数列、推理与证明 推理与证明课件
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_高中数学第二章推理与证明2
跟踪练习
(2014～2015·合肥一六八中高二期中)观察下题的解答过
程：
已知正实数 a、b 满足 a＋b＝1，求 2a＋1＋ 2b＋1的最
大值．
解：∵
2a＋1· 2≤
2a＋12＋ 2
22＝a＋32，
2b＋1· 2
≤
2b＋12＋ 2
22＝b＋32，
相 加 得 2a＋1 · 2 ＋ 2b＋1 · 2 ＝ 2 ( 2a＋1 ＋ 2b＋1)≤a＋b＋3＝4.
综合法： ∵a、b、c∈R＋，∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0， ∴2(a2＋b2＋c2)≥(ab＋bc＋ac)， ∴3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac， ∴3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2， ∴ a2＋b32＋c2≥a＋3b＋c.
人教版 选修2-2
第二章 推理与证明
2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法
目标导航
• 了解综合法与分析法的特点，熟练应用分析法与综合法证明 命题．
重点难点
• 重点：综合法和分析法的概念及思考过程、特点． • 难点：综合法和分析法的应用．
新知导学
1.综合法证明不等式
• 1．定义 • 利用___已__知__条__件___和某些数学__定__义____、__定__理____、
、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；
• (2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的证明 ，经常用综合法．而对于一些条件简单、结论复杂的不等式 的证明，常用分析法；
• (3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出 发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是 已知(或已证)的不等式；
数学归纳法课件
第一章
§4
路 · 高中新课程
· 学习指导 · 北师大版 · 数学 · 选修2-2
学归纳法是一种证明数学命题的方法，结果一定正确．
第一章
§4
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6．在学习和使用数学归纳法时，需要特别注意： (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数 n有关的命题，
要求这个命题对所有的正整数n都成立；
第一章
§4
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(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．
数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是
论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必 须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传 递的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题 对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为
2．当证明从k到k＋1时，所证明的式子不一定只增加一 项；其次，在证明命题对n＝k＋1成立时，必须运用命题对n ＝ k 成立的归纳假设．步骤二中，在由 k 到 k ＋ 1 的递推过程 中，突出两个“凑”：一“凑”假设，二“凑”结论．关键
是明确n＝k＋1时证明的目标，充分考虑由n＝k到n＝k＋1时
命题形式之间的区别与联系，若实在凑不出结论，特别是不 等式的证明，还可以应用比较法、分析法、综合法、放缩法 等来证明当n＝k＋1时命题也成立，这也是证题的常用方法．
第一章
§4
路 · 高中新课程
· 学习指导 · 北师大版 · 数学 · 选修2-2
2k＋1 2k＋2 2 · 2k＋1 2k ＋2 4k2＋8k＋4 4k2＋8k＋3 ＝ ＝ ＞ 2 2k＋1 2 2k＋1 2 2k＋1 2k＋3· 2k＋1 2k＋1＋1 ＝ ＝ ， 2 2· 2k＋1 ∴n＝k＋1时，不等式也成立． ∴对一切大于1的自然数n，不等式成立．
等差数列(概念和通项公式)课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册
∗
∗
又因为 = ( ∈ N ),所以+1 − =3( ∈ N ),且1
1
所以数列{}是等差数列,首项为 ,公差为3.
=
1
=
1
.
典例讲解
∗
−
例2、①已知数列{ }满足+ − = , ∈ ,且 = ,则 =_____.
∗
∗
复习引入
1.数列的定义：
按一定次序排列的一列数
2.数列的通项公式：
数列 的第项 与项数之间的函数关系式,
∗
即 = ∈ .
人教A版同步教材名师课件
等差数列
---概念和通项公式
学习目标
学习目标
理解等差数列的概念
掌握等差数列通项公式的求法
理解等差数列与一次函数的关系
核心素养
在等差数列通项公式中,有四个量,
, , , ,
知道其中的任意三个量,就可以求出另一个量,即知三求一 .
探究新知
等差数列的通项公式与一次函数有怎样的关系?
= + ( − ) = + − ,当 ≠ 时,是一次函数() = +
( − )( ∈ ),当 = 时的函数 = ().
实际上,等差数列中的某一项是与其等距离的前后两项的等差中项,
∗
即 = − + + (, ∈ , < ).
