整式的除法知识点及习题教学提纲
初二数学-整式的除法
初二数学15.3.2整式的除法（1）教学目标①经历探索整式除法运算法则的过程，会进行简单的整式除法运算(只要求单项式除以单项式，并且结果都是整式)，培养学生独立思考、集体协作的能力．②理解整式除法的算理，发展有条理的思考及表达能力．教学重点与难点重点：整式除法的运算法则及其运用．难点：整式除法的运算法则的推导和理解，尤其是单项式除以单项式的运算法则．教学准备卡片及多媒体课件．教学设计情境引入教科书第161页问题：木星的质量约为1.90×1024吨，地球的质量约为5.98×1021吨，你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗?重点研究算式(1.90×1024)÷(5.98×1021)怎样进行计算，目的是给出下面两个单项式相除的模型．注：教科书从实际问题引入单项式的除法运算，学生在探索这个问题的过程中，将自然地体会到学习单项式的除法运算的必要性，了解数学与现实世界的联系，同时再次经历感受较大数据的过程．探究新知(1)计算(1.90×1024)÷(5.98×1021)，说说你计算的根据是什么?(2)你能利用(1)中的方法计算下列各式吗?8a3÷2a； 6x3y÷3xy； 12a3b2x3÷3ab2．(3)你能根据(2)说说单项式除以单项式的运算法则吗?注：教师可以鼓励学生自己发现系数、同底数幂的底数和指数发生的变化，并运用自己的语言进行描述．单项式的除法法则的推导，应按从具体到一般的步骤进行．探究活动的安排，是使学生通过对具体的特例的计算，归纳出单项式的除法运算性质，并能运用乘除互逆的关系加以说明，也可类比分数的约分进行．在这些活动过程中，学生的化归、符号演算等代数推理能力和有条理的表达能力得到进一步发展．重视算理算法的渗透是新课标所强调的．归纳法则单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．注：通过总结法则，培养学生的概括能力，养成用数学语言表达自己想法的数学学习习惯．应用新知例2 计算：(1)28x4y2÷7x3y；(2)-5a5b3c÷15a4b．首先指明28x4y2与7x3y分别是被除式与除式，在这儿省去了括号．对本例可以采用学生口述，教师板书的形式完成。
整式的乘除知识点总结及针对练习题
思维辅导整式的乘除知识点及练习基础知识：1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
单项式的数字因数叫做单项式的系数，所有字母指数和叫单项式的次数。
如：bc a 22-的 系数为2-，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。
2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。
多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。
如：122++-x ab a ，项有2a 、ab 2-、x 、1，二次项为2a 、ab 2-，一次项为x ，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。
3、整式：单项式和多项式统称整式。
注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。
也不是单项式和多项式。
4、多项式按字母的升（降）幂排列：如：1223223--+-y xy y x x按x 的升幂排列：3223221x y x xy y +-+--按x 的降幂排列：1223223--+-y xy y x x知识点归纳：一、同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=•（n m ,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
注意底数可以是多项式或单项式。
如：532)()()(b a b a b a +=+•+【基础过关】1．下列计算正确的是（ ）A ．y 3·y 5=y 15B ．y 2+y 3=y 5C ．y 2+y 2=2y 4D ．y 3·y 5=y 82．下列各式中，结果为（a+b ）3的是（ ）A ．a 3+b 3B ．（a+b ）（a 2+b 2）C ．（a+b ）（a+b ）2D ．a+b （a+b ）23．下列各式中，不能用同底数幂的乘法法则化简的是（ ）A ．（a+b ）（a+b ）2B ．（a+b ）（a －b ）2C ．－（a －b ）（b －a ）2D ．（a+b ）（a+b ）3（a+b ）24．下列计算中，错误的是（ ）A ．2y 4+y 4=2y 8B ．（－7）5·（－7）3·74=712C ．（－a ）2·a 5·a 3=a 10D ．（a －b ）3（b －a ）2=（a －b ）5【应用拓展】5．计算：（1）64×（－6）5 （2）－a 4（－a ）4（3）－x 5·x 3·（－x ）4 （4）（x －y ）5·（x －y ）6·（x －y ）76．已知a x =2，a y =3，求a x+y 的值．7．已知4·2a ·2a+1=29，且2a+b=8，求a b 的值．知识点归纳：二、幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。
初二数学整式的除法知识点总结
初二数学整式的除法知识点总结①单项式相除，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式。
②多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
希翼同学们认真学习上面的知识点，相信老师对整式的除法知识点的总结一定能很好的匡助同学们的学习的。
初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希翼同学们很好的掌握下面的.内容。
