2019-2020学年广西南宁市第三中学高二期中段考数学(理)试题 解析版
2019-2020学年广西南宁三中重点班高二下学期期末数学试卷(文科) (解析版)
2019-2020学年广西省南宁三中重点班高二第二学期期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合B＝{x|2x+1＞1}，则∁B A＝（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）2．设i为虚数单位，复数z满足z（i﹣2）＝5，则在复平面内，对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是（）A．甲B．乙C．丙D．丁4．已知函数f（x）＝x3﹣2x2，x∈[﹣1，3]，则下列说法不正确的是（）A．最大值为9B．最小值为﹣3C．函数f（x）在区间[1，3]上单调递增D．x＝0是它的极大值点5．函数f（x）＝+x的值域是（）A．[，+∞）B．（﹣∞，]C．（0，+∞）D．[1，+∞）6．以下四个命题：①若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；②对于命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则￢p为：∀x∉R，x2+x+1≥0；③“a＝2”是“函数f（x）＝log a x在区间（0，+∞）上为增函数”的充分不必要条件；④f（x）＝sin（ωx+φ）为偶函数的充要条件是φ＝．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．47．已知函数f（x）＝x5+ax3+bx﹣8，且f（﹣2）＝10，那么f（2）等于（）A．﹣10B．﹣18C．﹣26D．108．已知f（x）＝alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．（1，+∞）C．（0，1）D．[1，+∞）9．已知函数f（x）＝2x3﹣3x，若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切，则t 的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣3）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣1，+∞）D．（0，1）10．定义在R上的奇函数f（x）满足f（）＝f（），当时，f（x）＝16x﹣1，则f（100）＝（）A．﹣B．﹣1C．﹣D．﹣211．已知函数y＝f（x）（x∈R）满足f（x+2）＝2f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）＝﹣|x|+1，则当x∈[﹣10，10]时，y＝f（x）与g（x）＝log4|x|的图象的交点个数为（）A．13B．12C．11D．1012．已知函数f（x）＝﹣x3+1+a（≤x≤e，e是自然对数的底）与g（x）＝3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．[0，e3﹣4]B．[0，+2]C．[+2，e3﹣4]D．[e3﹣4，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．计算：2+2log31﹣3log77+3ln1＝．14．函数f（x）＝x2﹣9lnx的单调减区间为．15．若曲线y＝ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a＝．16．已知函数f（x）＝﹣2klnx+kx，若x＝2是函数f（x）的唯一极值点，则实数k的取值集合是．三、解答题（解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.第17-21题每题12分，选做题10分，共70分.）17．如图，△ABC中，AC＝2，，D是边BC上一点．（1）若，BD＝2，求∠C；（2）若BD＝3CD，求△ACD面积的最大值．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AB的中点．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）若△ABC是边长为2的正三角形，且BC＝BB1，∠CBB1＝60°，平面ABC⊥平面BB1C1C，求三棱锥A﹣DCA1的体积．19．近年来，国资委、党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如表所示：土地使用面积12345 x（单位：亩）管理时间y（单810132524位：月）并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如表所示：愿意参与管理不愿意参与管理男性村民15050女性村民50（1）求出相关系数r的大小，并判断管理时间y与土地使用面积x是否线性相关？（2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为x，求x的分布列及数学期望．参考公式：，其中n＝a+b+c+d．临界值表：P（K2≥k0）0.1000.0500.0250.0100.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.63510.828参考数据：≈25.220．已知椭圆的右焦点为F，上顶点为M，直线FM 的斜率为，且原点到直线FM 的距离为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若不经过点F的直线l：y＝kx+m（k＜0，m＞0）与椭圆C交于A，B两点，且与圆x2+y2＝1相切．试探究△ABF的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．21．已知函数f（x）＝xlnx﹣2ax2+x，a∈R．（Ⅰ）若f（x）在（0，+∞）内单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点分别为x1，x2，证明：x1+x2＞．选做题：考生需从第22题和第23题中选一道作答.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A为曲线C1上的动点，点B在线段OA的延长线上，且满足|OA|•|OB|＝8，点B的轨迹为C2．（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）设点M的极坐标为，求△ABM面积的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x﹣a|，x∈R．（1）当a＝4时，求不等式f（x）＞9的解集；（2）对任意x∈R，恒有f（x）≥5﹣a，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有-项是符合题目要求的）1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合B＝{x|2x+1＞1}，则∁B A＝（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）【分析】根据集合A是二次不等式的解集，集合B是指数不等式的解集，因此可求出集合A，B，根据补集的求法求得∁B A．解：A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|2x+1＞1}＝{x|x＞﹣1}，∁B A＝[3，+∞）．故选：A．2．设i为虚数单位，复数z满足z（i﹣2）＝5，则在复平面内，对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．解：z（i﹣2）＝5，则z＝﹣＝﹣＝﹣2﹣i．则在复平面内，＝﹣2+i对应的点（﹣2，1）位于第二象限．故选：B．3．某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】此题可以采用假设法进行讨论推理，即可得出结论．解：假如甲：我没有偷是真的，乙：丙是小偷、丙：丁是小偷是假的，丁：我没有偷就是真的，与他们四人中只有一人说真话矛盾，假如甲：我没有偷是假的，那么丁：我没有偷就是真的，乙：丙是小偷、丙：丁是小偷是假的，成立，故选：A．4．已知函数f（x）＝x3﹣2x2，x∈[﹣1，3]，则下列说法不正确的是（）A．最大值为9B．最小值为﹣3C．函数f（x）在区间[1，3]上单调递增D．x＝0是它的极大值点【分析】对f（x）求导，分析f′（x）的正负，进而得f（x）的单调区间，极值可判断C错误，D正确，再计算出极值，端点处函数值f（1），f（3），可得函数f（x）的最大值，最小值，进而可判断A正确，B正确．解：f′（x）＝3x2﹣4x，令f′（x）＝3x2﹣4x＞0，解得x＜0或x＞，所以当x∈[﹣1，0），（，3]时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，C错误，所以x＝0是它的极大值点，D正确，因为f（0）＝0，f（3）＝27﹣2×9＝9，所以函数f（x）的最大值为9，A正确，因为f（﹣1）＝﹣1﹣2＝﹣3，f（）＝﹣2×＝﹣，所以函数f（x）的最小值为﹣3，B正确，故选：C．5．函数f（x）＝+x的值域是（）A．[，+∞）B．（﹣∞，]C．（0，+∞）D．[1，+∞）【分析】由y＝[，+∞）和y＝x在[，+∞）上均为增函数，可得故f（x）＝+x 在[，+∞）上为增函数，求出函数的定义域后，结合单调性，求出函数的最值，可得函数的值域解：函数f（x）＝+x的定义域为[，+∞）∵y＝[，+∞）和y＝x在[，+∞）上均为增函数故f（x）＝+x在[，+∞）上为增函数∴当x＝时，函数取最小值，无最大值，故函数f（x）＝+x的值域是[，+∞）故选：A．6．以下四个命题：①若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；②对于命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则￢p为：∀x∉R，x2+x+1≥0；③“a＝2”是“函数f（x）＝log a x在区间（0，+∞）上为增函数”的充分不必要条件；④f（x）＝sin（ωx+φ）为偶函数的充要条件是φ＝．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】直接利用命题的否定的应用，真值表的应用，三角函数关系式的恒等变换，指数函数的性质的应用求出结果．解：①若p∧q为假命题，则命题p和q为一真一假和全部为假，故p，q均为假命题错误；②对于命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则￢p为：∀x∈R，x2+x+1≥0；故错误．③“a＝2”是“函数f（x）＝log a x在区间（0，+∞）上为增函数；当函数f（x）＝log a x在区间（0，+∞）上为增函数，则a＞1．故③“a＝2”是“函数f（x）＝log a x在区间（0，+∞）上为增函数”的充分不必要条件；正确．④f（x）＝sin（ωx+φ）为偶函数则φ＝kπ+（k∈Z），故错误．故选：A．7．已知函数f（x）＝x5+ax3+bx﹣8，且f（﹣2）＝10，那么f（2）等于（）A．﹣10B．﹣18C．﹣26D．10【分析】令g（x）＝x5+ax3+bx，由函数奇偶性的定义得其为奇函数，根据题意和奇函数的性质求出f（2）的值．解：令g（x）＝x5+ax3+bx，易得其为奇函数，则f（x）＝g（x）﹣8，所以f（﹣2）＝g（﹣2）﹣8＝10，得g（﹣2）＝18，因为g（x）是奇函数，即g（2）＝﹣g（﹣2），所以g（2）＝﹣18，则f（2）＝g（2）﹣8＝﹣18﹣8＝﹣26，故选：C．8．已知f（x）＝alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．（1，+∞）C．（0，1）D．[1，+∞）【分析】先将条件“对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立”转换成f（x1）﹣2x1＞f（x2）﹣2x2，构造函数h（x）＝f（x）﹣2x，根据增减性求出导函数，即可求出a的范围．解：对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立，假设x1＞x2，f（x1）﹣f（x2）＞2x1﹣2x2，即f（x1）﹣2x1＞f（x2）﹣2x2对于任意x1＞x2＞0成立，令h（x）＝f（x）﹣2x，h（x）在（0，+∞）为增函数，∴h'（x）＝+x﹣2≥0在（0，+∞）上恒成立，+x﹣2≥0，则a≥（2x﹣x2）max＝1故选：D．9．已知函数f（x）＝2x3﹣3x，若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切，则t 的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣3）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣1，+∞）D．（0，1）【分析】设出切点，由斜率的两种表示得到等式，化简得三次函数，将题目条件化为函数有三个零点，得解．解：设过点P（1，t）的直线与曲线y＝f（x）相切于点（x，2x3﹣3x），则＝6x2﹣3，化简得，4x3﹣6x2+3+t＝0，令g（x）＝4x3﹣6x2+3+t，则令g′（x）＝12x（x﹣1）＝0，则x＝0，x＝1．g（0）＝3+t，g（1）＝t+1，又∵过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切，则（t+3）（t+1）＜0，解得，﹣3＜t＜﹣1．故选：B．10．定义在R上的奇函数f（x）满足f（）＝f（），当时，f（x）＝16x﹣1，则f（100）＝（）A．﹣B．﹣1C．﹣D．﹣2【分析】根据题意，分析可得f（x+）＝﹣f（x），变形可得f（x+）＝﹣f（x+）＝f（x），即函数f（x）是周期为的周期函数，据此可得f（100）＝﹣f（），结合函数的解析式分析可得答案．解：根据题意，函数f（x）满足f（）＝f（），则有f（﹣x）＝f（+x），又由f（x）为定义在R上的奇函数，即f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x+）＝﹣f（x），变形可得f（x+）＝﹣f（x+）＝f（x），即函数f（x）是周期为的周期函数；则f（100）＝f（﹣+67×）＝f（﹣）＝﹣f（），又由f（）＝f（+）＝f（﹣）＝f（）＝﹣1＝1；故f（100）＝﹣f（）＝﹣1；故选：B．11．已知函数y＝f（x）（x∈R）满足f（x+2）＝2f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）＝﹣|x|+1，则当x∈[﹣10，10]时，y＝f（x）与g（x）＝log4|x|的图象的交点个数为（）A．13B．12C．11D．10【分析】在同一坐标系中画出函数f（x）与函数y＝log4|x|的图象，结合图象容易解答本题．解：由题意，函数f（x）满足：定义域为R，且f（x+2）＝2f（x），当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝﹣|x|+1；在同一坐标系中画出满足条件的函数f（x）与函数y＝log4|x|的图象，如图：由图象知，两个函数的图象在区间[﹣10，10]内共有11个交点；故选：C．12．已知函数f（x）＝﹣x3+1+a（≤x≤e，e是自然对数的底）与g（x）＝3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．[0，e3﹣4]B．[0，+2]C．[+2，e3﹣4]D．[e3﹣4，+∞）【分析】根据题意，可以将原问题转化为方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[，e]上有解，构造函数g（x）＝x3﹣3lnx，利用导数分析g（x）的最大最小值，可得g（x）的值域，进而分析可得方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[，e]上有解，必有1≤a+1≤e3﹣3，解可得a的取值范围，即可得答案．解：根据题意，若函数f（x）＝﹣x3+1+a（≤x≤e，e是自然对数的底）与g（x）＝3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则方程﹣x3+1+a＝﹣3lnx在区间[，e]上有解，﹣x3+1+a＝﹣3lnx⇔a+1＝x3﹣3lnx，即方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[，e]上有解，设函数g（x）＝x3﹣3lnx，其导数g′（x）＝3x2﹣＝，又由x∈[，e]，g′（x）＝0在x＝1有唯一的极值点，分析可得：当≤x≤1时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，当1≤x≤e时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，故函数g（x）＝x3﹣3lnx有最小值g（1）＝1，又由g（）＝+3，g（e）＝e3﹣3；比较可得：g（）＜g（e），故函数g（x）＝x3﹣3lnx有最大值g（e）＝e3﹣3，故函数g（x）＝x3﹣3lnx在区间[，e]上的值域为[1，e3﹣3]；若方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[，e]上有解，必有1≤a+1≤e3﹣3，则有0≤a≤e3﹣4，即a的取值范围是[0，e3﹣4]；故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．计算：2+2log31﹣3log77+3ln1＝0．【分析】进行对数的运算即可．解：原式＝3+2×0﹣3×1+3×0＝0．故答案为：0．14．函数f（x）＝x2﹣9lnx的单调减区间为（0，3]．【分析】先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解．解：定义域（0，+∞），＝，易得当0＜x≤3时，f′（x）≤0，函数单调递减，故函数的单调递减区间（0，3]，故答案为：（0，3]15．若曲线y＝ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a＝．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝1时的导数值，由导数值等于0求得a 的值．解：由y＝ax2﹣lnx，得：，∴y′|x＝1＝2a﹣1．∵曲线y＝ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，∴2a﹣1＝0，即a＝．故答案为：．16．已知函数f（x）＝﹣2klnx+kx，若x＝2是函数f（x）的唯一极值点，则实数k的取值集合是[﹣，+∞）．【分析】由已知可知x＝2是f′（x）＝0唯一的根，进而可转化为﹣k＝在x＞0时没有变号零点，构造函数g（x）＝，x＞0，结合导数及函数的性质可求．解：函数定义域（0，+∞），＝，由题意可得，x＝2是f′（x）＝0唯一的根，故e x+kx2＝0在（0，+∞）上没有变号零点，即﹣k＝在x＞0时没有变号零点，令g（x）＝，x＞0，则，当x＞2时，g′（x）＞0，函数单调递增，当0＜x＜2时，g′（x）＜0，函数单调递减，故当x＝2时，g（x）取得最小值g（2）＝，故﹣k即k．故答案为：[﹣）．三、解答题（解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.第17-21题每题12分，选做题10分，共70分.）17．如图，△ABC中，AC＝2，，D是边BC上一点．