2.等差中项法判定等差数列
若数列{ }满足 = − + + ( ≥ ),则可判定数列{ }是等差数列.
变式训练
��
2.已知
解析 (2)∵ = −, = − − − = −,
∗
又因为 = ( ∈ N ),所以+1 − =3( ∈ N ),且1
1
所以数列{}是等差数列,首项为 ,公差为3.
=
1
=
1
.
典例讲解
∗
−
例2、①已知数列{ }满足+ − = , ∈ ,且 = ,则 =_____.
∗
∗
复习引入
1.数列的定义：
按一定次序排列的一列数
2.数列的通项公式：
数列 的第项 与项数之间的函数关系式,
∗
即 = ∈ .
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等差数列
---概念和通项公式
学习目标
学习目标
理解等差数列的概念
掌握等差数列通项公式的求法
理解等差数列与一次函数的关系
核心素养
在等差数列通项公式中,有四个量,
, , , ,
知道其中的任意三个量,就可以求出另一个量,即知三求一 .
探究新知
等差数列的通项公式与一次函数有怎样的关系?
= + ( − ) = + − ,当 ≠ 时,是一次函数() = +
( − )( ∈ ),当 = 时的函数 = ().
实际上,等差数列中的某一项是与其等距离的前后两项的等差中项,
∗
即 = − + + (, ∈ , < ).
2.等差中项法判定等差数列
若数列{ }满足 = − + + ( ≥ ),则可判定数列{ }是等差数列.
变式训练
��
2.已知
解析 (2)∵ = −, = − − − = −,
高中数学理科专题讲解高考大题专项(三)《数列》教学课件
典例剖析
对点训练3(2019四川泸州二模,17)已知数列{an}的前n项和Sn满足2an=2+Sn.(1)求证:数列{an}是等比数列;(2)设bn=log2a2n+1,求数列{bn}的前n项和Tn.
(1)证明: 数列{an}的前n项和Sn满足2an=2+Sn,当n=1时,可得2a1=2+S1=2+a1,解得a1=2,当n≥2时,2an-1=2+Sn-1,又2an=2+Sn,相减可得2an-2an-1=2+Sn-2-Sn-1=an,即an=2an-1,检验a2=2a1, 所以数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列.
解题心得求解数列中的存在性问题,先假设所探求对象存在或结论成立,以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理,若由此推出矛盾,则假设不成立,即不存在.若推不出矛盾,即得到存在的结果.
典例剖析
对点训练6已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ为常数.(2)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.
典例剖析
典例剖析
题型五 数列中的存在性问题例6已知Sn是等比数列{an}的前n项和,S4,S2,S3成等差数列,且a2+a3+a4=-18.(1)求数列{an}的通项公式;(2)是否存在正整数n,使得Sn≥2 017?若存在,求出符合条件的所有n的集合;若不存在,请说明理由.
典例剖析
典例剖析
典例剖析典例剖析源自典例剖析典例剖析典例剖析
解题心得如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用此法来求,即和式两边同乘以等比数列{bn}的公比,然后作差求解.
人教A版高中数学选择性必修24.1.1数列的概念课件
.
(2)这个数列前4项的奇数项是2，偶数项是0，所以它的一个通项公式为
= (−1)+1 +1.
(−1) 或(−1)+1 常常用来表示正负相间的变化规律.
概念1：
一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一
个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，
（1）
（ ）
， 4 ，9 ，
（ ）
， 25 ，
（ ）
， 49 ；
1
1
1
1
1
（2） ， 2 ，
（ ）
， 2 ， 2 ，（ ）
， 2；
9
7
13
3
（3）1 ， 2 ，
（
1
（4） 2
1
， ，
（
6
）
， 2 ， 5 ，（
）
， 7；
1
1
）
， ， ，
（
20
30
）.
【详解】
（1）中依次填写1 、16 、 36 ，通项公式为 an n2 ；
这里， 中的反映了月亮可见部分的数按日期从1到15的顺序排列时的
确定位置，即1 = 5是排在第1位的数，2 = 10是排在第2位的
数……15 = 240是排在第15位的数，它们之间不能交换位置.所以，②是
具有确定顺序的一列数.