水平的数轴称为 x 轴或者横轴，竖直的数轴称为 y 轴或者纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④ 原点重合①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；普通情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。
③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。
相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希翼同学们都能考试成功。
《农田里的数学除数是两位数的除法》四年级数学上册教学反思今天我讲了：除数是两位数的除法，感觉教学效果不太好，反思教学过程，感悟颇多。
早就听有经验的老师说过，这堂课不太好上，学生们接受的要慢一些，今天看来确实有一定的难度，本来教学设计就有点生硬、过程无趣，学生迟迟找不到感觉和好的方法，惟独一步一步慢慢引导。
除数是两位数的除法，是小学生学习整数除法的最后阶段，教学重点是确定商的.书写位置，除的顺序及试商的方法，匡助学生解决笔算的算理；难点就是试商。
课上我先让学生回顾除数是一位数除法的计算过程，孩子们能够说出要先从最高位开始除起，最高位不够除，就要看前两位，除到哪一位就把商写在哪一位。
在学习除数是两位数的除法的笔算时，学生已经有了口算的基础，在试商时，学生按老师要求先把想的内容写下来，例如： 24560=？想： 604=240,240 最接近 245，所以商试 4。
《整式的除法》课件
总结词
在整式除法中，利用代数公式可以简化 运算过程，提高计算的准确性。
VS
详细描述
在整式除法中，一些常用的代数公式如平 方差公式、完全平方公式等可以帮助我们 快速解决一些复杂的运算问题。例如，在 计算 (a+b)^2/(a-b) 时，可以利用平方 差公式进行化简，从而得到 (a+b)/(a-b) 的形式。
详细描述
设计一系列简单的整式除法题目，包 括单项式除以单项式、多项式除以单 项式等，旨在帮助学生熟悉整式除法 的基本概念和运算规则。
进阶练习题
总结词
提高运算能力和技巧
详细描述
设计一些稍具难度的整式除法题目，包括需要运用交换律、结合律、分配律等运算规则 的题目，旨在提高学生的运算能力和技巧。
综合练习题
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整式除法的实际应用
在数学问题中的应用
代数方程求解
整式除法在代数方程求解中有着 广泛的应用，如一元二次方程、 一元高次方程等。通过整式除法 ，可以将方程化简，便于求解。
函数图像绘制
在数学函数图像绘制中，整式除法 可以用于计算函数值，从而绘制出 精确的函数图像。
数学分析
在数学分析中，整式除法可以用于 极限、导数和积分的计算，是数学 分析中重要的运算技巧之一。
整式除法运算
在数学中，整式除法运算是一种基本 的代数运算，用于简化代数表达式和 解决代数问题。
整式除法的运算顺序
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先进行括号内的运算；
然后进行乘除运算，最后进行 加减运算；
同级运算按照从左到右的顺序 进行；
先进行乘方运算，再进行乘除 运算，最后进行加减运算。
整式除法的应用场景
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人教版数学八年级上册15.3.2《整式的除法》教案
人教版数学八年级上册15.3.2《整式的除法》教案一. 教材分析《整式的除法》是人教版数学八年级上册第15章第三节的一部分，主要内容包括单项式除以单项式、多项式除以单项式以及多项式除以多项式的运算方法。
这一节内容在数学学习中占据重要地位，是学生进一步学习函数、不等式等数学知识的基础。
通过本节内容的学习，学生能够掌握整式除法的基本运算方法，提高运算能力，并为后续学习打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了整式的加减、乘法等基本运算，具备一定的数学基础。
但学生在进行整式除法运算时，容易出错，对除法运算的理解不够深入。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习困难，通过具体例子引导学生理解整式除法的运算规律，提高学生的运算能力。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握整式除法的基本运算方法，能够熟练地进行整式除法运算。
2.过程与方法目标：通过自主探究、合作交流，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心，使学生感受到数学学习的成就感。
四. 教学重难点1.重点：整式除法的基本运算方法。
2.难点：理解整式除法的运算规律，能够灵活运用整式除法解决实际问题。
五. 教学方法采用“引导探究法”和“合作交流法”，教师引导学生通过观察、分析、归纳等方法，发现整式除法的运算规律，培养学生的问题解决能力。
同时，鼓励学生进行合作交流，分享学习心得，提高学生的沟通能力。
六. 教学准备1.教师准备：教师需熟练掌握整式除法的运算方法，了解学生的学习情况，准备相关教学素材。
2.学生准备：学生需预习整式除法相关内容，了解基本概念，准备参与课堂讨论。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个简单的例子，引导学生回顾整式的加减、乘法运算，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师展示整式除法的例子，引导学生观察、分析，发现整式除法的运算规律。
学生通过自主探究，总结整式除法的基本方法。
整式除法知识点总结
整式除法知识点总结一、整式除法的概念整式是指由字母和数字组成的代数式，包括有理式和无理式。
整式除法是指两个整式相除的运算。
在进行整式除法时，被除数除以除数得到商，商与除数的乘积再与被除数相减后，得到余数为零的整除。
整式除法是代数式的一种运算方法，主要包括多项式的除法和分式的除法。
二、多项式的除法1. 多项式的概念多项式是指由多项式基本运算规律所产生的代数式。
它由有限个单项式相加减而成，如：3x^2+2x-1。
