数学人教b版必修4教案：3.1.1 两角和与差的余弦 含答案
数学人教B版必修4课堂导学：3.1.1两角和与差的余弦 含
课堂导学三点剖析一、两角和与差的余弦公式的推导和公式的运用【例1】 已知cosα=53,cosβ=135且α,β∈(0,2π),求cos(α-β). 思路分析:联系公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,已知α,β的余弦值,利用同角三角函数的基本关系式求出其正弦,用α,β单角的三角函数表示α与β两角差的余弦函数.解：由cosα=53,cosβ=135,且α,β∈(0,2π),得 sinα=54)53(1cos 122=-=-α, sinβ=1312)135(1cos 12=-=-β, ∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=53×135+6563131254=⨯. 各个击破类题演练 1求值:cos(225°-30°).解:cos(225°-30°)=cos225°cos30°+sin225°sin30° =42621)22(2322+-=⨯-+⨯-. 变式提升 1 已知α,β都是锐角,sinα=53,sin(α-β)=72,求cosβ的值. 解:因为α是锐角,sinα=53,所以cosα=54)53(1sin 122=-=-α. 因为α,β都是锐角,sin(α-β)=72>0,所以cos(α-β)=753)(sin 12=--βα. 所以cosβ=cos ［α-(α-β)］=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β) =75354⨯+72×53=356512+. 二、公式的逆用熟练地逆用公式化简是三角变换中一类重要题型.解这类问题的方法是凑公式的形式,其中要熟练地掌握运用诱导公式.【例2】 求值:sin(4π+3x)cos(3π-3x)+cos(6π+3x)cos(4π+3x).思路分析:观察出题中出现的四个角的关系,从而运用诱导公式转化成只含有两个角的三角函数的关系是解决此题的关键,再逆用两角差的余弦公式.解：原式=sin(3x+4π)sin(6π+3x)+cos(6π+3x)cos(3x+4π) =cos ［(6π+3x)-(4π+3x)］=cos(6π-4π) =cos 6πcos 4π+sin 6π·sin 4π=426+. 类题演练 2化简cos(α+β)sin(2π-α)+sinαcos ［2π-(α+β)］. 解：原式=cosα·cos(α+β)+sinα·sin(α+β)=cos ［α-(a+β)］=cos(-β)=cosβ.变式提升 2已知cosα-cosβ=21,sinα-sinβ=31-,求cos(α-β)的值. 解：将cosα-cosβ=21和sinα-sinβ=31-的两边，分别平方并整理，得 cos 2α+cos 2β-2cosαcosβ=41， sin 2α+sin 2β-2sinαsinβ=91， 上述两式相加，得2-2(cosαcosβ+sinαsinβ)=3613, 即cos(α-β)=7259. 三、公式的灵活运用 【例3】 设α∈R ,若sinα-3cosα=m m --464成立,试求实数m 的取值范围. 思路分析:要熟练掌握公式的形式和结构,再寻找等式两边有何特点,使等式两边的取值范围保持一致.解：∵sinα-3cos α=2(21sinα-23cosα) =2(sin30°sinα-cos30°cosα)=-2(cos30°cosα-sin30°sinα)=-2cos(α+30°),又∵α∈R ,∴-2≤-2cos(α+30°)≤2,即-2≤m m --464≤2.解得-1≤m≤37. ∴m 的取值范围是-1≤m≤37. 类题演练 3计算:cos15°-sin15°.解法一:原式=cos(45°-30°)-cos(45°+30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°-cos45°cos30°+sin45°sin30° =2sin45°·sin30°=2×22×21=22. 解法二:原式=2(22cos15°-22sin15°) =2(cos45°cos15°-sin45°sin15°) =2cos(45°+15°)=2cos60°=22. 变式提升 3在△ABC 中,sinA=53,cosB=135,求cosC 的值. 解:∵cosB=135>0,∴B<90°. ∴sinB=1312. 又sinA=53,∴cosA=54. (当cosA=-54时,∠A 为钝角,而sinB>sinA=sin(π-A), ∴B>π-A,即A+B>π,矛盾)∴cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=6516.。
数学人教B版必修4学案：3.1.1 两角和与差的余弦 Word版含解析
3.1.1 两角和与差的余弦明目标、知重点 1.了解两角和与差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法推导出公式的主要步骤.3.熟记两角和、差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算.两角和与差的余弦公式：C α＋β：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.C α－β：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.[情境导学]我们在初中时就知道cos 45°＝22，cos 30°＝32，由此我们能否得到cos 15°＝cos(45°－30°)＝？大家可以猜想，是不是等于cos 45°－cos 30°呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式.探究点一 两角差余弦公式的探索思考1 有人认为cos(α－β)＝cos α－cos β，你认为正确吗，试举两例加以说明.答 不正确.例如：当α＝π2，β＝π4时， cos(α－β)＝cos π4＝22， 而cos α－cos β＝cos π2－cos π4＝－22， cos(α－β)≠cos α－cos β；再如：当α＝π3，β＝π6时，cos(α－β)＝cos π6＝32， 而cos α－cos β＝cos π3－cos π6＝1－32， cos(α－β)≠cos α－cos β.思考2 请你计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想.①cos 45°cos 45°＋sin 45°sin 45°＝1＝cos 0°；②cos 60°cos 30°＋sin 60°sin 30°＝32＝cos 30°； ③cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0＝cos(－90°)；④cos 150°cos 210°＋sin 150°sin 210°＝12＝cos(－60°). 猜想：cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)；即：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.探究点二 两角差余弦公式的证明思考 如图，以坐标原点为中心，作单位圆，以Ox 为始边作角α与β，设它们的终边分别与单位圆相交于点P ，Q ，请回答下列问题：(1)P 点坐标是(cos α，sin α)，向量OP →＝(cos α，sin α)，|OP →|＝1.Q 点坐标是(cos β，sin β)，向量OQ →＝(cos β，sin β)，|OQ →|＝1.(2)当α为钝角，β为锐角时，α－β和向量OP →与OQ →的夹角〈OP →，OQ →〉之间的关系是：α－β＝〈OP →，OQ →〉；当α为锐角，β为钝角时，α－β和向量OP →与OQ →的夹角〈OP →，OQ →〉之间的关系是：α－β＝－〈OP →，OQ →〉；当α，β均为任意角时，α－β和〈OP →，OQ →〉的关系是：α－β＝2k π±〈OP →，OQ →〉，k ∈Z .(3)向量OP →与OQ →的数量积OP →·OQ →＝|OP →||OQ →|·cos 〈OP →，OQ →〉＝cos(α－β)；另一方面，OP →与OQ→的数量积用点坐标形式表示：OP →·OQ →＝(cos α，sin α)·(cos β，sin β)＝cos αcos β＋sin αsin β.从而，对任意角α，β均有cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.例1 利用和、差角余弦公式求cos 75°、cos 15°的值.解 cos 75°＝cos(45°＋30°)＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°＝22×32－22×12＝6－24；cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° ＝22×32＋22×12＝6＋24. 反思与感悟 在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时，关键在于把待求的角转化成已知特殊角(如30°，45°，60°，90°，120°，150°，…)之间和与差的关系问题.然后利用公式化简求值.而把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：cos 15°＝cos(60°－45°)，要学会灵活运用.跟踪训练1 求cos 105°＋sin 195°的值.解 cos 105°＋sin 195°＝cos 105°＋sin(90°＋105°)＝cos 105°＋cos 105°＝2cos 105°＝2cos(135°－30°)＝2(cos 135°cos 30°＋sin 135°sin 30°)＝2⎝⎛⎭⎫－22×32＋22×12＝2－62. 例2 已知sin α＝45，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos β＝－513，β是第三象限角，求cos(α－β)的值. 解 因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝45. 由此得cos α＝－1－sin 2α＝－ 1－⎝⎛⎭⎫452＝－35， 又因为cos β＝－513，β是第三象限角， 所以sin β＝－1－cos 2β＝－ 1－⎝⎛⎭⎫－5132＝－1213. 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝⎝⎛⎭⎫－35×⎝⎛⎭⎫－513＋45×⎝⎛⎭⎫－1213＝－3365. 