1
实例3：− 的次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列
9
n2
4
25
16
（2）由 an＝（﹣1）n+1 （n2 +1）可得：a1 ＝2，a2 ＝﹣5，a3 ＝10，a4 ＝﹣17，a5 ＝26．
(2)这个数列前4项的奇数项是2，偶数项是0，所以它的一个通项公式为
= (−1)+1 +1.
(−1) 或(−1)+1 常常用来表示正负相间的变化规律.
概念1：
一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一
个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，
（1）
（ ）
， 4 ，9 ，
（ ）
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1
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（2） ， 2 ，
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（3）1 ， 2 ，
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（4） 2
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， ，
（
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， 2 ， 5 ，（
）
， 7；
1
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）
， ， ，
（
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30
）.
【详解】
（1）中依次填写1 、16 、 36 ，通项公式为 an n2 ；
这里， 中的反映了月亮可见部分的数按日期从1到15的顺序排列时的
确定位置，即1 = 5是排在第1位的数，2 = 10是排在第2位的
数……15 = 240是排在第15位的数，它们之间不能交换位置.所以，②是
具有确定顺序的一列数.
1
实例3：− 的次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列
9
n2
4
25
16
（2）由 an＝（﹣1）n+1 （n2 +1）可得：a1 ＝2，a2 ＝﹣5，a3 ＝10，a4 ＝﹣17，a5 ＝26．
第四章 数列(章末小结)高二数学课件(人教A版2019选择性必修第二册)
方法指导 利用等差、等比数列的性质进行运算.
方法总结 （1）等差数列中利用等差中项将已知等式化简求出基本量,注意由 判断出使得 取最大值时的项数；（2）等比中项有两个值,注意在等比数列中偶数项的符号一致,奇数项的符号一致.本题考查了数学抽象和逻辑推理的核心素养.
题型3 裂项相消法求和
[解析] 设数列 的前 项和为 ,当 时， ；当 时, ，经检验， 也符合上式， .又 , .
题型探究·悟思路
, ,∴数列 是以5为首项， 为公比的等比数列， .
方法总结 注意由 求 时，分两步完成后要判断 是否符合当 时的式子,若符合可统一为一个式子,若不符合则需要分段写出.
长，因此每一段铁丝总是前面的相邻2段之和），依次为1， ， ， ， ， ， ， ， ， ，以上各数之和为143，与144相差1，因此可以取最后一段为56，这时 达到最大，为10.
我们看到“每段的长度不小于1”这个条件起了控制全局的作用，正是这个最小数1产生了斐波那契数列，如果把1换成其他数，递推关系保留了，但这个数列消失了.这里，三角形的三边关系定理和斐波那契数列发生了一个联系. 在这个问题中， ，这个143是斐波那契数列的前 项和，我们是把144超出143的部分加到最后的一个数上，如果加到其他数上，就有3段可以构成三角形了.
题型7 数列的单调性
例7 已知数列 中， （ ， 且 ）.
（1）若 ，求数列 中的最大项和最小项的值；
（2）若对任意的 ，都有 成立，求实数 的取值范围.
方法指导 （1）先代入 的值，构造函数判断其单调性，再求出最大项和最小项；（2）先构造函数判断 的单调性，再由条件列出不等式，求出实数 的取值范围.
题型2 等差、等比数列的性质
例2
（1） 设数列 为等差数列,其前 项和为 ,已知 , ，若对任意 都有 成立,则 的值为( ).A. B. C. D.
方法总结 （1）等差数列中利用等差中项将已知等式化简求出基本量,注意由 判断出使得 取最大值时的项数；（2）等比中项有两个值,注意在等比数列中偶数项的符号一致,奇数项的符号一致.本题考查了数学抽象和逻辑推理的核心素养.
题型3 裂项相消法求和
[解析] 设数列 的前 项和为 ,当 时， ；当 时, ，经检验， 也符合上式， .又 , .
题型探究·悟思路
, ,∴数列 是以5为首项， 为公比的等比数列， .
方法总结 注意由 求 时，分两步完成后要判断 是否符合当 时的式子,若符合可统一为一个式子,若不符合则需要分段写出.
长，因此每一段铁丝总是前面的相邻2段之和），依次为1， ， ， ， ， ， ， ， ， ，以上各数之和为143，与144相差1，因此可以取最后一段为56，这时 达到最大，为10.