2. 多项式除法的步骤多项式除法的步骤主要包括以下几个步骤：（1）将被除式按照x的幂次从高到低排列。
（2）将除式按照x的幂次从高到低排列。
（3）用被除数的最高次项除以除数的最高次项得到商。
（4）将得到的商与除数相乘后加减，得到的结果与被除式相减，得到新的被除数。
（5）循环进行以上步骤，直至得到余数为零的整除为止。
3. 多项式除法的例子例如：计算多项式的除法（x^3-3x^2+5）÷（x-2）。
（1）将被除数按照x的幂次从高到低排列，得到x^3-3x^2+5。
（2）将除数按照x的幂次从高到低排列，得到x-2。
（3）用被除数的最高次项除以除数的最高次项得到商，得到x^2-2x。
（4）将得到的商与除数相乘后加减，得到的结果与被除式相减，得到新的被除数，得到了余数为4x+5。
（5）得到余数为零的整除。
三、分式的除法1. 分式的概念分式是指分母式不为零的代数式，它包括真分式和假分式，如：a/b。
2. 分式除法的步骤分式的除法主要包括以下步骤：（1）将除数和被除数化为通分形式。
（2）将被除数改写为乘法的倒数。
（3）将乘法的倒数与除数相乘。
（4）化简分式，得到最简形式。
3. 分式除法的例子例如：计算分式的除法（3/x）÷（2/x-1）。
（1）将除数和被除数化为通分形式，得到3/x÷(2-1x)/x=(3/x)*(x/2-x)（2）将被除数改写为乘法的倒数，得到3/x*(x/2-x)（3）将乘法的倒数与除数相乘，得到3/2-x（4）化简分式，得到最简形式，得到3/2-x。
整式的除法——精选推荐
整式的除法整式的乘除⼀、知识结构⼆、幂的运算（⼀）知识点剖析：熟练掌握幂的运算性质，并会⽤符号表⽰⽤字母表⽰运算法则，是准确计算的第⼀步。
1．同底数幂的乘法(幂的乘法→指数相加)(1)注意①底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式．②培养学⽣的观察能⼒，利⽤整体(换元)思想将⼀些问题转化为同底数幂的运算问题，并应⽤相关法则进⾏化简．例如：与，与．③带有负号的幂的运算，培养学⽣先化简符号的习惯．④法则适⽤于三个或三个以上的同底数幂的乘法，即(m，n，p为正整数)．(2)①②③④⑤与的关系不清，(3)逆⽤法则常可以简化运算，是本节的难点．2．幂的乘⽅(幂的乘⽅→指数乘法)（1）应使学⽣在根据幂的意义和同底数幂的乘法法则计算的过程中理解与的不同．（2）遇到负号先化简．（3）推⼴：(m，n，p为正整数)．（4）指数相乘时不要漏乘．（5）同底数幂的乘法、幂的乘⽅及整式加减混合运算时，注意认清结构，明确运算顺序．例：已知，，，⽐较的⼤⼩。
解析：3．积的乘⽅(1)注意①进⾏积的乘⽅运算时，不要漏掉数字因数的乘⽅．如②当底数为多个因数时，不要漏掉某个因式的乘⽅．如；③结果的符号易出现错误．如易忽略“-”号，④进⾏积的乘⽅时，系数不要直接与幂指数相乘．如⑤推⼴：(n为正整数)(2)幂的运算法则的异同：共同点不同点幂的运算法则1、运算中的底数不变；2、法则中的底数和指数可以是数，也可以是式；3、对于含有3个或3个以上的同底数幂相乘，幂(或积)的乘⽅等运算，法则仍成⽴1、同底数幂相乘是指数相加；2、幂的乘⽅是指数相乘；3、积的乘⽅是每个因式分别乘⽅4．幂的运算知识梳理如下：（1）同底数幂的乘法：公式：(a≠0，m，n都是正整数)推⼴：(a≠0，m，n，p均为正整数)（2）幂的乘⽅：公式：(m，n都是正整数)推⼴：(a≠0，m，n，p均为正整数)（3）积的乘⽅公式：(n为正整数)推⼴：(n为正整数)对于这些法则我们想做如下说明：①公式中的底数a可以是具体的数，也可以是代数式．②在做同底数幂的乘法时须注意：只有当底数相同时，指数才可以相加．指数为1，计算时不要遗漏．③在做幂的乘⽅运算时须注意，指数相乘，⽽同底数幂的乘法中是指数相加．④在做积的乘⽅运算时须注意，积的乘⽅要将每⼀个因式(特别是系数)都要乘⽅。
人教版初二数学上册：整式的除法(基础)知识讲解
整式的除法（基础）【学习目标】1. 会用同底数幂的除法性质进行计算．2. 会进行单项式除以单项式的计算．3. 会进行多项式除以单项式的计算． 【要点梳理】【高清课堂399108 整式的除法 知识要点】 要点一、同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即mnm na a a-÷=（a ≠0，m n 、都是正整数，并且m n >）要点诠释：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 要点二、零指数幂任何不等于0的数的0次幂都等于1.即01a =（a ≠0）要点诠释：底数a 不能为0，00无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式. 要点三、单项式除以单项式法则单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.要点诠释：（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式.（2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，单项式除以单项式的结果仍为单项式.要点四、多项式除以单项式法则多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++要点诠释：（1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个单项式除以单项式.（2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化. 【典型例题】类型一、同底数幂的除法1、计算：（1）83x x ÷；（2）3()a a -÷；（3）52(2)(2)xy xy ÷；（4）531133⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【思路点拨】利用同底数幂相除的法则计算．(2)、(4)两小题要注意符号． 【答案与解析】 解：（1）83835x x xx -÷==．（2）3312()a a aa --÷=-=-．