八年级新思维14-直角三角形

14.直角三角形例1若a b c、、是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h，给出下列结论：①以222a b c，，的长为边的三条线段能组成一个三角形；能组成一个三角形；③以++a b c h h，，的长为边的三条线段能组成直角三角形；④以111a b h，，的长为边的三条线段能组成直角三角形.其中所有正确结论的序号为______. (绵阳市中考题)【答案】②③④2=++a b c，③④参考例3.例2如图，梯子AB斜靠在墙上，AC⊥BC，=AC BC，当梯子的顶端A沿AC方向下滑x 米时，梯足B沿CB方向滑动y米，则x与y的大小关系是（）A.=x y B.>x y C.<x y D.不确定(第18届江苏省竞赛题)【答案】选B化简得222()0-=+>>a x y x y x y，.（第18届江苏省竞赛题）例3如图，在Rt△ABC中，∠90=ACB°,CD⊥AB于D，设=A C b，.BC a AB c CD h===，，求证：（1）22211;a b h1+=（2）;+<+a b c h（3）以++a b h c h、、为边的三角形是直角三角形.【答案】证明略例4已知∠90=AOB°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA OB、（或它们的反向延长线）相交于点D E、.当三角板绕C旋转到CD与OA垂直时，如图①，易证：.+=OD OE当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，如图②、图③这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段OD OE OC、、之间又有怎样的数量关系？请写出出你的猜想，不需证明.（黑龙江省中考题）图②D【答案】图②结论:.+OD OE 过C 作CP ⊥OA 于P CQ ，⊥OB 于Q ，则△CPD ≌△CQE ，==+=-DP EQ OP OD DP OQ OE EQ ，，，又+OP OQ ，即++-OD DP OE EQ ，∴.+OD OE图③结论：-=OE OD .（黑龙江省中考题）例5 3，4，5是最简单的勾股数，这表明三边长为连续整数的直角三角形是存在的，并且只有一个（为什么？），由此研究边长为连续整数的三角形. 问题：（1）三边长为连续整数的钝角三角形存在吗？如果存在，有多少个？ （2）三边长为连续整数的锐角三角形存在吗？如果存在，有多少个？分析与解 对于（1）,设三边长分别为11-+x x x ，，(x 为大于1的整数)，则（1+x ）222(1)>+-x x ,整理得(4)0-<x x .∴042 3.<<=x x ，，当x =2时，边长为1，2，3的三角形是不存在的.故三边长为连续整数的印角三角形也只有一个，它的三边长为2，3，4.至此，也许你猜想:三边长为连续整数的锐角三角形也只有一个，这个猜想是错误的.实际上，这种锐角三角形有无数个，只要设x 为大于4的整数，那么以11-+x x x ，，为三边的三角形都为锐角三角形.（为什么？）例6 （1）如图①,在△ABC 中，=BA BC D E ，、是AC 边上的两点，且满足∠12=DBE ∠(0ABC °< ∠1)2<<CBE ABC ，以点B 为旋转中心，将△BEC 按逆时针方向旋转 ∠ABC ，得到△'BE A ,连接'DE ，求证：;'=DE DE（2）如图②,在△ABC 中，=BA BC ，∠90=ABC ° ，D E 、是AC 边上的两点，且满足∠12=DBE ∠(0ABC °< ∠45<CBE °).求证：222.++DE AD EC （2012年宿迁市中考题） 图①图②ABCDEE'EDA (C )BC分析 对于（2），证明的关键是把一直线上的三条线段怎样转化到一个三角形中？从一般到特殊，运用类比思想.解略，请读者完成.数学冲浪知识技能广场1.用直角边分别为3和4的两个直角三角形拼成凸四边形，所得的四边形的周长是_______. (齐齐哈尔市中考题)【答案】14或16或182.如图，P 是△ABC 内的一点，且6810===PA PB PC ，，，若将△PAC 绕点A 旋转后，得到'P AB ，则点P 与点'P 之间的距离为_______,∠APB =_______.(青岛市中考题)【答案】6;150°3.如图，四边形ABCD 中，∠BAD =∠BCD =90°，=AB AD ，若四边形ABCD 的面积为224cm ，则AC 长为_______cm. （2012南充市中考题）（第2题）（第3题）（第5题）ABCM N ABCDP'ABCP【答案】 延长CB 至E ，使=EB CD ，连接AE ，则△ABE ≌△ADC ，△AEC 为等腰直角三角形.4.