鸡兔同笼--脚差
鸡兔同笼问题的求解方法及数学思想
鸡兔同笼问题的求解方法及数学思想鸡兔同笼，这个问题，是我国古代著名趣题之一。
大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。
书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。
求笼中各有几只鸡和兔？解题思路：先假设它们全是鸡，于是根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看看差多少，每差2只脚就说明有1只兔，将所差的脚数除以2，就可以算出共有多少只兔。
概括起来，解鸡兔同笼题的基本关系式是：兔数=（实际脚数 - 每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数 - 每只鸡脚数）。
类似地，也可以假设全是兔子。
解：假设全是鸡：2×35＝70(只 ) 比总脚数少的：94－70＝24 (只) 它们腿的差：4-2=2（条）24 ÷2＝12 ( 只 ) ――兔35－12＝23(只) ――鸡方程：解：设兔有 x只，则鸡有35-x只。
4x+2(35-x)=94,4x+70-2x=94 2x=24 x=12 35-x=35-12=23 答：兔有12 只，鸡有23 只。
我们也可以采用列方程的办法：设兔子的数量为x，鸡的数量为y 那么：x+y=35 那么4x+2y=94 这个算方程解出后得：兔子有 12 只，鸡有 23 只用假设法来解对于这个问题，我们给出如下几种求解方法，并给出相应的公式;解法1：（兔的脚数×总只数－总脚数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）=鸡的只数,总只数－鸡的只数 =兔的只数解法2：（总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）=兔的只数,总只数－兔的只数 =鸡的只数解法3：总脚数÷2- 总头数 =兔的只数,总只数 - 兔的只数 =鸡的只数解法4：兔的只数=总脚数÷ 2―总头数,总只数 - 兔的只数 =鸡的只数解法5（方程）：x=（总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）（x=兔的只数）,总只数 -兔的只数 =鸡的只数解法6（方程）：x=：（兔的脚数×总只数－总脚数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）（x=鸡的只数）,总只数－鸡的只数 =兔的只数解法7 鸡的只数=（4×鸡兔总只数 - 鸡兔总脚数）÷2,兔的只数=鸡兔总只数 - 鸡的只数解法8 兔总只数=（鸡兔总脚数 -2 ×鸡兔总只数）÷2,鸡的只数=鸡兔总只数-兔总只数解法:9 总腿数 /2- 总头数 =兔只数,总只数 - 兔只数 =鸡的只数“鸡兔同笼”中的数学思想方法一、化归思想化归是基本而典型的数学思想。
鸡兔同笼的五种解法
鸡兔同笼的五种解法鸡兔同笼的五种解法题目示例：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。
问笼中各有多少只鸡和兔？1、假设法（1）假设全是鸡：2×35=70（只）鸡脚比总脚数少：94－70=24 （只）兔子比鸡多的脚数：4-2=2（只）兔子的只数：24÷2=12 （只）鸡的只数：35－12=23（只）（2）假设全是兔子：4×35=140（只）兔子脚比总数多：140-94=46（只）兔子比鸡多的脚数：4-2=2（只）鸡的只数：46÷2=23（只）兔子的只数：35-23=12（只）2、一元一次方程法：（1）解：设兔有x只，则鸡有(35-x）只。
4x+2(35-x)=94 解得x=12鸡：35-12=23(只）（2）解：设鸡有x只，则兔有（35-x）只。
2x+4(35-x)=94 解得x=23兔：35-23=12(只）所以兔子有12只，鸡有23只。
3、二元一次方程组解：设鸡有x只，兔有y只。
x+y=35 2x+4y=94解得x=23 y=12所以兔子有12只，鸡有23只。
4、抬腿法（1）假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起2只脚，还有94÷2=47（只）脚。
笼子里的兔就比鸡的脚数多1，这时，脚与头的总数之差47-35=12，就是兔子的只数。
（2）假如鸡与兔子都抬起两只脚，还剩下94－35×2=24只脚，这时鸡是屁股坐在地上，地上只有兔子的脚，而且每只兔子有两只脚在地上，所以有24÷2=12只兔子，就有35－12=23只鸡。
