函数高考复习：函数的奇偶性与周期性
高考数学总复习 第二篇 函数与导数 第3讲 函数的奇偶性与周期性课件 理
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
【训练1】 若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均
为R，则
( )．
A．f(x)与g(x)均为偶函数
B．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数
C．f(x)与g(x)均为奇函数
D．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数
意．故选A.
答案 A
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2．(2013·皖南八校联考)已知函数f(x)是R上的单调增函数且
为奇函数，则f(1)的值
( )．
A．恒为正数
B．恒为负数
C．恒为0
D．可正可负
解析 由题意知f(1)>f(0)＝0.
答案 A
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3．(2012·广州调研)函数f(x)＝x3＋sin x＋1(x∈R)，若f(a)＝
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考点自测
1．(2011·上海)下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋
∞)上单调递减的函数为
( )．
A．y＝x－2
B．y＝x－1
C．y＝x2
D．y＝x13
解析 函数为偶函数，则f(－x)＝f(x)，故排除掉B，D.C选
项中y＝x2为偶函数，但在(0，＋∞)上单调递增，不满足题
1＋x 1－x.
[审题视点] 先确定函数的定义域，再由奇偶函数的定义判
断．
解 (1)f(x)的定义域为R，且f(－x)＝(－x)3－2(－x)＝－(x3 －2x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．
抓住2个考点
高考数学(文通用)一轮复习课件：第二章第4讲函数的奇偶性及周期性
第二章基本初等函数、导数及其应用函数的奇偶性及周期性教材回顾▼夯实基础课本温故追根求源和课梳理1.函数的奇偶性2. 周期性(1)周期函数：对于函数j=/(x),如果存在一个非零常数T,那么就称函数y=/a )为周期函数，称F 为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数/(兀)的所有周期中存在一个正周期.要点整會尸1. 辨明三个易误点 （1）应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内.使得当兀取定义域内的任何值时，都有 f(x+T)=f(x)的正数，那么这个最小 正数就叫做沧)的最小（2）判断函数的奇偶性，易忽视函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. （3）判断函数/（兀）是奇函数，必须对定义域内的每一个x,均有/（一兀）=一/（兀），而不能说存在丸使/（一兀0）=—/（兀0），对于偶函数的判断以此类推.2.活用周期性三个常用结论对/(*)定义域内任一自变量的值(1)®f(x+a)= —f(x)9则T=2a；i⑵若Z(x+a)=y (乂),则T=2a； (1)(3)若f(x-\-a)=—屮(比)“,则T= 2a.3.奇、偶函数的三个性质(1)在奇、偶函数的定义中，f(-x)=-f(x)^ 定义域上的恒等式.(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立.利用这一性质可简化一些函数图象的画法.(3)设心)，g(x)的定义域分别是Di，6,那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇＞＜奇=偶，偶+偶=偶，偶X偶 =偶,奇乂偶=奇.（2015•高考福建卷）下列函数为奇函数的是（D B. y=e D. j=e x -e"x 双基自测 C ・ j=cosx1.2.已知/(x)=«x 2+Z»x 是定义在［«-1,加］上的偶函数，那 么"+方的值是(B )解析：因为f(x)=ax 2-\-bx 是定义在［«-1,加］上的偶函数, 所以a~l+2a=0,所以 a =-. 3X/(—x)=/(x),所以方=0,所以a+b=£ 3 A.D. 3 23.（2016•河北省五校联盟质量监测）设/（兀）是定义在R上的周期为3的函数，当xe[ - 2, 1)时，f(x)=4x2— 2, — 2WxW 0,X, 0<x<l,B. 1A. 0D. -1解析:因为心）是周期为3的周期函数，所以龙）=/（一扌+3）4.(必修1 P39习题1.3B组T3改编)若/(x)是偶函数且在(0,+ 8)上为增函数，则函数心)在(一8, °)上捋函数5.(必修1 P39习题X3A组T6改编)已知函数/(x)是定义在R 上的奇函数，当xMO时，gx) = x(1+x),则xVO时，/(x) = x(l—x)解析：当xVO时，则一x>0,所以/(—x) = (—x)(1—x)・又/(X)为奇函数，所以/(-x) = -/(x) = (-x)(1-x),所以/(X)=x(1—X)・國例1 (2014-高考安徽卷)若函ft/(x)(xe R)是周期为4的典例剖析护考点突破」 考点一函数的周期性名师导悟以例说法奇函数，且在［0 , 2］上的解析式为/(x)=\x (1—x) , OWxWl, 、sin Ji x, 1<X W2, 5/?)+眉)=—^因为当 1 <xW2 时，/(x)=sin Tix,所以 XS =sinZ r =_2-所以 3因为当 OWxWl 时，/(x)=x(l-x), 所以简兮X 。
【恒心】高考数学(理科)一轮复习突破课件002003-函数的奇偶性与周期性
三个结论
一是若函数 y＝f(x＋a)是偶函数，则函数 y＝f(x)关于直线 x＝a 对称；若 函数 y＝f(x＋b)是奇函数，则函数 y＝f(x)关于点(b,0)中心对称，如(4)； 二是若对任意 x∈D 都有 f(x＋a)＝－f(x)，则 f(x)是以 2a 为周期的函数； 1 若对任意 x∈D 都有 f(x＋a)＝± (f(x)≠0)， 则 f(x)也是以 2a 为周期的函 f (x) 数，如(7)； 三是若函数 f(x)既是周期函数， 又是奇函数， 则其导函数 y＝f′(x)既是周期 函数又是偶函数，如(8)中因为 y＝f(x)是周期函数，设其周期为 T，则有 f(x＋T)＝f(x)，两边求导，得 f′(x＋T)(x＋T)′＝f′(x)，即 f′(x＋T)＝f′(x)，所 以导函数是周期函数，又因为 f(x)是奇函数，所以 f(－x)＝－f(x)，两边求 导，得 f′(－x)(－x)′＝－f′(－x)＝－f′(x)，即－f′(－x)＝－f′(x)，所以 f′(－x) ＝f′(x)，所以导函数是偶函数.