（1）若，BD＝2，求∠C；（2）若BD＝3CD，求△ACD面积的最大值．【分析】（1）在△ADC中，应用正弦定理即可得出答案；（2）从面积公式入手，将面积的最大值问题转移到边的上面，然后通过已知条件，应用余弦定理找出边的关系．解：（1）∵∠B＝，，BD＝2，∴△ABD是等腰直角三角形，AD＝在△ADC中，由正弦定理得：又，∴∠C＝（2）在△ABC中，由余弦定理得：AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC cos B，即∴，∵BD＝3CD．∴，当且仅当时，取“＝”．所以△AC面积的最大值为．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AB的中点．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）若△ABC是边长为2的正三角形，且BC＝BB1，∠CBB1＝60°，平面ABC⊥平面BB1C1C，求三棱锥A﹣DCA1的体积．【分析】（Ⅰ）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，连接AC1交CA1于E，由三角形中位线定理可得DE∥BC1，再由直线与平面平行的判定，可得BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）取BC的中点H，连接B1H，证明B1H⊥平面ABC，得B1H 是三棱柱的高，且，再求出三角形ABC的面积，然后利用等体积法求三棱锥A﹣DCA1的体积．解：（Ⅰ）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，连接AC1交CA1于E，∵D是AB的中点，E是AC1的中点，∴DE∥BC1．又DE⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）取BC的中点H，连接B1H，∵BC＝BB1，∠CBB1＝60°，∴△CBB1是等边三角形，得B1H⊥BC．∵平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABC∩平面BB1C1C＝BC，∴B1H⊥平面ABC，∴B1H 是三棱柱的高，且．∵△ABC是边长为2的正三角形，∴．则．19．近年来，国资委、党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如表所示：土地使用面积12345 x（单位：亩）管理时间y（单810132524位：月）并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如表所示：愿意参与管理不愿意参与管理男性村民15050女性村民50（1）求出相关系数r的大小，并判断管理时间y与土地使用面积x是否线性相关？（2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为x，求x的分布列及数学期望．参考公式：，其中n＝a+b+c+d．临界值表：P（K2≥k0）0.1000.0500.0250.0100.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.63510.828参考数据：≈25.2【分析】（1）分别求出＝3，＝16，从而＝10，＝254，＝47，求出＝≈0.933，从而得到管理时间y与土地使用面积x线性相关．（2）完善列联表，求出K2＝18.75＞10.828，从而有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性．（3）x的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，由此能求出X的分布列和数学期望．解：（1）依题意＝＝3，＝＝16，故＝4+1+1+4＝10，＝64+36+9+81+64＝254，＝（﹣2）×（﹣8）+（﹣1）×（﹣6）+1×9+2×8＝47，则＝≈0.933，故管理时间y与土地使用面积x线性相关．（2）依题意，完善表格如下：愿意参与管理不愿意参与管理总计男性村民15050200女性村民5050100总计200100300计算得K2的观测值为：＝＝＝18.75＞10.828，故有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性．（3）依题意，x的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，则取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，故P（X＝0）＝（）3＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，故X的分布列为：X0123P则数学期望为：E（X）＝+3×＝．20．已知椭圆的右焦点为F，上顶点为M，直线FM的斜率为，且原点到直线FM的距离为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若不经过点F的直线l：y＝kx+m（k＜0，m＞0）与椭圆C交于A，B两点，且与圆x2+y2＝1相切．试探究△ABF的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）可设F（c，0），M（0，b），由直线的斜率公式和点到直线的距离公式，解方程可得b，c，进而得到a，可得椭圆方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（x1＞0，x2＞0），运用勾股定理和点满足椭圆方程，求得|AQ|＝x1，同理可得|BQ|＝x2，再由焦半径公式，即可得到周长为定值．解：（1）可设F（c，0），M（0，b），可得﹣＝﹣，直线FM的方程为bx+cy＝bc，即有＝，解得b＝1，c＝，a＝，则椭圆方程为+y2＝1；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（x1＞0，x2＞0），连接OA，OQ，在△OAQ中，|AQ|2＝x12+y12﹣1＝x12+1﹣﹣1＝x12，即|AQ|＝x1，同理可得|BQ|＝x2，∴|AB|＝|AQ|+|BQ|＝（x1+x2），∴|AB|+|AF|+|BF|＝（x1+x2）+﹣x1+﹣x2＝2，∴△ABF的周长是定值2．21．已知函数f（x）＝xlnx﹣2ax2+x，a∈R．（Ⅰ）若f（x）在（0，+∞）内单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点分别为x1，x2，证明：x1+x2＞．【分析】（I）令f′（x）≤0恒成立，分离参数得出4a≥，利用函数单调性求出函数g（x）＝的最大值即可得出a的范围；（II）令＝t，根据分析法构造关于t的不等式，再利用函数单调性证明不等式恒成立即可．解：（I）f′（x）＝lnx﹣4ax+2，若f（x）在（0，+∞）内单调递减，则f′（x）≤0恒成立，即4a≥在（0，+∞）上恒成立．令g（x）＝，则g′（x）＝，∴当0＜x＜时，g′（x）＞0，当x＞时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，∴g（x）的最大值为g（）＝e，∴4a≥e，即a≥．∴a的取值范围是[，+∞）．（II）∵f（x）有两个极值点，∴f′（x）＝0在（0，+∞）上有两解，即4a＝有两解，由（1）可知0＜a＜．由lnx1﹣4ax1+2＝0，lnx2﹣4ax2+2＝0，可得lnx1﹣lnx2＝4a（x1﹣x2），不妨设0＜x1＜x2，要证明x1+x2＞，只需证明＜，即证明＞lnx1﹣lnx2，只需证明＞ln，令h（x）＝﹣lnx（0＜x＜1），则h′（x）＝＜0，故h（x）在（0，1）上单调递减，∴h（x）＞h（1）＝0，即＞lnx在（0，1）上恒成立，∴不等式＞ln恒成立，综上，x1+x2＞．选做题：考生需从第22题和第23题中选一道作答.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A为曲线C1上的动点，点B在线段OA的延长线上，且满足|OA|•|OB|＝8，点B的轨迹为C2．（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）设点M的极坐标为，求△ABM面积的最小值．【分析】（Ⅰ）利用参数方程，普通方程，极坐标方程之间的转化关系直接求解可；（Ⅱ）先表示出△ABM的面积，再利用余弦函数的有界性求解即可．解：（Ⅰ）将曲线C1化为普通方程为（x﹣1）2+y2＝1，即x2+y2﹣2x＝0，又，则曲线C1的极坐标方程为ρ1＝2cosθ；又根据题意有ρ1ρ2＝8，可知，即为曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）由＝，而cos2θ≤1，故△ABM面积的最小值为2．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x﹣a|，x∈R．（1）当a＝4时，求不等式f（x）＞9的解集；（2）对任意x∈R，恒有f（x）≥5﹣a，求实数a的取值范围．【分析】（1）将a＝4代入f（x）中，然后将f（x）写为分段函数的形式，再根据f（x）＞9，分别解不等式可得解集；（2）利用绝对值三角不等式求出f（x）的最小值，然后根据对任意x∈R，恒有f（x）≥5﹣a，可得f（x）min≥5﹣a，再解关于a的不等式可得a的范围．解：（1）当a＝4时，f（x）＝|2x﹣1|+|2x﹣4|＝．∵f（x）＞9，∴或，∴x＜﹣1或，∴不等式的解集为；（2）∵f（x）＝|2x﹣1|+|2x﹣a|≥|（2x﹣1）﹣（2x﹣a）|＝|a﹣1|，∴f（x）min＝|a﹣1|．∵对任意x∈一、选择题，恒有f（x）≥5﹣a，∴f（x）min≥5﹣a，即|a﹣1|≥5﹣a，∴a≥3，∴a的取值范围为[3，+∞）．。
广西壮族自治区南宁市兴宁区第三中学2019-2020学年高二上学期期末数学(文)试题(解析版)
一、选择题 1.设 x R ，则“ x2 2x 0 ”是“ x 1 2 ”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 既不充分又不必要条件
【答案】 A 【解析】 【分析】
分别解两个不等式得到集合 A ， B ，再利用集合间的关系，即可得到答案 . 【详解】解不等式 x2 2x 0 得； A { x | 0 x 2} ， 解不等式 x 1 2 得： B { x | 1 x 3} ， 因为 A 是 B 的真子集， 所以“ x2 2x 0 ”是“ x 1 2 ”的充分不必要条件 .
A. 2 2
B. 2
C. 2
D. 1
【答案】 B
【解析】 【分析】
先求出圆心到直线 距离 ,再根据勾股定理可求得弦长 .
【详解】由 C : x2 y2 3 可知圆心为 (0,0) ,半径为 3 ,
|0 0 2|
所以圆心到直线 l : x y 2 0 的距离为 d
2,
11
2
【答案】 D 【解析】 【分析】
不妨设 x ， y 都是正数，利用基本不等式求解 . 【详解】不妨设 x ， y 都是正数，则 2x y 4 2 2xy xy 2 ，
等号成立当且仅当 x 1, y 2 .
故选： D
【点睛】本题考查基本不等式的运用，考查运算求解能力属于基础题
.
4.直线 l : x y 2 0 被圆 C : x2 y2 3 截得的弦长为（ ）
D. { a|a> ﹣ 1}
【答案】 C 【解析】 【分析】
根据 p 是假命题，判断出 p 是真命题 .对 a 分成 a 0 ，和 a 0 两种情况，结合方程有实数根，求得 a 的
2019-2020学年广西南宁市第二中学高二上学期期中考试数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年广西南宁市第二中学高二上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．集合{}22,A y y x x R ==+∈，{}240,B x x x R =-≥∈，则A B =I ( ) A ．{}2 B ．[]22-,C ．[)2,+∞D ．(][),22,-∞-+∞U【答案】C【解析】求出集合,A B ，再用交集的概念进行运算即可. 【详解】解：{}[)22,2,A y y x x R ==+∈=+∞，{}(][)240,,22,B x x x R =-≥∈=-∞-⋃+∞，故[)2,A B =+∞I ． 故选：C ． 【点睛】本题考查交集的概念及运算，是基础题．2．“25m >”是“方程222113x y m +=-表示焦点在x 上的椭圆”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 若方程222113x y m +=-表示焦点在x 轴上的椭圆，则213m ->，所以24m >， 所以25m >是方程222113x y m +=-表示焦点在x 轴上的椭圆的充分不必要条件，故选A.3．已知p ：m R ∀∈，210x mx --=有解，q ：0N x ∃∈，020210x x --≤，则下列选项中是假命题的为( )A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．p q ∨D ．()p q ⌝∨【答案】B【解析】先判断命题,p q 的真假，然后利用复合命题的真假判断来得答案． 【详解】解：p ：m R ∀∈，210x mx --=有解， 因为240m +>恒成立，故p 为真命题； q ：0N x ∃∈，020210x x --≤， 因为448∆=+=，故q 为真命题，所以A. p q ∧为真命题，B. ()p q ∧⌝为假命题，C. p q ∨为真命题，D. ()p q ⌝∨为真命题． 故选：B ． 【点睛】本题考查命题的真假判断，以及复合命题的真假判断，是基础题． 4．已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且172432a a +=，则{}n a 的前40项的和为( ) A ．30 B ．40C ．50D ．60【答案】A【解析】由性质可得1401724a a a a +=+，再根据等差数列的求和公式可得结果． 【详解】解：由等差数列的性质可得140172432a a a a +=+=， 则()140403404023022a a S ⨯+===．故选：A ． 【点睛】本题考查等差数列性质的应用，是基础题．5．已知实数ln 22a =，2ln 2b =+，()2ln 2c =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b c a <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．c a b <<【答案】D【解析】利用对数函数的单调性，确定a ，b ，c 的大致范围，进而比较出大小． 【详解】 解：ln 2ln1ln 2ln 221,222e a a =>==<<，则12a <<；2ln 22ln12b =+>+=， ()()22ln 2ln 1c e =<=，所以c a b <<． 故选：D ． 【点睛】本题考查对数式的大小比较，充分利用对数函数的单调性，找到中间量进行搭桥，是基础题．6．已知某几何体的正视图、侧视图和俯视图均为斜边为2的等腰直角三角形，该几何体的顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A ．4πB ．3πC ．2πD ．π【答案】B【解析】试题分析：有三视图可知，几何体是以直角边为1的等腰直角三角形为底面、高为1的三棱锥，它的外接球与棱长为1的正方体的外接球相同，外接球直径23R =,表面积为243R ππ=，故选B.【考点】1、几何体的三视图；2、球的表面积公式.7．若圆心坐标为(2,1)-的圆,被直线10x y --=截得的弦长为2，则这个圆的方程是（ ）A ．22(2)(1)2x y -++=B ．22(2)(1)4x y -++=C ．22(2)(1)8x y -++=D ．22(2)(1)16x y -++=【答案】B【解析】设出圆的方程，求出圆心到直线的距离，利用圆心到直线的距离、半径和半弦长满足勾股定理，求得圆的半径，即可求得圆的方程，得到答案． 【详解】由题意，设圆的方程为222(2)(1)x y r -++=， 则圆心到直线10x y --=的距离为22(1)121(1)d ---==+-又由被直线10x y --=截得的弦长为2，则2222)2)4r =+=，所以所求圆的方程为22(2)(1)4x y -++=，故选B ． 【点睛】本题主要考查了圆的方程的求解，以及直线与圆的弦长的应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系，合理利用圆心到直线的距离、半径和半弦长满足勾股定理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8．已知x ，y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为( )A ．3B ．4C ．4-D ．3-【答案】B【解析】结合不等式组，绘制可行域，计算最值，即可． 【详解】结合不等式组,绘制可行域,如图当目标函数平移到B ()2,0,z 取到最大值，故4z =，故选B ． 【点睛】考查了线性规划问题，关键找出目标函数在哪个点取到最大值，即可，难度中等． 9．已知实数x ，y ()()2211322x y x y ++-+-=，则点(),P x y 的运动轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆【答案】A【解析】先证明：当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数(01)e e <<时，这个点的轨迹是椭圆，然后转化已知条件为动点与定点和定直线的距离问题，然后判断即可． 【详解】先证明：当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数(01)e e <<时，这个点的轨迹是椭圆．设点()M x y ，与定点()0F c ，的距离和它到定直线2:a l x c=的距离的比是常数(0)ca c a>>， 设d 是点M 到直线l 的距离，根据题意，所求轨迹就是集合MF c P M d a ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭|222()x c y c a a x c-+=-．将上式两边平方，并化简得22222222()()a c x a y a a c -+=-．设222a cb -=，就可化成22221(0)x y a b a b+=>>，这是椭圆的标准方程．故当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数(01)e e <<时，这个点的轨迹是椭圆．由已知实数,x y 满足条件()()2211322x y x y ++-+-=，即()()22131122x y x y -+-=++，表达式的含义是点(,)P x y 到定点(1,3)与到直线10x y ++=的距离的比为12，由上述证明的结论可得，轨迹是椭圆． 故选：A ． 【点睛】本题考查椭圆的轨迹方程，考查转化思想，注意点是否在直线上是解题的关键之一． 10．设双曲的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 A ．2 B ．3C ．31+ D ．51+ 【答案】D【解析】设该双曲线方程为2222100x y a b a b-=（＞，＞），得点B （0，b ），焦点为F （c ，0），直线FB 的斜率为bc-,由垂直直线的斜率之积等于-1，建立关于a 、b 、c 的等式，变形整理为关于离心率e 的方程，解之即可得到该双曲线的离心率. 