（3）我们可以先让兔子都抬起2只脚，那么就有35×2=70只脚，脚数和原来差94-70=24只脚，这些都是每只兔子抬起2只脚，一共抬起24只脚，用24÷2得到兔子有12只，用35-12得到鸡有23只。
5、公式法公式1：（兔的脚数×总只数－总脚数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）=鸡的只数总只数－鸡的只数=兔的只数公式2：（总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）=兔的只数总只数－兔的只数=鸡的只数。
鸡兔同笼问题题型解析
鸡兔同笼问题题型解析题型一:鸡兔同笼，头共46,足共128,鸡兔各几只?分析如果46只都是兔，一共应有4×46=184只脚，这和已知的128只脚相比多了184-128=56只脚.如果用一只鸡来置换一只兔，就要减少4-2=2(只)脚. 那么,46只兔里应该换进几只鸡才能使56只脚的差数就没有了呢?显然，56÷2=28,只要用28只鸡去置换28只兔就行了.所以，鸡的只数就是28,兔的只数是46-28=18。
解：①鸡有多少只?(4×6-128)÷(4-2)=(184-128)÷2=56÷2=28(只)②免有多少只?46-28=18(只)答：鸡有28只，免有18只。
我们来总结一下这道题的解题思路：先假设它们全是兔.于是根据鸡兔的总只数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看相差多少.每差2只脚就说明有一只鸡；将所差的脚数除以2,就可以算出共有多少只鸡.我们称这种解题方法为假设法.概括起来，解鸡兔同笼问题的基本关系式是：鸡数=(每只兔脚数×兔总数-实际脚数)÷(每只兔子脚数每只鸡的脚数 ) 兔数=鸡兔总数-鸡数当然，也可以先假设全是鸡。
题型二:鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只?分析这个例题与前面例题是有区别的，没有给出它们脚数的总和，而是给出了它们脚数的差.这又如何解答呢?假设100只全是鸡，那么脚的总数是2×100=200(只)这时兔的脚数为0,鸡脚比兔脚多200只，而实际上鸡脚比兔脚多80只.因此，鸡脚与兔脚的差数比已知多了(200-80)=120(只),这是因为把其中的兔换成了鸡.每把一只兔换成鸡，鸡的脚数将增加2只，兔的脚数减少4只.那么,鸡脚与兔脚的差数增(2+4)=6(只),所以换成鸡的兔子有120÷6=20(只).有鸡(100-20)=80 (只)。
数学运算之鸡兔同笼问题专题
第五节鸡兔同笼（列方程求解）1. 《孙子算经》解法：设头数为a,足数是b。
则b/2-a是兔数，a-(b/2-a)是鸡数。
2. 《丁巨算法》解法：鸡数=（4*头总数-总足数）/2，兔数=总数-鸡数兔数=（总足数-2*头总数）/2鸡数=总数-兔数鸡兔同笼的变式，这种题目的思想是假设，假设全是鸡，算出脚数，与题目中给出的脚数比较，看差多少，每差一个（4-2）只就说明有一只兔子，将所差脚数除以（4-2），就可以求出兔子数，同理假设全是兔，可以求出鸡数。
例：红铅笔每支0.19元，蓝铅笔每支0.11元，两种铅笔共买了16支，花了2.80元.问红、蓝铅笔各买几支？解：以“分”作为钱的单位.我们设想，一种“鸡”有11只脚，一种“兔子”有19只脚，它们共有16个头，280只脚.现在已经把买铅笔问题，转化成“鸡兔同笼”问题了.利用上面算兔数公式，就有：蓝笔数=（19×16-280）÷（19-11）=24÷8=3（支）.红笔数=16-3=13（支）.答：买了13支红铅笔和3支蓝铅笔.对于这类问题的计算，经常可以利用已知脚数的非凡性.例2中的“脚数”19与11之和是30.我们也可以设想16只中，8只是“兔子”，8只是“鸡”，根据这一设想，脚数是8×（11 19）=240.比280少40.40÷（19-11）=5。
就知道设想中的8只“鸡”应少5只，也就是“鸡”（蓝铅笔）数是3. 30×8比19×16或11×16要轻易计算些.利用已知数的非凡性，靠心算来完成计算.实际上，可以任意设想一个方便的兔数或鸡数。
例如，设想16只中，“兔数”为10，“鸡数”为6，就有脚数19×10 11×6=256，比280少24。
24÷（19-11）=3，就知道设想6只“鸡”，要少3只。
要使设想的数，能给计算带来方便，经常取决于你的心算本领。
鸡兔同笼问题专题训练