我们看到“每段的长度不小于1”这个条件起了控制全局的作用，正是这个最小数1产生了斐波那契数列，如果把1换成其他数，递推关系保留了，但这个数列消失了.这里，三角形的三边关系定理和斐波那契数列发生了一个联系. 在这个问题中， ，这个143是斐波那契数列的前 项和，我们是把144超出143的部分加到最后的一个数上，如果加到其他数上，就有3段可以构成三角形了.
题型7 数列的单调性
例7 已知数列 中， （ ， 且 ）.
（1）若 ，求数列 中的最大项和最小项的值；
（2）若对任意的 ，都有 成立，求实数 的取值范围.
方法指导 （1）先代入 的值，构造函数判断其单调性，再求出最大项和最小项；（2）先构造函数判断 的单调性，再由条件列出不等式，求出实数 的取值范围.
题型2 等差、等比数列的性质
例2
（1） 设数列 为等差数列,其前 项和为 ,已知 , ，若对任意 都有 成立,则 的值为( ).A. B. C. D.
第一节数列的概念与简单表示课件
）
A.－3
B.－1
C.1
D.3
解析：因为等比数列{an}的前n项和Sn＝a·3n－1＋b，
所以a1＝S1＝a＋b，a2＝S2－S1＝3a＋b－a－b＝2a，
a3＝S3－S2＝9a＋b－3a－b＝6a，因为等比数列{an} 中，a22＝a1a3，
所以（2a）2＝（a＋b）×6a，解得ab＝－3.故选A. 答案：A
[例3] （1）已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，
且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝
.
（2）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若
S6 S3
＝
1 2
，则
SS93＝
.
解析：（1）由题意，得
S奇＋S偶＝－240， S奇－S偶＝80，
解得
SS奇 偶＝ ＝－ －8106， 0，所以q＝SS偶奇＝－－18600＝2.
法二 设等比数列{an}的公比为q，因为S3＝a1＋a2
＋a3＝a1（1＋q＋q2）＝
3 4
，a1＝1，所以1＋q＋q2＝
3 4
，
解得q＝－
1 2
，所以a4＝a1·q3＝
－12
3
＝－
1 8
，所以S4＝S3
＋a4＝34＋－18＝58. 法三 设等比数列{an}的公比为q，由题意易知q≠1.
设数列{an}的前n项和Sn＝A（1－qn）（其中A为常 数），则a1＝S1＝A（1－q）＝1，①
又因为a1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首项为1，公比为 12的等比数列.
由题设得4（an＋1－bn＋1）＝4（an－bn）＋8， 即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2. 又因为a1－b1＝1， 所以{an－bn}是首项为1，公差为2的等差数列. （2）解：由（1）知，an＋bn＝2n1－1，an－bn＝2n－1， 所以an＝12[（an＋bn）＋（an－bn）]＝21n＋n－12，
高中数学选修2第二章小结(推理与证明)课件
1- 22 2 (n N *) 的值. 2. 猜想 11
2n个 n个
解 : 当 n= 1 时 , 当 n= 2 时 , 当 n= 3 时 , 猜想89 =33, 111111 - 222 = 110889 =333.
4. 演绎推理
从一般性原理出发, 推出某个特殊情况下 的结论, 这样的推理叫演绎推理. 三段论是演绎推理的一般模式, 包括: (1) 大前提 — 已知的一般原理; (2) 小前提 — 所研究的特殊情况;
(3) 结论 — 根据一般原理, 对特殊情况做出 判断.
5. 三段论 大前提：某类事物都有某特征, M 是 P.
2.1 合情推理与演绎推理 2.2 直接证明与间接证明 2.3 数学归纳法 第二章 小结
本章小结
知识要点 例题选讲
复习参考题 自我检测题
1. 归纳推理
由某事物的部分对象具有某些特征, 推出该 类事物的全部对象都具有这些特征的推理, 或者 由个别事实概括出一般结论的推理, 即由部分到 整体, 由个别到一般.