【详解】设该双曲线方程为2222100x y a b a b-=（＞，＞），可得它的渐近线方程为b y x a =±，焦点为F （c ，0），点B （0，b ）是虚轴的一个端点，∴直线FB 的斜率为00FB b b k c c-==--， ∵直线FB 与直线b y x a =互相垂直，1b bc a∴-⨯=-, 2b ac ∴=,22222b c a c a ac =-∴-=Q ，,210e e ∴--=,15e ±∴=, 双曲线的离心率e ＞1， ∴e=512+,故选D.【考点】双曲线的简单性质11．在椭圆22143x y +=内有一点()1,1P -，F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M ，使MP MF +的值最大，则这一最大值是( )A ．45+B ．45-C ．43+D ．43-【答案】A【解析】由椭圆方程求得a ，利用椭圆定义把MP MF +转化，数形结合得答案． 【详解】 解：如图，由椭圆22143x y +=，得24,2a a ==，设椭圆左焦点为'F ，则||24M M a M F F F ''=-=-，()||||4||||||4MF MF MP MF MP MP ''∴+=-+=+-．由图可知，当M 为'PF 的延长线与椭圆的交点时，||||MP MF '-5 ∴MP MF +的值最大值为45故选：A ． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查数学转化思想方法，是中档题．12．已知在R 上的函数()f x 满足如下条件：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②对于任意x ∈R ，()()220f x f x +--=；③当[]0,2x ∈时，()f x x =；④函数()()()12n n f x f x -=⋅，*n N ∈，若过点()1,0-的直线l 与函数()()4f x 的图象在[]0,2x ∈上恰有8个交点，则直线l 斜率k 的取值范围是( )A ．80,11⎛⎫⎪⎝⎭B ．110,8⎛⎫⎪⎝⎭C ．80,19⎛⎫⎪⎝⎭D ．190,8⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A【解析】根据条件分别判断函数的周期性，奇偶性以及函数在一个周期上的图象，利用函数与图象之间的关系，利用数形结合进行求解即可． 【详解】∵函数f （x ）的图象关于y 轴对称， ∴函数f （x ）是偶函数，由f （2+x ）﹣f （2﹣x ）=0得f （2+x ）=f （2﹣x ）=f （x ﹣2）， 即f （x+4）=f （x ），即函数f （x ）是周期为4的周期函数， 若x ∈[﹣2，0]，则x ∈[0，2]， ∵当x ∈[0，2]时，f （x ）=x ， ∴当﹣x ∈[0，2]时，f （﹣x ）=﹣x ， ∵函数f （x ）是偶函数， ∴f （﹣x ）=﹣x=f （x ）， 即f （x ）=﹣x ，x ∈[﹣2，0]，则函数f （x ）在一个周期[﹣2，2]上的表达式为f （x ）=0220x x x x ≤≤⎧⎨--≤⎩＜，∵f （n ）（x ）=f （2n ﹣1•x ），n ∈N ，∴数f （4）（x ）=f （23•x ）=f （8x ），n ∈N ， 故f （4）（x ）的周期为12，其图象可由f （x ）的图象压缩为原来的18得到， 作出f （4）（x ）的图象如图： 易知过M （﹣1，0）的斜率存在，设过点（﹣1，0）的直线l 的方程为y=k （x+1），设h （x ）=k （x+1）， 则要使f （4）（x ）的图象在[0，2]上恰有8个交点， 则0＜k ＜k MA ，∵A （74，0）， ∴k MA =20714-+=811，故0＜k ＜811，故选A ．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件判断函数的性质，结合数形结合是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．(2)函数零点问题的处理常用的有方程法、图像法、方程+图像法.二、填空题13．已知向量a r ，b r满足1a =r ，2b =r ，3,2a b -=r r ，则2a b +=r r______.17【解析】由向量的和与差的模的运算得：2()5a b -=r r ，则0a b ⋅=r r ，所以由22+|2|44a b a a b b +=⋅+r rr r r r【详解】解：因为向量a r ，b r满足1a =r ，2b =r ，(3,2a b -=r r ，所以2()5a b -=rr，又222()21245a b a a b b a b -=-⋅+=-⋅+=r r r rr r r r ，0a b ∴⋅=rr ，所以22|2|+1441617a b a a b b +=⋅+=+=r r rr r r 17 【点睛】本题考查了向量的和与差的模的运算，属中档题．14．过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点.如果126x x +=，那么AB 等于______.【答案】8【解析】抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点，故12||2AB x x =++，由此易得弦长值．【详解】解：由题意，2p =，故抛物线的准线方程是1x =-，∵抛物线 24y x =的焦点作直线交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点， ∴12||2AB x x =++， 又126x x +=，∴12||28AB x x =++=. 故答案为：8． 【点睛】本题考查抛物线的简单性质，解题的关键是理解到焦点的距离与到准线的距离相等，由此关系将求弦长的问题转化为求点到线的距离问题，大大降低了解题难度．15．已知圆1C ：22x y a +=关于直线l 对称的圆为圆2C ：222230x y x ay ++-+=，则直线l 的方程为______. 【答案】2450x y -+=【解析】分别求出两圆的圆心坐标与半径，由半径相等求得a ，再求出两圆心的中点坐标，由直线方程的点斜式求解． 【详解】解：圆1C ：22x y a +=的圆心坐标为()0,0，半径为1r a =圆2C ：222230x y x ay ++-+=，即222(1)()2x y a a ++-=-，其圆心坐标为(1,)a -，22a -，22a a =-2a =．∴圆2C 的圆心为(1,2)-，则()0,0与(1,2)-的中点为1,12⎛⎫-⎪⎝⎭， 直线l 的斜率为101202---=-， ∴直线l 的方程为11122y x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，即2450x y -+=． 故答案为：2450x y -+=． 【点睛】本题考查圆关于直线的对称圆的求法，考查计算能力，是基础题．16．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，BD AC O ⋂=,M 是线段1D O 上的动点，过M 做平面1ACD 的垂线交平面1111D C B A 于点N ，则点N 到点A 的距离最小值是___________． 6【解析】连结11B D ，易知面1ACD ⊥面11BDD B ，而1MN ACD ⊥，即1NM D O ⊥，NM 在面11BDD B 内，且点N 的轨迹是线段11B D ，连结1AB ，易知11AB D V 是等边三角形，则当N 为11B D 中点时，NA 6三、解答题17．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且cos cos 2B bC a c=-+． （1）求B 的大小；（2）若13,4b a c =+=，求ABC ∆的面积． 【答案】（1）23B π= （2）13sin 3.24ABC S ac B ∆== 【解析】试题分析：（Ⅰ）先由正弦定理将三角形的边角关系转化为角角关系，再利用两角和的正弦公式和诱导公式进行求解；（Ⅱ）先利用余弦定理求出3ac =，再利用三角形的面积公式进行求解.试题解析：（Ⅰ）由cos cos 2B b C a c =-+ cos sin cos 2sin sin B BC A C⇒=-+ 2sin cos cos sin sin cos A B B C B C ⇒+=- 2sin cos cos sin sin cos A B B C B C ⇒=--()2sin cos sin A B B C ⇒=-+ 2sin cos sin A B A ⇒=- 1cos 2B ⇒=-又0πB <<，所以2π3B =. （Ⅱ）由余弦定理有()22222π2cos 22cos 3b ac ac B a c ac ac =+-=+-- ，解得3ac =，所以133sin 2ABC S ac B V ==点睛：在利用余弦定理进行求解时，往往利用整体思想，可减少计算量，若本题中的()22222π2cos 22cos3b ac ac B a c ac ac =+-=+--. 18．已知数列{}n a 的前n 项和2*10()n S n n n N =-∈,又*()n n b a n N =∈．（1）求数列{}n a ；（2）求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）；（2）【解析】【详解】试题分析：（1）由得到数列的通项公式（注意检验首项是否适合通项）；（2）由（1）可知数列{}n b 的通项公式，根据绝对值的意义可知数列的前5项为等差数列，从第六项开始也是一等差数列，由等差数列的求和公式可得到数列{}n b 的前n 项和． 试题解析：（1）时,时,也适合上式（2）时,,时,2521050n S S n n =-=-+．【考点】1．数列的通项与前n 项和；2．数列的求和19．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11ADD A ⊥底面ABCD ，112D A D D ==，底面ABCD 为直角梯形，其中//,?,BC AD AB AD ⊥ 222AD AB BC ===，O 为AD 中点.（Ⅰ）求证：1//AO 平面1AB C ； （Ⅱ）求锐二面角A —C 1D 1—C 的余弦值. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）13【解析】(I)证明11//A O B C ,即证:四边形AB 1CO 为平行四边形.(II)11,?D A D D O =Q 为AD 的中点，1 D O AD ∴⊥，又侧面11ADD A ⊥底面ABCD ，故1D O ⊥底面ABCD ，然后建立直角坐标系,利用向量法求二面角,先求二面角两个面的法向量,然后再求法向量的夹角,根据法向量的夹角与二面角相等或互补来解. 【详解】（Ⅰ）证明：如图，连接,CO AC ， 则四边形ABCO 为正方形，11OC AB A B ∴==，且11////OC AB A B ∴故四边形11A B CO 为平行四边形，11//AO B C ∴， 又1AO ⊄平面1AB C ，1B C ⊂平面1AB C 1 //A O ∴平面1AB C（Ⅱ）11 ,D A D D O =Q 为AD 的中点，1 D O AD ∴⊥，又侧面11ADD A ⊥底面ABCD ，故1D O⊥底面ABCD，以O为原点，所1,,OC OD OD在直线分别为x轴，y轴，Z轴建立如图所示的坐标系，则()()1,0,0,0,1,0,C D()()10,0,1,0,1,0D A-，()()11,1,0,0,1,1?,?DC DD∴--==u u u r u u u u r()()1110,1,1,1,1,0D A D C DC=--==-u u u u r u u u u r u u u r，设(),,m x y zr=为平面11CDD C的一个法向量，由1,m DC m DD⊥⊥u u u r u u u u rr r，得{x yy z-=-+=，令1Z=，则()1,1,1,1,1y x m==∴=r又设()111,,n x y z=r为平面11AC D的一个法向量，由111,n D A n DC⊥⊥u u u u r u u u u rr r，得1111{y Zx y--=-=，令11Z=，则()111,1,1,1,1y x n=-=-∴=--r，则1cos,333m n==-⋅r r，故所求锐二面角A—C1D1—C的余弦值为13注：第2问用几何法做的酌情给分.20．已知椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>过点(0,2)，且离心率2e=.（1）求椭圆E 的方程；（2）设直:1()l x my m R =-∈交椭圆E 于,A B 两点，判断点9(,0)4G -与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由.【答案】(1)22142x y += (2) 点G 在以AB 为直径的圆外【解析】解法一：（Ⅰ）由已知得2222,2{,b c a a b c ===+解得2{22a b c ===所以椭圆E 的方程为22142x y +=．（Ⅱ）设点1122(y ),B(,y ),A x x AB 中点为00H(,y )x ．由22221{(2)230,142x my m y my x y =-+--=+=得 所以12122223+=,=22m y y y y m m ++，从而022y m 2=+. 所以222222200000095525GH|()()(+1)++44216x y my y m y my =++=++=. 22222121212()()(+1)()|AB|444x x y y m y y -+--==22221212012(+1)[()4](+1)()4m y y y y m y y y +-==-,故222222012222|AB|52553(+1)25172|GH|(+1)042162(2)21616(2)m m m my m y y m m m +-=++=-+=>+++所以|AB||GH|>2，故G 9(4-,0)在以AB 为直径的圆外． 解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）设点1122(y ),B(,y ),A x x ，则112299GA (,),(,).44x y GB x y =+=+u u u r u u u r由22221{(2)230,142x my m y my x y =-+--=+=得所以12122223+=,=22m y y y y m m ++， 从而121212129955GA GB ()()()()4444x x y y my my y y ⋅=+++=+++u u u r u u u r22212122252553(+1)25(+1)()4162(2)216m m m y y m y y m m =+++=-+++22172016(2)m m +=>+ 所以cos GA,GB 0,GA GB 〈〉>u u u r u u u r u u u r u u u r又，不共线，所以AGB ∠为锐角. 故点G 9(4-,0)在以AB 为直径的圆外．【考点】1、椭圆的标准方程；2、直线和椭圆的位置关系；3、点和圆的位置关系．21．已知奇函数()log 1ab axf x ax+=- （1）求b 的值，并求出函数的定义域（2）若存在区间[],m n ，使得[],x m n ∈时，()f x 的取值范围为[]log 6,log 6a a m n ，求a 的取值范围 【答案】（1）1b = （2）118122a <<-【解析】（1）由函数为奇函数且函数在0x =处有意义，则()00f =，即可求得1b =，再检验即可得解，然后再求函数的定义域；（2）分类讨论函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最值，再根据方程的解的个数求a 的取值范围即可得解. 【详解】解：（1）由函数()log 1ab axf x ax+=-为奇函数，显然函数在0x =处有意义， 则()00f =，则log 0a b =，即1b =，检验当1b =时，()1log 1aaxf x ax+=-显然为奇函数，故1b =； 由101ax ax +>-且0a >，解得11x a a -<<，故函数的定义域为11,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭;（2）由()12log log (1)11aa ax f x ax ax+==---，①当01a <<时，函数()12log log (1)11aa ax f x ax ax +==---在11,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为减函数，又存在区间[],m n ，使得[],x m n ∈时，()f x 的取值范围为[]log 6,log 6a a m n ， 则2log (1)log 61a a n am -=-，2log (1)log 61a a m an -=-，即2161n am -=-，2161m an -=-，又211am -<-211an--，则66n m <，即n m <，不合题意，②当1a >时，函数()12log log (1)11aa ax f x ax ax +==---在11,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为增函数，又存在区间[],m n ，使得[],x m n ∈时，()f x 的取值范围为[]log 6,log 6a a m n ， 则2log (1)log 61a a m am -=-，2log (1)log 61a a n an-=-，即2161x ax -=-在11,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭有两个不等实数解， 即26(6)10ax a x +-+=在11,a a ⎛⎫-⎪⎝⎭有两个不等实数解， 设2()6(6)1g x ax a x =+-+，11,x a a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭， 则0161121()01()0a a a a g a g a∆>⎧⎪-⎪-<-<⎪⎪⎨->⎪⎪⎪>⎪⎩，则23636061812020a a a a ⎧-+>⎪-<<⎪⎪⎨>⎪⎪>⎪⎩，解得018122a <<-， 又1a >，即118122a <<-，综合①②可得：a 的取值范围为118122a <<-. 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求参数的值，主要考查了函数单调性的应用，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题. 22． 已知函数（其中）的最小正周期为（1）求当为偶函数时的值； （2）若的图像过点，求的单调递增区间【答案】（1）；（2）单调递增区间为.【解析】试题分析：（1）由最小正周期为，可求出，由于函数为偶函数，结合三角函数的知识，得.（2）将点代入，得，故，，将代入区间，可求得函数的增区间为.试题解析：的最小正周期为，∴..（1）当为偶函数时，，，将上式展开整理得，由已知上式对都成立，.（2）由的图像过点，得，即. 又，. 令，得，的单调递增区间为.23．已知函数()1f x x a x a=--+（1）当1a =，求函数()f x 的定义域； （2）当[]1,2a ∈时，求证：()2215f x f x ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭【答案】(1)0x ≤. (2)证明见解析.【解析】分析：（1）函数有意义，则110x x --+≥，据此可得0x ≤. （2）由题意结合绝对值三角不等式的性质证得题中的结论即可. 详解：（1）当1a =时，()11f x x x =--+所以110x x --+≥，得()()2211x x -≥+，解得0x ≤. （2）()221111112fx f x a x a a x a x x a a ⎛⎫+-=--++----+≤+ ⎪⎝⎭125a a ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当2a =时等号成立.点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