反思与感悟 (1)注意角α、β的象限，也就是符号问题.(2)三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换.其中角的变换是最基本的变换.常见的有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(β＋α)－(β－α)]等.跟踪训练2 设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos α＋β2的值.解 ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴α－β2∈⎝⎛⎭⎫π4，π，α2－β∈⎝⎛⎭⎫－π4，π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－181＝459， cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－49＝53. ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝－19×53＋459×23＝7527. 探究点三 两角和与差的余弦公式的应用思考1 若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cos α的值？答 cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)·sin β.思考2 利用α－(α－β)＝β可得cos β等于什么？答 cos β＝cos[(α－β)－α]＝cos(α－β)cos α＋sin(α－β)·sin α.思考3 若cos α－cos β＝a ，sin α－sin β＝b ，则cos(α－β)等于什么？答 cos(α－β)＝2－a 2－b 22. 例3 已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求β的值. 解 ∵α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2且cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114， ∴sin α＝1－cos 2α＝437， sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝5314. 又∵β＝(α＋β)－α，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝⎝⎛⎭⎫－1114×17＋5314×437＝12.又∵β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴β＝π3. 反思与感悟 (1)本题属“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找区间)；③确定角的值.(2)确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定.跟踪训练3 已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求角β的值.解 由α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且cos(α－β)＝－1213， 得sin(α－β)＝513， 由α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，且cos(α＋β)＝1213， 得sin(α＋β)＝－513. cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝1213×⎝⎛⎭⎫－1213＋⎝⎛⎭⎫－513×513＝－1. 又∵α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴2β∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2. ∴2β＝π，则β＝π2.1.cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°的值为( )A.12B.13C.32D.33答案 A解析 cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°＝cos(78°－18°)＝cos 60°＝12，故选A. 2.sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°的值是( )A.32B.12C.－32 D.－12 答案 B解析 sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos60°＝12. 3.12sin 60°＋32cos 60°＝ . 答案 32解析 原式＝sin 30°sin 60°＋cos 30°cos 60°＝cos(60°－30°)＝cos 30°＝32. 4.已知锐角α、β满足sin α＝55，cos β＝31010，求α＋β. 解 ∵α、β为锐角且sin α＝55，cos β＝31010， ∴cos α＝1－sin 2α＝1－15＝255， sin β＝1－cos 2β＝1－910＝1010， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255·31010－55·1010＝22. 由0<α<π2，0<β<π2得0<α＋β<π， 又cos(α＋β)>0，∴α＋β为锐角，∴α＋β＝π4. [呈重点、现规律]1.公式C α－β与C α＋β都是三角恒等式，既可正用，也可逆用.要注意公式的结构特征. 如：cos αcos β±sin αsin β＝cos(α∓β).2.要注意充分利用已知角与未知角之间的联系，通过恰当的角的变换，创造出应用公式的条件进行求解.3.注意角的拆分技巧的积累，如：α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β＝α＋β2＋α－β2等.一、基础过关1.化简：cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)得( )A.12B.－12C.32D.－32答案 A解析 原式＝cos(α－45°)cos(α＋15°)＋sin(α－45°)sin(α＋15°)＝cos[(α－45°)－(α＋15°)]＝cos(－60°)＝12. 2.计算：cos 70°cos 335°＋sin 110°sin 25°的结果是( )A.1B.22C.32D.12答案 B解析 原式＝cos 70°cos 25°＋sin 70°sin 25°＝cos(70°－25°)＝cos 45°＝22. 3.在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 一定为( )A.等边三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形 答案 D解析 ∵sin A sin B <cos A cos B ，∴cos A cos B －sin A sin B >0，∴cos(A ＋B )>0即cos(π－C )>0，∴cos C >0，∴cos C <0，∵0<C <π，∴π>C >π2， ∴△ABC 为钝角三角形.4.已知点A (cos 80°，sin 80°)，B (cos 20°，sin 20°)，则|AB →|等于( )A.12B.22C.32D.1 答案 D解析 |AB →|＝(cos 80°－cos 20°)2＋(sin 80°－sin 20°)2 ＝2－2(cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°) ＝2－2cos 60°＝ 2－2×12＝1. 5.若sin(π＋θ)＝－35，θ是第二象限角，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－255，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是( ) A.－55 B.55 C.11525D. 5 答案 B解析 ∵sin(π＋θ)＝－35，∴sin θ＝35， ∵θ是第二象限角，∴cos θ＝－45. ∵sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－255，∴cos φ＝－255， ∵φ是第三象限角，∴sin φ＝－55. ∴cos(θ－φ)＝cos θcos φ＋sin θsin φ＝⎝⎛⎭⎫－45×⎝⎛⎭⎫－255＋35×⎝⎛⎭⎫－55＝55.6.若cos(α－β)＝13，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝ . 答案 83解析 原式＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝2＋2cos(α－β)＝83. 7.已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13，求cos(α－β).解 由cos α－cos β＝12两边平方得 (cos α－cos β)2＝cos 2α＋cos 2β－2cos αcos β＝14.① 由sin α－sin β＝－13两边平方得 (sin α－sin β)2＝sin 2α＋sin 2β－2sin αsin β＝19.② ①＋②得2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝1336. ∴cos αcos β＋sin αsin β＝5972， ∴cos(α－β)＝5972. 二、能力提升8.将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π6答案 B解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π3)向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin(x ＋π3＋m )，它关于y 轴对称可得sin(π3＋m )＝±1，∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ， ∵m >0，∴m 的最小值为π6. 9.已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是 .