八年级数学下册第1章三角形的证明3线段的垂直平分线第2课时三角形三边的垂直平分线作业课件(新版)北师大
北师大版八下数学1.3《线段的垂直平分线》知识点精讲
注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明通常来说，垂直平分线会与全等三角形来使用。
垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。
巧记方法：点到线段两端距离相等。
可以通过全等三角形证明。
垂直平分线的尺规作法方法之一：(用圆规作图)1、在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段。
2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。
得到两个交点(两交点交与线段的同侧)。
3、连接这两个交点。
原理：等腰三角形的高垂直平分底边。
方法之二：1、连接这两个交点。
原理：两点成一线。
等腰三角形的性质：1、三线合一 ( 等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重合。
)2、等角对等边(如果一个三角形，有两个内角相等，那么它一定有两条边相等。
)3、等边对等角(在同一三角形中，如果两个角相等，即对应的边也相等。
)垂直平分线的判定①利用定义.②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.(即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合)例1．如图，已知：在△ABC中，∠C=90°∠A=30°，BD平分∠ABC交AC于D.求证：D在AB的垂直平分线上.分析：根据线段垂直平分线的逆定理，欲证D在AB的垂直平分线上，只需证明BD=DA即可.证明：∵∠C=90，°∠A=30°（已知），∴∠ABC=60°（Rt△的两个锐角互余）又∵BD平分∠ABC（已知）∴∠DBA=1/2∠ABC=30°=∠A∴BD=AD（等角对等边）∴D在AB的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.例2．如图，已知：在△AB C中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于F。
新北师大八年级下册第一章三角形的证明3.线段的垂直平分线(一)
已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．
求证：P点在AB的垂直平分线上． NhomakorabeaP
A
C
B
证法三：过P点作∠APB的角平分线交AB于点C． ∵AP=BP，∠APC=∠BPC，PC=PC， ∴△APC≌△BPC(SAS)． ∴AC=BC，∠PCA=∠PCB
又∵∠PCA+∠PCB=180°∴∠PCA=∠PCB=90°
已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．
求证：P点在AB的垂直平分线上．
P
证法二：取AB的中点C，过P,C作直线． ∵AP=BP，PC=PC.AC=CB， ∴△APC≌△BPC(SSS)．
A
C
B
∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等)．
又∵∠PCA+∠PCB=180°， ∴∠PCA=∠PCB=∠90°，即PC⊥AB ∴P点在AB的垂直平分线上．
用心想一想，马到功成
如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建 造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什 么位置?
A B
课堂小结, 畅谈收获：
一、线段垂直平分线的性质定理．
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
二、线段垂直平分线的判定定理． 到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 三、用尺规作线段的垂直平分线．
线段垂直平分线的性质：
定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端 点的距离相等．
已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC， P是MN上的点． M 求证：PA=PB． 证明：∵MN⊥AB， ∴∠PCA=∠PCB=90° ∵AC=BC，PC=PC, A C N B P
∴△PCA≌△PCB(SAS) ；
初中数学北师大版八年级下册第一章三角形的证明3.线段的垂直平分线 公开课比赛一等奖
北师大版8年级下册第1章第3节线段的垂直平分线（1）教案一、教学目标：1.能够运用公理和所学过的定理证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理.2.能够利用尺规作已知线段的垂直平分线.3.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．二、教学过程：<一>创设情境，引入新课师：（课件演示）如图，A、B表示两个仓库，要在一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？生：作线段AB的垂直平分线，码头应建在线段AB的垂直平分线与河岸边的交点上.师：语言非常准确.这节课我们就来研究线段的垂直平分线.（板书课题——线段的垂直平分线)师：刚才这位同学说码头应建在线段AB的垂直平分线与河岸边的交点上,谁能说出这样做的道理吗？生：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.师：非常好，这是我们七年级时学过的一句话。
还记得当时我们是怎样得到的吗？生：不记得了.师：那我来帮大家回忆一下。
（教师通过演示折纸过程，验证线段垂直平分线的性质）师：七年级时我们用折纸的方法得到了“线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”.同学们知道这是不够的，还必须利用公理及已学过的定理、推论证明它．这节课我们一起用所学的公理、定理来证明线段的垂直平分线的性质定理.教师板书：定理线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．<二>、自主探究，感受新知1.线段垂直平分线性质定理的证明师：现在就请同学们自己思考证明的思路和方法，并尝试写出证明过程.（学生画图，写出已知、求证. 证明方法和过程对于学生来说不是很困难的,可以找程度比较差的同学回答）生：口答已知、求证、证明.师：课件演示.已知：如图，直线MN ⊥AB ，垂足是C ，且AC ＝BC ，P 是MN 上的点．求证：PA ＝PB ．N A PB CM证明：∵MN ⊥AB ， ∴∠PCA ＝∠PCB ＝90°.∵AC ＝BC ，PC ＝PC ， ∴△PCA ≌PCB(SAS)．∴PA ＝PB (全等三角形的对应边相等)．师：若直线MN 上还有一点Q ，根据线段垂直平分线性质定理，能得出什么结论？生：QA ＝QB.（教师在图形中找出几个不同位置的点P ，学生分别说出结论，就是为了让学生熟悉图形，能熟练应用垂直平分线性质定理找出相等的线段）师：从图形中，你还能找出哪些相等的线段、相等的角呢？生：∠ A ＝∠B ，∠CPA ＝∠CPB .（挖掘基本图形中其它的等量关系，使学生认识到学习知识不要局限于定理，为以后应用线段垂直平分线的性质定理进行证明、计算打下基础.）2.线段垂直平分线判定定理的证明师：你能写出上面这个定理的逆命题吗?生: 思考.师：这个命题不是“如果……那么……”的形式，要写出它的逆命题，可以先将原命题写成“如果……那么……”的形式，逆命题就容易写出．谁来分析一下原命题的条件和结论?生：原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”，结论是“这个点到线段两个端点的距离相等”． 师：有了这位同学的精彩分析，逆命题就很容易写出来．生：如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．师：谁能把它描述得更简捷?生：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．师：当我们写出逆命题时，就应想到判断它的真假.如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明，这个命题是真还是假呢？生：真命题.师：要证明这一定理，先要写出已知、求证。
八年级数学下册第一章第1课时线段垂直平分线的性质与判定作业pptx课件新版北师大版
则BC的长是（ C
A.2
）
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C.6
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D.8
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3.【教材P23习题T1改编】如图，在△ABC中，AC的垂直平分
线交AB于点D，CD平分∠ACB.若∠A＝50°，则∠B的度数
为（
B ）
A.25°
B.30°
C.35°
D.40°
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4.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，EF垂直平分
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_______cm.
