高二数学期终复习检测题.ppt
湖北省华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高二上学期期中检测数学试题及答案
华中师大一附中2024-2025学年度上学期期中检测高二数学试题考试时间：120分钟试卷满分：150分命题人：一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．）1．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，1()AA AD CD +-运算的结果为A ．ACB ．BDC ．1AC D ．1AD 2．已知圆22:(2)(4)4C x y -+-=，若圆C 关于直线:2(0,0)l ax by a b +=>>对称，则21a b+的最小值为A ．8B ．1C ．16D ．3．已知椭圆22194y x +=与直线l 交于A ，B 两点，若点(1,1)P -为线段AB 的中点，则直线l 的方程是A ．94130x y +-=B ．94130x y -+=C ．49130x y -+=D ．4930x y -+=4．如图所示，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1=AB =2，则异面直线A 1C 与AB 1所成角的余弦值为A ．12B ．2C ．14D ．245．已知圆2221:104t C x y tx +-+-=与圆222:230C x y y +--=，若圆C 1与圆C 2恰有三条公切线，则实数t的值为A ．±B ．±C ．±D ．06．已知椭圆22:154x y C +=，M 为椭圆C 上的一点，则点M 到直线:40l x y -+=距离最小值为A ．0B ．12C ．D 7．已知F 1，F 2，B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点和上顶点，连接BF 1并延长交椭圆C于点P ，若△PF 2B 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率为A ．12B ．13C ．2D8．设a 为实数，若直线1:10l ax y ++=，2:10l x y ++=，23:(5)330l a a x ay +-+-=两两相交，且交点恰为直角三角形的三个顶点，则这样的1l ，2l ，3l 有A ．2组B ．3组C ．4组D ．5组二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有若干个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．）9．已知圆22:4O x y +=，直线:l y x b =+，下列说法正确的是A ．当b <-或b >-时，圆O 上没有点到直线l 的距离等于1B ．当1b =±时，圆O 上恰有三个点到直线l 的距离等于1C ．当b =时，圆O 上恰有三个点到直线l 的距离等于1D ．当1b =±时，圆O 上恰有四个点到直线l 的距离等于110．将圆2216x y +=上任意一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的12，得到椭圆C ，若该椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，长轴两端点分别为A ，B ，则A ．椭圆的标准方程为221168x y +=B ．若点M 是椭圆C 上任意一点（与A ，B 不重合），P 在F 1M 的延长线上，MN 是∠PMF 2的角平分线，过F 2作F 2Q 垂直MN 于点Q ，则线段OQ 长为定值4C ．椭圆上恰有四个点M ，使得122F MF π∠=D ．若点M 是椭圆C 上任意一点（与A ，B 不重合），则△MF1F 2内切圆半径的最大值为6-11．如图，正方体透明容器ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为8，E ，F ，G ，M 分别为AA 1，AD ，CC 1，A 1B 1的中点，点N 是棱C 1D 1上任意一点，则下列说法正确的是A ．B 1C ⊥BNB ．向量EM 在向量FG 上的投影向量为13FGC ．将容器的一个顶点放置于水平桌面上，使得正方体的12条棱所在的直线与桌面所成的角都相等，再向容器中注水，则注水过程中，容器内水面的最大面积为D ．向容器中装入直径为1的小球，最多可装入512个三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．对于任意实数,,x y z ________．13．已知正方形ABCD 中心的坐标为(2,3)，若直线AB 的方程为3420x y ++=，则与AB 边垂直的两条边所在的直线方程为________________．14．已知点P 是椭圆22:143x y C +=上一动点，过点P 作221:(1)4G x y ++= 的切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，当||||PG AB ⋅最小时，线段AB 的长度为________________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知△ABC 的顶点(2,1)A ，边AB 的中线CM 所在直线方程为10x y -+=，边AC 的高BH 所在直线方程为220x y -+=．（1）求点B 的坐标；（2）若入射光线经过点(2,1)A ，被直线CM 反射，反射光线过点()4,2N ，求反射光线所在的直线方程．16．（15分）已知圆22:64120M x y x y +--+=和(1,0)A -，(1,1)B ，(2,4)C ．（1）求过点(2,4)C 且与圆M 相切的直线方程；（2）试求直线AC 上是否存在点P ，使得314PA PB ⋅= ？若存在，求点P 的个数，若不存在，请说明理由．17．（15分）如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积为1，△A 1BC 的面积为2．（1）求点A 到平面A 1BC 的距离；（2）设D 为A 1C 的中点，AA 1=2AB ，平面A 1BC ⊥平面ABB 1A 1，求二面角A -BD -C 的正弦值．18．（17分）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：如图用一张圆形纸片，按如下步骤折纸：步骤1：设圆心是E ，在圆内异于圆心处取一定点，记为F ；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F ，此时圆周上与点F 重合的点记为A ；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE 的交点为P ；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕和越来越多的点P ．现取半径为8的圆形纸片，设点F 到圆心E 的距离为，按上述方法折纸．以线段FE 的中点为原点，FE的方向为x 轴的正方向建立平面直角坐标系xOy ，记动点P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程：（2）若点Q 为曲线C 上的一点，过点Q 作曲线C 的切线y kx m =+交圆22:16O x y +=于不同的两点M ，N ．（ⅰ）试探求点Q 到点40,D m ⎛⎫- ⎪⎝⎭的距离是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由；（ⅱ）求△OMN 面积的最大值．19．（17分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，且点1,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆上．（1）求椭圆M 的方程；（2）过x 轴上的一定点(1,0)P 作两条直线1l ，2l ，其中1l 与椭圆M 交于A 、B 两点，2l 与椭圆M 交于C 、D 两点，（A ，C 在x 轴上方，B ，D 在x 轴下方），如图所示．（ⅰ）已知(2,0)Q ，直线QA 斜率为1k ，直线QC 斜率为2k ，且121k k ⋅=，求证：直线AC 过定点；（ⅱ）若直线1l ，2l 相互垂直，试求AC BD ⋅的取值范围．华师一附中2024-2025学年度上学期期中高二数学一、单选题1.在长方体1111ABCD A B C D -中，1()AA AD CD +-运算的结果为（）A.ACB.BDC.1AC uuur D.1AD uuur 【答案】C【解】如下图示，1111()AA AD CD AD DC AD AB AC +-=+=+=.2.已知圆22:(2)(4)4C x y -+-=，若圆C 关于直线:2(0,0)l ax by a b +=>>对称，则21a b+的最小值为（）A.8B.1C.16D.【答案】A【解】直线:2l ax by +=过圆心(2,4)C ，则24221a b a b +=⇒+=，且0,0a b >>，所以2121(2)4484b a a b a b a b a b +=++=++≥+，当且仅当11,24a b ==时取等号，故21a b+的最小值为8.3.已知椭圆22194y x +=与直线l ,A B 两点，若点(1,1)P -为线段AB 的中点，则直线l 的方程是（）A.94130x y +-=B.94130x y -+=C.49130x y -+=D.4930x y -+=【答案】B【解】设点1122()A x y B x y ,,(,)，因点(1,1)P -为线段AB 的中点，则12122,2,x x y y +=-+=（*）又1122()A x y B x y ,,(,)在椭圆224936y x +=上，则22114936y x +=①，22224936y x +=②，由-①②，可得121212124()()9()()0y y y y x x x x +-++-=，将（*）代入，化简得12124()9()y y x x -=-，即121294y y x x -=-，可知直线l 的斜率为94，故直线l 的方程为：91(1)4y x -=+，即94130x y -+=.4.如图所示，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB ==，则异面直线1AC 与1AB 所成角的余弦值为（）A.12B.22C.14D.24【答案】C【解】由1111A C A C A A =+ ，1111A A B A A B =-，而111111,A C A A A B A A ⊥⊥且11160B AC ∠=︒，则21111111111111111111()()AC AB AC A A A B A A AC A B AC A A A A A B A A⋅=+⋅-=⋅-⋅+⋅- 20042=-+-=-，11||||22A C AB == ，则1111111cos ,4||||A C AB AC AB A C AB ⋅==-，所以异面直线1AC 与1AB 所成角的余弦值为14.5.已知圆2221:104t C x y tx +-+-=与圆222:230C x y y +--=，若圆1C 与圆2C 恰有三条公切线，则实数t 的值为（）A.22± B.42± C.46± D.0【答案】B【解】由圆1C 与圆2C 恰有三条公切线，可知圆1C 与圆2C 外切.由2221:104t C x y tx +-+-=配方得：221:()12t C x y -+=，知圆心1(,0),2t C 半径11r =；由222:230C x y y +--=配方得：222:(1)4C x y +-=，知圆心2(0,1),C 半径22r =.由1212||C C r r =+，可得2()132t+=，解得42t =±.6.已知椭圆22:154x y C +=，M 为椭圆C 上的一点，则点M 到直线:40l x y -+=距离最小值为（）A.0B.12C.22D.2【答案】C【解】与:40l x y -+=平行且与椭圆相切的直线，其中存在切点到直线l 的距离最小，令切线为0x y t -+=，联立椭圆方程有22()154x x t ++=，整理得229105020x tx t ++=-，所以2210036(520)0t t ∆=-⨯-=，则3t =±，对于30x y -+=，其切点到l 的距离为22，对于30x y --=，其切点到l 的距离为722，点M 到直线:40l x y -+=距离最小值为2.7.已知12,,F F B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点和上顶点，连接1BF 并延长交椭圆C 于点P ，若2PF B 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率为（）A.12B.13C.22D.3【答案】D【解】由2PF B 为等腰三角形，则有2||||PB PF =，而1212||||||||2PF PF BF BF a +=+=，又12||||BF BF a ==，11||||||PB PF BF =+，若1||PF m =，则||PB a m =+，2||2PF a m =-，所以22aa m a m m +=-⇒=，在12BF F △中222112212112||||||cos 2||||BF F F BF c BF F BF F F a +-∠==，在12PF F 中22222112212112||||||2cos 2||||PF F F PF c a PF F PF F F ac+--∠==，1212cos cos 0PF F BF F ∠+∠=，即222c a c a ac -=，整理得223c a =，则33c e a ==.8.设a 为实数，若直线1:10l ax y ++=，2:10l x y ++=，23:(5)330l a a x ay +-+-=两两相交，且交点恰为直角三角形的三个顶点，则这样的1l ，2l ，3l 有（）A.2组B.3组C.4组D.5组【答案】B【解】123,,l l l 的方向向量分别为1(1,)m a =- ，2(1,1)m =- ，23(3,5)m a a a =--+，若12l l ⊥，则12(1,)(1,1)101m m a a a ⋅=-⋅-=+=⇒=-，此时1:10l x y -++=，2:10l x y ++=，3:5330l x y ---=，它们交于一点(0,1)-，不符；若13l l ⊥，则2213(1,)(3,5)(2)0m m a a a a a a a ⋅=-⋅--+=+-=⇒2a =-或0a =或1a =，当2a =-时，1:210l x y -++=，2:10l x y ++=，3:210l x y ++=，满足题设；当0a =时，1:10l y +=，2:10l x y ++=，3:530l x --=，满足题设；当1a =时，1:10l x y ++=，2:10l x y ++=重合，不符；若23l l ⊥，则2223(1,1)(35)450m m a a a a a ⋅=-⋅--+=+-=⇒5a =-或1a =，当5a =-时，1:510l x y -++=，2:10l x y ++=，3:5510l x y --=，满足题设；当1a =时，同上分析，不符.综上，5a =-、2a =-、0a =时满足要求，故有3组.二、多选题9.已知圆22:4O x y +=，直线:l y x b =+，下列说法正确的是（）A.当b <-b >时，圆O 上没有点到直线l 的距离等于1B.当1b =±时，圆O 上恰有三个点到直线l 的距离等于1C.当b =时，圆O 上恰有三个点到直线l 的距离等于1D.当1b =±时，圆O 上恰有四个点到直线l 的距离等于1【答案】CD【解】由题设条件，圆的半径为2，圆心O 到直线:0l x y b -+=的距离为d =对于A ，当b <-或b >时,||b >2>d ，当b =由图1知，圆O 上有一点到直线l 的距离等于1，故A 错误；对于B ，D ，当1b =±时，12d =<，由图2知，圆O 上恰有四个点到直线l 的距离等于1，故B 错误，D 正确；对于C ，当b =时，1d =，由图3知，圆O 上恰有三个点到直线l 的距离等于1，故C 正确.选：CD.10.将圆2216x y +=上任意一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的12，得到椭圆C ，若该椭圆的两个焦点分别为12,F F ，长轴两端点分别为A ，B ，则（）A.椭圆的标准方程为221168x y +=B.若点M 是椭圆C 上任意一点（与A ，B 不重合），P 在1F M 的延长线上，MN 是2PMF ∠的角平分线，过2F 作2F Q 垂直MN 于点Q ，则线段OQ 长为定值4C.