答案 －12解析 由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋sin β＝－sin γ ①cos α＋cos β＝－cos γ ②①2＋②2⇒2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1⇒cos(α－β)＝－12.10.已知α、β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，则α－β的值为 . 答案 －π4解析 ∵α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴cos α＝255，sin β＝31010， ∵sin α<sin β，∴α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×1010＋55×31010＝22， ∴α－β＝－π4. 11.已知：cos(2α－β)＝－22，sin(α－2β)＝22，且π4<α<π2，0<β<π4，求cos(α＋β). 解 因为π4<α<π2，0<β<π4，所以π4<2α－β<π. 因为cos(2α－β)＝－22，所以π2<2α－β<π. 所以sin(2α－β)＝22. 因为π4<α<π2，0<β<π4，所以－π4<α－2β<π2. 因为sin(α－2β)＝22，所以0<α－2β<π2， 所以cos(α－2β)＝22， 所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)＝－22×22＋22×22＝0. 12.求2cos 50°－3sin 10cos 10°的值. 解 原式＝2cos (60°－10°)－3sin 10°cos 10°＝2(cos 60°cos 10°＋sin 60°sin 10°)－3sin 10°cos 10°＝2cos 60°cos 10°＋2sin 60°sin 10°－3sin 10°cos 10°＝cos 10°＋3sin 10°－3sin 10°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1. 三、探究与拓展13.已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋π6)(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π. (1)求ω的值；(2)设α，β∈[0，π2]，f (5α＋53π)＝－65，f (5β－56π)＝1617，求cos αcos β－sin αsin β的值. (3)求f (x )的单调递增区间.解 (1)T ＝2πω＝10π，所以ω＝15. (2)f (5α＋53π) ＝2cos[15(5α＋53π)＋π6] ＝2cos(α＋π2)＝－2sin α＝－65， 所以sin α＝35， f (5β－56π) ＝2cos[15(5β－56π)＋π6] ＝2cos β＝1617， 所以cos β＝817，因为α，β∈[0，π2] 所以cos α＝1－sin 2α＝45， sin β＝1－cos 2β＝1517， 所以cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－1385. (3)f (x )＝2cos(x 5＋π6)， 由2k π－π≤x 5＋π6≤2k π，k ∈Z ， 得10k π－35π6≤x ≤10k π－5π6，k ∈Z ， 所以单调递增区间为[10k π－35π6，10k π－5π6](k ∈Z ).。
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两角和与差的余弦教学设计
一、教学目标
1、知识与能力：能利用两角和与差的余弦公式进行求值，理解两角和与差的余弦公式的推导过程，掌握并会应用两角和与差的余弦公式以及公式的逆运算。
2、过程与方法：培养学生严谨的数学表达能力，培养学生逆向思维和发散思维的能力，培养学生逻辑推理能力与合作探究的能力。
3、情感态度与价值观：通过观察、猜想、验证，培养学生良好的数学学习习惯和思考能力，学会从已有知识出发去探索新知及对待新知识具有好奇心和求知欲。
二、教学重点
两角和与差的余弦公式的推导及应用
三、教学难点
两角和与差公式的灵活应用
四、教学过程
1、创设情境，引入课题
首先请同学们一起来回忆下在三角函数中，我们会求出哪些角的三角函数值，进而提问学生︒
cos要如何求，请同学们大胆地猜想，验证猜想结果错误后，引出今天我15
们所要学习的内容：两角和与差的余弦。
2、设置问题，让学生们进行自主探究，引发思考，层层深入，得出结论
接下来让同学们分别用向量数量积的坐标运算和向量数量积的定义求出ΟQ
ΟP⋅，在求解过程中应用到了本册书前面所学的三角函数的定义以及向量数量积的运算公式，由于两种方法所求出的都是向量的数量积，所以结果相等，便导出了两角差的余弦公式，进而由加减法之间的关系导出两角和的余弦公式。
3、应用公式解决问题
利用公式以及公式的逆用请同学们求出如下三个问题
)1(
cos
105
15cos )2( 20sin 80sin 20cos 80cos )3( ，通过三道例题加深对公式的理解以及应用。
完成本节课的教学内容。
五、课后作业
教材 P135 练习A 练习B。
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课题：和角公式——两角和与差的余弦高中人教B版必修四第三章第一节第一课时授课教师：山西省朔州市第四中学校马炯霞一.教学目标1、知识与技能:理解两角和与差的余弦公式的推导和证明，会灵活的运用公式进行化简求值。
2、过程与方法:通过探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”的过程，加深对公式的理解，同时提高学生的运算能力及逻辑推理能力，以及分析问题、解决问题的能力。
3、情感态度与价值观:创设问题情境，分析并探索目标问题，强化参与意识，使学生体会探究的乐趣。
二. 学情分析学生已经学习了三角函数、向量基本知识的有关内容，而如何让学生将已经学过的平面向量与本节课的两角和与差的余弦公式联系起来，就需要教师进行适当的提示与启发，由于学生应用数学知识的意识较弱，知识网络不完善，因此教师需引导学生联系向量知识，体会向量方法的作用，结合有关图形，进行证明与推导。
高中生思维活跃，有着强烈的参与意识，这就为合作探究提供了空间，有助于提高学生分析问题、解决问题的能力。
三. 教材分析教材中首先提出了探索课题：cos(α－β)如何用任意角的正弦、余弦值来表示呢？凭直觉得出cos(α－β)＝cosα－cosβ是学生经常出现的错误，通过讨论知道它不是对任意角成立，从而进一步明确“恒等”的意义，统一对探索目标的认识。
在公式推导中，教材出示的内容引导学生体会推导的过程，对公式的结构特征进行直观感知，在这个过程中，还能恰当地使学生体会数学思想的运用。
四. 教学重难点教学重点：两角和与差的余弦公式的推导。
教学难点：两角和与差的余弦公式的理解与应用。
五．课时一个课时六．课型公式课七．教学手段与方法教学手段：多媒体辅助教学教学方法：启发式教学法——通过提出问题对学生进行引导，启发学生对问题提出自己的猜想，鼓励学生逐步去证明，激发学生的学习兴趣，培养学生的数学思维。
合作探究学习——组织学生分小组进行讨论，以达到探究、归纳的目的。
八．教学过程（一）复习引入师生活动：共同回顾几个特殊角的正弦、余弦值.sin30°=_______ sin45°=_______ sin60°=_______cos30°=_______ cos45°=_______ cos60°=_______设计意图：通过回顾特殊角的正余弦值，巧妙地将新知识建构在旧知识的基础上，在进一步探索公式前，先让学生将学过的知识作为储备.问题思考：如何求解cos15°的值？猜想1：cos(α－β)＝cosα－cosβ举出反例：①cos(60°－30°)与cos60°－cos30°不相等②cos(45°－30°)与cos45°－cos30°不相等得出结论：猜想1不成立.（二）合作探究教师启发：我们设想cos(α－β)的值与α、β的正弦、余弦值有一定关系.学生任务：分组讨论，探究问题的答案，提出自己的猜想.猜想2：cos(α－β)＝cosαcosβ+sinαsinβ证明思路：向量与余弦间的重要桥梁：数量积.师生活动：简单复习向量数量积的有关内容.解决问题：运用向量的数量积的有关知识来证明猜想2. x P Q P cos sin Q cos sin O αβααββ如图：以坐标原点为中心作单位圆，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，，则（，），（，）教师分析：根据现有的已知条件，可以知道 若将两个向量的夹角记为θ，则若存在k ∈Z ，有α－β=2k π±θ.由此，根据诱导公式可得出：cos(α－β)=cos(2k π±θ)=cos θ.学生任务：分别用定义和坐标求出图示向量的数量积.设计意图：向量数量积是学生目前所熟知的内容，在教师为学生讲清证明思路及需要注意的部分后（角的任意性），证明的过程更需要学生的参与，以加深学生对公式的理解和认识.得出结论：猜想2得以证明，结论成立.（三）公式得出cos(α－β)＝cos αcos β+sin αsin β教师活动：① 指出公式的名称和记法.② 强调公式的结构特点.学生练习：尝试利用公式解决前面的问题：求解cos15°.（四）公式延伸问题思考：我们已知公式cos(α－β)＝cos αcos β+sin αsin β，那么cos(α+β)＝?学生活动：自主探究，可以借助于小组的力量.结论总结：cos(α+β)＝cos αcos β－sin αsin β.（五）公式记忆xy0 PQ αβA教师活动：①指出公式的名称和记法.②点明公式的结构特点：余余正正，符号相反.③强调公式中的α、β都是任意角.（六）公式应用例1：计算.(1)cos（-15°）. (2)cos105°.例2：已知cosα＝-45，α是第二象限角，求cos(6π－α)、cos(6π+α).规律总结：两角的正弦、余弦值都需得知，用谁求谁，注意符号.练习：已知sinα＝45，α是第二象限角，cosβ＝513，β是第一象限角，求cos(α－β)的值.（七）课堂小结知识点：cos(α－β)＝cosαcosβ+sinαsinβcos(α+β)＝cosαcosβ－sinαsinβ数学思想：在两角和与差的余弦公式的推导过程中，蕴含着丰富的数学思想方法，如转化、猜想、数形结合思想。
数学3.1.1两角和与差的余弦教案(新人教B版必修4)
案例 3.1.1两角和与差的余弦
（一）教学目标
知识目标：掌握用向量方法建立两角差的余弦公式，通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础.