鸡兔同笼问题专题训练一、知识要点和基本方法1．鸡兔同笼的基本问题是：已知鸡、兔总头数和总脚数，求鸡、兔各有多少只．(1)解决鸡兔同笼问题的方法通常是用假设法，解题思路是：先假设笼子里装的全是鸡，根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看看差多少，每差2只脚就说明有1只兔，将所差的脚数除以2，就可以算出共有多少只兔．(2)解决鸡兔同笼问题的基本关系式是：鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚数)．兔数=(总脚数-鸡脚数×总头数)÷(兔脚数-鸡脚数)．注意，这两个基本关系式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，又知总数，所以另一个也就知道了．2．鸡兔同笼问题的变型有两类：(1)将鸡、兔的总头数和总脚数中的“两数之和”变成“两数之差”，这样得到三种情况：已知鸡、兔头数之差和总脚数，求鸡兔各有多少只；已知鸡、兔脚数之差和总头数，求鸡兔各有多少只；已知鸡、兔头数之差和脚数之差，求鸡兔各有多少只．(2)将基本问题中同笼的是鸡、兔两种不同东西，还可以引伸到同笼中不同东西是三种，四种等等．注意：鸡兔同笼问题的两种变型均可转化成基本问题来解决．二、例题精讲例1、在同一个笼子中，有若干只鸡和兔，从笼子上看有40个头，从笼子下数有130只脚，那么这个笼子中装有兔、鸡各多少只?例2、蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀，现在这三种小虫共21只，有140条腿和24对翅膀，求每种小虫各几只?例3、鸡与兔共40只，鸡的脚数比兔的脚数少70，问鸡与兔各多少只?例4、在一个停车场上，停放的车辆(汽车和三轮摩托车)数恰好是24．其中每辆汽车有四个轮子，每辆摩托车有三个轮子．这些车共有86个轮子．那么，三轮摩托车有多少辆?三、专题特训1．有一首民谣：“一队猎手一队狗，二队并着一起走，数头一共三百六，数腿一共八百九。
”问民谣中有多少个猎手和多少条狗?2．用1元钱买4分、8分、1角的邮票共15张，问最多可以买1角的邮票多少张?3．春风小学3名同学去参加数学竞赛，共10道题，答对一道题得10分，答错一道倒扣3分，不做得0分，这3名同学都做了所有题．小明得了87分，小红得了74分，小华得了9分．问他们三人一共答对了多少题?4．某班同学外出春游，买车票99张，共花280元，其中单程每张2元，往返每张4元，问单程票与往返票相差几张?5．某商场为招揽顾客举办购物抽奖，奖金有三种：一等奖1000元，二等奖250元，三等奖50元，共有100人中奖，奖金总额为9500元．问其中二等奖有多少名?6．有一堆硬币，面值为1分、2分、5分三种，其中1分硬币个数是2分硬币个数的11倍，已知这堆硬币面值总和是1元，问5分的硬币有多少个？7．箱子里有红、白两种颜色的玻璃球．红球数是白球数的3倍多2个．每次从箱子里取出7只白球，15只红球．若经过若干次取球以后，箱子里剩下3只白球，53只红球．那么箱子里原有红球多少只?8．甲、乙二人射击，若命中，甲得4分，乙得5分，若不中甲失2分，乙失3分，每人各射10发，共命中14发，结算分数时，甲比乙多10分，问甲、乙各中几发?9．姣姣和甜甜两位同学进行数学比赛，商定算对一题给20分，错一题扣12分．姣姣和甜甜各算了10道题，两人共得208分，姣姣比甜甜多得64分，问姣姣和甜甜各算对了多少道题?10．某种考试已举行了24次，共出了426题，每次出的题数有25道，或者16道，或者20道，那么，其中考25题的有多少次?。
鸡兔同笼应用题
【含义】这是古典的算术问题。
已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。
已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。
【数量关系】第一鸡兔同笼问题：假设全都是鸡，则有兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）假设全都是兔，则有鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2）第二鸡兔同笼问题：假设全都是鸡，则有兔数＝（2×鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷（4＋2）假设全都是兔，则有鸡数＝（4×鸡兔总数＋鸡与兔脚之差）÷（4＋2）【解题思路和方法】解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。
如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。
