小升初数学专项训练+典型例题分析-工程篇(教师版)

小升初专项训练 工程篇

一、小升初考试热点及命题方向

罗巴切夫斯基是俄国数学家。曾经有一位承包商向他请教过一个工程问题：

某项工程，若甲、乙单独去做，甲比乙多用4天完成；若甲先做2天后，再和乙一起做，则共用7天可完成，问甲、乙两人单独做此工程各需多少天完成？ 答案：

设甲、乙两人每人完成该项工程的一半，以题意，甲、乙两人单独完成，甲比乙多用4天，所以每人单独完成一半时，甲比乙多用2天。

另外，已知甲先做2天，然后与乙合作，7天完成，这就是说，甲、乙共同完成全部工作时（每人做一半），相差刚好2天，那么很明显，甲在7天中正好完成了工程的一半，而乙在5天中也完成了工程的一半。

这样，甲单独完成要14天，乙单独完成要10天。 工程问题在历届考试中之所以难，是因为工程问题中比例和单位“1” 综合。还有就是学生欠缺一些固定的条件的理解和转化能力。

二、2013年考点预测

13年的这一题型必然将继续出现，题型的出题热点在利用通项表达式（即字母表示）总结出已知条件中等式的内在规律和联系，这一类题型主要考察学生根据已有条件进行归纳与猜想的能力，希望同学们多加练习。

三、知识要点

在工程问题中，一般要出现三个量：工作总量、工作时间（完成工作总量所需的时间）和工作效率（单位时间内完成的工作量）。

【基本公式】：这三个量之间有下述一些关系式： 工作效率×工作时间＝工作总量； 工作总量÷工作时间＝工作效率； 工作总量÷工作效率＝工作时间。

为叙述方便，把这三个量简称工量、工时和工效。

【规律总结】：不要求记忆，但要求能够理解和运用。

（1）工效提高了a%,工作总量不变的前提下，工时则变为原的100/(100+a)。时间缩短了

a/(100+a)。 （2）工效降低了a%,工作总量不变的前提下，工时则变为原的100/(100-a)。时间延长了

a/(100-a)。 (3)工效提高了a/b, 工作总量不变的前提下，工时则变为原的a/(a+b)。时间缩短了

希望考入重点中学？ 是我们成就梦想的地方！

深刻理解公式的用法！

b/(a+b)。

(4)工效降低了a/b,工作总量不变的前提下，工时则变为原的 b /（b-a ）。时间延长了a/(b-a)。 (5)当出现甲工作了一段时间a ，乙工作了一段时间b ，则通常是把条件处理为甲乙和干了

a （或

b 时间）后甲单干（a-b ）（或乙单干（b-a ）段时间）

1 涉及二者的工程问题

【例1】（★★）一项工程，甲单独做6天完成，乙单独做12天完成。现两人合作，途中乙因病休息了几天，这样用了4.5天才完成任务。乙因病休息了几天？

【解】：方法一：4.5天甲完成了4.5÷6=3/4，乙完成了1/4，需要（1/4）÷（1/12）=3

天，所以乙休息了4.5-3=1.5天。

方法二：假设乙没休息，这样两人4.5天总共完成4.5×（12161 ）=8

9

，而总工作量只有1，所以多出的81就是乙休息时间里做的，所以乙休息了81÷12

1

=1.5天。

【答】：乙休息了1.5天。

【例2】（★★）有240个零件，平均分给甲、乙两个车间加工。乙车间有紧急任务，因此

在甲车间开始加工了4小时之后才开始加工这批零件，而且比甲车间晚40分钟才完成任务。已知乙车间的效率是甲车间的3倍，那么甲车间每小时能加工多少个零件？

【解】：40分钟＝

32小时，乙车间一共比甲车间少用了3

1

3小时，乙车间的效率是甲车间的3倍，乙比甲少工作4－32＝33

1

小时，但都完成了120个零件。如果乙和甲的时间是一样

的话，那么乙就会多完成240个零件，也就是说乙在33

1

小时内可做240个零件，所以乙

每小时完成的零件个数为240÷33

1

＝72个，甲每小时完成72÷3＝24个零件。

【答】：甲每小时能加工24个零件。

2 涉及三者的工程问题

【例3】（★★★）一项工程，甲队单独做24天完成，乙队单独做30天完成。现在甲、乙两队先合做8天，剩下的由丙队单独做了6

天完成了此项工程。如果从开始就由丙队单独

做，需要几天？

【解】：方法一：设工作总量为[24，30]＝120单位，则甲队每天完成240÷24=5单位，乙队每天完成240÷30=4单位。前8天，甲、乙两队共完成（5＋4）×8＝72单位，则丙6天完成120－72＝48单位，丙每天完成48÷6＝8单位。那么，如果从开始就让丙队单独做，需要120÷8＝15天。

方法二：甲工作效率为1/24，乙的工作效率为1/30，这样甲乙合作8天完成的工作量为（1/24+1/30）×8=9/15，所以剩下的1-9/15=6/15由丙做6天，所以丙的工作效率为6/15÷6=1/15，所以丙要做15天。

【答】：如果从开始让丙队独做，需要15天。

【例4】（★★★）某工程由甲、乙两个工程队合作需要12天完成。甲工程队工作3天后离开，同时乙、丙两个工程队加入，又工作了3天后，乙工程队离开，此时刚好完成工程的一半，那么剩下的工程如果由丙工程队单独完成，还需要几天？

【解】：可以看作是甲、乙、丙三个工程队合作了3天，干完了工程的一半。因为甲乙合作需要12天完成，所以甲乙两队合作3天共完成了全部工程的4

112

3＝。可以算出丙队3天完

成的工作量是4

14

12

1＝ 。则剩下的一半工程，丙队需要独做6天才能完成。

【答】：还需要6天。

【例5】（★★★）马师傅和张师傅合伙加工一批零件，原计划马师傅每天比张师傅多加工8个零件，共用了15天完成。张师傅为了赶上马师傅的效率，叫了一个徒弟从一开始就帮忙，结果师徒俩每天反比马师傅还多加工4个零件，这样用了12天就完成了，那么马师傅每天加工多少个零件？

【解】：由题意知徒弟每天加工零件8＋4＝12个。设工作总量为[12，15]＝60份，这样原张、马二人的工效之和为60÷15=4份，现在加上张师傅的徒弟后三人的工效之和为60÷12=5份，相差1份，表明1份为12个零件。

原两位师傅每天一共加工零件12×4＝48个，马师傅又比张师傅每天多8个，则他每天加工（48＋8）÷2＝28个。 【答】：马师傅每天加工28个零件。

【例6】（★★★）有甲、乙、丙三组工人，甲组4人的工作，乙组需要5人完成；乙组的3人工作，丙组需要8人完成。一项工作，需要甲组13人完成，乙组15人3天完成。如果让丙组10人去做，需要多少天完成？

【解】：设甲组每人每天的工作量为1，则乙组每人每天的工作量为4/5，丙组每人每天的工作量为：4/5×3/8=3/10。

这项工作的总工作量为：（1×13+4/5×15）×3=75 丙组10人需要干：75÷3/10÷10=25（天）。

3 涉及多者的工程问题

【例7】（★★）一项工程，45人可以若干天完成。现在45人工作6天后，调走9人干其他工作。这样，完成这项工程就比原计划多用了4天。原计划完成这项工程用多少天？