椭圆上恰有四个点M ，使得12π2F MF ∠=D.若点M 是椭圆C 上任意一点（与A ，B 不重合），则12MF F △内切圆半径的最大值为6-【答案】BCD【解】若椭圆上点为(,)m n ，则(,2)m n 在2216x y +=上，故22416m n +=，所以椭圆22:1164x y C +=，A 错；假设P 是直线1F M 与2F Q 交点，因为MN 是2PMF ∠的角平分线，过2F 作2F Q 垂直MN 于点Q ，所以Q 为线段2PF 的中点，且2||||MF MP =，而O 是12F F 的中点，故12PF F 中OQ 为中位线，故1112111||||(||||)(||||)4222OQ PF MF PM MF MF a ==+=+==为定值，B 对；当M 为椭圆上下顶点时12F ∠最大，此时2222212224216241cos 2162a a c a c F MF a a +---∠====-，又12(0,π)F MF ∠∈，故122π3F MF ∠=，结合椭圆的对称性，椭圆上恰有四个点M ，使得12π2F MF ∠=，C 对；若12MF F △内切圆半径为r ，则12121211(||||||)||||()||22M M r MF MF F F y F F a c r c y ++=⋅⇒+=，所以||M c y r a c ==+r 最大，只需||M y 最大，为2b =，所以最大6r ==，D 对.故选：BCD11.如图，正方体透明容器1111ABCD A B C D -的棱长为8，E ，F ，G ，M 分别为1111,,,AA AD CC A B 的中点，点N 是棱11C D 上任意一点，则下列说法正确的是（）A.1B C BN⊥B.向量EM 在向量F G 上的投影向量为13FG C.将容器的一个顶点放置于水平桌面上，使得正方体的12条棱所在的直线与桌面所成的角都相等，再向容器中注水，则注水过程中，容器内水面的最大面积为D.向容器中装入直径为1的小球，最多可装入512个【答案】AC【解】A ：由正方体性质知：11111,B C BC B C D C ⊥⊥且1111BC D C C ⋂=都在面11ABC D 内，所以1B C ⊥面11ABC D ，BN ⊂面11ABC D ，则1B C BN ⊥，对；B ：1//EM AB 且112EM AB =，若O 是11,B C BC 交点，连接OG ，所以1////,2OG BC AF OG BC AF ==，故AFGO 为平行四边形，则//AO FG 且AO FG =，所以,EM FG 所成角，即为1,AB AO 所成角，由题设，易知11AB AO OB ===，在1AOB 中22211113|cos |||22AO AB OB OAB AO AB +-∠==⋅，即1,AB AO 夹角为π6，所以,EM FG 夹角为π6，故向量EM 在向量F G上的投影向量为|π|61|cos 2|FG EM FG FG ==⋅ ，错；C ：令放在桌面上的顶点为A ，若1AC ⊥桌面时正方体的各棱所在的直线与桌面所成的角都相等，此时要使容器内水的面积最大，即垂直于1AC的平面截正方体的截面积最大，根据正方体的对称性，仅当截面过111111,,,,,A B BB BC CD DD A D 中点时截面积最大，此时，截面是边长为的正六边形，故最大面积为216sin 602⨯⨯⨯︒=，对；D ：由题意，第一层小球为8864⨯=个，第二层小球为7749⨯=，且奇数层均为64个，偶数层均为49，而第一层与第二层中任意四个相邻球的球心构成一个棱长为1的正四棱锥，故高为2，假设共有n 层小球，则总高度为()112n -+，且n 为正整数，令()1182n -+≤，则1n ≤+，而10111<<，故小球总共有10层，由上，相邻的两层小球共有113个，所以正方体一共可以放1135565⨯=个小球，错.故选：AC三、填空题12.对于任意实数,,x y z______．【解】由目标式的几何意义为空间任意点(,,)A x y z 到定点(1,2,3),(3,2,1)B C 距离的和，要使它们的距离和最小，只需A 在线段BC 上，此时最小值为||BC ==.13.已知正方形ABCD 中心的坐标为(2,3)，若直线AB 的方程为3420x y ++=，则与AB 边垂直的两条边所在的直线方程为________________．【答案】43210x y -+=和43190x y --=【解】由:3420AB l x y ++=,可得34AB k =-，则与AB 边垂直的两条边所在的直线的斜率为43，其方程可设为：14:3l y x b =+，即1:4330l x y b -+=.由正方形的性质，可知点(2,3)M 到直线:3420AB l x y ++=的距离等于它到直线1:4330l x y b -+=的距离，故有312055b -=，解得7b =或193b =-，故与AB 边垂直的两条边所在的直线方程为43210x y -+=和43190x y --=.故答案为：43210x y -+=和43190x y --=.14.已知点P 是椭圆22:143x y C +=上一动点，过点P 作221:(1)4G x y ++= 的切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，当PG AB ⋅最小时，线段AB 的长度为________________．【解】由椭圆方程可知：2,1a b c ===，圆221:(1)4G x y ++= 的圆心为()1,0G -（也为椭圆的左焦点），半径12r =，因为PG AB ⊥，可知四边形PAGB 的面积12PAGB S PG AB =⋅，当PG AB ⋅最小时，即为四边形PAGB 的面积PAGB S 最小，又因为1222PAGB PAG S S r PA ==⨯⋅=△，可知当PG 取到最小值时，四边形PAGB 的面积PAGB S 最小，即PG AB ⋅最小，且点P 是椭圆C 上一动点，由椭圆性质可知：当且仅当点P 为左顶点时，PG 取到最小值1a c -=，此时3π26PA APG =∠=，由对称性可知：3π26PB BPG =∠=，即π3APB ∠=，PAB 为等边三角形，则32AB =.三、解答题：15.已知△ABC 的顶点(2,1)A ，边AB 的中线CM 所在直线方程为10x y -+=，边AC 的高BH 所在直线方程为220x y -+=．（1）求点B 的坐标；（2）若入射光线经过点(2,1)A ，被直线CM 反射，反射光线过点(4,2)N ，求反射光线所在的直线方程．【解】可设点()22,B a a -，因为(2,1)A ，则AB 的中点1,2a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线10x y -+=上，可得1102a a +-+=，解得1a =-，所以点B 的坐标为()4,1B --.【2】设(2,1)A 关于直线10x y -+=的对称点为(),A m n '，则112211022n m m n -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪-+=⎪⎩，解得03n m =⎧⎨=⎩，即()0,3A '所以反射光线所在的直线方程为243204y x --=--，可得4120x y +-=.16.已知圆22:64120M x y x y +--+=和(1,0)A -，(1,1)B ，(2,4)C ．（1）求过点(2,4)C 且与圆M相切的直线方程；（2）试求直线AC 上是否存在点P ，使得314PA PB ⋅= ？若存在，求点P 的个数，若不存在，请说明理由．【解】由2264120x y x y +--+=，可得22(3)(2)1x y -+-=，如图1，因过点(2,4)C 且斜率不存在的直线2x =恰与圆M 相切，故有一条切线方程为2x =；设另一条切线方程为：4(2)y k x -=-，即240kx y k --+=，由圆心(3,2)M 到直线240kx y k --+=的距离1d =，解得34k =-，故另一条切线方程为：34220x y +-=.综上，过点(2,4)C 且与圆M 相切的直线方程为2x =或34220x y +-=；【2】解法一：如图2，因(1,0)A -，(1,1)B ，(2,4)C ，故43AC k =,则直线AC 的方程为：4340x y -+=，设在直线AC 上存在点44(,)3t P t +，满足314PA PB ⋅= ，则有444131(1,)(1,334t t t t ++---⋅--=，即2100802990t t +-=，因2804100(299)0∆=-⨯⨯->，方程有两个不等根，即在直线AC 上存在两个点P ，满足314PA PB ⋅= .故符合题意的点P 有两个.解法二：设在直线AC 上存在点P ，其坐标为(,)P x y ，因(1,0)A -，(1,1)B ，(2,4)C ，故43AC k =,则直线AC 的方程为：4340x y -+=.由314PA PB ⋅= ，可得31(1,)(1,1)4x y x y ---⋅--=，化简得：22354x y y +-=，即221()92x y +-=，故点P 的轨迹是以1(0,)2M 为圆心，半径为3r =的圆（如图3），故要判断点P 的个数，只需判断直线AC 与圆M 的位置关系即可.因圆心1(0,2M 到直线4340x y -+=的距离为3|4|12352d r -==<=，可知直线AC 与圆M 相交，即满足题意的点P 有两个.17.如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为1，1A BC 的面积为52．（1）求点A 到平面1A BC 的距离；（2）设D 为1AC 的中点，12AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，求二面角A BD C --的正弦值．【解】因为直三棱柱111ABC A B C -的体积为1，则三棱锥1A ABC -的体积为13，设点A 到平面1A BC 的距离为d ，则11113A ABC A A BC A BC V V d S --==⋅△，即115332d =⨯，解得5d =，所以点A 到平面1A BC 的距离为255.【2】过A 作1AE A B ⊥，垂足为E ，又平面1A BC ⊥平面11ABB A ，平面1A BC ⋂平面111ABB A A B =，且AE ⊂平面11ABB A ，所以AE ⊥平面1A BC ，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，由⊂BC 平面1A BC ，⊂BC 平面ABC ，可得AE BC ⊥，1BB BC ⊥，又因为1,AE BB ⊂平面11ABB A 且相交，所以⊥BC 平面11ABB A ，所以1,,BC BA BB 两两垂直，设122AA AB a ==，则1A B =，由1AA B 的面积可得111122AA AB d A B ⋅=⋅，即11252225a a ⨯⨯=⨯⨯，解得1a =，即122AA AB ==，1A B =又因为1A BC 的面积为1115222A B BC BC ⋅==，解得1BC =，以B 为原点，建立空间直角坐标系，如图，则()()()()1110,1,0,0,1,2,0,0,0,1,0,0,,,122A A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则11,,122BD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()0,1,0,1,0,0BA BC == ，设平面ABD 的一个法向量 =s s ，则110220m BD x y z m BA y ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩，令2x =，则0,1y z ==-，可得()2,0,1m =- ，设平面BDC 的一个法向量 =s s ，则110220n BD a b c n BC a ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩，令2y =，则0,1x z ==-可得()0,2,1n =- ，则1cos ,5m n m n m n ⋅===⋅ ，设二面角A BD C --为()0,πθ∈，则1cos 5θ=，可得26sin 5θ==所以二面角A BD C --的正弦值为265.18.“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：如图用一张圆形纸片，按如下步骤折纸：步骤1：设圆心是E ，在圆内异于圆心处取一定点，记为F ；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F ，此时圆周上与点F 重合的点记为A ；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE 的交点为P ；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕和越来越多的点P ．现取半径为8的圆形纸片，设点F 到圆心E的距离为，按上述方法折纸．以线段FE 的中点为原点，FE 的方向为x 轴的正方向建立平面直角坐标系xOy ，记动点P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程：（2）若点Q 为曲线C 上的一点，过点Q 作曲线C 的切线y kx m =+交圆22:16O x y +=于不同的两点M ，N ．（ⅰ）试探求点Q 到点40,D m ⎛⎫- ⎪⎝⎭的距离是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由；（ⅱ）求OMN 面积的最大值．【解】：()(),E F -，则8PF PE PA PE AE EF +=+==>，可知动点P 的轨迹是以,E F为焦点的椭圆，且2224,4a c b a c ===-=，所以曲线C 的方程为2211612x y +=.【2】①联立方程2211612y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得()2224384480k x kmx m +++-=，因为直线y kx m =+与曲线C 相切，则()()2222Δ644434480k m k m =-+-=，整理可得221612m k =+，则原方程为222322560m x kmx k ++=，解得16k x m=-，将16k x m=-代入直线y kx m =+，可得222161612k m k y m m m m -=-+==，可知1612,k Q m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且40,D m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则DQ ====②由题意可知：圆22:16O x y +=的圆心为s ，半径4r =，因为s 到直线0kx y m -+=的距离d =，可得2222221612416111m k d k k k +===-+++，因为20k ≥，则22411401k k +≥⇒-≤-<+，可得[)2241612,161d k =-∈+，则OMN面积1122OMN S d MN d =⋅=⨯= ，可知当212d =，即0k =时，OMN S△取到最大值【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法（1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解．（2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值(注意：有时需先换元后再求最值)．19.已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为32，且点31,2⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭在椭圆上．（1）求椭圆M 的方程；（2）过x 轴上的一定点(1,0)P 作两条直线1l ，2l ，其中1l 与椭圆M 交于A 、B 两点，2l 与椭圆M 交于C 、D 两点，（A ，C 在x 轴上方，B ，D 在x 轴下方），如图所示．（ⅰ）已知(2,0)Q ，直线QA 斜率为1k ，直线QC 斜率为2k ，且121k k ⋅=，求证：直线AC 过定点；（ⅱ）若直线1l ，2l 相互垂直，试求AC BD ⋅ 的取值范围．