在等腰直角三角形ABC 中，∠90=C °,1=AC ,过点C 作直线l ∥AB F ，是l 上的一点，且=AB AF ，则F 点到直线BC 的距离为______. (杭州市中考题)如图，分两种情况讨论. l l ABCD EFABC D EF（第4题）5.如图，在△ABC 中，56===AB AC BC ，，点M 为BC 的中点，MN ⊥AC 于点N ，则MN 等于（ ）. A.65 B.95C.125D.165（第6题）AB C 【答案】C（安徽省中考题）6.如图，小正方形边长为1,连接小正方形的三个顶点，可得△ABC ，则AC 边上的高为（ ）(福州市中考题)【答案】C 7.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边6=AC cm,8=BC cm,将△ABC 折叠，使B 点与A点重合，折痕为DE ，则CD 等于（ ）cm.A.254 B.223 C.74 D.53(泰州市中考题)【答案】C8.在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2，4，3，则原直角三角形纸片的斜边是（ ）.A.10C.10或D.10或 (2012年安徽省中考题)【答案】C 原直角三角形纸片有如图所示的两种情况：AABC DFE（第8题）DCFB9.如图，在△ABC 中，∠45=ABC °，CD ⊥AB 于D 点，BE ⊥AC 于E 点，F 为BC 中点，BE 与DF DC 、分别交于点G H 、，∠=ABE ∠.CBEHGFED ABC（第9题）（第8题）234（1）求证：;=BH AC （2）求证:222-=BG GE EA .ED A B C （第7题）(2012年泰安市中考题) 【答案】（1）证明△DBH ≌△DCA .（2）==EC EA BG CG ，，代换即可. 10. △ABC 中，=BC a ，==AC b AB c ，，若∠90=C °，如图①，根据勾股定理，则222+=a b c ，若△ABC 不是直角三角形，如图②、③，请你类比勾股定理，试猜想222+a b c 与的关系，并证明你的结论.(临沂市中考题)（第11题）A B PQMABCABCcba cba bcA BC图①图②图③（第10题）O【答案】当△ABC 是锐角三角形时，过A 作AD ⊥BC 于D ，可证222.+>a b c 当△ABC 是钝角三角形时，过B 作BD ⊥AC 于D ，可证222.+<a b c11.如图，在Rt △POQ 中，O 4==P OQ M ，是PQ 中点，把一三角尺的直角顶角顶点放在点M 处，以M 为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ 的两直角边分别交于点A B 、.（1）求证：.=MA MB（2）连接AB ，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB 的周长是否存在最小值?若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由. （2012年南充市中考题） 【答案】（1）连接OM ，证明△AMO ≌△BMQ .（2）设=AO x ,则4=-OB x AB ，当x =2时，AB 的最小值为故△AOB 的周长的最小值为思维方法天地12.美丽的人造平面珊瑚礁图案.图中的三角形都是直角三角形，图中的四边形都是正方形.如果图中所有的正方形的面积之和是980cm 2.问：最大的正方形的边长是_______.【答案】14cm 图中所有正方形的面积之和等于5倍的最大的正方形的面积，980÷5=196cm 2 13.如图,在△ABC 中，513==AB AC ，，边BC 上的中线6=AD ，则BC 的长为_______.【答案】 延长AD 至E ，使=DE AD ，连接BE ，则1312===BE AC AE ，，又5=AB ，则∠90=BAE ° .14.有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m 、8m.现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m 为直角边的直角三角形，则扩充后等腰三形的周长为_______. (牡丹江市中考题)E DABCDABC（第16题）（第13题）（第12题）【答案】32m 或)m 或803m 15.在△ABC中，已知6=AB BC CA M ，是边BC 的中点，过点B 作AM 延长线的垂线，垂足为D ，则线段BD 的是_______. (2012年四川省竞赛题) 【答案】32∠90=ACB °AC ,∠DMB =∠CMA =30°. 16.如图，若Rt △ABC 两直角边上的中线分别为AE 和BD ，则22+AE BD 与2AB 的比值为( )A.34 B.1 C.54 D.32 (“希望杯”邀请赛试题) 【答案】C17.对如下的3个命题:命题1:边长为连续整数的直角三角形是存在的. 