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点拨：∵点M是点P关于AO的对称点，
∴AO垂直平分MP，∴EP＝EM.
同理，PF＝FN.
∵MN＝ME＋EF＋FN，∴MN＝EP＋EF＋PF，
∵△PEF的周长为10 cm，
∴MN＝EP＋EF＋PF＝10 cm.
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9.如图，已知∠B＝20°，∠C＝30°，若MP和QN分别垂直平
分AB和AC，则∠PAQ等于（
A.50°
B.75°
C.80°
D.105°
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第一章三角形的证明—重要知识点：1、全等三角形(1)性质=辛等三角飛的対应功、対应角相罢。
(2)判定=“SAS”、SSS 、 AAS ASA 、HL(直角三角形)。
2、二免(1)性质：①^睽三角形的两底角相等。
(“等边对等角”)@腰三角形的顶角平分线、底边b的中线、底边上的髙线互相重合 (三线合一)。
(2)判定：① 有两边相等的三角形是等腰三角形②有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)(3)反证法：先假设令题的结说不成立，然后推导出与已知条件相矛盾的结果命題：由条件和结论组成逆錄：由结轮和条件组成3、等边三角形(1) 定义：的三角形是等边三角形。
(2) 性质：①三个内角都等于60度，三条边都相等②具有等腰三角形的一^性质。
(3) 判定：①三个角都相等的三角形是等边三角形②个角等于6Q度的等瞪三角形是等边三角形。
4、直角三角形(1)定理：在直角三角形中，如果一个锐角是30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
(2)定理：在直角三角中，斜边上的中线等于斜边的一半(3)直角三角形的两锐角互余。
有两个角互余的三角形是直角三角形(4)勾股定理；直角三角形两条直角垃的平方和等于斜边的平方勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形(5) “斜边、直角垃”或“HL”直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等定理的作用：判定两个直角三角形全等5、线段的垂i平分线C1)线段的垂直平分线上的点到送条线段的两个端点的距离相等(2)到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上6、角平分线(1)角平分线上的点到送个叫的两边的距离相等(2)在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在送个角的平分线上二、考点：考点1等腰三角形的性质1-己知等腰三角形的一个底角为80°，则这个等腰三角形的顶角为( )A. 20°B. 40°C. 50°D. 80 °2.等腰三角形的两条边长分别为5 on和6 cm，则它的周长是3.已知等腰三角形.4BC的腰4B=AC=10 cm，底边BC=12 cm，则八4BC的角平分线AD的长是考点2等腰三角形的判定1.如图15 — 4,在中，ZB = ZC, AB=S,贝［（AC 的长为（）A* 2 B. 3 C. 4 D. 52. 如图15—5，在AABC 中，AB=AC,点£＞，£在忍6：途上，^ABD = ^DAE=^EAC=36a ,则图中共有等腰三角形的个数是（）A. 4B. 5C. 6D. 7考点3等垃三角形的性质1.边长为6 cni的等边三角形中，其一边上高的长度.2.如圈15—6,己知A.4BC是等逊三角形，点B r C, D, E在同一直线上，且CGr = CD, DF=DE,贝度.考点3等边三角形的性质1.边长为6 的等边三角形中，其一边上高的长度.2.如图15—6,已知AABC是等边三角形，点忍，C, D, E在同一直线上，且CG=CD, DF=DE,贝 _____________________________ 度.1.在RtAASC 中，^ACB = 90°、AB = 10, CD 是AB 逊上的中线，贝CD 的长是（）A. 20B. 10C. 5D.-2.在AASC 中，^C=90°，^ABC=60°，SD 平分交AC 于点Z>，若A/> = 6，则CD= .考点5勾股定理及其逆定理1.在RtAABC 中，ZC = 90。
八年级数学下册第一章三角形的证明13线段的垂直平分线教案4北师大版
《3 线段的垂直平分线》第1课时教学目标1、经历探索、猜测过程，能够运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理．2、经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．3、体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神．教学重难点重点：线段垂直平分线的性质定理及其逆命题的证明难点：两者的应用上的区别及各自的作用．教学过程第一环节：创设情境，引入新课教师用多媒体演示：如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？其中“到两个仓库的距离相等”，要强调这几个字在题中有很重要的作用．在七年级时研究过线段的性质，线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的对称轴．我们用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．所以在这个问题中，要求在“A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等”利用此性质就能完成．进一步提问：“你能用公理或学过的定理证明这一结论吗？”教师演示线段垂直平分线的性质：定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．第二环节：探究新知第一环节提出问题后，有学生提出了一个问题：“要证‘线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等’，可线段垂直平分线上的点有无数多个，需一个一个依次证明吗？