是 y 的函数。
如果 F(y) 是连续的并且满足某些条件，那么根据线性方程的理论，存在且只有一个解。
现在我们只需要证明 F(y) 满足这些条件。
为此，我们需要计算 F(y) 的导数。
根据分部积分法，我们可以得到：F'(y) = p'(x) 在整个实数域上是一致的。
这意味着 F(y) 是连续的并且具有连续的导数。
因此，根据定理的条件，F(y) 满足存在且唯一性的条件。
因此，原方程的解也存在且唯一。
这就是拉普拉斯定理的简化证明。
这个证明的关键在于将原始方程转化为一个关于 y 的线性方程。
laplace变换公式
laplace变换公式拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉氏变换。
[1] 拉氏变换是一个线性变换，可将一个有参数实数t（t≥0）的函数转换为一个参数为复数s的函数。
拉普拉斯变换在许多工程技术和科学研究领域中有着广泛的应用，特别是在力学系统、电学系统、自动控制系统、可靠性系统以及随机服务系统等系统科学中都起着重要作用。
拉普拉斯变换应用过程中，需要从实际出发，首先以研究对象为基础，将其规划为一个时域数学模型，然后再借助于拉普拉斯变换数学工具转变为复域数学模型，最后如果想要结果表现的更直观，可以使用图形来表示，而图形的表示方法是以传递函数(复域数学模型)为基础，所以拉氏变换是古典控制理论中的数学基础。
利用拉氏变换变换求解数学模型时，可以当作求解一个线性方程，换而言之拉氏变换不仅可用来将简单的时域信号转换为复数域信号，还可以用来求解控制系统微分方程。
拉氏变换是将时域信号变为复数域信号，反之，拉氏反变换是将复数域信号变为时域信号。
[6] 拉普拉斯变换[2] 是对于t≥0函数值不为零的连续时间函数x(t)通过关系式(式中-st为自然对数底e的指数)变换为复变量s的函数X(s)。
它也是时间函数x(t)的“复频域”表示方式。
据此，在“电路分析”中，元件的伏安关系可以在复频域中进行表示，即电阻元件：V=RI,电感元件：V=sLI,电容元件：I=sCV。
如果用电阻R与电容C串联，并在电容两端引出电压作为输出，那么就可用“分压公式”得出该系统的传递函数为H(s)=(1/RC)/(s+(1/RC))，于是响应的拉普拉斯变换Y（s）就等于激励的拉普拉斯变换X（s）与传递函数H（s）的乘积，即Y(s)=X(s)H(s)如果定义：f(t)是一个关于t的函数，使得当t<0时候，f(t)=0；s是一个复变量；是一个运算符号，它代表对其对象进行拉普拉斯积分int_0^infty e' dt；F(s)是f(t)的拉普拉斯变换结果。
laplace变换
(附-11)
式中 f(0)表示函数 f(t)当 t→0 时的值。
当系统初始条件为 0 时，f(0)=0，则
df (t ) L sF ( s ) dt
(附-12)
微分定理
这一定理可推论为：当初始条件为 0 时，
d n f (t ) d n f (t ) st n L e dt s F ( s) n n dt dt
时间尺度定理
若函数 f(t)的拉氏变换为 F(s) L[f(t)]=F(s) 则
t L f F (s)
(附-19)
(附-20)
L f t
1
F( )
s
终值定理
如原函数 f(t)的拉氏变换为 F(s)，并且 lim f (t ) 存在，
2 2 s
如果函数 f1(t)为函数 f (t)在坐标系中右移了一段时间， 即 f1(t)= f (t-)如图附-1 所示，且 F(s)=L[f(t)]， 则 f1(t)的拉氏变换为 L[f1(t)]=L[ f (t-)]=e-sF(s) (附-18)
这一定理说明时间函数 f (t)在时间轴上作平移， 相当于时间函数的拉氏变换与 e-s相乘，即延时 函数的拉氏变换等于原时间函数的拉氏变换乘以 e-s。
-1 -1
s3 2 1 F(s) = = 解 F(s)的部分分式为 (s 1)(s 2) s 1 s 2 C1 C2 s3 F(s) = = (s 1)(s 2) s 1 s 2
s3 C1 = (s+1) s 1 = 2 ( s 1)(s 2) s3 C2 = (s+2) s 2 =-1 ( s 1)(s 2)
数学物理方法-18 Laplace方程的格林函数法
[u
S
u 1 u ]dS [ udS dS r 4 2 r S S
1 u [ u ( P ) dS |P2 1 4 2 r S
dS] u(P1 )
S
u |P r 2
积分中值定理
其中，P1和P2分别表示小球面Sε上的两个点， 当ε0时， P1和P2 M0，那么上式的极限是 u lim[u ( P ) |P ] u ( M 0 ) 1 0 r
性质（1）：令u为调和函数，v=1，则
u dS 0 n
性质（2）平均值定理：设u在M0为中心、R为半径的 球内调和，球面上有一阶连续偏导数，则
1 u(M 0 ) 4 r 1 1 u [u r ]dS n n
u(M 0 ) 1 4R 2
M0 SR
格林函数法：格林公式
静电场场强（置于原点处的点电荷q在其周围空 间形成的电势场）
1 u 4 1 2 2 2 4r x y z q
求解任意点M(x, y, z)的梯度，计算时，令ε=q=1
1 1 1 x y z grad [ 3 , 3 , 3] 4 r 4 r r r x y z 3 3 3 进一步计算 u 1 1 1 ( r r r ) 4 r 4 x y z Δu u grad u
r 1 u 1 [u r 1 ]dS n n 4π
Ω
1 fdV r
给定f和Ω，体 积分可以求解。
此项根据不同边界条件求解， 求解方法待续……
格林函数法：调和函数的性质
第二格林公式
[uv vu]dV [u
v u v ]dS n n
四．在分析引入英国后，他是第一个沿着欧洲大陆的研究线索前进的英国数学家。他的
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laplace方法
Laplace方法是一种数学分析技术，用于计算极限或积分。
它是由法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯在18世纪末期首次引入的，因此得名。
Laplace方法通常用于计算难以直接计算的积分，例如含有指数或三角函数的积分。
该方法通过将积分转化为一个无穷级数的形式来求解。
在这个级数中，每个项都由一个特定的函数乘以一个递推函数的系数组成。
Laplace方法在物理学、工程学和统计学中得到广泛应用。
它可以用于计算概率分布函数、热传导方程和电路分析等问题。
Laplace方法的主要优点是可以快速有效地计算复杂的积分和极限问题。
它还可以通过微积分和级数展开的技术来扩展到更多的应用领域。
总之，Laplace方法是一种重要的数学技术，对于解决各种数学和工程问题都有很大的应用价值。