3.周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T ，使得 当 x 取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝ f(x) ，那么就称函数 y＝ f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期 存在一个最小 的 正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
件：(1)定义域关于原 点对称，这是函数具 有奇偶性的必要不充 分条件，所以首先考 虑定义域；(2)判断f(x) 与f(－x)是否具有等量 关系．在判断奇偶性 的运算中，可以转化 为判断奇偶性的等价 等量关系式(f(x)＋f(－ x)＝0(奇函数)或f(x)－ f(－x)＝0(偶函数))是 否成立．
高考数学总复习考点知识讲解与提升练习8 函数的奇偶性、周期性
高考数学总复习考点知识讲解与提升练习专题8 函数的奇偶性、周期性考点知识1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义.2.会依据函数的性质进行简单的应用．知识梳理1．函数的奇偶性2.周期性(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．常用结论1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．2．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝1f(x)，则T＝2a(a>0)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0.(×)(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．(×)(3)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．(×)(4)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N*)也是函数的一个周期．(√)教材改编题1．若偶函数f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，则函数f(x)在区间[1,2]上() A．单调递增，且有最小值f(1)B．单调递增，且有最大值f(1)C．单调递减，且有最小值f(2)D．单调递减，且有最大值f(2)答案A解析偶函数f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，则由偶函数的图象关于y轴对称，则有f(x)在[1,2]上单调递增，即有最小值为f(1)，最大值为f(2)．对照选项，A正确．2．已知函数y＝f(x)是奇函数，且当x>0时，有f(x)＝x＋2x，则f(－2)＝________. 答案－6解析因为函数y＝f(x)是奇函数，且当x>0时，有f(x)＝x＋2x，所以f(－2)＝－f(2)＝－(2＋4)＝－6.3．已知函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，若f(1)＝1，则f(2023)＝________. 答案－1解析因为函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，所以f(2023)＝f(506×4－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.题型一函数奇偶性的判断例1(多选)下列命题中正确的是()A．奇函数的图象一定过坐标原点B．函数y＝x sin x是偶函数C．函数y＝|x＋1|－|x－1|是奇函数D．函数y＝x2－xx－1是奇函数答案BC解析对于A，只有奇函数在x＝0处有定义时，函数的图象过原点，所以A不正确；对于B，因为函数y＝x sin x的定义域为R且f(－x)＝(－x)sin(－x)＝f(x)，所以该函数为偶函数，所以B正确；对于C，函数y＝|x＋1|－|x－1|的定义域为R关于原点对称，且满足f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，即f(－x)＝－f(x)，所以函数为奇函数，所以C正确；对于D，函数y＝x2－xx－1满足x－1≠0，即x≠1，所以函数的定义域不关于原点对称，所以该函数为非奇非偶函数，所以D不正确．思维升华判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．跟踪训练1已知函数f(x)＝sin x，g(x)＝e x＋e－x，则下列结论正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数答案C解析选项A，f(x)g(x)＝(e x＋e－x)sin x，f(－x)g(－x)＝(e－x＋e x)sin(－x)＝－(e x＋e－x)sin x＝－f(x)g(x)，是奇函数，判断错误；选项B ，|f (x )|g (x )＝|sin x |(e x ＋e －x )，|f (－x )|g (－x )＝|sin(－x )|(e －x ＋e x )＝|sin x |(e x ＋e －x )＝|f (x )|g (x )，是偶函数，判断错误；选项C ，f (x )|g (x )|＝|e x ＋e －x |sin x ，f (－x )|g (－x )|＝|e －x ＋e x |sin(－x )＝－|e x ＋e －x |sin x ＝－f (x )|g (x )|，是奇函数，判断正确；选项D ，|f (x )g (x )|＝|(e x ＋e －x )sin x |，|f (－x )g (－x )|＝|(e －x ＋e x )sin(－x )| ＝|(e x ＋e －x )sin x |＝|f (x )g (x )|，是偶函数，判断错误．题型二函数奇偶性的应用命题点1利用奇偶性求值(解析式)例2(1)(2023·福州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ x 3＋1，x >0，ax 3＋b ，x <0为偶函数，则2a ＋b 等于()A ．3B.32C ．－12D ．－32答案B解析由已知得，当x >0时，－x <0，f (－x )＝－ax 3＋b ，∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即x 3＋1＝－ax 3＋b ，∴a ＝－1，b ＝1，∴2a ＋b ＝2－1＋1＝32. (2)(2023·吕梁模拟)已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝2x ＋x －1，则当x <0时，f (x )等于()A ．2－x －x －1B ．2－x ＋x ＋1C ．－2－x －x －1D ．－2－x ＋x ＋1答案D解析当x <0时，－x >0，因为f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－2－x ＋x ＋1.命题点2利用奇偶性解不等式例3函数f (x )是定义域为R 的奇函数，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f (2)＝0.则不等式f (x )－2f (－x )x>0的解集为() A ．(－2,2)B ．(－∞，0)∪(0,2)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)答案D解析由于f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，又f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f (2)＝0，所以f (x )的大致图象如图所示．由f (－x )＝－f (x )可得，f (x )－2f (－x )x ＝f (x )＋2f (x )x ＝3f (x )x>0， 由于x 在分母位置，所以x ≠0，当x <0时，只需f (x )<0，由图象可知x <－2；当x >0时，只需f (x )>0，由图象可知x >2；综上，不等式的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．思维升华(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题．跟踪训练2(1)已知函数f (x )＝sin x ＋x 3＋1x＋3，若f (a )＝1，则f (－a )等于() A ．1B ．3C ．4D ．5答案D解析根据题意f (a )＝sin a ＋a 3＋1a＋3＝1， 即sin a ＋a 3＋1a＝－2， 所以f (－a )＝sin(－a )＋(－a )3＋1(－a )＋3 ＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin a ＋a 3＋1a ＋3＝2＋3＝5. (2)已知函数f (x )＝log 2(|x |＋1)，若f (log 2x )<f (2)，则实数x 的取值范围是()A ．(1,4) B.⎝⎛⎭⎪⎫0，14∪(4，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1∪(1,4) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，4 答案D解析依题意，函数f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，∴f (x )在(－∞，0)上单调递减，则f (log 2x )<f (2)等价于|log 2x |<2，∴－2<log 2x <2，解得14<x <4. (3)(2021·新高考全国Ⅰ)已知函数f (x )＝x 3(a ·2x －2－x )是偶函数，则a ＝________. 答案1解析方法一(定义法)因为f (x )＝x 3(a ·2x －2－x )的定义域为R ，且是偶函数，所以f (－x )＝f (x )对任意的x ∈R 恒成立，所以(－x )3(a ·2－x －2x )＝x 3(a ·2x －2－x )对任意的x ∈R 恒成立，所以x 3(a －1)(2x ＋2－x )＝0对任意的x ∈R 恒成立，所以a ＝1.方法二(取特殊值检验法)因为f (x )＝x 3(a ·2x －2－x )的定义域为R ，且是偶函数，所以f (－1)＝f (1)，所以－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－2＝2a －12， 解得a ＝1，经检验，f (x )＝x 3(2x －2－x )为偶函数，所以a ＝1.方法三(转化法)由题意知f (x )＝x 3(a ·2x －2－x )的定义域为R ，且是偶函数．设g (x )＝x 3，h (x )＝a ·2x －2－x ，因为g (x )＝x 3为奇函数，所以h (x )＝a ·2x －2－x 为奇函数，所以h (0)＝a ·20－2－0＝0，解得a ＝1，经检验，f (x )＝x 3(2x －2－x )为偶函数，所以a ＝1.题型三函数的周期性例4(1)若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (2－x )＝－f (x )，且当1≤x ≤2时，f (x )＝x－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72的值等于()A.52B.32C.12D ．