【解】22222321314c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，可得2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故椭圆方程为22:14x M y +=；【2详】（ⅰ）令:AC y kx m =+，1122(,),(,)A x y C x y ，且12,0y y >，12x x ≠且均不为2，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，则222(14)8440k x kmx m +++-=，且22226416(1)(14)0k m m k ∆=--+>，所以2214k m +>，则122814km x x k +=-+，21224(1)14m x x k -=+，由221212121212121212()1222()4y y k x x km x x m k k x x x x x x +++⋅=⋅===---++，所以2222222222222241(1)8414144(1)164161614144m k m m k k m km m km k k k m k k --+++-++++-+==++，则2222416164km k m k m ++=-，所以2231620(310)(2)0m km k m k m k ++=++=，故103m k =-或23m k =-，当103m k =-时，10:()3AC y k x =-，此时过定点10(,0)3；当23m k =-时，2:()3AC y k x =-，此时过定点2(,0)3，而该点在椭圆内，与,A C 在同侧矛盾；综上，直线AC 过定点10(,0)3，得证.（ⅱ）由AC AP PC =+ ，BD BP PD =+ ，又直线1l ，2l 相互垂直，即,AP PD PC BP ⊥⊥ ，第17页/共17页所以()()AC BD AP PC BP PD AP BP PC BP AP PD PC PD ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅ AP BP PC PD =⋅+⋅ ，若11223344(,),(,),(,),(,)A x y C x y B x y D x y ，则11332244(1,),(1,),(1,),(1,)AP x y BP x y PC x y PD x y =--=--=-=- ，所以131313242424()()2AC BD x x x x y y x x x x y y ⋅=-+++-+++，令:1AB x ty =+，则:1y CD x t=-+，且0t ≠，联立22114x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得22(4)230t y ty ++-=，显然0∆>，则13224t y y t +=-+，13234y y t =-+，同理242241t y y t +=+，2242341t y y t =-+，所以2222131313222324(1)()11444t t t x x t y y t y y t t t -=+++=--+=+++，131328()24x x t y y t +=++=+，2242424222211324(1)()11414141t x x y y y y t t t t t -=-++=--+=+++，22424218()241t x x y y t t +=-++=+，所以222222222222224(1)834(1)83477422444414141441t t t t t t AC BD t t t t t t t t --++⋅=--+-+=--++++++++ 422242222236423(1)21541744(1)9(1)9t t t t t t t +++=-=-⨯+++++-，令211m t =+>，则1(0,1)m∈，所以()()()22222222211141,994992541125419194924t m m m t t m m m +⎛⎤==-=-∈ ⎥+-⎝⎦⎛⎫+++----- ⎪⎝⎭，综上，1512,45AC BD ⎛⎤⋅∈-- ⎥⎝⎦。
2024-2025学年河北省邯郸市高二上学期12月期中考试数学检测试题(含答案)
注意事项1．答题前在答题卡上的指定位置．2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答卡上的非答题区域均无效．3．选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑在答题卡上作答4．考试结束后5．本卷主要考查内容~第三章．一8小5分40分有一项是符合题目要求的．1.抛物线y =8x 2的焦点到其准线的距离为()A.132B.116C.18D.42.已知椭圆x 29+y 24=1上有一点P 到右焦点的距离为4，P 到左焦点的距离为()A.6B.3C.4D.23.双曲线y 23-x 26=1的焦点坐标为()A.±3,0B.0,±3C.±3,0D.(0,±3)4.已x 216+y 2m=1(0<m <8)的F 1,F 2，P 是△PF 1F 2的面积的最大值为37，m =()A.7B.3C.7D.95.若方程x 24-m 2-y 21+m =1表示焦点在y 轴上的双曲线m 的取值范围为()A.-∞，-2 B.-2，-1 C.-2，2 D.-1，16.已A 在y 2=2px (p >0)上A 到6，离是10，p 的值是()A.2或4 B.6或12C.4或16D.2或187.如2024-2025学年河北省邯郸市高二上学期12月期中考试数学检测试题看成是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为40cm ，最大直径为60cm ，双曲线的离心率为6，则该花瓶的高为()A.90cmB.100cmC.110cmD.120cm8.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左，右顶点分别为A ，B ，且椭圆C 的离心率为306，点P 是椭圆C 上的一点，且tan ∠P AB =14，则tan ∠APB ()A.-109 B.-1110 C.1110 D.109二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.关于双曲线x 24-y 26=1与双曲线x 24+t -y 26-t=1(-4<t <6)，下列说法不正确的是()A.实轴长相等B.离心率相等C.焦距相等D.焦点到渐近线的距离相等10.设点F 1，F 2分别为椭圆C ：x 29+y 25=1的左、右焦点，点P 是椭圆C 上任意一点，若使得PF 1 ⋅PF 2=m 成立的点恰好是4个，则实数m 的取值可以是()A.1B.3C.5D.411.已知抛物线C ：y 2=12x ，点F 是抛物线C 的焦点，点P 是抛物线C 上的一点，点M (4,3)，则下列说法正确的是()A.抛物线C 的准线方程为x =-3B.若PF =7，则△PMF 的面积为23-32C.PF -|PM |的最大值为10D.△PMF 的周长的最小值为7+10三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.双曲线x 210-y 26=1的一个焦点在抛物线y 2=2px (p >0)的准线上，则抛物线的标准方程为13.已知椭圆C:x24+y2b2=1(0<b<2)，偶函数f x =m-1x3+x2-3，且f b≤2，则椭圆C的离心率的取值范围是．14.我国著名数学家华罗庚说“数缺形时少直观，形少数时难入微：数形结合百般好，隔离分家万事休”，包含的意思是：几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观的反映和描述，通过“数”与“形”的相互转化，常常可以巧妙地解决问题，所以“数形结合”是研究数学问题的重要思想方法之一.比如：(x-a)2+(y-b)2这个代数问题可以转化为点A x,y与点B a,b之间的距离的几何问题.结合上述观点可得，方程y2-8y+25-y2+8y+25=27的解为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过P(-3,0)，Q(0,-2)两点；(2)长轴长等于20，离心率等于35．16.已知圆C的方程为x2+y2-4x+6y-m=0．(1)求实数m的取值范围；(2)若圆C与直线l:x+y+3=0交于M，N两点，且MN=23，求m的值．17.已知点A(-4,2)，B(2,8)，C(4,2)中恰有两个点在抛物线E::x2=2py(p>0)上，(1)求E的标准方程；(2)若点M x1,y1，N x2,y2在E上，且x1x2=-16，证明：直线MN过定点．18.在平面直角坐标系xOy中，点M x,y到点F1,0与到直线x=5的距离之比为5 5，记点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)若点P是圆x2+y2=5上的一点(不在坐标轴上)，过点P作曲线C的两条切线，切点分别为A,B，记直线P A,PB的斜率分别为k1,k2，且k1=-4-k2，求直线OP的方程.19.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为π3，C的焦距为8．(1)求双曲线C的标准方程；(2)过右焦点F的直线l与双曲线C交于M，N两点，A(-2,0)．求证：点A在以线段MN为直径的圆上．参考答案1．B【分析】将抛物线方程转化为标准方程求解.【详解】解：抛物线的标准方程为x 2=18y ，所以焦点坐标为F 0,132 ，其准线方程为y =-132，所以抛物线y =8x 2的焦点到其准线的距离为d =132--132 =116，故选：B 2．D【分析】根据椭圆的定义即可求出.【详解】由椭圆x 29+y 24=1，得a 2=9，即a =3，设左焦点为F 1，右焦点为F 2，则PF 1 +PF 2 =2a =6，因为PF 2 =4，所以PF 1 =2，即点P 到左焦点的距离为2.故选:D .3．D【分析】根据题意，结合双曲线的几何性质，即可求解.【详解】由双曲线y 23-x 26=1，可得a =3,b =6，则c =a 2+b 2=3，且双曲线的焦点在y 轴上，所以双曲线的焦点坐标为(0,±3).故选：D .4．A【分析】利用点P 的纵坐标表示△PF 1F 2的面积，再借助范围求出最大值即可.【详解】依题意，椭圆半焦距c =16-m ，设点P (x 0,y 0),y 0≠0，则0<|y 0|≤m ，因此△PF 1F 2的面积S =12⋅2c ⋅|y 0|≤16-m ⋅m =16m -m 2，则16m -m 2=37，即m 2-16m +63=0，而0<m <8，解得m =7，所以m =7.故选：A 5．A【分析】原方程可变形为y 2-m -1-x 2m 2-4=1，根据已知有-1-m >0-4+m 2>0 ，解出即可.【详解】因为方程x 24-m2-y 21+m =1表示焦点在y 轴上的双曲线，x 24-m 2-y 21+m =1可变形为y 2-m -1-x 2m 2-4=1.所以有-1-m >0-4+m 2>0 ，即m +1<0m 2-4>0 ，解得m <-2.故选：A .6．D【分析】设A x ,6 ，根据抛物线的定义求解；【详解】设A x ,6 ，代入抛物线y 2=2px (p >0)，解得：x =18p，又因为点到焦点的距离是10，根据抛物线的定义，得：18p +p 2=10,化简得：p 2-20p +36=0,解得：p =2或18.故选：D .7．B【分析】由a ,b ,c 关系以及离心率、a =20可得双曲线方程，进一步代入x =30即可求解.【详解】由该花瓶横截面圆的最小直径为40cm ，有a =20，又由双曲线的离心率为6，有c =206,b =205，可得双曲线的方程为x 2400-y 22000=1，代入x =30，可得y =±50，故该花瓶的高为100cm .故选：B .8．B【分析】设P x 0,y 0 是椭圆上的点，设k 1=tan ∠P AB =14，k 2=-tan ∠PBA 求出k 1⋅k 2为定值，从而能求出tan ∠PBA 的值，然后根据tan ∠APB =-tan ∠P AB +∠PBA求解.【详解】设P x 0,y 0 代入椭圆方程，则x 02a 2+y 02b2=1a >b >0整理得：y 20=b 2a2a 2-x 20 ,设k 1=tan ∠P AB =14，k 2=-tan ∠PBA 又k 1=y 0x 0+a ，k 2=y 0x 0-a ,所以k 1⋅k 2=y 0x 0+a ⋅y 0x 0-a =y 20x 20-a 2=-b 2a 2=-a 2-c 2a 2=-1-e 2=-16而k 1=tan ∠P AB =14，所以k 2=-tan ∠PBA =-23，所以tan ∠PBA =23tan ∠APB =-tan ∠P AB +∠PBA =-tan ∠P AB +tan ∠PBA 1-tan ∠P AB ⋅tan ∠PBA=-14+231-14×23=-1110故选：B 9．ABD【分析】利用双曲线的性质对每个选项逐个判断即可【详解】双曲线x 24-y 26=1中，实轴长为2a 1=4，虚轴长为2b 1=26，焦距长为2c 1=24+6=210，右焦点为10,0 ，所以离心率e 1=c 1a 1=102，渐近线方程为y =±62x ，不妨取y =62x 即6x -2y=0，所以焦点到渐近线的距离为d 1=6×106+4=6，双曲线x 24+t -y 26-t =1(-4<t <6)中实轴长为2a 2=24+t ，虚轴长为2b 2=26-t ，焦距长为2c 2=210，右焦点为10,0 ，所以离心率e 2=c 2a 2=104+t =40+10t 4+t ，渐近线方程为y =±6-t4+tx ，不妨取y =6-t4+tx 即6-t x -4+t y =0，所以焦点到渐近线的距离为d 2=6-t ×1010=6-t ，综上，两条双曲线只有焦距相等，故选：ABD 10．BD【分析】首先设点P x 0,y 0 ，得到PF 1 =-2-x 0,-y 0 ，PF 2=2-x 0,-y 0 ，结合点P 在椭圆上得到x 20=9m -94，若成立的点有四个，则x 0在-3,3 有两实数解，则有0<9m -94<9，解出其范围结合选项即得.【详解】设P x 0,y 0 ，∵F 1-2,0 ，F 22,0 ，∴PF 1 =-2-x 0,-y 0 ，PF 2=2-x 0,-y 0 ，由PF 1 ⋅PF 2 =m 可得x 20+y 20=m +4，又∵点P 在椭圆C 上，即x 209+y 205=1，∴x 20=9m -94，要使得PF 1 ⋅PF 2 =m 成立的点恰好是4个，则0<9m -94<9，解得1<m <5.故选：BD 11．ACD【分析】根据抛物线的标准方程可得准线方程为x =-3，即可判断A ，根据抛物线定义得到x P =4，故P 点可能在第一象限也可能在第三象限，分情况计算三角形面积即可判断B ，利用三角形任意两边之差小于第三边结合三点一线的特殊情况即可得到∴|PF |-|PM | max=MF ，计算即可判断C ，三角形PMF 的周长=PM +MF +PF =PM +PF +10，再结合抛物线定义即可求出|PM |+|PF |的最小值，即得到周长最小值.【详解】∵y 2=12x ，∴p =6，∴F 3,0 ，准线方程为x =-3，故A 正确；根据抛物线定义得PF =x P +p2=x P +3=7，x P =4，∵M 4,3 ,∴PM ⎳y 轴，当x =4时，y =±43，若P 点在第一象限时，此时P 4,43 ,故PM =43-3，△PMF 的高为1，故S △PMF =12×43-3 ×1=23-32，若点P 在第四象限，此时P 4,-43 ，故PM =43+3，△PMF 的高为1，故S △PMF =12×43+3 ×1=23+32，故B 错误；∵|PF |-|PM |≤MF ，∴|PF |-|PM | max =MF =4-3 2+3-0 2=10,故C 正确；(连接FM ，并延长交于抛物线于点P ，此时即为|PF |-|PM |最大值的情况，图对应如下)过点P 作PD ⊥准线，垂足为点D ，△PMF 的周长=PM +MF +PF =PM +PF +10=PM +PD +10，若周长最小，则PM +PD 长度和最小，显然当点P ,M ,D 位于同一条直线上时，PM+MF 的和最小，此时PM +MF =PD =7,故周长最小值为7+10，故D 正确.故选：ACD .12．y 2=16x【分析】由双曲线的方程可得双曲线的焦点坐标，由抛物线的方程可得准线方程，再由题意可得p 的值，进而求出抛物线的方程．【详解】由双曲线x 210-y 26=1的方程可得c 2=10+6=16，解得c =4，所以双曲线的焦点坐标为±4，0 ，抛物线的准线方程为x =-p2，由题意可得-p2=-4，解得p =8，所以抛物线的方程为：y 2=16x ，故答案为：y 2=16x ．13．0,32【分析】根据奇偶性求m ，由f b ≤2可得b 的范围，然后可得离心率范围.【详解】∵f x 是偶函数，∴f -x =1-m x 3+x 2-3=f x =m -1 x 3+x 2-3，∴1-m =0，解得m =1,f x =x 2-3，∴f b =b 2-3 ≤2，∴-2≤b 2-3≤2,1≤b 2≤5，又∵0<b <2,∴1≤b <2，∴e =c a=a 2-b 2a =4-b 22，∴e ∈0,32．故答案为：0,3214．±14【分析】将原方程配方，方程的解转化为直线x =3与双曲线y 27-x 29=1的交点的纵坐标。