能力目标：进一步理解向量法解决问题的方法，培养学生运用数学工具在实践中探索知识，
进而获取知识的能力．
情感目标：培养学生探索和创新的意识，构建良好的数学思维品质．
（二）教学重点，难点
本节课的重点是使学生掌握两角和与差的余弦公式．难点是两角差的余弦公式的推导与证明．
（三）学法与教学用具
1. 学法：启发式教学
2. 教学用具：多媒体
复习：1。
余弦的定义
在第一章三角函数的学习当中我们知道，。
人教B版数学必修四讲义：第3章 3.1 3.1.1 两角和与差的余弦 Word版含答案
3.1 和角公式 3.1.1 两角和与差的余弦两角和与差的余弦公式C α＋β：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β. C α－β：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.思考：用向量法推导两角差的余弦公式时，角α、β终边与单位圆交点P 1、P 2的坐标是怎样得到的？[提示] 依据任意角三角函数的定义得到的．以点P 为例，若设P (x ，y )，则sin α＝y 1，cos α＝x1，所以x ＝cos α，y ＝sin α，即点P 坐标为(cos α，sin α)．1．cos 22°cos 38°－sin 22°sin 38°的值为( ) A.12B.13C.32 D.33A[原式＝cos (22°＋38°)＝cos 60°＝1 2.]2．化简cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β为()A．sin(2α＋β) B．cos(2α－β)C．cos αD．cos βC[原式＝cos[(α＋β)－β]＝cos α.]3．cos (－40°)cos 20°－sin (－40°)sin (－20°)＝________.12[原式＝cos(－40°)·cos(－20°)－sin (－40°)·sin(－20°)＝cos[－40°＋(－20°)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝1 2.]A．2－64B．6－24C．2＋64D．－2＋64(2)化简下列各式：①cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；②－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°.[思路探究]利用诱导公式，两角差的余弦公式求解．(1)C[cos 345°＝cos(360°－15°)＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝6＋2 4.](2)解：①原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)]＝cos 45°＝22，所以原式＝22；②原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47°＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43° ＝cos(13°－43°)＝cos(－30°)＝32.1．在两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体．2．在两角和与差的余弦公式求值应用中，一般思路是： (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和或差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．1．求下列各式的值： (1)cos 13π12；(2)sin 460°sin(－160°)＋cos 560°cos(－280°)； (3)cos(α＋20°)cos(40°－α)－sin(α＋20°)sin(40°－α)． [解] (1)cos 13π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π12＝－cos π12＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π12－2π12＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π6＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4cos π6＋sin π4sin π6＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫22×32＋22×12＝－6＋24.(2)原式＝－sin 100°sin 160°＋cos 200°cos 280°＝－sin 80°sin 20°－cos 20°cos 80° ＝－(cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°) ＝－cos 60°＝－12.(3)cos(α＋20°)cos(40°－α)－sin(α＋20°)·sin(40°－α) ＝cos[(α＋20°)＋(40°－α)] ＝cos 60°＝12.【例2】 (1)已知cos α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪32π，2π，则cos α－π3＝________.(2)α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，求cos α的值． [思路探究] (1)可先求得sin α，再用两角差的余弦公式求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3；(2)可考虑拆角即α＝(2α＋β)－(α＋β)来求cos α. (1)3－4310 [因为cos α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，2π， 所以sin α＝－45，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos αcos π3＋sin αsin π3 ＝35×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×32＝3－4310.](2)解：因为α，β为锐角，所以0<α＋β<π.又因为cos(α＋β)＝1213，所以0<α＋β<π2，所以0<2α＋β<π. 又因为cos(2α＋β)＝35，所以0<2α＋β<π2， 所以sin(α＋β)＝513，sin(2α＋β)＝45，所以cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β) ＝35×1213＋45×513＝5665.给值求值的解题步骤：(1)找角的差异.已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，先注意观察已知角与所求表达式中角的差异.(2)拆角与凑角.根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有： α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)， α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(β＋α)－(β－α)]等. (3)求解.结合公式C α±β求解便可.2．已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求cos β的值．[解] ∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)．又∵cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114， ∴sin α＝1－cos 2α＝437， sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝5314.又∵β＝(α＋β)－α， ∴cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×17＋5314×437 ＝12.[思路探究] 本题可先求出cos(α－β)的值，结合α－β的范围，再求出α－β的值．[解] ∵α，β均为锐角，cos α＝255，cos β＝1010， ∴sin α＝55，sin β＝31010， ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×1010＋55×31010 ＝22.又sin α<sin β， ∴0<α<β<π2， ∴－π2<α－β<0. 故α－β＝－π4.1．这类问题的求解，关键环节有两点：(1)求出所求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围，一旦做好这两个环节，结合三角函数的性质与图象，角可求解．2．确定应用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定．3．设α，β是锐角，sin α＝437，cos(α＋β)＝－1114，求证：β＝π3. [证明] 由0<α<π2，0<β<π2，知0<α＋β<π， 又cos(α＋β)＝－1114， 故sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－11142＝5314. 由sin α＝437，可知 cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎪⎫4372＝17， ∴sin β＝sin[(α＋β)－α] ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝5314×17－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×437＝32，∴β＝π3.1．若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cos α的值？ [提示] cos α＝cos[(α＋β)－β] ＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β.2．利用α－(α－β)＝β可得cos β等于什么？[提示] cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)． 3．若cos α－cos β＝a ，sin α－sin β＝b ，则cos(α－β)等于什么？[提示] cos(α－β)＝2－a 2－b 22.【例4】 若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2的值为( )A ．33 B ．－33 C ．539D ．－69[思路探究] 利用角的交换求解，α＋β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2. C [∵0<α<π2，－π2<β<0， ∴π4<α＋π4<3π4，π4<π4－β2<π2，又∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝13×33＋223×63＝539.故选C.]巧妙变角是指将已知角灵活分拆、配凑成待求的角.主要针对已知某些角的三角函数值，求(或证明)另外角的三角函数值的题目，解决问题的关键是要善于观察.