－12答案D解析∵函数f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，又∵f (2－x )＝－f (x )，∴f (2－x )＝－f (－x )，∴f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )，∴函数f (x )的周期为4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72－4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－12. (2)设f (x )是定义在R 上周期为4的偶函数，且当x ∈[0,2]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则函数f (x )在[2,4]上的解析式为____________________．答案f (x )＝log 2(5－x )，x ∈[2,4]解析根据题意，设x ∈[2,4]，则x －4∈[－2,0]，则有4－x ∈[0,2]，当x ∈[0,2]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (4－x )＝log 2[(4－x )＋1]＝log 2(5－x )，又f (x )为周期为4的偶函数，所以f (x )＝f (x －4)＝f (4－x )＝log 2(5－x )，x ∈[2,4]，则有f (x )＝log 2(5－x )，x ∈[2,4]．思维升华(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．跟踪训练3(多选)已知定义在R上的偶函数f(x)，其周期为4，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－2，则()A．f(2023)＝0B．f(x)的值域为[－1,2]C．f(x)在[4,6]上单调递减D．f(x)在[－6,6]上有8个零点答案AB解析f(2023)＝f(506×4－1)＝f(－1)＝f(1)＝0，所以A正确；当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－2单调递增，所以当x∈[0,2]时，函数的值域为[－1,2]，由于函数是偶函数，所以函数的值域为[－1,2]，所以B正确；当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－2单调递增，又函数的周期是4，所以f(x)在[4,6]上单调递增，所以C错误；令f(x)＝2x－2＝0，所以x＝1，所以f(1)＝f(－1)＝0，由于函数的周期为4，所以f(5)＝f(－5)＝0，f(3)＝f(－3)＝0，所以f(x)在[－6,6]上有6个零点，所以D错误．课时精练1．(多选)下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是()A．y＝2x3＋4x B．y＝x＋sin(－x)C．y＝log2|x|D．y＝2x－2－x答案ABD解析对于A，定义域为R，且f(－x)＝－2x3－4x＝－f(x)，故为奇函数，又y′＝6x2＋4>0，所以y＝2x3＋4x在(0,1)上单调递增，故A满足题意；对于B，定义域为R，f(－x)＝－x＋sin x＝－f(x)，故为奇函数，又y′＝1－cos x≥0，且y′不恒为0，所以y＝x＋sin(－x)在(0,1)上单调递增，故B满足题意；对于C，定义域为{x|x≠0}，f(－x)＝log2|x|＝f(x)，故为偶函数，故C不满足题意；对于D，定义域为R，f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，为奇函数，又y′＝2x ln2＋2－x ln2>0，所以y＝2x－2－x在(0,1)上单调递增，故D满足题意．2．(2023·聊城模拟)已知函数f(x)的定义域为R，则“f(x)是偶函数”是“|f(x)|是偶函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，根据这一特征，若f(x)是偶函数，则|f(x)|是偶函数，若f(x)是奇函数，|f(x)|也是偶函数，所以“f(x)是偶函数”是“|f(x)|是偶函数”的充分不必要条件．3．(2022·河南名校联盟模拟)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)等于()A ．0B ．2C ．4D ．－2 答案D解析∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0，又f (x )在R 上的周期为2，∴f (2)＝f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝124-＝－2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝－2.4．(2022·亳州模拟)已知函数f (x )＝x 2＋log 2|x |，a ＝f (2－0.2)，b ＝f (lg π)，c ＝f (log 0.26)，则a ，b ，c 的大小关系正确的是() A ．a <b <c B ．b <c <a C ．b <a <c D ．c <b <a 答案C解析2－0.2<20＝1，lg π>0，log 0.26<0， 因为f (－x )＝(－x )2＋log 2|－x |＝f (x )， 所以f (x )为偶函数，所以只需判断2－0.2，lg π，－log 0.26的大小即可， －log 0.26＝log 0.216>1,2－1<2－0.2<20＝1,0<lg π<lg 10＝12，所以－log 0.26>1>2－0.2>lg π>0，当x >0时，y ＝x 2，y ＝log 2x 都单调递增，所以f (x )＝x 2＋log 2|x |在(0，＋∞)上单调递增，所以c ＝f (log 0.26)＝f (－log 0.26)>a ＝f (2－0.2)>b ＝f (lg π)．5．(2021·全国乙卷)设函数f (x )＝1－x1＋x ，则下列函数中为奇函数的是()A ．f (x －1)－1B ．f (x －1)＋1C ．f (x ＋1)－1D ．f (x ＋1)＋1 答案B 解析f (x )＝1－x 1＋x ＝2－(x ＋1)1＋x ＝21＋x－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y ＝f (x )的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为y ＝f (x －1)＋1.6．(多选)f (x )是定义在R 上的偶函数，对∀x ∈R ，均有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝log 2(2－x )，则下列结论正确的是() A ．函数f (x )的一个周期为4 B ．f (2022)＝1C ．当x ∈[2,3]时，f (x )＝－log 2(4－x )D ．函数f (x )在[0,2021]内有1010个零点 答案AC解析∵f (x )是定义在R 上的偶函数，对∀x ∈R ，均有f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴函数的周期为4，故A 正确；f (2022)＝f (4×505＋2)＝f (2)＝－f (0)＝－1，故B 错误； 当x ∈[2,3]时，x －2∈[0,1]，则f (x )＝－f (x －2)＝－log 2[2－(x －2)] ＝－log 2(4－x )，故C 正确；易知f (1)＝f (3)＝f (5)＝…＝f (2019)＝f (2021)＝0， 于是函数f (x )在[0,2021]内有1011个零点，故D 错误． 7．写出一个定义域为R ，周期为π的偶函数f (x )＝________. 答案cos2x (答案不唯一)解析y ＝cos2x 满足定义域为R ，最小正周期T ＝2π2＝π，且为偶函数，符合要求． 8．若函数f (x )＝e x －e －x ，则不等式f (ln x )＋f (ln x －1)>0的解集是________． 答案(e ，＋∞)解析因为f (x )＝e x －e －x ，定义域为R ，且f (－x )＝－(e x －e －x )＝－f (x )，故其为奇函数， 又y ＝e x ，y ＝－e －x 均为增函数，故f (x )为R 上的增函数，则原不等式等价于f (ln x )>f (1－ln x )，也即ln x >1－ln x ，整理得ln x >12，解得x >e ，故不等式的解集为(e ，＋∞)．9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ， 所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎨⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．10．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式； (3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2023)． (1)证明∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是周期为4的周期函数． (2)解当x ∈[－2,0]时，－x ∈[0,2]， 由已知得f (－x )＝2(－x )－(－x )2＝－2x －x 2. 又f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝－2x －x 2. ∴f (x )＝x 2＋2x .又当x ∈[2,4]时，x －4∈[－2,0]， ∴f (x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)．又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.从而求得x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.(3)解f(0)＝0, f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2020)＋f(2021)＋f(2022)＋f(2023)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2023)＝0.11．(2023·廊坊模拟)已知定义域为R的函数f(x)满足：∀x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，且f(1)＝1，则下列结论错误的是()A．f(0)＝2B．f(x)为偶函数C．f(x)为奇函数D．f(2)＝－1答案C解析因为∀x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，取x＝1，y＝0可得f(1)＋f(1)＝f(1)f(0)，又f(1)＝1，所以f(0)＝2，A对；取x＝0，y＝x可得f(x)＋f(－x)＝f(0)f(x)，因为f(0)＝2，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，C错，B对；取x＝1，y＝1可得f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)，又f (1)＝1，f (0)＝2， 所以f (2)＝－1，D 对．