中考数学专题复习专题三方案设计型问题备考演练
中考数学二轮复习真题演练：方案设计型问题
二轮复习真题演练方案设计型问题1．（2013•襄阳）在一张直角三角形纸片中，分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三角形，得到如图所示的直角梯形，则原直角三角形纸片的斜边长是．1．或2．（2013•大连）如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高21m的建筑物CD的顶端D 处测得河岸B处的俯角为45°，测得河对岸A处的俯角为30°（A、B、C在同一条直线上），则河的宽度AB约为m（精确到0.1m）．， 1.73）2．15.33．（2013•张家界）如图，在方格纸上，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形，请按要求完成下列操作：先将格点△ABC绕A点逆时针旋转90°得到△A1B1C1，再将△A1B1C1沿直线B1C1作轴反射得到△A2B2C2．3．解：如图所示：4．（2013•荆州）如图，是一个4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1．请你在网格中以左上角的三角形为基本图形，通过平移、对称或旋转变换，设计一个精美图案，使其满足：①既是轴对称图形，又是以点O为对称中心的中心对称图形；②所作图案用阴影标识，且阴影部分面积为4．4．解：如图所示：答案不唯一．5．（2013•呼和浩特）如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地经过C地沿折线A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC=10千米，∠A=30°，∠B=45°．则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果保留根号）5．解：过C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，∵AC=10，∠A=30°，∴DC=ACsin30°=5，AD=ACcos30°，在Rt△BCD中，∵∠B=45°，∴BD=CD=5，，则用AC+BC-（AD+BD）-（）（千米）．答：汽车从A地到B地比原来少走（）千米．6．（2013•重庆）如图，在边长为1的小正方形组成的10×10网格中（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），四边形ABCD在直线l的左侧，其四个顶点A、B、C、D分别在网格的格点上．（1）请你在所给的网格中画出四边形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′和四边形ABCD关于直线l对称，其中点A′、B′、C′、D′分别是点A、B、C、D的对称点；（2）在（1）的条件下，结合你所画的图形，直接写出线段A′B′的长度．6．解：（1）所作图形如下：（2）=7．（2013•天门）某商场为方便顾客使用购物车，准备将滚动电梯的坡面坡度由1：1.8改为1：2.4（如图）．如果改动后电梯的坡面长为13米，求改动后电梯水平宽度增加部分BC的长．7．解：在Rt △ADC 中，∵AD ：DC=1：2.4，AC=13，由AD 2+DC 2=AC 2，得AD 2+（2.4AD ）2=132．∴AD=±5（负值不合题意，舍去）． ∴DC=12．在Rt △ABD 中，∵AD ：BD=1：1.8，∴BD=5×1.8=9．∴BC=DC-BD=12-9=3．答：改动后电梯水平宽度增加部分BC 的长为3米．8．（2013•邵阳）雅安地震后，政府为安置灾民，从某厂调拨了用于搭建板房的板材5600m 2和铝材2210m ，计划用这些材料在某安置点搭建甲、乙两种规格的板房共100间，若搭建一间甲型板房或一间乙型板房所需板材和铝材的数量如下表所示：请你根据以上信息，设计出甲、乙两种板房的搭建方案．8．解：设甲种板房搭建x 间，则乙种板房搭建（100-x ）间，根据题意得：4060(100)56003020(100)2210x x x x +-≤⎧⎨+-≤⎩， 解得：20≤x≤21，x 只能取整数，则x=20，21，共有2种搭建方案，方案1甲种板房搭建20间，乙种板房搭建80间，方案2甲种板房搭建21间，乙种板房搭建79间．9．（2013•铁岭）如图所示，某工程队准备在山坡（山坡视为直线l ）上修一条路，需要测量山坡的坡度，即tanα的值．测量员在山坡P 处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C 的仰角为37°，塔底B 的仰角为26.6°．已知塔高BC=80米，塔所在的山高OB=220米，OA=200米，图中的点O 、B 、C 、A 、P 在同一平面内，求山坡的坡度．（参考数据sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）9．解：如图，过点P作PD⊥OC于D，PE⊥OA于E，则四边形ODPE为矩形．在Rt△PBD中，∵∠BDP=90°，∠BPD=26.6°，∴BD=PD•tan∠BPD=PD•tan26.6°；在Rt△CBD中，∵∠CDP=90°，∠CPD=37°，∴CD=P D•tan∠CPD=PD•tan37°；∵CD-BD=BC，∴PD•tan37°-PD•tan26.6°=80，∴0.75PD-0.50PD=80，解得PD=320，∴BD=PD•tan26.6°≈320×0.50=160，∵OB=220，∴PE=OD=OB-BD=60，∵OE=PD=320，∴AE=OE-OA=320-200=120，∴tanα=60120PEAE=0.5，∴α≈26.6°．10．（2013•宿迁）某公司有甲种原料260kg，乙种原料270kg，计划用这两种原料生产A、B两种产品共40件．生产每件A种产品需甲种原料8kg，乙种原料5kg，可获利润900元；生产每件B种产品需甲种原料4kg，乙种原料9kg，可获利润1100元．设安排生产A种产品x件．（2）安排生产A 、B 两种产品的件数有几种方案？试说明理由；（3）设生产这批40件产品共可获利润y 元，将y 表示为x 的函数，并求出最大利润．10．解：（1）表格分别填入：A 甲种原料8x ，B 乙种原料9（40-x ）；（2）根据题意得，84(40-)26059(40-)270x x x x a +≤⎧⎨+≤⎩①②，由①得，x≤25，由②得，x≥22.5，∴不等式组的解集是22.5≤x≤25，∵x 是正整数，∴x=23、24、25，共有三种方案；方案一：A 产品23件，B 产品17件，方案二：A 产品24件，B 产品16件；方案三：A 产品25件，B 产品15件；（3）y=900x+1100（40-x ）=-200x+44000，∵-200＜0，∴y 随x 的增大而减小，∴x=23时，y 有最大值，y 最大=-200×23+44000=39400元．11．（2013•贺州）如图，小明在楼上点A 处测量大树的高，在A 处测得大树顶部B 的仰角为25°，测得大树底部C 的俯角为45°．已知点A 距地面的高度AD 为12m ，求大树的高度BC ．（最后结果精确到0.1）11．解：过A 作AE ⊥BC 于E ，则四边形ADCE 是矩形，CE=AD=12m ．在Rt△ACE中，∵∠EAC=45°，∴AE=CE=12m，在Rt△AEB中，∠BAE=25°，∴BE=AE•tan25°≈12×0.47=5.64m．∴BC=BE+CE≈5.64+12≈17.6．答：大树的高度约为17.6m．点评：此题考查了仰角与俯角的知识．此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．