这类问题也叫置换问题。
通过先假设，再置换，使问题得到解决。
例1长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。
数数头有三十五，脚数共有九十四。
请你仔细算一算，多少兔子多少鸡？解假设35只全为兔，则鸡数＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只）兔数＝35－23＝12（只）也可以先假设35只全为鸡，则兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）鸡数＝35－12＝23（只）答：有鸡23只，有兔12只。
例22亩菠菜要施肥1千克，5亩白菜要施肥3千克，两种菜共16亩，施肥9千克，求白菜有多少亩？解此题实际上是改头换面的“鸡兔同笼”问题。
“每亩菠菜施肥（1÷2）千克”与“每只鸡有两个脚”相对应，“每亩白菜施肥（3÷5）千克”与“每只兔有4只脚”相对应，“16亩”与“鸡兔总数”相对应，“9千克”与“鸡兔总脚数”相对应。
假设16亩全都是菠菜，则有白菜亩数＝（9－1÷2×16）÷（3÷5－1÷2）＝10（亩）答：白菜地有10亩。
鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解
鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解【鸡兔问题公式】（1）已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少：（例题略）（2）已知总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的总脚数比兔的总脚数多时（例题略）（3）已知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数多时（例题略）（4）得失问题（鸡兔问题的推广题）的解法，可以用下面的公式：（1只合格品得分数×产品总数-实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。
或者是总产品数-（每只不合格品扣分数×总产品数+实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。
（“得失问题”也称“运玻璃器皿问题”，运到完好无损者每只给运费××元，破损者不仅不给运费，还需要赔成本××元……。
它的解法显然可套用上述公式。
）（5）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔各多少的问题），可用下面的公式：〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数和）+（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷2=鸡数；〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数之和）-（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷2=兔数。
1、“灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资。
每生产一个合格品记4分，每生产一个不合格品不仅不记分，还要扣除15分。
某工人生产了1000只灯泡，共得3525分，问其中有多少个灯泡不合格？”2、有两次自然测验，第一次24道题，答对1题得5分，答错（包含不答）1题倒扣1分；第二次15道题，答对1题8分，答错或不答1题倒扣2分，小明两次测验共答对30道题，但第一次测验得分比第二次测验得分多10分，问小明两次测验各得多少分？3、有一辆货车运输2000只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数目计算，每只2角，如有破损，破损瓶子不给运费，还要每只赔偿1元.结果得到运费379.6元，问这次搬运中玻璃瓶破损了几只？4、有一些鸡和兔，共有脚44只，若将鸡数与兔数互换，则共有脚52只。
鸡兔同笼.doc(奥数)
鸡兔同笼解决方案：用假设法平衡两组数据，得出这两组数据的结果。
解题要点：鸡兔同笼，已知总的脚数和头数；（1）假定全是鸡或者全是兔，算出假定情况下的脚数的差数。