12．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足：①对于任意的x ∈R ，都有f (x ＋1)＝1f (x )；②函数y ＝f (x )是偶函数；③当x ∈(0,1]时，f (x )＝x ＋e x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫214，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫223从小到大的排列是________． 答案f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f⎝ ⎛⎭⎪⎫223<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫214 解析由题意知f (x ＋1)＝1f (x )，则f (x ＋2)＝1f (x ＋1)＝f (x )，故函数y ＝f (x )的周期为2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫223＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫8－23＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫214＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－34＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，∵当x ∈(0,1]时，f (x )＝x ＋e x 单调递增， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34， 故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫223<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫214.13．(2022·全国乙卷)若f (x )＝ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋11－x ＋b 是奇函数，则a ＝______，b ＝______. 答案－12ln2解析f (x )＝ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋11－x ＋b ＝ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋11－x ＋lne b＝ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪(a ＋1)e b －a e bx 1－x . ∵f (x )为奇函数， ∴f (－x )＋f (x )＝ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪(a ＋1)2e 2b －a 2e 2b x 21－x 2＝0， ∴||(a ＋1)2e 2b －a 2e 2b x 2＝|1－x 2|.当(a ＋1)2e 2b －a 2e 2b x 2＝1－x 2时，[(a ＋1)2e 2b －1]＋(1－a 2e 2b )x 2＝0对任意的x 恒成立，则⎩⎨⎧(a ＋1)2e 2b－1＝0，1－a 2e 2b＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－12，b ＝ln2.当(a ＋1)2e 2b －a 2e 2b x 2＝x 2－1时，[(a ＋1)2e 2b ＋1]－(a 2e 2b ＋1)x 2＝0对任意的x 恒成立，则⎩⎨⎧(a ＋1)2e 2b＋1＝0，a 2e 2b＋1＝0，无解．综上，a ＝－12，b ＝ln2.14．已知函数f (x )＝x 3＋(x ＋1)2x 2＋1在区间[－3,3]上的最大值为M ，最小值为N ，则M ＋N的值为________． 答案2解析f(x)＝x3＋x2＋2x＋1x2＋1＝x(x2＋2)＋x2＋1x2＋1＝x(x2＋2)x2＋1＋1，令g(x)＝f(x)－1＝x(x2＋2) x2＋1，则g(－x)＝－x(x2＋2)x2＋1＝－g(x)，∴函数g(x)在[－3,3]上为奇函数，则g(x)max＋g(x)min＝0，即M－1＋N－1＝0，∴M＋N＝2.。
高考数学-函数的奇偶性与周期性知识点总结及练习题
考点03函数的奇偶性与周期性1．（2021·全国高考真题（文））设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．53-B ．13-C ．13D ．53【答案】C 【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得53f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值.【详解】由题意可得：522213333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而21111133333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==--=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故5133f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数关于y 轴对称奇函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，非零常数T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．1．（2021·全国高三月考（文））函数()x x e e f x ln x-+=的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．2．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三月考（文））已知定义域为R 的奇函数()f x 满足1322f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当01x ≤≤时()1x f x e =-，则23x ≤≤时()f x 的解析式为（）A ．2()1x f x e -=-B ．2()1x f x e -=-C ．1()1x f x e -=-D ．1()1x f x e -=-3．（2021·陕西高三其他模拟（文））已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x =-．当12x ≤≤时，()()2log 7f x x =+，则()2021f =（）A ．3B ．3-C ．5-D ．54．（2021·江西高三其他模拟（理））已知函数()()ln sin ,033,3x x x f x f x x ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，则()f x 在()0,10上的零点个数为（）A ．6B ．7C ．8D ．95．（2021·全国高三其他模拟（文））已知定义域为R 的偶函数y ＝f （x ）﹣3x 在[0，+∞）单调递增，若f （m ）+3≤f （1﹣m ）+6m ，则实数m 的取值范围是（）A ．（﹣∞，2]B ．[2，+∞）C ．[12，+∞）D ．（﹣∞，12]6．（2021·全国高三二模）已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（）A ．()4ln 11cos 2xf x x +=+B ．()2cos xx x f x e=C ．()cos ln 2sin x x f x x⋅=+D ．()22ln cos x f x x x+=+7．（2021·浙江杭州市·学军中学高三其他模拟）已知函数(21()log f x x x=+，则（）A ．()f x 在（0，+∞）上单调递增B ．对任意m ∈R ，方程()f x +m =0必有解C ．()f x 的图象关于y 轴对称D ．()f x 是奇函数8．（2021·河南高三月考（文））已知函数()32sin f x x ax x =++，现有下列四个结论:①()f x 是奇函数；②当23a =时，()f x 恰有两个零点；③若()f x 为增函数，则12a ≥-；④当23a =-时，()f x 恰有两个极值点.所有正确结论的编号是（）A ．①③B ．①③④C ．②④D ．①②③9．（2021·新疆高三其他模拟（文））定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且0x >时，()ln xf x x=.若关于x 的方程()f x kx =有三个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（）A ．11,0,e e ⎛⎫⎛⎫-∞-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．11,00,ee ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．11,0,22e e ⎛⎫⎛⎫-∞-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．11,00,22e e ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10．（2021·吉林高三月考（文））已知()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于点()1,0对称．以下关于()f x 的结论：①()f x 是周期函数；②()f x 满足()()4f x f x =-；③()f x 在（0，2）上单调递减；④()cos2xf x π=是满足条件的一个函数．其中所有正确的结论是（）A ．①②③④B ．②③④C ．①②④D ．①④11．（2021·云南红河哈尼族彝族自治州·高三三模（文））已知函数()f x 是R 上的奇函数，且满足()()11f x f x =+-，当(]0,1x ∈，()ln f x x =，则下列关于函数()f x 叙述正确的是（）A ．函数()f x 的最小正周期为1B ．函数()f x 在()0,2021内单调递增C ．函数()f x 相邻两个对称中心的距离为2D ．函数()ln y f x x =+在区间()0,2021内有1010个零点12．（2021·江西南昌市·高三三模（文））奇函数()f x 满足()()2f x f x -=，当[]0,1x ∈时，()()2log a f x x =+，则()2021f =（）A ．0B ．1C ．2D ．1-13．（2021·安徽高三二模（文））定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x -=，当(]0,1x ∈，()2log f x x x =-，则20212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．32B ．12C ．12-D ．32-14．（2021·安徽蚌埠市·高三三模（文））若把定义域为R 的函数()f x 的图象沿x 轴左右平移后，可以得到关于原点对称的图象，也可以得到关于y 轴对称的图象，则关于函数()f x 的性质叙述一定正确的是（）A ．