命题2：边长为连续整数的锐角三角形是存在的. 命题3：边长为连续整数的钝角三角形是存在的. 正确命题的个数为（ ）. A.0 B.1 C.2 D.3 (江苏省竞赛题)【答案】D 3,4,5;4,5,6;2,3,4的三角形显然存在，且分别为直角、锐角、钝角三角形. 18.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）.如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短直角边为a ，较长直角边为b ，那么(+a b )2的值为（ ） A.13 B.19 C.25 D.169【答案】 C 由题意得22213()1⎧+=⎪⎨-=⎪⎩a b a b ,解得6=ab ，故222()225.+=++=a b a b ab19.在锐角三角形中，已知某两边13==a b ，，那么第三边的变化范围是( ). A.24<<c B.2<c ≤3 C.2<cc（第18题）【答案】D 设第三边长为x ,则22222231131313.⎧>-+>⎧⎪⎨⎨+>+>⎪⎩⎩x x x x 且， 20.如图，已知∠90=ACB °，AD 是∠CAB 的平分线，342==BC CD ，，求AC 的长.（河南省竞赛题）【答案】过D 作DE ⊥AB 于E ，则Rt △ADC ≌Rt △ADE ，32==DE CD ，又52=BD ，在Rt △BDE 中，得=BE 2，设=A C x ，则=A E x ，则Rt △ABC 中，2224(2)+=+x x ，解得x =3,即 3.=AC21.如图，已知∠30=ABC °, ∠60=ADC °，.=AD DC 求证：222.=+BD AB BC（广西竞赛题）DABCDABC（第22题）（第21题）（第20题）【答案】如图，连接AC ，则可证△ADC 为等边三角形，==DC CA AD ，以BC 为边向形外作等边三角形BCE ， ==BC BE CE ，则∠BCE =∠EBC =∠CEB =60°, ∠ABE =∠ABC +∠EBC =90°,连接AE ，则22222=+=+AE AB BE AB BC ，易证△BDC ≌△EAC ，得=BD AE故222.=+BD AB BC22.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，点A B 、的坐标分别为(30)(34)，、，,动点M N 、分别O B、同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中，点M 从O 点出发沿OA 向终点A 运动，点N 从B 出发沿BC 向终点C 运动，过点N 作NP ⊥BC ，交AC 于P ，连MP ，若M N 、两动点运动了x 秒.（1）设△MPA 面积为y ，试求y 与x 的函数关系式； （2）请你探索：当x 为何值时，△MPA 是一个等腰三角形? (苏州市中考题)【答案】（1）3=-MA x MA ，边上的高为43x ，S =12(3-x )×242233=-+x x x . （2）延长NP 交x 轴于Q ，则有PQ ⊥OA .①若=MP PA ，则==MQ QA x ,∴33 1.==x x ， ②若=MP MA ，则43233=-===-MQ x PQ x PM MA x ，，，由2PM =（第21题）ACDB222224(3)(32)3⎛⎫+-=-+ ⎪⎝⎭MQ PQ x x x ，得，解得54.43=x ③若=PA AM ，∵533==-PA x AM x ，,∴59.38=-=x x x x ，解得 综上所述，1=x 或549.438==x x 或 应用探究乐园23.如图，A B C 、、三个村庄在一条东西走向的公路沿线上，已知2=AB km,3=BC km,在B 村的正北方向有一个D 村，测得∠45=ADC °，今将△ADC 区域规划为开发区，除其中4.5km 2的水塘外，均作为绿化用地，试求绿化用地的面积.（黄石市中考题）24.定义：三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形”.数学学习小组的同学从32根等长的火柴棒（每根长度记为1个单位）中取出若干根，首尾依次相接组成三角形，进行探究活动.小亮用12根火柴棒，摆成如图所示的“整数三角形”； 小颖分别用24根和30根火柴棒摆出直角“整数三角形”；小辉受到小亮、小颖的启发、分别摆出三个不同的等腰“整数三角形”. （1）请你画出小颖和小辉摆出的“整数三角形”的示意图； （2）你能否也从中取出若干根，按下列要求摆出“整数三角形”？ 如果能，请画出示意图；如果不能，请说明理由. ①摆出等边“整数三角形”；②摆出一个非特殊(既非直角三角形，也非等腰三角形)“整数三角形”. （宁德市中考题）【答案】作AE ⊥CD 于E ，设=AD =c DC a ，，由=AE DE 、AE ·=CDDB ·AC 可求得1656152∆===⨯⨯=ABC a S ，，故开发区的绿化用地面积为15-4.5=10.5(km 2)24.