常见的“变角”有：①单角变为和(差)角，如α＝(α－β)＋β，β＝α＋β2－α－β2等；②倍角化为和(差)角，如2α＝(α＋β)＋(α－β)等等.4．设cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，其中α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求cos α＋β2的值．[解] ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π，α2－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－181＝459，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－49＝53，∴cos α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝－19×53＋459×23＝7527.(教师用书独具)对公式C (α－β)和C (α＋β)的三点说明(1)公式的结构特点：公式的左边是差(和)角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和(差)式，可用口诀两角和与差的余弦公式结构是“余余正正，加减相反”．(2)公式的适用条件：公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－α－β2中的“α＋β2”相当于公式中的角α，“α－β2”相当于公式中的角β.(3)公式的“活”用：公式的运算要“活”，体现在顺用、逆用、变用．而变用又涉及两个方面：①公式本身的变用，如cos(α－β)－cos α cos β＝sin α sin β. ②角的变用，也称为角的变换，如cos α＝cos[(α＋β)－β]等.1．下列式子中，正确的个数为( )①cos(α－β)＝cos α－cos β；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝sin α；③cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β. A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个A [由cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β知①③错误，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α，故②错误，故选A.]2．已知锐角α，β满足cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，则cos β等于( ) A ．3365 B ．－3365 C ．5475D ．－5475A [因为α，β为锐角，cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，所以sin α＝45，sin(α＋β)＝1213， 所以cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)·cos α＋sin(α＋β)·sin α ＝－513×35＋1213×45＝3365.故选A.] 3．sin 75°＝________. 6＋24 [sin 75°＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°·cos 30°＋sin 45°·sin 30° ＝22×32＋22×12高中数学必修课程＝6＋2 4.]4．设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，求cos β的值．[解]∵α，β都是锐角且cos α＝55<12，∴π3<α<π2，又sin(α＋β)＝35>1 2，∴π2<α＋β<π，∴cos(α＋β)＝－1－sin2(α＋β)＝－4 5，sin α＝1－cos2α＝25 5，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×55＋35×255＝2525.。
高中数学人教B版必修四讲义：第三章 3.1 3.1.1 两角和与差的余弦 Word版含答案 (1)
3．1.1两角和与差的余弦(1)如何用α的三角函数与β的三角函数表示cos(α－β)，cos(α＋β)?(2)两角和与差的余弦公式是如何推导的？[新知初探]两角和与差的余弦公式[点睛] 公式的左边是和(差)角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的差(和)式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)cos(60°－30°)＝cos 60°－cos 30°.( )(2)对于任意实数α，β，cos(α＋β)＝cos α＋cos β都不成立．( ) (3)对任意α，β∈R ，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β都成立．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√2．cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°的值为( ) A.12 B.13C.32D.33 答案：A3．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若sin α＝35，则2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.75 B.15 C ．－75D ．－15答案：B4．化简cos ⎝⎛⎭⎫α－π4sin α＋cos α＝________.答案：22给角求值问题[典例] 求下列各式的值． (1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°； (2)sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°； (3)12cos 15°＋32sin 15°. [解] (1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195° ＝cos 75°cos 15°－sin 75°sin(180°＋15°) ＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15° ＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝12.(2)原式＝sin(180°－17°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋73°)·sin(360°－47°)＝－sin 17°sin 43°＋sin 73°sin 47°＝－sin 17°sin 43°＋cos 17°cos 43°＝cos 60°＝12.(3)∵12＝cos 60°，32＝sin 60°，∴12cos 15°＋32sin 15° ＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15° ＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝22.利用公式C (α＋β)，C (α－β)求值的方法技巧在利用两角和与差的余弦公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时，要先把非特殊角转化为特殊角的差(或同一个非特殊角与特殊角的差)，正用公式直接化简求值，在转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式，正确地顺用公式或逆用公式求值．[活学活用]计算下列各式的值：(1)cos 55°cos 20°－sin 55°sin 20°； (2)cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θcos θ＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θsin θ.解：(1)cos 55°cos 20°－sin 55°sin 20°＝cos 75° ＝cos(45°＋30°)＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30° ＝22×32－22×12＝6－24. (2)cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θcos θ＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θsin θ ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋θ－θ＝cos π4＝22.[典例] (1)已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β是第三象限角，sin α＝45，cos β＝－513.求cos(α＋β)的值． (2)已知cos α＝45，cos(α＋β)＝35，且α，β均为锐角，求cos β的值．[解] (1)∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝45， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－ ⎝⎛⎭⎫452＝－35. ∵β是第三象限角，cos β＝－513，∴sin β＝－1－cos 2β＝－1－⎝⎛⎭⎫－5132＝－1213， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝⎝⎛⎭⎫－35×⎝⎛⎭⎫－513－45×⎝⎛⎭⎫－1213＝6365. (2)∵α，β均为锐角， ∴0<α＋β<π，∴sin(α＋β)>0. 由cos α＝45，cos(α＋β)＝35，得sin α＝35，sin(α＋β)＝45.∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝35×45＋45×35＝2425.给值求值的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：①α＝(α－β)＋β； ②α＝α＋β2＋α－β2；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)． [活学活用] 1．已知cos θ＝－1213，θ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ的值为________． 解析：∵cos θ＝－1213，θ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2， ∴sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－⎝⎛⎭⎫－12132 ＝－513，∴cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝cos π4cos θ－sin π4sin θ ＝22×⎝⎛⎭⎫－1213－22×⎝⎛⎭⎫－513＝－7226.