山东名校考试联盟 2023-2024 学年高二年级下学期期中检测数学试题解析版
青岛九中高二下期中考试数学试题山东名校考试联盟2023-2024 学年高二年级下学期期中检测数学试题参考答案2024.05一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。
在每小题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的。
题号12345678答案D A C B D D C A1. 设函数 f (x ) 在 x =x 0 处的导数为 2,则 lim Δx→0f (x 0+2Δx )−f (x 0)Δx=（ ）A. 12 B. 1 C. 2 D. 4【解析】 limΔx→0f (x 0+2Δx )−f (x 0)Δx=2limΔx→0f (x 0+2Δx )−f (x 0)2Δx=2lim2Δx→0f (x 0+2Δx )−f (x 0)2Δx=2f ′(x 0)=4 ,故选 D2. 个位数大于十位数的两位数共有（ ）个A. 36 B. 40 C. 42 D. 56【解析】个位数大于十位数的两位数个位数显然不能为 0 , 故只需在 1-9 九个数字中选两个,大的在个位,小的在十位即可,故共有 C 29=36 种可能,故选 A 3. 已知函数 f (x ) 的导函数 f ′(x ) 的图象如图所示,则 f (x ) 的图象可能为（ ）【解析】由导函数图像可知原函数应是先增后减再增的,故在 B 、C 中选择,随着 x 的增大, 导函数越来越大, 故原函数增长越来越快, 应选 C 4. 已知函数 f (x )=12x 2−f ′(1)x +ln x ,则 f ′(1)=（ ）A. −32 B. 1 C. 32 D. 2【解析】 f ′(x )=x−f ′(1)+1x ,将 x =1 带入可得 f ′(1)=1−f ′(1)+11 ,解得 f ′(1)=1 ,故选 B5.(y +x 2y)(x +y )6 的展开式中 x 3y 4 的系数为（ ）A. 6B. 20C. 21D. 26【解析】 (y+x2y)(x +y )6=y (x +y )6+x 2y (x+y )6 其中含 x 3y 4 的项为 yC 36x 3y 3+x 2y C 56xy 5,x 3y4 的系数为 C 36+C 56=26 故选 D6. 书架上已有四本书, 小明又带来了两本不同的长篇小说和一本人物传记要放到书架上, 若两本小说不能放到一起, 则不同的放法有 ( ) 种A. 30 B. 90 C. 120 D. 150【解析】人物传记有 5 种放法, 这样五本书之间有 6 个空, 两本不同的长篇小说选两个空插入即可不相邻,共有 5 A 26=150 种方法,故选 D7. 已知 a =A 2020,b =1020,c =C 2040 ,则（ ）A. a <b <cB. c <b <aC. c <a <bD. b <c <a【解析】 a =20×19×18×⋯×2×1,b =10×10×10×⋯×10×10 ,均由 20 个数相乘组成,其中前两项和最后一项比较 20×19×1<10×10×10 ,其他项 18×2<10×10,17×3<10×10 直到 11×9<10×10 ,故 a <b ,c =40×39×38×⋯×22×2120×19×18×⋯×2×1<2×310×43×52×6×8×11×21 ,其中 a =20×19×18×⋯×2×1 里面前四项大于 2×310×43×52×6×8×11×21 中的后五项,即 20×19×18×17>5×6×8×11×21 ,其他项均要对应大于或等于剩余 2×310×43×5 中的每一项, 故 c <a ,故选 C8. 已知曲线 y =x ln x 过点 (0,−1) 的切线与函数 y =ax 2+(a +2)x 的图象只有一个公共点, 则 a 的值为（ ）A. 0 或 1 B. 0 或 12 C. 12 D. 1【解析】设切线与曲线y=x ln x的切点为(x0,x0ln x0) ,函数y=x ln x的导函数为y′=ln x+1 , 故y′=ln x0+1=x0ln x0+1x0,解得x0=1 ,故切线方程为y=x−1 ,当a=0时, y=ax2+(a+2)x=2x ,显然成立,当a≠0时, y=ax2+(a+2)x与y=x−1联立, ax2+(a+1)x+1=0 ,其中Δ= (a+1)2−4a=0 , 解得a=1 ,故选A二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。
2024-2025学年四川省自贡市高二上学期期中考试数学检测试卷(含解析)
2024-2025学年四川省自贡市高二上学期期中考试数学检测试卷一、单选题（本大题共8小题）1．圆，圆，则圆与圆的位置关系为（ ()22125C x y ++=()2222(2)5C x y -+-=1C 2C ）A ．相交B ．相离C ．内切D ．外切2．直线的倾斜角为（ ）310y --=A ．B ．C ．D ．30︒135︒60︒150︒3．从2名男生和2名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．231213144．椭圆的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为（ ）221y x m +=A ．B ．2C ．D ．412145．已知直线，双曲线，则（ ）:28l y x =-22:14x C y -=A ．直线与双曲线有且只有一个公共点l C B ．直线与双曲线的左支有两个公共点l C C ．直线与双曲线的右支有两个公共点l C D ．直线与双曲线的左右两支各有一个公共点l C 6．已知两点，，过点的直线与线段AB （含端点）有交点，则()3,2A -()2,1B ()0,1P -l 直线的斜率的取值范围为（ ）l A ．B ．(][),11,-∞-+∞ []1, 1-C ．D ．[)1,1,5⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ 1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7．倾斜角为的直线经过双曲线的左焦点，交双曲线于30 l ()2222100x y a b a b -=＞，＞1F 两点，线段的垂直平分线过右焦点 ）,A B AB 2FA ．B ．C ．D ．y x =±12y x=±y =y =8．已知，直线，直线，若为(0,0),(0,1)O Q 1:240l kx y k -++=2:420l x ky k +++=P 的交点，则的最小值为（ ）12,l l 2||||PO PQ +A ．B ．C ．D．6-9-3二、多选题（本大题共3小题）9．若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（）{},,a b cA ．B ．,2,3a b c,,a b b c c a+++ C ．D ．2,23,39++-a b b c a c,,a b c b c c+++10．如图，已知点，是以OD 为直径的圆上的一段()()()()2,0,1,11,12,0A B C D --,,CD 圆弧，是以BC 为直径的圆上的一段圆弧，是以OA 为直径的圆上的一段圆弧，CBBA 三段圆弧构成曲线，则（ ）ΩA ．曲线与轴围成的面积等于Ωx 3π2B ．与的公切线的方程为 CBBA 10x y +-=C ．所在圆与所在圆的相交弦所在直线的方程为BA CB 0x y -=D ．所在圆截直线所得弦的弦长为CD y x=11．已知椭圆：（），，分别为其左、右焦点，椭圆的离心C 22219x y b +=0b >1F 2F C 率为，点在椭圆上，点在椭圆内部，则以下说法正确的是（）eM (N A ．离心率的取值范围为e ⎛ ⎝B ．不存在点，使得M 120MF MF += C ．当时，的最大值为12e =1MF MN +152D ．的最小值为11211MF MF +三、填空题（本大题共3小题）12．若，，则.()1,2,1a =()2,1,3b =-()()a b a b -⋅+=13．在平面直角坐标系中，已知点点的轨xOy ())1212,,2F F MF MF-=，M 迹为.则的方程为.C C 14．已知椭圆：，，为其左、右焦点，为椭圆上任一C ()222210+=>>x y a b a b 1F 2F P C 点，的重心为G ，I 是内心，且有（其中为实数），椭圆的离心12F PF 12IG F F λ=λC 率.e =四、解答题（本大题共5小题）15．已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切.M 2y x =-(2,1)P -10x y +-=(1)求圆的方程；M (2)经过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程.(2,1)l M ,A B ||2AB =l 16．某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试．已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到如图[]50,100所示的频率分布直方图．(1)求图中a 的值，并估算这40名学生测试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；(2)现学校准备利用比例分配的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取[)80,90[]90,1007人组成两会知识宣讲团．①求应从和学生中分别抽取的学生人数；[)80,90[]90,100②从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，设事件“至少有1人测试A =成绩位于区间”，求事件A 的概率．[]90,10017．已知双曲线的焦点到一条渐近线的距2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>(),0(0)F c c >y =离为(1)求的方程；C (2)若直线交双曲线于两点，是坐标原点，若是弦的中点，求l C ,A B O ()4,2M AB 的面积.OAB 18．如图，在四棱锥中，PA 平面P ABCD -⊥ABCD ，AD CD ，AD BC ，PA =AD =CD =2，BC=3.E 为PD 的中点，点F 在PC 上，⊥//且.13PF PC =(1)求证:CD 平面PAD ;⊥(2)求二面角的余弦值;F AE P --(3)设点G 在线段PB 上，且直线AG 在平面AEF 内，求的值.PGPB 19．已知椭圆的两个焦点分别为，其离心率为2222:1(0)y x E a b a b +=>>12(0,),(0,)F c F c -，过点且平行于的直线与椭圆交于，且1F x ,M N MN =(1)求椭圆的方程；E (2)过点且相互垂直的两条直线分别与椭圆交于.2F E AB CD 、①若直线斜率存在，过点向直线引垂线，垂足为，求证：直线过AB A :2l y =H BH 定点，并求出定点坐标；②求四边形面积的取值范围.ACBD答案1．【正确答案】D求出两圆圆心以及半径，再由圆心距与两圆半径的关系确定位置关系.【详解】由题意圆的圆心，半径的圆心，半径1C 1(2,0)C -1r =2C 2(2,2)C 2r =，即两圆外切1212C C r r ===+故选：D2．【正确答案】A【详解】设直线的倾斜角为，α因为该直线的斜率为，所以，所以，tan 180αα=︒≤<︒30α=︒故选：A3．【正确答案】A【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概率即可.【详解】记2名男生为，2名女生为，,a b 1,2任意选出两人的样本空间，共6个样本点，{,1,2,1,2,12}ab a a b b Ω=恰好一男一女生的事件，共4个样本点，{1,2,1,2}A a a b b =所以选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是.42()63P A ==故选A.4．【正确答案】D【分析】根据椭圆标准方程的形式，求出，根据，解出的值即可.,a b 2a b =m【详解】椭圆的焦点在y 轴上，∴，可得.∵长轴长是221y x m +=221y x m +=a 1b =短轴长的2倍，，解得2=4m =故选：D.5．【正确答案】C 【分析】发现点在双曲线的右顶点的右边，联立直线与双曲线方程并画()4,0Q ()2,0A 出图形即可得到答案.【详解】在同一平面直角坐标系中分别画出与的图象如图所示：:28l y x =-22:14x C y -=由图可知直线过点，它在双曲线的右顶点的右边，:28l y x =-()4,0Q ()2,0A 联立直线与双曲线方程得，解得或，222814y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩10343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩265125x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则直线与双曲线的右支有两个公共点.l C ,B C 故选：C.6．【正确答案】A【分析】求出直线、的斜率后可求直线的斜率的范围.PA PB l 【详解】，而，12103PA k --==-+11102PB k --==-故直线的取值范围为.l (],1(1,)-∞-+∞ 故选A.7．【正确答案】A【分析】由垂直平分线性质定理可得，运用解直角三角形知识和双曲线的定22AF BF =义，求得，结合勾股定理，可得a ，c 的关系，进而得到a ，b 的关系，即可4AB a=得到所求双曲线的渐近线方程．【详解】解：如图为线段AB 的垂直平分线，2MF 可得，22AF BF =且，1230MF F ∠=可得，，22sin30MF c c=⋅=12cos30MF c =⋅=由双曲线的定义可得，，122BF BF a-=212AF AF a-=即有，()1122224AB BF AF BF a AF a a=-=+--=即有，，2MA a=2AF =112AF MF MA a =-=-由，可得，212AF AF a-=)22a a -=可得，即，22243a c c +=c =，则渐近线方程为．b a ==y x =±故选A ．本题考查双曲线的方程和性质，渐近线方程的求法，考查垂直平分线的性质和解直角三角形，注意运用双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题．8．【正确答案】B【详解】直线过定点，1:240l kx y k -++=(2,4)M -直线过定点，2:420l x ky k +++=(2,4)N --且直线与直线垂直，所以点的轨迹是以为直径的圆，1l 2l P MN 故圆心是，半径为则点的方程是(2,0)C -4P 22(2)16x y ++=令，因为，2||||PO PA =22(2)16x y ++=所以，2222441212163438x y x y x x +=⇔+++++=则2222424361y x y x x ++=-+所以，可得点=()6,0A则2||||PO PQ +=||||||PA PQ AQ +≥==9．【正确答案】ABD【详解】由于是空间的一个基底，所以不共面，{},,a b c,,a b c 对于A ，向量分别与共线，所以不共面，能构成空间一个基底；2,3b c ,b c ,2,3a b c 对于B ，不存在实数满足，因此不共面，能构,x y ()()a b x b c y c a+=+++r r r r r r ,,a b b c c a +++ 成空间一个基底；对于C ，由于，因此这三个向量是共面的，不能构成基底.()()322339a b b c a c+-+=- 对于D ，不存在实数满足，因此不共面，能构,x y ()x a b b c y c c ++=++ ,,a b c b c c +++ 成空间一个基底.故选：ABD10．