12．（2013•遵义）2013年4月20日，四川雅安发生7.0级地震，给雅安人民的生命财产带来巨大损失．某市民政部门将租用甲、乙两种货车共16辆，把粮食266吨、副食品169吨全部运到灾区．已知一辆甲种货车同时可装粮食18吨、副食品10吨；一辆乙种货车同时可装粮食16吨、副食11吨（1）若将这批货物一次性运到灾区，有哪几种租车方案？（2）若甲种货车每辆需付燃油费1500元；乙种货车每辆需付燃油费1200元，应选（1）中的哪种方案，才能使所付的费用最少？最少费用是多少元？12．解：（1）设租用甲种货车x辆，租用乙种货车为（16-x）辆，根据题意得，1816(16-)2661011(16-)169x xx x a+≥⎧⎨+≥⎩①②，由①得，x≥5，由②得，x≤7，所以，5≤x≤7，∵x为正整数，∴x=5或6或7，因此，有3种租车方案：方案一：组甲种货车5辆，乙种货车11辆；方案二：组甲种货车6辆，乙种货车10辆；方案三：组甲种货车7辆，乙种货车9辆；（2）方法一：由（1）知，租用甲种货车x辆，租用乙种货车为（16-x）辆，设两种货车燃油总费用为y元，由题意得，y=1500x+1200（16-x），=300x+19200，∵300＞0，∴当x=5时，y有最小值，y最小=300×5+19200=20700元；方法二：当x=5时，16-5=11，5×1500+11×1200=20700元；当x=6时，16-6=10，6×1500+10×1200=21000元；当x=7时，16-7=9，7×1500+9×1200=21300元；答：选择（1）中的方案一租车，才能使所付的费用最少，最少费用是20700元．13．（2013•黑龙江）为了落实党中央提出的“惠民政策”，我市今年计划开发建设A、B两种户型的“廉租房”共40套．投入资金不超过200万元，又不低于198万元．开发建设办公室预算：一套A型“廉租房”的造价为5.2万元，一套B型“廉租房”的造价为4.8万元（1）请问有几种开发建设方案？（2）哪种建设方案投入资金最少？最少资金是多少万元？（3）在（2）的方案下，为了让更多的人享受到“惠民”政策，开发建设办公室决定通过缩小“廉租房”的面积来降低造价、节省资金．每套A户型“廉租房”的造价降低0.7万元，每套B 户型“廉租房”的造价降低0.3万元，将节省下来的资金全部用于再次开发建设缩小面积后的“廉租房”，如果同时建设A、B两种户型，请你直接写出再次开发建设的方案．13．解：（1）设建设A型x套，则B型（40-x）套，根据题意得，5.2 4.8(40-)1985.2 4.8(40-)200x xx x+≥⎧⎨+≤⎩①②，解不等式①得，x≥15，解不等式②得，x≤20，所以，不等式组的解集是15≤x≤20，∵x为正整数，∴x=15、16、17、18、19、20，答：共有6种方案；（2）设总投资W万元，建设A型x套，则B型（40-x）套，W=5.2x+4.8×（40-x）=0.4x+192，∵0.4＞0，∴W随x的增大而增大，∴当x=15时，W最小，此时W最小=0.4×15+192=198万元；（3）设再次建设A、B两种户型分别为a套、b套，则（5.2-0.7）a+（4.8-0.3）b=15×0.7+（40-15）×0.3，整理得，a+b=4，a=1时，b=3，a=2时，b=2，a=3时，b=1，所以，再建设方案：①A型住房1套，B型住房3套；②A型住房2套，B型住房2套；③A型住房3套，B型住房1套．14．（2013•资阳）钓鱼岛历来是中国领土，以它为圆心在周围12海里范围内均属于禁区，不允许它国船只进入，如图，今有一中国海监船在位于钓鱼岛A正南方距岛60海里的B处海域巡逻，值班人员发现在钓鱼岛的正西方向52海里的C处有一艘日本渔船，正以9节的速度沿正东方向驶向钓鱼岛，中方立即向日本渔船发出警告，并沿北偏西30°的方向以12节的速度前往拦截，期间多次发出警告，2小时候海监船到达D处，与此同时日本渔船到达E处，此时海监船再次发出严重警告．（1）当日本渔船受到严重警告信号后，必须沿北偏东转向多少度航行，才能恰好避免进入钓鱼岛12海里禁区？（2）当日本渔船不听严重警告信号，仍按原速度，原方向继续前进，那么海监船必须尽快到达距岛12海里，且位于线段AC上的F处强制拦截渔船，问海监船能否比日本渔船先到达F处？（注：①中国海监船的最大航速为18节，1节=1海里/小时；②参考数据：sin26.3°≈0.44，sin20.5°≈0.35，sin18.1°≈0.31≈1.4）14．解：（1）过点E作圆A的切线EN，连接AN，则AN⊥EN，由题意得，CE=9×2=18海里，则AE=AC-CE=52-18=34海里，∵sin∠AEN=1234ANAE≈0.35，∴∠AEN=20.5°，∴∠NEM=69.5°，即必须沿北偏东至少转向69.5°航行，才能恰好避免进入钓鱼岛12海里禁区．（2）过点D 作DH ⊥AB 于点H ，由题意得，BD=2×12=24海里，在Rt △DBH 中，DH=12BD=12海里，海里，∵AF=12海里，∴DH=AF ，∴DF ⊥AF ，此时海监船以最大航速行驶，海监船到达点F 的时间为：6018818DFAB BH --==≈2.2小时；渔船到达点F 的时间为：52-18-1299EF ==2.4小时，∵2.2＜2.4，∴海监船比日本渔船先到达F 处．。
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跟踪练习
1．假期到了，17名女教师去外地培训，住宿时2人间和3人间可 供租住，每个房间都要住满，她们有几种租住方案
(C ) A．5种 B．4种 C．3种 D．2种
[解析] 设住3人间的有x间，住2人间的有y间，则3x＋2y＝17， 因为2y是偶数，17是奇数， 所以3x只能是奇数，即x必须是奇数，
，答：A
种树苗每株
8
元，B
种树苗每株
6
元
x＋2y＝20
(2)设 A 种树苗购买 a 株，则 B 种树苗购买(360－a)株，共需要的费用为 W 元，由题
意，得a≥12（360－a）① ，由①，得 a≥120.由②，得 W＝2a＋2160.∵k＝2＞0， W＝8a＋6（360－a）②
∴W 随 a 的增大而增大，∴a＝120 时，W 最小＝2400，∴B 种树苗为：360－120＝240 棵．∴最省的购买方案是：A 种树苗购买 120 棵，B 种树苗购买 240 棵．
解：方案 1 最后得分：110×(3.2＋7.0＋7.8＋3×8＋3×8.4＋9.8)
＝7.7；方案 2 最后得分：18×(7.0＋7.8＋3×8＋3×8.4)＝8；方案 3 最后得分：8；方案 4 最后得分：8 或 8.4
(2)根据(1)中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为 这个同学演讲的最后得分．
(3)由于 W＝－(x－140)2＋1600，二次函数图象开口向 下，有最大值，故当 x＝140 时，有最大利润 1600 元．
【解题方法点析】 这类经济方案设计题一般都是利用一次函数、二次函数或不 等式解决问题．对于决策性问题，要注意利用分类讨论法选 择最佳方案．
解：(1)由函数图象知 y 是 x 的一次函数， 设 y＝kx＋b(k≠0)， ∵点(130，50)，(150，30)在 y＝kx＋b 的图象上，
九年级数学方案设计型专题复习
