中学三角比的知识点和公式汇总

三角比的各个知识点和公式与解斜三角形

同角的三角比关系tanA3cotA=1

互为余角的三角比关系

sinA=cos(90-A)

cosA=sin(90-A),

tanA=cot(90-A)

cotA=tan(90-A)

直角三角形边、角关系

边与边a^2+b^2=c^2

角与角∠A+∠B=90°

边与角：锐角三角比概念

所以，历史上三角函数曾有三角比之称，三角比不只是三角函数，两者之间还有一定的差别。任意角的三角比

象限角：定点在平面直角坐标系的原点，始边与x轴重合的角

其三角比的定义：

正弦sinθ=y/r

余弦cosθ=x/r

正切tanθ=y/x

余切cotθ=x/y

正割secθ=r/x

余割cscθ=r/y

公式一

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin（2kπ＋α）＝sinα

cos（2kπ＋α）＝cosα

tan（2kπ＋α）＝tanα

cot（2kπ＋α）＝cotα

公式二

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

sin（π＋α）＝－sinα

cos（π＋α）＝－cosα

tan（π＋α）＝ tanα

cot（π＋α）＝ cotα

公式三

任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：

sin（－α）＝－sinα

cos（－α）＝ cosα

tan（－α）＝－tanα

cot（－α）＝－cotα

公式四

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinα

cos（π－α）＝－cosα

tan（π－α）＝－tanα

cot（π－α）＝－cotα

公式五

利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinα

cos（2π－α）＝cosα

tan（2π－α）＝－tanα

cot（2π－α）＝－cotα

公式六

π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π/2＋α）＝cosα

cos（π/2＋α）＝－sinα

tan（π/2＋α）＝－cotα

cot（π/2＋α）＝－tanα

sin（π/2－α）＝cosα

cos（π/2－α）＝sinα

tan（π/2－α）＝cotα

cot（π/2－α）＝tanα

诱导公式记忆口诀

上面这些诱导公式可以概括为：

对于k2π/2±α(k∈Z)的个三角函数值，

①当k是双数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；

②当k是单数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.

（单变双不变）

然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。

（符号看象限）

例如：

sin(2π－α)＝sin(42π/2－α)，k＝4为偶数，所以取sinα。

当α是锐角时，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)＜0，符号为“－”。

所以sin(2π－α)＝－sinα

上述的记忆口诀是：

单变双不变，符号看象限。

公式右边的符号为把α视为锐角时，角k2360°+α（k∈Z），-α、180°±α，360°-α所在象限的原三角函数值的符号可记忆

水平诱导名不变；符号看象限。

各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦；三为切；四余弦”．．

还有一个与英语有关的记忆口诀，来判断符号。

All Station To Center.每个站都能到中央车站。

All 代表第一象限内所有都为正。

Station 开头字母S代表Sin，第二象限只有Sin为正。

To 开头字母T代表Tan，第三象限只有Tan为正。

Center 开头字母C代表Cos，第四象限只有Cos为正。

做题时若需要考虑正负，一下子想不起来，可画简略坐标，在四个象限非别表上A S T C，就一目了然了。

同角三角函数基本关系

⒈同角三角函数的基本关系式

倒数关系:

tanα 2cotα＝1

sinα 2cscα＝1

cosα 2secα＝1

商的关系：

tanα=sinα/cosα或者tanα=secα/cscα，可以简记为s/c

cotα=cosα/sinα或者cotα=cscα/secα，可以简记为c/s

平方关系：

sin^2(α)＋cos^2(α)＝1

1＋tan^2(α)＝sec^2(α)

1＋cot^2(α)＝csc^2(α)

两角和差公式

⒉两角和与差的三角函数公式

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ

sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ

cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tan（α＋β）＝(tanα＋tanβ) / (1－tanα 2tanβ)

tan（α－β）＝(tanα－tanβ) / (1＋tanα 2tanβ)

倍角公式

⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）

sin2α＝2sinαcosα

cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α) tan2α＝2tanα / [1－tan^2(α)]

半角公式

⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）

sin^2(α/2)＝(1－cosα)/2

cos^2(α/2)＝(1＋cosα)/2

tan^2(α/2)＝(1－cosα) / (1＋cosα)

*tan(α/2)=sinα / (1+cosα)=(1-cosα) / sinα

万能公式

⒌万能公式

sinα＝2tan(α/2) / [1＋tan^2(α/2)]

cosα＝[1－tan^2(α/2)] / [1＋tan^2(α/2)]

tanα＝2tan(α/2) / [1－tan^2(α/2)]

三倍角公式

2．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ?=+-?=+-??=+-? 或 222

222222

cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ?+-=??+-?=???+-=??

. 3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：

1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.

2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.

（2）两类余弦定理解三角形的问题：

1、已知三边求三角.

2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.

4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.

5．解题中利用ABC ?中A B C π++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,

A B C +=-

sin cos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C +++===.

6．求解三角形应用题的一般步骤：

（1）分析：分析题意，弄清已知和所求；

（2）建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；

（3）求解：正确运用正、余弦定理求解； （4）检验：检验上述所求是否符合实际意义。

补充：1、2、sin α2cos β=1/(tan α+cot α)

2、角的集合：（1）与角a 终边重合的角：{B|B=2k π+a ，K ∈Z}

（2）关于X 轴对称：{B|B=2k π-a ，K ∈Z}

（3）关于Y 轴对称：{B|B=2k π+π-a ，K ∈Z}

（4）关于原点对称：{B|B=2k π+π+a ，K ∈Z}

（5）与角a 终边垂直：{B|B=2k π±π/2+a ，K ∈Z}

（6）与角a 关于直线y=x 对称：{B|B=2k π±π/2-a ，K ∈Z}

3、辅助角公式：Asin α+Bcos α= （A^2+B^2)^(1/2)sin(α+β)

其中sin β=B/(A^2+B^2)^(1/2)

cos β=A/(A^2+B^2)^(1/2)