例2. 观察下列各式: 55=3125, 56=15625, 57=78125, … 则 52013的末四位数字为 ( A ) (A) 3125 (B) 5625 (C) 0625 (D) 8125 分析: 56 与 55 的末四位之差为 5625-3125=2500, 57 与 56 的末四位之差为 8125-5625=2500. 猜测: 5n+1 比 5n 末四位多 2500. 而 4 个2500 等于 10000,
例6. 在数列 {an}, {bn} 中, a1=2, b1=4, 且 an, bn, an+1 成等差数列, bn, an+1, bn+1 成等比数列 (nN*). 求 a2, a3, a4 及 b2, b3, b4. 由此猜测 {an}, {bn} 的通项 公式, 并证明你的结论. 求证: an=n2+n, bn=(n+1)2. 证明: 数学归纳法, 2+1=2, 2=4, 2+ 2+(k ① 当a n = 1 时 , a = 1 b = (1 + 1) 解得 = k 3 k + 2 = ( k + 1) + 1). 1 1 k+1 2 =[ 结果与已知相符 , 2) 即 n( = 时+猜测成立 . bk+1=(k+ k1 +1) 1]2. 2+k, b =(k+1)2 成立, ② 假设当 n = k 时 , a = k k k 即 n=k+1 时猜测也成立 . 由已知得 根据①②两步可知 nN*时, an=n2+n, bn=(n+1)2 2=k2+k+a 2( k + 1) , 2 b = a + a , 都成立. k + 1 k k k+1 ( 推证 a , b 时 , 思路源于 k + 1 k + 1 ak+12=(k+1)2bk+1. ak+12=bkbk+1.. ∴猜测是正确的 求 a2, b2 时解方程组的思想)
高中数学 模块复习课 第2课时 推理与证明课件 a选修12a高二选修12数学课件
kǎo)体验
专题二
演绎推理(yǎn yì tuī lǐ)及其应用
【例 2】已知函数
1 2
f(x)= x +aln
2
x(a∈R).
(1)若 f(x)在[1,e]上是增函数,求 a 的取值范围;
2
3
(2)若 a=1,1≤x≤e,求证:f(x)< x3.
12/8/2021
第十一页，共三十六页。
专题整合
专题
2
2Байду номын сангаас
2
12/8/2021
第十八页，共三十六页。
C+ccos A)
专题整合
专题
(zhuāntí)归
纳
高考(ɡāo
kǎo)体验
专题四 反证法及其应用
【例4】 已知直线ax-y=1与曲线x2-2y2=1相交于P,Q两点,证明不存在实
数(shìshù)a,使得以PQ为直径的圆恰好经过坐标原点O.
证明:假设存在实数 a,使得以 PQ 为直径的圆经过坐标原点 O,
(2)分析法是从待证的结论出发,一步一步地寻找结论成立的充分条件,最
后达到题设的已知条件或已被证明的事实.
12/8/2021
第四页，共三十六页。
自主梳理
知识(zhī
网络
shi)
要点
(yàodiǎn)
梳理
思考(sīkǎo)
辨析
4.反证法
(1)反证法是一种间接证明的方法.
(2)反证法中,必须首先否定结论,即肯定结论的反面,当结论的反面呈现多样
|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为 (
A.76
B.80
)
C.86 D.92
专题二
演绎推理(yǎn yì tuī lǐ)及其应用
【例 2】已知函数
1 2
f(x)= x +aln
2
x(a∈R).
(1)若 f(x)在[1,e]上是增函数,求 a 的取值范围;
2
3
(2)若 a=1,1≤x≤e,求证:f(x)< x3.
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专题整合
专题
2
2Байду номын сангаас
2
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C+ccos A)
专题整合
专题
(zhuāntí)归
纳
高考(ɡāo
kǎo)体验
专题四 反证法及其应用
【例4】 已知直线ax-y=1与曲线x2-2y2=1相交于P,Q两点,证明不存在实
数(shìshù)a,使得以PQ为直径的圆恰好经过坐标原点O.
证明:假设存在实数 a,使得以 PQ 为直径的圆经过坐标原点 O,
(2)分析法是从待证的结论出发,一步一步地寻找结论成立的充分条件,最
后达到题设的已知条件或已被证明的事实.
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第四页，共三十六页。
自主梳理
知识(zhī
网络
shi)
要点
(yàodiǎn)
梳理
思考(sīkǎo)
辨析
4.反证法
(1)反证法是一种间接证明的方法.
(2)反证法中,必须首先否定结论,即肯定结论的反面,当结论的反面呈现多样
|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为 (
A.76
B.80
)
C.86 D.92