答案：－72262．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－45，且5π4<α<7π4，求cos α的值． 解：∵5π4<α<7π4，∴3π2<α＋π4<2π，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4>0，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝ 1－1625＝35， ∴cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin π4＝35×22－45×22＝－210.[典例(2)已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则β＝________. [解析] (1)∵α，β均为锐角， ∴cos α＝55，cos β＝31010. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝55×31010＋255×1010＝22. 又∵sin α>sin β，∴0<β<α<π2，∴0<α－β<π2.故α－β＝π4.(2)∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)． ∵cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，∴sin α＝437，sin(α＋β)＝5314， ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝12.∵0<β<π2，∴β＝π3.[答案] (1)π4 (2)π3[一题多变]1．[变条件]若本例中(1)中“sin α”变为“cos α”，“sin β ”变为“cos β ”，则α－β＝________.解析：∵α，β均为锐角，∴sin α＝55，sin β＝31010，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝255×1010＋55×31010＝22.又∵sin α<sin β，∴0<α<β<π2，∴－π2<α－β<0，故α－β＝－π4.答案：－π42．[变条件]若本例(2)变为：已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，求β的值．解：由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫172＝437.由0<β<α<π2，得0<α－β<π2.又因为cos(α－β)＝1314， 所以sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝1－⎝⎛⎭⎫13142＝3314.由β＝α－(α－β)得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12， 所以β＝π3.已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数． (3)结合三角函数值及角的范围求角．层级一 学业水平达标1．cos5π24cos π24＋sin 5π24sin π24的值为( ) A.12 B ．22C.32D ．1解析：选C 原式＝cos ⎝⎛⎭⎫5π24－π24＝cos π6＝32.故选C.2.12sin 15°－32cos 15°的值是( ) A.22 B ．－22 C.62D ．－62解析：选B 原式＝sin 30°sin 15°－cos 30°cos 15° ＝－(cos 30°cos 15°－sin 30°sin 15°) ＝－cos(30°＋15°)＝－cos 45°＝－22. 3．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝1213，sin β＝－35，则cos(α－β)的值为( )A ．－6365B ．－3365C.6365D.3365解析：选A ∵α为锐角，且cos α＝1213，∴sin α＝1－cos 2α＝513.∵β为第三象限角，且sin β＝－35，∴cos β＝－1－sin 2β＝－45，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1213×⎝⎛⎭⎫－45＋513×⎝⎛⎭⎫－35＝－6365.故选A. 4．已知向量a ＝(cos 75°，sin 75°)，b ＝(cos 15°，sin 15°)，那么|a －b |等于( ) A.12 B.22C.32D ．1解析：选D |a －b | ＝(cos 75°－cos 15°)2＋(sin 75°－sin 15°)2 ＝2－2(cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°) ＝2－2cos 60°＝1.5．已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫7π4＋α等于( ) A.425B.7210C ．－425D ．－7210解析：选B 由题意可知cos α＝45，cos ⎝⎛⎭⎫7π4＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－π4＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos α cos π4＋sin α·sin π4＝45×22＋35×22＝7210. 6．化简：cos(α－55°)cos(α＋5°)＋sin(α－55°)sin(α＋5°)＝________. 解析：原式＝cos[(α－55°)－(α＋5°)]＝cos(－60°)＝12.答案：127．若cos(α＋β)＝13，cos(α－β)＝15，则tan αtan β＝________.解析：∵cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝13， ①cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝15， ②由①②得cos αcos β＝415，sin αsin β＝－115， ∴tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝－115415＝－14.答案：－148．已知sin α＝1517，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为________． 解析：∵sin α＝1517，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫15172＝－817， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22×⎝⎛⎭⎫－817＋22×1517＝7234. 答案：72349．已知α，β为锐角，且cos α＝45，cos(α＋β)＝－1665，求cos β的值．解：因为0<α<π2，0<β<π2，所以0<α＋β<π.由cos(α＋β)＝－1665，得sin(α＋β)＝6365.又因为cos α＝45，所以sin α＝35.所以cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝⎝⎛⎭⎫－1665×45＋6365×35＝513. 10．若x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，且sin x ＝45，求2cos ⎝⎛⎭⎫x －2π3＋2cos x 的值． 解：∵x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，sin x ＝45，∴cos x ＝－35. ∴2cos ⎝⎛⎭⎫x －2π3＋2cos x ＝2⎝⎛⎭⎫cos x cos 2π3＋sin x sin 2π3＋2cos x ＝2⎝⎛⎭⎫－12cos x ＋32sin x ＋2cos x＝3sin x ＋cos x ＝435－35＝43－35. 层级二 应试能力达标1．若sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝12，则cos(α－β)的值为( ) A.32 B ．12C.34D ．1解析：选A 由已知得(sin α－sin β)2＝⎝⎛⎭⎫1－322，① (cos α－cos β)2＝⎝⎛⎭⎫122，②①＋②得2－2cos(α－β)＝1－3＋34＋14，∴cos(α－β)＝32.故选A. 2．已知α为钝角，且sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋5π12的值为( ) A.2 2＋36 B.2 2－36C ．－2 2＋36 D.－2 2＋36 解析：选C ∵α为钝角，且sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－223， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋5π12＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π12cos π3－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12sin π3＝⎝⎛⎭⎫－223×12－13×32＝－22＋36. 3．已知锐角α，β满足cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，则cos(2π－β)的值为( ) A.3365B ．－3365 C.5465 D ．－5465 解析：选A ∵α，β为锐角，cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，∴sin α＝45，sin(α＋β)＝1213，∴cos(2π－β)＝cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－513×35＋1213×45＝3365. 4．设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为( ) A.3π4B.5π4C.7π4D.5π4或7π4解析：选C 因为α，β为钝角，sin α＝55， 所以cos α＝－1－sin 2α ＝－ 1－⎝⎛⎭⎫552＝－255. 由cos β＝－31010，得 sin β＝1－cos 2β＝ 1－⎝⎛⎭⎫－310102＝1010，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝⎝⎛⎭⎫－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55×1010 ＝22. 又因为π<α＋β<2π，所以α＋β＝7π4. 5．已知cos α＝45，cos(α－β)＝－45，3π2<α<2π，π2<α－β<π ，则cos β＝________. 解析：由条件知sin α＝－35，sin(α－β)＝35， ∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－1625－925＝－1. 答案：－16．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0和cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是________． 