何况不可能呢．”教师鼓励学生思考，想办法来解决此问题．通过讨论和思考，有学生提出：“如果一个图形上每一点都具有某种性质，那么只需在图形上任取一点作代表，就可以了．”教师肯定该生的观点，进一步提出：“我们只需在线段垂直平分线上任取一点代表即可，因为线段垂直平分线上的点都具有相同的性质．”已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C ，且AC=BC ，P 是MN 上的点．求证：PA=PB ．N A PB CM分析：要想证明PA=PB ，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等．证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°∵AC=BC，PC=PC ，∴△PCA≌△PCB（SAS ）∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）．教师用多媒体完整演示证明过程．第三环节：想一想你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？这个命题不是“如果……那么……”的形式，要写出它的逆命题，需分析原命题的条件和结论，将原命题写成“如果……那么……”的形式，逆命题就容易写出．鼓励学生找出原命题的条件和结论．原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”，结论是“这个点到线段两个端点的距离相等”． 此时，逆命题就很容易写出来，“如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点到线段两个端点的距离相等．”写出逆命题后时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明，请同学们自行在练习册上完成．学生给出了如下的四种证法：证法一：已知：线段AB ，点P 是平面内一点且PA=PB ．求证：P 点在AB 的垂直平分线上．C BPA证明：过点P 作已知线段AB 的垂线PC ，PA=PB ，PC=PC ，∴Rt△PAC≌Rt△PBC（HL 定理）．∴AC=BC，即P 点在AB 的垂直平分线上．证法二：A PB C21取AB的中点C，过PC作直线．∵AP=BP，PC=PC·AC=CB，∴△APC≌△BPC（SSS）．∴∠PCA=∠PCB（全等三角形的对应角相等）．又∵∠PCA+∠PCB=180°，∴∠PCA=∠PCB=∠90°，即PC⊥AB，∴P点在AB的垂直平分线上．证法三：过P点作∠APB的角平分线．∵AP=BP，∠1=∠2，PC=PC，△APC≌△BPC（SAS）．∴AC=BC，∠PCA=∠PCB（全等三角形的对应角相等，对应边相等）．又∵∠PCA+∠PCB=180°∴∠PCA=∠PCB=90°∴P点在线段AB的垂直平分线上．证法四：过P作线段AB的垂直平分线PC．∵AC=CB，∠PCA=∠PCB=90°，∴P在AB的垂直平分线上．四种证法由学生表述后，有学生提问：“前三个同学的证明是正确的，而第四个同学的证明我有点弄不懂．”师生共析：如图（1），PD上AB，D是垂足，但D不平分AB；如图（2），PD平分AB，但PD不垂直于AB．这说明一般情况下：过P作AB的垂直平分线“是不可能实现的”，所以第四个同学的证法是错误的．从同学们的推理证明过程可知线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题，我们把它称做线段垂直平分线的判定定理．第2课时教学目的1、知识与技能目标：会画轴对称图形的对称轴，加深对图形对称性的理解．2、过程与方法目标：通过动手操作，掌握线段垂直平分线的画法．3、情感与态度目标：通过动手操作，培养学生的操作能力及勇于探索的精神．教学难重点教学重点：作线段的垂直平分线．教学难点：线段垂直平分线性质及应用．教学过程我们曾用折纸的方法折出过线段的垂直平分线，在第1课时我们学习了线段垂直平分线的性质定理和判定定理，能否用尺规作图的方法作出已知线段的垂直平分线呢？一、做一做：活动内容：用尺规作线段的垂直平分线．活动目的：探索尺规方法作线段垂直平分线的思路与过程以及体验其中的演绎思维过程．活动过程：用尺规作线段的垂直平分线．要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定定理，到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，那么我们必须找到两个到线段两端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线．下面我们一同来写出已知、求作、作法，体会作法中每一步的依据．[师生共析]已知：线段AB（如图）．求作：线段AB 的垂直平分线．作法： 1、分别以点A 和B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于点C 和D ． 2、作直线CD ，则直线CD 就是线段AB 的垂直平分线．[师]根据上面作法中的步骤，请你说明CD 为什么是AB 的垂直平分线吗？请与同伴进行交流．[生]从作法的第一步可知AC=BC ，AD=BD ，∴C、D 都在AB 的垂直平分线上（线段垂直平分线的判定定理）．∴CD 就是线段AB 的垂直平分线（两点确定一条直线）．[师]我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段垂直平分线的作法时，一旦垂直平分线作出，线段与线段垂直平分线的交点就是线段AB 的中点，所以我们也用这种方法作线段的中点．活动效果及注意事项：活动时可以先让学生讨论，然后点名学生板演，下面学生可以模仿着做，最后教师进行归纳和总结．二、随堂练习1、如图，已知AB 是线段CD 的垂直平分线，E 是AB 上的一点，如果EC=7cm ，那么ED= cm ；如果∠ECD=60°，那么∠EDC=CA DB E解：∵AB 是线段CD 的垂直平分线，∴EC=ED．又∵EC=7cm，∴ED=7cm．∴∠EDC=∠ECD=60°．2、已知直线l 和l 上一点P ，利用尺规作l 的垂线，使它经过点P ．已知：直线l 和l 上一点P ，求作：PC⊥l．