（2）①（实际的脚数—每只鸡的脚数）÷每一只鸡兔脚数差=兔的只数②（每只兔的脚数×鸡兔总数—实际的脚数）÷每一只鸡兔脚数之差=鸡的只数典型例题：1.鸡和兔同关在一个笼子里，它们有头12只，有脚32只.笼中鸡、兔个有多少只？分析：如果将这12只动物全看成鸡，那么共有_____只脚，比实际的_____了_____只脚.那么兔的个数有______只.列式：练一练：⑴李奶奶家养鸡和兔共55只，共有腿160条，问李奶奶家养鸡、兔各多少只？⑵赵老师到商店买了日记本和笔记本共9本，用去了23元。
日记本每本3元，笔记本每本2元。
他买了日记本和笔记本各多少本？⑶五年级（三）班和（十一）班共100个同学，现在要分160个铜锣烧，男生1人分3个铜锣烧，女生一人分1个铜锣烧。
那么男、女生各有多少人？⑷少年文化宫有象棋、跳棋共有26副，恰好可供120个学生同时进行活动。
象棋2人下一副，跳棋6人下一幅。
象棋和跳棋各有多少副？⑸大学进行军训活动，晴天每天行军17.5千米，雨天每天行军11千米，13天共行201.5千米。
这期间有多少天是雨天？⑹电影院全天售出甲、乙两种票540张，收入9600元。
甲种票价每张20元，乙种票每张15元。
电影院售出甲、乙两种票各多少张？2.鸡兔同笼，共有脚180只，兔比鸡少15只，那么兔有多少只？分析：①由于兔比鸡少15只，可以算得15只鸡有______只脚；②除去这15只鸡的脚后还剩下_____只脚，而这时的鸡和兔数量相同；③由于一只鸡比一只兔多______只脚，若假设全是鸡，那么有______只鸡，是鸡总数的三倍；④再加上_____只鸡，就得到鸡的数量了，而兔子的数量也可以算得了。
列式：练一练：⑴一堆货物用中型卡车装，要用36辆，如果只用大卡车装载，只需要27辆，已知大卡车比中型卡车每辆多装2吨，这堆货物由多少吨？⑵小明买了一些4角一张和8角一张的卡片，共花了34元。
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《鸡兔同笼--脚差》教学设计
【教学目标】
1、知识与技能
初步认识鸡兔同笼的数学趣题，了解有关的数学史。能用画图法解决相关的实际
问题，结合图解法理解假设的方法解决鸡兔同笼问题。
2、过程与方法
通过画图分析、列表举例、假设计算等方法理解数量关系，体会数形结合的方便
性，体验解决问题方法的多样化，提高解决实际问题的能力。
3、情感、态度与价值观
培养学生的合作意识，在现实情景中，在交流的过程中，使学生感受到数学思想
方法的运用与解决实际问题的联系，提高学生解决问题的能力和自信心，受到多
种数学思想方法的熏陶，进而让学生体会数学的价值。
【教学重点】用画图法解决相关的实际问题。
【教学难点】体会解决问题策略的多样化，培养学生分析问题、解决问题的能力。
【教学准备】课件。
【教学流程】
〔一〕问题引入，揭示课题。
师：有鸡和兔子8只，兔子比鸡多14只脚，鸡和兔子各有多少只〞
〔板书课题：鸡兔同笼--脚差的问题〕
〔二〕主动探究、合作交流、学习新知。
师：说明为了研究方便，我们先将题目的条件做一个简化。
〔课件出示〕例1：有鸡和兔子8只，兔子比鸡多14只脚，鸡、兔各有几只？
师：同学们先讨论一下，看能不能给大家提供一种或几种解这道题的思路，让其
它的同学能很容易就理解、弄懂这道题。〔学生讨论〕
师：请同学们先认真思考，以小组为展开讨论、交流，看看你们小组该选择什么
方法来解决这个问题？再把你们的想法，你的思考过程用你自己的方式记录下
来。
学生思考、分析、探索，接下来小组讨论、交流。
小组活动充分后进入小组汇报、集体交流阶段。
师：谁能说一说你们小组探究的过程，你们是怎样得出结论的？鸡兔各有几只？
学生汇报探究的方法和结论：
假设法：〔随学生能否出现此种情况作为机动出示〕
兔，那么一共只有32条腿。减去兔子比鸡多的脚，观察可以发现剩余的鸡和兔
的只数相同。
板书：
方法一：假设8只都是鸡，那么兔有：
〔8×4-14〕÷〔4+2〕=3〔只〕
鸡有8-3=5〔只〕
小结方法：刚刚我们用假设法解决了鸡兔同笼--脚差的问题，现在练一练
〔三〕再次探究，寻找方法。
1、笼子里有假设干只鸡和兔。从上面数，有12个头，兔比鸡多16条腿。鸡和
兔各有几只？
2、有100枚1角和2角的硬币，2角的硬币比1角的硬币多16.4元，1角和2
角的硬币各有多少枚？
〔四〕课堂小结：
通过今天的学习，你有哪些收获？
师总结：这节课，我们一起用画图法、假设法解决了我国古代著名的“鸡兔同笼〞
脚差问题。
鸡的只数=〔头×4－多的脚〕÷〔鸡脚+兔脚〕
其实在1500年以来，我们中国历代的数学家都在不断的研究和探索这个问题，
也得出了许多的解决“鸡兔同笼〞问题的方法，而且从中得到了很多的数学思想。
希望同学们在今后的学习中，善于思考，善于发现，善于总结方法。