广西南宁市第三中学2019-2020学年高二期中段考数学(文)试题
广西南宁市第三中学2019-2020学年高二期中段考数学（文）试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、单选题1. 已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（）A．B．C．D．2. 观察数列1，，，4，，，7，，……，则该数列的第11项等于（）A．1111 B．11 C．D．3. 已知等差数列的前n项和为，若，则一定成立的是（）A．B．C．D．4. 函数的图象在处的切线方程为（）A．B．C．D．5. 已知焦点在轴上的椭圆的长轴长是8，离心率是，则此椭圆的标准方程是（）A．B．C．D．6. 为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为的调查样本，其中城镇户籍与农民户籍各人；男性人，女性人.绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图（如图所示），其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是（）A．是否倾向选择生育二胎与户籍有关B．是否倾向选择生育二胎与性别无关C．倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同D．倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数7. 如图，在正方体中，，依次是和的中点，则异面直线与CF所成角的余弦值为（）D．0A．B．C．8. 某企业有2个分厂生产某种零件，为了研究两个分厂生产零件的质量是否有500件，具体数据如下表所示：甲厂乙厂总计优质品360 320 680非优质品140 180 320总计500 500 1000根据表中数据得的观测值，从而断定两个分厂生产零件的质量有差异，那么这种判断出错的最大可能性为（）附表：0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828A．0.1 B．0.01 C．0.05 D．0.0019. 已知直线过圆的圆心，则的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．410. 函数图象大致为（）A．B．C．D．11. 已知函数，若存在使得，则实数的取值范围是A．B．C．D．，12. 定义方程的实根叫做函数的“新驻点”，若函数，，的“新驻点”分别为，则的大小关系为（）A．B．C．D．二、填空题13. 函数的极小值是__________14. 已知函数定义域为R，，在上的导数满足，则不等式的解集为___________.15. 关于的不等式恒成立，实数的取值范围是__________.16. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点作圆的切线交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为______.三、解答题17. 在中，内角所对的边分别为，已知．（1）求角C的大小（2）若，的面积为，求的周长．18. 长沙某公司对其主推产品在过去5个月的月广告投入x i(百万元)和相应的销售额y i(百万元)进行了统计，其中i=1，2，3，4，5，对所得数据进行整理，绘制散点图并计算出一些统计量如下：68 10．3 15．8 -192．12 1．602 0．46 3．56其中，i=1，2，3，4，5．（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为月销售额关于月广告投入x i的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)（2）根据（1）的判断结果及题中所给数据，建立y关于x的回归方程，并据此估计月广告投入200万元时的月销售额．附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．19. 如图所示，四棱锥中，平面，，，，为的中点.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.20. 已知椭圆的离心率为，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设与圆O：相切的直线l交椭圆C于A，B两点（O为坐标原点），求△AOB面积的最大值。
南宁市第三中学2019_2020学年高二数学下学期月考试题三文含解析
广西南宁市第三中学2019-2020学年高二数学下学期月考试题（三)文(含解析）一、选择题(本题共12小题,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1。
已知集合{}{}|32,,|24A x x n n Z B x x ==+∈=-<<，则A B =（)A 。
∅B 。
{}1,2- C. {}1- D 。
{}2【答案】B 【解析】 【分析】先计算集合A ,再计算A B 得到答案。
【详解】{}{}|32,=...,4,1,2,5,...A x x n n Z ==+∈--，{}|24B x x =-<< 故{}1,2AB =-。
故选B【点睛】本题考查了集合的交集运算,属于基础题型. 2.i 为虚数单位，复数11z i =-在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限 C 。
第三象限 D 。
第四象限【答案】A 【解析】 【分析】 化简得到1122z i =+，得到对应象限. 【详解】由11z i=-，则111(1)(1)22+==+-+i z i i i ，则复数z 在复平面内对应的点的坐标为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，即复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，故选：A 。
【点睛】本题考查了复数的除法运算，复数对应象限，属于简单题。
3。
函数[]22,0,3y x x x =-∈的值域为（ ）A 。
[]0,3B 。
[]1,3C 。
[]1,0-D. []1,3-【答案】D 【解析】分析：利用二次函数的性质即可得出答案。
解析：()22211y x x x =-=--，∴对称轴为1x =，抛物线开口向上，03x ≤≤,∴当1x =时，min1y=-，1-距离对称轴远，∴当3x =时，max3y=,∴13y -≤≤.故选：D 。
点睛：二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键都是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论4.函数43y x =的图像大致是( ）A 。
2019-2020学年广西壮族自治区南宁市第三中学高二12月月考数学(文)试题(解析版)
2019-2020学年广西壮族自治区南宁市第三中学高二12月月考数学（文）试题一、单选题 1．已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】依题意得：，所以，故，故选C.2．若双曲线()222213x y a o a -=>的离心率为2，则a 等于( )A ．2B 3C ．32D ．1【答案】D【解析】由222231323x y c a b e a a 可知虚轴，而离心率+-=====，解得a=1或a=3，参照选项知而应选D.3．若实数x ，y 满足2211y x y x y x ≥-⎧⎪≥-+⎨⎪≤+⎩，则3z x y =-的最大值是A ．2-B ．1-C ．5D ．3【答案】C【解析】画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点()3,4处取得最大值为5.4．一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A．1 B．13C．12D．14【答案】B【解析】首先由三视图得到几何体为四棱锥，根据图中数据明确底面和高，即可求得该几何体的体积．【详解】由已知三视图得到几何体是四棱锥，底面是两边分别为12的平行四边形，高为1，如图所示：∴该几何体的体积为111211323V =⨯⨯⨯⨯= 故选B. 【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.5．“x a >”是“x a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况选出正确选项. 【详解】当“x a >”时，如1,1x a ==-，x a =，故不能推出“x a >” .当“x a >”时，必然有“x a >”.故“x a >”是“x a >”的必要不充分条件. 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查含有绝对值的不等式，属于基础题. 6．已知22log 3a =，4logb π=，30.6c -=a ，b ，c 的大小关系为（） A ．b c a >> B ．c b a >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】B【解析】采用“0,1”分段法，找到小于0、在0~1之间和大于1的数，由此判断出三者的大小关系. 【详解】因为010.6c >=，401log 4b <<=，0a <，所以c b a >>.故选B. 【点睛】本题考查指数与对数值的大小比较，考查运算求解能力，属于基础题.7．某校高一年级从815名学生中选取30名学生参加庆祝建党98周年的大合唱节目，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从 815 人中剔除5人，剩下的810人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率（ ） A ．不全相等 B ．均不相等C ．都相等，且为6163D ．都相等，且为127【答案】C【解析】抽样要保证机会均等，由此得出正确选项. 【详解】抽样要保证机会均等，故从815名学生中抽取30名，概率为306815163=，故选C. 【点睛】本小题主要考查简单随机抽样、系统抽样等抽样方法的概念，属于基础题.8．设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a ，b]上的两个函数，若函数y=f(x)- g(x)在x ∈[a ，b]上有两个不同的解，则称f(x)和g(x)在[a ，b]上是“关联函数”，区间[a ，b]称为“关联区间”．若f(x)=x 2-3x+4与g(x)=2x+m 在[0，3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为（ ）． A ．9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦B ．[]1,0-C ．(],2-∞-D ．9,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【详解】∵2()34f x x x =-+与()2g x x m =+在[0,3]上是“关联函数”∴函数2()()()54y h x f x g x x x m ==-=-+-在[0,3]上有两个不同零点∴(0)40(3)20525()4024h m h m h m ⎧⎪=-≥⎪=--≥⎨⎪⎪=-+-<⎩，解得924m -<≤-.故选A.9．已知数列{}n a 满足11a =，*12()n n n a a n N +⋅=∈，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（ ）A ．201820182a =B ．10092018323S =⋅- C ．数列21{}n a -是等差数列 D ．数列{}n a 是等比数列【答案】B【解析】分析：由11a =，()*12n n n a a n N +⋅=∈可知数列{}n a 隔项成等比，再结合等比的有关性质即可作出判断.详解：数列{}n a 满足11a =，()*12n n n a a n N +⋅=∈， 当n 2≥时，112n n n a a --⋅=两式作商可得：112n n a a +-=， ∴数列{}n a 的奇数项135a a a L ，，，，成等比， 偶数项246a a a L ，，，，成等比， 对于A 来说，20181100810092201822222aa -=⨯=⨯=，错误；对于B 来说，()()2018132017242018S a a a a a a L L =+++++++()()1009100910091122123231212⨯-⨯-=+=⋅---，正确；对于C 来说，数列{}21n a -是等比数列 ，错误； 对于D 来说，数列{}n a 不是等比数列，错误， 故选：B点睛：本题考查了由递推关系求通项，常用方法有：累加法，累乘法，构造等比数列法，取倒数法，取对数法等等，本题考查的是隔项成等比数列的方法，注意偶数项的首项与原数列首项的关系.10．已知 12,F F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且| PF 2 |>| PF 1 |，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，112||||PF F F =，则2133e e +的最小值为（ ） A ．4 B ．6C．D ．8【答案】D【解析】由题意可得112||||2PF F F c ==，再设椭圆和双曲线得方程，再利用椭圆和双曲线的定义和离心率可得2133e e +的表达式，化简后再用均值不等式即可求解. 【详解】由题意得：112||||2PF F F c ==，设椭圆方程为221122111(0)x y a b a b +=>>，双曲线方程为222222221(0,0)x y a b a b -=>>，又∵121212||||2,||||2PF PF a PF PF a +=-=.∴2122||+22,||22PF c a PF c a =-=，∴122a a c -=，则22112122393333e a a a c c e a c ca ++=+= 2222229(2)3633c a a c a c ca c a ++==++2236683a c c a =++≥=，当且仅当2233a c c a =，即23e =时等号成立.则2133e e +的最小值为8. 故答案为：8. 【点睛】考查椭圆和双曲的定义,焦半径公式以及离心率，其中将2133e e +化为22911(18)18)833a c c a ++≥=为解题关键，注意取等号. 11．设棱锥M ABCD -的底面是正方形，且,MA MD MA AB =⊥,AMD △的面积为1，则能够放入这个棱锥的最大球的半径为 A．2 B1C．12-D．1-【答案】B【解析】设球O 是与平面MAD 、平面AC 、平面MBC 都相切的球，然后找出球心所在的三角形，设AD EF a ==，求出内切圆半径然后利用基本不等式即可求出最大值． 【详解】解：AB AD ⊥Q ，AB MA ⊥，AB ∴⊥平面MAD ，由此，面MAD ⊥面ABCD ． 记E 是AD 的中点，从而ME AD ⊥．ME ∴⊥平面ABCD ，ME EF ⊥．设球O 是与平面MAD 、平面ABCD 、平面MBC 都相切的球． 不妨设O ∈平面MEF ，于是O 是MEF V 的内心． 设球O 的半径为r ，则2MEFS r EF EM MF=++V设AD EF a ==，1AMD S =V Q所以2ME a ∴=，222MF a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以222122222r a a a a =≤=-+⎛⎫+++ ⎪⎝⎭.当且仅当2a a=，即2a =时，等号成立. ∴当2AD ME ==时，满足条件的最大半径为21-.【点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切接问题时一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，注意多边形内切圆半径与面积和周长间的关系；多面体内切球半径与体积和表面积间的关系，属于中档题．12．定义在上的函数对任意都有，且函数的图象关于成中心对称，若满足不等式，则当时，的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：由已知条件知函数为奇函数且在上为减函数,由有,所以，,若以为横坐标,为纵坐标,建立平面直角坐标系,如图所示,阴影部分为不等式表示的平面区域,即及其内部,,令,则,求出,所以,解得,∴的取值范围是,选D.【考点】1.函数的基本性质；2.线性规划.【方法点睛】本题主要考查了函数的性质:单调性和奇偶性,以及线性规划的相关知识,属于中档题. 利用已知条件得出函数是上的减函数,由函数的图象关于成中心对称，根据图象的平移,得出的图象关于原点成中心对称,所以为奇函数,解不等式,得出,画出不等式组表示的平面区域,,则,通过图形求关于的一次函数的斜率得出的范围,从而求出的范围.二、填空题13．已知x，y满足方程（x﹣2）2+y2＝1，则yx的最大值为__________3【解析】求出圆的圆心坐标，圆的半径，利用圆心到直线的距离等于半径求出k的值即可．【详解】x，y满足方程（x﹣2）2+y2＝1，圆的圆心（2，0），半径为1，设ykx=，即kx ﹣y＝0，要求x，y满足方程（x﹣2）2+y 2＝1，yx的最大值，就是求圆的圆心到直线的距离等于半径，即：2211kk=+，解得k3=±，所求yx的最大值为：3．故答案为3．【点睛】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，考查了表达式yx的几何意义，考查计算能力．14．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为__★__【答案】【解析】根据椭圆的标准方程及焦点在轴上，可得k的不等式组，解不等式组即可得k的取值范围。
广西南宁市第三中学2020-2021学年高二下学期月考(三)数学(理)试题
【详解】
（1）设城市中，偶尔应用或者不应用智慧课堂的学校个数为 ，则 ，
解得： ，再根据 列联表依次补全表格
经常应用
偶尔应用或者不应用
总计
农村
40
40
80
城市
60
（1）求数列 的通项公式；
（2）求使不等式 成立的 的最小值．
19．如图所示的几何体由等高的 个圆柱和 个圆柱拼接而成，点G为弧CD的中点，且C、E、D、G四点共面．
（1）证明： 平面BCG；
（2）若直线DF与平面AFB所成角为45°，求平面BDF与平面ABG所成锐二面角的余弦值．
20．智慧课堂是指一种打破传统教育课堂模式，以信息化科学技术为媒介实现师生之间､生生之间的多维度互动，能有效提升教师教学效果､学生学习成果的新型教学模式，为了进一步推动智慧课堂的普及和应用，A市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样调查，统计数据如下：
所以这三名选手的参赛顺序与其年级序号均不相同的概率 ，
故选：D.
8．C
【分析】
根据二项式的通项公式即可求解.
【详解】
解： .
故选：C.
9．A
【分析】
由题意可得在不超过4局的比赛中甲获得冠军包含两种情况：①甲前三局全胜，②前三局甲两胜一负，第四局甲胜，分别求出两种情况下的概率，再利用互斥事件的加法公式求解即可
【详解】
，则 ，而 ，且 ，∴ ，即 在 上单调递减，
不等式 可化为 ，即 ，故 ，解得： ．
故答案为： ．
17．（1） ，曲线C是焦点在x轴上的椭圆；（2） .