数学：方案设计型专题复习（苏科版九年级）【考点导航】方案设计型问题是近几年中考中兴起的一种新题型，它通过设置一个实际问题情景，给出几种方案让考生通过计算选取最佳方案，或给出设计要求，让考生自己设计方案，由于方案不止一种，因而这类题又具有开放型题的特点．方案决策型问题考查考生的数学应用意识，命题的背景广泛，考生自由施展才华的空间大，因此倍受命题者的青睐． 【答题锦囊】例１ 某学校举行演讲比赛，选出了10名同学担任评委，并事先拟定从如下4个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分（满分为10分）： 方案1 所有评委所给分的平均数．方案 2 在所有评委所给分中，去掉一个最高分和一个最低分，然后再计算其余给分的平均数．方案3 所有评委所给分的中位数． 方案4 所有评委所给分的众数．为了探究上述方案的合理性，先对某个同学的演讲成绩进行了统计实验．下面是这个同学的得分统计图：（1）分别按上述4个方案计算这个同学演讲的最后得分；（2）根据（1）中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演讲的最后得分．【思路点拨】本题考查考生利用所学的统计知识进行方案设计的能力．借助统计图，计算出平均数、中位数和众数的概念．结合实际情况对四种方案作出合理的选择． [标准解答]（1）方案1最后得分：1(3.27.07.83838.49.8)7.710+++⨯+⨯+=； 方案2最后得分： 1(7.07.83838.4)88++⨯+⨯=； 方案3最后得分：8；方案4最后得分：8或8.4．（2）因为方案1中的平均数受极端数值的影响，不能反映这组数据的“平均水平”， 所以方案1不适合作为最后得分的方案．因为方案4中的众数有两个，众数失去了实际意义，所以方案4不适合作为最后得分的方案．例2 某小区有一长100m ，宽80cm 的空地，现将其建成花园广场，设计图案如图1，分数阴影区域为绿化区(四块绿化区是全等矩形)，空白区域为活动区，且四周出口一样宽，宽度不小于50m ，不大于60m ．预计活动区每平方米造价60元，绿化区每平方米造价50元．(1)设一块绿化区的长边为xm ，写出工程总造价y 与x 的函数关系式(写出x 的取值范围)； (2)如果小区投资46.9万元，问能否完成工程任务，若能，请写出x 为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由．【思路点拨】此类题运用学过的函数和方程知识进行方案设计．在第（1）小题中，要先用含x 的代数式分别表示出阴影区域和空白区域的面积；第（2）小题是一元二次方程根的情况判别，由于ac b 42-＞0，所以方程469000480000400402=++-x x 有实数根．再根据条件“宽度不小于50m ，不大于60m ”，可写出工程的三种方案．[标准解答](1)∵出口宽为x 210-， ∴一块绿地的短边为 ()[]1021008021-=--x x ∴y=()[]104800060)10(450--⨯+-⨯x x x x x x x x 2400240480000200020022+-+-=． ∴)2520(480000400402≤≤++-=x x x y ． (2)∵469000480000400402=++-x x ， ∴0275102=--x x ． ∴232010±=x ．=3105±（负值舍去）．∴32.22≈x ∴投资46.9万元能完成工程任务，方案一、一块矩形绿地的长为23米，宽为13米； 方案二、一块矩形绿地的长为24米，宽为14米； 方案三、一块矩形绿地的长为25米，宽为15米．例3 某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共有100件．学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李．（1）设租用甲种汽车x 辆，请你帮助学校设计所有可能的租车方案；（2）如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，请你选择最省钱的一种租车方案． 【思路点拨】此类题首先要给出多种方案，在此基础上找最佳方案，一种情况是如果方案是有限几个，可以一一计算结果，再比较．另一种情况，如果方案较多，就应该将此题转化成函数或不等式问题进行求解．本题中总费用为W ＝2000x ＋1800（8-x ）=200x+14400．由函数性质可得出当x ＝5时，W 最小．由于方案只有两种，也可以直接计算出两种方案中的费用.图1[标准解答]（1）由租用甲种汽车x 辆，则租用乙种汽车(8)x -辆．由题意得：4030(8)2901020(8)100x x x x +-⎧⎨+-⎩≥≥解得：56x ≤≤ 即共有2种租车方案：第一种是租用甲种汽车5辆，乙种汽车3辆； 第二种是租用甲种汽车6辆，乙种汽车2辆．（2）第一种租车方案的费用为520003180015400⨯+⨯=元； 第二种租车方案的费用为620002180015600⨯+⨯=元 ∴第一种租车方案更省费用．.例4 某商店需要购进一批电视机和洗衣机，根据市场调查，决定电视机进货量不少于洗衣机的进货量的一半．电视机与洗衣机的进价和售价如下表：类 别 电视机 洗衣机 进价（元/台） 1800 1500 售价（元/台） 2000 1600计划购进电视机和洗衣机共100台，商店最多可筹集资金161 800元．（1）请你帮助商店算一算有多少种进货方案？（不考虑除进价之外的其它费用） （2）哪种进货方案待商店销售购进的电视机与洗衣机完毕后获得利润最多？并求出最多利润．（利润＝售价－进价） 【思路点拨】“最好、最省、最大、最低”等优化设计问题常常与函数的性质和不等式知识有关．解答本题时，需要考生仔细阅读题目中的条件，构建函数和不等式的模型，第（2）小题可归结为求二次函数最值． [标准解答]（1）设商店购进电视机x 台，则购进洗衣机（100－x ）台，根据题意，得1(100),218001500(100)161800.x x x x ⎧≥-⎪⎨⎪+-≤⎩ 解不等式组，得1333≤x ≤1393．即购进电视机最少34台，最多39台， 商店有6种进货方案．（2）设商店销售完毕后获利为y 元， 根据题意，得y ＝（2000－1800）x ＋(1600－1500)(100－x )＝100x ＋10000． ∵ 100＞0， ∴ 当x 最大时，y 的值最大．即当x ＝39时，商店获利最多为13900元．例５ 有甲、乙两家通迅公司，甲公司每月通话的收费标准如图2所示；乙公司每月通话收费标准如表一所示．表一（1）观察图2，甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费金额是____元；甲公司用户通话100分钟以后，每分钟的通话费为_________元；（2）李女士买了一部手机，如果她的月通话时间不超过100分钟，她选择哪家通迅公司更合算？如果她的月通话时间超过100分钟，又将如何选择？ 【思路点拨】这是一道最佳方案设计题，要求考生运用所学知识选择最优方案，通常要建立一次函数模型来解决．第（1）小题要求考生会识图，根据图象求出一次函数的关系式，第（2）小题选择哪家通迅公司更合算，一般分三种情况讨论：12y y =，12y y >，12y y <．[标准解答]（1）20；0.2（2）通话时间不超过100分钟选甲公司合算．设通话时间为t 分钟（100t >），甲公司用户通话费为1y 元，乙公司用户通话费为2y 元． 则1200.2(100)0.2y t t=+-=，2250.15y t =+．当12y y = 即0.2250.15t t =+时，500t =．当12y y > 即0.2250.15t t >+时，500t >． 当12y y < 即0.2250.15t t <+时，500t <．答：通话时间不超过500分钟选甲公司；500分钟选甲、乙公司均可；超过500分钟选乙公司．【中考预测】图2⒈某农场计划建一个养鸡场，为了节约材料，鸡场一边靠着原有的一堵墙(墙足够长)，另外的部分用30米的竹篱笆围成，现有两种方案：①围成一个矩形(如图3左)；②围成一个半圆形(如图3右)．设矩形的面积为S 1平方米，宽为x 米，半圆形的面积为S 2平方米，半径为r 米，请你通过计算帮助农场主选择一个围成区域面积最大的方案(π≈3)．