解析：由已知得，－sin γ＝sin α＋sin β，①－cos γ＝cos α＋cos β，②①2＋②2得，1＝1＋1＋2sin αsin β＋2cos αcos β，化简得cos αcos β＋sin αsin β＝－12， 即cos(α－β)＝－12. 答案：－127．已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求角β的值．解：由α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且cos(α－β)＝－1213， 得sin(α－β)＝513. 由α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，且cos(α＋β)＝1213， 得sin(α＋β)＝－513，cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝1213×⎝⎛⎭⎫－1213＋⎝⎛⎭⎫－513×513＝－1. 又∵α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π， ∴2β∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，∴2β＝π，则β＝π2.8．已知cos α＝55，sin(α－β)＝1010，且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 求：(1)cos(2α－β)的值；(2)β的值．解：(1)因为α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， 又sin(α－β)＝1010>0， ∴0<α－β<π2. 所以sin α＝1－cos 2α＝255， cos(α－β)＝ 1－sin 2(α－β)＝31010， cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β)＝55×31010－2 55×1010＝210. (2)cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝55×31010＋255×1010＝22， 又因为β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以β＝π4.∴tan α＋β2＝sin α＋β2cos α＋β2＝－533. ∴tan(α＋β)＝2tan α＋β21－tan 2α＋β2＝5311. 22．(本小题满分12分)已知向量OA ＝(cos α，sin α)，α∈[－π，0]，向量m ＝(2,1)，n ＝(0，－5)，且m ⊥(OA －n )．(1)求向量OA ；(2)若cos(β－π)＝210，0<β<π，求cos(2α－β)的值． 解：(1)∵OA ＝(cos α，sin α)，∴OA －n ＝(cos α，sin α＋5)．∵m ⊥(OA －n )，∴m ·(OA －n )＝0，∴2cos α＋sin α＋5＝0.①又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②得sin α＝－55，cos α＝－255， ∴OA ＝⎝⎛⎭⎫－255，－55. (2)∵cos(β－π)＝210， ∴cos β＝－210. 又0<β<π，∴sin β＝1－cos 2β＝7210. 又∵sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎫－55×⎝⎛⎭⎫－255＝45，cos 2α＝2cos 2α－1＝2×45－1＝35， ∴cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β＝35×⎝⎛⎭⎫－210＋45×7210＝25250＝22.。
高中数学3.1.1两角和与差的余弦教案新人教B版必修4
两角和与差的余弦一、 教学目标1.知识目标：经历两角和与差的余弦公式的推导过程，了解两角和与差的余弦公式，并初步运用两角和与差的余弦公式，解决较简单的相关数学问题。
2能力目标：培养学生严密而准确的数学表达能力；培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。
3.情感目标：通过观察、对比体会数学的对称美和谐美，培养学生良好的数学表达和思考的能力，学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。
二、 教学重点、难点重点：两角和与差的余弦公式的推导及公式的运用难点：两角和与差的余弦公式的推导过程三、 教学方法学生独立思考，小组合作探究，师生共同交流。
四、 教学过程1、 回顾旧知30sin = 45sin =30cos = 45cos =2、 问题引入问题1：150可以用哪两个特殊角表示？问题2：cos150需用两个特殊角的几个三角函数值表示呢？分别是什么呢？问题3：一般的)cos(βα-能否用βα,、的三角函数值表示？3、合作探究一点P 是 45角的终边与单位圆的交点，点Q 是30角的终边与单位圆的交点，试用两种形式表示表示⋅思考：从特例出发，你能推广得到)cos(βα-对任意的两个角βα,的关系式吗？设角βα,的终边分别与单位圆相交于点P 和点Q ，⋅= 或OQ OP ⋅=5、形成新知=-)cos(βα=+)cos(βα（1）、公式中两边的符号正好相反（2）、式子右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在前正弦在后。
（3）、公式中βα,为任意角。
6、应用深化例1 求下列各式的值（1） 15cos （2）75cos（3） 20sin 80sin 20cos 80cos +（4） 55cos 10cos 35cos 80cos +例2已知)2(54cos παπα<<-=，求)6cos(),6cos(απαπ+-例3利用βα+C 证明[]απαcos )12(cos -=++k7、变式练习（1）、已知)23,(,135cos ),,2(,53sin ππββππαα∈-=∈=，求)cos(βα+的值。
数学人教B版必修4学案：3.1.1两角和与差的余弦 含解析 精品
3.1 和角公式3.1.1 两角和与差的余弦要注重公式的逆向应用．两角和与差的余弦公式两角和的余弦公式：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β，(C α＋β) 两角差的余弦公式：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.(C α－β) 【自主测试1】co s 75°等于( )A ．6＋22B ．6－22C ．6－24D ．6＋24答案：C【自主测试2】(2012·福建三明联考)计算：cos 13°·cos 47°＋sin 13°·cos 137°＝__________.答案：12【自主测试3】已知sin α＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝________. 答案：2101．对C α±β的理解和记忆剖析：(1)公式的结构特征和符号规律：对于两角和与差的余弦公式C α±β可以简记为“余余正正，和差相反”．(2)注意事项：不要误记为cos(α－β)＝cos α－cos β或cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β.(3)该公式是整章三角函数公式的基础，要理解该公式的推导方法．公式的应用要讲究一个“活”字，即正用，逆用，变形用，还要创造条件应用公式，如构造角：β＝(α＋β)－α，β＝α＋β2－α－β2等．2．注意cos(α－β)＝cos α－cos β成立的条件剖析：许多人初学三角函数时，容易做一个错误的知识迁移，由a (b ＋c )＝ab ＋ac 来思考cos(α－β)，把它看成是cos 与(α－β)的乘积，于是便有了cos(α－β)＝cos α－cos β，实际上，cos 是一个函数符号，cos(α－β)是一个整体，所以不能由彼及此．可以取一些特殊的值来验证，如α＝π3，β＝π6，则cos(α－β)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π6＝cos π6＝32，cos α－cos β＝cos π3－cos π6＝12－32，显然，此时cos(α－β)≠cos α－cos β，但当α＝π4，β＝π2时，cos(α－β)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝22，cos α－cos β＝cos π4－cos π2＝22－0＝22.此时cos(α－β)＝cos α－cos β，但这仅仅只是一个巧合而已．在做选择题时尤其要注意这一点．名师点拨(1)运用任何公式都要注意其成立的条件，比如上述的等式不是恒成立的； (2)对于两角和与差的余弦公式，在使用时不仅要会正用，还要能够逆用公式，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题．如由cos 50°cos 20°＋sin 50°sin 20°能迅速地想到cos 50°cos 20°＋sin 50°sin 20°＝cos(50°－20°)＝cos 30°＝32.题型一 直接利用两角和与差的余弦公式求值【例题1】求值：(1)cos 15°cos 15°－sin 15°sin 15°；(2)sin(110°＋x )cos(x －40°)＋cos(x －70°)·sin(220°－x )． 分析：(1)逆用两角和的余弦公式即可．(2)统一函数名称，统一角，使其符合两角和与差的余弦公式的结构．解：(1)原式＝cos(15°＋15°)＝cos 30°＝32.(2)原式＝cos(x ＋20°)cos(x －40°)＋sin[90°＋(x －70°)]sin(x －40°) ＝cos(x ＋20°)cos(x －40°)＋sin(x ＋20°)sin(x －40°)＝cos[(x ＋20°)－(x －40°)]＝cos 60°＝12.反思公式C α±β是三角恒等式，既可正用，也可逆用，一定要注意公式的结构名称、特征，灵活变换角或名称，同时在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时，关键在于把待求的角转化成特殊角(如30°，45°，60°，90°，120°，150°，…)之间和与差的关系问题，然后利用公式化简求值．题型二 给值求值问题【例题2】已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________.解析：利用α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4来求值． ∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，∴α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π. ∴cos(α＋β)＝1－sin 2α＋β＝45.又β－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－513. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝cos(α＋β)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4 ＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×1213＝－5665. 