2020-2021学年广西南宁市第三中学高二12月月考数学(理)试题(解析版)
2020-2021学年广西南宁市第三中学高二12月月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合()22,194x y A x y ⎧⎫⎪⎪=+=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，(){},B x y y x ==，则A B 中有几个元素（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】判断出椭圆22194x y +=与直线y x =的交点个数，即可选出答案.【详解】由题，联立22194x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，消去y 得213360x -=，则413360∆=⨯⨯>， 即椭圆22194x y +=与直线y x =有两个交点，所以A B 中有2个元素，故选：B2．焦点坐标为()()0,3,0,3-，长轴长为10，则此椭圆的标准方程为（ ）A ．22110091x y +=B ．2100y 2191x +=C ．2212516y x +=D ．2212516x y += 【答案】C【分析】根据长轴长算出a 后可得b 的值，从而可得椭圆的标准方程.【详解】因为长轴长为10，故长半轴长5a =，因为半焦距3c =，故4b =，又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为2212516y x += ，故选C【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.注意焦点的位置与标准方程形式上的对应. 3．“2πϕ=”是“cos 0ϕ=”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】当cos 0ϕ=时，,2k k Z πϕπ=+∈，故“2ϕπ=”是“cos 0ϕ=”的充分不必要条件． 故选：A.4．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（ ） A ．至少有一个红球与都是红球 B ．至少有一个红球与都是白球 C ．恰有一个红球与恰有二个红球 D ．至少有一个红球与至少有一个白球 【答案】C【详解】从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下几种：3个球全是红球；2个红球和1个白球；1个红球2个白球；3个全是白球. 选项A 中，事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件； 选项B 中，事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件；选项D 中，事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的事件为“2个红球1个白球”与“1个红球2个白球”；选项C 中，事件“恰有一个红球”与事件“恰有2个红球”互斥不对立，故选C.5．若曲线22x y 12k 2k+=-+表示椭圆，则k 的取值范围是( )A ．k 2>B ．k 2<-C ．2k 2-<<D ．2k 0-<<或0k 2<<【答案】D【分析】根据曲线表示椭圆列出不等式组，解出即可得k 的取值范围．【详解】由题设可得202022k k k k ->⎧⎪+>⎨⎪-≠+⎩，解得22,0k k -<<≠，故选D ．【点睛】对于曲线221x y m n+=，（1）如果该曲线为椭圆，则0,0,m n m n >>≠，更一步地，如果表示焦点在x 轴上的椭圆，则有0m n >>；如果表示焦点在y 的椭圆，则0n m >>；（2）如果该曲线为双曲线，则0mn <，更一步地，如果表示焦点在x 轴上的双曲线，则有0,0m n ><；如果表示焦点在y 的双曲线，则0,0n m ><．6．若点P 在椭圆2212x y +=上，1F 、2F 分别是椭圆的两焦点，且1290F PF ∠=︒，则12F PF ∆的面积是（ ）A ．12B C ．1 D ．2【答案】C【分析】由题意结合椭圆的定义和勾股定理确定12F PF ∆的面积即可. 【详解】设12,PF m PF n ==，利用椭圆的定义和勾股定理有：222244m n a m n c ⎧+==⎪⎨+==⎪⎩，则：()()22224=+-+=mn m n m n ， 12F PF ∆的面积112S mn ==. 本题选择C 选项.【点睛】椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，得到a ，c 的关系． 7．某种饮料每箱6听，其中2听不合格，随机从中抽出2听，检测到不合格的概率为（ ） A ．25B ．35C ．815D ．115【答案】B【分析】本题首先可以根据题意写出任取2听的所有可能事件，然后写出有不合格饮料的所以可能事件，最后两者相除，即可得出结果.【详解】设6听饮料中的2听不合格饮料为a 、b ，其余4听合格饮料为A 、B 、C 、D ，从中任取2听的所有可能事件为：AB 、AC 、AD 、Aa 、Ab 、BC 、BD 、Ba 、Bb 、CD 、Ca 、Cb 、Da 、Db 、ab 共15种，其中有不合格饮料的所以可能事件为：Aa 、Ab 、Ba 、Bb 、Ca 、Cb 、Da 、Db 、ab 共9种，则检测到不合格的概率93155P ==， 故选：B.【点睛】本题考查古典概型的相关概率计算，能否找出所有的可能事件以及满足限制条件的所有可能事件是解决本题的关键，考查推理能力，是简单题.8．在平面直角坐标系xOy 中，P 是椭圆22143y x +=上的一个动点，点A(1,1)，B(0，－1)，则|PA |＋|PB |的最大值为( ) A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】分析：由题意将所求解的最值问题结合椭圆的定义通过焦点转化为三点共线的问题，然后数形结合求解|P A |＋|PB |的最大值即可.详解：∵椭圆方程为22143y x +=，∴焦点坐标为()0,1B -和()0,1B '，连接PB AB ''、，根据椭圆的定义，得24PB PB a +'==，可得4PB PB =-'， 因此(4)4()PA PB PA PB PA PB +=+-'=+-'.441 5.PA PB AB PA PB AB -''∴++'=+=，当且仅当点P 在AB '延长线上时，等号成立. 综上所述，可得PA PB +的最大值为5. 本题选择D 选项.点睛：椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F 1F 2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况． 9．在面积为S 的ABC 内部任取一点P ，则PBC 面积大于S4的概率为（） A ．14B ．34C ．49 D ．916【答案】D【详解】记事件{A PBC =△的面积超过}4S ,基本事件是三角形ABC 的面积,(如图)事件A 的几何度量为图中阴影部分的面积(//DE BC 并且:3:4)AD AB =，因为阴影部分的面积是整个三角形面积的239416⎛⎫=⎪⎝⎭, 所以()916P A ==阴影部分三角形面级。
2019-2020学年广西南宁三中高二下学期 期中数学试卷(文科) (解析版)
2019-2020学年高二第二学期期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知复数z满足：zi＝1+i（i是虚数单位），则z的虚部为（）A．﹣i B．i C．1D．﹣12．观察数列1，ln2，sin3，4，ln5，sin6，7，ln8，sin9……，则该数列的第11项等于（）A．1111B．11C．ln11D．sin113．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9＝3a5，则一定成立的是（）A．a4＝0B．a5＝0C．a6＝0D．a9＝04．函数f（x）＝﹣2x+lnx的图象在x＝1处的切线方程为（）A．x+y+1＝0B．x﹣y+1＝0C．2x﹣y+1＝0D．2x+y﹣1＝05．已知焦点在x轴上的椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是（）A．x216+y27=1B．x27+y216=1C．x264+y228=1D．x228+y264=16．为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本，其中城镇户籍与农民户籍各50人；男性60人，女性40人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图（如图所示），其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是（）A．是否倾向选择生育二胎与户籍有关B．是否倾向选择生育二胎与性别无关C．倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同D．倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F依次是A1D1和B1C1的中点，则异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为（ ）A ．35B ．45C ．2√55D ．08．某企业有2个分厂生产某种零件，为了研究两个分厂生产零件的质量是否有差异，随机从2个分厂生产的零件中各抽取了500件，具体数据如表所示：甲厂 乙厂 总计 优质品 360 320 680 非优质品 140 180 320 总计5005001000根据表中数据得K 2=1000×(360×180−320×140)2680×320×500×500≈7.353，从而断定两个分厂生产零件的质量有差异，那么这种判断出错的最大可能性为（ ） 附表： P （k 2≥k 0）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0 2.7063.8415.0246.6357.87910.828A ．0.1B ．0.01C ．0.05D ．0.0019．已知直线2mx +ny ＝2（m ＞0，n ＞0）过圆（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝5的圆心，则1m+1n的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．函数y =lnx 2x的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知函数f （x ）={x 2−x ，x ≤0ln(x +1)，x ＞0，若存在x 0∈R 使得f （x 0）≤ax 0﹣1，则实数a的取值范围是（ ） A ．（0，+∞）B ．[﹣3，0]C ．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）D ．（﹣∞，﹣3]∪（0，+∞）12．定义方程f （x ）＝f '（x ）的实根x 0叫做函数f （x ）的“新驻点”，若函数g （x ）＝xe x +1，h （x ）＝lnx +1，φ（x ）＝x 3﹣1的“新驻点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．函数f （x ）=13x 3+x 2﹣3x ﹣1的极小值是 ．14．已知函数f （x ）定义域为R ，f （1）＝2，f （x ）在R 上的导数f ′（x ）满足f ′（x ）﹣3＞0，则不等式f （x ）＜3x ﹣1的解集为 ．15．关于x 的不等式x 2lnx ﹣kx +x ≥0恒成立，实数k 的取值范围是 ． 16．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 1作圆x 2+y 2＝a 2的切线交双曲线右支于点M ，若∠F 1MF 2=π4，则双曲线的离心率为 ． 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．17．在△BC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 已知√3b cos C ＝c sin B ． （Ⅰ）求角C 的大小（Ⅱ）若c ＝2√7，△ABC 的面积为6√3，求△ABC 的周长．18．长沙某公司对其主推产品在过去5个月的月广告投入x i （百万元）和相应的销售额y i（百万元）进行了统计，其中i ＝1，2，3，4，5，对所得数据进行整理，绘制散点图并计算出一些统计量如下：∑ 5i=1x i ∑ 5i=1w i ∑ 5i=1y i ∑ 5i=1(x i −x)(y i −y)∑ 5i=1(w i −w)(y i −y) ∑ 5i=1(x i −x)2 ∑ 5i=1(w i −w)6810.315.8﹣192.121.6020.46 3.56其中w i ＝x i 2，i ＝1，2，3，4，5．（1）根据散点图判断，y ＝bx +a 与y ＝cx 2+d 哪一个适宜作为月销售额关于月广告投入x i 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及题中所给数据，建立y 关于x 的回归方程，并据此估计月广告投入200万元时的月销售额．附：对于一组数据（u 1，v 1），（u 2，v 2），…，（u n ，v n ），其回归直线v ＝α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β=∑ n i=1(u i −u)(v i −v)∑ ni=1(u i −u)2，α=v −βu ．19．如图所示，四棱锥S ﹣ABCD 中，SA ⊥平面ABCD ，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，AB ＝AD ＝SA ＝1，BC ＝2，M 为SB 的中点． （1）求证：AM ∥平面SCD ； （2）求点B 到平面SCD 的距离．20．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√63，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为√2． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设与圆O ：x 2+y 2=34相切的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点（O为坐标原点），求△AOB 面积的最大值．21．已知函数f(x)=ae x +a+1x−2(a +1)． （1）讨论当a =1，x ≥√2时，函数f （x ）的单调性；（2）当f （x ）≥0对任意的x ∈（0，+∞）恒成立，其中a ＞0．求a 的取值范围． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4极坐标与参数方程]22．已知直线l 的参数方程为{x =12+√32t y =12t （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设点P （12，0），直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|AP |+|PB |的值．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x ﹣1|+|2x +2| （1）解不等式f （x ）＞5；（2）若不等式f （x ）＜a （a ∈R ）的解集为空集，求a 的取值范围．参考答案一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数z满足：zi＝1+i（i是虚数单位），则z的虚部为（）A．﹣i B．i C．1D．﹣1【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由zi＝1+i，得z=1+ii=(1+i)(−i)−i2=1−i，∴z的虚部为﹣1．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．观察数列1，ln2，sin3，4，ln5，sin6，7，ln8，sin9……，则该数列的第11项等于（）A．1111B．11C．ln11D．sin11【分析】通过观察数列得出规律，数列中的项是按正整数顺序排列，且以3为循环节，由此判断第11项是哪个数．解：由数列得出规律，按照1，ln2，sin3，…，是按正整数的顺序排列，且以3为循环节，由11÷3＝3余2，所以该数列的第11项为ln11．故选：C．【点评】本题考查了归纳推理的应用问题，是基础题．3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9＝3a5，则一定成立的是（）A．a4＝0B．a5＝0C．a6＝0D．a9＝0【分析】利用等差数列的通项公式求和公式及其性质进行转化即可得出．解：因为S9＝9a5＝3a5，所以a5＝0．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．函数f（x）＝﹣2x+lnx的图象在x＝1处的切线方程为（）A．x+y+1＝0B．x﹣y+1＝0C．2x﹣y+1＝0D．2x+y﹣1＝0【分析】求出函数的导数，得到切线的斜率，即可判断选项的正误；解：函数f（x）＝﹣2x+lnx，可得f′（x）＝﹣2+1 x，函数f（x）＝﹣2x+lnx的图象在x＝1处的切线的斜率为：f′（1）＝﹣1．切点坐标为：（1，﹣2），函数f（x）＝﹣2x+lnx的图象在x＝1处的切线方程为y+2＝﹣（x﹣1）即x+y+1＝0．故选：A．【点评】本题考查曲线的曲线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．5．已知焦点在x轴上的椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是（）A．x216+y27=1B．x27+y216=1C．x264+y228=1D．x228+y264=1【分析】由题意求出a、c和b2，根据焦点在x轴上写出椭圆的标准方程．解：由题意知，2a＝8，解得a＝4；又e=34，即c4=34，解得c＝3；所以b2＝a2﹣c2＝7；又椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的方程为x216+y27=1．故选：A．【点评】本题考查了椭圆的标准方程计算问题，是基础题．6．为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本，其中城镇户籍与农民户籍各50人；男性60人，女性40人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图（如图所示），其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是（）A．是否倾向选择生育二胎与户籍有关B．是否倾向选择生育二胎与性别无关C．倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同D．倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数【分析】利用柱形图的性质直接求解．解：由不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图，知：在A中，城镇户籍倾向选择生育二胎的比例为40%，农村户籍倾向选择生育二胎的比例为80%，∴是否倾向选择生育二胎与户籍有关，故A正确；在B中，男性倾向选择生育二胎的比例为60%，女性倾向选择生育二胎的比例为60%，∴是否倾向选择生育二胎与性别无关，故B正确；在C中，男性倾向选择生育二胎的比例为60%，人数为60×60%＝36人，女性倾向选择生育二胎的比例为60%，人数为40×60%＝24人，∴倾向选择生育二胎的人员中，男性人数比女性人数多，故C错误；在D中，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数为50×（1﹣80%）＝10人，城镇户籍人数为50×（1﹣40%）＝30人，∴倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，故D正确．故选：C．【点评】本题考查柱形图的应用，考查运算求解能力、数据处理能力，考查数形结合思想，是基础题．7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F依次是A1D1和B1C1的中点，则异面直线AE与CF所成角的余弦值为（）A ．35B ．45C ．2√55D ．