【正确答案】BC【详解】对于A ，，，所在圆的方程分别为，，CD CB BA 22(1)1x y ++=22(1)1y x +-=，曲线与轴围成的图形为一个半圆、一个矩形和两个圆，22(1)1x y -+=Ωx 14其面积为，故A 错误；ππ22π224++⨯=+对于B ，设与的公切线方程为，则，CBBA y kxb =+0k <0b >1==所以，与的公切线的方程为，1k =-1b = CBBA 1yx =-+即，故B 正确；10x y +-=对于C ，由及两式相减得，22(1)1y x +-=22(1)1x y -+=0x y -=即公共弦所在直线方程，故C 正确；对于D ，所在圆的方程为，圆心为，CD 22(1)1x y ++=(1,0)-圆心到直线的距离为(1,0)-y x =d=则所求弦长为，故D 错误.=故选BC.11．【正确答案】ABC 【分析】A ：根据点在椭圆内部可得，从而可得的取值范围，从(N 24219b +<2b 而可求离心率的取值范围；B ：根据相反向量的概念即可求解；C ：求出c 和，利2F 用椭圆定义将化为，数形结合即可得到答案；D ：利用可得1MF 2MF 122MF MF a+=，利用基本不等式即()2112121212111111222MF MF MF MF MF M M a F a MF MF F MF ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可求解.【详解】对于A ，由已知可得，，所以，24219b +<2185b >则A 正确；c e a ===<=对于B ，由可知，点为原点，显然原点不在椭圆上，故B 正确；120MF MF += M 对于C ，由已知，，所以，．12c e a ==3a =32c =23,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭又，则．(N 232NF ==根据椭圆的定义可得，1226MF MF a +==所以，126MFMN MF MN+=-+由图可知，，222NF MN MF NF -≤-≤所以126MF MN MF MN +=-+21562NF ≤+=当且仅当，，三点共线时，取得等号．M N 2F 故的最大值为，故C 正确；1MF MN +152对于D ，因为，126MF MF +=所以()2112121************MF MF MF MF MF MF MF MF MF MF ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12263⎛⎫ ⎪≥=⎪⎝⎭当且仅当，即时，等号成立．2112MF MF MF MF =123MF MF ==所以，的最小值为，故D 错误．1211MF MF +23故选：ABC本题考查点和椭圆为位置关系，考查椭圆定义和基本不等式在计算最值问题里面的应用.12．【正确答案】8-【详解】,()()1,3,23,1,4a b a b -=--+= ，则，()()()()1331248a b a b -⋅+=-⨯+⨯+-⨯=-故8-13．【正确答案】()22119y x x -=≥【详解】由题，点M 的轨迹是为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，12,F F 故可设C 的方程为，22221(,0,0)x y x a a b a b -=≥>>由题：，解得：,22222,10a c a b ==+=1,3a b ==故C 的方程为.221(1)9y x x -=≥故．221(1)9y x x -=≥14．【正确答案】/0.512【详解】设为的重心，点坐标为，00(,),P x y G 12F PF G ∴00,33x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭∵，∴IG ∥x 轴或 IG 两点重合， ∴I 的纵坐标为，12IG F F λ=03y 在中，，12F PF 1212||||2,||2PF PF a F F c +==，121201||||2F PF F F y S =⋅⋅∴△又∵I 为△F1PF2的内心，∴I 的纵坐标 即知内切圆半径，3y 内心I 把分为三个底分别为的三边，高为内切圆半径的小三角形，12F PF 12F PF 12011221(||||||)||.23F PF y S PF F F PF ∴=++△，0120112211||||(||||||)||223y F F y PF F F PF ∴⋅⋅=++即，， 00112||(22)||223y c y a c ⨯⋅=+2a c ∴= ∴椭圆C 的离心率12c e a ==故答案为: 1215．【正确答案】(1)22(1)(2)2x y -++=(2)或2x =4350x y --=【详解】（1）由题意，设圆心，半径，(),2M a a -r ∵圆M 经过点，∴(2,1)P -r MP ==∵圆M 与直线相切，10x y +-=∴圆心到直线的距离，M 10xy +-=d r，解得，2210a a -+=1a =则圆心，半径()1,2M -r MP ===所以圆M 的方程为．22(1)(2)2x y -++=（2）由题意，圆心到直线的距离，()1,2M -l 1d ===若直线的斜率不存在，其方程为，显然符合题意；l 2x =若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，l l 1(2)y k x -=-120kx yk -+-=则圆心到直线的距离由，解得，()1,2M -l 1d ==43k =则直线的方程为，即，l 41(2)3y x -=-4350x y --=综上，直线的方程为或．l 2x =4350x y --=16．【正确答案】(1)，0.030a =74.5(2)①5人，2人；②.1121【详解】（1）由频率分布直方图，得，解得(0.0150.0200.0250.010)101a ++⨯++=；0.030a =所以估算这40名学生测试成绩的平均数为；550.15650.2750.3850.25950.174.5++++⨯⨯⨯⨯⨯=（2）①由图可得和这两组的频率之比为，[)80,90[90,100]02550102..=故应从学生中抽取的学生人数为（人），[)80,905757⨯=应从学生中抽取的学生人数为（人）；[)90,1002727⨯=②设从中抽取的5人为，从学生中抽取的2人为1，2，[)80,90,,,,a b c d e [)90,100则这个试验的样本空间，则；,,,,1,2,,,121211,}{2,,,,2,,,,,,12,ab ac ad ae a a bc bd be b b cd ce c c de d d e e Ω=()Ω21n =又，则，{}1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,12A a a b b c c d d e e =()11n A =故.()()()11Ω21n A P A n ==17．【正确答案】(1)22143xy -=【分析】（1）利用焦点到渐近线的距离求出c =方程；（2）利用点差法求出直线的斜率，然后联立直线与双曲线的方程，求出弦长l l C 和点到直线的距离，即可求出的面积.ABO l OAB 【详解】（1）由双曲线的一条渐近线方程为，所以C y =b a =故到渐近线的距离，F d ==所以，所以c =222b a bc a =+=2,a b ==故的方程为.C 22143x y -=（2）设点，因为是弦的中点，则()()1122,,,A x y B x y ()4,2M AB 12128,4,x x y y +=⎧⎨+=⎩由于，所以两式相减得，22221122114343x y x y -=-=,()()()()12121212043x x x x y y y y +-+--=所以，即直线的斜率为，()()1212121233834442x x y y x x y y +-==⨯=-+l 32所以直线的方程为，即.l ()3242y x -=-342y x =-联立消去并整理，得，2234,21,43y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩y 2324380x x -+=所以，且，2Δ2443381200=-⨯⨯=>1212388,3x x x x +==所以AB ===点到直线的距离为，O 342y x =-d ==所以的面积为.OAB12=18．【正确答案】(1)证明见解析(3)23【详解】（1）因为PA 平面ABCD ，CD 平面ABCD ，⊥⊂所以PA CD ，又因为AD CD ，PA AD =A ，PA ，AD 平面PAD ，⊥⊥⋂⊂所以CD 平面PAD ；⊥（2）过点A 作AD 的垂线交BC 于点M ，因为PA 平面ABCD ，AM ，AD 平面ABCD ，⊥⊂所以PA AM ，PA AD ，⊥⊥建立如图所示的空间直角坐标系，A xyz -则，，，，， (0,0,0)A (2,1,0)B -(2,2,0)C (0,2,0)D (0,0,2)P 因为E 为PD 的中点，所以，(0,1,1)E 所以，，，(0,1,1)AE = (2,2,2)PC =- (0,0,2)AP = 所以，，1222(,,)3333PF PC ==- 224(,,)333AF AP PF =+= 设平面AEF 的法向量为，则(,,)n x y z =，即，取，00n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 02240333y z x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩(1,1,1)n =-- 又因为平面PAD 的一个法向量为，(1,0,0)p =所以cos ||||n p n p n p ⋅⋅==⋅ 由题知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.F AE P --F AE P --（3）因为点G 在PB 上，设，PGPB λ=，，，000(,,)G x y z 000(,,2)PG x y z =- (2,1,2)PB =--由得，PG PB λ=000(,,2)(2,1,2)x y z λ-=--即，所以，000222x y z λλλ=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩(2,,22)AG λλλ=--由（2）知，平面AEF 的法向量为，(1,1,1)n =--因为直线AG 在平面AEF 内，，得，2220AG n λλλ⋅=-++-= 23λ=综上，的值为.PGPB 2319．【正确答案】(1)2212y x +=(2)①证明见解析，；②302⎛⎫ ⎪⎝⎭，1629S ≤≤【详解】（1）由已知，c a=,a b c ==在方程中，令，则，故2222:1(0)y x E ab a b +=>>yc =-2b xa =±22b a =所以的方程为.1,b c a ===E 2212y x +=（2）设，当直线斜率存在时，设1122()A x y B x y ,,(,)AB :1AB l y kx =+由得：，故，22122y kx x y =+⎧⎨+=⎩22(2)210k x kx ++-=12122221,22k x x x x k k --+==++①由已知，所以直线的斜率为1(,2)H x BH 22212121BH y kx k x x x x --==--则直线的方程为：，即：BH 212112()kx y x x x x --=--22121211(1)2kx kx x y x x x x x --=+---注意到：由韦达定理有：21211212112212121(1)2222kx x x x kx x x x x kx x x x x x x x ---+---==---，12122x x kx x +=所以:1221212121122121212132()(1)232222x x x x x x kx x x x kx x x x x x x x x x +-------====----故直线的方程为：，所以直线过定点，BH 221132kx y x x x -=+-BH 302⎛⎫⎪⎝⎭，②当斜率存在且斜率，AB 0k ≠则AB ===同理以替代得:1k-k CD =，2242422242422224(1)4(21)4(21)41(21)(2)2522(21)212k k k k k S k k k k k k k k k +++++====++++++++++因为：，当且仅当时，即时，等号成立，22124k k ++≥221k k =1k =±，当轴时，，故.22164219212k k∴≤<+++//MN x 2S =1629S ≤≤。
专题01排列组合(原卷版)-高二数学下学期期中专项复习(人教A版选择性必修第三册)
专题01排列组合 一、单选题 1．（2020·江苏苏州市·高二期中）5人站成一排，若甲､乙彼此不相邻，则不同的排法种数共有（ ）
A．144 B．72 C．36 D．12 2．（2021·湖北高三月考）某市为了迎接国家文明城市验收，要求某单位4名工作人员到路口执勤，协助交
警劝导人们规范出行.现有含甲､乙在内的4名工作人员，按要求分配到2个不同的路口执勤，每个路口至少一人，则甲､乙在同一路口的分配方案共有（ ） A．3种 B．6种 C．9种 D．12种
3．（2020·重庆市第十一中学校高三月考）“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新
时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员､面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态､紧跟时代脉搏的热门APP.该款软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习板块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题板块.某人在一次学习过程中把六个板块全部学习.则“阅读文章”与“每周答题”两大板块相邻的学习方法有（ ） A．192种 B．240种 C．432种 D．528种
4．（2021·明光市高级中学高二开学考题（理））受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰
放学，错峰有序吃饭.高三年级一层楼有甲、乙、丙、丁、戊、己六个班排队吃饭，甲班不能排在第一位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有（ ） A．120种 B．156种 C．192种 D．240种
5．（2020·四川省绵阳南 中学高二月考（理））根据党中央关于“精准扶贫，脱贫攻坚”要求，我市从10名大
学毕业生中选3人担任县长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（ ） A．85 B．56 C．49 D．
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6．（2020·全国高三专题练习（理））精准扶贫点用2400元的资 为贫困户购买良种羊羔，共有肉用 羊、毛
河南省信阳市普通高中2023-2024学年高二下学期期中教学质量检测数学试题(含答案)
信阳市普通高中2023-2024学年高二下学期期中教学质量检测数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用2B 铅笔将准考证号填涂在相应位置。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