()()0f x f x -+=B ．()()11f x f x -=-C ．()f x 是周期函数D ．()f x 存在单调递增区间15．（2018·全国高考真题（文））已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=A ．50-B ．0C ．2D ．5016．（2019·北京高考真题（文））设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件17．（2019·全国高考真题（文））设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )=A ．e 1x --B ．e 1x -+C ．e 1x ---D ．e 1x --+18．（2011·全国高考真题（文））下列函数中，既是偶函数又区间上单调递增的是A ．3y x =B ．1y x =+C ．21y x =-+D ．2xy -=19．（2014·安徽高考真题（文））若函数()()f x x R ∈是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为(1),01()sin ,12x x x f x x x π-≤≤⎧=⎨<≤⎩，则2941(()46f f +=___________20．（2017·山东高考真题（文））已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.1．C【分析】根据函数的奇偶性，可排除A 、D ；根据()f e 的值，可排除B ，即可求解.【详解】由题意，函数()x xe ef x ln x -+=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，可得定义域关于原点对称，又由()() ln ln x x x xe e e ef x f x x x--++-===-，所以()f x 是偶函数，故排除选项A 、D ；因为()()++ln eeee e e ef e e e e e--==>，可排除B.故选：C .2．A 【分析】由13()()22f x f x +=-得()f x 对称轴为1x =，结合奇偶性得10x -≤≤时()1x f x e -=-，再设23x ≤≤时2(2)1x f x e --=-即可.【详解】因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()()f x f x -=-因为13()()22f x f x +=-，所以()f x 的一条对称轴为1x =，有(2)()f x f x -=，当01x ≤≤时()1x f x e =-，所以当10x -≤≤时01x ≤-≤，()1=()x f x e f x --=--，即()1x f x e -=-，当23x ≤≤时120x -≤-≤，所以(2)2(2)1=1x x f x e e ----=--即2()1x f x e -=-故选：A 【点睛】函数的奇偶性、对称性及单调性是函数的三大性质，在解题中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和对称性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．3．A 【分析】首先判断函数的周期，再利用周期求函数值.【详解】由条件可知，()()f x f x -=-，且()()2f x f x =-，即()()2f x f x -=--，即()()2f x f x +=-，那么()()()42f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 是周期为4的函数，()()()22021505411log 83f f f =⨯+===.故选：A 4．B 【分析】先作出函数ln y x =与sin y x =在03x <≤上的图像，得出()f x 在(]0,3上零点个数，再由周期性得出()3,10上的零点个数，得出答案.【详解】由题意，当03x <≤时，作出函数ln y x =与sin y x =的图像.由图可知，函数ln y x =与sin y x =在()0,1和[]1,3内各有一个交点，所以()f x 在(]0,3上有2个零点.由当3x >时，()()3f x f x =-，由函数周期性的性质可得当36x <≤时，()f x 上有2个零点,当69x <≤时，()f x 上有2个零点,当910x <<时，()f x 上有1个零点,所以()f x 在()0,10上有7零点个数故选：B ．5．D 【分析】设()()3g x f x x =-，由题意可知函数()g x 为偶函数，并且在[0，+∞）单调递增，由()3(1)6f m f m m +≤-+，得()(1)g m g m ≤-，从而得1m m ≤-，进而可求出实数m 的取值范围【详解】解：设()()3g x f x x =-，由题意可知函数()g x 为偶函数，并且在[0，+∞）单调递增，由()3(1)6f m f m m +≤-+，得()3(1)3(1)f m m f m m -≤---，即()(1)g m g m ≤-，所以()(1)g m g m ≤-，因为()g x 在[0，+∞）单调递增，所以1m m ≤-，两边平方得22(1)m m ≤-，解得12m ≤，所以实数m 的取值范围是（﹣∞，12]，故选：D 6．D 【分析】根据图象得函数()f x 定义域为{}|0x x ≠，图象关于y 轴对称，结合选项一一判断即可．【详解】根据图象得函数()f x 定义域为{}|0x x ≠，图象关于y 轴对称，即()f x 为偶函数．对于A 选项，()41211cos12f =>+，排除；对于B 选项，函数定义域为R ，排除；对于C 选项，函数定义域为{}|0x x ≠，()()()cos ln cos ln 2sin 2sin x x x xf x x x-⋅-⋅-==+--，故函数为非奇非偶函数，排除；对于D 选项，函数()f x 符合图象要求．故选：D 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，从函数的值域判断图象的上下位；(2)从函数的单调性判断；(3)从函数的奇偶性判断；(4)从函数的特征点排除不合要求的选项.7．C 【分析】A 选项：对()f x 求导，进一步判断单调性；B 选项：判断函数的奇偶性，以及根据单调性判断函数()f x 的图像在x 轴上方，从而得出结论.CD 选项：根据B 选项可知结论.【详解】A 选项：函数()f x 定义域为0x≠，(221()log 1f x x x ⎛⎫'=-+++=设(2()log g x x =+()()()11222222111211222()ln 21x x x g x x x x ---+⋅++⋅'=-+==在（0，+∞）上，所以()0g x '<，即()g x 单调递减，()(0)0g x g <=故()0f x '<∴当0x >时，()0f x '<，即()f x 在（0，+∞）上单调递减，故A 错误；B选项：((222111()log log log =()f x x x f x x x x ⎛⎫-=-==+-∴()f x 为偶函数，关于y 轴对称，在(,0)-∞，()f x 单调递增，在(0+)∞，，()f x 单调递减，当0x >时1x +>，(2log 0x +>，(21()log 0f x x x =+>∴()f x 的图像在x 轴上方，∴当0m >时，()y f x =与y m =-的图像无交点，说明方程()f x +m =0无解，故B 错误；C 选项：根据B 选项可知()f x 是关于y 轴对称C 正确；D 选项：根据B 选项可知()f x 是偶函数，故D 错误.故选：C.【点睛】求函数单调性的方法：1.变化趋势法；2.复合函数法；3.定义证明方法；4.等价形式法；5.导数法，注意：不管使用什么方法，首先都要确定定义域和求分界点；8．B【分析】由奇偶性的定义可判断出①正确；利用导数可求得()0f x '>，知()f x 单调递增，结合()00f =知②错误；将()f x 为增函数转化为()0f x '≥恒成立，利用分离变量法可得()223cos a h x x x ≥=--，利用导数可求得()()max 01h x h ==-，由此得到12a ≥-，知③正确；利用导数可求得()f x '在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，结合零点存在定理可知()f x '存在两个变号零点，由此知④正确.【详解】对于①，()f x 定义域为R ，()()32sin f x x ax x f x -=---=-，()f x ∴为奇函数，①正确；对于②，当23a =时，()34sin 3f x x x x =++，()243cos 3f x x x '∴=++，[]cos 1,1x ∈-Q ，4cos 03x ∴+>，()0f x '∴>，()f x ∴在R 上单调递增，又()00f =，()f x ∴有且仅有0x =一个零点，②错误；对于③，()232cos f x x a x =++'，若()f x 为增函数，则()0f x '≥对x ∈R 恒成立，223cos a x x ∴≥--，令()23cos h x x x =--，则()6sin h x x x '=-+，()6cos 0h x x ''=-+<，()h x '∴在R 上单调递减，又()00h '=，∴当(),0x ∈-∞时，()0h x '>；当()0,x ∈+∞时，()0h x '<；()h x ∴在(),0-∞上单调递增，在()0,∞+上单调递减，()()01h x h ∴≤=-21a ∴≥-，解得：12a ≥-，即若()f x 为增函数，则12a ≥-，③正确；对于④，当23a =-时，()34sin 3f x x x x =-+，则()243cos 3f x x x '=-+，()6sin f x x x ''∴=-，()6cos 0f x x '''=->，()f x ''∴在R 上单调递增，又()00f ''=，()f x '∴在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，()1003f '=-< ，()()51cos 103f '-=+->，()51cos103f '=+>，()f x '∴在()1,0-和()0,1上分别存在一个变号零点，()f x ∴有两个极值点，④正确.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查函数与导数知识的综合应用问题，涉及到函数奇偶性的判断、利用导数讨论函数零点个数问题、根据函数单调性求解参数范围问题；其中根据函数单调性求解参数范围的关键是能够将问题转化为与导函数有关的恒成立问题的求解，进而利用分离变量法求得结果.9．D【分析】根据函数为偶函数，通过求导先求0x >时函数的图像与性质，然后结合图像，求临界点时k 的值，即()f x 和直线kx 相切时的切线斜率，再根据对称性即可得解.【详解】当0x >时，令()21ln 0x f x x-'==，则e x =.即()0,x e ∈时，()f x 单调递增.(),x e ∈+∞时，()f x 单调递减.若关于x 的方程()f x kx =有三个不相等的实数根，如图，当0k >时，设过点()0,0做曲线的切线交曲线于点000ln ,x P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，切线方程为：()000200ln 1ln x x y x x x x --=-切线又过点()0,0，则0000ln 1ln x x x x --=-，即0x =又∵ln x y x =在()0,x e ∈时单调递增.