0【分析】由两异面直线所成角的作法得：连接ED ，则ED ∥FC ，则∠AED （或其补角）为异面直线AE 与CF 所成角，由余弦定理得：cos ∠AED =AE 2+DE 2−AD 22×AE×DE =35，即异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为35，得解．解：连接ED ，则ED ∥FC ，则∠AED （或其补角）为异面直线AE 与CF 所成角， 在△ADE 中，设D 1E ＝a ，则AE ＝DE =√5a ，AD ＝2a ， 由余弦定理得：cos ∠AED =AE 2+DE 2−AD 22×AE×DE =35， 即异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为35，故选：A ．【点评】本题考查了两异面直线所成角的作法及余弦定理，属中档题．8．某企业有2个分厂生产某种零件，为了研究两个分厂生产零件的质量是否有差异，随机从2个分厂生产的零件中各抽取了500件，具体数据如表所示：甲厂 乙厂 总计 优质品 360 320 680 非优质品140180320总计 500500 1000根据表中数据得K 2=1000×(360×180−320×140)2680×320×500×500≈7.353，从而断定两个分厂生产零件的质量有差异，那么这种判断出错的最大可能性为（ ） 附表： P （k 2≥k 0）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0 2.7063.8415.0246.6357.87910.828A ．0.1B ．0.01C ．0.05D ．0.001【分析】根据观测值K 2，对照临界值得出结论． 解：由题意知，K 2≈7.353＞6.635，根据附表可得判断秃发与患有心脏病有关出错的可能性为0.01． 故选：B ．【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题．9．已知直线2mx +ny ＝2（m ＞0，n ＞0）过圆（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝5的圆心，则1m+1n的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】圆心（1，2），代入直线方程，再由乘1法和基本不等式，展开计算即可得到所求最小值．解：圆（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝5的圆心为（1，2）， 由题意可得2m +2n ＝2，即m +n ＝1，m ，n ＞0， 则1m+1n=（1m +1n）（m +n ）＝2+n m +mn ≥4，当且仅当n m =mn 且m +n ＝1即m ＝n =12时取等号， 故选：D ．【点评】本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，同时考查直线与圆的关系，考查运算能力，属于基础题． 10．函数y =lnx 2x的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据题意，先分析函数的奇偶性可以排除A 、B ，在分析函数在（0，1）上的符号，排除C ，即可得答案．解：根据题意，函数定义域为{x |x ≠0}，又由f （﹣x ）=−lnx 2x=−f （x ），则f （x ）为奇函数，排除A 、B ，又由在（0，1）上，lnx 2＜0而x ＞0，则y =lnx 2x ＜0，排除C ；故选：D ．【点评】本题考查函数的图象，注意分析函数的定义域、奇偶性．11．已知函数f （x ）={x 2−x ，x ≤0ln(x +1)，x ＞0，若存在x 0∈R 使得f （x 0）≤ax 0﹣1，则实数a的取值范围是（ ） A ．（0，+∞）B ．[﹣3，0]C ．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）D ．（﹣∞，﹣3]∪（0，+∞）【分析】根据题意，作出函数f （x ）的图象草图，而直线y ＝ax ﹣1恒过定点（0，﹣1），分析可得若存在x 0∈R 使得f （x 0）≤ax 0﹣1，则函数f （x ）的图象在直线y ＝ax ﹣1下方有图象或有交点，据此分情况讨论a 的取值范围，综合即可得答案． 解：根据题意，函数f （x ）={x 2−x ，x ≤0ln(x +1)，x ＞0，其图象如图：直线y ＝ax ﹣1恒过定点（0，﹣1），若存在x 0∈R 使得f （x 0）≤ax 0﹣1，则函数f （x ）的图象在直线y ＝ax ﹣1下方有图象或有交点，则直线y ＝ax ﹣1与函数f （x ）的图象必定有交点，分析可得：当a ＞0时，直线y ＝ax ﹣1经过第一三四象限，与函数f （x ）的图象必有交点，符合题意，当a ＜0时，直线y ＝ax ﹣1经过第二三四象限，若直线y ＝ax ﹣1与f （x ）的有交点，必然相交于第二象限，则有{y =x 2−x y =ax −1，即ax ﹣1＝x 2﹣x ，变形可得x 2﹣（a +1）x +1＝0，令△＝0，解可得a＝﹣3或1（舍），则有a≤﹣3，综合可得：a的取值范围为（﹣∞，﹣3]∪（0，+∞）；故选：D．【点评】本题考查分段函数的解析式，关键是分析函数f（x）的图象．12．定义方程f（x）＝f'（x）的实根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，若函数g（x）＝xe x+1，h（x）＝lnx+1，φ（x）＝x3﹣1的“新驻点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．b＞c＞a【分析】求出函数的导数，结合新定义，求出函数的零点，然后判断大小即可．解：由题意：函数g（x）＝xe x+1，g'（x）＝xe x+e x，所以a为xe x+1＝xe x+e x的根，解得x＝0，即a＝0．h（x）＝lnx+1，h′(x)=1x，b为lnx+1=1x的根，可得x＝1，即可b＝1；φ（x）＝x3﹣1，φ'（x）＝3x2，c为x3﹣1＝3x2的根，即函数φ1(x)=x3−1−3x2的零点，又因为：φ1（2）＜0，φ1（4）＝15＞0，c∈（2，4）；所以：c＞b＞a．故选：B．【点评】本题考查函数的极值的求法，函数的零点的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数f（x）=13x3+x2﹣3x﹣1的极小值是−83．【分析】先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解函数的极小值．解：f'（x）＝x2+2x﹣3，由x2+2x﹣3＝0得x＝﹣3或1所以函数f(x)=13x3+x2−3x−1在（﹣∞，﹣3）上为增函数，（﹣3，1）上为减函数，（1，+∞）上为增函数，故f（x）在x＝1处有极小值，极小值为−8 3．故答案为：−8 3【点评】本题主要考查了利用导数求解函数的极值，属于基础试题．14．已知函数f（x）定义域为R，f（1）＝2，f（x）在R上的导数f′（x）满足f′（x）﹣3＞0，则不等式f（x）＜3x﹣1的解集为（﹣∞，1）．【分析】构造函数F（x）＝f（x）﹣3x，求出函数的导数，根据函数的单调性得到F（x）＜F（1），求出x的范围即可．解：构造函数F（x）＝f（x）﹣3x，则F'（x）＝f'（x）﹣3＞0，F（x）在R上是增函数，且F（1）＝f（1）﹣3＝﹣1．又不等式f（x）＜3x﹣1可化为f（x）﹣3x＜﹣1，即F（x）＜F（1），∴x＜1．故答案为：（﹣∞，1）．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．15．关于x的不等式x2lnx﹣kx+x≥0恒成立，实数k的取值范围是(−∞，1−1e]．【分析】由题意可得xlnx﹣k+1≥0恒成立，即k≤xlnx+1，令g（x）＝xlnx+1，求得导数和单调性，可得g（x）的最小值，即可得到所求k的范围．解：x2lnx﹣kx+x≥0在（0，+∞）恒成立，即xlnx﹣k+1≥0恒成立，即k≤xlnx+1，令g（x）＝xlnx+1，则g'（x）＝lnx+1，当g'（x）≥0，即lnx+1≥0，解得x≥1e，当g'（x）＜0，即lnx+1＜0，解得0＜x＜1e，所以g（x）在(0，1e)上为减函数，在[1e，+∞)上增函数，所以g(x)min=g(1e)=1e ln1e+1=1−1e ， 所以k ≤1−1e．故答案为：（﹣∞，1−1e]．【点评】本题考查不等式恒成立问题解法，考查构造函数法，以及导数的运用：求单调性和最值，考查运算能力和推理能力，属于中档题． 16．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 1作圆x 2+y 2＝a 2的切线交双曲线右支于点M ，若∠F 1MF 2=π4，则双曲线的离心率为 √3 ． 【分析】如图：|MF 1|﹣|MF 2|＝2a ，设|MF 2|＝t ，则|MF 1|＝2a +t ，∵sin ∠MF 1F 2=|ON||OF 1|=ac ，然后在三角形MF 1F 2中由正余弦定理列方程可解得离心率． 解：如图：|MF 1|﹣|MF 2|＝2a ，设|MF 2|＝t ，则|MF 1|＝2a +t ， ∵sin ∠MF 1F 2=|ON||OF 1|=ac ，在△MF 1F 2中，由正弦定理得|MF 2|sin∠MF 1F 2=|F 1F 2|sin∠F 1MF 2，即tac=√22， ∴t ＝2√2a ，∴|MF 2|＝2√2a ，|MF 1|＝（2√2+2）a ，由余弦定理得4c 2＝8a 2+（12+8√2）a 2﹣2×2√2a ×(2√2+2）a ×√224c 2＝12a 2，∴c 2＝3a 2，∴e =√3． 故答案为：√3．【点评】本题考查了双曲线的离心率，属中档题．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．17．在△BC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知√3b cos C＝c sin B．（Ⅰ）求角C的大小（Ⅱ）若c＝2√7，△ABC的面积为6√3，求△ABC的周长．【分析】（Ⅰ）由正弦定理可得√3sin B cos C＝sin C sin B，结合sin B≠0，可求tan C=√3，结合范围C∈（0，π），可求C的值．（Ⅱ）由已知利用三角形面积公式可求ab＝24，根据余弦定理可解得a+b＝10，即可解得△ABC的周长．解：（Ⅰ）∵√3b cos C＝c sin B．∴由正弦定理可得：√3sin B cos C＝sin C sin B，∵sin B≠0，∴可得：tan C=√3，∵C∈（0，π），∴C=π3．（Ⅱ）∵C=π3，c＝2√7，△ABC的面积为6√3=12ab sin C=√34ab，∴解得：ab＝24，∵由余弦定理可得：28＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝（a+b）2﹣3×24，∴解得：a+b＝10，∴△ABC的周长a+b+c＝10+2√7．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．18．长沙某公司对其主推产品在过去5个月的月广告投入x i（百万元）和相应的销售额y i （百万元）进行了统计，其中i＝1，2，3，4，5，对所得数据进行整理，绘制散点图并计算出一些统计量如下：∑5i=1x i∑5i=1w i∑5i=1y i∑5i=1(x i−x)(y i−y)∑5i=1(w i−w)(y i−y)∑5i=1(x i−x)2∑5i=1(w i−w)6810.315.8﹣192.12 1.6020.46 3.56其中w i＝x i2，i＝1，2，3，4，5．（1）根据散点图判断，y＝bx+a与y＝cx2+d哪一个适宜作为月销售额关于月广告投入x i的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及题中所给数据，建立y关于x的回归方程，并据此估计月广告投入200万元时的月销售额．附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线v＝α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β=∑n i=1(u i−u)(v i−v)∑n i=1(u i−u)2，α=v−βu．【分析】（1）由散点图可知，选择y＝cx2+d作为回归方程；（2）令w＝x2，则y＝cw+d，分别求出c与d的值，则回归方程可求，进一步得到y关于x的回归方程，取x＝200求得y值，即可得到月广告投入200万元时的月销售额．解：（1）根据散点图可知，选择y＝cx2+d作为回归方程；（2）令w＝x2，则y＝cw+d，w=15∑5i=1w i=2.06，y=15∑5i=1y i=3.16，c=∑5i=1(w i−w)(y i−y)∑5i=1(w i−w)2=1.6023.56=0.45，d=y−c w=3.16−0.45×2.06=2.233，故回归方程为y^=0.45x2+2.233，当月广告投入为200万元时，月销售额为y^=0.45×2002+2.233=18002.233（万元）．答：选择y＝cx2+d作为回归方程，当月广告投入为200万元时，月销售额约18002.233万元．【点评】查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题．19．如图所示，四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝AD ＝SA＝1，BC＝2，M为SB的中点．（1）求证：AM∥平面SCD；（2）求点B到平面SCD的距离．【分析】（1）取SC的中点N，连结MN和DN，可证明得到四边形AMND是平行四边形，进而AM∥平面SCD；（2）先证明得到AM⊥平面SBC，进而得到平面SCD⊥平面SBC，作BE⊥SC交SC于E，则BE⊥平面SCD，在直角三角形中利用等面积法即可求出距离解：（1）取SC的中点N，连结MN和DN，∵M为SB的中点，∴MN∥BC，且MN=12BC，∵∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝1，BC＝2，∴AD∥BC，且AD=12BC，∴AD平行且等于MN，∴四边形AMND是平行四边形，∴AM∥DN，∵AM⊄平面SCD，DN⊂平面SCD，∴AM∥平面SCD．（2）∵AB＝AS＝1，M为SB中点，∴AM⊥SB，∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥BC，∵∠ABC＝∠BAD＝90°，∴BC⊥AB，∴BC ⊥平面SAB ， ∴BC ⊥AM ， ∴AM ⊥平面SBC ， 由（1）可知AM ∥DN ， ∴DN ⊥平面SBC ， ∵DN ⊂平面SCD ， ∴平面SCD ⊥平面SBC ，作BE ⊥SC 交SC 于E ，则BE ⊥平面SCD ， 在直角三角形SBC 中，12SB •BC =12SC •BE ，∴BE =SB⋅BC SC =2√26=2√33， 即点B 到平面SCD 的距离为2√33．【点评】本题考查线面平行的证明，考查求点到平面距离，数形结合思想，转化思想，等面积法，属于中档题 20．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√63，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为√2． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设与圆O ：x 2+y 2=34相切的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点（O 为坐标原点），求△AOB 面积的最大值．【分析】（1）由已知可得关于a ，b ，c 的方程组，求解可得a ，b ，c 的值，则椭圆方程可求；（2）当k 不存在时，求出△AOB 的面积；当k 存在时，设直线为y ＝kx +m ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），将直线y ＝kx +m 代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相切的条件得m 与k 的关系，结合基本不等式即可得到所求面积的最大值和直线l 的方程．解：（1）由题意可得，e =c a =√63，a 2﹣b 2＝c 2，bc =√2，解得a =√3，b ＝1，c =√2， 即有椭圆的方程为x 23+y 2＝1；（2）当k 不存在时，x ＝±√32，可得y ＝±√32，S △OAB =12×√3×√32=34；当k 存在时，设直线为y ＝kx +m （k ≠0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 将直线y ＝kx +m 代入椭圆方程可得（1+3k 2）x 2+6kmx +3m 2﹣3＝0， x 1+x 2=−6km 1+3k2，x 1x 2=3m 2−31+3k 2，由直线l 与圆O ：x 2+y 2=34相切，可得√1+k 2=√32， 即有4m 2＝3（1+k 2），|AB |=√1+k 2•√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2•√(−6km 1+3k2)2−12(m 2−1)1+3k2=√3•√1+10k 2+9k 41+6k 2+9k4=√3•√1+4k21+6k 2+9k4=√3•√1+49k 2+1k 2+6≤√3•√142√9+6=2，当且仅当9k 2=1k2，即k ＝±√33时等号成立， 可得S △OAB =12|AB |•r ≤12×2×√32=√32，即有△OAB 面积的最大值为√32．此时直线方程y ＝±√33x ±1．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，属于中档题．21．已知函数f(x)=ae x +a+1x−2(a +1)． （1）讨论当a =1，x ≥√2时，函数f （x ）的单调性；（2）当f （x ）≥0对任意的x ∈（0，+∞）恒成立，其中a ＞0．求a 的取值范围． 【分析】（1）当a =1，x ≥√2时，f′(x)=e x −2x 2，当x ≥√2，f′(x)为单调递增函数，然后判断函数的单调性即可．（2）由已知有f （x ）min ≥0，其中x ＞0，a ＞0．求出导函数，令g （x ）＝ax 2e x ﹣（a +1），其中x ＞0，a ＞0．利用函数的导数，判断函数的最值，f （x ）min ＝f （x 0）=ae x 0+a+1x 0−2(a +1)．通过令a+1x 0+a+1x 0−2(a +1)≥0，转化求解a 的范围即可．解：（1）当a =1，x ≥√2时，f′(x)=e x −2x 2， 当x ≥√2时，y ＝e x 是增函数，y =−2x 2是增函数， 所以，当x ≥√2，f′(x)为单调递增函数，∴f′(x)≥e √2−1＞0，f （x ）在[√2，+∞)为增函数（2）由已知有f （x ）min ≥0，其中x ＞0，a ＞0.f /(x)=ae x −a+1x2=ax 2e x −(a+1)x2． 令g （x ）＝ax 2e x ﹣（a +1），其中x ＞0，a ＞0．由g '（x ）＝a （2x +x 2）e x ＞0得g （x ）在（0，+∞）上单调递增． 又g （0）＝﹣（a +1）＜0，当x →+∞时，g （x ）→+∞， 故存在x 0∈（0，+∞），使得g （x 0）＝0．当x ∈（0，x 0）时，g （x ）＜0，f '（x ）＜0，f （x ）在（0，x 0）上单调递减； 当x ∈（x 0，+∞）时，g （x ）＞0，f '（x ）＞0，f （x ）在（x 0，+∞）上单调递增． 故f （x ）min ＝f （x 0）=ae x 0+a+1x 0−2(a +1)．由g （x 0）＝0得，ax 02e x 0−(a +1)=0，即ae x 0=a+1x 02．则f （x 0）=ae x 0+a+1x 0−2(a +1)=a+1x 02+a+1x 0−2(a +1)．令a+1x 02+a+1x 0−2(a +1)≥0，由x 0＞0，a ＞0，解得0＜x 0≤1．因为g （x ）＝ax 2e x ﹣（a +1）在（0，+∞）上单调递增，0＜x 0≤1，所以g （1）≥g （x 0）＝0．故g （1）≥0，即ae ﹣（a +1）≥0，解得a ≥1e−1【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题．一、选择题22．已知直线l 的参数方程为{x =12+√32t y =12t（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设点P （12，0），直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|AP |+|PB |的值． 【分析】（1）由代入法可得直线l 的普通方程；由极坐标和直角坐标的关系：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，x 2+y 2＝ρ2，可得曲线C 的直角坐标方程；（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，可得t 的二次方程，再由参数的几何意义和韦达定理，即可得到所求值．解：（1）直线l 的参数方程为{x =12+√32t y =12t （t 为参数）， 消去t ，可得2x ﹣2√3y ﹣1＝0；曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ．由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，x 2+y 2＝ρ2，可得x 2+y 2＝2x ，即曲线C 的直角坐标方程为（x ﹣1）2+y 2＝1；（2）将直线l 的参数方程{x =12+√32t y =12t （t 为参数）代入C 的方程（x ﹣1）2+y 2＝1， 可得t 2−√32t −34=0，△=34+3＞0， 设t 1，t 2是点A ，B 对应的参数值，t 1+t 2=√32，t 1t 2=−34，则|PA |+|PB |＝|t 1﹣t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√34+3=√152． 【点评】本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，以及直线的参数方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x ﹣1|+|2x +2|（1）解不等式f （x ）＞5；（2）若不等式f （x ）＜a （a ∈R ）的解集为空集，求a 的取值范围．【分析】（1）根据函数f （x ）={−3x −1，x ＜−1x +3，−1≤x ≤13x +1，x ＞1，分类讨论求得不等式f （x ）＞5的解集．（2）由（1）可得函数f （x ）的最小值为f （﹣1）＝2，结合题意求得a 的取值范围．解：（1）函数f （x ）＝|x ﹣1|+|2x +2|={−3x −1，x ＜−1x +3，−1≤x ≤13x +1，x ＞1，当x ＜﹣1时，由﹣3x ﹣1＞5，求得x ＜﹣2．显然，当﹣1≤x ≤1时，不等式f （x ）＞5无解，当x ＞1时，由3x +1＞5，求得x ＞43．综上可得，不等式的解集为{x |x ＜﹣2或x ＞43}．（2）由（1）可得f （x ）={−3x −1，x ＜−1x +3，−1≤x ≤13x +1，x ＞1，函数f （x ）的最小值为f （﹣1）＝2，故当a ≤2时，不等式f （x ）＜a （a ∈R ）的解集为空集．【点评】本题主要考查队友绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于中档题．。