第Ⅰ卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知，，则可表示不同的值的个数为（ ）A ．10B ．6C ．8D ．92．已知函数，则（ ）A ．B ．1C ．2D ．33．五声调式是由五个音构成的调式，是我国特有的．这五个音的名称依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音，排成一个没有重复音的五音音列，且商、角不相邻，徵位于羽的左侧，则可排成的不同音列有（ ）A ．18种B ．24种C ．36种D ．72种4．已知函数的导数为，若，则（ ）A．26B ．12C ．8D ．25．二项式展开式中的常数项是（ ）A ．第7项B ．第8项C ．第9项D ．第10项6．已知函数的图象如右图所示（其中是函数的导函数），则下面四个图象中，的图象大致是（ ）{}2,3,7x ∈{}3,4,8y ∈--xy ()21f x x =+()()11limx f x f x∆→+∆-=∆32()f x ()f x '()()32312f x x f x x '=++()2f '=12x ⎛⎝()y xf x ='()f x '()f x ()y f x =A ．B ．C ．D ．7．春节档电影《热辣滚烫》通过讲述主人公的成长与蜕变，展示了热情与坚韧如何成为人生道路上最强大的动力．它鼓励观众保持对生活的热爱和坚持，相信只要不放弃，就能够找到属于自己的光芒，实现梦想．甲、乙、丙等七人相约到电影院看电影《热辣滚烫》，恰好买到了七张连号的电影票．若甲、乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为（ ）A ．192B ．240C ．96D ．488．若动点在直线上，动点在曲线上，则的最小值为（）A ．BCD ．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．在某地新高考“”的改革方案中，选择性考试科目有6门，即：物理、化学、生物、政治、历史、地理．根据相关要求，学生首先要在物理、历史2门科目中选择1门；再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，高考考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．现某学生想选三门选考科目，下列说法正确的是（）A ．若物理必选，则选法总数为B ．若生物必选，则选法总数为⋅⋅⋅⋅⋅⋅P 1y x =+Q 22x y =-PQ 1418312++24C 1123C CC ．若化学、生物至少选一门，则选法总数为D ．若历史必选，政治、地理至少选一门，则选法总数为10．已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知函数，则下列选项中正确的是（ ）A ．B ．既有最大值又有最小值C ．若方程有4个根，则D ．若，则第Ⅱ卷三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知的展开式中项的系数为______．13．对于各数互不相等的整数数组（是不小于3的正整数），若对于任意的，，当时有，则称，是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，如数组中的逆序有“2与1”“4与3”，“4与1”，“3与1”，所以整数数组的“逆序数”等于4。
2024-2025学年山西省高二上学期11月期中联合数学质量检测试题(含解析)
2024-2025学年山西省高二上学期11月期中联合数学质量检测试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一､二册占20%，选择性必修第一册占80%.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合，则（）{}{}{}1,2,3,4,1,2,2,3U M N ===()UM N ⋂=ðA.B.C.D.{}3{}1,2{}2,3{}3,4【正确答案】A【分析】根据补集和交集的概念与运算直接得出结果.由题意得，所以.{}3,4U M =ð(){}3UM N ⋂=ð故选：A2. 已知复数满足，则的共轭复数（）z 1i1i z --=z z =A. B. C. D. 1i --1i-+2i+2i-【正确答案】D【分析】根据复数的运算及共轭复数的概念求解.因为，所以，则.()21i i1i 1i i i --==--()11i 2i z =---=+2i z =-故选：D.3. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则（）()f x R 0x ≥()2xf x =()1f -=A. 1B. 2C. D. 012【正确答案】B【分析】由函数的奇偶性可得，代入函数解析式直接得出结果.()()11f f -=由偶函数性质得，.()()11122f f -===故选：B 4. 从和两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概{}2,3{}4,5率是（）A. B. C. D. 16131214【正确答案】D【分析】用列举法写出样本空间，再由概率公式计算．组成两位数的样本空间，样本点总数为8.能被3整除的数{}Ω24,42,25,52,34,43,35,53=为24，42，有2个.故所求概率为.2184=故选：D．5. 图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，水面下降2m 6m 后，水面宽度为（）1mA. B. C.D.8m【正确答案】C【分析】建立直角坐标系，直线交抛物线于两点，抛物线方程为，代入抛2y ax =()3,2A -物线，解得答案.建立如图所示的平面直角坐标系，则点.设抛物线的方程为，()3,2A -2y ax =由点可得，解得，所以.()3,2A -29a -=29a =-229x y =-当时，，所以水面宽度为.=3y-x =故选：C.6. 已知椭圆，过点的直线交于、两点，且是的中点，22:194x y C +=()1,1M -C A B M AB 则直线的斜率为（）A. B. C. D. 49292343【正确答案】A【分析】设、，利用点差法可求得直线的斜率.()11,A x y ()22,B x y AB 若线段轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，所以，直线的斜率存在，AB x ⊥AB x AB 设、，由题意可得，，()11,A x y ()22,B x y 122x x +=-122y y +=则，两式相减可得，22112222194194x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩22221212094x x y y --+=所以，，解得，22121212221212122429AB AB y y y y y y k k x x x x x x --+=⋅==-=---+-49AB k =因此，直线的斜率为.AB 49故选：A.7. 若动圆过定点，且和定圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程()2,0A C ()2221x y ++=P 为（）A. （） B. （）2213y x -=12x ≥2213y x -=12x ≤-C. （） D. （）2244115y x -=12x ≤-2244115y x -=12x ≥【正确答案】D【分析】根据动圆与定圆外切得出，再由双曲线定义判断14PC PA AC -=<=动点轨迹，写出方程即可.定圆的圆心为，与关于原点对称.()2,0C -()2,0A 设，由两圆外切可得，PA r=1PC r=+所以,14PC PA AC -=<=所以的轨迹为双曲线的右支.P 设的轨迹方程为，则，P ()222210,0x y a b a b -=>>222115,2,24a c b c a ===-=所以轨迹方程为.224141152y x x ⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭故选：D 8.已知，，若直线上存在点P ，使得，则t 的()20A ，()100B ，420tx y -+=0PA PB ⋅=取值范围为（）A. B. 2135⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，21,35⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. D.[)2135⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ ，，(]975⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，，【正确答案】B【分析】设，根据，得出的轨迹方程，再结合条件为直线上的(),P x y 0PA PB ⋅=P P AB 点，得到直线与圆的位置关系，即可求解.设，则，，(),P x y ()2PA x y =--，()10PB x y =--，因为，所以，0PA PB ⋅=()()2210()0x x y -⋅-+-=即，所以点在以为圆心，4为半径的圆上.22(6)16x y -+=P ()60，点在直线上，P 420tx y -+=所以直线与圆有公共点，420tx y -+=22(6)16x y -+=，解得4213.5t -≤≤故选:B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知抛物线的焦点为，直线与在第一象限的交点为，2:4C y x =F ):1l y x =-C P 过点作的准线的垂线，垂足为，下列结论正确的是（）P C M A. 直线过点 B. 直线的倾斜角为Fπ3C.D. 是等边三角形π2FPM ∠=FPM 【正确答案】ABD【分析】求出抛物线的焦点，代入验证可判断A ；由直线的斜率求出倾斜角可判断B ；由与直线的倾斜角的关系可判断C ；由抛物线定义可知，进而判断FPM ∠PF PM =的形状，从而判断D.FPM 抛物线的焦点为，而，所以直线过点，故A 正确；2:4Cy x =(1,0)F )011=-F设直线的倾斜角，因为直线的斜率为，α):1l y x =-tan k α==0πα≤<所以，即直线的倾斜角为，故B 正确；π3α=π3因为，故C 错误；π3FPM ∠α==因为点在抛物线上，由抛物线定义可知，，P PF PM=又，所以是等边三角形，故D 正确.π3FPM ∠=FPM 故选：ABD.10. 已知函数，则（）()()2sin cos sin 1f x x x x =-+A.的最小正周期为()f x πB. 的图象关于直线对称()f x 5π8x =C. 的图象关于点中心对称()f x π,18⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 在上单调递增()f x ππ,410⎛⎫- ⎪⎝⎭【正确答案】ABD【分析】根据三角恒等变换的化简计算可得，结合正弦函数的图象()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与性质依次判断选项即可.详解】.()()π2sin cos sin 1sin2cos224f x x x x x x x ⎛⎫=-+=+=+ ⎪⎝⎭A ：，所以的最小正周期为，故A 正确；2ππ2T ==()f x πB ：令，得，ππ2π,42x k k +=+∈Z ππ,82k x k =+∈Z 当时，，1k =π85x =所以为函数的一条对称轴，故B 正确；π85x =()f x C ：令，得，π2π,4x k k +=∈Z ππ,82k x k =-+∈Z 当时，，0k =π8x =-所以为函数的一个对称中心，故C 错误；π,08⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x D ：令，得，πππ2π22π,242k x k k -+≤+≤+∈Z ()3ππππ88k x k k -+≤≤+∈Z 当时，，即的单调递增区间为，0k =3ππ88x -≤≤()f x 3ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦而为的真子集，故D 正确.ππ,410⎛⎫- ⎪⎝⎭3ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：ABD11. 若平面，平面，平面，则称点F 为点E 在平面内的正投影，记E ∉γF ∈γ⊥EF γγ为如图，在直四棱柱中，，， ().F t E γ=1111ABCD A B C D -2BC AD =AD AB ⊥,P N 分别为，的中点，，记平面为，平面1AA 1CC 13DQ QD =1 6.AB BC AA ===1A BC αABCD 为，，（）β1(01)AH AA λλ=<<()()12..a a K t t H K t t H ββ⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦A. 若，则111122A N A Q A P A B μ=-+1μ=B. 存在点H ，使得平面1//HK αC. 线段1HK D. 存在点H ，使得12HK HK ⊥【正确答案】ABC【分析】先建系，对于选项A ，先证Q ，B ，N ，P 四点共面，再计算的值；对于选项B ，μ先找出，，可得是平面的一个法向量，结合平面，则1K 2K 2AK α1//HK α，依此求出H 的位置；对于选项C ，表示出，求解其最小值即可；对120HK AK ⋅=1HK 于D ，依据，则，从而可判定H 的存在性.12HK HK ⊥120HK HK ⋅=对于A ：因为为直四棱柱，，所以以A 为坐标原点，1111ABCD A B C D -AD AB ⊥AD ，AB ，所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，连接PQ ，1AA .BN则，，，，，()1006A ，，9302Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，()060B ，，()663N ，，()003P ，，故，，3302PQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，，()603BN =，，所以，即Q ，B ，N ，P 四点共面，2BN PQ =若，则，解得，A 正确；111122A N A Q A P A B μ=-+221μ-+=1μ=对于B ：过点H 作，交于点G ，过点G 作AB 的垂线，垂足即，1HG A B ⊥1A B 1K 过点A 作的垂线，垂足即，连接，，由题意可得，1A B 2K 1HK 2HK 6(01)AH λλ=<<则，，，，()006H λ，，()03333G λλ-+，，()10330K λ-，，()2033K ，，故，，，，()2033AK =，，()10336HK λλ=--，，()20336HK λ=-，，()1066A B =-，，易得是平面的一个法向量，若平面，2AKα1//HK α则，即，解得，符合题意，120HK AK ⋅= ()()333360λλ-+-=()1013λ=∈，所以存在点H ，使得平面，B 正确，1//HK α对于C ：1HK === 当时，取得最小值，最小值为C 正确.15λ=1HK 对于D ：若，则，12HK HK ⊥()()123336360HK HK λλλ⋅=---=得，无解，所以不存在点H ，使得，D 错误.24310λλ-+=12HK HK ⊥故选：ABC关键点点睛：根据题意可知在平面上，然后建立坐标系，根据投影表示所需12,K K 11ABB A 要点的坐标，然后利用坐标计算即可.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知单位向量满足，则与的夹角为__________.,a b a b a -= a b 【正确答案】##π360︒【分析】根据平面向量数量积的运算律求得，结合数量积的定义计算即可求解.12a b ⋅=由，可得，解得，a b a-=2222a a b b a -⋅+= 12a b ⋅= 则，又，1cos ,2a b a b a b ⋅== ,],0π[a b ∈所以与的夹角为.ab π3故π313. 如图，在棱长为的正方体中，是的中点，则21111ABCD A B C D -F 1CD __________.AF AC ⋅=【正确答案】6【分析】，为等边三角形，利用向量数量积的定义求()112AF AD AC =+ 1ACD 即可.AFAC ⋅棱长为的正方体中，21111ABCD A B C D -连接，则是边长为的等边三角形，1AD 1ACD △..()22111111π1cos 6222232AF AC AD AC AC AD AC AC ⋅=+⋅=⋅+=⨯+⨯= 故选：614. 已知椭圆与双曲线有公共焦()22122:10x y C a b a b +=>>()2222210,0:x y C m n m n -=>>点与在第一象限的交点为，且，记的离心率分别为，121,,F F C 2C P 12PF PF ⊥12,C C 12,e e 则__________.221211e e +=【正确答案】2【分析】根据椭圆和双曲线的定义可得，根据勾股定理化简可得12,PF a m PF a m=+=-，结合离心率定义即可得结果.2222a m c +=由题意可知，，12122,2+=-=PF PF a PF PF m所以.12,PF a m PF a m=+=-因为，所以，即，12PF PF ⊥2224()()c a m a m =++-22222222,2a m a m c c c +=+=所以，2212112e e +=故2.