⒉小明和小亮用如下的同一个转盘进行“配紫色”游戏．游戏规则如下：连续转动两次转盘，如果两次转盘转出的颜色相同或配成紫色（若其中一次转盘转出蓝色，另一次转出红色，则可配成紫色），则小明得1分，否则小亮得1分．你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由；若不公平，请你修改规则使游戏对双方公平．⒊某商场设计了两种促销方案：第一种是顾客在商场消费每满200元就可以从一个装有100个完全相同的球(球上分别标有数字1，2，……100)的箱子中随机摸出一个球(摸后放回)．若球上的数字是88，则返购物券500元；若球上的数字是11或77，则返购物券300元；若球上的数字能被5整除，则返购物券5元；若是其它数字，则不返购物券．第二种是顾客在商场消费每满200元直接获得购物券15元．估计促销期间将有5000人次参加活动．请你通过计算说明商家选择哪种促销方案合算些？图3⒋在社会主义新农村建设中，李叔叔承包了家乡的50亩荒山．经过市场调查，预测水果上市后A种水果每年每亩可获利0.3万元，B种水果每年每亩可获利0.2万元，李叔叔决定在承包的山上种植A、B两种水果．他了解到需要一次性投入的成本为：A种水果每亩1万元，B种水果每亩0.9万元．设种植A种水果x亩，投入成本总共y万元．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若李叔叔在开发时投入的资金不超过47万元，为使总利润每年不少于11．8万元，应如何安排种植面积（亩数x取整数）？请写出获利最大的种植方案．⒌我市某镇组织20辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共100吨到外地销售．按计划，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满。
中考数学复习《方案设计型问题》
方案设计型问题一、中考专题诠释方案设计型问题，是指根据问题所提供的信息，运用学过的技能和方法，进行设计和操作，然后通过分析、计算、证明等，确定出最佳方案的一类数学问题。
随着新课程改革的不断深入，一些新颖、灵活、密切联系实际的方案设计问题正越来越受到中考命题人员的喜爱，这些问题主要考查学生动手操作能力和创新能力，这也是新课程所要求的核心内容之一。
二、解题策略和解法精讲方案设计型问题涉及生产生活的方方面面，如：测量、购物、生产配料、汽车调配、图形拼接等。
所用到的数学知识有方程、不等式、函数、解直角三角形、概率和统计等知识。
这类问题的应用性非常突出，题目一般较长，做题之前要认真读题，理解题意，选择和构造合适的数学模型，通过数学求解，最终解决问题。
解答此类问题必须具有扎实的基础知识和灵活运用知识的能力，另外，解题时还要注重综合运用转化思想、数形结合的思想、方程函数思想及分类讨论等各种数学思想。
三、中考考点精讲考点一：设计测量方案问题这类问题主要包括物体高度的测量和地面宽度的测量。
所用到的数学知识主要有相似、全等、三角形中位线、投影、解直角三角形等。
图示测得数据CD=6.9m，∠AC G=22°，∠BCG=13°，EF=10m，∠AEB=32°，∠AFB=43°参考数据sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40sin13°≈0.22，cos13°≈0.97tan13°≈0.23sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93请你选择其中的一种方法，求教学楼的高度（结果保留整数）对应训练1．如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为3米，台阶AC的坡度为1：3（即AB：BC=1：3），且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度（侧倾器的高度忽略不计）．考点二：设计搭配方案问题这类问题不仅在中考中经常出现，大家在平时的练习中也会经常碰到。
中考数学复习方案设计专题(最新整理)
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方案设计专题方案设计问题通常以社会生产和生活为背景,要求通过运用所学知识设计出最科学、最合理的方案。
综合考查了学生的阅读理解能力、分析推理能力、数据处理能力、文字概括能力、书面表达能力。
一、设计搭配方案搭配方案问题一般与交通动输,安排车辆,工程施工等问题相联系，解此类问题时,需要将实际问题转化为方程（组)，不等式（组）的问题，通过寻找题目中的相等（或不等）关系求解，确定出符合条件方案．例1 (2015•齐齐哈尔）母亲节前夕,某淘宝店主从厂家购进A,B两种礼盒，已知A,B两种礼盒的单价比为2∶3，单价和为200元．（1）求A，B两种礼盒的单价分别是多少元?（2）该店主购进这两种礼盒恰好用去9600元，且购进A种礼盒最多36个，B种礼盒的数量不超过A种礼盒数量的2倍,共有几种进货方案？分析：（1)根据“A，B两种礼盒的单价比为2∶3，单价和为200元”,列方程求解即可;（2)可利用方程和不等式结合解决这一问题：根据“两种礼盒恰好用去9600元"列出方程,再利用“A种礼盒最多36个”和“B种礼盒的数量不超过A种礼盒数量的2倍"这两个不等关系求出进货方案。
解：(1）设A种礼盒单价为2x元，B种礼盒单价为3x元，依据题意，得2x+3x=200,解得x=40.则2x=80,3x=120.答：A种礼盒单价为80元,B种礼盒单价为120元．(2）设购进A 种礼盒a 个，B 种礼盒b 个，依据题意,得.9600120b 80a =+，整理得24032=+b a ，即8032+-=a b ， 又因为⎩⎨⎧≤≤a b a 236可得⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤a a a 2803236,解得3630≤≤a ． 因为a ，b 的值均为整数，所以a 的值为30，33，36。
中考数学《第37讲：方案设计型问题》总复习讲解含真题分类汇编解析
第37讲方案设计型问题内容特性方案设计型问题是指运用数学基础知识建模的方法，按题目所呈现的要求进行计算、论证、选择、判断、设计的一种数学试题．方案设计涉及问题的多解性，以函数、方程等思想的指导，利用最优化方法解决问题.解题策略建立数学模型，如方程模型、不等式模型、函数模型和几何模型等，依据所建立的数学模型求解，从而设计方案.基本思想运用方程思想、函数思想和数形结合解决方程或不等式方案设计问题，函数方案设计问题，几何方案设计问题.类型一利用计算和判断比较的方案设计例1某学校举行演讲比赛，选出了10名同学担任评委，并事先拟定从如下4个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分(满分为10分)：方案1：所有评委所给分的平均数；方案2：在所有评委所给分中，去掉一个最高分和一个最低分，然后再计算其余所给分的平均数；方案3：所有评委所给分的中位数；方案4：所有评委所给分的众数．为了探究上述方案的合理性，先对某个同学的演讲成绩进行了统计实验．下面是这个同学的得分统计图：(1)分别按上述4个方案计算这个同学演讲的最后得分；(2)根据(1)中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演讲的最后得分．【解后感悟】通过计算得出各个方案的数值，逐一比较；学会选用适当的统计量分析问题．1．一家特色煎饼店提供厚度相同、直径不同的两种煎饼，甲种煎饼直径20厘米卖价10元，乙种煎饼直径30厘米卖价15元，请问：买哪种煎饼划算？() A．