作法：1、以点P为圆心，以任意长为半径作弧，直线l相交于点A和B．2、作线段AB的垂直平分线PC，则直线PC就是所求的垂线．八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图，BAC ∠的平分线与BC 的垂直平分线相交于点D ，ED AB ⊥于点E ，11AB =，5AC =，则BE 的长为()A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A 【解析】连接CD ，BD ，由∠BAC 的平分线与BC 的垂直平分线相交于点D ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD=BD ，DF=DE ，继而可得AF=AE ，易证得Rt △CDF ≌Rt △BDE ，则可得BE=CF ，继而求得答案．【详解】如图，连接CD ，BD ，∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DF=DE ，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE ，∴AE=AF ，∵DG 是BC 的垂直平分线，∴CD=BD ，在Rt △CDF 和Rt △BDE 中，CD BD DF DE ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △CDF ≌Rt △BDE （HL ），∴BE=CF ，∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE ，∵AB=11，AC=5，∴BE=12×（11-5）=1． 故选：A ．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题-的点P 2．如图，已知数轴上的五点A，O，B，C，D分别表示数1-，0，1，2，3，则表示51应落在线段()A．线段BC上B．线段OA上C．线段OB上D．线段CD上【答案】A-的取值范围，然后根据数【分析】先求出5的取值范围，从而求出5-1的取值范围，继而求出51轴即可得出结论．【详解】解：∵2＜5＜3∴2-1＜5-1＜3-1即1＜5-1＜2-＜2∴1＜51-的点P应落在线段BC上．由数轴可知表示51故选A．【点睛】此题考查的是实数的比较大小，掌握实数比较大小的方法是解决此题的关键．3．如图所示，小明书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识画出了完全一样的一个三角形，他根据的定理是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA【答案】D【分析】根据图形，未污染的部分两角与这两角的夹边可以测量，然后根据全等三角形的判定方法解答即可．【详解】解：小明书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识画出了完全一样的一个三角形，他根据的定理是：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA ）．故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握三角形全等的判定是解题的关键．4．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x ，y 表示直角三角形的两直角边（x y >），下列四个说法：①2249x y +=，②2x y -=，③2449xy +=，④9x y +=.其中说法正确的是( )A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④ 【答案】B【详解】可设大正方形边长为a,小正方形边长为b ，所以据题意可得a 2=49,b 2=4;根据直角三角形勾股定理得a 2=x 2+y 2,所以x 2+y 2=49，式①正确；因为是四个全等三角形，所以有x=y+2,所以x-y=2，式②正确；根据三角形面积公式可得S △=xy/2,而大正方形的面积也等于四个三角形面积加上小正方形的面积，所以44492xy ⨯+=，化简得2xy+4=49，式③正确； 而据式④和式②得2x=11,x=5.5,y=3.5,将x,y 代入式①或③都不正确，因而式④不正确．综上所述，这一题的正确答案为B ．5．在Rt ABC 中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，斜边AB 的长5cm ，则BC 的长为（ ）A ．2.5cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm 【答案】A【分析】根据30°角的直角三角形的性质解答即可．【详解】解：在Rt ABC 中，∵90C ∠=︒，30A ∠=︒，斜边AB 的长5cm ， ∴1 2.52BC AB cm ==． 故选：A ．【点睛】本题考查了30°角的直角三角形的性质，属于基础题型，熟练掌握30°角对的直角边等于斜边的一半是解题关键．6．下列各命题是真命题的是（ ）A ．如果2²a b =，那么a b =B ．0.3，0.4，0.5是一组勾股数C ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等D ．三角形的任意两边之和大于第三边【答案】D【分析】逐一判定各项，正确则为真命题，错误则为假命题.【详解】A 选项，如果22a b =，那么a 不一定等于b ，假命题；B 选项，()()()2220.30.40.5+≠，不是勾股数，假命题；C 选项，两条平行的直线被第三条直线所截，同位角相等，假命题；D 选项，三角形的任意两边之和大于第三边，真命题；故选：D .【点睛】此题主要考查真命题的判断，熟练掌握，即可解题.7．下列六个数：0、5、39、π、－13、0.6中，无理数出现的频数是（ ）．A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【分析】根据无理数的概念即可作答.【详解】解：∵其中无理数有：5，39，π；∴无理数出现的频数是3，故选：A.【点睛】本题考查无理数的概念，是中考的常考题，掌握无理数的内涵是基础.8．