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知在中，，，，记的外接圆为圆.ABC V ()2,1A ()2,3B ()6,1C ABC V M（1）求圆的标准方程；M （2）求过点且与圆相切的直线的方程.A M 【正确答案】（1）22(4)(2)5x y -+-=（2）250x y +-=【分析】（1）方法一，求两条线段垂直平分线的交点确定圆心，圆心到圆上一点的距离确定半径，从而得到圆的方程；方法二，设出圆的标准方程，待定系数法求圆的方程.（2）先求圆心与点连线的斜率，利用垂直关系，确定切线斜率，再利用点斜式即可求解A 切线方程.【小问1详解】（方法一）直线的方程为，、的中点为，AB 2x =A B ()2,2所以线段的中垂线方程为，AB 2y =直线的方程为，、的中点为，AC 1y =A C ()4,1线段的中垂线方程为.AC 4x =直线与直线的交点为，即圆的圆心为.2y =4x =()4,2M ()4,2点与点()4,2()2,1A=即圆，所以圆的标准方程为.M M 22(4)(2)5x y -+-=（方法二）设圆的标准方程为，M ()()222x a y b r -+-=则，222222222(2)(1)(2)(3)(6)(1)a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪-+-=⎨⎪-+-=⎩222222222425461312237a a b b r a a b b r a a b b r ⎧-+-+=⎪-+-+=⎨⎪-+-+=⎩解得2425a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩故圆的标准方程为M 22(4)(2)5x y -+-=【小问2详解】圆的圆心为，，直线的斜率为，M ()4,2M ()2,1A AM 1211422k -==-所以切线斜率为，所求切线方程为，2112k k =-=-()122y x -=--整理得.250x y +-=16. 如图，长方体的底面是正方形，分别为1111ABCD A B C D -ABCD ,,E F G的中点，.11,,CC AB CD 12AA AB =（1）证明：平面.EF ∥1AGD （2）求二面角的余弦值.1G AD D --【正确答案】（1）证明见解析（2【分析】（1）建立空间直角坐标系，由空间向量的坐标运算，即可证明线面平行；（1）由空间向量的坐标运算结合二面角的公式代入计算，即可得到结果.【小问1详解】设，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，122AA AB ==A 则，1111(0,0,0),(1,0,2),1,,0,(1,0,2),1,,022A D G AD AG ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设平面的法向量为，1AGD n =(x,y,z )则即10,0,n AD n AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 20,10,2x z x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩令，则.2x =()2,4,1n =--证明.()111,1,1,0,,1,1,,022E F EF ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，所以，()()11240102EF n ⋅=-⨯-⨯-+⨯-= EF n ⊥ 平面，所以平面.EF ⊄ACD 1EF ∥1AGD 【小问2详解】易知为平面的一个法向量，且.AB1ADD ()0,1,0AB =.cos ,AB n AB n AB n⋅==易得二面角为锐角，所以二面角.1G AD D --1G AD D --17. 已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点()22122:10x y C a b a b +=>>F ()22:20C y px p =>重合，过点且与轴垂直的直线交于两点，是与的一个公共点，F x 2C ,A B M 1C 2C ，.5MF =6AF =（1）求与的标准方程；1C 2C （2）过点且与相切的直线与交于点，求.A 2C 1C ,C D CD 【正确答案】（1）的标准方程为，的标准方程为1C 2213627x y +=2C 212y x =（2）727【分析】（1）由抛物线的定义代入计算，即可求得的标准方程，再将点的坐标代入椭1C M 圆方程，即可得到的标准方程；2C （2）根据题意，联立直线与抛物线方程，结合弦长公式，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】记，则抛物线的方程为，其准线方程为.()(),00F c c >2C 24y cx =x c =-因为，所以，解得，则的标准方程为.6AF =2264c =3c =2C 212y x =不妨设点在第一象限，记，因为，M ()(),0,0M M M M M x y x y >>5MF =所以，解得.因为，所以，即.5M c x +=2M x =212M M y x =M y=(2,M 由解得222221,9,a a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩2236,27,a b ⎧=⎨=⎩所以的标准方程为.1C 2213627x y +=【小问2详解】不妨设点在第一象限，则.A ()3,6A 设直线.():63l x m y =-+联立得.()263,12,x m y y x ⎧=-+⎨=⎩21272360y my m -+-=由，解得，则.()2Δ(12)472360m m =-⨯-=1m =:30l x y -+=设.()()1122,,,C x y D x y 联立得，则，2230,1,3627x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩2724720x x +-=12122472,77x x x x +=-=-故.727CD==18. 如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，P ABC -PAB ABC V ，平面平面.2,PA AC BC =⊥PAB ⊥ABC （1）证明.AB PC⊥（2）点在线段上，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.D PC AD PBC 【正确答案】（1）证明见解析（2【分析】（1）由线面垂直的判定定理可证平面，再由其性质定理即可证明；AB ⊥POC （2）根据题意，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，由空间向量的坐标运算以及线面O 角的公式代入计算，即可得到结果.【小问1详解】证明：取的中点，连接.AB O ,OP OC 因为为等边三角形，所以.PAB OP AB ⊥因为为等腰直角三角形，且，所以.ABC V AC BC ⊥OC AB ⊥因为平面平面，所以平面，OP ⊂,POC OC ⊂,POC OP OC O ⋂=AB ⊥POC 所以.AB PC ⊥【小问2详解】因为平面平面，平面平面平面，所PAB ⊥ABC PAB ⋂,ABC AB OP =⊂,PAB OP AB ⊥以平面.OP ⊥ABC 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，O 则，(0,1,0),(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(A C P B CB CP -=-=-设，则()01CD CP λλ=≤≤()(1,1,0AD AC CD λ=+=+-.()1λ=-设平面的法向量为，PBC n =(x,y,z )则即0,0,CB n CP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩0,0,x y x -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩令，则，所以.z =3,3x y ==(n =设直线与平面所成的角为，AD PBC θ则sin cos ,AD θ= ，当且仅当时，等号成立.=≤=14λ=故直线与平面ADPBC 19. 已知为坐标原点，双曲线的左､右顶点分别为，圆O C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)12,A A 过点，与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且221x y +=2A C D 1A D =（1）求的方程；C （2）过点且斜率不为0的直线与双曲线的左､右两支的交点分别为，()(),0M t t a ->C Q ，连接并延长，交双曲线于点，记直线与直线的交点为，证明：点P QO C R 1A R 2A P B 在曲线上.B ()22221x y b t a a t a +=-+【正确答案】（1）2213y x -=（2）证明见解析【分析】（1）由圆过点得，由已知得是等边三角形，进而得渐近221x y +=2A 1a =2ODA 线的斜率，即可求出，即可得出的方程；b C （2）设直线，联立直线与双曲线的方程，根据韦达定()()1122:,,,,l x my t P x y Q x y =-C 理得，将直线与直线的方程变形可得1212,y y y y +1A R 2A P.由及计算可证得结论.()()()()12212121121111myy y t yy x y y myy y t yy x y y ⎧-+=-⎪⎨-+=+⎪⎩①②+①②①-②【小问1详解】因为圆过点，得，所以，.221x y +=2A ()21,0A 1a =()11,0A -在中，，12Rt A AD 122A D A ==所以，221A D OD OA ===所以是等边三角形，.2ODA 260A OD ∠=双曲线的一条渐近线的斜率为.C2tan A OD ∠=ba=b =故的方程为.C 2213y x -=【小问2详解】证明点在曲线上，即证明点在曲线上.B ()22221x y b t a a t a +=-+B ()221311y x t t +=-+设直线，则()()1122:,,,,l x my t P x y Q x y =-()22,R x y --联立得，2213x my ty x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩()222316330m y mty t --+-=则.()2121222316,3131t mty y y y m m -+==--直线的方程为，直线的方程为1A R ()2211y y x x =+-2A P ()111.1yy x x =--将直线与直线的方程变形可得,1A R 2A P ()()()()11221111myy t y x y myy t y x y ⎧-+=-⎪⎨-+=+⎪⎩即,()()()()12212121121111myy y t yy x y y myy y t yy x y y ⎧-+=-⎪⎨-+=+⎪⎩①②得，+①②()()121212212myy y t y y y xy y -++=即，()()()2222231316212313131t t mtmy t y x m m m --⋅-+⋅=⋅---即，()()61661my t myt x t --=-化简可得()1x t m y-=-得，①-②()()211212t y y y y y -+-=-，()()22222112(1)4t y y y y y +-=，()()222222222121316(1)4313131t t mt t y m m m ⎡⎤⎡⎤--⎛⎫⎢⎥⎢⎥+-= ⎪---⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，()()()22222222(1)3612131361t y m t t m t ⎡⎤+---=-⎣⎦化简得.()2222313(1)y t m t +-=-将代入可得，()1x t m y -=-()221311y x t t +=-+即点在曲线上.B ()22221x y b t a a t a +=-+。
2024-2025学年湖北省武汉市高二上学期期中考试数学检测试题(含解析)
2024-2025学年湖北省武汉市高二上学期期中考试数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知 是虚数单位，则复数 （ ）i 2i1i -=+A ．B ．C ．D ．13i 22--13i 22-13i 22-+13i 22+2．已知直线与相交于点 ，则点到直线1:30l x y +-=2:310l x y --=M M 的距离为（ ）3:210l x y -+=A ．B ．C ．D ．3．在不超过 9 的质数中， 随机选取两个不同的数， 其和为偶数的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．141312234．已知椭圆的左､右焦点分别为上一点满足，2222:1(0)x y T a b a b +=>>12,,F F T A 22AF b =且，则的离心率为（ ）21AF AF ⊥TA ．B ．C ．D ．13125．已知三棱锥中，平面，则此三棱锥外P ABC -PA ⊥π,,2,3ABC CAB PA BC ∠===接球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．16π20π24π32π6．在平面直角坐标系中，已知点，， 为平面上一动点且满xOy ()0,2A (),3P t t --M 足， 当实数变化时，的最小值为（ ）226MA MO +=t PMA ．B ．C ．D ．7．在梯形 中，满足 ，则 ABCD //262AD BC AD BC AB DC ==⋅=，，，（ ）AC BD ⋅=A ．4B ．6C ．10D ．128．已知为锐角三角形，且满足，则的取值范围ABC V 222sin sin 2sin 3sin A C A B +=sin sin CA 是（ ）A ．B ．C ．D ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭15,33⎛⎫ ⎪⎝⎭1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭25,33⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题（本大题共3小题）9．下列说法正确的是（ ）A ．已知一组数据1，2，4，3，1，2，1，则这组数据中位数为 2B ．已知五个数据5，5，10，10，20，则这组数据的分位数为1080%C ．若，则事件与互为对立事件()()1P A P B +=A B D ．若事件相互独立，，则,A B ()()11,54P A P B ==()15P AB = 10．在棱长为的正方体 中， 为 的中点，为平面21111ABCD A B C D -F 1CB P 上的一动点，则下列选项正确的是（ ）1ACD A ．二面角的平面角的正切值为 1D AC D --2B ．三棱锥体积为 11B ACD -C ．以点为球心作一个半径为 的球，则该球被平面所截的圆面D 1ACD 的面积为 2π3D．线段的最小值为1B P PF +11．已知椭圆的左，右焦点分别为，，圆222:1(02)4x y C b b +=<<1F 2F ，点P 在椭圆C 上，点Q 在圆M 上，则下列说法正确的有（ ）22:(2)1M x y +-=A ．若椭圆C 和圆M 没有交点，则椭圆C 的离心率的取值范围是⎫⎪⎪⎭B ．若，则的最大值为41b =||PQ C ．若存在点P 使得，则123PF PF =0b <≤D ．若存在点Q 使得，则2QF QF 1b =三、填空题（本大题共3小题）12．已知椭圆 ，过右焦点的直线交 于 两点，则 的最22:143x y C +=C A B ，AB 小值为.13．设向量 满足 ，则 的最大值a b c ，，()1200a b a b c a b c ==⋅=⋅+-= ，，，c 等于 .14．已知球的表面积为，正四面体的顶点均在球的表面上，球心O 16πABCD ,,B C D O 为的外心，棱与球面交于点.若平面平面平面平O BCD △AB P A ∈1,B α∈2,C α∈3,D α∈面且与之间的距离为同一定值，棱分别与()41,//1,2,3i i i ααα+=i α()11,2,3i i α+=,AC AD 交于点，则的值为.2α,Q R cos PQR ∠四、解答题（本大题共5小题）15．