∴0x =，切线的斜率为12e ，∴10,2k e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭由对称性知：11,00,22k e e ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：D.【点睛】本题考查了函数方程问题，考查了利图象交点求参数范围，同时考查了利用导数研究函数的单调性，有一定的计算量，属于中档题.本题的关键点有：（1）利用导数研究函数的单调性，并能正确画出函数图像；（2）求临界值，掌握过某点求切线方程.10．C【分析】对于①，由已知得()()f x f x -=，()()2f x f x +=-，由此可判断；对于②，由已知得()()4f x f x -=-，由此可判断；对于③，由函数关于y 轴对称，且函数()f x 关于(1,0)对称可判断；对于④，由()()cos()2x f x f x π--==，()2(2)cos ()2x f x f x π--==-，由此可判断．【详解】解：函数()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称．对于①，由于()()f x f x -=，函数的图象关于(1,0)对称，故()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 是周期函数，故①正确；对于②，函数()f x 为偶函数，则()()4f x f x -=-，由于函数为偶函数，故满足()()4f x f x =-，故②正确；对于③，令()cos 2f x x π=-，()f x 满足题意，但在(0,2)上单调递增，故③错误；对于④，因为()()coscos ()22x x f x f x ππ--===，()22(2)cos cos cos ()222x x x f x f x ππππ---===-=-，所以函数()cos2x f x π=既关于y 轴对称，又关于(1,0)对称，故④正确．故选：C ．【点睛】方法点睛：函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值，以及解决与周期有关的函数综合问题．解决此类问题的关键是充分利用题目提供的信息，找到函数的周期，利用周期在有定义的范围上进行求解．11．D【分析】根据已知关系式可推导得到()()2f x f x +=，知A 错误；由周期性、奇偶性和函数在(]0,1上的解析式可得()f x 图象，通过图象可判断出BC 错误；将()ln y f x x =+零点个数问题转化为()f x 与ln y x =-交点个数问题，通过数形结合的方式可确定结果，知D 正确.【详解】由()()11f x f x =+-得：()()2f x f x +=，()f x ∴最小正周期为2，A 错误；当(]0,1x ∈时，()ln f x x =，又()f x 为R 上的奇函数，则()00f =，可得()f x 大致图象如下图所示：由图象可知：()f x 在()0,2021上没有单调性，B 错误；()f x 的对称中心为()()0,k k Z ∈，则相邻的对称中心之间距离为1，C 错误；()ln y f x x =+在区间()0,2021内的零点个数等价于()f x 与ln y x =-在()0,2021内的交点个数，在平面直角坐标系中画出()f x 与ln y x =-大致图象如下图所示：由图象可知：()f x 与ln y x =-在每个()()2,22k k k Z +∈内都有1个交点，且在区间内的交点横坐标等于或小于21k +，∴两个函数在()0,2021内有1010个交点，即()ln y f x x =+在区间()0,2021内有1010个零点，D 正确.故选：D.【点睛】思路点睛：本题考查函数性质和函数图象的综合应用问题，解题的基本思路是能够根据奇偶性、周期性和函数的部分解析式确定函数的图象，进而通过数形结合的方式来进行分析求解.12．B【分析】由()00f =计算得出实数a 的值，推导出函数()f x 的周期为4，可得出()()20211f f =，即可得解.【详解】因为函数()f x 为奇函数，则()20log 0f a ==，解得1a =，所以，当[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，由已知条件可得()()()()224f x f x f x f x =-=--=-，所以，函数()f x 是以4为周期的周期函数，则()()220211log 21f f ===.故选：B.【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论：（1）若函数()f x 的图象关于直线x a =和x b =对称，则函数()f x 的周期为2T a b =-；（2）若函数()f x 的图象关于点(),0a 和点(),0b 对称，则函数()f x 的周期为2T a b =-；（3）若函数()f x 的图象关于直线x a =和点(),0b 对称，则函数()f x 的周期为4T a b =-.13．D【分析】先由已知条件判断出()f x 为周期函数，且周期T =4，把20212f ⎛⎫⎪⎝⎭转化为12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入即可.【详解】因为()f x 满足()()2f x f x -=，所以()f x 的图像关于x=1对称.又()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()()()22f x f x f x =-=--，所以()()()42f x f x f x +=-+=，所以()f x 为周期函数，且周期T =4.所以2021552524222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而25511132log 222222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以20212f ⎛⎫=⎪⎝⎭32-.故选：D【点睛】综合利用函数性质求值的方法步骤：（1）利用性质，将给定的自变量转换到有解析式的区间内；（2）将转换后的自变量代入已知的解析式求解.14．C【分析】通过举例说明选项ABD 错误；对于选项C 可以证明判断得解.【详解】定义域为R 的函数()f x 的图象沿x 轴左右平移后，可以得到关于原点对称的图象，也可以得到关于y 轴对称的图象，∴()f x 的图象既有对称中心又有对称轴，但()f x 不一定具有奇偶性，例如()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()()0f x f x -+=，则()f x 为奇函数，故选项A 错误；由()()11f x f x -=-，可得函数()f x 图象关于0x =对称，故选项B 错误；由()0f x =时，()f x 不存在单调递增区间，故选项D 错误；由已知设()f x 图象的一条对称抽为直线x a =，一个对称中心为(),0b ，且a b ¹，∴()()2f a x f x +=-，()()2f x f b x -=-+，∴()()22f a x f b x +=-+，∴()()()2222f a x b f b x b f x +-=-+-=-，∴()()()()442222f x a b f b x b f x a b f x +-=-+-=-+-=，∴()f x 的一个周期()4T a b =-，故选项C 正确.故选：C【点睛】关键点睛：解答本题的关键是判断选项C 的真假，关键是利用函数周期性的定义、对称性进行推理.15．C【详解】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+，所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=,因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++ ，因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴= ，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++== ，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．16．C【分析】根据定义域为R 的函数()f x 为偶函数等价于()=()f x f x -进行判断.【详解】0b =时，()cos sin cos f x x b x x =+=,()f x 为偶函数；()f x 为偶函数时，()=()f x f x -对任意的x 恒成立，()cos()sin()cos sin f x x b x x b x-=-+-=-cos sin cos sin x b x x b x +=-，得0bsinx =对任意的x 恒成立，从而0b =.从而“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件，故选C.【点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.17．D【分析】先把x <0，转化为-x>0,代入可得()f x -，结合奇偶性可得()f x .【详解】()f x 是奇函数，0x ≥时，()1x f x e =-．当0x <时，0x ->，()()1x f x f x e -=--=-+，得()e 1x f x -=-+．故选D ．【点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题．18．B【详解】试题分析：因为A 项是奇函数，故错，C ，D 两项项是偶函数，但在(0,)+∞上是减函数，故错，只有B 项既满足是偶函数，又满足在区间(0,)+∞上是增函数，故选B ．考点：函数的奇偶性，单调性．19．516【分析】通过函数的奇偶性以及函数的周期性，分析可得293((44f f =-，417(()66f f =-，由函数的解析式可得29()4f 与41()6f 的值，将其相加即可得答案．【详解】根据题意，函数()()f x x R ∈是周期为4的奇函数，则29333((8)()(4444f f f f =-+=-=-，41777()(8)()(6666f f f f =-+=-=-，又由函数()f x 在[0，2]上的解析式为(1),01()sin ,12x x x f x x x π-⎧=⎨<⎩则293333()((1)444416f f =-=--=-，41771()()sin 6662f f π=-=-=，则2941315((4616216f f +=-+=，故答案为：516【点睛】方法点睛：对于周期函数求值，一般要利用周期先把函数的自变量转化到已知函数的定义域内，再求值.20．6【分析】先求函数周期，再根据周期以及偶函数性质化简()()9191f f =-，再代入求值.【详解】由f (x +4)=f (x -2)可知,()f x 是周期函数,且6T =,所以()()()919615311f f f =⨯+=()16f =-=.。
高考数学一轮总复习第2章函数、导数及其应用2.3函数的
由题意知 f( － 2) ＝ f(2) ＝ 0 ，当 x ∈ ( － 2,0] 时，
f(x)<f( － 2) ＝ 0 ，由对称性知， x ∈ [0,2) 时， f(x) 为增函数， f(x)<f(2)＝0，故 x∈(－2,2)时，f(x)<0，故选 B.
