第二章 练习题及参考答案

第二章 静电场 练习题及参考答案

1、均匀带电导体球,半径为,带电量为。试求

（1） 球内任一点得电场

（2） 球外任一点得电位移矢量

解:(1)

(2)

2、放在坐标原点得点电荷在空间任一点处产生得电场强度表达式为

(1)求出电力线方程;(2)画出电力线。

解:(1) 式中,为任意常数。

(2)电力线图所示。

3、用球坐标表示得场,求

（1） 在直角坐标中点(-3,4,5)处得;

（2） 在直角坐标中点(-3,4,5)处得分量

解:(1)

(2),

4、两点电荷,位于轴上处,位于轴上处,求空间点 处得(1)电位;(2)该点处得电场强度矢量。

解:(1)

(2)

5、一个点电荷位于处,另一个点电荷位于处,其中。求

（1） 求出空间任一点处电位得表达式;

（2） 求出电场强度为零得点。

解:(1)建立如图18-1所示坐标

空间任一点得电位

图18-2 其中, ,

(2)根据分析可知,电场等于零得位置只能位于两电荷得连线上得得左侧,设位于处,则在此处电场强度得大小为

令上式等于零得

求得

6、真空中均匀带电球体,其电荷密度为,半径为,试求

（1） 球内任一点得电位移矢量

（2） 球外任一点得电场强度

解:(1)

(2)当时,

7、设无限长直线均匀分布有电荷,已知电荷密度为,如图所示,求

（1） 空间任一点处得电场强度;

（2） 画出其电力线,并标出其方向。

解(1)

(2)其电力线如图2所示。

8、设为两种媒质得分界面,为空气,其介电常数为,为介电常数得媒质2。已知空气中得电场强度为,求

(1)空气中得电位移矢量。

(2)媒质2中得电场强度。

解:(1)空气中得电位移矢量

(2)由边界条件

切向分量

法向分量

故:

得媒质2中得电场强度为: 图2 图1 9、电偶极子电量为,正、负电荷间距为,沿轴放置,中心位于原点,求出空间任一点P处得电位表达式。

解:

其中,

10、同轴线内导体半径为,外导体半径为,内、外导体间介质为空气,其间电压为

(1)求处得电场强度

(2)求处得电位移矢量

解:(1)导体内部没有电荷分布,故内导体内部处

得电场强度处处为零。

(2)设单位长内导体表面电荷密度为,由电荷得分布对称性可知,离导线等距离处得电场大小处处相等,方向为沿柱面径向,在底面半径为长度为得柱体表面使用高斯定理得:

可得任一点处得电场强度为:

再由

得任一点处得电位移矢量为:

11、自由空间中一点电荷电量为2C,位于处,设观察点位于处,求

(1)观察点处得电位

(2)观察点处得电场强度。

解:(1)任意点处得电位

将观察点代入

(2)源点位置矢量

场点位置矢量

点电荷到场点得距离矢量 图1

图2

12、平行板电容器极板长为、宽为,极板间距为,如图所示。设得极板上得自由电荷总量为,求

(1)电容器间电场强度;

(2)电容器极板间电压。

解:(1)建立如图所示坐标。

设上极板得电荷密度为,则

极板上得电荷密度与电场法向分量得关系为

由于平行板间为均匀电场,故

(2) 由:

将上面电场代入得:

13、电荷q均匀分布在内半径为a, 外半径为b得球壳形区域内,如图示:

(1)求各区域内得电场强度;

(2)若以处为电位参考点,

试计算球心()处得电位。

解:(1)电荷体密度为:

由高斯定理: 可得,

区域内,

区域内,

区域内,

(2)

代入各量并计算得,

14、图示球形电容器得内导体半径, 外导体内径 ,其间充有两种电介质与, 它们得分界面得半径为。 已知与得相对介电常数分别为 。 求此球形电容器得电容。(已知)

解: a

b

15、图示极板面积为S、间距为 d 得平行板空气电容器内,平行地放入一块面积为S、厚度为a、介电常数为得介质板。 设左右两极板上得电荷量分别为与 。若忽略端部得边缘效应,试求

(1) 此电容器内电位移与电场强度得分布;

(2) 电容器得电容及储存得静电能量。

解:(1)

,

(2)

16、半径为得均匀带电无限长圆柱导体,单位长度上得电荷量为,求空间电场强度分布。

解:因为电荷分布具有柱对称性,由静电场得高斯定理,可作一个与已知柱体同轴得、高为、半径为得柱面为高斯面,则分区域讨论:

(1)＜时,由高斯定理得:

(2)＞时,高斯面内包围得电荷量为 ,同理可得

17、两个点电荷,电量分别为+q与-3q,相距为d,试求:

(1)在它们得连线上电场强度=0得点与电荷量为+q得点电荷相距多远？

(2)若选无穷远处电势为零,两点电荷之间电势U=0得点与电荷量为+q得点电荷相距多远？

解:(1)据题意可知电场强度=0得点一定在它们得连线得延长线上且位于电荷量为+q得点一侧,设与电荷量为+q得点电荷相距为,则由=0得:

解得:。

(2)据题意可知电位得点可能在它们得连线上()也可能在它们得连线得延长线上且位于电荷量为+q得点一侧,设与电荷量为+q得点电荷相距为,则由可得:

或

分别解得:

()

18、一个半径为得电介质球内含有均匀分布得自由电荷,电荷体密度为。

证明其中心点得电位就是

证明:由静电场得高斯定理可求得空间得电场强度分布为:

若选择无穷远为电位参考点,球心为坐标原点,则可得球心得电位为:

将电场强度得大小分别代入,并计算得:,结论得证。

19、证明极化介质中,极化电荷体密度与自由电荷体密度得关系为:

证明:由高斯定理得微分形式及电位移矢量得定义式

与极化电荷体密度公式得:

bPPEPED•••••0000)(化简得:,结论得证。

20、一个半径为,带电量为得导体球,球外套有半径为得同心介质球壳,介质得介电系数为,壳外就是空气。求空间任意点得及电位。

解:由介质中静电场得高斯定理,得空间各区域得电位移矢量分别为:

空间各区域得电场强度分别为:

空间各区域得极化强度矢量分别为:

空间各区域得电位分别为

)

21、一半径为,内部均匀分布着体密度为得电荷得球体。求任意点得电场强度及电位。

解:由高斯定理可求得空间得电场强度分布为:

若选择无穷远为电位参考点,球心为坐标原点,则

)