（1）小颖摆出如图①所示的“整数三角形”：小辉摆出如图②所示的三个不同的等腰“整数三角形”： （2）①不能摆出等边“整数三角形”，理由略. ②摆出如图③所示的一个非特殊“整数三角形”.A B C （第23题）345（第24题）15图③45131210541255683121085561013图②图①等边三角形（微探究）例1如图，等边三角形ABC中，D E、分别为AB BC、边上的点，=AD BE AE，与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则AGAF的值为______.（天津市中考题）【答案】例2如图，设△ABC和△CDE都是正三角形，且∠62=EBD°，则∠AEB的度数是（）A.124°B.122°C.120°D.118°(四川省竞赛题)【答案】B △BCD≌△ACE，则∠DCB=∠ECA，设∠BAE=α，则∠=CBD∠CAE=60°-α,∠=EBC∠EBD-∠2=CBD°+α,于是∠60=EBA°-（2°+α）=58°-α，故∠AEB=180°-α-(58°-α)=122°.例3如图，在△ABC中，∠60=B°，延长BC到D，延长BA到E,使=AE BD，连CE DE、，若=CE DE，求证：△ABC是等边三角形.（“希望杯”邀请赛试题）【答案】延长BD至F，使=D F B C，连EF，则△BCE≌△FDE,.=EB EF∵∠B=60°，∴△EBF为等边三角形.∴=EB FB，∵=AE BD，=BD CF，∴.=AE CF∴=AB CB，故△ABC为等边三角形.例4如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，E是线段AD上一点，且12=AE BC BE，的延长线交AC于F.若=AF EF，求∠ADB的度数.（日本数学竞赛题）【答案】下面解法仅共参考GFEDA BCEDAB CEDAB CFEDAB C如图，延长AD 至G ，使=D G A E ，于是=AD EG ，连BG ，则△ACD ≌△EBG ,∴.====BG CD BD AE DG 于是△BDG 为正三角形，∴∠60=ADC °. 故∠120=ADB °.例5 如图，△ABC 、△CDE 都是等边三角形，且点A C E 、、在一条直线上，AD 与BE AD 、与BC BE 、与CD 分别交于点O 、点P 、点Q .求证：（1）;==AD BE AP BQ ， （2）∠60=AOB °,OC 平分∠AOE ;（3）PQ ∥AE ;（4）△CPQ 为等边三角形； （5）111=+PQ AC CE. 拓展: （1）如图①，将△ABC 绕C 点旋转，上述结论哪些依然成立？哪些不成立？（2）如图②，当点C 在线段上沿着从点A 向点E 的方向移动（点C 与点A E 、不重合）.连接BD R ，为BD 中点，则点R 到AE 的距离为定值； （3）将两个正三角形改为正方形，我们又能提出什么问题？图①图②EDABCRSEDABCPQO练一练1.如图，在等边△ABC 中，9=AC ，点O 在AC 上，且3=AO ，点P 是AB 上一动点，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°得到线段OD ，要使点D 恰好落在BC 上，则AP 的长是( ).A.4B.5C.6D.8 (陕西省中考题)【答案】C △OCD ≌△PAO ,=OC PA .2.如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当=PA CQ 时，连PQ 交AC 于D ，则DE 的长为（ ）A.13B.12C.23 D.不能确定(黄冈市中考题)E D AB C PQO（例4）D F ABECGABCDEPMEABCDPQABP （第3题）（第2题）（第1题）【答案】B 利用=PA CQ 构造全等三角形.3.如图，在线段AE 同侧作两个等边△ABC 、△(CDE ∠ACE <120°),P M 、分别是线段BE 、AD 的中点，则△CPM 是（ ）A.钝角三角形B.直角三角形C.等边三角形D.非等腰三角形 (海南省竞赛题)【答案】C △ACD ≌△BCE ，△BCE 可以看成是△ACD 绕着点C 顺时针旋转60°而得到的，又M 为线段AD 的中点，P 为线段BE 的中点，故CP 就是CM 绕着点C 顺时针旋转60°而得，所以=CP CM 且，∠60=PCM °，故△CPM 是等边三角形.4.如图，一个凸六边形的六个内角都是120°，六边形的长分别为a b c d e f 、、、、、,则下列等式中成立的是（ ）.A.++=++a b c d e fB.++=++a c e b d fC.+=+a b d eD.