x 4．若函数 f(x)＝ 为奇函数，则 a＝( 2x＋1x－a 1 A.2 2 B.3 3 C.4 D．1
[ 双基夯实] 一、疑难辨析 判断下列结论的正误． ( 正确的打“√”，错误的打 “×”) 1．偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原 点．( × ) 2．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要 条件．( √ )
3．函数 y＝ 数．( × )
1 －x ＋
x－1 既 是 奇 函 数 又 是 偶 函
解析
) B．f(－1)>f(－2) D．f(－2)＝f(1)
∵f(1)<f(2)，∴－f(1)>－f(2)，又∵f(x)是奇函数，
∴f(－1)>f(－2)，故选 B.
3．[2017· 福建模拟] 若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数， 在(－∞，0]上是减函数，且 f(2)＝0，则使得 f(x)<0 的 x 的 取值范围是( ) B．(－2,2) D．(2，＋∞) A．(－∞，2) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
第2章 函数、导数及其应用
第3讲 函数的奇偶性与周期性
板块一 知识梳理· 自主学习
[ 必备知识] 考点 1 函数的奇偶性
考点 2
函数的周期性
1．周期函数 对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x f(x＋T)＝f(x) 取定义域内的任何值时， 都有 ， 那么就称 函数 y＝f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数 f(x) 的所有周期中存在一个 最小 的 正数，那么这个
三角函数的周期性、奇偶性与对称性-高考数学复习
π
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， k ∈Z，所以函数 f （ x ）的图象关于直线 x ＝ 对称.
3
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目录
高中总复习·数学
三角函数性质的综合应用
【例4】 （多选）已知函数 f （ x ）＝ sin
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（2 x ＋ ），则（
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3π
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＋ ， k ∈Z，故B错误； ＜2 x ＜ ， ＜ x ＜ ，所以 f （ x ）
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点，B对；对于C选项，当－ ≤ x ≤ 时，－ ≤2 x ＋ ≤ ，所以
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5π
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函数 f （ x ）在区间［－ ， ］上单调递增，C对；对于D选项，因
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π
π
为对称轴满足2 x ＋ ＝ ＋ k π， k ∈Z，解得 x ＝ ＋ ， k ∈Z，当 k
3
2
12
2
π
＝0时， x ＝ ，D对.故选B、C、D.
6
2
6
π
5π
（2 x － ）， f （－ ）＝ A sin
6
12
5π
π
（－2× － ）＝0.
12
6
目录
高中总复习·数学
解题技法
三角函数图象的对称轴和对称中心的求法
求三角函数图象的对称轴及对称中心，须先把所给三角函数式化
为 y ＝ A sin （ω x ＋φ）＋ b 或 y ＝ A cos （ω x ＋φ）＋ b 的形式，再把
高考数学中的奇偶性与周期性知识点总结
高考数学中的奇偶性与周期性知识点总结高考数学中，奇偶性与周期性是两个比较重要的知识点。
这两个知识点是数学中一些问题求解的基础，也是一些问题的关键所在。
在考试中，掌握好这两个知识点可以帮助我们更好地解决一些难题。
一、奇偶性奇偶性的概念是指数的性质，根据它是否为偶数或奇数来划分。
具体来说，若一个整数能被2整除，那么它就是偶数，否则就是奇数。
根据这个定义，我们可以得到以下几点结论：1. 奇数加奇数等于偶数，偶数加偶数也等于偶数2. 奇数加偶数等于奇数，偶数加奇数也等于奇数3. 奇数乘奇数等于奇数，偶数乘偶数等于偶数，奇数乘偶数等于偶数基于这些结论，我们可以在解决一些复杂的问题时，通过奇偶性来进行归纳或推理，从而简化问题的求解过程。
二、周期性周期性是指某个函数或者一段数据具有重复的特性，它将在一定的时间或空间范围内不断的变化，但是在一定的间隔内会出现相同的数值。
周期性的应用非常广泛，下面列出一些常见的周期数：1. 正弦曲线的周期是2π，即sin(x+2π)=sin(x)2. 余弦曲线的周期也是2π，即cos(x+2π)=cos(x)3. tan(x)的周期是π，即tan(x+π)=tan(x)4. 指数函数e的周期是2πi，即e^(x+2nπi)=e^x，其中n是任意整数通过这些周期数的关系，我们可以在求解复杂的数学问题时，通过对周期数的分析来推导答案。
例如，在求解正弦方程时，我们可以通过对周期2π的分析，将其转化为更加简单的问题，而得到更加简单的答案。
三、奇偶性与周期性的应用在解题时，常常会遇到一些既有奇偶性，又有周期性的问题，这时候我们就可以综合运用这两个知识点来解决。
以下是一些例题：1. 已知函数f(x)=sin(x)，求函数f(x+a)与f(x+2a)的奇偶性。
解：显然，f(x+a)=sin(x+a)，这个函数的奇偶性与sin(x)相同，即为奇函数。
而f(x+2a)=sin(x+2a)，这个函数的周期为2π，因此根据周期性的知识，我们可以将其转化为f(x)，即为偶函数。
【志鸿优化设计】高考数学一轮复习 第二章 函数2.3函数的奇偶性与周期性试题 理(含解析)新人教A版
课时作业6 函数的奇偶性与周期性一、选择题1．f (x )是定义在R 上的奇函数，满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x－2，则f (12log 6)的值等于( )．A ．－43B ．－72C ．12D ．－122．函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝－x ＋1，则当x ＜0时，f (x )的表达式为( )． A ．－x ＋1 B ．－x －1 C ．x ＋1 D ．x －13．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( )．A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)4．定义两种运算：a ⊗b ＝log 2(a 2－b 2)，a ⊗b ＝a －b 2，则函数f (x )＝2⊗x x ⊗2－2为( )．A ．奇函数B ．偶函数C ．奇函数且为偶函数D ．非奇且非偶函数5．函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，则( )． A ．f (x )是偶函数 B ．f (x )是奇函数C ．f (x )＝f (x ＋2)D ．f (x ＋3)是奇函数 6．已知函数f (x )是R 上的单调增函数且为奇函数，数列{a n }是等差数列，a 3＞0，则f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)的值( )．A ．恒为正数B ．恒为负数C ．恒为0D ．可正可负 二、填空题7．定义在R 上的偶函数f (x )满足对任意x ∈R ，都有f (x ＋8)＝f (x )＋f (4)，且x ∈[0,4]时，f (x )＝4－x ，则f (2 011)的值为__________．8．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则不等式f (x )＜－1的解集是__________．9．定义在R 上的偶函数f (x )满足：f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－1,0]上是增函数，下列关于f (x )的判断：①f (x )是周期函数；②f (x )的图象关于直线x ＝2对称； ③f (x )在[0,1]上是增函数； ④f (x )在[1,2]上是减函数； ⑤f (4)＝f (0)．其中判断正确的序号是__________． 三、解答题10．已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，且对任意a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )．且当x ＞0时，f (x )＜0恒成立，f (3)＝－3.(1)证明：函数y ＝f (x )是R 上的减函数； (2)证明：函数y ＝f (x )是奇函数；(3)试求函数y ＝f (x )在[m ，n ](m ，n ∈N *)上的值域．