广西南宁市第三中学2019-2020学年高二10月月考数学试题(文)(解析版)
广西南宁市第三中学2019-2020学年高二10月月考（文）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合．）1．现要完成下列3项抽样调查：①从15种疫苗中抽取5种检测是否合格；②某中学共有480名教职工，其中一线教师360名，行政人员48名，后勤人员72名.为了解教职工对学校校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本；③某中学报告厅有28排，每排有35个座位，一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请28名听众进行座谈. 较为合理的抽样方法是（ ）A ．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B ．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样C ．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样D ．①分层抽样，②系统抽样， ③简单随机抽样2．现有60瓶矿泉水，编号从1至60．若从中抽取6瓶检验，用系统抽样方法确定所抽的编号可能为( )A ．3，13，23，33，43，53B ．2，14，26，38，42，56C ．5，8，31，36，48，54D ．5，10，15，20，25，303．直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°4．已知a ，b ，c 是两两不同的三条直线，下列说法正确的是( ) A ．若直线a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 异面 B ．若直线a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 相交 C ．若a ∥b ，则a ，b 与c 所成的角相等D ．若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c5．若直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，则m ＝( ) A ．7 B ．172 C ．14 D ．176．某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为( )A．100B ．150C ．200D ．2507．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝18．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．89．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图，后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示，则7个剩余分数的方差为( )A ．1169B ．677C ．36D ．36710．过点(3,1)作圆(x -2)2+(y -2)2=4的弦，则最短弦的长为（ ）A ．2B ．2C ．22D ．411．已知点A ,B ,C ,D 均在球O 上，33AB BC AC ===，，若三棱锥D -ABC 体积的最大值为33，则球O 的体积为( ) A ．32π B ．16π C ．π316 D ．π332 12．曲线y ＝1＋24x -与直线y ＝k (x －2)＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是( ) A ．(512，34』 B ．(13，34』 C ．(0，512) D ．(512，＋∞) 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽取了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间『80，130』上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100 cm ．14．总体由编号为01，02，03，...，49，50的50个个体组成，利用随机数表（如上图，选取了随机数表中的第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的第5个个体的编号为________15．已知平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为________． 16．已知圆O ：x 2＋y 2＝9及点C (2，1)，过点C 的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，当△OPQ的面积最大时，直线l 的方程为________．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（10分）(1)求经过点P (4，1)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．(2)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，求圆C 的面积．18．（12分）四面体ABCD 及其三视图如图所示，平行于棱AD ，BC 的平面分别交四面体的棱AB ，BD ，DC ，CA 于点E ，F ，G ，H ．(1)求四面体ABCD的体积；(2)证明：四边形EFGH是矩形．19．（12分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量m＝(cos B，cos C)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n．(1)求角B的大小；(2)若b＝3，求a＋c的范围．20．（12分）如图，E是以AB为直径的半圆上异于,A B的一点，矩形ABCD所在平面垂直于该半圆所在的平面，且22AB AD==．(1)求证：EA EC⊥；(2)设平面ECD与半圆弧的另一个交点为F，1EF=，求E到平面ADF的距离.21．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，且S3＋S5＝50，a1，a4，a13成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设24(1)(1)nn nba a+=--，求数列{b n}的前n项和T n．22．（12分）已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．(1)求圆C的方程；(2)过点M(1，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．——★ 参*考*答*案 ★——1．B ①总体数量较少，抽取样本数量较少，采用简单随机抽样；②不同岗位员工差异明显，且会影响到统计结果，因此采用分层抽样；③总体数量较多，且排数与抽取样本个数相同，因此采用系统抽样.2．A 根据系统抽样原则，可知所抽取编号应成公差为10的等差数列，B 选项编号公差为12；C 选项编号不成等差；D 选项编号公差为5；A 选项编号满足公差为10的等差数列，正确 3．B 直线的斜率为k ＝tan α＝3，又因为0°≤α＜180°，所以α＝60°．4．C 若直线a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 相交、平行或异面；若a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 相交、平行或异面；若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ，c 相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C 正确．5．B 直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)，即2x ＋6y ＋2m ＝0，因为它与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，所以|2m ＋3|4＋36＝10，求得m ＝172．6．A 设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝4＋x 02，y ＝－2＋y 02，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1．7．A 由题意，抽样比为703 500＝150，总体容量为3 500＋1 500＝5 000，故n ＝5 000×150＝100． 8．B 初始值S ＝4，n ＝1．循环第一次：S ＝8，n ＝2；循环第二次：S ＝2，n ＝3；循环第三次：S ＝4，n ＝4，满足n>3，输出S ＝4．9．D 由题意知87＋94＋90＋91＋90＋90＋x ＋917＝91，解得x ＝4．所以s 2＝17『(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2』＝17(16＋9＋1＋0＋1＋9＋0)＝367．10．C 设A(3,1)，易知圆心C(2,2)，半径r=2，当弦过点A 且与CA 垂直时为最短弦，22||(23)(21)2CA =-+-22||2r CA =-=2211．D 如图，设M 是ΔABC 的外心，则三棱锥D −ABC 体积最大时，DM ⊥平面ABC ，球心O 在DM 上．∵BA =BC =√3,AC =3，∴cos∠BCA =32√3=√32，即∠BCA =30°=∠BAC ，∴BM =12×ABsin∠BCA =12×√312=√3．又S ΔABC =12×√3×3sin30°=3√34，∴13×3√34×DM =3√34，DM =3．∵DM ⊥平面ABC ，∴DM ⊥BM ，设球半径为R ，则由BM 2+OM 2=OB 2，得 (√3)2+(3−R)2=R 2，解得R =2，∴球体积为V =43πR 3=43π×23=32π3．12．A 据题意画出图形，如图，直线l 过A(2,4)，B(－2，－1)，又曲线y ＝124x -图象为以(0,1)为圆心，2为半径的半圆，当直线l 与半圆相切，C 为切点时，圆心到直线l 的距离d ＝r ＝222421k k-+=+，解得k＝512；当直线l 过B 点时，直线l 的斜率为()4122---＝34，则直线l 与半圆有两个不同的交点时，实数k 的取值范围为(512，34』 13．24 底部周长在『80，90)的频率为0.015×10＝0.15，底部周长在『90，100)的频率为0.025×10＝0.25，样本容量为60，所以树木的底部周长小于100 cm 的株数为(0.15＋0.25)×60＝24．14．43 根据题意，从随机数表第1行第9列和第10列数字开始，由左到右依次选取两个数字，其中小于或等于50的编号依次是08,02,14,07,4315．(x －2)2＋(y －1)2＝5 由题意知，此平面区域表示的是以O (0，0)，P (4，0)，Q (0，2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．∵△OPQ 为直角三角形，∴圆心为斜边PQ 的中点(2，1)，半径r ＝|PQ |2＝5，因此圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5．16．x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0 当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，则P ，Q的坐标分别为(2，5)，(2，－5)，所以S △OPQ ＝12×2×25＝25．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －1＝k (x －2)⎝⎛⎭⎫k ≠12，则圆心到直线PQ 的距离为d ＝|1－2k |k 2＋1，且|PQ |＝29－d 2，则S △OPQ ＝12×|PQ |×d ＝12×29－d 2×d ＝（9－d 2）d 2≤⎝⎛⎭⎫9－d 2＋d 222＝92，当且仅当9－d 2＝d 2，即d 2＝92时，S △OPQ 取得最大值92．因为25<92，所以S △OPQ 的最大值为92，此时，由4k 2－4k ＋1k 2＋1＝92，解得k ＝－7或k ＝－1，则直线l 的方程为x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0．17．(1)设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0，即l 过点(0，0)和(4，1)，∴l 的方程为y ＝14x ，即x －4y ＝0．若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋y a ＝1，∵l 过点(4，1)，∴4a ＋1a ＝1， ∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0．综上可知，直线l 的方程为x －4y ＝0或x ＋y －5＝0．(2)圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0，即C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，圆心为C (0，a )，半径r ＝a 2＋2， C 到直线y ＝x ＋2a 的距离为d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2． 又由|AB |＝23，得⎝⎛⎭⎫2322＋⎝⎛⎭⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以圆的面积为π(a 2＋2)＝4π．18．(1)解 由该四面体的三视图可知，BD ⊥DC ，BD ⊥AD ，AD ⊥DC ，BD ＝DC ＝2，AD ＝1，又BD ∩DC ＝D ，∴AD ⊥平面BDC ，∴四面体ABCD 的体积V ＝13×12×2×2×1＝23． (2)证明：∵BC ∥平面EFGH ，平面EFGH ∩平面BDC ＝FG ， 平面EFGH ∩平面ABC ＝EH ，∴BC ∥FG ，BC ∥EH ，∴FG ∥EH ． 同理，EF ∥AD ，HG ∥AD ，∴EF ∥HG ，∴四边形EFGH 是平行四边形．又∵AD ⊥平面BDC ，BC ⊂平面BDC ，∴AD ⊥BC ，∴EF ⊥FG ，∴四边形EFGH 是矩形．19．(1)∵m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(2a ＋c ，b )，且m ⊥n ，∴(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0，∴cos B (2sin A ＋sin C )＋sin B cos C ＝0，∴2cos B sin A ＋cos B sin C ＋sin B cos C ＝0．即2cos B sin A ＝－sin(B ＋C )＝－sin A ． ∵A ∈(0，π)，∴sin A ≠0，∴cos B ＝－12．∵0＜B ＜π，∴B ＝2π3． (2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 23π＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac ≥(a ＋c )2－⎝⎛⎭⎫a ＋c 22＝34(a ＋c )2，当且仅当a ＝c 时取等号．∴(a ＋c )2≤4，故a ＋c ≤2．又a ＋c >b ＝3，∴a ＋c ∈(3，2』．即a ＋c 的取值范围是(3，2』． 20．(1)证明：因为矩形ABCD ⊥平面ABE ，CB ⊂平面ABCD 且CB AB ⊥，所以CB ⊥平面ABE ，从而AE BC ⊥，①又因为在半圆ABE 中，AB 为直径，所以90AEB ∠=︒，即AE BE ⊥，②由①②知AE ⊥平面BCE ，故有EA EC ⊥．(2)因为AB //CD ，所以AB //平面DCE ．又因为平面DCE ⋂平面ABE EF =， 所以AB //EF ，在等腰梯形ABEF 中，1EF =，1AF =，120AFE ∠=︒，所以1sin1202AEF S EF AF ∆=⨯⨯⨯︒=，1122ADFSAF AD =⨯= 设所求距离为d ，则E ADF D AEF V V --=，即1133ADF AEF S A d S D ∆∆⨯=⨯⨯⨯，即1111233d ⨯=⨯，得d =21．(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3×22d ＋5a 1＋4×52d ＝50，（a 1＋3d ）2＝a 1（a 1＋12d ），解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2，∴a n ＝2n ＋1． (2)41111()2(24)(2)22n b n n n n n n ===-⨯+++，则111111111111111323(1)()()...()(1)2322423522221242(1)(2)n n T n n n n n n +=-+-+-++-=+--=-+++++22．(1)设圆心C (a ，0)⎝⎛⎭⎫a ＞－52，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍)．所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4．(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB ．当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t ，0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k （x －1），得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1． 若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝0⇒k （x 1－1）x 1－t ＋k （x 2－1）x 2－t ＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒2（k 2－4）k 2＋1－2k 2（t ＋1）k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4， 所以当点N 为(4，0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．。