+=+a c b d (“希望杯”邀请赛试题)ABCDfe dabc（第5题）（第4题）【答案】C 将六边形补成等边三角形.5.如图，在四边形ABCD 中，AC BD 、是对角线，△ABC 是等边三角形，∠30=ADC °，35==AD BD ，，则CD 的长为( )A. B.4D.4.5(2012年“数学周报”全国初中数学竞赛题)【答案】B 以CD 为边作等边△CDE ，连接AE ，则△BCD ≌△ACE .6.请阅读，完成证明和填空.九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：ENA B CDMA BCDMN ABCMN图①图②图③OO O（1）如图①，正三角形ABC 中，在AB ，AC 边上分别取点M N ，，使=BM AN ，连接BN CM ，，发现=BN CM ，且∠60=NOC °.请证明∠60=NOC °.（2）如图②，正方形ABCD 中，在AB ，BC 边上分别取点M N ，，使=AM BN ，连接AN EM ，，那么=AN ________，且∠DON =_______.(3)如图③，正五边形ABCDE 中，在AB BC 、边上分别取点M N 、，使=AM BN ，连接AN EM 、，那么=AN ______，且∠EON =_______.(4)在正n 边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论.请大胆猜测，用一句话概括你的发现：___________________________. (青海省中考题) 【答案】（1）略（2）在正方形中，=AN DM ，∠90=DON °. (3)在正五边形中，=AN EM ，∠108=EON °.(4)以上所求的角恰好等于正n 边形的内角°(2)180.-∙n n7.（1）操作发现如图①，D 是等边△ABC 边BA 上一动点（点D 与点B 不重合），连接DC ，以DC 为边在BC 上方作等边△DCF ,连接AF .你能发现线段AF 与BD 之间的数量关系吗?并证明你发现的结论.AB C DFFDA B图①图②（2）类比猜想如图②，当动点D 运动至等边△ABC 边BA 的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF 与BD 在（1）中的结论是否仍然成立？AFC F'BDF'A BCDF图④图③（3）深入探究 ①如图③，当动点D 在等边△ABC 边BA 上运动时（点D 与点B 不重合），连接DC ，以DC为边在BC 上方、下方分别作等边△DCF 和等边△'DCF ,连接'A F B F 、，探究'A F B F A B 、与有何数量关系?并证明你探究的结论. ②如图④，当动点D 在等边三角形边BA 的延长线上运动时，其他作法与图③相同，①中的结论是否成立?若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论. （2012年岳阳市中考题） 【答案】（1）、（2）皆有=AF BD(3) ①=+'AB AF BF ②=-'AB AF BF 等边三角形与定值8.如图，若P 是边长为a 的等边△ABC 内的任一点，P 到三边的距离为PD 、PE 、PF ，则（1）;++=PD PE PF （2）32++=AD BE CF a .ABCPPABCDEF （第9题）（第8题）【答案】（1）连接PA PB PC 、、，运用面积法可证明. （2）以下证法仅供参考，由勾股定理得：222222222222222AD PD PA AE PE BE PE PB PF BF CD PD PC PF CF ⎧+==+⎪+==+⎨⎪+==+⎩①②③①②-③，整理得3.2++=AD BE CF a9.如图，P 为△ABC 内部一点，使得∠30=PBC °，∠8=PBA °，且∠=PAB ∠22=PAC °，求∠APC 的度数.（青少年数学国际城市邀请赛试题）【答案】如图，延长AC 至点Q ，使得=AB AQ ，则△BAP ≌△QAP ，又∠180=APB °-∠PBA -∠PAB =150°，则∠360=BPQ °-∠APB -∠APQ =60°因此，△BPQ 是一个等边三角形，BC 是PQ 上的中垂线，即∠=CPQ ∠CQP =∠PBA =8°,故∠APC =∠APQ -∠=CPQ 142°.勾股定理再探索（微探究）1.(3,4,5)是一组最简单的勾股数，由此提出下列问题（1）三边长为连续整数的直角三角形有多少个？（2）三边长为连续整数的钝角三角形存在吗？如果存在，有多少个？ (3)三边长为连续整数的名角三角形存在吗？如果存在，有多少个？【答案】三边长为连续整数的直角三角形是存在的，并且只有一个；三边长为连续整数的钝角三角形也只有一个，它的三边长为2,3,4；三边长为连续整数的锐角三角形有无数个. 2.