（3）5252333(2)(2)(2)(2)8xy xy xy xy x y -÷===．（4）535321111133339-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【总结升华】（1）运用法则进行计算的关键是看底数是否相同．（2）运算中单项式的系数包括它前面的符号．类型二、单项式除以单项式2、计算：（1）342222(4)(2)x y x y ÷； （2）2137323m n m m n xy z x y x y z +⎛⎫÷÷- ⎪⎝⎭；（3）22[()()]()()x y x y x y x y +-÷+÷-； （4）2[12()()][4()()]a b b c a b b c ++÷++．【思路点拨】：（1）先乘方，再进行除法计算．（2）、（3）三个单项式连除按顺序计算．（3）、（4）中多项式因式当做一个整体参与计算． 【答案与解析】解：（1）342222684424(4)(2)1644x y x y x y x y x y ÷=÷=． （2）2137323m n m m n xy z x y x y z +⎛⎫÷÷- ⎪⎝⎭21373211()()()3m m m n n x x x y y y z z +⎡⎤⎛⎫=÷÷-÷÷÷÷÷ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦21432n xy z -=-．（3）22[()()]()()x y x y x y x y +-÷+÷-222()()()()x y x y x y x y =+-÷+÷- 2()()x y x y x y =-÷-=-．（4）2[12()()][4()()]a b b c a b b c ++÷++2(124)[()()][()()]a b a b b c b c =÷+÷++÷+3()33a b a b =+=+．【总结升华】（1）单项式的除法的顺序为：①系数相除；②相同字母相除；③被除式中单独有的字母，连同它的指数作为商的一个因式．（2）注意书写规范：系数不能用带分数表示，必须写成假分数． 举一反三： 【变式】计算：（1）3153a b ab ÷； （2）532253x y z x y -÷；（3）2221126a b c ab ⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （4）63(1010)(210)⨯÷⨯． 【答案】解：（1）33202153(153)()()55a b ab a a b b a b a ÷=÷÷÷==． （2）532252323553(53)()()3x y z x y x x y y z x yz -÷=-÷÷÷=-． （3）22222201111()()332626a b c ab a a b b c ab c ac ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-=-÷-÷÷== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． （4）63633(1010)(210)(102)(1010)510⨯÷⨯=÷÷=⨯．3、（2015春•泾阳县校级月考）金星是太阳系九大行星中距离地球最近的行星，也是人在地球上看到的天空中最漂亮的一颗星．金星离地球的距离为4.2×107千米，从金星射出的光到达地球需要多少时间？（光速为3.0×105千米/秒） 【答案与解析】 解：t=秒，答：从金星射出的光到达地球需要1.4×102秒．【总结升华】本题考查了同底数幂的除法法则，关键是利用时间=路程÷速度这一公式，此题比较简单，易于掌握． 类型三、多项式除以单项式4、计算：（1）324(67)x y x y xy -÷；（2）42(342)(2)x x x x -+-÷-； （3）22222(1284)(4)x y xy y y -+÷-； （4）232432110.3(0.5)36a b a b a b a b ⎛⎫--÷- ⎪⎝⎭． 【答案与解析】解：（1）32432423(67)(6)(7)67x y x y xy x y xy x y xy x y x -÷=÷+-÷=-． （2）42(342)(2)x x x x -+-÷-42[(3)(2)][4(2)][(2)(2)]x x x x x x =-÷-+÷-+-÷-33212x x =-+． （3）22222(1284)(4)x y xy y y -+÷-222222212(4)(8)(4)4(4)x y y xy y y y =÷-+-÷-+÷-2321x x =-+-（4）232432110.3(0.5)36a b a b a b a b ⎛⎫--÷- ⎪⎝⎭22322432110.3(0.5)(0.5)(0.5)36a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=÷-+-÷-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22321533ab a b =-++．【总结升华】（1）多项式除以单项式是转化为单项式除以单项式来解决的．（2）利用法则计算时，不能漏项．特别是多项式中与除式相同的项，相除结果为1．（3）运算时要注意符号的变化． 举一反三：【高清课堂399108 整式的除法 例5】 【变式1】计算：（1）23233421(3)2(3)92xy x x xy y x y ⎡⎤--÷⎢⎥⎣⎦； （2）2[(2)(2)4()]6x y x y x y x +-+-÷． 【答案】解： （1）原式223239421922792x yx x x y y x y ⎛⎫=-÷ ⎪⎝⎭52510428(927)93x y x y x y x xy =-÷=-． （2）原式2222[44(2)]6x y x xy y x =-+-+÷2222(4484)6x y x xy y x =-+-+÷ 2(58)6x xy x =-÷5463x y =-． 【变式2】（2016•江西校级模拟）化简：()2212332x x x x x ⎡⎤-+-÷⎣⎦解：()2212332x x x x x ⎡⎤-+-÷⎣⎦=()32212332x x x x x -+-÷=()322122x x x -÷=24x -附录资料：《三角形》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1.