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南宁三中2019-2020学年度下学期高二段考理科数学试题命题人：曹东林 罗佼佼 杨海棠 审题人：曹东林 罗佼佼 杨海棠一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z 满足1z i i ⋅=+（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．1B ．1-C ．iD ．i -2．观察数列1，ln 2，sin3，4，ln 5，sin6，7，ln8，sin9……，则该数列的第11项等于（ ） A ．1111B ．11C ．ln11D ．sin113．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若953S a =，则一定成立的是A ．40a =B ．50a =C ．60a =D ．90a =4．函数()2ln f x x x =-+的图象在1x =处的切线方程为（ ）A ．10x y ++=B ．10x y -+=C ．210x y -+=D ．210x y +-=5．已知焦点在x 轴上的椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是（ ） A ．221167x y +=B ．221716x y +=C ．2216428x y +=D ．2212864x y +=6．用数学归纳法证明()()()22222222211211213n n n n n ++++-++-++=L L 时，由n k =时的假设到证明1n k =+时，等式左边应添加的式子是（ ）A ．()2212k k ++ B ．()221k k ++C ．()21k +D ．()()2112113k k ⎡⎤+++⎣⎦ 7．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 依次是11A D 和11B C 的中点，则异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为（ ） A ．35B ．45C ．25D ．08．如图，长方形的四个顶点为(0,0)O ，(4,0)A ，(4,2)B ，(0,2)C ，曲线y x =经过点B .现将一质点随机投入长方形OABC 中，则质点落在图中阴影区域的概率是（ ）A ．13B ．12C ．23D ．349．已知直线22+=mx ny ()0,0m n >>过圆()()22125x y -+-=的圆心，则11m n+的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．函数2ln x y x=图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知函数2,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-≤=⎨+>⎩，若存在0x R ∈使得00()1f x ax ≤-，则实数a 的取值范围是( ) A ．()0,∞+B ．[]3,0-C ．][(),33,∞∞--⋃+D ．(],3(0∞--⋃，)∞+12．定义方程()()'f x f x =的实根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，若函数()21xg x e=+，()()ln 1h x x =+，()31x x ϕ=-的“新驻点”分别为,,a b c ，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．cb a >> C ．c a b >> D ．b c a >>二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13.函数()321313f x x x x =+--的极小值是__________ 14.已知函数()f x 定义域为R ，(1)2f =，()f x 在R 上的导数'()f x 满足'()30f x ->，则不等式()31f x x <-的解集为___________.15.关于x 的不等式2ln 0x x kx x -+≥恒成立，实数k 的取值范围是__________.16.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ,过1F 作圆222x y a +=的切线，交双曲线右支于点M ，若1245F MF ∠=︒，则双曲线的离心率为________三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答。
） （一）必考题：共60分。
17.（12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，cos sin C c B =． （1）求角C 的大小（2）若c =ABC ∆的面积为ABC ∆的周长．18.（12分）已知正项等比数列{}n a 满足12a =，2432a a a =- （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令2(12log )n n nb a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S19.（12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，侧棱SA ⊥底面ABCD ，AB 垂直于AD 和BC ，2SA AB BC ===，1AD =．M 是棱SB 的中点．（1）求证：//AM 面SCD ； （2）求二面角S CD M --的正弦值；20．（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为63，两焦点2（1）求椭圆C 的方程； （2）设与圆O ：2234x y +=相切的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点（O 为坐标原点），求△AOB 面积的最大值.21.（12分）已知函数()()121x a f x ae a x+=+-+（1）讨论当1,a x =≥()f x 的单调性（2）当()0f x ≥对任意的()0x ∈+∞，恒成立,其中0a >.求a 的取值范围.（二）选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4-4极坐标与参数方程]（10分）已知直线l的参数方程为12(12x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设点1(,0)2P ，直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求PA PB +的值.23.[选修4-5不等式选讲]（10分）已知函数()12 2.f x x x =-++（1）解不等式()5f x >；（2）若不等式()()f x a a R <∈的解集为空集，求a 的取值范围.南宁三中2019-2020学年度下学期高二段考理科数学试题参考答案1．【答案】B【解析】∵1z i i ⋅=+ ∴1(1)1i i iz i i i i++===-⋅ ∴z 的虚部为-1 2.【答案】C【解析】由数列得出规律，按照1，ln 2，sin3，…，是按正整数的顺序排列，且以3为循环节，由11332÷=余，所以该数列的第11项为ln11． 3．【答案】B【解析】因为95593S a a ==，所以50a =，.故选B ． 4．【答案】A【解析】当x=1时，f(1)=-2+0=-2，所以切点为（1,-2）,由题得11()2,(1)211f x k f x ''=-+∴==-+=-， 所以切线方程为21(1)y x +=--,即：10x y ++=5．【答案】A【解析】由题意知，28a =，∴4a =，又34e =，∴3c =，则2227b a c =-=.因为椭圆的焦点在x 轴上时，所以椭圆方程为221167x y+=.6．【答案】B【解析】因为当n k =时，等式的左边是()()2222222121121k k k L L ++-++-+++，所以当1n k =+时，等式的左边是()()()2222222221211121k k k k k L L ++-+++++-+++，多增加了()221k k ++7．【答案】A【解析】连接ED ，则//ED FC ，则AED ∠（或其补角）为异面直线AE 与CF 所成角， 在ADE ∆中，设1D E a =，则5AE DE a ==，2AD a =，由余弦定理得：2223cos 25AE DE AD AED AE DE +-∠==⨯⨯，即异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为358．【答案】C【解析】由已知易得：344200216=42=8=[]|33S S xdx x ⨯==⎰阴影长方形，，由面积测度的几何概型：质点落在图中阴影区域的概率2=3S P S =阴影长方形 9．【答案】D【解析】圆22(1)(2)5x y -+-=的圆心为(1,2)， 由题意可得222m n +=，即1m n +=，m ，0n >，则1111()()24n m m n m n m n m n +=++=++…，当且仅当n m m n =且1m n +=即12m n ==时取等号，故选：D ． 10．【答案】C【解析】由题意，函数2ln x y x=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ，且22ln()ln ()()x x f x f x x x--==-=--，所以函数()f x 为奇函数，排除A ，B ；当0x >时，函数2ln xy x =，则22(1ln )x y x -'=， 当0e x <<时，0y '>，函数单调递增，当x e >时，0y '<，函数单调递减，排除D ． 11．【答案】D【解析】根据题意，函数()()2,0ln 1,0x x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩，其图象如图：直线1y ax =-恒过定点()0,1-若存在0x R ∈使得()001f x ax ≤-，则函数()f x 的图象在直线1y ax =-下方有图象或有交点，则直线1y ax =-与函数()f x 的图象必定有交点分析可得：当0a >时，直线1y ax =-经过第一三四象限，与函数()f x 的图象必有交点，符合题意；当0a <时，直线1y ax =-经过第二三四象限，若直线1y ax =-与()f x 有交点，必然相交于第二象限则有21y x x y ax ⎧=-⎨=-⎩，即21ax x x -=-，变形可得()2110x a x -++=令0∆=，解得3a =-或1（舍），则有3a ≤-，综合可得：a 的取值范围为(](),30,-∞-⋃+∞ 12．【答案】B【解析】由题意：221'()2,'(),'()31xg x e h x x x x ϕ===+， 所以,,a b c 分别为2232112,ln(1),131xx ee x x x x +=+=-=+的根，即为函数 2321111()1,()ln(1),()131x g x e h x x x x x x ϕ=-=+-=--+的零点， 可解得：0a =；又因为：111(0)10,(1)ln 20,(0,1)2h h b =-<=->∈； 又因为：11(2)0,(4)150,(2,4)c ϕϕ<=>∈；所以：c b a >>13. 【答案】83-【解析】()223f x x x =+-'，由2230x x +-=得31x =-或函数()321313f x x x x =+--在(),3-∞-上为增函数，()3,1-上为减函数，()1+∞，上为增函数，故()f x 在1x =处有极小值，极小值为83-.14.【答案】(,1)-∞【解析】构造函数()()3F x f x x =-，则'()'()30F x f x =->，()F x 在R 上是增函数，且(1)(1)31F f =-=-.又不等式()31f x x <-可化为()31f x x -<-，即()(1)F x F <，∴1x <.15. 【答案】1,1e⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】2ln 0x x kx x -+≥在()0,∞+恒成立，即ln 10x x k -+≥恒成立，即ln 1k x x ≤+， 令()ln 1g x x x =+，则()ln 1g x x '=+， 当()0g x '≥，即ln 10x +≥，解得1x e ≥，当()0g x '<，即ln 10x +<，解得10x e<< 所以()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上增函数，所以()min 1111ln 11g x g e e ee ⎛⎫==+=- ⎪⎝⎭，所以11k e≤-16.3【解析】如图，设切点为A ，连接OA ，过2F 作21BF F M⊥于B ，O 是12F F 中点，2222OA BF BF OA a ⇒==//，1224522,2FMF MF a BM a ∠=︒⇒==，11BF MF BM=-又，122MF MF a-=，故12222BF MF a BM a =+-=，在12Rt BF F ∆中，2221212BF BF F F +=，即22222(22)(2)(2)3a a c c a +=⇒=，故3ca =17. 【解析】（1）由正弦定理sin sin b cB C=3sin cos sin sin B C B C =， 因为sin 0B ≠3cos sin C C =，故tan 3C =0＜C ＜π，所以3C π=（2）由已知，得1sin 632ab C =又3C π=，所以24ab =.由已知及余弦定理，得222cos 28a b ab C +-=，所以22=52a b +，从而()2100a b +=.即10a b +=，故a +b +c =1027+ABC ∆的周长为1027+18. 【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，由2432a a a =-可得22222a a q a q =-，20a ≠Q ，22q q ∴=-，即220q q --=，0q >Q ，解得2q =，112n n n a a q -∴==.（2）由（1）22(12log )(12log 2)2(21)2n n nn n n b a a n =+=+⋅=+⋅，()123325272212n n S n ∴=⋅+⋅+⋅+++⋅L ，()()23123252212212n n n S n n +=⋅+⋅++-⋅++⋅L ，两式相减，得()123132222222212nn n S n +-=⋅+⋅+⋅++⋅-+⋅L()()()()1111181262126228212221212n n n n n n n n -++++-=+-+⋅=+⋅--+⋅=---⋅-，因此，()12122n n S n +=-⋅+19. 【解析】作SC 的中点N ，连接MN ，DN ，因为M,N 分别为SB ，SC 的中点，所以MN //BC ，112MN BC ==，又AD //BC ，所以MN //AD ，MN =AD ，故四边形AMND 为平行四边形，AM //ND 又ND SCD ⊂平面，AM 不在平面SCD 内，所以AM //平面SCD（2）以点A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，C (2,1,0)，D (1,0,0)，M (0,1,1)，S (0,0,2)，则(1,0,2)SD =-u u u r ，(1,2,0)CD =--u u u r，()1,1,1DM =-u u u u r ，设平面SCD 的法向量是(,,)n x y z =r ，则·0·0SD n CD n ⎧=⎨=⎩u u u v vu u u v v，即2020x z x y -=⎧⎨--=⎩，令1z =，则2x =，1y =-，(2,1,1)n =-r．设平面CDM 的法向量为1111(,,)n x y z =u r ，则11·0·0n CD n DM ⎧=⎪⎨=⎪⎩u v u u u vu v u u u u v ，即11111200x y x y z --=⎧⎨-++=⎩， 令y 1=-1，则x 1=2，z 1=3，1(2,1,3)n =-u u r,设二面角S CD M --的平面角大小为θ，则11cos n n n n θ⋅==r u u r r u u rsin θ ∴二面角S CD M --的正弦值为21．3SB BC BE SC ⋅∴===，即点B 到平面SCD距离为3. 20．（Ⅰ）2213x y +=；（Ⅱ）2. 【解析】（I）由题设：c bc a ==223,1a b == ∴椭圆C 的方程为2213x y +=（Ⅱ）.设()()1122,x ,A x y B y 、1.当AB ⊥x轴时，AB2.当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+2=，得()22314m k=+把y kx m=+代入椭圆方程消去y，整理得()222316330k x kmx m+++-=,有()2121222316,3131mkmx x x xk k--+==++()()()()()222222212222121361k13131mk mAB x x kkk⎡⎤-⎢⎥=+-=+-⎢⎥++⎣⎦,()()()()()()2222222221213131913131k k m k kk k++-++==++,()242221212330196196kkk k kk=+=+≠++++1234236≤+=⨯+,当且仅当2219,kk=，即k=±时等号成立. 当0k=时，AB=综上所述max2AB=，从而△AOB21．（1）证明见解析；（2）11ae≥-【解析】（1）当1,a x=≥22()xf x ex'=-，当()x f x'≥为单调递增函数，()10f x'∴≥->，()f x在)+∞为增函数（2）由已知有()minf x≥,其中0x>,0a>.()/21xaf x aex+=-()221xax e ax-+=.令()()21xg x ax e a=-+,其中0x>,0a>.由()()220xg x a x x e'=+>得()g x在()0+∞，上单调递增.又()()010g a=-+<,当x→+∞时,()g x→+∞,故存在()x∈+∞，,使得()g x=.当()x x∈，时,()0g x<,()0f x'<,()f x在()0x，上单调递减;当()x x∈+∞，时,()0g x>,()0f x'>,()f x在()x+∞，上单调递增.故()()minf x f x=()121xaae ax+=+-+.由()g x=得,()21=0xax e a-+,即21=xaaex+.则()f x=()121xaae ax++-+21ax+=+()121aax+-+.令()20011210a aax x+++-+≥,由0x>,a>,解得001x<≤.因为()()21xg x ax e a=-+在()0+∞，上单调递增,001x<≤,所以()()1g g x≥=0.故()10g≥,即()10ae a-+≥,解得11ae≥-22．（1）直线l普通方程：210x--=，曲线C直角坐标方程：()2211x y-+=；（2）2.【解析】（1）由直线l参数方程消去t可得普通方程为：210x--=曲线C 极坐标方程可化为：22cos ρρθ=则曲线C 的直角坐标方程为：222x y x +=，即()2211x y -+=（2）将直线l 参数方程代入曲线C的直角坐标方程，整理可得：2304t --= 设,A B 两点对应的参数分别为：12,t t，则12t t +=，1234t t =-122PA PB t t ∴+=-===23．(1) 4{3x x >或2}x <-. (2) (,2]-∞ 【解析】(1)根据条件311()311,311x x f x x x x x +>⎧⎪=+-≤≤⎨⎪--<-⎩，，， 当1x >时，44315,1,;33x x x x ⇔+>⇔>>>又所以当11x -≤≤时，352,11;x x x ⇔+>⇔>-≤≤又，此时无解 当1x <-时，3152,1, 2.x x x x ⇔-->⇔<-<-<-又所以综上，的解集为4{3x x >或2}x <-. (2)由于311()311,311x x f x x x x x +>⎧⎪=+-≤≤⎨⎪--<-⎩，，，可得()f x 的值域为[2,)+∞. 又不等式()()f x a a R <∈的解集为空集，所以(,2]a -∞的取值范围是.。