看下列两组勾股数（1） a b C （2） a b c 3 4 5 4 3 5 5 12 13 6 8 10 7 24 25 8 15 17 9 40 41 10 24 26 11 60 61 12 35 37 … … … … … … 从以上的勾股数的表中，你发现了什么规律？【答案】所给的勾股数（a b c ，，），当a 为奇数时，22111(1)(1)22=-=-=+b c b a c a ，，；当a 为偶数时，22112(4)(4)44=-=-=+b c b a c a ，，.3.中画的启示波格达洛夫·别林斯基是俄国著名的画家他的名画《难题》上画的一位老师耐心启发学生用口算很快求出下式结果：222221011121314?365++++=题中隐藏着五个连续自然数平方的某种关系，即102+112+122=132+142.若能联想到32+42=52,则好奇心悄然而至：是否有更一般的教学秘密隐藏其中？ 【答案】有趣的数字金字塔：n =1 32=42=52n =2 102+112+122=132+142 n =3 212+222+232+242=252+262+272 n =4 362+372+382+392+402=412+422+432+442 n =5 552+562+572+582+592+602=612+622+632+642+652存在(21+k )个连续的正整数，使得其中较小的1+k 个数的平方和等于较大的k 个数的平方（第9题）QC B PA和.即2222(2)(21)+++++k k k k …+22222(22)(221)(222)2+=++++++k k k k k k …+ (223+k k )2(其中k 为正整数).a,b 的直角三角形斜边的长.利用这一意义，以形助数，我们可解决一些与二次根式相关的代数问题. 【答案】例 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图①，图②由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为123S S S ，，，若12310++=S S S ，则，2S 的值是_______..（温州市中考题）H KMN TGFEDAB C图①图②实弦中黄实三勾股弦五四实朱弦图弦实二十五朱及黄朱实六黄实一分析与解 解题的关键在于理解如何拼接成“弦图”，并运用弦图中隐含的结论寻找新的等量关系.设直角三角形的两直角边分别为().>a b b a 、 解法一 ∵2222123()()=+=+=-S a b S a b S b a ，，， ∴22222210()()()10.3++++-=+=a b a b b a a b ，得 即210.3=S 解法二 ∵122311422-=⨯-=S S ab S S ab ，，∴1223-=-S S S S ，即2132210=+=-S S S S ，∴210.3=S 练一练1.如图①，是用四个全等的直角三角形与两个小正方形镶嵌而成的正方形图案，设x y ，表示直角三角形的两直角边（>x y ）.（1）若大正方形面积为49，小正方形面积为4，下列四个说法：①2249;+=x y ②-x y =2;③2449+=xy ;④13.+=x y 其中正确的序号是_______;(广东省中考题)（2）如图②，若65==x y ，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长1倍，得到“数学风车”，则这个风车的外围周长为______ （河南省中考题）图①图②（第1题）【答案】（1） ①②③ （2）762.如图，四边形ABDC 中，∠120=ADB °,AB ⊥AC BD ， ⊥4=CD AB ，，=CD ，则该四边形的面积是_______. (呼和浩特市中考题)3.下表中给出的每行三个数222()<<+=a b c a b c a b c 、、满足，根据表中已有的数的规律填空：（1）当20==a b 时，_______,=c _______; （2）用含字母a 的代数式分别表示=b c b 、，_______,=c _______. （江苏省竞赛题）【答案】（1）99;101 （2）22⎛⎫ ⎪⎝⎭a -1;12⎛⎫+ ⎪⎝⎭aa4.如图，等腰Rt △ABC 直角边长为1，以它的斜边上的高AD 为腰作第一个等腰Rt △ADE ;再以所作的第一个等腰Rt △ADE 的斜边上的高AF 为腰作第二个等腰Rt △AFG ,……以此类推，这样所作的第n 个等腰直角三角形的腰长为_______, (齐齐哈尔市中考题)（第2题）DABC（第4题）EF GDABC【答案】⎝⎭n5.如图，在△ABC 中，4==AB AC P ，是BC 上异于B C 、的一点，则2+∙AP BP PC 的值是（ ）.A.16B.20C.25D.30 【答案】 5.A 过A 点作AD ⊥BC 于D ，则22+∙=++AP B P P C A D P D ()-BD DP (+DC 2).=PD AB6.勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三、股四，则弦五”的记载.如图①是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理.图②是由图①放入矩形内得到的，∠90=BAC °，3=AB ，4=AC ，点 D E F G H I ，，，，，都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为( ). A.90 B.100 C.110 D.121 (2012年宁波市中考题)ABCPLKJIMHG FE DABC 图①图②（第7题）（第6题）（第5题）ABCP【答案】C7.如图，在等腰Rt △ABC 中，∠90=CAB °，P 是△ABC 内一点，且1=PA ，=PB 3，PC ，则∠CPA =( ).A.120°B.135°C.150°D.145°【答案】B 在△ABC 外部作△AQC ≌△APB ，连接PQ ，2=PQ 222+=AQ AP ，2+PQ 22=PC QC ，∠90=QPC °, ∠CPA =∠CPQ +∠QPA =135° 8.满足两条直角边长均为为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有（ ）.A.1个B.2个C.3个D.无穷多少 (浙江省竞赛题)【答案】C 设直角三角形的两条直角边长为()≤a b a b ，，则+a b 12=∙k ab (a b k ，，为正整数),化简得4-ka kb (-4)()=8，故4148-=⎧⎨-=⎩kakb或4244-=⎧⎨-=⎩kakb，解得(k a b，，)=(1,5,12)或(2,3,4)或（1,6,8）.9.图①、图②、图③是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1.请在图①、图②、图③中分别画出符号要求的图形，所画图形各顶点必须与方各纸中的小正方形顶点重合.具体要求如下：（1）画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形；（2）画一个底面积为10的等腰直角三角形；（3）画一个边长为6的等腰三角形.（哈尔滨市中考题）（第9题）图①图②图③【答案】如图所示（第9题）图①图②图③10.问题背景在△ABC中，AB BC AC、、求这个三角形的面积.小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示.这样不需求△ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积.（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上.________思维拓展（2）我们把上述求△ABC 面积的方法叫做构图法，若△ABC 三边的长分别为(0)>a ，，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）画出相应的△ABC ，并求出它的面积. 探索创新（3）若△ABC0>m ， 0>n ，m 且≠n ），试运用构图法求出这个三角形的面积.（咸宁市中考题）B CAABCD（第11题）（第10题）图①图②【答案】（1）72（2） △ABC 如图①所示（位置不唯一）,11242222∆=⨯-⨯⨯-⨯⨯ABC S a a a a a 122-⨯a243⨯=a a a(3)构造△ABC 如图②所示，11344.22∆=⨯-⨯⨯-⨯ABC S m n m n 1322⨯-⨯m n 2⨯m 2=n5mn .4n3mBACBCA（第10题）图①图②11.如图，在△ABC 中，已知∠90=BAC °，=AB AC D ，是BC 上的一点，求证：2222.+=BD CD AD【答案】11.过点A 作AE ⊥BC 于E ，则222()==+=++AE BE CE BD CD BE DE ，(-CE22)2.=DE AD12.已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的斜边长. （2012年全国初中数学联赛题）【答案】设直角三角形三边长分别为a b c 、、(a ≤b <c ),则30++=a b c ，由a ≤b <c 得30310=++<∴>a b c c c ，, 由a +b >c 得30215=++>∴<a b c c c ，, ∵c 为整数，∴11≤c ≤14.∵222+=a b c ，把30=--c a b 代入并化简得30()4500-++=ab a b . ∴(30-a )(30-b )=450=2×32×52.∵a b 、均为整数，且a ≤b ，∴只可能是223053023⎧-=⎪⎨-=⨯⎪⎩a b ， 解得512=⎧⎨=⎩a b ，从而c =13.。