一阶线性微分方程组
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第4章 一阶线性微分方程组
一 内容提要
1． 基本概念
一阶微分方程组：形如
⎪⎪⎪
⎪⎩⎪⎪⎪
⎪⎨⎧===)
,,,,( ),,,,(),,,,(2121222111
n n n n
n y y y x f dx
dy y y y x f dx
dy y y y x f dx dy （） 的方程组，（其中n y y y ,,,21 是关于x 的未知函数）叫做一阶微分方程组。
若存在一组函数)(,),(),(21x y x y x y n 使得在[a,b]上有恒等式
),,2,1))((,),(),(,()
(21n i x y x y x y x f dx
x dy n i i ==成立，则
)(,),(),(21x y x y x y n 称为一阶微分方程组的一个解
含有n 任意常数n C C C ,,,21 的解
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧===)
,,,,( ),,,,(),,,,(21321222111n n n
n C C C x y C C C x y C C C x y ϕϕϕ 称为通解。如果通解满方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=Φ=Φ=Φ0
),,,,,,,,(
0),,,,,,,,(0),,,,,,,,(21212121221211n n n n
n n n C C C y y y x C C C y y y x C C C y y y x
则称这个方程组为（）的通积分。
满足初始条件,)(,,)(,)(0020021001n n y x y y x y y x y === 的解，叫做初值问题的解。
令n 维向量函数
Y )(x =⎥
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡)( )()(21x y x y x y n ，F （x ，Y ）=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡),,,,( ),,,,(),,,,(21212211n n
n n y y y x f y y y x f y y y x f
⎥⎥
⎥
⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=dx dy dx dy dx dy dx x dY n )(21，⎰⎰⎰⎰⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=x x x x n x x x x dx x f dx x f dx x f x F 0000)( )()()(21 则（）可记成向量形式
),,(Y x F dx
dY
= 初始条件可记为
Y (0x )=0Y ,其中⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=no y y y Y 20100 则初值问题为:
⎪⎩⎪
⎨⎧==0
0)(),(Y x Y Y x F dx
dY
一阶线性微分方程组:形如⎪⎪⎪
⎪⎩⎪⎪⎪
⎪⎨⎧++++=++++=++++=)
()()()( )()()()()()()()(212112
22221212112121111
x f x a y x a y x a dx
dy x f x a y x a y x a dx dy x f x a y x a y x a dx dy n nn n n n n n 的
一阶微分方程组,叫做一阶线性微分方程组.
令
A (x )=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡)(a )(a )(a )(nn n11n 11x x x x a 及F ()x =⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡)( )()(21x f x f x f n 则的向量形式:
)()(x F Y x A dx dY
+= F (0)≡x 时 Y x A dx
dY
)(= 称为一阶线性齐次方程组,
式称为一阶线性非齐次方程组。
在（3．5）式A (，的每一个元素都为常数)x 即A (⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==nn n2
n12n 22211n 1211a a a a a a a a ) a A x )(x F AY dx
dY
+= 叫做常系数线性非齐次微分方程组.
AY dx
dY
= 叫做常系数线性齐次微分方程组.
2． 一阶线性微分方程组的通解结构.
定理1（一阶线性微分方程组解存在唯一性定理）：如果线性微分方程组
)()(x F Y x A dx
dY
+=中的A )(x 及F )(x 在区间I=[]b a ,上连续，
则对于[]b a ,上任一点0x 以及任意给定的Y 0，方程组 )()(x F Y x A dx
dY
+=的满足初始条件的解在[]b a ,上存在且唯
一。
1)向量函数线性相关性及其判别法则
定义：设)(),(),(21x Y x Y x Y m 是m 个定义在区间I 上的n 维向量函数。如果存在m 个不全为零的常数,,,,21m C C C 使得0)()()(2211=+++x Y C x Y C x Y C m m 恒成立，则称这m 个向量函数在区间I 上线性相关；否则它们在区间I 上线性无关。 判别法则：①定义法
②朗斯基（Wronski ）行列式判别法： 对于列向量组成的行列式
)
( )(
)
( )()(1111x y x y x y x y x W nn n n =
通常把它称为n 个n 维向量函数组)(),(),(21x Y x Y x Y n 的朗斯基（Wronski ）行列式。 定理1 如果n 个n 维向量函数组)(),(),(21x Y x Y x Y n 在区间I 线性相关，则们的朗斯基（Wronski ）行列式)(x W 在I 上恒等于零。
逆定理未必成立。
如：
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=0)(Y
02)(221x x x x Y