甲B．乙C．一样D．无法确定类型二利用方程(组)的方案设计例2某乳制品厂现有鲜牛奶10吨，若直接销售，每吨可获利500元；若制成酸奶销售，每吨可获利1200元；若制成奶粉销售，每吨可获利元．该工厂的生产能力是：若制成酸奶，每天可加工鲜牛奶3吨；若制成奶粉，每天可加工鲜牛奶1吨(两种加工方式不能同时进行)．受气温条件限制，这批鲜牛奶必须在4天内全部销售或加工完成．为此该厂设计了以下两种可行方案：方案一：4天时间全部用来生产奶粉，其余直接销售鲜奶；方案二：将一部分制成奶粉，其余制成酸奶，并恰好4天完成．你认为哪种方案获利最多，为什么？【解后感悟】本题是一元一次方程的应用，注意仔细理解两种方案的内容，在求解方案二的获利时，要设出未知数，利用方程思想求解．2．某班组织班团活动，班委会准备用15元钱全部用来购买笔记本和中性笔两种奖品，已知笔记本2元/本，中性笔1元/支，且每种奖品至少买1件．(1)若设购买笔记本x本，中性笔y支，写出y与x之间的关系式；(2)有多少种购买方案？请列举所有可能的结果；(3)从上述方案中任选一种方案购买，求买到的中性笔与笔记本数量相等的概率．类型三利用不等式的方案设计例3(·资阳)某大型企业为了保护环境，准备购买A、B两种型号的污水处理设备共8台，用于同时治理不同成分的污水，若购买A型2台、B型3台需54万元，购买A型4台、B型2台需68万元．(1)求出A型、B型污水处理设备的单价；(2)经核实，一台A型设备一个月可处理污水220吨，一台B型设备一个月可处理污水190吨，如果该企业每月的污水处理量不低于1565吨，请你为该企业设计一种最省钱的购买方案．【解后感悟】此题是一元一次不等式的应用，根据已知得出不等式求出所有方案是解题关键．3．(·绍兴模拟)某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：(进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本)(1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价；(2)若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？(3)在(2)的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．类型四利用函数的方案设计例4某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．(1)写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(2)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；(3)商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．【解后感悟】本题是二次函数的应用，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值(或最小值)，也就是说二次函数的最值不一定在x＝－b2a时取得．4．(·衢州)“五·一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．根据以上信息，解答下列问题：(1)设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为y1元，租用乙公司的车所需费用为y2元，分别求出y1，y2关于x的函数表达式；(2)请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算．5．(·泸州)某小区为了绿化环境，计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵．两次共花费940元(两次购进的A、B两种花草价格均分别相同)．(1)A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？(2)若购买A、B两种花草共31棵，且B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．类型五利用图形的方案设计例5某校数学研究性学习小组准备做测量旗杆的数学实践活动，来到旗杆下，发现旗杆AB顶端A垂下一段绳子ABC如图．经研究发现，原来制定的一系列测量方案，在此都不需要．如今只借助垂下的绳子和一根皮尺，在不攀爬旗杆的情况下，测量相关数据，就可以计算出旗杆的高度．(1)请你给出具体的测量方案，并写出推算旗杆高度的过程；(2)推测这个数学研究性学习小组原来制定的一系列测量旗杆的方案是什么？【解后感悟】关于物体的测量是一个实际问题，因此必须考虑实际环境，结合实际环境，充分运用所学知识制定方案，制定方案时要遵循可操作性强、简单易行原则．第2个问题的测量方案还可有其他的，有兴趣的同学可自行进一步探讨．对于以上2种测量方案的相关计算方法，请同学们自己给出．6．(·镇江模拟)在棋盘中建立如图所示的直角坐标系，三颗棋子A，O，B的位置如图，它们的坐标分别是(－1，1)，(0，0)，(1，0)．(1)如图2，添加棋子C，使四颗棋子A，O，B，C成为一个轴对称图形，请在图中画出该图形的对称轴；(2)在其他格点位置添加一颗棋子P，使四颗棋子A，O，B，P成为轴对称图形，请直接写出棋子P的位置的坐标．(写出2个即可)7．(·海陵模拟)某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长分别为6m、8m.现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边长的直角三角形．请你设计出所有合适的方案，画出草图，并求出扩建后的等腰三角形花圃的面积．【探索研究题】要在一块长52m，宽48m的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路．下面分别是小亮和小颖的设计方案．(1)求小亮设计方案中甬路的宽度x；(2)求小颖设计方案中四块绿地的总面积(小颖设计方案中的x与小亮设计方案中的x取值相同)．【忽视变量前系数，导致解答不全而出错】为了迎接“五·一”小长假的购物高峰，某运动品牌服装专卖店准备购进甲、乙两种服装，甲种服装每件进价180元，售价320元；乙种服装每件进价150元，售价280元．(1)若该专卖店同时购进甲、乙两种服装共200件，恰好用去32400元，求购进甲、乙两种服装各多少件？(2)该专卖店为使甲、乙两种服装共200件的总利润(利润＝售价－进价)不少于26700元，且购进甲服装不超过80件，则该专卖店有几种进货方案？(3)在(2)的条件下，专卖店准备在5月1日当天对甲种服装进行优惠促销活动，决定对甲种服装每件优惠a(0＜a＜20)元出售，乙种服装价格不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？参考答案第37讲方案设计型问题【例题精析】例1 (1)方案1最后得分：110×(3.2＋7.0＋7.8＋3×8＋3×8.4＋9.8)＝7.7；方案2最后得分：18×(7.0＋7.8＋3×8＋3×8.4)＝8；方案3最后得分：8；方案4最后得分：8或8.4.(2)因为方案1中的平均数受极端数值的影响，不能反映这组数据的“平均水平”，所以方案1不适合作为最后得分的方案；又因为方案4中的众数有两个，从而使众数失去了实际意义，所以方案4不适合作为最后得分的方案．例2 方案一获利：4×2000＋6×500＝11000(元)．方案二：设制奶粉x 天，则1×x ＋(4－x)×3＝10，解得x ＝1天．故1×1×2000＋3×3×1200＝12800(元)．