认识三角形并能用符号语言正确表示三角形，理解并会应用三角形三边之间的关系．2.理解三角形的高、中线、角平分线的概念，通过作三角形的三条高、中线、角平分线，提高学生的基本作图能力，并能运用图形解决问题．3.能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.4.通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性，知道四边形没有稳定性，了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的广泛应用．5.了解多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念；掌握多边形内角和及外角和，并能灵活运用公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力. 【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的有关概念和性质 1.三角形三边的关系：定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． 2.三角形按“边”分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形 等边三角形 3.三角形的重要线段：（1）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外. （2）三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形. （3）三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.要点二、三角形的稳定性如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性．要点诠释：(1)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．(3)四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形．要点三、三角形的内角和与外角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．推论：1.直角三角形的两个锐角互余2.有两个角互余的三角形是直角三角形2.三角形外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点四、多边形及有关概念1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.要点诠释：多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.2.正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等．要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形.3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形；(2)n边形共有(3)2n n条对角线．要点五、多边形的内角和及外角和公式1.内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数) ．要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；(2)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数.2.多边形外角和：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.要点诠释：(1)外角和公式的应用：①已知外角度数，求正多边形边数； ②已知正多边形边数，求外角度数. (2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：①n 边形的内角和等于(n －2)·180°(n≥3，n 是正整数)，可见多边形内角和与边数n 有关，每增加1条边，内角和增加180°.要点六、镶嵌的概念和特征1、定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)．这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同. 要点诠释：（1）拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边. (2)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°.(3)只用一种正多边形镶嵌地面，当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就能铺成一个平面图形.事实上，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用. 【典型例题】类型一、三角形的三边关系1. （2016•丰润区二模）若三角形的两条边长分别为6cm 和10cm ，则它的第三边长不可能为（ ）A ．5cmB ．8cmC ．10cmD ．17cm【思路点拨】直接利用三角形三边关系得出第三边的取值范围，进而得出答案． 【答案与解析】解：∵三角形的两条边长分别为6cm 和10cm ， ∴第三边长的取值范围是：4＜x ＜16， ∴它的第三边长不可能为：17cm ． 故选：D ．【总结升华】此题主要考查了三角形三边关系，正确得出第三边的取值范围是解题关键． 【高清课堂：与三角形有关的线段 例1】举一反三【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.