将△ABC 的三个顶点坐标的横坐标都乘以-1，并保持纵坐标不变，则所得图形与原图形的关系是（）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．将原图形沿x 轴的负方向平移了1个单位【答案】B【解析】平面直角坐标系中任意一点P （x ，y ），分别关于x 轴的对称点的坐标是（x ，﹣y ），关于y 轴的对称点的坐标是（﹣x ，y ）．【详解】根据对称的性质，得三个顶点坐标的横坐标都乘以﹣1，并保持纵坐标不变，就是横坐标变成相反数．即所得到的点与原来的点关于y 轴对称．故选B ．【点睛】这一类题目是需要识记的基础题．考查的侧重点在于学生的识记能力，解决的关键是对知识点的正确记忆．9．如图，ABC 为等边三角形，D 为BC 延长线上一点，CE=BD ，CE 平分ACD ∠，下列结论:(1)BAC DAE ∠=∠；(2) AE AD =；(3)ADE 是等边三角形，其中正确的个数为()A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】D 【分析】根据等边三角形的性质得出AB AC =，60BAC B ACB ∠=∠=∠=︒，求出ACE B ∠=∠，根据SAS 可证明ABD ACE ≅即可证明BAC DAE ∠=∠与 AE AD =；根据全等三角形的性质得出AD AE =，CAE BAD ∠=∠，求出60DAE BAC ︒∠=∠=，即可判断出ADE 是等边三角形．【详解】ABC 是等边三角形，AB AC ∴=，60BAC B ACB ∠=∠=∠=︒，120ACD ∴∠=︒， CE 平分ACD ∠，1602ACE ACD ∴∠=∠=︒， ACE B ∴∠=∠，在ABD △和ACE △中AB AC B ACE BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABD ACE SAS ∴≅，AD AE ∴=，故（2）正确；∴CAE BAD ∠=∠∴=60DAE BAC ∠=∠︒，故（1）正确；∴ADE 是等边三角形，故（3）正确．∴正确有结论有3个．故选：D ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，要灵活运用等边三角形的三边相等、三个角相等的性质．10．如图，在△ABC 中，∠B=32°，将△ABC 沿直线m 翻折，点B 落在点D 的位置，则∠1-∠2的度数是（ ）A ．32°B ．64°C ．65°D ．70°【答案】B 【解析】此题涉及的知识点是三角形的翻折问题，根据翻折后的图形相等关系，利用三角形全等的性质得到角的关系，然后利用等量代换思想就可以得到答案【详解】如图，在△ABC 中，∠B=32°，将△ABC 沿直线m 翻折，点B 落在点D 的位置∠B=∠D=32° ∠BEH=∠DEH∠1=180︒-∠BEH -∠DEH=180︒-2∠DEH∠2=180︒-∠D -∠DEH -∠EHF=180︒-∠B -∠DEH -(∠B+∠BEH)=180︒-∠B -∠DEH -（∠B+∠DEH）=180︒-32°-∠DEH -32°-∠DEH=180︒-64°-2∠DEH∴∠1-∠2=180︒-2∠DEH -(180︒-64°-2∠DEH)=180︒-2∠DEH -180︒+64°+2∠DEH=64°故选B【点睛】此题重点考察学生对图形翻折问题的实际应用能力，等量代换是解本题的关键二、填空题11．一个三角形三边长分别是4，6，x ，则x 的取值范围是____．【答案】210x <<【分析】根据三角形的三边关系：在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可得出结论．【详解】解：∵一个三角形三边长分别是4，6，x ，∴6－4＜x ＜6＋4解得：2＜x ＜10故答案为：210x <<．【点睛】此题考查的是根据三角形的两边长，求第三边的取值范围，掌握三角形的三边关系是解决此题的关键． 12．依据流程图计算22m 1m n m n--+需要经历的路径是 （只填写序号），输出的运算结果是 ．【答案】②③，()()n m n m n +-． 【分析】根据化简分式的步骤：先把分式化成同分母分式，再把分母相减，分子不变，即可得出答案． 【详解】解：∵22m 1m n m n--+＝()()()()m m n m n m n m n m n --+-+-＝()()n m n m n +-， ∴依据流程图计算22m 1m n m n--+需要经历的路径是②③；输出的运算结果是()()n m n m n +-； 故答案为：②③；()()nm n m n +-． 【点睛】本题考查化简分式，利用到平方差公式，解题的关键是掌握化简分式的步骤．13．已知ABC ∆中，3AB =，8AC =，BC 长为奇数，那么三角形ABC 的周长是__________．【答案】18或20【分析】根据三角形三边关系定理得到第三边的范围，再根据BC 为奇数和取值范围确定三角形ABC 的周长即可．【详解】解：根据三角形的三边关系可得：8-3＜BC ＜8+3，即：5＜BC ＜11，∵BC 为奇数，∴BC 的长为7或9，∴三角形ABC 的周长为18或20.故答案为：18或20.【点睛】本题主要考查三角形的三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理即三角形任意两边之和大于第三边；三角形的任意两边之差小于第三边．14．已知函数|3|(2)m y m x+=+，当m =____________时，此函数为正比例函数． 【答案】-1【分析】根据正比例函数的定义得到20m +≠且31+=m ，然后解不等式和方程即可得到满足条件的m 的值．【详解】解：根据题意得20m +≠且31+=m ，解得m=-1，即m=-1时，此函数是正比例函数．故答案为：-1．【点睛】本考查了正比例函数的定义：一般地，形如y=kx （k 是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数．15．若分式3x x -的值为0，则x 的值为__________． 【答案】0【分析】根据分式的值为零的条件是分子为零，分母不为零即可． 【详解】解：若分式3x x-的值为0，则0x = 【点睛】本题考查分式的值为零的条件，即分子为零，分母不为零．16．