故方案二获利最多．例3 (1)设A 型污水处理设备的单价为x 万元，B 型污水处理设备的单价为y 万元，根据题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝544x ＋2y ＝68，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ＝10.答：A 型污水处理设备的单价为12万元，B 型污水处理设备的单价为10万元； (2)设购进a 台A 型污水处理器，根据题意可得：220a ＋190(8－a)≥1565，解得：a ≥1.5，∵A 型污水处理设备单价比B 型污水处理设备单价高，∴A 型污水处理设备买越少，越省钱，∴购进2台A 型污水处理设备，购进6台B 型污水处理设备最省钱．例4 (1)w ＝(x －20)(250－10x ＋250)＝－10x 2＋700x －10000； (2)w ＝－10x 2＋700x －10000＝－10(x －35)2＋2250所以，当x ＝35时，w 有最大值2250，即销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大；(3)方案A ：由题可得20＜x ≤30，因为a ＝－10＜0，对称轴为x ＝35，抛物线开口向下，在对称轴左侧，w 随x 的增大而增大，所以，当x ＝30时，w 取最大值为2000元，方案B ：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧250－10（x －25）≥10，x ≥45，解得：45≤x ≤49，在对称轴右侧，w 随x 的增大而减小，所以，当x ＝45时，w 取最大值为1250元，因为2000元＞1250元，所以选择方案A.例5 (1)测量方案设计如下：①测量绳子比旗杆多出的部分BC ＝a m ；②把绳子ABC 拉紧到地面D 处如图1，测量B 到D 的距离BD ＝b m .推算过程：设旗杆的高度为x m ，则AD 是(x ＋a)m .在直角△ABD 中，根据AB 2＋BD 2＝AD 2得x 2＋b 2＝(x ＋a)2，x 2＋b 2＝x 2＋a 2＋2ax ，解得x ＝b 2－a 22a . (2)这个数学研究性学习小组原来制定的测量旗杆的方案可能有以下几个：【变式拓展】 1．B2. (1)根据题意得：2x ＋y ＝15，∴y 与x 之间的关系式为y ＝15－2x. (2)购买方案：x ＝1，y ＝13；x ＝2，y ＝11；x ＝3，y ＝9；x ＝4，y ＝7；x ＝5，y ＝5；x ＝6，y ＝3，x ＝7，y ＝1，∴共有7种购买方案． (3)∵买到的中性笔与笔记本数量相等的只有1种情况，∴买到的中性笔与笔记本数量相等的概率为：17. 3.(1)设A 、B 两种型号电风扇的销售单价分别为x 元、y 元，得：⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y ＝1800，4x ＋10y ＝3100，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝250，y ＝210，答：A 、B 两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元； (2)设采购A 种型号电风扇a 台，依题意得：200a ＋170(30－a)≤5400，得：a ≤10.答：超市最多采购A 种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元；(3)依题意有：(250－200)a ＋(210－170)(30－a)＝1400，解得：a ＝20，∵a ＞10，∴在(2)的条件下超市不能实现利润1400元的目标．4. (1)设y 1＝k 1x ＋80，把点(1，95)代入，可得95＝k 1＋80，解得k 1＝15，∴y 1＝15x ＋80(x ≥0)；设y 2＝k 2x ，把(1，30)代入，可得30＝k 2，即k 2＝30，∴y 2＝30x(x ≥0)； (2)当y 1＝y 2时，15x ＋80＝30x ，解得x ＝163；当y 1＞y 2时，15x ＋80＞30x ，解得x ＜163；当y 1＜y 2时，15x ＋80＜30x ，解得x ＞163；∴当租车时间为163小时，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于163小时，选择乙公司合算；当租车时间大于163小时，选择甲公司合算．5. (1)设A 种花草每棵的价格x 元，B 种花草每棵的价格y 元，根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧30x ＋15y ＝67512x ＋5y ＝940－675，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20y ＝5，∴A 种花草每棵的价格是20元，B 种花草每棵的价格是5元． (2)设A 种花草的数量为m 株，则B 种花草的数量为(31－m)株，∵B 种花草的数量少于A 种花草的数量的2倍，∴31－m ＜2m ，解得：m ＞313，∵m 是正整数，∴m 最小值＝11，设购买树苗总费用为W ＝20m ＋5(31－m)＝15m ＋155，∵k ＞0，∴W 随m 的减小而减小，当m ＝11时，W 最小值＝15×11＋155＝320(元)．答：购进A 种花草的数量为11株、B 种20株，费用最省；最省费用是320元．6.(1)如图，答案不唯一； (2)(2，1)，(0，－1)．7．如图1所示：S△ABD＝12×8×12＝48(m2)；如图2所示：S△ABD＝12×8×10＝40(m2)；如图3所示：在Rt△ACD中，AC2＋DC2＝AD2，即82＋x2＝(x＋6)2，解得：x＝73，故S△ABD ＝12×8×⎝⎛⎭⎫6＋73＝1003(m2)．【热点题型】【分析与解】(1)根据小亮的方案表示出矩形的长和宽，利用矩形的面积公式列出方程求解即可．根据小亮的设计方案列方程得：(52－x)(48－x)＝2300，解得：x＝2或x＝98(舍去)，∴小亮设计方案中甬道的宽度为2m；(2)求得甬道的宽后利用平行四边形的面积计算方法求得两个阴影部分面积的和即可．作AI⊥CD，HJ⊥EF，垂足分别为I，J，∵AB∥CD，∠1＝60°，∴∠ADI＝60°，∵BC∥AD，∴四边形ADCB为平行四边形，∴BC＝AD，由(1)得x＝2，∴BC＝HE＝2＝AD，在Rt△ADI中，AI＝2sin60°＝ 3.∴小颖设计方案中四块绿地的总面积为52×48－52×2－48×2＋(3)2＝2299平方米．【错误警示】(1)设购进甲种服装x件，则乙种服装是(200－x)件，根据题意得：180x＋150(200－x)＝32400，解得：x＝80，200－x＝200－80＝120(件)，则购进甲、乙两种服装分别为80件、120件；(2)设购进甲种服装y件，则乙种服装是(200－y)件，根据题意得：(320－180)y＋(280－150)(200－y)≥26700，解得：y≥70，而y≤80，∴70≤y≤80，又∵y是正整数，∴共有11种方案；(3)设总利润为W元，W＝(140－a)y＋130(200－y)，即w＝(10－a)y＋26000.①当0＜a＜10时，10－a＞0，W随y增大而增大，∴当y＝80时，W有最大值，即此时购进甲种服装80件，乙种服装120件；②当a＝10时，(2)中所有方案获利相同，所以按哪种方案进货都可以；③当10＜a＜20时，10－a＜0，W随y增大而减小．当y＝70时，W有最大值，即此时购进甲种服装70件，乙种服装130件．第11页共11页。
中考数学专题复习(方案设计)