(1) 3，4，5； (2) 3，5，9 ； (3) 5，5，8. 【答案】（1）能； （2）不能； （3）能.2.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值范围是_______. 【答案】59c <<【解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c 的取值范围是│2-7│<c<2+7,即 5<c<9．【总结升华】三角形的两边a 、b ，那么第三边c 的取值范围是│a -b│<c<a+b.举一反三【变式】(浙江金华)已知三角形的两边长为4，8，则第三边的长度可以是________(写出一个即可)【答案】5，注：答案不唯一，填写大于4，小于12的数都对．类型二、三角形中重要线段3. (江苏连云港)小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别为4，9，12，如何求这个三角形的面积?”小明提示：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是( ) ．【答案】C【解析】三角形的高就是从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．解答本题首先应找到最长边，再找到最长边所对的顶点．然后过这个顶点作最长边的垂线即得到三角形的高．【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高，并且三条高所在的直线交于一点．这里一定要注意钝角三角形的高中有两条高在三角形的外部．举一反三【变式】如图所示，已知△ABC，试画出△ABC各边上的高．【答案】解：所画三角形的高如图所示．4.如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC ＝8cm，求边AC的长．【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD＝BD，②△BCD的周长比△ACD的周长大3．【答案与解析】解：依题意：△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3．又∵ CD为△ABC的AB边上的中线，∴ AD ＝BD ，即BC-AC ＝3． 又∵ BC ＝8，∴ AC ＝5． 答：AC 的长为5cm ．【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD ＝BD 是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法． 举一反三【变式】如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AD 的中点，且4ABC S △，则S 阴影为________．【答案】1类型三、与三角形有关的角5、（2014春•新泰市期末）已知：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是∠BAC 平分线，∠B=50°，∠DAE=10°， （1）求∠BAE 的度数； （2）求∠C 的度数．【思路点拨】（1）根据AD 是BC 边上的高和∠DAE=10°，求得∠AED 的度数；再进一步根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和求解；（2）根据（1）的结论和角平分线的定义求得∠BAC 的度数，再根据三角形的内角和定理就可求得∠C 的度数． 【答案与解析】 解：（1）∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADE=90°．∵∠ADE+∠AED+∠DAE=180°，∴∠AED=180°﹣∠ADE﹣∠DAE=180°﹣90°﹣10°=80°． ∵∠B+∠BAE=∠AED，∴∠BAE=∠AED﹣∠B=80°﹣50°=30°． （2）∵AE 是∠BAC 平分线，∴∠BAC=2∠BAE=2×30°=60°． ∵∠B+∠BAC+∠C=180°，∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=180°﹣50°﹣60°=70°． 【总结升华】本题主要考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义以及三角形的外角性质． 【高清课堂：与三角形有关的角 例1、】举一反三：【变式】已知，如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.【答案】解：已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A设∠A=x则∠C=∠ABC=2xx+2x+2x=180°解得：x=36°∴∠C=2x=72°在△BDC中， BD是AC边上的高，∴∠BDC=90°∴∠DBC=180°－90°-72°=18°类型四、三角形的稳定性6. 如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即AB、CD)，这样做的数学道理是什么?【答案与解析】解：三角形的稳定性．【总结升华】本题是三角形的稳定性在生活中的具体应用．实际生活中，将多边形转化为三角形都是为了利用三角形的稳定性．类型五、多边形内角和及外角和公式7．一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，它是几边形？【思路点拨】本题实际告诉了这个多边形的内角和是.【答案与解析】设这个多边形是边形，则它的内角和是，∴，解得.∴这个多边形是十二边形.【总结升华】本题是多边形的内角和定理和外角和定理的综合运用. 只要设出边数，根据条件列出关于的方程，求出的值即可，这是一种常用的解题思路.举一反三【变式】（2015•徐州）若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是．【答案】9.