11．已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x ＋2)＝－f (x )．若f (x )为奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，求使f (x )＝－12在[0,2 014]上的所有x 的个数．参考答案一、选择题1．C 解析：12(log 6)f＝12(log 6)f --＝－f (log 26)＝－f (log 26－2) ＝2log 62(22)---＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫64－2＝12，故选C. 2．B 解析：x ＜0时，f (x )＝－f (－x )＝－[－(－x )＋1]＝－x －1.选B.3．C 解析：∵f (x )是奇函数，∴当x ＜0时，f (x )＝－x 2＋2x ，作出f (x )的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f (x )是R 上的增函数，由f (2－a 2)＞f (a )，得2－a 2＞a ，即－2＜a ＜1，选C.4．A 解析：f (x )＝log 2(4－x 2)(x －2)2－2，由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2>0，|x －2|－2≠0，得－2＜x ＜2且x ≠0，∴f (x )＝log 2(4－x 2)－x为奇函数．5．D 解析：由y ＝f (x ＋1)为奇函数知f (x ＋1)＝－f (－x ＋1)．① 由y ＝f (x －1)为奇函数知 f (x －1)＝－f (－x －1)．② 由①得f (－x )＝－f (2＋x )； 由②得f (－x )＝－f (x －2)， ∴f (2＋x )＝f (x －2)， 即f (x ＋4)＝f (x )．∴函数y ＝f (x )是以4为周期的函数．∴由②知，f (x －1＋4)＝－f (－x －1＋4)． ∴f (x ＋3)＝－f (－x ＋3)， ∴函数f (x ＋3)是奇函数．6．A 解析：不妨设等差数列{a n }的公差d ＞0，若a 1＞0，则a 5＞a 3＞a 1＞0.由函数f (x )在R 上是增函数且为奇函数，知f (a 5)＞f (a 3)＞f (a 1)＞0，所以f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)＞0；若a 1＜0，则a 5＋a 1＝2a 3＞0，a 5＞－a 1＞0.由奇函数f (x )为R 上的增函数，知f (a 5)＞f (－a 1)＝－f (a 1)，所以f (a 1)＋f (a 5)＞0，又f (a 3)＞0，所以f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)＞0.故选A.二、填空题7．1 解析：f (4)＝0， ∴f (x ＋8)＝f (x )，∴T ＝8， ∴f (2 011)＝f (3)＝4－3＝1. 8．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x <12，或x <－2 解析：当x ＜0时，－x ＞0，∴f (x )＝－f (－x )＝－log 2(－x )，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，0，x ＝0，－log 2(－x )，x <0.∴f (x )＜－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 2x <－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，0<－1或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－log 2(－x )<－1⇒0＜x ＜12或x ＜－2.9．①②⑤ 解析：f (x ＋1)＝－f (x )⇒f (x ＋2)＝f (x )，故f (x )是周期函数． 又f (x )＝f (－x )，所以f (x ＋2)＝f (－x )，故f (x )关于直线x ＝1对称． 同理，f (x ＋4)＝f (x )＝f (－x )， ∴f (x )关于直线x ＝2对称． 由此可得①②⑤正确． 三、解答题10．(1)证明：设任意x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2， f (x 2)＝f [x 1＋(x 2－x 1)] ＝f (x 1)＋f (x 2－x 1)．∵x 2－x 1＞0，∴f (x 2－x 1)＜0.∴f (x 2)＝f (x 1)＋f (x 2－x 1)＜f (x 1)， 故f (x )是R 上的减函数．(2)证明：∵f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )恒成立， ∴可令a ＝－b ＝x ，则有f (x )＋f (－x )＝f (0)．又令a ＝b ＝0，则有f (0)＝f (0)＋f (0)， ∴f (0)＝0.从而任意的x ∈R ，f (x )＋f (－x )＝0， ∴f (－x )＝－f (x )． 故y ＝f (x )是奇函数．(3)解：由于y ＝f (x )是R 上的单调递减函数，∴y ＝f (x )在[m ，n ]上也是减函数， 故f (x )在[m ，n ]上的最大值f (x )max ＝f (m )，最小值f (x )min ＝f (n )． 由于f (n )＝f [1＋(n －1)]＝f (1)＋f (n －1)＝…＝nf (1)， 同理f (m )＝mf (1)．又f (3)＝3f (1)＝－3，∴f (1)＝－1. ∴f (m )＝－m ，f (n )＝－n .因此函数y ＝f (x )在[m ，n ]上的值域为[－n ，－m ]．11．解：当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，设－1≤x ≤0，则0≤－x ≤1，∴f (－x )＝12(－x )＝－12x .∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∴－f (x )＝－12x ，即f (x )＝12x .故f (x )＝12x (－1≤x ≤1)．又设1＜x ＜3，则－1＜x －2＜1.∴f (x －2)＝12(x －2)．又∵f (x －2)＝－f (2－x )＝－f [(－x )＋2]＝－[－f (－x )]＝－f (x )，∴－f (x )＝12(x －2)．∴f (x )＝－12(x －2)(1＜x ＜3)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，－1≤x ≤1，－12(x －2)，1<x <3.由f (x )＝－12，解得x ＝－1.又∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2) ＝－[－f (x )]＝f (x )，∴f (x )是以4为周期的周期函数．∴f (x )＝－12的所有x ＝4n －1(n ∈Z )．令0≤4n －1≤2 014，则14≤n ≤2 0154，又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤503(n ∈Z )，∴在[0,2 014]上共有503个x 使f (x )＝－12.。
高考数学一轮复习第二章函数3函数的奇偶性与周期性课件新人教A版22
∴f(2 019)+f(2 020)=f(3)+f(0)=-1+0=-1.
-21考点1
考点2
考点3
考点4
(2)∵f(x)是偶函数,∴f(-1)=f(1).
√+1+1
,
又 f(-1)=-ln(-1+√ + 1)=ln
f(1)=ln(1+√ + 1),
A.f(x)g(x)是偶函数
B.|f(x)|g(x)是奇函数
f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-[f(x)g(x)],
C.f(x)|g(x)|是奇函数
D.|f(x)g(x)|是奇函数
因此f(x)g(x)是奇函数,故A错;
思考判断函数的奇偶性要注意什么?
|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),
对称
奇函数
-3知识梳理
双基自测
1
2
3
4
2.奇(偶)函数的性质
(1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).
(2)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在
关于原点对称的区间上具有相反的单调性.
(3)在公共定义域内有:奇函数±奇函数=奇函数,偶函数±偶函数
=偶函数,奇函数×奇函数=偶函数,偶函数×偶函数=偶函数,奇函
因为函数定义域不关于原点对称,所以函数为非奇非偶函数.
(3)函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称.
当x>0时,-x<0,此时f(x)=-x2+x,f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-(-x2+x)=-f(x);