中考数学专题复习：方案设计问题【知识梳理】方案设计问题特点是题中给出几种方案让考生通过计算选取最佳方案，或给出设计要求，让考生自己设计方案，这种方案有时不止一种，因而又具有开放型题的特点，此种题型考查考生的数学应用意识，命题的背景广泛，考生自由施展才华的空间大，因此倍受命题者的青睐。
【课前预习】1．如图，有一底角为35°的等腰三角形纸片，现过底边上一点，沿与底边垂直的方向将其剪开，分成三角形和四边形两部分，则四边形中，最大角的度数是 ．2．某班50名同学分别站在公路的A 、B 两点处，A 、B 两点相距1000米，A 处有30人，B 处有20人，要让两处的同学走到一起，并且使所有同学走的路程总和最小，那么集合地点应选在（ ）A ．A 点处B ．线段A B 的中点处C ．线段A B 上，距A 点10003米处D ．线段A B 上，距A 点400米处3．如图，是由一些大小相同的小正方体组成的几何体的主视图和 俯视图，则组成这个几何体的小正方体最多块数是（ ）A. 9B. 10C. 11D. 124．现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等．同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有（ ） A ．2种 B ．3种 C ．4种 D ．5种 5．某饮料厂为了开发新产品，用A 种果汁原料和B 种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50千克，设甲种饮料需配制x 千克，两种饮料的成本总额为y 元．（1）已知甲种饮料成本每千克4元，乙种饮料成本每千克3元，请你写出y 与x 之间的函数关系式．（2）若用19千克A 种果汁原料和17.2千克B 种果汁原料试制甲、乙两种新型饮料，下表是请你列出关于x 且满足题意的不等式组，求出它的解集，并由此分析如何配制这两种饮料，可使y 值最小，最小值是多少？ 35° A B 主视图俯视图【例题精讲】【例1】如图，甲转盘被分成3个面积相等的扇形、乙转盘被分成2个面积相等的扇形．小夏和小秋利用它们来做决定获胜与否的游戏．规定小夏转甲盘一次，小秋转乙盘一次为一次游戏（当指针指在边界线上时视为无效，重转）．（1）小夏说：“如果两个指针所指区域内的数之和为6或7，则我获胜；否则你获胜”．按小夏设计的规则，请你写出两人获胜的可能性分别是多少？ （2）请你对小夏和小秋玩的这种游戏设计一种公平的游戏规则，并用一种合适的方法（例如：树状图，列表）说明其公平性．【例2】某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择：方案一：从纸箱厂定制购买，每个纸箱价格为4元；方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取．工厂需要一次性投入机器安装等费用16000元，每加工一个纸箱还需成本费2.4元．（1）若需要这种规格的纸箱x 个，请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用y 1（元）和蔬菜加工厂自己加工制作纸箱的费用y 2（元）关于x （个）的函数关系式； （2）假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？并说明理由．【例3】某家电商场计划用32400元购进“家电下乡”指定产品中的电视机、冰箱、洗衣机共l5台.三种家电的进价和售价如下表所示：(1)在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和冰箱的数量相同，洗衣机数量不大于电视机数量的一半，商场有哪几种进货方案?(2)国家规定：农民购买家电后，可根据商场售价的13％领取补贴.在(1)的条件下． 如果这15台家电全部销售给农民，国家财政最多需补贴农民多少元?甲 乙【巩固练习】1．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（）A．只有1个 B．可以有2个 C．有2个以上，但有限 D．有无数个2．从2、3、4、5这四个数中，任取两个数p和q(p≠q)，构成函数y＝px－2和y＝x＋q，并使这两个函数图象的交点在直线x＝2的右侧，则这样的有序数对(p,q)共有（）A．12对B．6对C．5对D．3对3．某工厂现有甲种原料226kg，乙种原料250kg，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共40件，生产A、B两种产品用料情况如下表，设生产A产品x件，请解答下列问题：（1）求x的值，并说明有哪几种符合题意的生产方案。
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专题三 方案设计型问题备考演练一、选择题1．(2016·宜宾)宜宾市某化工厂，现有A 种原料52千克，B 种原料64千克，现用这些原料生产甲、乙两种产品共20件．已知生产1件甲种产品需要A 种原料3千克，B 种原料2千克；生产1件乙种产品需要A 种原料2千克，B 种原料4千克，则生产方案的种数为( B )A ．4B ．5C ．6D ．7[解析] 设生产甲种产品x 件，则生产乙种产品(20－x)件，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2（20－x ）≤52，2x ＋4（20－x ）≤64，解得8≤x≤12， ∵x 为整数，∴x ＝8，9，10，11，12，∴有5种生产方案：方案1，甲种产品8件，乙种产品12件；方案2，甲种产品9件，乙种产品11件；方案3，甲种产品10件，乙种产品10件；方案4，甲种产品11件，乙种产品9件；方案5，甲种产品12件，乙种产品8件．2．如图，水厂A 和工厂B ，C 正好构成等边△ABC，现由水厂A 向B ，C 两厂供水，要在A ，B ，C 间铺设输水管道，有如下四种设计方案(图中实线为铺设管道路线)，其中铺设路线最短的方案是( D )二、解答题3．(2016·百色)在直角墙角AOB(OA⊥OB，且OA ，OB 长度不限)中，要砌20 m 长的墙，与直角墙角AOB 围成地面为矩形的储仓，且地面矩形AOBC 的面积为96 m 2.(1)求这地面矩形的长；(2)有规格为0.80×0.80和1.00×1.00(单位：m)的地板砖单价分别为55元/块和80元/块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面(不计缝隙)，用哪一种规格的地板砖费用较少？[解] (1)设这地面矩形的长是x m ，则依题意得x(20－x)＝96，解得x 1＝12，x 2＝8(舍去)．答：这地面矩形的长是12 m.(2)选择规格为0.80×0.80的地板砖所需的费用为96÷(0.80×0.80)×55＝8 250(元)．选择规格为1.00×1.00的地板砖所需的费用为96÷(1.00×1.00)×80＝7 680(元)． 因为7 680＜8 250，所以采用规格为1.00×1.00的地板砖所需的费用较少．4．(2016·呼和浩特)某一公路的道路维修工程，准备从甲、乙两个工程队选一个队单独完成．根据两队每天的工程费用和每天完成的工程量可知，若由两队合做此项维修工程，6天可以完成，共需工程费用385 200元，若单独完成此项维修工程，甲队比乙队少用5天，每天的工程费用甲队比乙队多4 000元．从节省资金的角度考虑，应该选择哪个工程队？[解] 设甲队单独完成此项工程需要x 天，乙队单独完成此项工程需要(x ＋5)天．依据题意可列方程：1x ＋1x ＋5＝16， 解得x 1＝10，x 2＝－3(舍去)．经检验x ＝10是原方程的解．设甲队每天的工程费为y 元．依据题意可列方程6y ＋6(y －4 000)＝385 200，解得y ＝34 100.