解：∵正多边形的一个内角是140°，∴它的外角是：180°﹣140°=40°，边数：360°÷40°=9．类型六、多边形对角线公式的运用8．一个十二边形有几条对角线.【思路点拨】根据多边形对角线条数公式，把边数代入计算即可．【答案与解析】解：∵过十二边形的任意一个顶点可以画9条对角线，∴十二个顶点可以画12×9条对角线，但每条对角线在每个顶点都数了一次，∴实际对角线的条数应该为12×9÷2＝54（条）∴十二边形的对角线共有54条.【总结升华】对于一个n边形的对角线的条数，我们可以总结出规律条，牢记这个公式，以后只要用相应的n的值代入即可求出对角线的条数，要记住这个公式只有在理解的基础之上才能记得牢.举一反三【变式】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（）.A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C;类型七、镶嵌问题9．分别用形状、大小完全相同的①三角形木板；②四边形木板；③正五边形木板；④正六边形木板作平面镶嵌，其中不能镶嵌成地板的是( )A、①B、②C、③D、④【答案】C【总结升华】用多边形组合成平面图形，实质上是相关多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题.。
整式的乘除知识点
整式的乘除知识点整式的乘除是数学中的基础内容之一，它在代数学中扮演着重要的角色。
本文将从整式的定义开始，逐步讨论整式的乘法和除法的相关知识点。
对于初学者来说，希望通过本文的解析，能够更好地掌握整式的乘除运算。
一、整式的定义及基本概念整式由多项式组成，多项式是由若干项按照加法和减法进行运算形成的表达式。
其中项由系数与单项式的乘积构成，单项式是由常数与字母的乘积构成。
在整式中，字母表示未知数或变量，系数表示字母的倍数，常数表示不带字母的数。
而整式的次数是指整式中单项式的最高次幂。
例如，3x² + 2xy - 5是一个三项式，其中3、2、-5为系数，x²、xy 为单项式。
二、整式的乘法运算整式的乘法运算是指将两个或多个整式相乘的过程。
具体运算规则如下：1. 乘法分配律：整式A、B、C相乘，可以先将A与B的每一项相乘，然后将所得结果相加（或相减），再与C的每一项相乘，最后将所得结果相加（或相减）。
2. 同底数幂相乘：若整式中出现了同样字母的多项式相乘，只需将它们的次数相加。
3. 字母之间相乘：在整式的乘法中，字母之间相乘的结果仍然是单项式。
三、整式的除法运算整式的除法运算是指将一个整式除以另一个整式的过程。
在进行整式的除法运算时，首先要明确整除和除式的概念。
整除是指当一个整式A除以整式B时，如果存在另一个整式C，使得A=BC成立，则称B整除A，记作B|A。
除式是指进行整除的除数。
在整式的除法运算中，可以利用带余除法的思想进行，具体步骤如下：1. 对于整式A除以整式B，不妨设A的次数为m，B的次数为n （m≥n）。
2. 设立商式Q和余式R，使得A=QB+R，其中Q的次数为m-n，R 的次数小于n。
3. 再次利用带余除法，将B除以R，得到商式和余式。
4. 重复以上步骤，直到余式的次数小于除式，停止运算。
四、整式的乘除综合运算整式的乘除运算经常结合使用，可以通过以下例子加深理解。
例子：将 (5x² + 2xy) × (3x - 4) ÷ (x + 2) 进行计算。
整式的除法解题方法与技巧例题与练习题
整式的除法◆疑难解答一、同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减.a m÷a n=a m-n（a≠0，m，n都是正整数，并且m＞n）注意：（1）底数a可以是单独的一个数或字母，也可以是一个单项式或多项式但a≠0（2）同底数幂的除法与同底数幂的乘法互为逆运算，可以相互检验；（3）运用时，须注意指数为“1”的情况；二、零指数幂和负整指数幂三、整式的除法1.单项式除以单项式单项式相除法则：把系数和同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除数里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
注意：（1）系数相除：系数包括其前面的符号，同号得_______，异号得________；（2）同底数幂相除：__________不变，__________相减；（3）只在被除数出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式，不能漏掉；（4）要注意运算顺序，有乘方先算乘方，有括号先算括号，同级运算从左到右依次进行；2.多项式除以单项式多项式除以单项式，先用多项式的每一项除以单项式的每一项，再把所得的商相加。
注意：（1）多项式的每一项都包括它前面的符号要带着符号与单项式相除；（2）多项式除以单项式所得的商的项数与该多项式的项数相同，防止漏除现象；（3）多项式除以单项式的运算，与单项式乘以多项式的运算是互逆运算，可以相互检验；3.多项式除以多项式：先将被除式与除式按某个字母降幂排列（缺失项用“0”代替），运用竖式可完成。
◆例析整式除法注意点一、注意与同底数幂的乘法法则类比例1：计算（1）x5.x2 （2）x5÷x2二、注意指数的运算不能与系数的运算混为一谈例2：8m4÷2m2三、注意运算时底数要保持一致例3：－a4÷(-a)2四、注意符号例4：计算 -18a4b3c÷2ab2五、注意运算顺序例5：[(a+b)(a-b)+(a+b)2+2a(a+b)] ÷(- 14a)◆多项式除以单项式法则精析一、除法不具有分配律m÷(a+b+c)≠m÷a+m÷b+m÷c二、假如多项式除以单项式不时不能整除，那么多项式除以单项式的运算法则仍然成立。
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整式的除法知识点及
习题
整式的除法
同底数幂的除法（第一课时）
学习目标
1.理解和掌握同底数幂的除法和运算法则.
2.运用同底数幂的除法和运算法则，熟练、准确地进行计算.提高表达能力。
3.感受数学法则、公式的简洁美与和谐美。
学习重点
准确、熟练地运用法则进行计算.
学习难点
根据乘、除互为逆运算关系得出法则.