已知双曲线 的实轴长为 4，离心率等于 2 .()2222100x y a b a b -=>>，(1)求双曲线的方程；(2)已知定点，若双曲线的左焦点为，为双曲线右支上任意一点，求()14A ，1F P 的最小值.1PF PA+16．已知点，直线.()2,3A l 10x y ++=(1)求过点，且与直线平行的直线的方程；A l l '(2)光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，求反射光线所在直线的方A l ()1,1B 程.17．已知满足圆的方程.,x y 22:80C x y y +-=(1)求的取值范围；2x y +(2)若直线与圆交于不同的两点，当为锐角时，求实数():20l y kx k =->C ,A B ACB ∠的取值范围.k 18．如图，在三棱锥 中，P ABC - 分别是 的中点.42AC BC AC BC PA PB PC ME F ==⊥==，，，，，，AB PA PB ，，(1)求证: 平面 ；PM ⊥ABC (2)若四面体的体积为 ，求；BCEF 1PM (3)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值.()01CD CP λλ=<<AD PBC19．已知椭圆，短轴长为.过左焦点 的C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)31,2⎛⎫⎪⎝⎭F 直线交于两点，过点与垂直的直线交于两点，其中在轴上方，l C ,A B F l C ,D E ,B D x 分别为的中点.MN ,AB DE(1)求椭圆的标准方程；C (2)证明:直线过定点，并求定点坐标；MN (3)设为直线与直线的交点，求面积的最小值.G AE BD GMN答案1．【正确答案】B【详解】,()()()()2i 1i 2i 13i 1i 1i 1i 2----==++-13i22=-故选：B.2．【正确答案】A【详解】由得，即，30310x y x y +-=⎧⎨--=⎩12x y =⎧⎨=⎩(1,2)M 所以点到直线 的距离为，M 3:210l x y -+=d 故选：A ．3．【正确答案】C【详解】不超过9的质数有共4个，任取两个求和有：，，，2,3,5,723+25+27+，，共6个，35+37+57+其中和为偶数的有3个：，，，35+37+57+和为偶数的概率为，3162P ==故选：C ．4．【正确答案】D 【详解】由题意，122AF a b=-在中，，12AF F 21AF AF ⊥则，|AF 2|2+|AF 1|2=|F 1F 2|2即，()()222224444b a b c a b +-==-整理得，23b a =所以的离心率T c e a ===故选：D.5．【正确答案】B【详解】由题设，底面的外接圆半径，ABC V 22sin BCr CAB ==∠又平面，且，则三棱锥的外接球半径PA ⊥ABC 2PA =R ==所以外接球表面积为.24π20πR =故选：B6．【正确答案】B 【详解】设，则，M (x,y )()22222226MA MO x y x y +=+-++=整理可得：，()2212x y +-=点轨迹是以为圆心，半径M ∴C (0,1)r =CP ∴===当时，∴2t =-min CP =.minmin PMCP r ∴=-=故选：B.7．【正确答案】C【详解】∵，∴，0AB BC CD DA +++=u u u r u u u r u u u r u u u r r()AB CD BC DA +=-+ ()()AC BD AB BC BC CD ⋅=+⋅+ 2AB BC AB CD BC BC CD =⋅+⋅++⋅ 2()6BC AB CD AB DC =⋅+-⋅+ ，()236BC BC DA =-⋅+-+ 234BC BC AD =-+⋅+26623410=-+⨯+=故选：C ．8．【正确答案】B【详解】因为，由正弦定理可得，222sin sin 2sin 3sin A C A B +=22223ac a b +=由题设，所以，即，22222222222cos 02cos 02cos 02223b c a A bc a c b B ac a b c C ab ac a b ⎧+-=>⎪⎪⎪+-=>⎪⎨⎪+-⎪=>⎪⎪+=⎩22222222222000223b c a a c b a b c ac a b ⎧+->⎪+->⎪⎨+->⎪⎪+=⎩2222223203203250c ac a c ac a c ac a ⎧+->⎪-+>⎨⎪--<⎩而，则，显然恒成立，sin 0sin C ct A a ==>222321032103250t t t t t t ⎧+->⎪-+>⎨⎪--<⎩23210t t -+>所以，可得.22321(31)(1)0325(35)(1)0t t t t t t t t ⎧+-=-+>⎨--=-+<⎩1533t <<故选：B9．【正确答案】AD【详解】A ：数据从小到大为，显然中位数为2，对；1,1,1,2,2,3,4B ：由，则，错；580%4⨯=1020152+=C ：由且互斥时，互为对立事件，错；()()1P A P B +=,A B D ：由题设且也是相互独立，故，对.4()5P A =,A B 1()()()5P AB P A P B ==故选：AD10．【正确答案】ACD【详解】如图，设交于点，AC BD O平面，平面，则，同理1DD ⊥ABCD AC ⊂ABCD 1DD AC ⊥，1DD DB ⊥又，，平面，AC BD ⊥1BD D D D ⋂=1,BD D D ⊂11BDD B 所以平面，而平面，所以，AC ⊥11BDD B 1D O ⊂11BDD B AC DO ⊥所以是二面角的平面角，1DOD ∠1D AC D --由已知，1DD=11122DO BD ===所以A 正确；11tan DD DOD DO ∠==由正方体性质知，B 111111131144(32B ACD ABCD A BCD B ABC V V V ---=-=-⨯⨯=错；如图，设交于点，由且得，1D O 1B D G 11//DO B D 1112DO B D=112DG B G =即，12B G DG =113DG DB ==由平面，平面，得，同理可得，AC ⊥11BDD B 1B D ⊂11BDD B 1AC B D ⊥11AD B D ⊥而，平面，所以平面，1AC AD A =I 1,AC AD ⊂1ACD 1B D ⊥1ACD （易得实际上等边是的中心）G 1ACD △以点为球心作一个半径为所截的圆面，D 1ACD 为圆心，设是圆周上一点，则G PGP ===圆面积为，C 正确；22ππ3⨯=延长至点，使得，则，即是关于平面的对称点，GD M DM DG =1GM GB =M 1B 1ACD 因此，当且仅当是与平面的交点时，等号成立，1B P PF MP PF MF +=+≥P PM 1ACD 以为原点，o 轴建立空间直角坐标系，如上图，D 1,,DA DC DD ,,x y z则，，，∴，1BFG (MD 正确．PF ==故选：ACD ．11．【正确答案】ACD【详解】由椭圆中，圆中圆心，半径为1，如下图示，C 2a =M (0,2)M A ：由于，由图知：当时椭圆C 和圆M 没有交点，02<<b 01b <<此时离心率，对；e ⎫⎪⎪==⎭B ：当时，令，则，1b =(,)P x y ||MP=224(1)x y =-所以，又，故||MP =11y -≤≤max ||MP =所以的最大值为，错；||PQ 1+C ：由，若，则，1224PF PF a +==213PF PF =123,1PF PF ==由，令，且，12(F F (,)P x y 2221)(4x y b =-则，即，((222291x y x y⎧+=⎪⎨⎪+=⎩2222(4)200(4)120b x b x ⎧-+-=⎪⎨--+=⎪⎩所以，则，且，故(0,2]x =23b ≤02<<b 0b <≤D ：令，若，所以，(,)Q x y2QF QF 2222(3[(]x y x y +=+则，所以，222(4)0x b y-+-+=222(3(4)x y b -+=-轨迹是圆心为，半径为Q而与的距离为，要使点Q 存在，(0,2)M则，可得，且，即，对；1|1-≤≤22(1)0b -≤02<<b 1b =故选：ACD 12．【正确答案】3【详解】由已知，，2a =b =223b a ==则 的最小值．|AB |3故3.13．【正确答案【详解】依题意，，在平面直角坐标系中，令，设，a b ⊥(1,0),(0,2)a b == (,)c x y = 则，由，得，(1,2)a b c x y +-=--()0c a b c ⋅+-= (1)(2)0x x y y -+-=整理得，点的轨迹是以点为圆心，2215((1)24x y -+-=(,)x y 1(,1)2所以的最大值等于.c故14．【正确答案】57【详解】设和之间的距离为，球的半径为，i α1i α+(1,2,3)i =d O r 由题意，解得，所以，24π16πr =2r =2OB OP ==则AB BC ==OA ==由共线，则存在实数使且，,,A P B λ(1)OP OA OB λλ=+- 01λ<<所以，222222(1)(1)OP OA OA OB OB λλλλ=+-⋅+- 即，整理得，可得，22484(1)λλ=+-2320λλ-=23λ=所以，即，所以2133OP OA OB =+ 12AP PB =13AP AB ==又且与之间的距离为，()1//1,2,3i i i αα+=i α()11,2,3i i α+=d 则，故11,3322AR d AQ d AD d AC d ====AR AQ ==所以，PQ RQ ===13PR BD ==在中，.PRQ △cos PQR∠222527PQ RQ PR PQ RQ +-===⋅故5715．【正确答案】(1)221412-=x y (2)9【详解】（1）由条件可知，，，得，，24a =2ca =2,4a c ==22212b c a =-=所以双曲线方程为：；221412-=x y （2）∵是双曲线的左焦点，1F 221412-=x y ∴，，，2a =b =4c =1(4,0)F -设双曲线的右焦点为，则，2F 2(4,0)F 由双曲线的定义可得，则，124PF PF -=124PF PF =+所以，124PF PA PF PA +=++24AF ≥+4=459=+=当且仅当三点共线时，等号成立，2、、A P F 因此，的最小值为91PF PA+16．【正确答案】(1)；50x y +-=(2).4510x y -+=【详解】（1）因为直线与直线平行，直线的方程为，l 'l l 10x y ++=故可设直线的方程为，l '0x y C ++=因为点在直线上，()2,3A l '所以，230C ++=所以，5C =-所以直线的方程为；l '50x y +-=（2）设点关于直线的对称点为．A 10x y ++=(),A m n '由题意得，()3112231022n m m n -⎧⨯-=-⎪⎪-⎨++⎪++=⎪⎩解得，所以点的坐标为，43m n =-⎧⎨=-⎩A '()4,3--所以反射光线所在直线方程为，即．()133414y x ++=++4510x y -+=17．【正确答案】(1)；2[4,4]+∈-x y(2).【详解】（1）由，即，22:80C x y y +-=22(4)16x y +-=设直线，即该直线与圆有公共点，2x y t +=C 圆心到直线的距离小于等于半径，()0,4C 4r=4解得．44-≤≤+t 2[4,4]+∈-x y （2）设的坐标分别为，，,A B (x 1,y 1)(x 2,y 2)将直线代入，整理，得，:2l y kx =-2280x y y +-=()22112200k x kx +-+=则，，且，即，122121k x x k +=+122201=+x x k ()()22Δ128010k k =-+>254k >当为锐角时，ACB ∠()()1212121266CA CB x x y y x x kx kx ⋅=+=+--，解得，又，()()22121225616163601k kx x k x x k -=+-++=>+272k <0k >综上，可得的取值范围为．k 18．【正确答案】(1)证明见解析(2)3PM =【详解】（1）.的中点为，则.PA PB PC == AB M PM AB ⊥.CA CB ⊥ ，则，AM CM ∴=PAM PCM ≌故，即.90PMA PMC ∠∠==PM MC ⊥因为，，平面，平面，PM AB ⊥AB MC M = AB ⊂ABC MC ⊂ABC 所以平面.PM ⊥ABC（2）因为，所以.41114---===C BEF C PAB P ABC V V V 4P ABCV -=而，14242ABC S =⨯⨯= 所以，解得.114433-=⨯⨯=⨯⨯= P ABC ABC V S PM PM 3PM =（3）过作轴垂直平面，以方向分别为C z ABC CA CB ，,轴轴x y 则，(0,0,0),(4,0,0),(0,2,0),(2,1,3)C A B P ()(2,1,3)01CD CP λλλ==<< ，(2,,3)λλλ∴D (24,,3)λλλ=-AD (2,1,3),(0,2,0)=-=BP CB 设平面法向量为PBC (,,)m x y z =由得，00CB m BP m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 20230y x y z =⎧⎨-+=⎩所以为平面的一个法向量，(3,0,2)=- m PBC 设与平面所成角为，AD PBC αsin AD m AD m α⋅==⋅==()2min48014161677λλλ=-+=时，所以sin α≤所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为．ADPBC 19．【正确答案】(1)；22143x y +=(2)证明见解析，定点；4,07⎛⎫- ⎪⎝⎭(3).()min 4972=GMN S 【详解】（1）由题设，，可得，故.2221914b a b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩2b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩22143x y +=（2）由点B ，D 在x 轴上方，直线l 斜率存在且不为0，设直线，联立椭圆，消去得，:1AB l x my =-223412x y +=x ()2234690m y my +--=由韦达定理得，且，122122634934m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩()12122114()22234x x m y y m -⎡⎤+=+-=⎣⎦+则中点，由，则代替m ，得， AB 2243,3434m M m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭DE AB l l ⊥1m -22243,4343m m N m m ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭所以，故，()()2211121MN mk m m =≠±-()2222143:3434121MN m ml y x m m m ⎛⎫=++ ⎪++-⎝⎭化简得，则过定点．()()22112121my x m =+-MN l 4,07⎛⎫- ⎪⎝⎭当时，取，，则过定点；1m =43,77M ⎛⎫- ⎪⎝⎭43,77N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭MN l 4,07⎛⎫- ⎪⎝⎭当时，取，，则过定点；1m =-43,77M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭43,77N ⎛⎫- ⎪⎝⎭MN l 4,07⎛⎫- ⎪⎝⎭综上，直线MN 过定点．4,07⎛⎫- ⎪⎝⎭（3）由点M ，N 分别为AB ，DE 的中点，由111222=--=--GMN GBN BMNGBMGBEABNGABS S SSS S S △△△△△△△，1111122228ABE NAB S SAB NE AB DE =-=⋅⋅⋅=⋅ 由（2）知，()22212134m AB y m +=-==+以代替m ，得，1m -()2212143m DE m +=+所以，()()()()2222222221441181172849344334342GMN m m S m m m m ++=⋅≥=++⎛⎫+++ ⎪⎝⎭ 当且仅当，即时，．223443m m +=+1m =±()min 7249GMN S =。