答案：－5665反思本题属于“给值求值”的题目，“变角”的技巧在三角函数求值以及证明中经常用到，因为变角后可充分利用已知条件中的三角函数值来计算或证明．常见的角的变换方式：α＝(α＋β)－β＝β－(β－α)＝12[(α＋β)＋(α－β)]＝12[(α＋β)－(β－α)]，2α＝(α＋β)＋(α－β)＝(α＋β)－(β－α)，4α＝2·2α，α＝2·α2，α＋2β＝(α＋β)＋β等．变换的方式很多，需要自己慢慢地体会和探索．〖互动探究〗将本例中“sin(α＋β)＝－35”改为“cos(α＋β)＝45”，其他条件不变，结果又如何？解：结果为－5665.题型三 给值求角问题【例题3】已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，求α＋β.分析：利用两角和的余弦公式求α＋β的余弦值，并结合角α＋β的范围进行求解．解：∵α，β为锐角，且sin α＝55，cos β＝31010，∴cos α＝1－sin 2α＝1－15＝255， sin β＝1－cos 2β＝1－910＝1010. ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝ 255×31010－55×1010＝22. 由0＜α＜π2，0＜β＜π2，得0＜α＋β＜π，又cos(α＋β)＞0，∴α＋β为锐角，∴α＋β＝π4.反思此类题是给值求角题，解题步骤如下：①求所求角的某一个三角函数值；②确定所求角的范围．此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解，同时要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值． 〖互动探究〗将本例中α，β的范围均改为第一象限角，其他条件不变，结果又如何？解：结果变为α＋β＝π4＋2k π，k ∈Z .题型四 易错辨析【例题4】已知0≤α＜β＜γ＜2π，且sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，求β－α.错解：由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋sin β＝－sin γ， ①cos α＋cos β＝－cos γ. ②①2＋②2，得2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1.故cos(β－α)＝－12.由0≤α＜β＜γ＜2π，知0＜β－α＜2π，所以β－α＝2π3或β－α＝4π3.错因分析：没有对结果进行检验，其实题目中隐含着条件β－α＜γ－α.正解：由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋sin β＝－sin γ，①cos α＋cos β＝－cos γ.②①2＋②2，得2＋2(cos αcos β＋sin αsin β)＝1，故cos(β－α)＝－12.由0≤α＜β＜γ＜2π，知0＜β－α＜2π，所以β－α＝2π3或β－α＝4π3.同理可求出cos(γ－α)＝－12，且0＜γ－α＜2π，所以γ－α＝2π3或γ－α＝4π3.又由β－α＜γ－α，因此β－α取两者中较小的，γ－α取较大的．所以β－α＝2π3.1．sin 22°sin 23°－cos 23°cos 22°的值为( ) A ．12 B ．22 C ．－12 D ．－22解析：利用两角和的余弦公式，原式＝－(cos 23°cos 22°－sin 23°sin 22°)＝－cos(23°＋22°)＝－cos 45°＝－22.答案：D2．满足cos αcos β＝32＋sin αsin β的一组α，β的值是( )A ．α＝13π12，β＝3π4B ．α＝π2，β＝π3C ．α＝π2，β＝π6D ．α＝π3，β＝π6解析：由cos αcos β＝32＋sin αsin β，得cos αcos β－sin α sin β＝32，利用两角和的余弦公式得cos(α＋β)＝32， 所以α＋β＝2k π±π6(k ∈Z )，经验证，选项A 符合条件，故选A ．答案：A3．已知α，β为锐角，且cos α＝110，cos β＝15，则α＋β的值是( )A ．2π3B ．3π4C ．π4D ．π3答案：B4．12cos 15°＋32sin 15°＝________. 解析：12cos 15°＋32sin 15°＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝22. 答案：225．在△ABC 中，cos A ＝35，cos B ＝513，则cos C 的值是________．解析：在△ABC 中，由cos A ＝35，可知A 为锐角，∴sin A ＝1－cos 2A ＝45.由cos B ＝513，可知B 也为锐角，∴sin B ＝1－cos 2B ＝1213.∴cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝45×1213－35×513＝3365. 答案：33656．已知sin α＝45，α∈(0，π)，cos β＝－513，β是第三象限角，求cos(α－β)的值．解：①当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π时，由sin α＝45， 得cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－35.由cos β＝－513，β是第三象限角，得sin β＝－1－cos 2β＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－5132＝－1213.所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＋45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝－3365.②当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，由sin α＝45，得cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35. 由cos β＝－513，β是第三象限角，得sin β＝－1－cos 2β＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－5132＝－1213.所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＋45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝－6365.。
必修4教案3.1.1两角和与差余弦公式
cos( ) cos cos sin sin 简记作 C ( )
例 1．①利用差角余弦公式求 cos15 的值 ②利用和角余弦公式求 cos75 的值 例 2． 已知 sin
角，求 cos( ) 的值。
4 5 , ( , ), cos , 是第三象限 5 2 13
例 5．已知 , 都是锐角， cos 求 cos 的值
两角差与和的余弦公式学案 一、阅读课本 124 页到 127 页 任务一：差角的余弦公式：对于任意角 , 有 cos( ) cos cos sin sin 简记作 C ( ) 你能根据差角的余弦公式推导和角的余弦公式吗？ cos( ) 任务二：根据上面的两个公式试解决下列问题 例 1．①求 cos15 的值 ②求 cos75 的值
③ sin 34 sin 26 cos34 cos 26
④ sin164 sin 224 sin 254 sin 314
例 4．化简：① 3 15 sin x 3 5 cos x ② 3 sin
x x cos 2 2
课题 教 学 目 标 知识与能力 过程与方法
情感态度与价值观
两角差与和的余弦公式（一） 两角差与和的余弦公式的应用 两角差与和的余弦公式的应用
顺序课时
1
教学重点 教学难点 教学方法
两角差与和的余弦公式的应用 两角差与和的余弦公式的逆用 双案教学，预习、提问、讲授法 知 识 流 程 有 教师活动 学生活动
③ sin 34 sin 26 cos34 cos 26
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一、 两角和与差的余弦
教学目标
1.知识目标：经历两角和与差的余弦公式的推导过程，了解两角和与差的余弦公式，并初步运用两角和与差的余弦公式，解决较简单的相关数学问题。
2能力目标：培养学生严密而准确的数学表达能力；培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。
二、 3.情感目标：通过观察、对比体会数学的对称美和谐美，培养学生良好
的数学表达和思考的能力，学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。
教学重点、难点
重点：两角和与差的余弦公式的推导及公式的运用
三、 难点：两角和与差的余弦公式的推导过程
教学方法
四、 学生独立思考，小组合作探究，师生共同交流。
教学过程
1、回顾旧知
30sin = 45sin =
30cos = 45cos =
2、问题引入
问题1：150可以用哪两个特殊角表示？
问题2：cos150需用两个特殊角的几个三角函数值表示呢？分别是什么呢？
问题3：一般的)cos(βα-能否用βα,、
的三角函数值表示？
3、合作探究一
点P 是 45角的终边与单位圆的交点，点Q 是 30角的终边与单位圆的交点，试用两种形式表示表示⋅
思考：从特例出发，你能推广得到)cos(βα-对任意的两个角βα,的关系式吗？设角βα,的终边分别与单位圆相交于点P 和点Q ，⋅= 或OQ OP ⋅=
5、形成新知
=-)cos(βα
=+)cos(βα
（1）、公式中两边的符号正好相反
（2）、式子右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在前正弦在后。
（3）、公式中βα,为任意角。
6、应用深化
例1 求下列各式的值
（1） 15cos （2） 75cos
（3） 20sin 80sin 20cos 80cos +
（4） 55cos 10cos 35cos 80cos +
例2已知)2(54cos παπα<<-=，求)6
cos(),6cos(απαπ+-
例3利用βα+C 证明[]απαcos )12(cos -=++k
7、变式练习
（1）、已知)2
3,(,135cos ),,2(,53sin ππββππαα∈-=∈=，求)cos(βα+的值。
（2）、已知),2
(,55)4cos(ππααπ∈=-，求αcos 的值。
规律总结
8、课堂小结
（1）牢记公式的结构特点，学会逆用公式。
不符合公式结构特点的，常通过诱导公式变形使之符合。
（2）强调公式中α、β的任意性，是本节内容的主线，它赋予了公式的强大生命力。
（3）逆用公式、凑角技巧是学生理解掌握公式的重要标志。
通过步步加深的练习，加强学生对公式的理解和应用，引导学生积极参与思维，培养学生观察，比较等思维能力，同时渗透了一种化归思想。
9、达标训练
（1）cos 27°cos 57°+sin 27°sin 57°=
（2） 15sin 15cos 22-=
（3）已知),2(,32sin ππαα∈=，)23,(,43cos ππββ∈-=，求)cos(βα-。
10、课后作业
层次一：课本135页练习A 1 2 3 练习B 1
层次二：课本135页练习B 2 3 4 5。