甲队完成此项工程费用为34 100×10＝341 000(元)．乙队完成此项工程费用为30 100×15＝451 500(元)．答：从节省资金的角度考虑，应该选择甲工程队．5．(2017·梅州模拟)某校为美化校园，计划对面积为1 800 m 2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400 m 2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．(1)求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少平方米；(2)若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？[解] (1)设乙工程队每天能完成绿化的面积是x m 2，根据题意得400x －4002x＝4，解得x ＝50， 经检验x ＝50是原方程的解，则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2＝100(m 2)，答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100 m 2、50 m 2.(2)设安排甲队工作y 天，根据题意得0．4y ＋1 800－100y 50×0.25≤8， 解得y≥10，答：至少应安排甲队工作10天．6．(2016·荆门)A 城有某种农机30台，B 城有该农机40台，现要将这些农机全部运往C ，D 两乡，调运任务承包给某运输公司．已知C 乡需要农机34台，D 乡需要农机36台，从A 城往C ，D 两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从B 城往C ，D 两乡运送农机的费用分别为150元/台和240元/台．(1)设A 城运往C 乡该农机x 台，运送全部农机的总费用为W 元，求W 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)现该运输公司要求运送全部农机的总费用不低于16 460元，则有多少种不同的调运方案？将这些方案设计出来；(3)现该运输公司决定，对A 城运往C 乡的农机从运输费中每台减免a 元(a≤200)作为优惠，其他费用不变，如何调运，使总费用最少？[解] (1)W ＝250x ＋200(30－x)＋150(34－x)＋240(6＋x)＝140x ＋12 540(0＜x≤30)．(2)根据题意得140x ＋12 540≥16 460，∴x ≥28，∵x ≤30，∴28≤x ≤30，∴有3种不同的调运方案，第一种调运方案：从A 城调往C 乡28台，调往D 乡2台，从B 城调往C 乡6台，调往D 乡34台；第二种调运方案：从A 城调往C 乡29台，调往D 乡1台，从B 城调往C 乡5台，调往D 乡35台；第三种调运方案：从A 城调往C 乡30台，调往D 乡0台，从B 城调往C 乡4台，调往D 乡36台，(3)W ＝(250－a)x ＋200(30－x)＋150(34－x)＋240(6＋x)＝(140－a)x ＋12 540(0＜x≤30)，所以当a ＝200时，W ＝－60x ＋12 540，当x ＝30时，W 最小＝10 740.此时的方案为：从A 城调往C 乡30台，调往D 乡0台，从B 城调往C 乡4台，调往D 乡36台．一、选择题1．如图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD ，其中AB 和BC 分别在两直角边上，设AB ＝x m ，长方形的面积为y m 2，要使长方形的面积最大，其边长x 应为( D )A ．4 mB ．6 mC ．1.5 m D.52m 二、填空题2．某班级为筹备运动会，准备用365元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱都用尽的条件下，有__2__种购买方案．三、解答题3. (2017·邵阳模拟)小武新家装修，在装修客厅时，购进彩色地砖和单色地砖共100块，共花费5 600元．已知彩色地砖的单价是80元/块，单色地砖的单价是40元/块．(1)两种型号的地砖各采购了多少块？(2)如果厨房也要铺设这两种型号的地砖共60块，且采购地砖的费用不超过3 200元，那么彩色地砖最多能采购多少块？[解] (1)设彩色地砖采购x 块，单色地砖采购y 块，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝100，80x ＋40y ＝5 600，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝40，y ＝60，答：彩色地砖采购40块，单色地砖采购60块．(2)设购进彩色地砖a 块，则单色地砖购进(60－a)块，由题意，得80a ＋40(60－a)≤3 200，解得a≤20.∴彩色地砖最多能采购20块．4．(2017·黄石模拟)小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石A 坐客车到武昌客运站B ，现在可以在A 坐城际列车到武汉青山站C ，再从青山站C 坐市内公共汽车到武昌客运站B.设AB ＝80 km ，BC ＝20 km ，∠ABC ＝120°.请你帮助小明解决以下问题：(1)求A 、C 之间的距离；(参考数据21≈4.6)(2)若客车的平均速度是60 km/h ，市内的公共汽车的平均速度为40 km/h ，城际列车的平均速度为180 km/h ，为了最短时间到达武昌客运站，小明应该选择哪种乘车方案？请说明理由．(不计候车时间)[解] (1)过点C 作AB 的垂线，交AB 的延长线于E 点，∵∠ABC ＝120°，BC ＝20，∴BE ＝10，CE ＝103，在Rt △ACE 中，∵AC 2＝902＋(103)2，∴AC ＝2021≈20×4.6＝92(km)．(2)乘客车需时间t 1＝8060＝113(小时)； 乘列车需时间t 2＝92180＋2040＝1190(小时)． ∴小明应选择乘坐城际列车．5．(2016·昆明)春节期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品3件共需270元；购进甲商品3件和乙商品2件共需230元．(1)甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？(2)商场决定甲商品以毎件40元出售，乙商品以每件90元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共100件，甲商品的数量不少于乙商品数量的4倍．请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．[解] (1)设甲商品每件的进价为x 元，乙商品每件的进价为y 元，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝270，3x ＋2y ＝230， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝30，y ＝70. 答：甲商品每件的进价为30元，乙商品每件的进价为70元．(2)设该商场购进甲商品m 件，则购进乙商品(100－m)件，由已知得m≥4(100－m)，解得m≥80.设卖完甲、乙两种商品商场的利润为w，则w＝(40－30)m＋(90－70)(100－m)＝－10m＋2 000，∴当m＝80时，w取最大值，最大利润为1 200元．故该商场获利最大的进货方案为甲商品购进80件，乙商品购进20件，最大利润为1 200元．。