分解因式6xy 2－9x 2y －y 3 = _____________.【答案】－y(3x －y)2【解析】先提公因式-y ，然后再利用完全平方公式进行分解即可得.【详解】6xy 2－9x 2y －y 3=-y(9x 2-6xy+y 2)=-y(3x-y)2，故答案为：-y(3x-y)2.【点睛】本题考查了利用提公因式法与公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法及步骤是解题的关键.因式分解的一般步骤：一提（公因式），二套（套用公式），注意一定要分解到不能再分解为止.17．已知实数a 、b ________【答案】0【分析】根据数轴所示，a ＜0，b ＞0， b-a ＞0，依据开方运算的性质，即可求解．【详解】解：由图可知：a ＜0，b ＞0， b-a ＞0， 222()()0a b b a a b b a a b b a --+--=-+-+=故填：0【点睛】本题主要考查二次根式的性质和化简，实数与数轴，去绝对值号，关键在于求出b-a ＞0，即|b-a|=b-a ．三、解答题18．解方程组：25,3 6.x y x y +=⎧⎨-=⎩ 【答案】3,1.x y =⎧⎨=-⎩【解析】把①×3+②，消去y ，求出x 的值，再把求得的x 的值代入①求出y 的值即可. 【详解】25,3 6.x y x y +=⎧⎨-=⎩①②由①×3，得6315x y +=.③ 把③+②，得721x =.解得3x =.把3x =代入①，得65y +=．1y =-．∴原方程组的解是3,1.x y =⎧⎨=-⎩ 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，当两方程中相同的未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法解方程比较简单．灵活选择合适的方法是解答本题的关键.19．计算：（1）(8)()x y x y --； (2) 22223()a b a b ---⋅． 【答案】（1）2298x xy y -+；（2）88b a ．【分析】（1）根据多项式乘多项式法则计算即可；（2）根据同底数幂的乘法和负指数幂的性质计算即可．【详解】解：（1）原式=2288x xy xy y --+=2298x xy y -+（2）原式=2266•a b a b --=2(6)26a b -+-+=88a b - =88b a【点睛】此题考查的是多项式乘多项式和幂的运算性质，掌握多项式乘多项式法则、同底数幂的乘法和负指数幂的性质是解决此题的关键．20．已知二元一次方程5x y +=，通过列举将方程的解写成下列表格的形式：如果将二元一次方程的解所包含的未知数x 的值对应直角坐标系中一个点的横坐标，未知数y 的值对应这个点的纵坐标，这样每一个二元一次方程的解，就可以对应直角坐标系中的一个点，例如：方程5x y +=的解23x y =⎧⎨=⎩的对应点是()2,3． （1）表格中的m =________，n =___________；（2）通过以上确定对应点坐标的方法，将表格中给出的五个解依次转化为对应点的坐标，并在所给的直角坐标系中画出这五个点；根据这些点猜想方程5x y +=的解的对应点所组成的图形是_________，并写出它的两个特征①__________，②_____________；（3）若点()2,1P a a --恰好落在5x y +=的解对应的点组成的图形上，求a 的值．【答案】（1）0，-1；（2）见解析；（3）-1．【分析】（1）根据题意，将m 和n 代入方程即可得解；（2）将每个对应点的坐标在直角坐标系中进行描点，即可得出图形，然后观察其特征即可；（3）将点P 代入即可得出a 的值.【详解】（1）根据表格，得55m +=，65n +=∴m=0，n=-1；（2）如图所示，即为所求：该图形是一条直线；①经过第一、二、四象限；②与y 轴交于点（0，5）（答案不唯一）；（3）把x=﹣2a ，y= a-1代入方程x+y ＝5中，得-2a+（a-1）=5，解之，得a=-1．【点睛】此题主要考查二元一次方程和平面直角坐标系综合运用，熟练掌握，即可解题.21．已知：如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥于点D ，E 为AC 上一点，连结BE 交AD 于F ，且AC BF =，DC DF =，求证：BE AC ⊥.【答案】详见解析.【解析】根据HL 证明Rt △BDF ≌Rt △ADC ，进而解答即可．【详解】∵AD ⊥BC ，∴∠BDF=∠ADC=90°．在Rt △BDF 和Rt △ADC 中，AC BF DC DF =⎧⎨=⎩，∴Rt △BDF ≌Rt △ADC （HL ），∴∠FBD=∠DAC ． 又∵∠BFD=∠AFE ，∴∠AEF=∠BDF=90°，∴BE ⊥AC ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，关键是根据HL 证明Rt △BDF ≌Rt △ADC ．22．已知一次函数2y x a =+与y x b =-+的图象都经过点()2,0A -且与y 轴分别交于B ，C 两点． （1）分别求出这两个一次函数的解析式．（2）求ABC ∆的面积．【答案】（1）24y x =+和2y x =--；（2）6【分析】（1）把()2,0A -分别代入2y x a =+和y x b =-+可求出a 和b ，从而得到一次函数的解析式； （2）通过解析式求出B 、C 的坐标，即得到OA 、BC 的长度，从而算出面积．【详解】（1）把()2,0A -分别代入2y x a =+和y x b =-+得，4a =，2b =-，∴这两个函数分别为24y x =+和2y x =--．（2）在24y x =+和2y x =--中，令0x =，可分别求得4y =和2y =-，()0,4B ∴，()0,2C -，又()2,0A -，2OA ∴=，6BC =，1126622ABC S OA BC ∆∴=⋅=⨯⨯=． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，正确求出直线与坐标轴的交点是解题的关键．23．如图，在Rt △ABC 中，（M 2，N 2），∠BAC=30°，E 为AB 边的中点，以BE 为边作等边△BDE ，连接AD ，CD ．