学习过程
一、预习交流，学情检测
复习完成：
1.同底数幂的乘法法则是：
____mnaag
（mn、都是正整数）
2．根据同底数幂的乘法法则计算：
81635
122;255;gg
5736
31010;4;aagg
二、合作研讨，探究解疑
1．问题：一种数码照片的文件大小是28K，一个存储量为26M（1M=210K）•的移
动存储器能存储多少张这样的数码照片？
2．怎样进行计算：_____mnaa（0,a,mn都是正整数，并且mn）。
3.探究：根据乘法和除法互为逆运算，由上面“复习完成”第2题的结果填空：
168122=;
53
255=;
7531010=;
63
4=.aa
4. 观察上述结果，看看计算结果有什么规律，并猜想：_____.mnaa对于除法
运算，有没有什么特殊的要求呢？这里的底数a有什么条件限制？mn、呢？
5.归纳：同底数幂的除法法则
________mnaa
（0,a,mn都是正整数，并且mn）。
文字语言：同底数幂相除，底数 ，指数 。
0指数幂的意义
6.探究：先分别利用除法的意义填空，再利用mnmnaaa的方法计算，你能得出
什么结论？
2233
133;21010;30.mmaaa
7.验证：
0
1,,_____0.mmmmaaaaaaaa
Q而
8.归纳：规定0_____0.aa
即：任何 0的数的0次幂都等于 .
三、反思总结，测评反馈
1.计算32aa的结果是 （ ）
5.Aa .1Ba .Ca 2
.Da
2.若021x成立，则x满足（ ）
.2Ax .2Bx .1Cx .0Dx
3．．下列计算正确的是．．．．．．．．．( ) ．．
52
3
.Aaaa
62623.Bxxxx
7
52
.Caaa 862.Dxxx
4．下列计算正确的是( )
2
36
.Aaa
22.Baaag
2.Caaa 632
.Daaa
5. 填空：
（1）
611
xx
；
（2）
24
212
1
；
（3）
aa
5
；
（4）
27
xyxy
；
（．5．）．42abab ；．
6. 计算：
（1）
52
22
;xx
(2) 2332;aa
（3）
3
2
2
.abab
（4）
3
225
;xxxg
7.已知1米=910纳米，某种病毒的直径为100纳米，多少个这种病毒能排成1毫米
长？
问题拓展
1.已知2,32,mnab求
3102mn
的值。
（点拨：公式
mnmnaaa也可以逆用成mnmnaaa
来解决一些问题。）
2. 已知
162847413•
mmm
，求m的值。
整式的除法（第二课时）
时间：2013年10月27日
学习目标
1、理解和掌握整式除法的运算法则.
2、从探索整式除法的运算法则的过程中，获得成功的体验，积累研究数学问题
的经验。
3、运用整式除法的运算法则，熟练、准确地进行计算.发展有条理的思考及表达
能力。
学习重点
整式除法运算法则及其应用。
学习难点
探索整式除法的运算法则过程。
学习过程
一、预习交流，学情检测
复习完成：
1.填空：
(1)224_____;aag(2)232_____;xyxg
(3) 22334_____;abaxg
2.填空：（1）_____;mabg
（2）_____;aabg
(3)22_______.xyxyg
二、合作研讨，探究解疑
1.问题：木星的质量约是1．90×10
24吨．地球的质量约是5.08×1021
吨．•你知道木
星的质量约为地球质量的多少倍吗？
2.怎样进行单项式除以单项式，多项式除以单项式，其法则是什么？
（一）单项式除以单项式的法则：
1.根据除法与乘法互为逆运算，由“复习完成”第1题的结果填空：
（1）
3
82_____;aa
（2）
3
63___;xyxy
（3）
3232
123____.abxab
2.归纳：单项式除以单项式的法则
单项式相除，把 与 分别相除作为商的因式，对于只在被除式
里含有的 ，则连同它的指数作为商的一个因式．
（二）多项式除以单项式的法则：
1. 根据除法与乘法互为逆运算
（1）_____;ambmm
（2）
2
____;aaba
（3）
22
422_______.xyxyxy
2.计算：
（4）_____;ammbmm
(5) 2____;aaaba
（6）224222_______.xyxyxyxy
对比（1）与（4）、（2）与（5）、（3）与（6）的计算结果，看看发现什么结
论？
3. 归纳：多项式除以单项式的法则
多项式除以单项式，先把这个多项式的 除以这个单项式，再把所得的
_____ 。
三、反思总结，测评反馈
1．计算322xx的结果是 （ ）
.Ax .2Bx 5.2Cx 6.2Dx
2．下列计算中，错误
．．
的是 ( )
333.2Aaaa 235
.Baaag
2
39
.Caa
33.22Daa
3.计算：（1）32122______.xx
（2）
32
12633______;xxxx
4.一颗人造地球卫星的速度是3810米/秒，一架喷气式飞机的速度是2510米/秒，
试问：这颗人造地球卫星的速度是这架喷气式飞机的速度的 倍。
5.计算：
（1）
432682;xxx （2） 322
854;ababab
（3）
32
222
7;533yyyy
（4）32291233.abababab
6.选作：
先化简，再求值：
2
2224,ababbababb
其中
1
,2.2ab
*问题拓展
已知210,xy求：22224xyxyyxyy的值。