2018年高考数学(理)总复习高考达标检测(六)幂函数、二次函数的3类考查点——图象、性质、解析式

高考达标检测（六）幂函数、二次函数的3类考查点——图象、性质、解析式
一、选择题
1．(2017·绵阳模拟)幂函数y＝(m2－3m＋3)xm的图象过点(2,4)，则m＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2

解析：选D ∵幂函数y＝(m2－3m＋3)xm的图象过点(2,4)，∴ m2－3m＋3＝1，2m＝4，解得
m
＝2.故选D.

2．(2017·杭州测试)若函数f(x)＝x2－2x＋1在区间[a，a＋2]上的最小值为4，则实
数a的取值集合为( )
A．[－3,3] B．[－1,3]
C．{－3,3} D．{－1，－3,3}
解析：选C ∵函数f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2的图象的对称轴为直线x＝1，f(x)在
区间[a，a＋2]上的最小值为4，∴当a≥1时，f(a)＝(a－1)2＝4，a＝－1(舍去)或a＝3；
当a＋2≤1，即a≤－1时，f(a＋2)＝(a＋1)2＝4，a＝1(舍去)或a＝－3；当a<12，即－13.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－
3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：
①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a是( )
A．②④ B．①④
C．②③ D．①③
解析：选B ∵二次函数的图象与x轴交于两点，∴b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；

对称轴为x＝－1，即－b2a＝－1,2a－b＝0，②错误；结合图象知，当x＝－1时，y>0，即
a－b＋c>0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a，又函数图象开口向下，∴a<0，∴5a<2a
，

即5a

4．(2017·济南统考)若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为－254，－4，
则m的取值范围是( )
A．[0,4] B.32，4

C.32，＋∞ D.32，3
解析：选D 二次函数图象的对称轴为x＝32，且f32＝－254，f(3)＝f(0)＝－4，由图
得m∈32，3.
5．函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是( )
A．f(1)≥25 B．f(1)＝25
C．f(1)≤25 D．f(1)>25

解析：选A 函数f(x)＝4x2－mx＋5的增区间为m8，＋∞，由已知可得m8≤－2⇒m≤
－16，所以f(1)＝4×12－m×1＋5＝9－m≥25.
6．(2017·合肥教学质量检测)函数f(x)＝－x2＋3x＋a，g(x)＝2x－x2，若f(g(x))≥0
对x∈[0,1]恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．[－e，＋∞) B．[－ln 2，＋∞)

C．[－2，＋∞) D.－12，0
解析：选C 如图所示，在同一坐标系中画出y＝x2＋1，y＝2x，
y＝x2＋32的图象，由图象可知，在[0,1]上，x2＋1≤2x2
＋32恒成立，

即1≤2x－x2<32，当且仅当x＝0或x＝1时等号成立，∴1≤g(x)<32，
∴f(g(x))≥0⇒f(1)≥0⇒－1＋3＋a≥0⇒a≥－2，即实数a的取值
范围是[－2，＋∞)，故选C.
二、填空题
7．已知幂函数f(x)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)在(0，＋∞)上为增函数，且在其定义域内
是偶函数，则m的值为________．
解析：∵幂函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
∴－m2＋2m＋3>0，即m2－2m－3<0，解得－1又m∈Z，∴m＝0或m＝1或m＝2.
当m＝0或m＝2时，f(x)＝x3在其定义域内为奇函数，不满足题意；当m＝1时，f(x)
＝x4在其定义域内是偶函数，满足题意．
综上可知，m的值是1.
答案：1
8．(2017·江苏扬州中学测试)二次函数y＝3x2＋2(m－1)x＋n在区间(－∞，1)上是减
函数，在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数m＝________.

解析：二次函数y＝3x2＋2(m－1)x＋n的图象的开口向上，对称轴为直线x＝－m－13，
要使得函数在区间(－∞，1)上是减函数，在区间[1，＋∞)上是增函数，则x＝－m－13＝1，
解得m＝－2.
答案：－2
9．(2017·南通一调)若函数f(x)＝ax2＋20x＋14(a>0)对任意实数t，在闭区间[t－1，
t＋1]上总存在两实数x1，x2，使得|f(x1)－f(x2)|≥8成立，则实数a
的最小值为________．

解析：由题意可得，当x∈[t－1，t＋1]时，[f(x)max－f(x)min]min≥8，当[t－1，t＋1]
关于对称轴对称时，f(x)max－f(x)min取得最小值，即f(t＋1)－f(t)＝2at＋a＋20≥8，f(
t
－1)－f(t)＝－2at＋a－20≥8，两式相加，得a≥8，所以实数a的最小值为8.
答案：8
三、解答题
10．(2017·杭州模拟)已知值域为[－1，＋∞)的二次函数f(x)满足f(－1＋x)＝f(－
1－x)，且方程f(x)＝0的两个实根x1，x2满足|x1－x2|＝2.
(1)求f(x)的表达式；
(2)函数g(x)＝f(x)－kx在区间[－1,2]上的最大值为f(2)，最小值为f(－1)，求实
数k的取值范围．
解：(1)由f(－1＋x)＝f(－1－x)，可得f(x)的图象关于直线x＝－1对称，
设f(x)＝a(x＋1)2＋h＝ax2＋2ax＋a＋h(a≠0)，
由函数f(x)的值域为[－1，＋∞)，可得h＝－1，

根据根与系数的关系可得x1＋x2＝－2，x1x2＝1＋ha，

∴|x1－x2|＝x1＋x22－4x1x2＝ －4ha＝2，
解得a＝1，
∴f(x)＝x2＋2x.
(2)由题意得函数g(x)在区间[－1,2]上单调递增，
又g(x)＝f(x)－kx＝x2－(k－2)x.

∴g(x)的对称轴方程为x＝k－22，

则k－22≤－1，即k≤0，故k的取值范围为(－∞，0]．
11．(2017·成都诊断)已知函数f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2,2]，f(x)≥0恒成
立，求a的取值范围．

解：f(x)＝x＋a22－a24－a＋3，令f(x)在[－2,2]上的最小值为g(a)．
(1)当－a2<－2，即a>4时，g(a)＝f(－2)＝7－3a≥0，
∴a≤73.
又a>4，∴a不存在．
(2)当－2≤－a2≤2，即－4≤a≤4时，

g(a)＝f－a2＝－a24－a
＋3≥0，

∴－6≤a≤2.又－4≤a≤4，
∴－4≤a≤2.

(3)当－a2>2，即a<－4时，g(a)＝f(2)＝7＋a≥0，∴a≥－7.
又a<－4，∴－7≤a<－4.
综上可知，a的取值范围为[－7,2]．
12．已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)，若f(x)在区间[2,3]上有最大值5，最小
值2.
(1)求a，b的值；
(2)若b<1，g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上单调，求m的取值范围．
解：(1)f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－a.
当a>0时，f(x)在[2,3]上为增函数，

故 f＝5，f＝2⇒ 3a＋2＋b＝5，2＋b＝2⇒ a＝1，b＝0.
当a<0时，f(x)在[2,3]上为减函数，
故 f＝2，f＝5⇒ 3a＋2＋b＝2，2＋b＝5⇒ a＝－1，b＝3.
(2)∵b<1，∴a＝1，b＝0，即f(x)＝x2－2x＋2.
g(x)＝x2－2x＋2－mx＝x2－(2＋m)x
＋2，

∵g(x)在[2,4]上单调，

∴2＋m2≤2或m＋22≥4.
∴m≤2或m≥6.
故m的取值范围为(－∞，2]∪[6，＋∞)．