（1）求证：△ADE ≌△CDB ；（2）若BC=3，在AC 边上找一点H ，使得BH+EH 最小，并求出这个最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）BH+EH 的最小值为1．【解析】（1）只要证明△DEB 是等边三角形，再根据SAS 即可证明；（2）如图，作点E 关于直线AC 点E'，连接BE'交AC 于点H ．则点H 即为符合条件的点．【详解】（1）在Rt △ABC 中，∠BAC=10°，E 为AB 边的中点，∴BC=EA ，∠ABC=60°，∵△DEB 为等边三角形，∴DB=DE ，∠DEB=∠DBE=60°，∴∠DEA=120°，∠DBC=120°，∴∠DEA=∠DBC ，∴△ADE ≌△CDB ；（2）如图，作点E 关于直线AC 点E'，连接BE'交AC 于点H ，则点H 即为符合条件的点， 由作图可知：EH=HE'，AE'=AE ，∠E'AC=∠BAC=10°， ∴∠EAE'=60°，∴△EAE'为等边三角形，∴E E'=EA=12AB ， ∴∠AE'B=90°，在Rt △ABC 中，∠BAC=10°，3∴33∴()()2222'233AB AE -=-=1，∴BH+EH 的最小值为1．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，轴对称中的最短路径问题、勾股定理等，熟练掌握相关的性质与判定定理、利用轴对称添加辅助线确定最短路径问题是解题的关键.24．解方程：28 4x-+1＝2xx-．【答案】分式方程无解．【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】去分母得：8+x2﹣4＝x（x+2），整理得：2x＝4，解得：x＝2，经检验x＝2是增根，分式方程无解．【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．25．苏科版《数学》八年级上册第35页第2题，介绍了应用构造全等三角形的方法测量了池塘两端A、B 两点的距离．星期天，爱动脑筋的小刚同学用下面的方法也能够测量出家门前池塘两端A、B两点的距离．他是这样做的：选定一个点P，连接PA、PB，在PM上取一点C，恰好有PA＝14m，PB＝13m，PC＝5m，BC＝12m，他立即确定池塘两端A、B两点的距离为15m．小刚同学测量的结果正确吗？为什么？【答案】小刚同学测量的结果正确，理由见解析.【分析】由勾股定理的逆定理证出△BCP是直角三角形，∠BCP=90°，得出∠ACB=90°，再由勾股定理求出AB即可．【详解】解：小刚同学测量的结果正确，理由如下：∵PA＝14m，PB＝13m，PC＝5m，BC＝12m，∴AC＝PA﹣PC＝9m，PC2+BC2＝52+122＝169，PB2＝132＝169，∴PC2+BC2＝PB2，∴△BCP是直角三角形，∠BCP＝90°，∴∠ACB＝90°，∴AB＝15（m）．【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的综合运用；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．在平面直角坐标系xOy 中，点P(-3，5)关于y 轴的对称点在第（ ）象限A ．一B ．二C ．三D ．四【答案】A【分析】利用关于y 轴对称的点的坐标特点求对称点，然后根据点的坐标在平面直角坐标系内的位置求解．【详解】解：点P （-3，5）关于y 轴的对称点的坐标为（3，5）．在第一象限故选：A ．【点睛】本题考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．2．四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）A ．AB ∥DC ，AD ∥BCB ．AB=DC ，AD=BC C ．AO=CO ，BO=DOD ．AB ∥DC ，AD=BC【答案】D 【解析】根据平行四边形判定定理进行判断：A 、由“AB ∥DC ，AD ∥BC”可知，四边形ABCD 的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；B 、由“AB=DC ，AD=BC”可知，四边形ABCD 的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；C 、由“AO=CO ，BO=DO”可知，四边形ABCD 的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；D 、由“AB ∥DC ，AD=BC”可知，四边形ABCD 的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意．故选D ．考点：平行四边形的判定．3．如果()Pm 3,2m 4++在y 轴上，那么点P 的坐标是( )A ．()2,0-B ．()0,2-C ．()1,0D ．()0,1【答案】B 【分析】根据点在y 轴上，可知P 的横坐标为1，即可得m 的值，再确定点P 的坐标即可．【详解】解：∵()Pm 3,2m 4++在y 轴上，∴30m +=解得3m =-， ()242342m +=⨯-+=-∴点P 的坐标是（1，-2）．故选B ．【点睛】解决本题的关键是记住y 轴上点的特点：横坐标为1．4．中国自主研发的第一台7纳米刻蚀机，是芯片制造和微观加工最核心的设备之一，7纳米就是0.000000007米，数据0.000000007用科学记数法表示为( )A ．0.7×10-8B ．7×10-8C ．7×10-9D ．7×10-10【答案】C【分析】绝对值小于1的数也可以用科学计数法表示，一般形式为a×10-n ，其中1≤|a|＜10，与较大数的科学计数法不同的是其使用的是负指数幂，n 由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数决定．【详解】0.000000007=7×10-9， 故选：C ．【点睛】题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n ，其中1≤|a|＜10，n 由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数决定．5．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 是AC 边上的高，则∠DBC 的度数是（ ）A ．18°B ．24°C ．30°D ．36°【答案】A 【解析】试题分析：先根据等腰三角形的性质求得∠C 的度数，再根据三角形的内角和定理求解即可.∵AB ＝AC ，∠A ＝36°∴∠C ＝72°∵BD 是AC 边上的高∴∠DBC ＝180°-90°-72°＝18°故选A.考点：等腰三角形的性质，三角形的内角和定理点评：三角形的内角和定理是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.6．已知：一组数据-1，2，-1，5，3，4，关于这组数据，下列说法错误的是（ ）A ．平均数是2B ．众数和中位数分别是-1和2.5C ．方差是16D 【答案】C【分析】分别求出这组数据的平均数、众数、中位数、方差和标准差即可进行判断．【详解】解：（-1+2+-1+5+3+4）÷6=2，所以平均数是2，故A 选项不符合要求；众数是-1，中位数是（2+3）÷2=2.5，故B 选项不符合要求； ()()()()()()2222222116=12221252324263S ⎡⎤⨯--+-+--+-+-+-=⎣⎦，故C 选项符合要求；=3S ，故D 选项不符合要求． 故选：C【点睛】本题主要考查的是平均数、中位数、众数、方差、标准差的计算方法，正确的计算是解题的关键． 7．11名同学参加数学竞赛初赛，他们的等分互不相同，按从高分录到低分的原则，取前6名同学参加复赛，现在小明同学已经知道自己的分数，如果他想知道自己能否进入复赛，那么还需知道所有参赛学生成绩的（ ）A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差【答案】B【解析】试题分析：由于总共有11个人，且他们的分数互不相同，第6的成绩是中位数，要判断是否进入前6名，知道中位数即可．故答案选B ．考点：中位数.8．某球员参加一场篮球比赛，比赛分4节进行，该球员每节得分如折线统计图所示，则该球员平均每节得分为（ ）。
(新)北师大版八年级数学下册1.4《角平分线》优质课件(共2课时)
复习导入
角平分线上的点到这个角的两
边距离相等.
∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意,
D
1 2 E
A
PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)
O ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两
P B
C
边距离相等).
首页
在一个角的内部,且到角的两边距 离相等的点,在这个角的平分线上. A
∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是 D,E(已知), 且PD=PE, ∴点P在∠AOB的平分线上.(在一 个角的内部,且到角的两边距离相 O 1 2
∠PDO=∠PEO=90°，
∴△PDO≌△PEO(AAS)．
E
B
∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)
首页
定理：角平分线上的点到这 个角的两边距离相等.
∵OC是∠AOB的平分线,P是 OC上任意,PD⊥OA,PE⊥OB,垂 足分别是D,E(已知) ∴PD=PE(角平分线上的点到这 个角的两边距离相等). O
在Rt△ODP和Rt△OEP中 O
D
A
1 2
E
P C B
OP=OP，PD=PE
∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL)．
∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．
判定定理： 在一个角的内部,且到角的两 边距离相等的点,在这个角的平分线上.
∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是 D,E(已知), 且PD=PE, ∴点P在∠AOB的平分线上.(在一 个角的内部,且到角的两边距离相 等的点,在这个角的平分线上). D 1 2 E
D
A
1 2 E
P C B
你能写出上面这个定理的逆命题吗?
性质定理:角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
北师大版八年级下册数学课件1.3线段的垂直平分线第1课时线段垂直平分线的性质与判定
证明：∵GB＝GC，AB＝AC， 【点拨】如图所示，已知点P在线段AB外，且PA＝PB.
【点拨】如图所示，已知点P在线段AB外，且PA＝PB. ∴点B在线段AF的垂直平分线上．
又(2)∵点两D点在确AG定上一，条求直∴证线：，点DBG＝D，C. 点A在BC的垂直平分线上．
探究培优
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点 N，交BC的延长线于点M. (1)若∠A＝40°，求∠NMB的度数．
解：∵AB＝AC，∠A＝40°， ∴∠B＝∠ACB＝180°－ 2 40°＝70°. 又∵MN⊥AB， ∴∠NMB＝90°－∠B＝90°－70°＝20°.
探究培优
(2)点D在AG上，求证：DB＝DC.
A中作∠APB的平分线PC交AB于点C，只需再证明AC＝BC 13．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M.
选项A中作∠APB的平分线PC交AB于点C，只需再证明AC＝BC及PC⊥AB即可得到PC是线段AB的垂直平分线．故作法正确；
夯实基础
*4.如图，在△ABC中，∠B＝32°，∠C＝48°，AB 和AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，且点D在 点E的左侧，BC＝6 cm，则△ADE的周长是( D ) A．3 cm B．12 cm C．9 cm D．6 cm
【点拨】∵AB，AC的垂直平分线分别交BC于点 D，E，∴BD＝AD，AE＝EC，∴△ADE的周长 ＝AD＋DE＋AE＝BD＋DE＋EC＝BC＝6 cm.
整合方法
(2)点D在AG上，求证：DB＝DC. 解：∵AG垂直平分BC，点D在AG上， ∴DB＝DC.